Esercizi Di Preparazione prova matematica 1

Esercizi di preparazione al II Test in itinere di Matematica

1. Dire se la matrice

A =

1 5 02 0 31 0 3

e` invertibile e, in caso di risposta positiva, calcolare A1. Verificare poiche AA1 = Id.

(Soluzione: A1 =

0 1 1151

515

0 13

23

.)2. Dire se la matrice

A =

1 2 00 3 10 2 1

e` invertibile e, in caso di risposta positiva, calcolare A1. Verificare poiche AA1 = I.

(Soluzione: A1 =

1 2 20 1 10 2 3

)3. Dire se la matrice

A =

3 0 21 1 10 0 4

e` invertibile e, in caso di risposta positiva, calcolare A1. Verificare poiche AA1 = Id.

(Soluzione: A1 =

13

0 16

13

1 512

0 0 14

.)


A =

1 2 00 3 10 1 2

e` invertibile e calcolare A1. Verificare poi che AA1 = I.

(Soluzione: A1 =

1 4

5

2

5

02

51

5

0 15

3

5


A =

4 2 20 2 31 3 1


(Soluzione: A1 =

7

38 4

19

5

19

338 1

19

6

191

19

7

19 4

19


A =

0 2 32 1 11 3 1

e` invertibile e calcolare A1. Verificare poi che A1A = I.

(Soluzione: A1 =

4

19

7

19

5

19

119 3

19

6

197

19

2

19 4

19

.)


A =

2 1 11 2 31 3 0


(Soluzione: A1 =

9

26 3

26

5

26

326

1

26

7

265

26

7

26 3

26

.)8. Dire se il seguente sistema e` omogeneo:

3x y + z = 0x+ y 5z = 15x+ y 9z = 2.

Alla luce del Teorema di Rouche`-Capelli, dire se il sistema ammette

soluzioni. In caso di risposta positiva, dire quante e quali soluzioni

ammette.

(Soluzione: Il sistema non e` omogeneo ed ammette 1 soluzioni:x = t+

1

4, y = 4t+

3

4, z = t, t R.)

9. Dire se il seguente sistema e` omogeneo:5x+ z = 0

x+ 2y + z = 0

3x y + 2z = 9.Alla luce del Teorema di Rouche`-Capelli, dire se il sistema ammette


ammette.

(Soluzione: Il sistema non e` omogeneo ed ammette la sola soluzione

(x, y, z) = (1, 2,5). )

10. Dire se il seguente sistema e` omogeneo:2x 2y z = 3x+ y z = 2x 3y = 1.



ammette.

(Soluzione: Il sistema non e` omogeneo e non ammette soluzioni.)

11. Dire se il seguente sistema e` omogeneo:2x+ 3y 5z = 03x+ 4y 7z = 0x+ y 2z = 0.



ammette.

(Soluzione: Il sistema e` omogeneo ed ammette 1 soluzioni: x = t,y = t, z = t, t R.)

12. Dire se il seguente sistema e` omogeneo.2x y + z = 1x+ y z = 04x 2y + 2z = 2.



ammette.

(Soluzione: Il sistema non e` omogeneo ed ammette 1 soluzioni:x = 1

3, y = t, z = 1

3+ t, t R.)

13. Dire se il seguente sistema e` omogeneo:2x+ 8y z = 02x+ 3z = 0

x+ 5y + 3z = 8.



ammette.

(Soluzione: Il sistema non e` omogeneo ed ammette la sola soluzione

(3, 1, 2).)14. Dire se il seguente sistema e` omogeneo.

x+ 2y + 5z = 4

2x+ y = 0

x+ y + z = 0.



ammette.

(Soluzione: Il sistema non e` omogeneo e ammette la sola soluzione

(2,4, 2).)15. Dire se il seguente sistema e` omogeneo:

x y 3z = 0x+ 2y + 12z = 0

2x+ y + 9z = 0.



ammette.

(Soluzione: Il sistema e` omogeneo ed ammette1 soluzioni: x = 2t,y = 5t, z = t, t R.)

16. Dire se il seguente sistema e` omogeneo:x 4y + z = 12x 3y + z = 05x+ 5y 2z = 0.



ammette.

(Soluzione: Il sistema non e` omogeneo e non ammette soluzioni.)

17. Dire se il seguente sistema e` omogeneo:2x+ y + z = 0

x+ 3y z = 0x+ z = 0.



ammette.

(Soluzione: Il sistema e` omogeneo ed ammette solo la soluzione nulla

(0, 0, 0).)

18. Dire se il seguente sistema e` omogeneo:3x+ 2y z = 1x+ 2y z = 0x 6y + 3z = 1.



ammette.

(Soluzione: Il sistema non e` omogeneo ed ammette 1 soluzioni:x =

1

2, y = t, z =

1

2+ 2t, t R.)

19. Dire, alla luce del Teorema di Rouche`-Capelli se il seguente sistema

omogeneo di equazioni lineari ammette soluzioni non nulle, e calcolarle

in caso di risposta positivax + 2y z = 0x + y + z = 0

2x y 2z = 0

(Soluzione: Solo soluzione nulla)

20. Dire, alla luce del Teorema di Rouche`-Capelli quante soluzioni ha il

seguente sistema di equazioni lineari,x + 2y z = 2

4x y + z = 13x 3y + 2z = 1

e calcolarle.

(Soluzione: x = 4t9

, y = 5t+79

, z = t.)

21. Dire se il seguente sistema omogeneo di equazioni linearix y 2z = 0

2x y z = 0x y 5z = 0

ammette soluzioni diverse da quella nulla, e calcolarle nel caso di risposta

positiva.

(Soluzione: No x = 0, y = 0, z = 0.)

22. Risolvere il seguente sistema di equazioni linearix + y 2z = 1

2x + y + z = 3x + 2y z = 0

(Soluzione: x = 2, y = 1, z = 0.)

23. Dire, alla luce del Teorema di Rouche`-Capelli se il seguente sistema

omogeneo di equazioni lineari ammette soluzioni non nulle, e calcolarle

in caso di risposta positivax 2y z = 0x + y + 2z = 0

2x 4y 2z = 0

(Soluzione: x = t, y = t, z = t.)24. Risolvere il seguente sistema di equazioni lineari

x + 2y z = 1x + y + 2z = 02x y + 2z = 1

(Soluzione:x = 117

, y = 717

, z = 417

.)

25. Dati i vettori ~u = (2,5) e ~v = (8, 20):

i) verificare se sono paralleli o ortogonali e, in caso siano paralleli,

stabilire se hanno lo stesso orientamento o orientamento opposto;

ii) Determinare le componenti dei vettori ~w1 e ~w2 di modulo 3 ortog-

onali al vettore ~u.

iii) Scrivere le equazioni parametriche e lequazione cartesiana della

retta parallela a ~u e passante per P0 = (7, 6).

(Soluzione: i) ~u e ~v sono paralleli e hanno verso opposto; ii) ~w1 =(1529, 6

29

), ~w2 =

( 15

29, 6

29

); iii) x = 7 2t, y = 6 5t, t R;

5x 2y + 47 = 0.)

26. i) Calcolare langolo formato dalle seguenti coppie di vettori:

~u1 = (1,2), ~v1 = (2, 1); ~u2 = (3,1), ~v2 = (3,2).

ii) Calcolare 4~u1 ~u2.iii) Scrivere le equazioni parametriche della retta ortogonale al vettore

~u1 e passante per il punto P0 = (1, 3).(Soluzione: 1 =

pi2, 2 = arccos

11130

;

50; retta r: x = 1 + 2t,y = 3 + t, t R.)




ii) Determinare le componenti del vettore ~w di modulo 3 parallelo ed

equiverso al vettore ~u.


retta parallela a ~u e passante per P0 = (7,1).

(Soluzione: ~u e ~v hanno stessa direzione e verso opposto;

~w =(

1217, 3

17

); x = 7 + 4t, y = 1 t, t R; x+ 4y 3 = 0.)

28. Dati i vettori ~u = (1, 3) e ~v = (15,5):



ii) determinare vers(~u);

iii) determinare le componenti del vettore ~w di modulo 2 parallelo ed

equiverso al vettore ~u.

iv) Scrivere le equazioni parametriche della retta perpendicolare a ~u

e passante per P0 = (2, 4).

(Soluzione: i) ~u e ~v sono ortogonali; ii) vers(~u) =(

110, 3

10

); iii)

~w =(

210, 6

10

); iv) x = 2 3t, y = 4 + t, t R.)




ii) Determinare le componenti dei vettori ~w1 e ~w2 di modulo 2 orto-

gonali al vettore ~u.


retta passante per P1 = (1,3) e P2 = (3, 2).

(Soluzione: ~u e ~v sono ortogonali;

~w1 =(

1029, 4

29

), ~w2 =

( 10

29, 4

29

); x = 1 4t, y = 3 + 5t, t R;

5x+ 4y + 7 = 0.)

30. i) Dati i vettori ~u = (4, 3) e ~v = (20,15) verificare se sono pa-ralleli o ortogonali e, in caso siano paralleli, stabilire se hanno lo

stesso orientamento o orientamento opposto;

ii) stabilire quale dei due vettori ha modulo maggiore e determinare

il rapporto dei loro moduli;

iii) calcolare langolo formato dai vettori ~u = (4, 3) e ~w = (1, 7);

iv) scrivere le equazioni parametriche della retta perpendicolare a ~w

passante per P0 = (6,7).(Soluzione: i) ~u e ~v sono paralleli e hanno verso opposto; ii) ~v ha

modulo maggiore e~v~u = 5; iii)

pi

4; iv) x = 6 7t, y = 7 + t,

t R.)31. Dati i vettori ~u = (5,1, 4) e ~v = (1, 1,1):

i) verificare se sono paralleli o ortogonali;

ii) determinare ~u ~v;iii) calcolare ~u ~v ;iv) Scrivere le equazioni parametriche della retta parallela al vettore

~u, passante per il punto P0 = (11, 2, 3).

(Soluzione: i) ~u e ~v sono ortogonali; ii) ~u ~v = (3, 9, 6); iii)~u ~v = 45; iv) x = 11 + 5t, y = 2 t, z = 3 + 4t, t R.)

32. i) Scrivere le equazioni parametriche della retta passante per P1 =

(1, 0,2) e P2 = (8, 1,2);ii) Scrivere lequazione del piano parallelo al piano xy e passante per

il punto P2 = (8, 1,2);iii) Dati i due piani pi1 e pi2 di equazioni cartesiane:

pi1 : 3x+ 5y z + 3 = 0

pi2 : 2x y + z + 11 = 0,verificare se sono paralleli o ortogonali.

(Soluzione: i) x = 1 + 7t, y = t, z = 2, t R; ii) z + 2 = 0; iii) pi1e pi2 sono ortogonali.)

33. Scrivere le equazioni parametriche della retta r di R3 ottenuta comeintersezione dei piani x 2y 2z = 0 e x+ y z = 0.(Soluzione: retta r: x = 4t, y = t, z = 3t, t R.)

34. Dati i vettori ~u = (1, 3, 2) e ~v = (2, 0, 1):i) verificare se sono paralleli o ortogonali;


iii) scrivere lequazione del piano ortogonale ad ~u e passante per il

punto P0 = (5, 4,1);iv) scrivere le equazioni parametriche della retta parallela a ~v passante

per P1 = (0, 1, 9).

(Soluzione: i) I vettori sono ortogonali; ii) vers(~u) =(1414, 314

14, 214

14

);

iii) x 3y 2z + 5 = 0; iv) x = 2t, y = 1, z = 9 + t, t R.)35. Dopo aver verificato che i tre punti A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 1) e C =

(1, 3, 3) non sono allineati, scrivere lequazione del piano passante per

essi.

(Soluzione: y z = 0.)

36. Dopo aver verificato che i tre punti A = (1,2, 0), B = (1, 1, 1) e C =(1, 0, 2) non sono allineati, scrivere lequazione del piano passante peressi.

(Soluzione: 2x+ y + z = 0.)

37. i) Scrivere lequazione del piano pi1 parallelo al piano zy e passante

per il punto P0 = (2,3,3);ii) Scrivere lequazione del piano pi2 ortogonale alla retta r di equazioni

cartesiane {3x + z 1 = 0x + y z = 0

e passante per lorigine delle coordinate.

(Soluzione: pi1 : x 2 = 0; pi2 : x 4y 3z = 0.)38. Dati i due piani pi1 e pi2 di equazioni cartesiane:

pi1 : x 2y +3z 3 = 0

pi2 : x+ 2y +z 5 = 0verificare:

i) se sono paralleli,

ii) se sono ortogonali.

Scrivere poi le equazioni parametriche della retta r, passante per lorigine

e ortogonale a pi1.

(Soluzione: Sono ortogonali; retta r: x = t, y = 2t, z = 3t, t R.)39. Data la retta r di equazioni cartesiane{

2x y + z = 0x + y 2z = 1

determinare lequazione del piano ortogonale ad r e passante per il

punto A = (1, 1, 1) .

(Soluzione: x+ 5y + 3z 9 = 0)

40. Dati i due vettori ~a = (2, 1, 3) e ~b = (6, 3, 9),

i) verificare se sono paralleli,

ii) calcolare vers(~a).

Determinare poi lequazione del piano pi passante per il punto P0 =

(4,1, 0) e ortogonale al vettore ~a.(Soluzione: Sono paralleli; vers(~a) = ( 2

14, 1

14, 3

14), equazione piano

pi : 2x y 3z 9 = 0.)41. i) Data la retta di equazioni cartesiane{

x+ y + 3z = 0

2x+ y z + 1 = 0,

scriverne le equazioni parametriche e dire se i punti P1 = (1, 1, 0)e P2 = (1, 0, 0) appartengono alla retta.

ii) Scrivere le equazioni parametriche della retta passante per P0 =

(3,4, 8) e ortogonale al piano pi : x 2y + 5z + 10 = 0.(Soluzione: i) retta: x = 1 + 4t, y = 1 7t, z = t, t R; P1appartiene alla retta; P2 non appartiene alla retta; ii) retta: x = 3 + t,

y = 4 2t, z = 8 + 5t, t R.)42. Dati i vettori ~u = (8, 7,1) e ~v = (1,1, 1):



iii) scrivere le equazioni parametriche della retta parallela a ~v passante

per P0 = (2, 1, 0).

iv) scrivere lequazione del piano ortogonale ad ~v e passante per il

punto P0 = (2, 1, 0);

(Soluzione: i) I vettori sono ortogonali; ii) vers(~u) =(

8114, 7

114, 1

114

);

iii) x = 2 + t, y = 1 t, z = t, t R; iv) x y + z 1 = 0.)

43. Dati i vettori ~u = (1, 5,2) e ~v = (4, 2, 3):


ii) determinare ~u ~v;iii) calcolare ~u ~v ;iv) Scrivere lequazione del piano passante per P = (1, 1, 0) e ortogo-

nale al vettore ~u.

(Soluzione: i) ~u e ~v sono ortogonali; ii) ~u ~v = (19, 5, 22); iii)~u ~v = 59; iv) x+ 5y 2z 6 = 0.)

44. Dati i due vettori ~a = (1, 1, 2) e ~b = (0, 2,1), verificare se sonoparalleli o se sono ortogonali.

Determinare poi:

vers(~a) e vers(~b) il prodotto vettoriale ~a~b.

(Soluzione: Sono ortogonali; ~a~b = (5,1,2) )45. Dati i vettori ~u = (2,1, 0) e ~v = (6, 3, 0):

i) verificare se sono paralleli;

ii) stabilire quale dei due ha modulo maggiore e determinare il rap-

porto dei loro moduli;

iii) stabilire se i due vettori hanno lo stesso orientamento o orienta-

mento opposto.

Scrivere poi le equazioni parametriche della retta parallela ad ~u e pas-

sante per P0 = (1, 0,3).(Soluzione: Sono paralleli; ~v ha modulo maggiore (~v

~u= 3); hanno

verso opposto; retta r: x = 1 + 2t, y = t, z = 3, t R.)

46. Dopo aver verificato che i tre punti A = (1, 1, 1), B = (0,2, 1) e C =(0, 4,2) non sono allineati, scrivere lequazione del piano passante peressi.

(Soluzione: 3x y 2z = 0.)47. i) Data la retta di equazioni cartesiane{

2x y + 4z = 0x+ y + 2z 3 = 0,

scriverne le equazioni parametriche e dire se il punto P0 = (3, 6, 0)

appartiene alla retta.

ii) Dati i due piani pi1 e pi2 di equazioni cartesiane:

pi1 : 3x y + 5z 11 = 0

pi2 : 12x + 4y 20z 2 = 0,verificare se sono paralleli o ortogonali.

(Soluzione: i) retta: x = 36t, y = 68t, z = t, t R; P0 appartienealla retta; ii) pi1 e pi2 sono paralleli.)

48. Riconoscere e disegnare le seguenti coniche:

i) 16x2 + 9y2 = 36;

ii) 4x2 81y2 = 9;

iii)x2

4 49y2 = 1;

iv)x2

36+ 4y2 = 1.

Calcolarne le coordinate dei vertici e, nel caso di iperboli, determinare

le equazioni degli asintoti.

(Soluzione:

i) Ellisse, Coordinate dei vertici V1,2 = (0,2), V3,4 =(3

2, 0);

ii) Iperbole, Coordinate dei vertici V1,2 = (0,3), Equazioni degli asin-toti y = 2x;

iii) Iperbole, Coordinate dei vertici V1,2 = (2, 0), Equazioni degliasintoti y = x

14;

iv) Ellisse, Coordinate dei vertici V1,2 = (6, 0), V3,4 =(0,1

2

).)

49. Riconoscere e disegnare le seguenti coniche:

i) x2 + 20y2 = 4;

ii) x2 100y2 = 4;iii) x2 4y2 = 16;iv) 49x2 + 16y2 = 49.

Calcolarne le coordinate dei vertici e, nel caso di iperboli, determinare

le equazioni degli asintoti.

(Soluzione:

i) Ellisse, Coordinate dei vertici V1,2 = (0,2), V3,4 =( 1

5, 0)

;

ii) Iperbole, Coordinate dei vertici V1,2 =(0,1

5

), Equazioni degli asin-

toti y = x10

;

iii) Iperbole, Coordinate dei vertici V1,2 = (4, 0), Equazioni degliasintoti y = x

2;

iv) Ellisse, Coordinate dei vertici V1,2 = (1, 0), V3,4 =(0,7

4

).)

50. Disegnare le seguenti parabole:

i) y = 9x2;ii) x = 12y2;

iii) y =x2

4.

Calcolarne la distanza focale, lequazione della retta direttrice, le coor-

dinate del fuoco e del vertice.

(Soluzione:

i) Distanza focale = 136

, Equazione retta direttrice y = 136

, Coordinate

del fuoco F =(0, 1

36

), Coordinate del vertice (0, 0);

ii) Distanza focale = 148

, Equazione retta direttrice x = 148

, Coordinate

del fuoco F =( 1

48, 0), Coordinate del vertice (0, 0);

iii) Distanza focale = 1, Equazione retta direttrice y = 1, Coordinatedel fuoco F = (0, 1), Coordinate del vertice (0, 0).)

51. Disegnare le seguenti parabole:

i) y = 7x2;

ii) x = y2

12;

iii) x = 6y2.

Calcolarne la distanza focale, lequazione della retta direttrice, le coor-

dinate del fuoco e del vertice.

(Soluzione:

i) Distanza focale = 128

, Equazione retta direttrice y = 128

, Coordinate

del fuoco F =(0, 1

28

), Coordinate del vertice (0, 0);

ii) Distanza focale = 3, Equazione retta direttrice x = 3, Coordinate

del fuoco F = (3, 0), Coordinate del vertice (0, 0);iii) Distanza focale = 1

24, Equazione retta direttrice x = 1

24, Coordi-

nate del fuoco F =(

124, 0), Coordinate del vertice (0, 0).)

52. Dire quale curva e` rappresentata dallequazione:

x2 + y2 2x 8 = 0.

(Soluzione: Circonferenza di centro (1, 0) e raggio 3.)

53. Dire quale curva e` rappresentata dallequazione:

x2 + y2 + 6x+ 16y + 71 = 0.

(Soluzione: Circonferenza di centro (3,8) e raggio 2.)

54. Riconoscere quali di queste curve e` una circonferenza ed in tal caso

determinarne il raggio e le coordinate del centro:

(i) x2 + y2 3xy + 8y 1 = 0,(ii) 3x2 + y2 + 2x 12y 5 = 0,(iii) x2 + y2 2x+ 8y + 8 = 0,(iv) x2 + y2 6y + 10 = 0,(v) x2 + y2 14y + 13 = 0.(Soluzione:

(i) Non e` una circonferenza, dato che compare il termine in xy.

(ii) Non e` una circonferenza, dato che x2 e y2 non hanno lo stesso

coefficiente.

(iii) Circonferenza di centro C = (1,4) e raggio 3.

(iv) Non e` una circonferenza, dato chea2

4+b2

4 c = 0 + 9 10 = 1 < 0.

(v) Circonferenza di centro C = (0, 7) e raggio 6.)

55. Riconoscere quali di queste curve e` una circonferenza ed in tal caso

determinarne il raggio e le coordinate del centro:

(i) x2 + y2 6x+ 4y + 16 = 0,(ii) x2 + y2 2x 8 = 0,(iii) x2 + 4y2 5x 5 = 0,(iv) x2 + y2 + 10xy 7x+ 8y + 12 = 0.(Soluzione:

(i) Non e` una circonferenza, dato chea2

4+b2

4 c = 9 + 4 16 = 3 < 0.

(ii) Circonferenza di centro C = (1, 0) e raggio 3.

(iii) Non e` una circonferenza, dato che x2 e y2 non hanno lo stesso

coefficiente.

(iv) Non e` una circonferenza, dato che compare il termine in xy.

56. Determinare e rappresentare in un unico piano cartesiano le curve di

livello della funzione

f(x, y) = x2 + 4y2

relativamente alle quote k = 0, k = 4 e k = 8.

Determinare il gradiente della funzione nel punto P = (0, 1).

(Soluzione: Per k = 0, punto (0, 0); per k = 4 ellisse di equazione

x2 + 4y2 = 4, equivalentemente scritta nella forma x2

4+ y2 = 1, con

vertici (2, 0) e (0,1) e fuochi sullasse delle x; per k = 8 ellisse diequazione x2+4y2 = 8, equivalentemente scritta nella forma x

2

8+ y

2

2= 1,

con vertici (22, 0) e (0,2) e fuochi sullasse delle x; f(0, 1) =(0, 8).)



f(x, y) = x2 8y2



(Soluzione: Per k = 0, rette x+ 2

2y = 0 e x22y = 0, equivalen-temente scritte nella forma y =

24x; per k = 4 iperbole di equazione

x2 8y2 = 4, equivalentemente scritta nella forma x24 2y2 = 1, dove

lasse delle x e` lasse trasversale, mentre lasse delle y e` lasse coniugato,

i cui vertici sono i punti (2, 0) e i cui asintoti sono le rette ottenuteprecedentemente al livello k = 0; per k = 8 iperbole di equazione

x2 8y2 = 8, equivalentemente scritta nella forma x28 y2 = 1, dove


i cui vertici sono i punti (22, 0) e i cui asintoti sono le rette ottenutecome curve di livello k = 0; f(0, 1) = (0,16).)



f(x, y) = x2 + 8y2


Determinare il gradiente della funzione nel punto P = (3,1).



4+ y

2

12

= 1, con

vertici (2, 0) e (0, 12) e fuochi sullasse delle x; per k = 8 ellisse di

equazione x2+8y2 = 8, equivalentemente scritta nella forma x2

8+y2 = 1,

con vertici (22, 0) e (0,1) e fuochi sullasse delle x; f(3,1) =(6,16).)



f(x, y) = x2 4y2relativamente alle quote k = 0, k = 4 e k = 8.Determinare il gradiente della funzione nel punto P = (1, 2).

(Soluzione: Per k = 0, rette x + 2y = 0 e x 2y = 0, equivalente-mente scritte nella forma y = 1

2x; per k = 4 iperbole di equazione

x24y2 = 4, equivalentemente scritta nella forma x24y2 = 1, dove

lasse delle y e` lasse trasversale, mentre lasse delle x e` lasse coniugato,

i cui vertici sono i punti (0,1) e i cui asintoti sono le rette ottenuteprecedentemente al livello k = 0; per k = 8 iperbole di equazionex2 4y2 = 8, equivalentemente scritta nella forma x2

8 y2

2= 1,

dove lasse delle y e` lasse trasversale, mentre lasse delle x e` lasse co-

niugato, i cui vertici sono i punti (0,2) e i cui asintoti sono le retteottenute come curve di livello k = 0; f(1, 2) = (2,16).)



f(x, y) = x2 + 5y2





5+ y2 = 1, con

vertici (5, 0) e (0,1) e fuochi sullasse delle x; per k = 10 el-lisse di equazione x2 + 5y2 = 10, equivalentemente scritta nella formax2

10+ y

2

2= 1, con vertici (10, 0) e (0,2) e fuochi sullasse delle x;

f(0, 1) = (0, 10).)



f(x, y) = x2 5y2



(Soluzione: Per k = 0, rette x +

5y = 0 e x 5y = 0, equiva-lentemente scritte nella forma y = 1

5x, ossia y =

55x; per k = 5

iperbole di equazione x25y2 = 5, equivalentemente scritta nella formax2

5 y2 = 1, dove lasse delle x e` lasse trasversale, mentre lasse delle

y e` lasse coniugato, i cui vertici sono i punti (5, 0) e i cui asintotisono le rette ottenute precedentemente al livello k = 0; per k = 10 iper-

bole di equazione x2 5y2 = 10, equivalentemente scritta nella formax2

10 y2

2= 1, dove lasse delle x e` lasse trasversale, mentre lasse delle

y e` lasse coniugato, i cui vertici sono i punti (10, 0) e i cui asintotisono le rette ottenute come curve di livello k = 0; f(5, 0) = (10, 0).)

62. Data la funzione

f(x, y) = 4x2 2y2

scrivere lequazione del piano tangente la superficie grafico di f nel

punto (1,1). Calcolare e tracciare poi:i) le curve di livello di f passanti rispettivamente per il punto P0 =

(1,1) e per il punto P1 = (1, 0);ii) il vettore f(1,1).(Soluzione: z = 8x+ 4y 2; i) la curva di livello di f passante per ilpunto P0 e` la curva di livello k = 2: iperbole di equazione 4x

22y2 = 2,equivalentemente scritta nella forma x

2

12

y2 = 1, dove lasse dellex e` lasse trasversale, mentre lasse delle y e` lasse coniugato, i cui

vertici sono i punti (22, 0) e i cui asintoti sono le rette

2x + y = 0

e

2x y = 0, ossia le rette y = 2x; la curva di livello di fpassante per il punto P1 e` la curva di livello k = 4: iperbole di equazione

4x2 2y2 = 4, equivalentemente scritta nella forma x2 y22

= 1, dove


i cui vertici sono i punti (1, 0) e i cui asintoti sono ancora le rettey = 2x; ii) f(1,1) = (8, 4).)


f(x, y) = 3x2 + 6y2,

scrivere lequazione del piano tangente la superficie grafico di f nel

punto (1,1). Calcolare inoltre e tracciare:i) le curve di livello di f passanti rispettivamente per il punto P0 =

(1,1) e per il punto P1 = (1, 0);ii) il vettore f(1,1).(Soluzione: z = 6x 12y 9; i) la curva di livello di f passante per ilpunto P0 e` la curva di livello k = 9: ellisse di equazione 3x

2 + 6y2 = 9,

equivalentemente scritta nella forma x2

3+ y

2

32

= 1, con vertici (3, 0) e(0,

32

)e fuochi sullasse delle x; la curva di livello di f passante per

il punto P1 e` la curva di livello k = 3: ellisse di equazione 3x2+6y2 = 3,

equivalentemente scritta nella forma x2 + y2

12

= 1, con vertici (1, 0) e(0,

12

)e fuochi sullasse delle x; ii) f(1,1) = (6,12).)


f(x, y) = 6x2 + 3y2,scrivere lequazione del piano tangente la superficie grafico di f nel

punto (1, 1). Calcolare inoltre e tracciare:i) le curve di livello di f passanti rispettivamente per il punto P0 =

(1, 1) e per il punto P1 = (0, 1);ii) il vettore f(1, 1).(Soluzione: z = 12x + 6y + 3; i) la curva di livello di f passante

per il punto P0 e` la curva di livello k = 3: iperbole di equazione6x2 + 3y2 = 3, equivalentemente scritta nella forma 6x2 3y2 = 3,ossia x

2

12

y2 = 1, dove lasse delle x e` lasse trasversale, mentre lassedelle y e` lasse coniugato, i cui vertici sono i punti (

22, 0) e i cui

asintoti sono le rette y = 2x; la curva di livello di f passante

per il punto P1 e` la curva di livello k = 3: iperbole di equazione

6x2 + 3y2 = 3, equivalentemente scritta nella forma 6x2 3y2 = 3,ossia x

2

12

y2 = 1, dove lasse delle y e` lasse trasversale, mentre lassedelle x e` lasse coniugato, i cui vertici sono i punti (0,1) e i cui asintotisono ancora le rette y = 2x; ii) f(1, 1) = (12, 6).)

65. Calcolare gli eventuali punti di massimo o di minimo relativo della

funzione

f(x, y) = y4 xy + 2x2.

(Soluzione:

(1

16,1

4

)e

( 1

16,1

4

)punti di minimo relativo, (0, 0)

punto di sella.)

66. Determinare gli eventuali punti di massimo o di minimo relativo della

funzione

f(x, y) = 3x2 + 6y2 + 6x2y.

(Soluzione: (0, 0) punto di minimo relativo; (1,12) e (1,1

2) punti

di sella.)


funzione

f(x, y) = x2 + y2 + xy2 + 6.

(Soluzione: (0, 0) punto di minimo relativo; (1,2) e (1,2)punti di sella.)


funzione

f(x, y) = 3x2 + y2 x3y.

(Soluzione: (0, 0) punto di minimo relativo; (

2,

2) e (2,2)punti di sella.)


funzione

f(x, y) = x3 6xy + y3.

(Soluzione: (2, 2) punto di minimo relativo; (0, 0) punto di sella.)


funzione

f(x, y) = 2x3 + y3 3x2 3y.

(Soluzione: (1, 1) punto di minimo relativo; (0,1) punto di massimorelativo; (0, 1) e (1,1) punti di sella.)


funzione

f(x, y) = x3 + y2 6xy + 6x+ 3y 2.

(Soluzione:(5, 27

2

)punto di minimo relativo;

(1, 3

2

)punto di sella.)

Esercizi Di Preparazione prova matematica 1

Documents

Transcript of Esercizi Di Preparazione prova matematica 1