Esercizi di elettrostatica

7/23/2019 Esercizi di elettrostatica

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ESERCIZI DI ELETTROMAGNETISMO

A. LavagnoDipartimento di Scienza Applicata e Tecnologia (DISAT), Politecnico di Torino

I. ELETTROSTATICA

1. Determinare lintensita del campo elettrico E e il potenziale V generato da tre cariche puntiformi q1 = q2 =q3 =qdisposte ai vertici di un triangolo equilatero di lato A, nei punti delle bisettrici del triangolo. Calcolare

successivamente Ee V nel baricentro del triangolo.

1 q2

q3

P

E

L

R

A

x

y

FIG. 1:

In P la somma vettoriale dei campi generati dalle tre cariche q = q1 = q2 = q3 ha ununica componente non

nulla lungo lasse y, in quanto le componenti dei campi E1 e E2 lungo lasse x si elidono a vicenda, per cuipotremo scrivere il campo elettrico totale nel seguente modo

E= E1+ E2+ E3= Eu y . (1)

Detta L la distanza del punto P dalla carica q3, il modulo del campo elettrico sara dato dalla somma dellecomponenti lungo lassey :

E= q

40

1

L2 +

2cos

R2

, (2)

dove

R =

A2

2+

L

3

2 A

2,

cos = L

3

2 A

A2

2+

L 3

2 A2 ,

per cui, potremo scrivere il modulo del campo elettrico come segue


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2

E= q

40

1

L2+

2(L 3

2 A)

A2

2+

L 3

2 A23/2

. (3)

Il potenziale elettrostatico e una quantita scalare, di conseguenza si puo scrivere come

V =V1+ V2+ V3= q

40

1

L+

2A2

2+

L 3

2 A2 . (4)

Nel baricentroL = A/

3 e la somma vettoriale dei tre campi risulta essere uguale a zero: E= E1+ E2+E3= 0ed il potenziale elettrostatico diventa

V = q

40

3

3

A . (5)

2. Due sferette di massa m sono sospese per mezzo di fili inestensibili di lunghezza l e di massa trascurabile.Ciascuna sferetta ha una carica q. Determinare il modulo della carica sapendo che il sistema risulta essere inequilibrio con un angolo rispetto alla verticale.

m mq q

l

La condizione di equilibrio statico richiede luguaglianza delle componenti delle forze presenti (forza peso e forzaelettrostatica) nella direzione del moto. Di conseguenza, si dovra avere:

mg sin = 1

40

q2

(2l sin )2cos , (6)

percui

q= 2l sin

40mg tan . (7)


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3

3. Il pendolo rappresentato in figura e costituito da un filo inestensibile di massa trascurabile e lunghezzal = 0.9m al cui estremo e attaccata una sferetta di materiale conduttore di massam = 5 104 kg e carica q= 107C.Si fa oscillare il pendolo in presenza di un campo elettrico Ediretto lungo la verticale in due modi:

(a) Edallalto verso il basso misurando 50 oscillazioni in 86 s.

(b) Edal basso verso lalto misurando 50 oscillazioni in 107 s.

Calcolare g ed E.

m, q

l

E

r

1

m, q

l

E

r

2

Nel primo caso (figura 1), quando il campo E e diretto dallalto verso il basso (verso concorde con g ), abbiamo

ml2d2

dt2 = (mg+ qE)l sin . (8)

Per piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio possiamo effettuare lapprossimazione: sin

, per

cui la precedente equazione puo essere riscritta come

d2

dt2 +

mg+ qE

ml = 0 , (9)

di conseguenza, la frequenza angolare di oscillazione risultera essere

1=

mg+ qE

ml , (10)

ed il periodo di oscillazione

T1= 2

1= 2

ml

mg+ qE 86

50s . (11)

Lo stesso ragionamento si puo ripetere nel secondo caso (figura 2) quando il campo E e diretto dal basso versolalto, tenendo conto che ora Eha verso opposto a g , di conseguenza il periodo di oscillazione questa volta sara

T2= 2

2= 2

ml

mg qE =107

50 s . (12)

Mettendo a sistema le due equazioni (11) e (12),

mg+ qE=42

T21ml ,

mg qE=42

T22ml ,


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4

troviamo le due incognite del problema

g= 22l

1

T21+

1

T22

= 9.8 m/s2 , (13)

| E| =22ml

q

1

T21 1

T22

= 1.06 104 Vm

. (14)

4. In una molecola dacqua (H2O) i due atomi di idrogeno formano un angolo di circa 105 con latomo di ossigeno.

Inoltre i dieci elettroni della molecola tendono a rimanere piu vicini al nucleo di ossigeno che ai nuclei di idrogeno,dando luogo ad un momento di dipolo elettrico p diretto lungo lasse di simmetria della molecola. Pertanto, sela molecola dacqua e posta in un campo elettrico esterno, si comporta come un generico dipolo elettrico.

Supponendo che una molecola dacqua allo stato di vapore abbia un momento di dipolo elettrico p=6.2 1030C m, determinare: i) la distanza media tra i centri delle cariche positive e negative; ii) il momento meccanicomassimo esercitato sulla molecola da un campo esterno di intensitaEext= 1.0 104 N/C; iii) il lavoro effettuatoda un agente esterno W

aper ruotare la molecola da un capo allaltro (dalla posizione di allineamento = 0 alla

posizione = ) con il precedente campo esterno.

i) Essendo la molecola neutra, siamo in presenza di un sistema con 10 elettroni e 10 protoni ( Z= 1 per lidrogenoe Z= 8 per lossigeno). Detta ala distanza media tra i centri delle cariche positive e negative, abbiamo

a= |p |10 e

= 3.9 1012 m , (15)

dove si e assunto e = 1.6 1019 C.

ii) Il momento meccanico M= p Eexte massimo quando i due vettori sono ortogonali (= /2), di conseguenza

Mmax= p Eext sin |=2

= 6.2 1026 N m (16)

iii) Essendo in presenza di una forza conservativa, il lavoro corrisponde alla variazione di energia potenziale dellamolecola dovuta alla rotazione. Quando il dipolo ruota da una posizione angolare iniziale i ad una posizioneangolare finale f, il lavoro W svolto dal campo elettrico sul dipolo e

W = U= [U(i) U(f)] , (17)

con U() = p Eext cos = p Eext.Se la rotazione e provocata da un momento meccanico applicato dallesterno, il lavoro svolto dallesterno sulsistema diventa:

Wa= U(f) U(i) = (p Eext cos ) (p Eext cos0) = 2p Eext= 1.2 1025 J . (18)


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5

5. Una sottile sbarretta di materiale isolante di lunghezza L ha una densita di carica lineare non uniforme pari a

= x (costante positiva nota). Calcolare il campo elettrico Eed il potenziale elettrostatico V in un puntoA ad una distanza d dallestremo sinistro della sbarretta.

Soluzione:

E=

40

L0

x

(d + x)2dx=

40

ln

d + L

d

+

d

d + L 1

(19)

6. Una sottile sbarretta di materiale isolante di lunghezzaL, con densita di carica lineare uniforme , viene piegataa forma di semicerchio di raggio R come in figura. Sapendo che la sbarretta ha una carica totale Q < 0,

determinare lintensita del campo elettrico Enel centro del semicerchio O .

Soluzione:

Essendo la caricaQdistribuita uniformemente sulla semicirconferenza di raggioR, abbiamo le seguenti relazioni:L= R, dq= ds = rd, Q = L = R .Un elemento infinitesimo ds della sbarretta con carica dqgenera nel punto O un campo elettrico dEin modulopari a

dE= 1

40

dq

R2. (20)

Essendo il punto O nel centro della semicirconferza, per considerazioni di simmetria, il vettore campo elettricorisultante ha ununica componente non nulla lungo lasse verticale y (sia angolo formato dal generico vettore

d Econ lasse y ):

Ex = 0 , Ey =

dEcos =

1

40

R

/2/2

cos d= 2 1

40

R =

Q

20L2 , E= Eyu y. (21)


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6

7. Si consideri una superficie sferica di raggio R = 3 m con una distribuzione superficiale uniforme di carica = 4nC/m2. Una carica puntiforme q = 0.1 C e posta nel punto y = 2 m. Determinare il campo elettrico neiseguenti due punti:

(a) x1= 2 m;

(b) x2= 4 m.

+

++

+

+

+

+

+++++

++

+

+

+

++

+ +

+

R

y q

x

y

1x

2x

1. Nel punto x1= 2 m la distribuzione superficiale di cariche non contribuisce essendo x1< R. Per cui

E1= 1

40

q

r21= 112 N/C , (22)

essendor1=

x21+ y2. Il vettore campo elettrico forma un angolo di /4 con lasseX.

2) Nel punto x2> R bisogna considerare la somma vettoriale del campo E2 generato dalla carica puntiforme q

e il campo Es corrispondente alla distribuzione sferica di cariche. Per quanto riguarda il campo elettrico Es, ilteorema di Gauss ci permette di scrivere

Es = Esu x = 1

40

Q

x22u x =

1

40

4 R2

x22u x = 254 N/Cu x . (23)

La carica puntiforme qgenera invece un campo elettrico di modulo

E2= 1

40

q

r22= 45 N/C , (24)

dover2= x22+ y2. Questo campo formera un angolo con lasseX, per cui potremo scrivereE2x =E2 cos , dove cos =

x2r2

,

E2y = E2 sin , dove sin = y

r2,

il segno meno nellultima equazione sta ad indicare che E2y e orientato con verso opposto allorientazione dellasse

Y scelto (vedi figura). In definitiva, il modulo del campo elettrico risultante E=Exu x + Ey uy avra componenti

Ex = Es+ E2x ,

Ey =E2y , (25)


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7

e modulo pari a

E=

E2x+ E2y = 295 N/C . (26)

Infine il vettore E formera un angolo con lasse Xpari a

tan = EyEx

. (27)

8. Una sfera di raggioR1 contiene delle cariche positive uniformemente distribuite con densita volumica eccettoche in una cavita sferica di raggio R2 che risulta essere priva di cariche. Sapendo che i centri delle due sferedistano a, determinare lintensita del campo elettrico e il potenziale in un punto P situato sulla congiungentedei due centri e ad una distanza r > R1.

P

a

r

1R

2R

Il campo elettrico e il potenziale nel punto P saranno dati da E e Vgenerati dallintera sfera carica di raggioR1 (come se fosse completamente carica) e sottraendo il contributo della sfera di raggio R2 (non carica).

Sfruttando il teorema di Gauss, essendo il punto Pesterno alla sfera di raggio R1, il campo elettrico generatodalla distribuzione sferica di cariche e equivalente al campo elettrico generato da una singola carica puntiforme

concentrata nellorigine della sfera. Di conseguenza il campo elettrico E1 della sfera di raggio R1 (comprensivodel contributo della sfera di raggio R2) sara

E1(P) = 1

40

43

R31r2

u r =

3 0

R31r2

u r, (28)

mentre il corrispondente potenziale elettrostatico

V1(P) = 1

40

43

R31r

=

3 0

R31r

. (29)

Analogamente, per quanto riguarda la sfera di raggio R2 (se fosse carica) il corrispondente campo elettricosarebbe

E2(P) = 1

40

43

R32(r a)2 u r =

3 0

R32(r a)2 u r, (30)


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8

e il potenziale elettrostatico

V2(P) = 1

40

43

R32r a =

3 0

R32r a. (31)

In definita avremo che lintensita del campo elettrico nel punto P risulta essere

E(P) = E1(P) E2(P) = 3 0

R31r2 R

32

(r a)2u r, (32)

e il potenziale elettrostatico

V(P) =V1(P) V2(P) = 3 0

R31r R

32

r a

. (33)

9. Un circuito RCviene scaricato chiudendo un interruttore al tempo t0 = 0. La differenza di potenziale ai capidel condensatore e in quellistante V0=100 V e si riduce a V1=1 V dopo un tempo t1=10 s. Calcolare:

i) la costante di tempo del circuito; ii) il valore della differenza di potenziale V2 dopo t2=20 s.

Soluzione:

i) Durante il processo di scarica del condensator, la differenza di potenziale ai capi del condensatore e pari a

VC(t) =V0 exp(

t/) , =RC . (34)

Di conseguenza,

V1V0

= exp(t1/) =t1/ ln(V0/V1) = 2.17 s . (35)

ii)

VC(t2) V2= V0 exp(t2/) 0.01 V . (36)


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10. Determinare la capacita di un condensatore costituito da due superfici sferiche di raggi a e b con carica|Q|uniformemente distribuita sulle due superfici.

a

b

+

+

+

+

+

+

+ +

+

+

+

+

++

_

__ _

_

_

_

_

_

_

___

_

_

_

_

_

_

Q

Q

Essendo la capacita di un condensatore definita come il rapporto

C= Q

V , (37)

doveQ rappresenta il valore assoluto della carica distribuita su ciascuna delle due armature e Vla differenza dipotenziale tra le due armature, dobbiamo inizialmente determinare lintensita del campo elettrico E(r) in ognipuntor intermedio tra le due armature (a < r < b). Tale campo elettrico corrispondera al campo generato dallasuperficie sferica interna di raggio a in quanto, per considerazioni di simmetria, la superficie sferica esterna diraggio b non genera campi elettrici per r < b. Di conseguenza, applicando il teorema di Gauss, il modulo delcampo elettrico tra le armature del condensatore e dato dalla seguente espressione

E=

1

40

Q

r2 u r, a < r < b (38)

equivalente al campo elettrico generato da ununica carica puntiforme Q concentrata nellorigine della sfera diraggioa. La differenza di potenziale tra le due armature sara quindi ottenuta nel seguente modo

V =

+

E dr = 1

40Q

1

a 1

b

, (39)

e, utilizzando lEq.(37), la capacita del condensatore sferico sara

C= 4 0

a b

b a. (40)


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11. Determinare la capacita di un condensatore costituito da due superfici cilindriche coassiali di raggi a e b,lunghezzaL e carica|Q| uniformemente distribuita sulle due superfici.

L

+ + + +

++ +

+

+

+

+

++ + +

+

+

+

__ _ _

_

_

_

_

______

_

_

_

_

_

a

b

Q

Q

Analogamente allesercizio precedente, iniziamo con la determinazione dellintensita del campo elettrico nella

regione intermedia tra le armature del condensatore. In tale regione il campo elettrico e determinato solamentedalla distribuzione superficiale di cariche sul cilindro di raggioa. Applicando il teorema di Gauss

E u n dA= Q

0, (41)

e assumendo per A una superficie cilindrica concentrica al cilindro di raggio a e raggio r (con a < r < b),otteniamo

E= Q

2 0 L ru r, a < r < b (42)

doveL e la lunghezza del condensatore.

La differenza di potenziale tra le armature del condensatore sara allora

V = Q

2 0 L

ba

dr

r =

Q

2 0 L log

b

a

, (43)

e la corrispondente capacita del condensatore cilindrico sara pari a

C= Q

V = 2 0

L

log ba. (44)

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