ISTITUTO TECNICO STATALE COMMERCIALE E PER GEOMETRI

“ A. MARTINI ” Castelfranco Veneto (TV)

IV A mercurio Docente: Daniele De Pieri

24 ottobre 2008

Esercizi di complemento della trigonometria

1) Risolvi il seguente problema (Problema di Eratostene)

Eratostene, bibliotecario di Alessandria intorno al 240 aC, sapeva che il giorno del Solstizio a Siene, 795 Km a

Sud di Alessandria, il sole di mezzogiorno culminava esattamente allo Zenith: i raggi solari erano perpendicolari

alla superficie della terra (lo si vedeva dal fondo illuminato dei pozzi).

Ad Alessandria invece, al Solstizio, un’asta (gnomone) di 1 metro (nella figura il segmento AB) produceva a

mezzogiorno un’ombra di 12 centimetri e mezzo.

Dato che il Sole è molto distante dalla Terra (i raggi del Sole possono dirsi paralleli), determina con questi dati,

come fece Eratostene, il raggio e la circonferenza terrestri.

Quella di Eratostene è stata la prima misura scientifica delle dimensioni della terra. Con i dati che risultano dal

testo del problema si ottiene una circonferenza di 40168 Km e un raggio di 6393 Km

(i dati reali sono: circonferenza media terrestre = 40041 Km, raggio medio terrestre = 6373 Km)

2) Determinare le coordinate cartesiane di un punto le cui coordinate polari sono: ( )6, 6π 6r = , 6θ π=

R. ( )3 3 ,3

3) Determina le coordinate polari di un punto le cui coordinate cartesiane sono: ( )5, 5− R. ( )5 2, 7 4π

4) Determina le coordinate polari di un punto le cui coordinate cartesiane sono: ( )4, 3− R. ( )5, 143 8'°

Risolvi le disequazioni:

5) ( )2

3 tan 10

sin cos 1

x

x x

−>

+ : 6 2, 7 6, 3 2 2S x x xπ π π π π π< < < < < < a meno della periodicità

6) 2sin 1 1x − > S: ( ) ( )2 1 1 2k x kπ π+ < < +

7) 2 2cos sin 2 3cosx x x− + ≥ S: 3 5 3, 0, 2x x xπ π π≤ ≤ = = a meno della periodicità

8) Scrivere l’equazione di una parabola con asse parallelo all’asse y, passante per il punto ( )3, 0B ed avente il

vertice nel punto ( )2, 1V − . R. 2 4 3y x x= − +

9) Determinare l’equazione della retta passante per il vertice della parabola descritta nell’esercizio precedente e

inclinata di 60° rispetto al semiasse positivo delle ascisse. Determinare l’ulteriore intersezione Q con la parabola.

R. ( )2 3, 2Q +