ESERCIZI DA ESAMI (1996-2003)

Compressibilità edometrica e consolidazione dei terreni

Esercizio 1Una fondazione rettangolare flessibile di dimensioni B x L trasmette una pressione verticale uniforme di intensità p alla profondità D dal piano campagna.Il terreno di fondazione è costituito, dall'alto verso il basso, da uno strato di sabbia fine di spessoreH1, da uno strato di argilla di spessore H2, quindi da sabbia e ghiaia fino a grande profondità.La falda freatica è alla profondità Zw da piano campagna. Il terreno è saturo anche sopra falda.La sabbia ha un indice dei vuoti medio e1, e gravità specifica dei costituenti solidi Gs,1.L'argilla ha gravità specifica dei costituenti solidi Gs,2, indice di compressione Cc e indice di ricompressione Cr.Stimare il cedimento di consolidazione edometrica dello strato di argilla in corrispondenza del centro della fondazione, nei casi in cui:a) l'argilla sia normalmente consolidata (OCR = 1) ed abbia un contenuto in acqua medio wa. b) l'argilla sia debolmente sovraconsolidata (OCR = 1.5 )c) l'argilla sia fortemente sovraconsolidata (OCR = 5 )Dati:B = 10 m H1 = 10 mL = 20 m e1 = 0.76D = 4 m Gs,1 = 2.65p = 200 kPa H2 = 2.5 mZw = 3 m Gs,2 = 2.7γw = 9.8 kN/m3 Cc = 0.300

Cr = 0.040wa = 43 %

Soluzione:Il peso di volume saturo della sabbia del primo strato è:γ1,sat = γw (Gs,1 + e1) / (1 + e1) = 18.99 kN/m3

La tensione litostatica verticale efficace alla profondità D è:σ'v0,D = γ1,sat Zw + (γ1,sat - γw) (D - Zw) = 66.15 kPaLa tensione verticale netta trasmessa dalla fondazione alla profondità D è:∆p = p - σ'v0,D = 133.85 kPaNel caso a) di argilla N.C. l'indice dei vuoti medio dell'argilla è:ea = (wa / 100) Gs,2 = 1.161ed il peso di volume saturo dell'argilla è:γ2a,sat = γw (Gs,2 + ea) / (1 + ea) = 17.51 kN/m3

La profondità del punto medio dello strato di argilla dal piano campagna è:Za = H1 + H2 / 2 = 11.25 mLa tensione litostatica verticale efficace alla profondità Za è:σ'v0,a = γ1,sat Zw + (γ1,sat - γw) (H1 - Zw) + (γ2a,sat - γw) H2 / 2 = 130.91 kPaL'incremento di tensione verticale, alla profondità del punto medio dello strato di argilla in corrispondenza del centro dell'area caricata, prodotto dalla pressione trasmessa dalla fondazione, si ottiene, nell'ipotesi di semispazio elastico omogeneo e isotropo, con l'equazione:∆σ'v,a = (2∆p/π) [arctan(ab/zR3) + (abz/R3) (1/R1

2 + 1/R22)]

in cui:

a = B / 2 = 5 m R1 = (a2 + z2 )0,5 = 8.81 mb = L / 2 = 10 m R2 = (b2 + z2 )0,5 = 12.35 mz = Za - D = 7.25 m R3 = (a2 + b2 + z2 )0,5 = 13.33 m∆σ'v,a = 85.78 kPaLa riduzione dell'indice dei vuoti per compressione edometrica dello strato di argilla N.C. è:∆ea = Cc log[(σ'v0,a + ∆σ'v,a) / σ'v0,a] = 0.066Il cedimento di consolidazione edometrica dello strato di argilla in corrispondenza del centro della fondazione, nei caso a) di terreno normalmente consolidato (OCR = 1) vale: ∆H2,a = H2 ∆ea / (1 + ea) = 7.60 cmNel caso b) di argilla debolmente sovraconsolidata con OCR = 1.5la pressione di consolidazione è:σ'c,b = OCR σ'v0,a = 196.37 kPal'indice dei vuoti in corrispondenza della pressione di consolidazione è:ec,b = ea - Cc log(σ'c,b / σ'v0,a) = 1.108e l'indice dei vuoti medio iniziale è:eb = ec,b + Cr log(σ'c,b / σ'v0,a) = 1.115N.B. In realtà si è commesso un piccolo errore di approssimazione, poiché all'indice dei vuoti e b

corrisponde un peso di volume saturo dell'argilla: γ 2b,sat = γ w (G s,2 + e b ) / (1 + e b ) = 17.68 kN/m 3

e quindi la tensione litostatica verticale efficace, alla profondità Z a è:σ ' v0,b = γ 1,sat Z w + ( γ 1,sat - γ w ) (H 1 - Z w ) + ( γ 2b,sat - γ w ) H 2 / 2 = 131.12 kPa lievemente maggiore di σ ' v0,a = 130.91 kPaLa riduzione dell'indice dei vuoti per compressione edometrica dello strato di argilla debolmentesovraconsolidato OCR = 1.5 è∆eb = (eb - ec,b) + Cc log[(σ'v0,b + ∆σ'v,a) / σ'c,b] = 0.020Il cedimento di consolidazione edometrica dello strato di argilla in corrispondenza del centro della fondazione, nei caso b) di terreno debolmente sovraconsolidato (OCR = 1,5) vale: ∆H2,b = H2 ∆eb / (1 + eb) = 2.35 cmNel caso c) di argilla fortemente sovraconsolidata con OCR = 5la pressione di consolidazione è:σ'c,c = OCR σ'v0,a = 654.56 kPal'indice dei vuoti in corrispondenza della pressione di consolidazione è:ec,c = ea - Cc log(σ'c,c / σ'v0,a) = 0.951e l'indice dei vuoti medio iniziale è:ec = ec,c + Cr log(σ'c,c / σ'v0,a) = 0.979N.B. In questo caso l'errore di approssimazione è un po’ maggiore. Infatti all'indice dei vuoti e c

corrisponde un peso di volume saturo dell'argilla: γ 2c,sat = γ w (G s,2 + e c ) / (1 + e c ) = 18.22 kN/m 3

e quindi la tensione litostatica verticale efficace, alla profondità Z a è:σ ' v0,c = γ 1,sat Z w + ( γ 1,sat - γ w ) (H 1 - Z w ) + ( γ 2c,sat - γ w ) H 2 / 2 = 131.80 kPa poco maggiore di σ ' v0,a = 130.91 kPaLa riduzione dell'indice dei vuoti per compressione edometrica dello strato di argilla fortementesovraconsolidato OCR = 5 è∆ec = Cr log[(σ'v0,c + ∆σ'v,a) / σ'v0,c] = 0.009Il cedimento di consolidazione edometrica dello strato di argilla in corrispondenza del centro della fondazione, nei caso c) di terreno fortemente sovraconsolidato (OCR = 5) vale: ∆H2,c = H2 ∆ec / (1 + ec) = 1.11 cm

grafico edometrico:

σ'v (kPa) elinea NC: 130.91 1.161

654.56 0.951linea OCR = 1,5 130.91 1.115

196.37 1.108linea OCR = 5 130.91 0.979

654.56 0.951

punti σ'v (kPa) e1 130.91 1.1612 216.69 1.1613 216.69 1.1154 130.91 1.1155 196.37 1.1086 216.69 1.1087 216.69 1.1158 216.69 1.0959 216.69 0.97910 130.91 0.97911 216.69 0.97912 216.69 0.971

Esercizio 2Con riferimento alle condizioni stratigrafiche e geotecniche nel seguito descritte stimare il cedimento di compressione edometrica, il cedimento per compressione secondaria al tempo t eil cedimento totale al tempo t dello strato di argilla.

Dati:q = 50 kPazw = 2.5 mHS = 7 mHA = 5 mγw = 9.81 kN/m3

t = 10 anniSabbiasopra falda γ = 16.5 kN/m3

sotto falda γsat = 18.81 kN/m3

Argillaγsat = 19.24 kN/m3

e0 = 0.9wL = 50 %σ'p = 125 kPaCs = Cc / 6t100 = 3.5 anniCα = 0.0118

Soluzione:a metà dello strato di argilla:σ'v0 = γ zw + (γsat, sabbia - γw) (HS - zw) + (γsat, arg. - γw) HA / 2 = 105.3 kPaOCR = σ'p / σ'v0 = 1.19si stima l'indice di compressione con la correlazione di Terzaghi e Peck (1967):Cc = 0,009 (wL - 10) = 0.36

0.9

1.0

1.1

1.2

100 1000

σ'v (kPa)e

Sabbia

Sabbia

Argilla

HS

HA

zw

q

Cs = Cc / 6 = 0.06cedimento di compressione edometrica:∆Hed = HA /(1 + e0) (Cs log(σ'p / σ'c0) + Cc log [(σ'v0 + q) / σ'p]) = 10.1 cmcedimento di compressione secondaria:∆Hs = HA Cα log(t / t100) = 2.7 cmcedimento totale:∆H = ∆Hed + ∆Hs = 12.8 cm

Esercizio 3Sono eseguite prove edometriche su due provini di argilla, A e B. L'indice dei vuoti dell'argilla A si riduce da 0.572 a 0.505 per un incremento di pressione da 120 kPa a 180 kPa. L'indice dei vuoti dell'argilla B si riduce da 0.612 a 0.597 per lo stesso incremento dipressione. Lo spessore del provino A è 1.5 volte quello del provino B. Ciononostante il tempo neces-sario per ottenere il 50% della consolidazione è 3 volte maggiore per il provino B che per il provino A.Quale è il rapporto fra i coefficienti di permeabilità dei provini A e B?Dati:

A Be0 = 0.572 0.612e1 = 0.505 0.597σ'0 (kPa) = 120 120σ'1 (kPa) = 180 180HA = 1.5 HB

t50(A) = 0.3333333 t50(B)Soluzione:av = ∆e/∆σ' = 1.12E-03 2.50E-04 m2/kNmv = av/(1+e0) = 7.10E-04 1.55E-04 m2/kNM = 1/mv = 1408 6448 kPacv(A) = (t50(B)/t50(A)) (HA/HB)2 cv(B) = 6.75 cv(B)k = cv mv γw

kA/kB = (cv(A)/cv(B)) (mv(A)/mv(B)) = 31

Esercizio 4Durante la prova edometrica un campione di argilla satura ha subito una riduzione di altezza da

19.913 mm a 19.720 mm a causa di un incremento della pressione verticale da 150 kPa a 300 kPa. Determinare gli indici dei vuoti corrispondenti alle due pres-

sioni, essendo: γs = 26.68 kN/m3 H0 = 20 mmγd = 13.58 kN/m3

Dati:H1 (mm) = 19.913 σ'v1 = 150 kPa γs = 26.68 kN/m3

H2 (mm) = 19.72 σ'v2 = 300 kPa γd = 13.58 kN/m3

H0 (mm) = 20Soluzione:e0 = 0.965 e1 = 0.956 e2 = 0.937

Esercizio 5Un rilevato a sezione trapezia, di peso di volume γ(ril.) = 20 kN/m3, ha la seguentegeometria: base maggiore 2a = 24 m

base minore 2a' = 16 maltezza h = 2 m

ed è fondato su uno strato di argilla omogenea satura N.C. avente le seguenti caratteristiche:

H = 14 m (a profondità maggiori il terreno è pressoché incompressibile)γ = 19 kN/m3

e0 = 0,8 - 0.01 z(m)Cc = 0.332 (valore medio di calcolo)cv = 3.40E-07 m2/s (valore medio di calcolo)la falda freatica è alla quota del p.c.Calcolare: 1) il cedimento edometrico in corrispondenza della mezzeria (suddividere in 10 sottostrati)2) i tempi necessari affinché si realizzino il 20%, il 50% e il 70% del cedimento edometrico calcolato.Soluzionepressione trasmessa dal rilevato in superficie: p = γ(ril.) h = 40 kPaspessore del sottostrato: ∆z = H / 10 = 1.4 mpressione litostatica verticale efficace: σ'v = (γ - γw) zincremento di pressione verticale in asse: ∆σ'v = 2p / [(a - a') π] [a arctan(a/z) - a' arctan(a'/z)]

s-strato i zi (m) e0, i σ'v, i (kPa) ∆σ'v, i (kPa) ∆Hi (cm)1 0.7 0.793 6.4 39.99 22.252 2.1 0.779 19.3 39.84 12.703 3.5 0.765 32.2 39.32 9.134 4.9 0.751 45.0 38.37 7.105 6.3 0.737 57.9 37.04 5.756 7.7 0.723 70.8 35.44 4.767 9.1 0.709 83.7 33.71 4.008 10.5 0.695 96.5 31.93 3.409 11.9 0.681 109.4 30.18 2.9310 13.3 0.667 122.3 28.50 2.54

∆H = 74.55 cmaltezza di drenaggio: Hdr = H/2 = 7 mtempo di consolidazione: t = Tv Hdr

2 / cv

Um (%) Tv t (sec) t (gg) t (anni)20 0.0314 4.53E+06 52 0.14350 0.196 2.82E+07 327 0.89670 0.403 5.81E+07 672 1.842

Esercizio 6Sono eseguite prove edometriche su due provini di argilla, A e B. L'indice dei vuoti dell'argilla A si riduce da e0 = 0.572 a e1 = 0.505per un incremento di pressione da σ'0 = 120 a σ'1 = 180 kPa.L'indice dei vuoti dell'argilla B si riduce da e0 = 0.612 a e1 = 0.597per lo stesso incremento di pressione.Lo spessore del provino A è 1.5 volte quello del provino B. Ciononostante il tempo necessario per ottenere il 50% della consolidazione è 3 voltemaggiore per il provino B che per il provino A.Quale è il rapporto fra i coefficienti di permeabilità dei provini A e B?Soluzione:k = cv mv γw

kA / kB = (cv mv)A / (cv mv)B

cv = Tv H2 / t

av = ∆e / ∆σ' mv = av / (1 + e0)ed essendo: Tv (A) = Tv (B) e ∆σ' (A) = ∆σ' (B) risulta:

kA / kB = (cv mv)A / (cv mv)B = (HA/HB)2 (tB/tA) (∆eA/∆eB) (1+e0)B/(1+e0)A

HA/HB = 1.5tB/tA = 3∆eA = 0.067∆eB = 0.015(1+e0)A = 1.572(1+e0)B = 1.612kA / kB = 30.9

Esercizio 7In un sito avente le condizioni stratigrafiche e geotecniche indicate in figura è posto un riporto digrande estensione e di spessore costante. Calcolare e rappresentare in grafico il decorso dei ce-dimenti edometrici nel tempo del piano campagna originario.

dati:profondità della falda da p.c. originariozw = 1.2 mγw = 9.81 kN/m3

Strato di riportoHR = 3.2 mγR = 18 kN/m3

Strato 1: sabbia scioltaH1 = 4.3 mγ1 = 17.8 kN/m3 sopra faldaγ1 = 18.1 kN/m3 sotto faldaDR = 40 %Cc/(1+e0) = 0.007Strato 2: argilla limosa N.C.H2 = 4.5 mγ2 = 19.5 kN/m3

w = 36.5 %wL = 40.4 %

Strato 4: limo argilloso NC wP = 25.2 %H4 = 6.2 m Cc = 0.33γ4 = 19.2 kN/m3 e0 = 0.96w = 25 % cv = 3.52E-07 m2/swL = 31.2 % Strato 3: sabbia scioltawP = 17.5 % H3 = 3.8 mCc = 0.216 γ3 = 18.5 kN/m3

e0 = 0.74 DR = 60 %cv = 2.50E-06 m2/s Cc/(1+e0) = 0.005

SoluzioneCalcolo dei cedimenti di consolidazione ∆H = H0 Cc/(1+e0) log[(σ'v0 + ∆σ'v)/σ'v0]La pressione verticale efficace iniziale σ'v0 è calcolata a metà di ciascuno strato:

Strato1 σ'v0,1 = γ1 zw + γ'1 (H1/2 - zw) = 29.24 kPa2 σ'v0,2 = σ'v0,1 + γ'1 H1/2 + γ'2 H2/2 = 68.86 kPa3 σ'v0,3 = σ'v0,2 + γ'2 H2/2 + γ'3 H3/2 = 107.18 kPa

HR

H1

H2z

Riporto

Sabbia sciolta

Argilla limosa

Sabbia e ghiaia addensate

Sabbia scioltaH3

H4 Limo argilloso

4 σ'v0,4 = σ'v0,3 + γ'3 H3/2 + γ'4 H4/2 = 152.80 kPaL'incremento di pressione verticale efficace è eguale per tutti gli strati e vale:∆σ'v = γR HR = 57.6 kPaI cedimenti per consolidazione edometrica valgono dunque:

Strato H0 (cm) Cc/(1+e0) ∆σ'v σ'v0 ∆H (cm)1 430 0.007 57.6 29.24 1.422 450 0.168 57.6 68.86 20.003 380 0.005 57.6 107.18 0.354 620 0.124 57.6 152.80 10.69

Totale = 32.47 cmLa consolidazione edometrica degli strati 1 e 3, incoerenti e molto permeabili, è immediata.Il decorso dei cedimenti nel tempo per gli strati 2 e 4 è calcolato nel modo seguente:per un assegnato valore del tempo t si calcola il fattore tempo Tv = t cv / H

2 essendo H l'altezza didrenaggio, pari a metà dello spessore dello strato, quindi il grado di consolidazione medio Um = f(Tv)infine il cedimento occorso al tempo t, ∆H(t) = Um ∆H.Utilizzando come unità di misura del tempo il giorno: 1 giorno = 24 x 3600 = 86400 secstrato 2: cv = 3.52E-07 m2/s = 3.04E-02 m2/giorno cv/H

2 = 6.01E-03 g-1

strato 4: cv = 2.50E-06 m2/s = 2.16E-01 m2/giorno cv/H2 = 2.25E-02 g-1

Per il calcolo del grado di consolidazione medio si utilizza l'equazione approssimata di Sivaram e Swamee (1977): Um = (4Tv/π)0.5 / [1+(4Tv/π)2.8]0.179

Strato 1 Strato 3t (giorni) ∆H1 (cm) ∆H3 (cm) Tv Um (%) ∆H2 (cm) Tv Um (%) ∆H2 (cm)

0.1 1.42 0.35 0.0006 2.8 0.55 0.0022 5.3 0.570.2 1.42 0.35 0.0012 3.9 0.78 0.0045 7.6 0.810.5 1.42 0.35 0.0030 6.2 1.24 0.0112 12.0 1.281 1.42 0.35 0.0060 8.7 1.75 0.0225 16.9 1.812 1.42 0.35 0.0120 12.4 2.47 0.0450 23.9 2.565 1.42 0.35 0.0300 19.6 3.91 0.1124 37.8 4.0410 1.42 0.35 0.0601 27.7 5.53 0.2248 53.2 5.6920 1.42 0.35 0.1201 39.1 7.82 0.4495 73.1 7.8250 1.42 0.35 0.3004 61.1 12.22 1.1238 94.5 10.11

100 1.42 0.35 0.6007 81.6 16.32 2.2477 99.0 10.58200 1.42 0.35 1.2015 95.3 19.06 4.4953 99.7 10.66

e quindi complessivamente:t (giorni) ∆H (cm)

0.1 -2.900.2 -3.370.5 -4.291 -5.342 -6.815 -9.7310 -13.0020 -17.4150 -24.11

100 -28.68200 -31.50

Strato 2 Strato 4

-40

-30

-20

-10

00.1 1 10 100 1000

t (giorni)

∆H (c

m)

Esercizio 8La platea di un fabbricato industriale di grande estensione trasmette una pressione uniforme sul terreno di fondazione, costituito da uno strato di argilla satura di spessore H, sovrastante uno strato rigido di sabbia e ghiaia di grande spessore. Lo strato di argilla, prima della costruzione del fabbricato, aveva mediamente peso di volume γ1 e contenuto naturale in acqua w1. Al termine del processo di consolidazione i valori medi del peso di volume e del contenuto naturale in acqua dello strato di argilla risultarono rispettivamente γ2 e w2. Stimare il cedimento finale della fondazione nell'ipotesi che le deformazioni trasversali sianotrascurabili. Tracciare la curva dei cedimenti nel tempo nell'ipotesi di drenaggio da entrambi i lati.Dati:γ1 = 19.5 kN/m3

γ2 = 19.9 kN/m3

w1 = 29.2 % w2 = 26.6 %H = 2.5 m γw = 9.81 kN/m3

cv = 5.0E-07 m2/secSoluzione:posto: Ps = 1 kN e1 = 0.815699Pw1 = w1 Ps / 100 = 0.292 kN Pw2 = w2 Ps / 100 = 0.266 kNP1 = Ps + Pw1 = 1.292 kN P2 = Ps + Pw2 = 1.266 kNV1 = P1 / γ1 = 0.0663 m3 V2 = P2 / γ2 = 0.0636 m3

Vw1 = Pw1 / γw = 0.0298 m3 Vw2 = Pw2 / γw = 0.0271 m3

∆V = V1 - V2 = 0.0026 m3

εv = (∆V/V1) 100 = 3.982 %εa = εv = 3.982 % ipotesi edometrica∆H = (εa/100) H1 = 0.100 m = 10.0 cm cedimento finale∆H (t) / ∆H = U Tv = f(U) t = Tv (H/2)2 / cv

U (%) Tv ∆H (t) [cm] t (gg)20 0.0314 1.99 1.1440 0.126 3.98 4.5660 0.286 5.97 10.3480 0.567 7.96 20.5190 0.848 8.96 30.6795 1.129 9.46 40.83

-40

-30

-20

-10

00 50 100 150 200

t (giorni)

∆H (c

m)

Esercizio 9Deve essere realizzato un rilevato autostradale di grande larghezza su un deposito di argilla molle. Si ipotizzi che lo strato di argilla sia drenato da entrambi i lati e che il carico sia applicato istantaneamente. Si trascuri la consolidazione secondaria.In esercizio, l'estradosso del rilevato (pavimentazione esclusa), dovrà essere alla quota H dal p.c.iniziale. La pavimentazione stradale può tollerare un assegnato cedimento massimo.Stimare: 1. dopo quanto tempo dall'applicazione del carico può essere messa in opera la pavimentazione,2. Il cedimento atteso dopo un assegnato tempo t dall'applicazione del carico.Per la messa in opera del rilevato occorre un tempo tR. Si ipotizzi che il carico sia applicato per intero e istantaneamente al tempo tR / 2.Stimare: 3. dopo quanto tempo dall'inizio della costruzione del rilevato può essere messa in opera la pavimentazione,4. dopo quanto tempo dall'inizio della costruzione si avrà il cedimento il cedimento calcolato al punto 2.Per mettere in opera la pavimentazione dopo un tempo tP dall'inizio della costruzione, minore del tempo calcolato al punto 3, si applica un sovraccarico addizionale elevando temporaneamente il rilevato.5. Stimare l'incremento temporaneo di altezza del rilevato.

Dati:quota dell'estradosso del rilevato dal p.c. iniziale: H = 5 mpeso di volume del terreno del rilevato: γR = 21.6 kN/m3

spessore dello strato di argilla molle: HA = 8 mcoefficiente di compressibilità medio dell'argilla: mv = 0.5 m2/MN

coefficiente di consolidazione medio dell'argilla: cv = 10 m2/annocedimento massimo ammissibile per la posa in opera della pavimentazione: S = 50 mmtempo al quale è richiesta la stima del cedimento: t = 5 mesitempo di costruzione del rilevato: tR = 3 mesitempo dall'inizio costruzione per la messa in opera la pavimentazione: tP = 15 mesiSoluzione:Sussistono le condizioni di carico edometrico.

0

2

4

6

8

10

0 10 20 30 40 50

t (gg)

∆H

(cm

)

Affinché al termine della consolidazione edometrica la quota di estradosso del rilevato dal p.c. iniziale sia H occorre mettere in opera un rilevato di altezza HR = H + Sed, avendo indicato con Sed il cedimento finale (edometrico).L'incremento di pressione verticale vale: ∆σ = γR HR

Il cedimento finale (edometrico) vale: Sed = mv HA ∆σ = mv HA γR (H + Sed) =

= (mv HA γR H) / (1 - mv HA γR) = 0.473 mAltezza di rilevato da mettere in opera: HR = H + Sed = 5.473 mIncremento di pressione verticale: ∆σ = γR HR = 118.21 kPaIl grado di consolidazione medio al quale può essere messa in opera la pavimentazione vale:

Um = 100 (Sed - S) / Sed = 89.4 %cui corrisponde un fattore di tempo: Tv = 1,781 - 0,933 log (100-Um) = 0.825e quindi il tempo dall'applicazione del carico al quale può mettersi in opera la pavimentazione vale:1) tp = Tv (HA / 2)2 / cv = 1.321 anni = 15.85 mesiIl fattore di tempo per: t = 5 mesivale: Tv = cv t / (HA / 2)2 = 0.260cui corrisponde un grado di consolidazione medio: Um = 100 (4Tv/π)0,5 = 57.6 %2) pertanto il cedimento al tempo t vale: S(t) = Um Sed / 100 = 0.272 mil tempo dall'inizio della costruzione al quale può mettersi in opera la pavimentazione vale:3) tp1 = tp + tR / 2 = 17.3 mesiil cedimento calcolato al punto 2 si avrà dopo un tempo dall'inizio della costruzione:4) t1 = t + tR / 2 = 6.5 mesiIl tempo dall'applicazione virtuale istantanea del carico al quale si vuole mettere in opera la pavimentazione è: tPV = tP - tR / 2 = 13.5 mesiIl fattore di tempo per t = tPV vale: Tv = cv tPV / (HA / 2)2 = 0.703cui corrisponde un grado di consolidazione medio: Um = 85.7 %al tempo t = tPV il cedimento deve essere quello ammissibile per la messa in opera della pavimentazione,pertanto il cedimento edometrico finale in presenza del sovraccarico risulta Sed1 = (Sed-S) / (U /100), da cui: Sed1 = 0.493 mche verrebbe prodotto da una pressione: ∆σ1 = Sed1 / (mv HA) = 123.35 kPaovvero da un'altezza di rilevato: HR1 = ∆σ1 / γR = 5.71 mdunque l'incremento temporaneo di altezza del rilevato è:5) ∆HR = HR1 - HR = 0.238 m

Esercizio 10Sulla superficie del deposito di terreno indicato in figura è applicato istantaneamente un caricouniforme ed infinitamente esteso di intensità q. Nel punto A vi è una cella piezometrica.1. Prima dell'applicazione del carico q il piezometro in A segnala il valore di pressione idrostatica u0,A. Quanto vale u0,A?2. Quale pressione neutra sarà segnalata dal piezometro immediatamente dopo l'applicazione del carico?3. Dopo un tempo t1 dall'applicazione del carico il piezometro segnala una pressione neutra uA1

Quanto vale il grado di consolidazione in A al tempo t1 dall'applicazione del carico, UA(t1)?4. Quale pressione neutra segnalerà il piezometro quando il grado di consolidazione nel punto A sarà UA(t2)?5. Quale sarà, approssimativamente, il cedimento finale per consolidazione edometrica dello strato di argilla?6. Quanto tempo sarà necessario per avere un grado di consolidazione medio Um (%) = 80

7. Quale incremento di carico ∆q si dovrebbe applicare in superficie affinché il cedimento calcolato al punto 5 si verifichi nel tempo t?

Dati:H1 = 6.5 m γw = 9.81 kN/m3

H2 = 4 m q = 120 kPazw = 1.5 m uA1 = 135 kPazA = 8.7 m UA (t2) = 60 %

t = 90 gg.sabbia:γ1 = 17 kN/m3 (sopra falda)γ1sat = 19.5 kN/m3 (sotto falda)argilla N.C.:γ2 = 20.2 kN/m3

w = 35.6 %wL = 40 %IP = 15 %

Gs = γs / γw = 2.7cv = 1.40E-07 m2 / s

Soluzione:1. u0,A = γw (zA - zw) = 70.63 kPa2. uA0 = u0,A + ∆uA0 = u0,A + q = 190.63 kPa3. ∆uA1 = uA1 - u0,A = 64.37 kPa

UA (t1) = 1 - (∆uA1/∆uA0) = 0.4636 = 46.36 %4. ∆uA2 = [1 - UA (t2)] ∆uA0 = 48 kPa

uA2 = u0,A + ∆uA2 = 118.63 kPa5. pressione litostatica verticale efficace a metà dello strato di argilla:

σ'v0 = γ1 zw + (γ1sat - γw) (H1 - zw) + (γ2 - γw) H2 / 2 = 94.73 kPaindice dei vuoti iniziale:e0 = w Gs = 0.9612stima dell'indice di compressione con la correlazione di Terzaghi e Peck:Cc = 0,009 (wL - 10) = 0.27∆H2 = H2 /(1 + e0) Cc log[(σ'v0 + q) / σ'v0] = 19.57 cm

6. Um = 80 % Hdr = H2 / 2 = 2 mTv = 0.567t80 = Tv Hdr

2 / cv = 1.62E+07 s = 188 gg7. Tv (t) = t cv / Hdr

2 = 0.272Um (t) = 58.34 %il cedimento finale sotto il carico incrementato (q* = q + ∆q) sarà dunque:∆H2* = ∆H2 / Um(t) = 33.55 cmq* = σ'v0 10^[(∆H2* (1 + e0) / (Cc H2)] - σ'v0 = 290 kPa∆q = q* - q = 170 kPa

Esercizio 11Durante una prova edometrica un provino di argilla satura, di altezza iniziale H0, ha subito una riduzione di altezza da H1 a H2 a causa di un incremento di pressione verticale da σ'v1 a σ'v2. Determinare l'indice dei vuoti corrispondente alle tensioni σ'v1 e σ'v2.

H1

H2

q

zw

A

zA

sabbia

sabbia

argilla N.C.

Dati:H0 = 20 mmH1 = 19.913 mm σ'v1 = 150 kPaH2 = 19.720 mm σ'v2 = 300 kPaγs = 26.675 kN/m3

γd = 13.58 kN/m3

Soluzione:e0 = γs/γd - 1 = 0.964∆H/H0 = -∆e/(1+e0) da cui:e1 = 0.956e2 = 0.937

Esercizio 12Nei grafici sono rappresentate le curve di consolidazione edometrica in funzione del logaritmo del tempo e della radice quadrata del tempo di uno stesso provino di argilla di spessore

H = 2.5 cm per un assegnato gradino di caricoDeterminare:a) il coefficiente di consolidazione cv con i metodi di Casagrande e di Taylorb) il tempo necessario per il 60% della consolidazione se lo spessore fosse Hs (m) = 1.5 utilizzando un valore medio di cv

Dati:H = 2.5 cm

t900.5 = 7.6 min0.5 t90 = 57.76 min. = 3465.6 sec.

t50 = 20 min. = 1200 sec.Soluzione:a)cv90 = 0.848 (H/2)2/t90= 3.82E-04 cm2/sec Taylorcv50 = 0.197 (H/2)2/t50= 2.57E-04 cm2/sec Casagrandeb)cv(med.) = 3.19E-04 cm2/secU = 60 %Tv (60%)= 0.286Hs = 1.5 m = 150 cmt60 = 5.04E+06 sec = 58 giorni

Esercizio 13t (min) lett. (mm) Durante una prova di compressione edometrica su un provino di

0 5.00 argilla satura (Gs = γs/γw = 2.73 ), per l'incremento di 0.25 4.67 pressione verticale applicata da 214 a 4290.5 4.62 kPa, sono state eseguite le letture (L) al comparatore centesimale 1 4.53 indicate in tabella. Dopo il tempo t = 1440 min

2.25 4.41 lo spessore del provino era H1 = 13.60 mm 4 4.28 e il contenuto in acqua w = 35.9 %. 9 4.01 Determinare con le costruzioni grafiche di Casagrande e di Taylor16 3.75 il coefficiente di consolidazione verticale, ed il coefficiente di 25 3.49 permeabilità.36 3.2849 3.1564 3.0681 3.00

100 2.96200 2.84400 2.761440 2.61

Soluzione:La variazione totale di altezza per l'incremento di carico è: ∆H = L0 - L1 = 2.39 mmLo spessore iniziale del provino è: H0 = H1 + ∆H = 15.99 mmLo spessore medio del provino è: Hm = H1 + ∆H / 2 = 14.795 mmLa lunghezza del percorso di drenaggio è: d = Hm / 2 = 7.3975 mm

t (min) H (mm) t0,5

0 15.99 0.0000.25 15.66 0.5000.5 15.61 0.7071 15.52 1.000

2.25 15.40 1.5004 15.27 2.0009 15.00 3.00016 14.74 4.00025 14.48 5.00036 14.27 6.00049 14.14 7.00064 14.05 8.00081 13.99 9.000

100 13.95 10.000200 13.83 14.142400 13.75 20.0001440 13.60 37.947

assumo: t1 = 1 mint1/4 = 0.25 min

la variazione di altezza tra t1 e t1/4 è a = 0.14 mmil grado di consolidazione U = 0% corrispondeall'altezza H (U=0%) = H(t1) + 2a = 15.8 mm

Osservando il grafico:La retta tangente alla parte finale della curva è la retta congiungente gli ultimi due punti. Essa ha equazione:y1 = -0.269637 log(t) + 14.45161La retta tangente al punto di inflessione corrisponde alla retta congingente i punti a 25 min e a

36 min. Essa ha equazione:y2 = -1.326072 log(t) + 16.33377Il punto di intersezione fra le rette y1 e y2 ha coordinate: y (mm) = 13.97

log(t) = 1.781612t (min) = 60.48

il grado di consolidazione U=100% corrisponde all'altezza H (U=100%) = y = 13.97 mmil grado di consolidazione U=50% corrisponde all'altezza H (U=50%) = 14.89 mmil tempo t50 vale: 11.59 minIl coefficiente di consolidazione risulta: cv = 0.197 d2/t50 = 0.930 mm2/min

a = -1.04051 cv = 0.197 d2/t50 = 1.55E-08 m2/sb = 15.9929logt50 = 1.064177Linee di costruzione per il grafico di Casagrande

x y x y x y0.1 15.8 0.25 15.66 1 15.523 15.8 3 15.66 3 15.52x y x y x y

10 14.18198 5 0 0.1 13.973000 13.51405 90 0 60.48 13.97

60.48 13

13

13.5

14

14.5

15

15.5

16

0.1 1 10 100 1000 10000

t (min)

H (m

m)

x y0.1 14.89

11.59 14.8911.59 13

Linee di costruzione per il grafico di Taylor:y1 = -0.2625 t0.5 + 15.791 a = -0.090y2 = -0.228261 t0.5 + 15.791 b = 14.77

x y1 x y2 x y0 0 0 0 7.000 14.14010 0 11.5 0 8.000 14.050

x = 7.385 x y x yy = 14.105 0 14.105 0 13.918

7.385 14.105 11.000 13.9187.385 13

x y0.500 15.66 i coefficienti della regressione nella caselle K138 e M1380.707 15.611.000 15.52 cv = 0.848 d2/t90 = 1.42E-08 m2/s1.500 15.402.000 15.273.000 15.004.000 14.745.000 14.48

dalla costruzione di Casagrande si ottiene:per U = 0 % Hiniz = 15.80 mmper U = 100 % H100 = 13.97 mmper U = 50 % H50 = 14.89 mm

t50 = 11.59 minIl coefficiente di consolidazione risulta: cv = 0.197 d2/t50 = 0.930 mm2/min

Il coefficiente di permeabilità si stima con l'equazione: k = cv mv γw

mv = (∆H/H0)/∆σ'v = 695 mm2/kN γw = 9.807 kN/m3

k = 1.06E-10 m/s

dalla costruzione di Taylor si ottiene:per U = 0 %Hiniz = 15.79 mmper U = 90 %H90 = 14.11 mmt90

0.5= 7.385t90 = 54.532 minper U = 100 %H100 = 13.92 mmda cui:cv = 0.848 d2/t90 = 0.851 mm2/mink = 9.67E-11 m/s

13

13.5

14

14.5

15

15.5

16

0 5 10 15

t0.5

H (m

m)

Esercizio 14Con una prova di compressione edometrica su un provino di argilla satura sono ottenuti i seguentirisultati: σ'v (kPa) 27 54 107 214 429 214 107 54e (-) 1.243 1.217 1.144 1.068 0.994 1.001 1.012 1.024

Uno strato di quest'argilla, di spessore H, giace sotto uno strato di sabbia di spessore HS.La falda freatica è al piano campagna. Il peso di volume di entrambi i terreni vale γ. Al piano campagna, ovvero sulla sabbia, e per una grande estensione, è posto uno strato di terreno di riporto di spessore HR e peso di volume γR. 1) Determinare il cedimento finale per consolidazione dell'argilla (dividere in 4 sottostrati di eguale spessore).2) Se il terreno di riporto fosse rimosso dopo la fine della consolidazione, quale sollevamento potrebbe verificarsi per rigonfiamento dell'argilla?3) Se il terreno di riporto fosse messo in opera molto rapidamente, quale sarebbe la sovrapressione neutra al centro dello strato di argilla dopo un periodo di tempo t dall'applicazione del carico, nell'ipotesi di drenaggio sia superiore che inferiore, essendo cv il coefficiente di consolidazione verticale dell'argilla.Dati:H = 8 m HR = 4 mHS = 4 m γR = 21 kN/m3

γ = 19 kN/m3 t = 1.2 annicv = 2.4 m2/anno γw = 9.807 kN/m3

Soluzione

Cc = 0.245Cs = 0.023

γR HR = 84 kPa

rette di compressione e di scaricox y

1 50 1.2232 429 0.9943 70 1.012

Calcolo del cedimento edometrico:i zi (m) Hi (m) σ'0,i (kPa) σ'fin,i (kPa) e0 efin ∆Hi (cm) 11 5 2 46.0 130.0 1.232 1.121 9.912 7 2 64.4 148.4 1.196 1.107 8.093 9 2 82.7 166.7 1.169 1.095 6.874 11 2 101.1 185.1 1.148 1.083 5.99

s = Σ∆Hi = 30.87 cm

t

0.95

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

10 100 1000σ'v (kPa)

e

Calcolo del sollevamento per scarico: 2i zi (m) Hi (m) σ'0i (kPa) σ'fin,i (kPa) e0 efin ∆Hi (cm)

1 5 2 130.0 46.0 1.121 1.132 -0.992 7 2 148.4 64.4 1.107 1.115 -0.803 9 2 166.7 82.7 1.095 1.102 -0.674 11 2 185.1 101.1 1.083 1.090 -0.58

s = Σ∆Hi = -3.04 cm

3d = H/2 = 4 mup = γw (Hs + d) = 78.5 kPaTv = cv t / d

2 = 0.18U(Tv) = 2 (Tv/π)0.5 = 0.479u0 = γR HR = 84 kPaue(t) = (1 - U) u0 = 43.8 kPa

Esercizio 15Con i risultati di una prova di compressione edometrica su un provino di argilla sottoriportati:1. Disegnare la curva e - σ'v nel piano semi logaritmico e determinare l'indice di compressione, Cc,2. stimare l'indice dei vuoti per la pressione di: 1000 kPa.Dati: σ'v (kPa) H (mm)diametro del provino: D = 63 mm 0 25.40altezza del provino a inizio prova: H0 = 25.4 mm 50 25.19peso del provino secco: Wd = 1.1674 N 100 25.00peso specifico dei costituenti solidi: γs = 27.2 kN/m3

200 24.29400 23.22800 22.06

Soluzione:Immaginando di separare la parte solida dai vuoti, all'inizio della prova, (e tenuto conto delle unità di misura), si calcola:altezza della parte solida, Hs = 4 Wd /(π D2 γs) = 13.77 mm costantealtezza della parte occupata da vuoti: Hv0 = H0 - Hs = 11.63 mmindice dei vuoti iniziale, e0 = Vv0/Vs = Hv0/Hs = 0.845σ'v (kPa) H (mm) Hv (mm) e = Hv/Hs

0 25.40 11.63 0.845 con riferimento al tratto finale della curva e - σ'v (log)50 25.19 11.42 0.830 σ'1 = 400 e1 = 0.686

100 25.00 11.23 0.816 σ'2 = 800 e2 = 0.602200 24.29 10.52 0.764 σ'3 = 1000400 23.22 9.45 0.686 Cc = (e1 - e2)/log(σ'2/σ'1) = 0.280800 22.06 8.29 0.602 e3 = e2 - Cc log(σ'3/σ'2) = 0.575

Esercizio 16Un deposito di terreno a stratificazione orizzontale è costituito, dall'alto verso il basso, da:- uno strato di sabbia di spessore H1 = 8 m- uno strato di argilla N.C. di spessore H2 = 6 m- un substrato roccioso impermeabile.Il livello della falda freatica è alla profondità: zw = 2 m da p.c.Il peso di volume della sabbia sopra falda è: γ1 = 17 kN/m3

e sotto falda: γ1sat = 19 kN/m3

Il peso di volume dell'argilla è: γ2sat = 20 kN/m3

Il peso specifico dell'acqua è: γw = 9.807 kN/m3

La relazione fra indice dei vuoti e pressione verticale efficace per l'argilla è la seguente:e = 0.88 -0.32 log (σ'v / 100) con σ'v espresso in kPa

Il coefficiente di consolidazione verticale dell'argilla è: cv = 1.26 m2/anno

Uno strato di terreno di riporto di spessore: HR = 3 me avente peso di volume: γR = 20 kN/m3

è posto in opera su un'area molto estesa. a) Calcolare il cedimento di consolidazione edometrica finale e dopo un tempo t = 2.5 anni dall'applicazionedel carico.b) Calcolare il cedimento di consolidazione edometrica finale e dopo 2,5 anni dall'applicazione del carico, nell'ipotesi che lo strato di argilla sia interrotto da un sottile strato drenante di sabbia alla distanza a = 1.5 m dal substrato roccioso di base.SoluzionePoiché il terreno di riporto copre un'area molto estesa il problema è monodimensionale.a) Considerando un unico strato per l'argilla il cedimento edometrico finale risulta:

∆H = H0/(1 + e0) Cc log (σ'vfin / σ'v0)in cui:H0 = H2 = 600 cmCc = 0.32σ'v0 e σ'vfin sono le tensioni efficaci verticali iniziale e finale a metà dello strato di argilla.σ'v0 = γ1 zw + (γ1sat - γw) (H1 - zw) + (γ2sat - γw) H2 / 2 = 119.74 kPa∆σ'v = γR HR = 60 kPaσ'vfin = σ'v0 + ∆σ'v = 179.74 kPae0 = 0.88 -0.32 log (σ'v0 / 100) = 0.855sfin = ∆H = 18.26 cm

0.6

0.7

0.8

0.9

10 100 1000

σ'v (kPa)

e

Se invece, per maggiore precisione, si suddivide lo strato di argilla in 4 sottostrati si calcola:sottostrato H0 (cm) zm (m) σ'v0 (kPa) σ'vfin (kPa) e0 ∆H (cm)

1 150 8.75 96.80 156.80 0.885 5.342 150 10.25 112.09 172.09 0.864 4.793 150 11.75 127.38 187.38 0.846 4.364 150 13.25 142.67 202.67 0.831 4.00

sfin = Σ∆H = 18.48 cmLo strato di argilla è drenato da un solo lato, dunque il massimo percorso di filtrazione è d = H2. Il fattore di tempo dopo 2.5 anni dall'applicazione del carico vale:Tv = cv t / d

2 = 0.0875 cui corrisponde un grado di consolidazione medio pari a circa:Um = 0.334 (stimato con la formula di Sivaram & Swamee)Pertanto il cedimento dopo 2.5 anni dall'applicazione del carico vale:s (t) = Um sfin = 6.17 cmb)Il cedimento finale, trascurando lo spessore del sottile strato drenante, sarà lo stesso, ovvero:sfin = 18.48 cmLo strato di argilla è suddiviso in due sottostrati:Il sottostrato superiore, 2a, di spessore H2 - a = 4.5 m drenato da entrambi i latie quindi con massimo percorso di filtrazione pari a dsup = (H2 - a)/2 = 2.25 m eil sottostrato inferiore, 2b, di spessore a = 1.5 m drenato da un solo latoe quindi con massimo percorso di filtrazione pari a dinf = a = 1.5 mIl fattore di tempo dopo 2.5 anni dall'applicazione del carico vale:per il sottostrato 2a: Tv = cv t / dsup

2 = 0.622cui corrisponde: Umsup = 0.826 (dalla formula di Sivaram & Swamee)per il sottostrato 2b: Tv = cv t / dinf

2 = 1.400cui corrisponde: Uminf = 0.967 (dalla formula di Sivaram & Swamee)Il sottostrato superiore avrà un cedimento finale sfin,2a = 14.49 cmIl sottostrato inferiore avrà un cedimento finale sfin,2b = 4.00 cmDunque dopo 2.5 anni dall'applicazione del carico essi saranno rispettivamente:s2a (t) = Um,sup sfin,2a = 11.96 cms2b (t) = Um,inf sfin,2b = 3.87 cmcomplessivamente s (t) = 15.83 cmcorrispondente al 85.6 % del cedimento finale.

Esercizio 17E' costruito un rilevato di grande lunghezza avente le dimensioni indicate in figura. Il terreno di fon-dazione è costituito da uno strato di argilla limosa con tracce di torba normalconsolidata di spessore H, sovrastante un deposito di sabbia e ghiaia. La falda freatica è al livello del piano campagna.Su un campione indisturbato del terreno di fondazione sono state eseguite prove di laboratorio i cui risultati sono riportati nel seguito.a) disegnare il grafico e - σ'v in scala semilogaritmica e determinare l'indice di compressione CC,b) disegnare la curva di consolidazione edometrica e determinare il coefficiente di consolidazione verticale cv con il metodo di Casagrande,c) determinare e disegnare i profili della pressione litostatica e dell'incremento di pressione verticale in asse al rilevato,d) calcolare il cedimento edometrico atteso in asse al rilevato e il tempo necessario affinché si realizzi la metà del cedimento edometrico atteso.Dati:2a (m) = 18 h (m) = 4 γril (kN/m3) 21 Campione indisturbato C12a' (m) = 6 H (m) = 6 prof. di estrazione (m) 3

b (m) = 6 γsat (kN/m3) 17.1γs (kN/m3) = 26.6w (%) = 46.8wL (%) = 69wP (%) = 30qu (kPa) = 61

prova edometricadimensioni del provino:alt. iniziale h0 (mm) = 25diametro d (mm) = 70e0 = 1.244

∆h/h0 = ∆e/(1+e0)Cc = 0.497954

Soluzione:curva pressione - cedimenti

σ'v (kPa) ∆h (mm) e25 0.06 1.23950 0.19 1.227

100 0.48 1.20150 0.46 1.20325 0.43 1.20550 0.45 1.204

100 0.55 1.195200 1.15 1.141400 2.27 1.040800 3.67 0.9151600 5.16 0.7813200 6.83 0.6311600 6.55 0.656800 6.24 0.684400 5.87 0.717200 5.39 0.760100 4.97 0.79850 4.43 0.84625 3.93 0.891

curva tempo cedimenti per σ'v da 100 a 200 kPat t (sec) ∆h (mm) h (mm)

1 = 15 s 15 0.59 24.412 = 30 s 30 0.6 24.4

3 = 1' 60 0.61 24.394 = 2'' 120 0.63 24.375 = 4" 240 0.66 24.346 = 8" 480 0.705 24.2957 = 16" 960 0.76 24.248 = 32" 1920 0.83 24.179 = 1h 3600 0.92 24.08

10 = 2h 7200 1.01 23.9911 = 4h 14400 1.07 23.93

H

2a

2a' bb

hf.f.

argilla limosa etorbosa N.C.

sabbia e ghiaia

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

10 100 1000 10000

σ'v (kPa)

e

23.8

23.9

24.0

24.1

24.2

24.3

24.4

24.5

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05

h (m

m)

12 = 8h 28800 1.11 23.8913 = 16h 57600 1.14 23.8614 = 24h 86400 1.15 23.85

costruzione di Casagrandet1 (sec) = 60 h (t1) = 24.39 a (mm) = 0.02t1/4 (sec) = 15 h (t1/4) = 24.41 h (U=0%) = 24.43punto di intersezione fra la retta A fra i punti 13 e 14 e la retta B fra i punti 8 e 9:h = a log(t) + b

a bretta A -0.056789 24.130338 h (A-B) = 23.87retta B -0.232535 24.933482 t (A-B) = 37146h (U=50%) 24.15 x yt50 (sec) = 2331 10 24.43Tv (50%) = 0.197 2331 24.15cv (cm2/s) = 1.23E-04 100000 23.87

Tensioni verticali efficaci e calcolo del cedimento edometricop' (kPa) = 84a (m) = 9a' (m) = 3

-z (m) −σ'v (kPa) ∆σ'v (kPa) e0i ∆Hi (cm)strato iesimo 0.0 0.0 84.0

i = 1 -0.5 -3.6 84.0 2.097 22.22 -1.5 -10.9 83.1 1.859 16.33 -2.5 -18.2 80.8 1.749 13.34 -3.5 -25.5 77.3 1.676 11.35 -4.5 -32.8 73.1 1.621 9.76 -5.5 -40.1 68.6 1.578 8.4

-6.0 -43.8 66.4s = Σ∆Hi = 81.1 cm

tempo di consolidazione 50%

t50 = Tv (H/2)2 / cv

Tv = 0.197H (m) = 6cv (cm2/s) = 1.23E-04

t50 (sec) = 1.44E+08t50 (anni)= 4.559s50 (cm) = 40.5

Esercizio 18Sia t50 il tempo necessario per ottenere il 50% della consolidazione edometrica di un provino di terreno di diametro D0 e altezza H0, rappresentativo di uno strato di argilla di spessore S.Determinare il tempo necessario per ottenere il 50% e il 90% della consolidazione edometrica dellostrato di argilla in sito nelle ipotesi: a) di drenaggio da entrambi i lati e b) di drenaggio da un solo lato.

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0-50 -25 0 25 50 75 100

−σ'v e ∆σ'v (kPa)

-z (m

)23.8

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05

tempo (sec.)

Dati:t50 = 10 min. S = 12 mD0 = 80 mmH0 = 20 mmSoluzioneTv(50) = 0.197Tv(90) = 0.848t90 = t50 Tv(90) / Tv(50) = 4.30 t50

L'altezza di drenaggio in prova edometrica è: (Hdr)lab = H0/2 = 10 mma) nell'ipotesi di drenaggio da entrambi i lati, l'altezza di drenaggio in sito è:

(Hdr)sito = S/2 = 6 mt50,sito = t50 (Hdr)sito

2 / (Hdr)lab2 = 3.60E+06 min = 6.849 anni

t90,sito = 4,30 t50,sito = 1.55E+07 min = 29.48 annib) nell'ipotesi di drenaggio da un solo lato, l'altezza di drenaggio in sito è:

(Hdr)sito = S = 12 mt50,sito = t50 (Hdr)sito

2 / (Hdr)lab2 = 1.44E+07 min = 27.40 anni

t90,sito = 4,30 t50,sito = 6.20E+07 min = 117.93 anni

Esercizio 20Si considerino le condizioni stratigrafiche e geotecniche di figura. Si assuma γw = 10 kN/m3.L'argilla è satura e normalmente consolidata. a) Calcolare le tensioni verticali efficaci nei punti A, B e C prima dell'inizio dei lavori.b) Rappresentare su un grafico edometrico (σ' (log) - e) il punto (O) che indica lo stato del terreno in B e le linee di compressione vergine e di scarico-ricarico supposte coincidenti.c) Allo scopo di costruire un edificio di N piani si realizza uno scavo di profondità d. La falda è abbattuta simultaneamente nei due strati di sabbia a 1 m sotto il fondo dello scavo mediante un pozzo che attraversa i due strati. c1. calcolare il rigonfiamento dell'argilla nell'ipotesi che vi sia il tempo necessario alla completa deconsolidazione, (eseguire il calcolo con riferimento al punto B senza dividere in sottostrati); c2. rappresentare nel grafico edometrico il punto (1) che indica lo stato del terreno in B dopo l'esecuzione dello scavo; c3. calcolare il tempo necessario per avere la completa deconsolidazione, nell'ipotesi che ciò corrisponda a Tv = 1.d) Ogni piano da costruire corrisponda ad un incremento ∆p di pressione verticale sul terreno. L'edificio sia interamente costruito senza fare variare il livello di falda. Determinare il cedimento a fine consolidazione dell'edificio nell'ipotesi che non vari il livello di falda. Rappresentare sul gra- fico edometrico il punto (2) che indica lo stato del terreno in B a cedimento avvenuto.e) A cedimento avvenuto la falda è fatta risalire al suo livello naturale. Calcolare il rigonfiamento del- l'argilla e rappresentare sul grafico edometrico il punto (3) che indica lo stato del terreno in B.f) Invece di costruire interamente l'edificio senza modificare il livello di falda, essa viene fatta risalire di 1 m dopo la costruzione del primo piano. Calcolare il cedimento finale dell'edificio a consolida- zione avvenuta e rappresentare sul grafico edometrico il punto (4) che indica lo stato del terreno in B.g) Confrontare i due metodi di costruzione, dire quale dei due è preferibile e perché, e se gli stati (3) e (4) corrispondono a terreno normalmente consolidato o sovraconsolidato.

a (m) = 7b (m) = 4c (m) = 6d (m) = 5N = 12∆p (kPa) = 10

sabbia:γ (kN/m3) = 20

argilla:γ (kN/m3) = 18γs (kN/m3) = 27Cc = 0.2Cs = 0.04cv (m

2/s) = 1.00E-06

Dati:a (m) = 7 sabbia:b (m) = 4 γ (kN/m3) = 20c (m) = 6d (m) = 5 argilla:N = 12 γ (kN/m3) = 18∆p (kPa) = 10 γs (kN/m3) = 27

Cc = 0.2γw (kN/m3) = 10 Cs = 0.04

cv (m2/s) = 1.00E-06

soluzione:a) tabella per graficoσ'v (A) = 70 kPa σ'v eσ'v (B) = 86 kPa 21.5 1.149 scarico - ricaricoσ'v (C) = 102 kPa 46 1.136 B1

56 1.132 B2'b) 86 1.125 B0σ'v (BO) = 86 kPa 106 1.107 B4e0 = 1.125 166 1.068 B2

106 1.076 B3166 1.068 B2344 1.005 compressione vergine

sabbia

sabbia

argilla

piano di scavo

piano campagna

a

b

c

d

A

B

C

c)σv (B1) = 76 kPau (B1) = 30 kPaσ'v (B1) = 46 kPa∆ho (0-1) = -2.05 cm∆e (0-1) = 0.011e(B1) = 1.136t = 4.00E+06 sec.t = 46.3 gg.

d)σv (B2) = 196 kPau (B2) = 30 kPaσ'v (B2) = 166 kPa∆ho (1-2) = 12.80 cm∆e (1-2) = -0.068e(B2) = 1.068

e)σv (B3) = 196 kPau (B3) = 90 kPaσ'v (B3) = 106 kPa∆σ'v (2-3) = -60 kPa∆ho (2-3) = -1.47 cm∆e (2-3) = 0.008e(B3) = 1.076

f)dopo la costruzione del primo piano prima di fare risalire la falda:σv (B2') = 86 kPau (B2') = 30 kPaσ'v (B2') = 56 kPa∆ho (1-2') = 0.64 cm∆e (1-2') = -0.003e(B2') = 1.132a edificio costruito e consolidazione avvenuta:σv (B4) = 196 kPau (B4) = 90 kPaσ'v (B4) = 106 kPa∆ho (2'-4) = 4.82 cm∆e (2'-4) = -0.026e(B4) = 1.107

g)con il primo metodo (percorso 1-2-3) il cedimento dell'edificio risulta di cm 11.33e il terreno di fondazione nello stato finale è sovraconsolidatocon il secondo metodo (percorso 1-2'-4) il cedimento dell'edificio risulta di cm 5.46

0.95

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

10 100 1000

σ'v (kPa)

e

01

23

2

4

e il terreno di fondazione nello stato finale è normalmente consolidatoE' preferibile il secondo metodo.

Esercizio 21Sul terreno naturale è messo in opera uno strato di riporto di terreno costipato di grande estensione.A consolidazione terminata, sul terreno di riporto è costruito un serbatoio circolare per acqua.In figura è rappresentato lo schema stratigrafico e geotecnico di progetto. Determinare il cedimento diconsolidazione dovuto al peso dello strato di riporto e al peso del serbatoio pieno in corrispondenza del centro dell'area circolare caricata.Dati:Strato di riporto costipato: Serbatoio: (pareti e fondo di spessore trascurabile)HR = 3 m H = 10 mCr / (1+ e0) = 0.002 D = 20 m (diametro)γR = 19.2 kN/m3

W = 2900 kN (peso serbatoio vuoto)Hw = 9.5 m

Sabbia limosa N.C.: γw = 9.81 kN/m3

H1 = 3.5 mCc / (1+ e0) = 0.008sopra falda:H1A = 1.5 mγ1A = 18.5 kN/m3

sotto falda:H1B = 2 mγ1B = 19.5 kN/m3

Argilla N.C.H2 = 10 mCc / (1+ e0) = 0.19γ2 = 16.5 kN/m3

HRRiporto costipato

Sabbia limosa N.C.

Argilla N.C.

Sabbia densa e ghiaia

H1

H2

H1A

H1B

Hw HD

Soluzione:1) Cedimento dovuto al peso dello strato di riporto. Carico infinitamente esteso e uniformemente distribuito di intensità:qR = γR HR = 57.6 kPasi divide: lo strato di sabbia limosa sopra falda in due sottostrati di eguale spessore H1A / 2,lo strato di sabbia limosa sotto falda in due sottostrati di eguale spessore H1B / 2,lo strato di argilla in cinque sottostrati di eguale spessore H2 / 5.

strato Hi (m) zmi (m) σv0 (kPa) u0 (kPa) σ'v0 (kPa) ∆σv = qR Cc/(1+ e0) ∆Hi (cm) 1A 0.75 0.375 6.94 0.00 6.94 57.6 0.008 0.581A 0.75 1.125 20.81 0.00 20.81 57.6 0.008 0.351B 1 2 37.50 4.91 32.60 57.6 0.008 0.351B 1 3 57.00 14.72 42.29 57.6 0.008 0.302 2 4.5 83.25 29.43 53.82 57.6 0.19 12.012 2 6.5 116.25 49.05 67.20 57.6 0.19 10.222 2 8.5 149.25 68.67 80.58 57.6 0.19 8.902 2 10.5 182.25 88.29 93.96 57.6 0.19 7.892 2 12.5 215.25 107.91 107.34 57.6 0.19 7.09

cedimento dovuto al peso dello strato di riporto s (cm) = 47.68

2) Cedimento dovuto al peso del serbatoio pienoRaggio: R = 10 mArea di impronta: A = 314.16 m2

Peso del serbatoio: W = 2900 kNPeso dell'acqua: Ww = 29278 kNPressione media: q = 102.42599 kPaPer il calcolo dei cedimenti di consolidazione divido lo strato di riporto in due sottostrati di eguale spessore, e gli strati 1 e 2 come per il calcolo del cedimento dovuto al peso del riporto.

strato Hi (m) zmi (m) σv0 (kPa) u0 (kPa) σ'v0 (kPa) ∆σv (kPa) Cc/(1+ e0) ∆Hi (cm) Riporto 1.5 0.75 14.40 0.00 14.40 102.38 0.002 0.27Riporto 1.5 2.25 43.20 0.00 43.20 101.34 0.002 0.16

1A 0.75 3.375 64.54 0.00 64.54 99.08 0.008 0.241A 0.75 4.125 78.41 0.00 78.41 96.75 0.008 0.211B 1 5 93.10 4.91 88.20 93.26 0.008 0.251B 1 6 112.60 14.72 97.89 88.48 0.008 0.222 2 7.5 140.85 29.43 111.42 80.30 0.19 8.962 2 9.5 173.85 49.05 124.80 68.96 0.19 7.262 2 11.5 206.85 68.67 138.18 58.41 0.19 5.822 2 13.5 239.85 88.29 151.56 49.28 0.19 4.652 2 15.5 272.85 107.91 164.94 41.65 0.19 3.72

cedimento dovuto al peso del serbatoio pieno s (cm) = 31.75

Esercizio 22Un plinto a base quadrata di lato B trasmette al terreno di fondazione un carico verticale centratodi risultante P. Si faccia l'ipotesi di diffusione della tensione verticale media con pendenza 2:1.Il plinto è posto su uno strato di argilla limosa satura normalmente consolidata di spessore H,sovrastante uno strato di sabbia e ghiaia molto rigido e di grande spessore. Il livello della falda è alla quota del piano di fondazione. Al di sopra del piano di fondazione è messo inopera un riporto di spessore HR e peso di volume γR. Stimare:1) il cedimento edometrico,

2) il tempo occorrente per la metà della consolidazione. Dati:plinto: strato di argilla limosa:B (m) = 1.5 H (m) = 2.4P (kN) = 250 γ (kN/m3) = 18.3

w (%) = 35riporto: wL (%) = 40HR (m) = 1.2 IP (%) = 15γR (kN/m3) 21.2 Cc = 0.32

Cs = 0.02cv (cm2/s) = 3.50E-03

Soluzione: - indice dei vuoti dell'argilla limosa in sito: e = w γ / [γw - w (γ - γw)] = 0.937 - pressione litostatica verticale a metà dello strato di argilla limosa: p = γ H/2 = 21.96 kPa totale p' = γ' H/2 = 10.19 kPa efficace - incremento di pressione uniforme dovuto al riporto: ∆pR = γR HR = 25.44 kPa - incremento addizionale di pressione sotto il plinto a quota fondazione: ∆pP = P/B2 - ∆pR = 85.67 kPa - incremento di pressione verticale a metà dello strato di argilla limosa: ∆p = ∆pR + ∆pP B

2/(B+H/2)2 = 51.88 kPa - cedimento edometrico atteso: s = [H / (1+ e)] Cc log[(p' + ∆p) / p'] = 31.1 cm - tempo occorrente per metà consolidazione (Um = 50%, Tv = 0.197) t = (Tv / cv) (H / 2)2 = 810514 s = 9.4 giorni

Esercizio 23Nella tabella sottostante sono riportate le misure eseguite al termine della consolidazione durante una prova di compressione edometrica su un provino di argilla. punto n. 1 2 3 4 5 6 7σ'v (kPa) 50 100 150 200 250 200 150h (mm) 20.23 19.89 19.70 19.35 19.07 19.18 19.32L'altezza iniziale del provino era: h0 (mm) = 20La massa specifica relativa dei grani è: Gs = ρs / ρw = 2.75I dati per il calcolo del contenuto in acqua al termine della prova sono:

massa del contenitore vuoto: mc = 4.97 gmassa del contenitore + provino umimc + m = 23.85 gmassa del contenitore + provino sec mc + ms = 20.52 g

Calcolare in contenuto in acqua e l'indice dei vuoti a fine prova, assumendo che il provino sia saturo. Si faccia riferimento alla teoria dello stato critico e al modello Cam clay.Disegnare il grafico volume specifico v - logaritmo naturale della pressione verticale efficace σ'v

Calcolare la pressione di consolidazione e le pendenze delle linee di compressione edometricavergine e di scarico-ricarico.

Soluzione:massa del provino umido a fine prova: m = 18.88 gmassa del provino secco a fine prova: ms = 15.55 gmassa dell'acqua nel provino a fine prova: mw = m - ms = 3.33 g

contenuto in acqua a fine prova: w = 100 mw / ms = 21.415 %indice dei vuoti a fine prova: efin = Vw / Vs = (w/100) Gs = 0.589volume specifico a fine prova: vfin = 1 + efin = 1.589indice dei vuoti a inizio prova: e0 = (efin + 1) h0/hfin - 1 = 0.645volume specifico a inizio prova: v0 = 1 + e0 = 1.645In generale: v = (v0/h0) h v0/h0 = 0.0822

punto n. 1 2 3 4 5 6 7v 1.664 1.636 1.620 1.591 1.568 1.577 1.589ln(σ'v) 3.912 4.605 5.011 5.298 5.521 5.298 5.011

linea di ricarico (tra i punti 1 e 2)x y

1 3.912 1.664 pendenza κ = -0.04032 4.605 1.636 intercetta vκ = 1.822

linea di carico vergine (tra i punti 4 e 5)x y

4 5.298 1.591 pendenza λ = -0.10325 5.521 1.568 intercetta N = 2.138

linea di scarico (tra i punti 6 e 7)x y

1 5.298 1.577 pendenza κ = -0.04002 5.011 1.589 intercetta vκ = 1.789

ascissa del punto di intersezione tra le linee di ricarico e di carico vergine:ln (σ'vc) = 5.037

pressione di consolidazione σ'vc = 154 kPa

Esercizio 24Due serbatoi cilindrici eguali trasmettono al terreno una pressione verticale uniforme.Le condizioni geometrichee geotecniche sono indicate in figura. 1) Stimare i cedimenti di consolidazione edometrica dei punti A, B, C e D, situati in superficie, sulla retta congiungente i centri dei due serbatoi, nelle posizioni indicate in figura.2) Stimare i cedimenti dopo il tempo t dall'applicazione del carico nell'ipotesi che vi siano sottili e continui strati drenanti di sabbia alle profondità: 0.3R, 0.5R, 0.7R, R, 1.5R, 2R, 2.5R, 3R, 5R, 7R

1.56

1.58

1.6

1.62

1.64

1.66

1.68

3.5 4 4.5 5 5.5 6

ln (σ'v)

v

1.56

1.58

1.6

1.62

1.64

1.66

1.68

10 100 1000

σ'v (kPa)

v

e 10R.In tabella sono riportati i coefficienti Iz per il calcolo della tensione verticale σz indotta da una superficie circolare di raggio R, flessibile e uniformemente caricata con pressione p, su semispazio elastico(σz = p Iz). r è la distanza in orizzontale del punto considerato dal centro della superficie circolare caricata, z è la profondità.

r / R = 0 0.5 1 1.5 2 3 5z / R

0 1.000 1.000 0.500 0.000 0.000 0.000 0.0000.3 0.977 0.943 0.452 0.022 0.002 0.000 0.0000.5 0.911 0.832 0.418 0.060 0.010 0.000 0.0000.7 0.812 0.713 0.387 0.095 0.023 0.002 0.0001 0.647 0.556 0.333 0.126 0.042 0.006 0.001

1.5 0.424 0.372 0.256 0.137 0.065 0.014 0.0012 0.285 0.256 0.196 0.127 0.073 0.022 0.008

2.5 0.200 0.184 0.151 0.109 0.072 0.028 0.0043 0.146 0.136 0.118 0.092 0.067 0.031 0.0075 0.057 0.055 0.052 0.046 0.041 0.027 0.0117 0.030 0.029 0.028 0.027 0.025 0.020 0.01010 0.015 0.015 0.014 0.014 0.014 0.012 0.009

Dati:2R = 12 mH = 60 mp = 67 kPa

proprietà geotecniche dell'argilla N.C.:wL = 47 %wP = 18.8 %IP = 28.2 %w = 42.3 %cu/σ'v0 = 0.24γ = 17.8 kN/m3

γw = 9.81 kN/m3

e0 = 1.121Cc = 0.340Cs = 0.0238cv = 3.20E-03 cm2/st = 1 mesi

Soluzione:Pressione verticale litostatica efficace σ'vo = (γ - γw) z =γ' zConsidero n. 11 strati con profondità del punto medio zm e spessore H0. Calcolo la pressione indotta per sovrapposizione di effetti.A ∆σ'v (A) = p [Iz(r/R=0) + Iz(r/R=4)]B ∆σ'v (B) = p [Iz(r/R=1) + Iz(r/R=3)]C ∆σ'v (C) = p [Iz(r/R=2) + Iz(r/R=2)]D ∆σ'v (D) = p [Iz(r/R=1) + Iz(r/R=5)]

I coefficienti Iz non in tabella sono ottenuti per interpolazione lineare.Strato n. zm (m) H0 (m) σ'v0 (kPa) ∆σ'v (A) ∆σ'v (B) ∆σ'v (C) ∆σ'v (D)

1 0.9 1.8 7.19 66.23 31.89 0.13 31.892 2.4 1.2 19.18 63.25 29.15 0.80 29.15

L = 4R2R

H Argilla N.C.

Sabbia

livello di falda

A CB D

3 3.6 1.2 28.76 57.75 27.03 2.21 26.974 5.1 1.8 40.75 49.03 24.39 4.36 24.155 7.5 3 59.93 36.25 20.40 7.17 19.806 10.5 3 83.90 24.51 16.35 9.25 15.447 13.5 3 107.87 17.29 13.30 9.72 12.038 16.5 3 131.84 12.76 10.99 9.31 9.389 24 12 191.76 8.07 7.64 7.24 6.3010 36 12 287.64 4.05 4.25 4.42 3.3811 51 18 407.49 2.36 2.48 2.61 2.04

1) Il cedimento di consolidazione è stimato con l'equazione: s = Σ∆H = Cc/(1+e0) Σ[H0 log((σ'v0+∆σ'v)/σ'v0)] Cc/(1+e0) = cost. = 0.1603

A B C DStrato n. ∆H (cm) ∆H (cm) ∆H (cm) ∆H (cm)

1 29.1 21.2 0.2 21.22 12.2 7.7 0.3 7.73 9.2 5.5 0.6 5.54 9.9 5.9 1.3 5.85 9.9 6.1 2.4 6.06 5.4 3.7 2.2 3.57 3.1 2.4 1.8 2.28 1.9 1.7 1.4 1.49 3.4 3.3 3.1 2.710 1.2 1.2 1.3 1.011 0.7 0.8 0.8 0.6

s = Σ∆H = 86.0 59.5 15.4 57.7 cm

2) Il grado di consolidazione medio per ciascuno strato e quindi il cedimento avvenuto al tempo t dall'applicazione del carico è calcolato con l'equazione approssimata di Sivaram e Swamee (1977):Um = (4Tv/π)0.5/[1+(4Tv/π)2.8]0.179 con Tv = (cv t) / (H0i/2)2 cv t = 0.8294 m2

A B C DStrato n. zm (m) H0i (m) Tv Um (%) ∆H (t) ∆H (t) ∆H (t) ∆H (t)

1 0.9 1.8 1.024 0.932 27.1 19.8 0.2 19.82 2.4 1.2 2.304 0.990 12.1 7.6 0.3 7.63 3.6 1.2 2.304 0.990 9.1 5.5 0.6 5.54 5.1 1.8 1.024 0.932 9.2 5.5 1.2 5.45 7.5 3 0.369 0.671 6.6 4.1 1.6 4.06 10.5 3 0.369 0.671 3.6 2.5 1.5 2.47 13.5 3 0.369 0.671 2.1 1.6 1.2 1.58 16.5 3 0.369 0.671 1.3 1.1 1.0 1.09 24 12 0.023 0.171 0.6 0.6 0.5 0.510 36 12 0.023 0.171 0.2 0.2 0.2 0.211 51 18 0.010 0.114 0.1 0.1 0.1 0.1

s (t) = Σ∆H (t) = 72.0 48.6 8.4 47.9(cm)

Esercizio 25Il calcolo del cedimento di un'opera fondata su uno strato di argilla drenato superiormente e inferiormenteha dato i seguenti risultati:cedimento totale: 20 cmcedimento dopo un tempo di 3 anni dall'applicazione del carico: 8 cma) nell'ipotesi che lo strato di argilla possa drenare da un solo lato, calcolare il cedimento totale e il tem-po necessario ad ottenere un cedimento di 8 cmb) un'indagine integrativa ha confermato l'esistenza di uno strato sabbioso drenante alla base dello stra-to di argilla, e mostrato la presenza di livelli sabbiosi continui a 1/3 e a 2/3 dello spessore dello strato diargilla. Calcolare il cedimento totale e il tempo necessario ad ottenere un cedimento di cm

c) i risultati di prove di compressibilità su campioni prelevati nello strato di argilla sono leggermente diffe-renti dai valori considerati nel calcolo preliminare:l'indice di compressione misurato, Cc, è l' 80 % del valore inizialmente stimato,il coefficiente di consolidazione, cv, è il 70 % del valore inizialmente stimato,calcolare il cedimento totale ed il tempo necessario a ottenere un cedimento di cm 8Dati:cedimento totale: 20 cmcedimento dopo un tempo di 3 anni dall'applicazione del carico: 8 cmlivelli drenanti a 1/3 e 2/3 dello spessorel'indice di compressione misurato, Cc, è l' 80 % del valore inizialmente stimato,il coefficiente di consolidazione, cv, è il 70 % del valore inizialmente stimato,Soluzione:a) il cedimento totale rimane invariato: stot = 20 cmposto:t1 = tempo relativo al drenaggio su un solo latot2 = tempo relativo al drenaggio da entrambi i lati = 3 annit1 = 4 t2 = 12 anni (il tempo è proporzionale al quadrato dell'altezza di drenaggio)b) il cedimento totale rimane invariato: stot = 20 cmposto:t3 = tempo relativo a strati di spessore 1/3 drenati da entrambi i latit3 = t2/9 = 0.33 anni = 4 mesic) il cedimento finale risulta: 16 cmil cedimento s (cm) = 8 corrisponde:1) nel caso di drenaggio superiore e inferiore dello strato di argilla (h(1) = H/2) e cedimento totalestot (cm) = 20 a U(%) = 40 e Tv (1) = 0.126è inoltre t(1) = t2 = 3 anni = 36 mesi2) nel caso di livelli drenanti supplementari a 1/3 e 2/3 di H (h(2) = H/6) e cedimento totale stot (cm) = 16 a U(%) = 50 e Tv (2) = 0.196è inoltre cv(2)/cv(1) = 0.7quindi t(2) = [Tv(2)/Tv(1)] x [(cv(1)/cv(2) x (2/6)^2 x t(1) = 8.93 mesi

Esercizio 26Durante una prova edometrica un provino di argilla satura di spessore d1 raggiunge il 50% dellaconsolidazione in un tempo t1. Quanto tempo occorre ad uno strato della stessa argilla di spes-sore d2 per raggiungere lo stesso grado di consolidazione nelle stesse condizioni di tensione e didrenaggio? Quanto ne occorre per raggiungere il grado di consolidazione 30%?dati:d1 = 19 mm d2 = 5 mt1 = 20 minSoluzioneU = f (Tv) = f (4cv t / d

2) quindi se cv è costante: (t1 / d12) = (t2 / d2

2)da cui, per U = 50%: t2 = 1385042 min = 2.635 anniper U < 60% con buona approssimazione si può porre: Tv = (π/4) U2

dunque: t30% = t50% (30/50)2 = 0.949 anni

Esercizio 27Uno strato di argilla di spessore H è sottoposto ad un carico verticale uniforme infinitamente estesodi intensità q. Dopo un tempo t dall'applicazione del carico la consolidazione media è del 50%.a) Quanto vale il coefficiente di consolidazione verticale nell'ipotesi di drenaggio nelle due direzioni?b) Se il coefficiente di permeabilità vale k, quale è il cedimento al tempo t? dati:H (m) = 6 t (anni) = 1 γw (kN/m3) = 10

q (kPa) = 60 k (m/anno) = 0.03Dati:H (m) = 6 t (anni) = 1 γw (kN/m3) = 10q (kPa) = 60 k (m/anno) = 0.03Soluzione:a) cv = Tv (H/2)2 /t = 1.773 m2/anno 5.62E-08 m2/s

b) mv = k/(cv γw) = 0.001692 m2/kNsfin = q H mv = 0.609 ms50% = 0.5 sfin = 0.305 m

Esercizio 28Uno strato di terreno di riporto sabbioso (γ = 19 kN/m3) viene distribuito su un'area molto grande,per uno spessore H = 3 m, su uno strato di argilla, di spessore H1 = 8 m e con il livello di falda al piano di campagna. Il coefficiente di consolidazione verticale dell'argilla è cv = 8 m2/anno, e il peso di volume saturo è γsat = 22 kN/m3.Determinare la pressione neutra e la tensione efficace verticale al centro dello strato di argilla3 mesi dopo la realizzazione del rilevato, nell'ipotesi che esso sia collocato istantaneamente e chelo strato di argilla sia drenato inferiormente da uno strato di materiale permeabile.Dati:

HR= 3 (m)γR = 19 (kN/m3)H1= 8 (m)

γsat = 22 (kN/m3)Ζw = 0 (m)cv = 8 (m2/anno)

γw = 9.81 (kN/m3)t = 3 (mesi)

Soluzione:Si determina la pressione neutra e la tensione efficace verticale al centro dello strato di argilla prima dell'applicazione del sovraccarico.Quindi noto il sovraccarico,∆σ'v, applicato si determina la sovrappressione iniziale, ∆u0, al centro dello strato di argillaProf (m)* σ'vo (kPa) u0 (kPa) ∆σ'v (kPa) ∆u0 (kPa) * dal piano di campagna originale

4 48.76 39.24 57 57

Si ricava il fattore di tempo adimensionale, Tv, corrispondente a t = 3 mesi, dalla relazione:Tv = (cv t)/H

2

e il grado di consolidazione medio, Um = [u(z,0) - u(z,t)]/u(z,0)dal diagramma di Taylor (1948):

Tv = 0.125z/Hd = 1Um = 0.1

Da cui si ricava l'eccesso di pressione neutra, ∆ut, dissipata e quindi la pressione neutra,ut, all'istante considerato:

Prof (m) ∆ut (kPa) uf (kPa) σvf (kPa) σ'vf (kPa)4 5.7 90.54 145 54.46

Esercizio 29Una prova edometrica eseguita su un campione di argilla satura ha dato i seguenti risultati relativamenteall'incremento di pressione da 100 a 200 kPa.

Tempo, t(min)

Tempo, t(min)

0.00 4.000.25 5.000.50 7.000.75 11.001.00 16.001.50 30.002.25 90.00

Conoscendo l'altezza iniziale del provino H0 = 19 mm, determinare il coefficiente di compressibilità, mv,il coefficiente di consolidazione verticale, cv, e il coefficiente di permeabilità, k, del terreno.Dati:H0 (mm) = 19

∆H(mm)

H(mm)

t(min)

(t)1/2

(min)1/2

0.610 18.390 0.00 0.0000.960 18.040 0.25 0.5001.060 17.940 0.50 0.7071.160 17.840 0.75 0.8661.240 17.760 1.00 1.0001.350 17.650 1.50 1.2251.450 17.550 2.25 1.5001.600 17.400 4.00 2.0001.660 17.340 5.00 2.2361.730 17.270 7.00 2.6461.790 17.210 11.00 3.3171.820 17.180 16.00 4.0001.860 17.140 30.00 5.4771.920 17.080 90.00 9.487

Pressione di consolidazione iniziale, σ'i (kPa)= 100Pressione di consolidazione finale, σ'f (kPa) = 200γw (kN/m3) = 9.81Soluzione: Retta con a) Si applica il metodo di Taylor per determinare il t90 ascisse incrementate

H(mm)

(t)1/2

(min)1/2

18.349 0.00018.10361 0.50018.00196 0.70717.92397 0.86617.85822 1.00017.74792 1.22517.61283 1.50017.36743 2.00017.25158 2.23617.05051 2.64616.72126 3.31716.38587 4.00015.66087 5.477

1.450 1.920

1.240 1.8201.350 1.860

1.060 1.7301.160 1.790

0.610 1.6000.960 1.660

Abbassamento, ∆H(mm)

Abbassamento, ∆H(mm)

y = -0.5644x + 18.349R2 = 0.9875

17.00

17.40

17.80

18.20

18.60

19.00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10(t)1/2 (min)1/2

H (m

m)

H90

(t90)1/2

Equazione della retta interpolatrice: y=mx+qm= -0.5644 q= 18.349Equazione della retta con ascisse incrementate di 1.15: y=m'x+q'm' -0.490783 = m/1.15 q' 18.349 =q

Da cui (t90)1/2 = 1.85 (min)1/2

e quindi (t90)= 3.42 (min)L'altezza corrispondente è:H90 = 17.45 (mm)L'altezza iniziale corretta è data dall'interecetta della retta interpolatrice:Hi = 18.349 (mm)L'altezza del provino alla fine del processo di consolidazione è:Hf = Hi-(10/9) (Hi-H90) = 17.350 (mm)L'altezza media del provino durante l'incremento di carico è:Hm= 17.850 (mm)Da cui si ricava l'altezza di drenaggio:H = Hm/2 = 8.925 (mm)Il fattore di tempo adimensionale corrispondente a Um = 90% è:TV = 0.848da cui si ricava il coefficiente di consolidazione verticale:cv= (H2 Tv)/t90= 19.7 (mm2/min)cv= 3.3E-07 (m2/s)

Si determina il coefficiente di compressibilità, mv = ∆εv/∆σ'v = 0.57 (m2/MN)Si ottiene così il coefficiente di permeabilità medio, k = cv γw mv = 1.83E-09 (m/s)

Esercizio 30Un deposito di terreno, delimitato inferiormente da un basamento roccioso, è costitutito a partire dalpiano di campagna da uno strato sabbioso di spessore 5 m e peso di volume saturo γsat = 19 kN/m3, seguito da uno strato argilloso, caratterizzato da una permeabilità k = 1.2x10-7 m/s e un moduloedometrico M = 1.57 MN/m2, e avente uno spessore 6 m e peso di volume saturo, γsat = 20 kN/m3. Uno strato di terreno di riporto di spessore 4 m e peso di volume γ = 20 kN/m3 viene posizionato sulla superficie del deposito lungo un'area molto estesa. Il livello di falda è al piano di campagnaDeterminare:a) il tempo necessario per raggiungere un grado di consolidazione del 70%b) l'andamento con la profondità della tensione efficace verticale nello strato di argilla: subito dopo la realizzazione del terrapieno (nell'ipotesi venga realizzato rapidamente), al 70% della consolidazione e alla fine del processo di consolidazione.Dati:

HA = 5 (m)HB = 6 (m)

γsatA = 19 (kN/m3)γsatB = 20 (kN/m3)

kB = 1.2E-08 (m/s)M = 1.57 (MN/m2)

HR = 4 (m)γR = 20 (kN/m3)Uz = 70 (%)

γw = 9.81 (kN/m3)Soluzione:

a) Noto il modulo edometrico si può ricavare il coefficiente di compressibilità di volume:mv = 1/M = 0.637 (m2/MN)e quindi il coefficiente di consolidazione verticale:cV = k/(γW mV) = 1.92E-06 (m2/s)Da cui per un grado di consolidazione medio Um = 70%, si ottiene:Tv = cV t /H2 = 0.403Essendo l'altezza di drenaggio:H = 6 (m)Si puoò ricavare il tempo necessario alla consolidazione:t = 87.4 (giorni)a) All'inizio del processo di consolidazione la sovrappressione, nell'ipotesi di carico uniforme edinfinitamente esteso, è costante con la profondità e pari al sovraccarico apllicato, cioè:∆u(z,t) = u0 = γR HR = 80 (kN/m2) (al variare della profondità)mentre alla fine del processo di consolidazione si suppone sia completamente dissipata:∆u(z,t) = 0 (kN/m2) (al variare della profondità)Quindi con riferimento alle profondità, misurate a partire dal tetto dello strato di argilla:z/H (z = 1,2,…,H)si determina l'andamento della tensione efficace verticale σ'v(z/H,t) = σv(z/H,t) - u(z/H,t)dove u(z/H,t)= u0 + ∆u(z/H,t)

Immediatamente dopo l'applicazione del carico (t = 0):

z (m)

z/H σv

(kN/m2)∆u(z,t)

(kN/m2)u0

(kN/m2)u

(kN/m2)σ'v

(kN/m2)0 0.00 175.00 80 49.05 129.05 45.951 0.17 195.00 80 58.86 138.86 56.142 0.33 215.00 80 68.67 148.67 66.333 0.50 235.00 80 78.48 158.48 76.524 0.67 255.00 80 88.29 168.29 86.715 0.83 275.00 80 98.10 178.10 96.906 1.00 295.00 80 107.91 187.91 107.09

Alla fine del processo di consolidazione:

z (m)

z/H σv

(kN/m2)∆u(z,t)

(kN/m2)u0

(kN/m2)u

(kN/m2)σ'v

(kN/m2)0 0.00 175.00 0 49.05 49.05 125.951 0.17 195.00 0 58.86 58.86 136.142 0.33 215.00 0 68.67 68.67 146.333 0.50 235.00 0 78.48 78.48 156.524 0.67 255.00 0 88.29 88.29 166.715 0.83 275.00 0 98.10 98.10 176.906 1.00 295.00 0 107.91 107.91 187.09

Per determinare il profilo delle tensioni al 70% della consolidazione, si fa riferimento al diagramma di Taylor (1948), dove si possono determinare per le profondità z/H considerate e per il valore di di TV

calcolato, i valori del grado di consolidazione Uz(z/H,TV) = (u0 - ∆u(z/H,Tv))/u0: e quindi della sovrappressione interstiziale:

z (m)

z/H σv

(kN/m2)Uz(-)

u0

(kN/m2)∆u(z,t)

(kN/m2)u

(kN/m2)σ'v

(kN/m2)0 0.00 175.00 1 49.05 0.00 49.05 125.95 Um = 0 %1 0.17 195.00 0.88 58.86 7.06 65.92 129.08 Um = 70 %2 0.33 215.00 0.76 68.67 16.48 85.15 129.85 Um = 100 %3 0.50 235.00 0.66 78.48 26.68 105.16 129.844 0.67 255.00 0.6 88.29 35.32 123.61 131.395 0.83 275.00 0.54 98.10 45.13 143.23 131.776 1.00 295.00 0.52 107.91 51.80 159.71 135.29

Esercizio 31 Un rilevato di grande estensione trasmette una pressione verticale uniforme di intensità p ad uno strato di argilla torbosa NC di spessore H sovrastante un substrato rigido.La falda freatica coincide con il piano campagna.Sono noti i valori medi del peso di volume, γ, dell'indice dei vuoti iniziale, e0, e dell'indice di compressione, Cc, dell'argilla torbosa.Confrontare le stime del cedimento edometrico che si ottengono:a) dividendo lo strato H in 2 sottostrati di eguale spessore,b) dividendo lo strato H in 4 sottostrati di eguale spessore,c) per integrazione.N.B. Si ricorda che:

Dati:p = 18 kPa γ = 16 kN/m3

H = 12 m e0 = 1.8γw = 9.8 kN/m3 Cc = 0.7Soluzione:Cc / (1 + e0 ) = 0.25 σ'v0i = γ' Zi ∆σ'v = pγ' = γ - γw = 6.2 kN/m3

∆H = Σ∆Hi = Cc/(1+e0) Hi Σ log [(σ'v0i + ∆σ'vo)/σ'v0i]a) suddivisione di H in 2 sottostratiHi = H/2 = 6 m

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0 50 100 150 200σ'v (kN/m2)

z/H

Um = 0 %Um = 100 %Um = 70 %

( ) ( ) ( ) ( )( )

+−+⋅+=⋅+∫ 10ln

bazbazlogbaza1dzbazlog

i Zi σ'v0i ∆σ'v ∆Hi

(m) (kPa) (kPa) (cm)1 3 18.6 18 44.12 9 55.8 18 18.2

∆H = 62.3 cmb) suddivisione di H in 4 sottostratiHi = H/4 = 3 m

i Zi σ'v0i ∆σ'v ∆Hi

(m) (kPa) (kPa) (cm)1 1.5 9.3 18 35.12 4.5 27.9 18 16.23 7.5 46.5 18 10.74 10.5 65.1 18 8.0

∆H = 69.9 cmc) per integrazione

γ' H = 74.4 kPa∆H = 79.8 cm

Esercizio 32Un serbatoio cilindrico di raggio r = 10 m trasmette al terreno sottostante una pressione uniforme diintensità p = 100 kPa. Il deposito sottostante è costitutito da uno strato di sabbia (γ = 18 kN/m3;γsat = 19.4 kN/m3) di spessore H1 = 3 m, seguito da uno strato di argille e limi (w = 62%;GS = 2.7) di spessore H2 = 4 me poggia su un basamento roccioso. Il livello di falda è a 2 m dal piano di campagna.Al centro dello strato di terreno coesivo è stato prelevato un campione su cui è stata effettuata una prova edometrica. I risultati in termini di indice dei vuoti, e, in funzione dell'incremento di tensione verticale applicata, σ'v, e di abbassamento,∆H, in funzione del tempo,t, (per una tensione verticale di 200 kPa) sono di seguito riportati. L'altezza iniziale del provino è 20 mm

σ'v (kPa) 25 50 100 200 400 800e (−) 1.66 1.65 1.55 1.42 1.28 1.15

t (min) 0 0.25 1 4 9 16 36 64∆H (mm) 0 0.22 0.42 0.6 0.71 0.79 0.86 0.91t (min) 100∆H (mm) 0.93

Determinare:a) il grado di sovraconsolidazione dell'argilla;b) il diagramma ∆H - e il cedimento di consolidazione verticale cv;c) il cedimento di consolidazione primaria dello strato di terreno coesivo assumendo che l'incremento della tensione verticale indotto dal serbatoio sia uniforme a parità di profondità e pari a quello calcolato in corrispondenza dell'asse.

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

⋅⋅−⋅−+⋅⋅

+⋅⋅

+=

=⋅⋅+

⋅+

= ∫

H'logHplog'ppH'log

'pH'

e1C

dzz'pz'log

e1CH

0

c

H

00

c

γγ

γγ

γ

γγ∆

t

Dati:r (m) = 10p (kPa) = 100γ (kN/m3) = 18γsat (kN/m3) 19.4H1 (m) = 3w (%) = 62GS (-) = 2.7H2 (m) = 4Ζw (m) = 2γw (kN/m3) 9.81H0 (mm) = 20Soluzione:

a)Calcolo della pressione di preconsolidazione σ'pcol metodo di Casagrandeσ'p (kPa) = 62

Calcolo dell'indice dei vuoti iniziale e0 dell'argilla saturae0 (-) = 1.674

Calcolo del peso di volume saturo dell'argilla γsat

γsat (kN/m3) 16.0

Calcolo della tensione efficace verticale al centro dello strato di argilla σ'v0

σ'v0 (kPa) = 58.06

Calcolo del grado di sovraconsolidazione OCROCR (-) = 1.1L'argilla è normalconsolidata

b) (min) 0 0.5 1 2 3 4 6 8∆H (mm) 0 0.22 0.42 0.6 0.71 0.79 0.86 0.91 (min) 10∆H (mm) 0.93

t

1.15

1.25

1.35

1.45

1.55

1.65

1.75

10 100 1000

σ'v (log) [kPa]

e

t

(min1/2) = 2 (min1/2) = 2.3 (min1/2) = 1.1t90 (min) = 1.2

Si calcola l'altezza finale del provino allo step 200 kPa di consolidazione, Hf

∆e = -0.254∆H (mm) = 1.900Hf (mm) = 18.100Si calcola l'altezza iniziale del provino allo step 200 kPa di consolidazione, Hi

∆e = -0.124∆H (mm) = 0.93Hi (mm) = 19.07Si calcola l'altezza media del provino allo step 200 kPa di consolidazione, Hm

Hm (mm) = 18.586Si calcola il percorso di drenaggio Hdr

Hdr (mm) = 9.293Si calcola il coefficiente di consolidazione verticale, cv (TV = 0.848 per Um = 90%)cv (m

2/s) = 1.01E-06

c)L'argilla è NC per cui si applica la formula:

cc (-) = 0.45

Lo strato di argilla viene suddiviso in 4 sottostrati di di spessore 1 m ∆hi (m) = 1Per il calcolo dell'incremento della tensione verticael sotto l'asse della fondazione si adotta la formula:

Stratoz(m)

σ'v0

(kPa) ∆σ'v

(kPa)∆Η (mm)

1 3.5 48.71 96.39 79.512 4.5 54.95 93.09 72.193 5.5 61.18 88.81 65.314 6.5 67.42 83.81 58.84Si calcola il cedimento totale ∆H (mm) = 275.85

AtBt

90t

0v

v0v

0

c0 '

'loge1cHH

σσ∆σ∆ +

⋅+

⋅=

+

−⋅= 2/320

v

zr1

11p'σ∆

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 2 4 6 8 10 12[min1/2]

∆H [m

m]

t

At Bt

90t