max /min f(x, y) = x2 + y2 con vincolo x + y = 1.Il vincolo definisce la retta di equazione y = 1 −x. Le curve di livello di f sono

circonferenze centrate nell origine, di raggio crescente al crescere di ’ k. La figura afianco aiuta a capire che c `e un punto di minimo (globale) vincolato dove indicato. Si’vede anche che la funzione non `e poi superiormente limitata sul vincolo. Per trovareil punto di minimo si pu`o semplicemente dire che per ragioni di simmetria il punto

deve stare sulla bisettrice del primo quadrante e quindi `e il punto ( 1/2 , 1/2 ). Si puo ancheprocedere come prima imponendo che la retta e la circonferenza si incontrino in unsolo punto.

Esercizio

z=4x-6y-x^2-y^2

Curva di livello generica:

4x-6y-x^2-y^2-z=0

Si tratta di circonferenze concentriche di centro C(2;-3) e raggio r=radq 13-z; dunque z minore uguale 13 e all aumentare di z diminuisce il raggio. ’

Si avr una situazione estrema nella circonferenza pi piccola (raggio=0); essendoci relazione inversa fra z e à ùraggio rappresenter un massimo relativo.à

Massimo relativo per x=2 e y=-3 z=13 (il massimo vale 13, il punto di massimo ha coordinate (2,-3,13) )

Procedimento algebrico:

1. Si calcolano le due derivate parziali prime F'x ; F'y

2. Si calcolano i punti critici (potenziali estremi relativi) risolvendo il sistema delle derivate parziali prime poste uguali a 0 F'x=0 e F'y=0

3. Si calcolano le quattro derivate seconde F''xx F''yy F''xy F''yx

4. Si calcola l Hessiano, ovvero il determinante della matrice quadrata del secondo ordine formata dalle ’derivate seconde

5. Si valuta, per ogni punto critico, il segno dell Hessiano’