CURVE E SUPERFICIE 2

Fabrizio Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

CURVE E SUPERFICIE 2

proipprietà proiettive e stereotomiche delle coniche e classificazione proiettiva delle quadriche

F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

1. La relazione tra 1. La relazione tra proprietà proprietà metriche e metriche e proprietà proprietà stereotomiche:stereotomiche:

Teorema di Quetelet Teorema di Quetelet e Dandeline Dandelin


4. Teorema di Quetelet e Dandelin4. Teorema di Quetelet e Dandelin. .

In una superficie conica rotonda sezionata con un piano non // a una generatrice (caso dell’ellisse e dell’iperbole) esistono due sfere iscritte alla superficie conica e tangenti al piano nei fuochi F1 e F2 della conica. Se è // a una generatrice esiste una sola sfera iscritta alla superficie e tangente al piano nel fuoco F della parabola.

Inoltre i piani dei circoli di contatto delle sfere iscritte con la superficie conica intersecano il piano sezionante nelle direttrici della sezione conica.


Per dimostrare questa proposizione si consideri la sezione con il piano e che passa per l’asse v della superficie conica; esso taglia la superficie secondo due generatrici g1 e g2 e individua su l’asse principale A1 A2 della conica.

In quel piano le due sfere iscritte alla superficie conica e tangenti a risultano tagliate in due cerchi massimi che si possono disegnare facilmente uno come il circolo (di centro C1) iscritto al triangolo VA1A e l’altro come quel circolo (di centro C2) ex-iscritto del trilatero VA1A2 che ha centro sull’asse v.


È evidente che il trilatero VA1A2 rappresenta le tangenti condotte dai punti A1,e A2 ai due circoli di centri C1 e C2 nei punti Q2, Q1, F2, F1, R2, R1. E per la simmetria del cerchio sono ovviamente uguali i due segmenti di tangente che vanno dai punti di contatto R e Q ai punti esterni A per i quali si conducono tali tangenti:

così A1Q1 = A1F1 e A1F2 = A1R1.


Si vede dunque come sia A1Q1 + A1R1 = 2a (lunghezza dell’asse focale A1A2 della conica) e quindi come un qualsiasi segmento di generatrice compreso tra i due circoli di contatto delle sfere iscritte abbia estensione uguale all’asse focale A1A2.

Si immagini uno qualunque di questi segmenti di generatrice P1P2 compresi tra i due circoli di contatto intersecare il piano nel punto P.

I segmenti PP1 e PP2 (distanze di P dai circoli di contatto) sono i segmenti di tangenti condotte da P alle due sfere iscritte e per la simmetria della sfera si può constatare che PP1 = PF1 e PP2 = PF2 e concludere che PF1 + PF2 = A1A2 = 2a, cioè che tutti i possibili punti P della sezione individuano un’ellisse poiché sono tali per cui resta costante (= 2a)la somma delle loro distanze da F1 e da F2.


2. Coniche come trasformazioni 2. Coniche come trasformazioni proiettive del circoloproiettive del circolo


QUADRICHE


3. Trasformazioni omografiche della 3. Trasformazioni omografiche della sferasfera


PUNTO ELLITTICO


ellissonide


paraboloidi


4. Trasformazione omografica della 4. Trasformazione omografica della superficie conica rotondasuperficie conica rotonda


PUNTO PARABOLICO


P.L. Nervi: Aviorimesse a Orvieto (1935)


F. Dischinger: Copertura del mercato di Lipsia

(1929


Mole antonelliana a Torino (1863-80)


5. iperboloidi5. iperboloidi


PUNTO IPERBOLICO

DIREZIONE ASINTOTICA


Paraboloide iperbolico: sezioni parabolociche


Paraboloide iperbolico:sezioni iperboliche


Paraboloide iperbolico come superficie rigata


Iperboloide a una falda


V. Choukhov: Torre radio a Mosca (1922),...........

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