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Esercizi 3

(1) Esercitatevi al calcolo delle derivate derivando le seguenti funzioni:

cos x ln(sin x), ln(ex − 1x), ln

(x2 − 1x2 + 1

),

sinx + x

cos x + x,

x3 − 2x + 1x2 − x + 2

, x cos ex,

xx,x2 − ex

x2 + ex,

1x2 − 1

x3

1√x− 1

3√x

,

ex2−x,ex + 1ex − 1

,x2 − cos(x2)x2 + cos(x2)

,

tan(x2)x + 1

, sin(x3 + x2), tan2(x2).

(2) Sia f(x) la funzione definita da:

f(x) =

{ex2−1

3√xper x 6= 0

0 per x = 0.

Determinare f ′(x) in ogni punto del suo dominio.

(3) Determinare l’equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) =√

x− 3√xx+1 nel

punto di ascissa x0 = 1. E’ gradita la spiegazione del perche tale tangente esiste.

(4) Quali tra le seguenti funzioni sono strettamente monotone su tutto il proprio dominio?

−x3 − x2,x

x2 + 1,

x2

x2 + 1, e−x2

,√

1 + x2 − x.

(5) Quali tra le seguenti funzioni sono convesse su tutto il proprio dominio?

x4 + x2 − x,x

x + 1,

x2

x2 + 1, e

√x+1, log(ex + 1).

(6) La funzione f(x) = xx, definita per x > 0 e crescente in tutto il suo dominio? E convessa?

(7) Sia P0 = (x0, y0) un punto generico sul grafico della funzione f(x) = x(x− 1)(x + 1) =x3 − x. Considerate la retta tangente al grafico e passante per P0. Tale retta intersecail grafico anche in un altro punto P0. Trovate le coordinate di P0 in dipendenza dalgenerico P0.

1

(8) Utilizzando gli sviluppi di Taylor delle funzioni elementari (o il Teorema di de l’Hopitalo qualsiasi altro metodo lecito), verificate la correttezza dei seguenti limiti:

limx→0

sinx− x

x3= −1

6, lim

x→0

xex − x2 − sinx

x3=

23, lim

x→0

x2 − sin2 x

x− ln(1 + x)= 0,

limx→0

3√

1− sinx− 1 + x3

x2= −1

9, lim

x→0

ex2/2 + cos x− 2x4

=16, lim

x→∞

x4 sin(

1x2

)− x2

x4 + 1= 0,

limx→∞

(x + sinx) ln(x2 − 1

x2 + 3

)= 0, lim

x→1

lnx

sin(πx)= − 1

π, lim

x→∞

ln(ex + x)x

= 1.

(9) Studiare le seguenti funzioni:

x3 − 2x2 + x− 1,x4 + 1x2 + 1

,x + 3x2 + 1

,

x2 + 1x3 − 1

, ln(sin x), x + lnx,

ln(ex − 1), x− sinx,√

x+1√x−1

.

2

Soluzioni

(1) Nel medesimo ordine:

− sinx ln(sin x) +cos2 x

sinx,

ex + 1x2

ex − 1x

,4x

x4 − 1,

1 + cos x− sinx + x(cos x + sin x)(cos x + x)2

,x4 − 2x3 + 8x2 − 2x− 3

(x2 − x + 2)2, cos(ex)− xex sin(ex),

(1 + lnx)xx,2(2x− x2)ex

(x2 + ex)2,

− 3/2x3√

x+ 5/2

x4√

x+ 5/3

x3 3√x− 8/3

x4 3√x(1√x− 1

3√x

)2 ,

(2x− 1)ex2−x,−2ex

(ex − 1)2, 4x · x2 sin(x2) + cos(x2)

(x2 + cos(x2))2,

2x(x + 1)− sin(x2) cos(x2)(x + 1)2 cos2(x2)

, (3x2 + 2x) cos(x3 + x2),4x sin(x2)cos3(x2)

.

(2) Il calcolo di f ′(x) quando x 6= 0 puo procedere per via formale (composizione di funzioniderivabili), e quindi se x 6= 0,

f ′(x) =2xex2

3√

x− (ex2 − 1) 1

33√

x2

3√

x2=

6x2ex2 − ex2+ 1

3 3√

x4.

Per il calcolo di f ′(x) usiamo invece la definizione di derivata (perche neanche siamocerti che f ′(0) esista!). Abbiamo:

limx→0

f(x)− f(0)x

= limx→0

ex2−13√x

− 0

x= lim

x→0

ex2 − 1x 3√

x= lim

x→0

x2 + o(x2)x4/3

= 0.

Di conseguenza f e derivabile anche in x = 0 con f ′(0) = 0.

(3) La funzione f e composizione di funzioni derivabili nel punto 1 quindi e anch’essa deriva-bile. Per tale motivo la retta tangente cercata esiste sicuramente. Dato che in generalela retta tangente al grafico di una funzione f nel punto di ascissa x0 soddisfa l’equazione

y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0),

nel nostro caso abbiamo

f(x) =√

x− 3√

x

x + 1=⇒ f ′(x) =

[(x−1/2

2 − x−2/3

3 )(x + 1)− (√

x− 3√

x)]· 1(x + 1)2

e quindif(1) = 0 e f ′(1) = 1

12

cosı l’equazione della tangente e:

y = 0 + 112(x− 1), ovvero y = x

12 −112 .

(4) La risposta puo essere ottenuta facilmente se si tiene conto che la monotonia di unafunzione derivabile puo essere dedotta a partire dal segno della sua derivata prima. Inparticolare una funzione la cui derivata cambi di segno non e monotona su tutto il propriodominio. Detto cio non resta che calcolare le derivate delle funzioni proposte, ottenendo,rispettivamente:

− 3x2 − 2x,1− x2

(x2 + 1)2,

2x− 2x3

(x2 + 1)2, − 2xe−x2

,x√

1 + x2− 1.

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Eguagliando a zero queste derivate si trova che tutte, tranne l’ultima, cambia effettiva-mente segno, di conseguenza l’unica funzione monotona su tutto il proprio dominio e√

1 + x2 − x.

(5) La risposta puo essere ottenuta facilmente se si tiene conto che una funzione derivabiledue volte e convessa se e solo se la sua derivata seconda non assume mai valori minoridi zero. Detto cio non resta che calcolare le derivate seconde delle funzioni proposte,ottenendo (con un po’ di pazienza), rispettivamente:

12x2 + 2, − 2(x + 1)3

,2− 6x2

(x2 + 1)3[

14x(1− 1√

x)]e√

x+1,ex

(ex + 1)2.

Eguagliando a zero queste derivate si trova che solo la prima e l’ultima sono semprenon-positive sul proprio dominio (la seconda cambia segno attorno al punto −1, la terzaattorno ai punti π

√1/3 e la quarta attorno ai punti 0 e 1) e quindi tra quelle proposte

solo x4 + x2 − 1 e log(ex + 1) sono funzioni convesse.

(6) La funzione f(x) = xx puo essere scritta anche come f(x) = ex ln x. Per i nostri scopila seconda forma e piu adatta perche da essa e facile ricavare l’espressione di f ′(x) edf ′′(x):

f ′(x) = (1 + lnx)xx, f ′′(x) = ( 1x + (1 + lnx)2)xx.

Da queste espressioni e evidente che f ′(1/e) = 0 e che f ′ cambia segno nell’intorno delpunto 1/e, di conseguenza f non e monotona (ha un minimo in 1/e). Dall’espressionedi f ′′ e evidente che f ′′(x) > 0 (ricordare che il dominio e x > 0) e quindi la funzione fe convessa.

(7) Sia P0 = (x0, x30 − x0). Allora P0 = (−2x0,−8x3

0 + 2x0).

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