Esercitazioni di Statistica Matematica ALezioni 4-5

Calcolo combinatorio

1.1) Un treno ha n carrozze, sulla banchina della stazione vi sono r passeggeri (r ≤ n).Se i passeggeri scelgono a caso ed indipendentemente la carrozza, qual e’ la probabilita’che ogni carrozza contenga non piu’ di un passeggero? [n!/(nr(n− r)!)]

1.2) In un teatro vi sono n + k sedie; scegliamone m e supponiamo che n spettatorientrino e si sistemino in maniera casuale ed indipendente. Qual e’ la probabilita’ che le msedie fissate siano tutte occupate? [(n + k −m)!n!/((n−m)!(n + k)!)]

1.3) In un torneo di pallavolo vi sono 2n squadre. Per protesta m di esse decidono dinon giocare la prima giornata.Si calcoli la probabilita’ che k delle n partite in programma

non vengano giocate.[(

nm− k

) (n−m + k2k −m

)22k−m

/ (2nm

)]Si calcolino i risultati esplicitamente nel caso n = 9, m = 11 e k = 6, 7, 8, 9.

[1008/31824,10080/31824,16128/31824,4608/31824]

Probabilita’ condizionate

2.1) In un gioco a premi vi sono n buste (n ≥ 3) di cui soltanto una contenente unpremio (conosciuta dal presentatore). Il concorrente sceglie una busta, quindi il presenta-tore ne apre k vuote tra quelle rimaste (dove k ≤ n−2); a questo punto il concorrente puo’scegliere se aprire la busta che ha scelto o cambiarla con una delle altre (ancora chiuse).Cosa gli conviene fare? [cambiare]

Variabili aleatorie discrete

3.1) Un’automobile puo essere venduta con una serie di optionals. La funzione dimassa f del numero di optionals scelti dal cliente e data da:

x 7 8 9 10 11 12 13f (x) 0.040 0.130 0.190 0.300 0.240 0.050 0.050.

1) Determinare la probabilita che un cliente scelga meno di 9 optionals. [0.17]2) Determinare la probabilita che un cliente scelga piu di 11 optionals. [0.11]3) Determinare la probabilita che un cliente scelga un numero di optionals compreso tra

8 e 12 (estremi inclusi). [0.91]4) Determinare la funzione di ripartizione di X.5) Calcolare il valore atteso degli optionals scelti [9.92] e la varianza. [1.9536].

1

3.2 Consideriamo le seguenti funzioni F e G:

F (x) =

0, x < 012 , 0 ≤ x < 134 , 1 ≤ x < 41, x ≥ 4

G (x) =

0, x < 012 , 0 ≤ x ≤ 134 , 1 < x < 41, x ≥ 4

1) Quale delle due e una funzione di ripartizione? [F]2) Risalire a X.3) Calcolare il valore atteso di X. [5/4]

3.3 Determinare la costante c ∈ R tale per cui la seguente funzione e una funzione dimassa:

f (x) = cx, per x = 1, 2, 3, 4.

[1/10]

Variabili aleatorie Binomiali

4.1) Assumendo che la probabilita’ che nasca un maschio sia 1/2, trovate la proba-bilita’ che in una famiglia con 4 figli ci sia1) almeno un maschio; [15/16]2) almeno un maschio e una femmina. [7/8]3) Consideriamo ora 4000 famiglie con 4 figli. Quante ci si aspetterebbe che abbiano

almeno un maschio e una femmina? [3500]

4.2) Se il 20% dei bulloni prodotti da una certa macchina e’ difettoso, determinate laprobabilita’ che, su 4 bulloni scelti a caso1) uno sia difettoso; [0.84]2) zero siano difettosi; [0.84]3) al massimo 2 siano difettosi. [608/625]4) Trovare la media e lo scarto quadratico medio della distribuzione dei bulloni difettosi

su un totale di 400 bulloni. [80; 8]

4.3) Durante un esame a risposta multipla con 5 domande e 3 possibili risposte perogni domanda.1) Quale e’ la probabilita’ che uno studente azzecchi almeno 4 risposte semplicemente

rispondendo a caso? [11/243]2) Quale e’ il numero medio di risposte azzeccate? [5/3]

2

4.4) La probabilita’ di laurearsi di uno studente che entra nell’Universita’ e’ 0.4.Determinate la probabilita’ che, su 5 studenti1) nessuno riesca a laurearsi; [0.65]2) uno riesca a laurearsi; [2 · 0.64]3) almeno uno riesca a laurearsi. [1− 0.65]

4.5) Un passeggero qualsiasi ha una probabilita’ p di non presentarsi all’imbarco,pertanto una compagnia aerea accetta N prenotazioni per un aereo con capienza n (n ≤ N).Qual e’ la probabilita’ che almeno un passeggero con regolare prenotazione resti a terra?Supponendo che p = 1/10, tale evento e’ piu’ probabile nel caso N = 22, n = 20 oppureN = 11, n = 10? [N = 11, n = 10]

4.6) Un processo di lavorazione fabbrica fusibili che dovrebbero avere una percentualedi pezzi difettosi non superiore a 1%. Il controllo si fa provando 10 fusibili a caso tra quelliprodotti e se anche solo uno di essi risulta difettoso, si ferma la produzione e si procedealla verifica dell’impianto.1) Se la probabilita’ di produrre un pezzo difettoso fosse esattamente 0.01, quale sarebbe

la probabilita’ di fermare l’impianto dopo un controllo? 0.9910]2) Quanti fusibili devono essere controllati affinche la probabilita’ di fermare l’impianto

sia pari a 0.95 nell’ipotesi che la percentuale di pezzi difettosi sia 10%? [almeno 29]

4.7) Un computer monta un masterizzatore A e un lettore cd-rom B di marche dif-ferenti. Il masterizzatore sbaglia a scrivere un bit con probabilita’ p; in lettura entrambihanno probabilita’ p0 di sbagliare un bit se il cd e’ stato scritto da un masterizzatore dellastessa marca, mentre sbagliano con probabilita’ p1 (p1 ≥ p0) se il disco e’ stato scritto daun masterizzatore di marca differente. Se l’input e’ un programma di k bit, si calcoli:

1) la probabilita’ di r errori in scrittura; [(

kr

)pr(1− p)k−r]

2) la probabilita’ che l’input e l’output coincidano in caso di rilettura con B; [(1 − p −p1 + 2pp1)k]

3) la media degli errori in scrittura e in scrittura+lettura con A. [kp, k(p + p0 − 2pp0)]4) Quando conviene utilizzare A per leggere il cd e quando conviene invece utilizzare B?

[conviene A se e solo se p ≤ 1/2]

4.8) Trovate la probabilita’ che in 5 lanci di un dado non truccato il 3 si presenti1) mai; [(5/6)5]2) almeno una volta; [1− (5/6)5]3) quattro volte. [25/64]

Variabili aleatorie Poissoniane

5.1) Tra le 2 e le 4 del pomeriggio, in media, al minuto, il numero di chiamatetelefoniche che arrivano ad un certo centralino e’ 2.5. Trovate la probabilita’ che, in unminuto, ci siano

3

1) zero; [0.0821]2) due; [0.2565]3) quattro o meno; [0.8912]4) piu’ di sei chiamate telefoniche; [0.0142]

5.2) Un certo tipo di foglio metallico, in media, ha 5 difetti per 10 mq. Se assumiamouna distribuzione di Poisson, qual’e’ la probabilita’ che un foglio di 15 mq avra’ almeno 3difetti? [0.9797]

5.3) In un lungo manoscritto, si e’ scoperto che solo il 13.5% delle pagine contengonoerrori tipografici. Se assumiamo che il numero di errori per pagina e’ una variabile aleatoriacon una distribuzione di Poisson, trovate la % media di pagine che hanno esattamente 1errore. [12.5%]

5.4) Una sostanza radioattiva emette particelle secondo un processo di Poisson. Se laprobabilita’ di non emissione in un intervallo di 1 secondo e’ pari a 0.165, trovare1) il numero atteso di emissioni per secondo; [1.8018]2) la probabilita’ di non emissione in un intervallo di 2 secondi; [0.027225]3) la probabilita’ di non piu’ di 2 emissioni in un intervallo di 4 secondi; [0.02533]4) la probabilita’ di non piu’ di 2 emissioni in un intervallo di 4 secondi dato che si e’

avuta almeno un’emissione. [0.0246]

5.5 In una banca vi sono 10 sportelli; siano X1, . . . , Xn il numero di persone presentiagli sportelli e si supponga che siano variabili aleatorie indipendenti con distribuzione diPoisson di parametro λ = 2. Calcolare:1) la probabilita che vi sia almeno una persona in banca; [≈ 1]2) il valor medio del numero di persone presenti in banca; [20]3) la probabilita che vi siano almeno 3 clienti al primo spotello sapendo che in ciascuno

degli altri ve ne sono meno di 2; [0.3233]4) la probabilita che almeno uno sportello sia libero. [0.7664]

Alcune soluzioni

1.1) Il numero totale degli eventi e pari al numero delle disposizioni con ripetizioneche si ottengono con n oggetti presi r volte, cioe nr, il numero di quelli favorevoli e pari alnumero delle disposizioni semplici, cioe n!

(n−r)! . Dunque la probabilita richiesta e: n!nr(n−r)! .

(Notare che le combinazioni non sono equiprobabili, per convincersene provare il caso n = 3e r = 2, con la convenzione che la coppia (i, j) indichi che il primo passeggero sceglie lacarrozza i e il secondo la j).

1.2) Una delle possibili soluzioni e schematizzabile nel modo seguente: si suppongadi avere n + k caselle che rappresentino i posti del teatro, in cui le prime m siano quellefissate (questa ipotesi non lede la generalita) e si riempiano n di queste caselle con un 1,a indicare che il posto rappresentato da quella casella e stato occupato da una persona,

4

le altre k si riempiano con uno 0. Il numero totale degli eventi e pari al numero delledisposizioni con ripetizione di 2 oggetti (0 e 1), presi n + k volte e dove il primo compare

k volte, il secondo n, cioe(

n + kk

). Il numero di quelli favorevoli e pari al numero delle

disposizioni di questo tipo in cui i primi m posti sono “uni”. Ma questo e lo stesso checalcolare il numero delle dipsosizioni con ripetizione di 2 oggetti (0 e 1), presi n + k − m

volte e dove il primo compare k volte, il secondo n − m, cioe(

n + k −mk

). Dunque la

probabilita richiesta e: (n+k−m)!n!(n−m)!(n+k)! .

1.3) Iniziamo col determinare in quanti modi possibili si possono scegliere le m squadreche protestano su un totale di 2n squadre. Questo equivale a determinare quanti pos-sibili differenti sottoinsiemi di cardinalita m esistono in un insieme di cardinalita 2n:(

2nm

). Questo rappresenta il numero totale di casi. Calcoliamo ora i casi favorevoli.

Se k partite non vengono giocate, significa che in m−k partite entrambe le squadre protes-tano mentre in 2k−m partite solo una squadra protesta (pertanto m/2 ≤ k ≤ min(m,n) al-trimenti la probabilita cercata e sicuramente 0).Il numero di scelte differenti delle m − k partite in cui entrambe le squadre protestano

(su un totale di n partite) e(

nm− k

); per ogni scelta fissata, mi rimangono da scegliere

2k − m squadre che protestano nelle rimanenti n − m + k partite (senza che due squdredifferenti giochino nella stessa partita. Questo si puo fare scegliendo prima le partite in cui

giocano (cioe(

n−m + k2k −m

)) e per ciascuna scelta delle partite abbiamo due possibilita di

scelta della squadra che protesta (cioe un totale di 22k−m). In totale i casi favorevoli sono

(n

m− k

)(n−m + k2k −m

)22k−m,

pertanto la probabilita cercata e

P(l partite non vengono giocate) =

(n

m− k

)(n−m + k2k −m

)(

2nm

) 22k−m.

3.1)1) P (X < 9) = 0.040 + 0.0130 = 0.170.2) P (X > 11) = 0.050 + 0.050 = 0.1.3) P (8 ≤ X ≤ 12) = 0.130 + 0.190 + 0.300 + 0.240 + 0.050+ = 0.910.

5

4)

F (x) =

0, x < 70.040, 7 ≤ x < 80.170, 8 ≤ x < 90.360, 9 ≤ x < 100.660, 10 ≤ x < 110.900, 11 ≤ x < 120.950, 12 ≤ x < 131 x ≥ 13.

5) E [X] =∑13

i=7 iP(X = i) = 9.92, Var(X) =∑13

i=7(i − E[X])2 ≡∑13

i=7 i2 − E[X]2 =1.9536.

3.2)1) F e una funzione di ripartizione, mentre G no in quanto non e continua da destra in

x = 1.2) X assume (con probabilita positiva) i valori 0,1,4.3) E [X] = 5

4 .

3.3) c deve esser positiva, inoltre deve soddisfare 1 = c + 2c + 3c + 4c, quindi perc = 1

10 la funzione f e di massa.

4.1) Sia X la variabile aleatoria che indica il numero di figli maschi nella famiglia con4 figli. La v.a. X ha una distribuzione binomiale con parametri n = 4 e p = 1/2.

1) P(X ≥ 1) = 1− P(X = 0) = 1−(

40

)(1/2)0(1− 1/2)4 = 15/16 = 0.9375.

2) P(almeno un maschio e una femmina) = 1−P(nessun maschio)−P(nessuna femmina)= 1− (1/2)4 − (1/2)4 = 7/8.

3) Sia Z la variabile aleatoria che indica il numero di famiglie con almeno un maschioe una femmina fra le 4000 considerate. La probabilita’ di successo p, come ottenutonel punto precedente e’ pari a 7/8. La v.a. Z ha una distribuzione binomiale conparametri n = 4000 e p = 7/8. Percio’ il numero atteso di famiglie con almeno 1maschio e una femmina e’ data da:

E(Z) = np = 4000(7/8) = 3500

.

4.2) Sia X la v.a. che indica il numero di bulloni difettosi fra i 4 considerati ed hauna distribuzione binomiale con parametri n = 4 e p = 0.2.

1) P(X = 1) =(

41

)(0.2)1(1− 0.2)3 = 0.4096.

2) P(X = 0) =(

40

)(0.2)0(1− 0.2)4 = 0.4096.

6

3) P(X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 0.4096 + 0.4096 +(

42

)(0.2)2(1−

0.2)2 = 0.4096 + 0.4096 + 0.1536 = 0.9728.4) Sia Z la v.a. che indica il numero di bulloni difettosi su un totale di 400, e quindi Z

ha una distribuzione binomiale di parametri n = 400 e p = 0.2. Percio’ abbiamo chela media e’ pari a E(Z) = np = 400(0.2) = 80 e lo scarto quadratico medio e’ dato daσ(Z) =

√np(1− p) =

√400(0.2)(0.8) = 8.

4.3) Sia X la v.a. che indica il numero di risposte azzeccate fra le 5 domandedell’esame, e quindi X ha una distribuzione binomiale di parametri n = 5 e p = 1/3.1) P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0.04527.2) Il numero medio di risposte azzeccate e’ dato da E(X) = np = 5(1/3) = 5/3.

4.3) Sia X la v.a. che indica il numero di studenti che riescono a laurearsi su 5studenti. La v.a. X ha una distribuzione binomiale con parametri n = 5 e p = 0.4.1) P(X = 0) = (0.6)5 = 0.07776.2) P(X = 1) = 5(0.4)(0.6)4 = 0.2592.3) P(X ≥ 1) = 1− P (X = 0) = 0.92224.

4.8) Sia X la variabile aleatoria che indica il numero di volte che si presenta 3. Laprobabilita’ di successo in questo esperimento binomiale (cioe’ la probabilita’ che si presenti3) e’ pari a 1/6 e consideriamo 5 ripetizioni dell’esperimento (cioe’ il dado viene lanciato5 volte). Quindi X ha una distribuzione binomiale con parametri n = 5 e p = 1/6.

1) P(X = 0) =(

50

)(1/6)0(1− 1/6)5 = (5/6)5 = 0.4019.

2) P(X ≥ 1) = 1− P (X = 0) = 1− 0.4019 = 0.5981.

3) P(X = 4) =(

54

)(1/6)4(1− 1/6)1 = 25

6 (1/6)4 = 0.0032.

5.1) Sia X la v.a. che indica il numero di chiamate telefoniche che arrivano al cen-tralino al minuto. La v.a. X ha una distribuzione di Poisson con parametro λ = 2.5.1) P(X = 0) = e−2.52.50

0! = e−2.5 = 0.08208.2) P(X = 2) = e−2.52.52

2! = 0.2565.3) P(X ≤ 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 0.08208 +

0.2565 + e−2.52.53

3! + e−2.52.54

4! = 0.8911.4) P(X ≥ 6) = 1 − P(X ≤ 6) = 1 − P(X ≤ 4) − P(X = 5) − P(X = 6) = 1 − 0.8911 −

e−2.52.55

5! − e−2.52.56

6! = 0.0142.

5.2) Sia Xa la v.a. che indica il numero di difetti in un foglio di a mq di metallo. Lav.a. X ha una distribuzione di Poisson con parametro aλ0 che possiamo stimare sapendoche il valore medio di X10 e 5 (quindi λ0 = 0.5). Pertanto X15 ha una distribuzione diPoisson con parametro α = 15(0.5) = 7.5. Percio’ abbiamo

P(X15 ≥ 3) = 1− P(X15 < 3) = 1− P(X15 = 0)− P(X15 = 1)− P(X15 = 2) = 0.9797.

7

5.3) Sia X la v.a. che indica il numero di errori per pagina. La v.a. X ha unadistribuzione di Poisson, con parametro che possiamo calcolare usando il fatto che P (X =0) = 1− 0.135 = 0.865 = e−λ, percio’ λ = 0.145. Pertanto

P (X = 1) =e−0.1450.1451

1!= 0.125.

5.4) Sia Xt la v.a. che indica il numero di particelle emesse in t secondi. La v.a. Xt

ha una distribuzione di Poisson con parametro tλ0 che possiamo calcolare usando il fattoche P(X1 = 0) = 0.165 = e−λ0 , percio’ λ0 = 1.8018.1) Il numero atteso e’ dato dal valore del parametro percio’ e’ 1.8018.2) Siccome vogliamo considera un intervallo di 2 secondi, X2 ha una distribuzione di

Poisson con parametro 1.8018× 2 = 3.6036, quindi P(X2 = 0) = e−3.6036 = 0.0273.3) Consideriamo un intervallo di 4 secondi e quindi X4 che ha una distribuzione di Poisson

con parametro 1.8018× 4 = 7.2072, quindi

P(X4 ≤ 2) = P(X4 = 0) + P(X4 = 1) + P(X4 = 2)

= e−7.2072 + 7.2072e−7.2072 +e−7.20727.20722

2= 0.0253.

4)

P(X4 ≤ 2|X4 ≥ 1) =P(1 ≤ X4 ≤ 2)

P(X4 ≥ 1)

=7.2072e−7.2072 + e−7.20727.20722/2!

1− e−7.2072= 0.0246.

5.5) Si potrebbe mostrare che la somma di variabili di Poisson indipendenti e ancorauna variabile di Poisson di parametro pari alla somma dei parametri delle singole variabili.Risolviamo invece l’esercizio senza tener conto di questa osservazione.1)

P(∃i ∈ {1, . . . , 10} : Xi > 0) = 1− P(Xi = 0,∀i = 1, . . . , 10)

= 1−10∏

i=1

P(Xi = 0) = 1− exp(−10 · 2) ≈ 1.

2)

E

[10∑

i=1

Xi

]=

10∑i=1

E[Xi] = 10 · 2 = 20.

3)P(X1 ≥ 3|Xi ≤ 2,∀i = 2, . . . , 10) = P(X1 ≥ 3) = 1− P(X1 ≤ 2)

= 1− (1 + 2 + 4/2!) exp(−2) ≈ 0.3233.

8

4)

P(∃i ∈ {1, . . . , 10} : Xi = 0) = 1− P(Xi > 0,∀i = 1, . . . , 10)

= 1−10∏

i=1

P(Xi > 0) = 1− (1− exp(−2))10 ≈ 0.7664.

9