Esercitazioni di Fisica Generale 2

Parte 2 - Onde e Ottica

Lorenzo Rinaldi

25/5/2016

1 Circuiti oscillanti

1.1

Sia dato un circuito oscillante costituito da un condensatore di capacita C = 1µF e da un’indutanza L =10−2H. Inizialmente il condensatore ha un’energia U0 = 1µJ e l’induttanza e scarica.

a) Calcolare il valore della carica elettrica q sulle armature del condensatore nel momento in cui l’energia edistribuita in parti eguali tra campo elettrico e campo magnetico (q =

√U0C = 1µC);

b) calcolare il tempo necessario affinche si realizzi la condizione in a) (t = π4

√LC = 7.8× 10−5s).

1.2

Un circuito costituito da una resitenza R a da un’induttanza L viene collegato attraverso un interuttore adun condensatore di capacita C, inizialmente caricato ad una tensione f0. Sapendo che i tre elementi sonocollegati in serie:

a) Studiare l’andamento temporale della corrente;

b) Trovare sotto quali condizioni si genera nel circuito una corrente oscillante.

1.3

Sia dato un circuito RLC in serie alimentato da un generatore di tensione alternata. Sapendo che R =2.5× 102Ω, L = 0.6H, C = 3.5µF , che la frequenza del generatore e ν = 60Hz e che il voltaggio massimo e∆Vmax = 150V , determinare:

a) l’impedenza (|Z| = 588Ω);

b) la corrente massima nel circuito (imax = 0.255A);

c) la fase(φ = −64.8);

d) la massima tensione ai capi di ciascun elemento(∆VR = 63.8V ,∆VC = 193V ,∆VL = 75.6V );

e) il valore che dovrebbe avere l’induttanza L per realizare la condizione di risonanza (L = 2H).

1.4

Si consideri un circuito formato da una resistenza R = 500Ω, un capacitore C = 1µF , un’induttanza L = 2He un generatore di tensione alternata f la cui tensione massima e f0 = 110V e la frequenza e ν = 60Hz.Tutti gli elementi sono disposti in parallelo. Calcolare:

a) l’ampiezza della corrente in ogni elemento (i0,R = 0.22A,i0,C = 0.041A,i0,L = 0.146A)

b) l’ampiezza della corrente totale ed il relativo sfasamento rispetto ad f (i0 = 0.243A, φ = −25.4)

1

2 Sviluppo in serie di Fourier

2.1

Determinare la rappresentazione in serie di Fourier della funzione periodica:

f(x) =

+1 0 < x < 1

2λ, λ < x < 32λ, etc.

−1 12λ < x < λ, 3

2λ < x < 2λ, etc.

2.2

Determinare la rappresentazione in serie di Fourier della funzione periodica di periodo T : f(t) = t − T2

(0 < t < T )

2.3

Determinare la Trasformata di Fourier della funzione

f(x) =

E −L2 < x < L

2

0 x < −L2 x > L2

3 Onde progressive e regressive

3.1

Dato il profilo d’onda ψ(x, 0) = 32x2+1 , ricavare l’espressione dell’onda progressiva corrispondente che si

propaga nella direzione delle x positive con velocita v = 2 m/s e disegnarne il profilo per t = 0s e t = 1s.

3.2

Un’onda e rappresentata dalla funzione ψ1(x, t) = 10 cos(5x+ 25t) dove x e in metri e t in secondi.

a) Ricavare i valori di λ, ν, v e direzione di propagazione.

b) Determinare l’accelerazione a dello spostamento in funzione di x e t.

c) Una seconda onda ψ2(x, t) = 20 cos(5x + 25t + π/3) interferisce con ψ1; ricavare l’ampezza e la fasedell’onda risultante (A = 26.5cm, φ = 0.714rad).

3.3

Un filo d’acciaio lungo lA=30m e un filo di rame lungo lR =20 m, entrambi di diametro 1mm, sono uniti per unestremo e tesi con una tensione T=150N. Le densita volumiche dei due materiali sono rispettivamente ρA =7860kg/m3 e ρR = 8920kg/m3. Quanto tempo impieghera un’onda trasversale a percorrere la lunghezza deidue fili? (t=0.329 s)

3.4

Un’onda sonora di ampiezza A = 0.01µm e frequenza ν1 = 256Hz si propaga in una sbarra di alluminio disezione S = 8cm2. Sapendo che per l’alluminio la densita e ρAl = 2.7 × 103kg/m3 e il modulo di Young eYAl = 6.9× 1010N/m2, calcolare

a) la velocita v1 dell’onda e la potenza media trasportata P1; (v1 = 5.06× 103m/s, P1 = 1.4× 10−6W ;)

b) considerando una seconda onda sonora avente stessa ampiezza e frequenza ν2 = 512Hz, come cambianola velocita e l’intensita del suono. (v2 = v1, I2 = 4I1)

3.5

La relazione di dispersione delle onde elastiche lungo una catena di atomi puo essere espressa , nell’intervallo−π/a < k < π/a, dalla relazione ω(k) =

√4C/M | sin(ak/2)|, dove k rappresenta il vettore d’onda, a la

distanza tra gli atomi, M le massa di ciscun atomo e C la costante elastica di interazione tra atomi vicini.Determinare le velocita di fase e di gruppo delle onde.

3.6

La relazione di dispersione approssimata per le onde in acqua profonda e data dalla relazione ω2 = gk+ Ts

ρ k3,

dove g e l’accelerazione di gravita, ρ e la densita dell’acqua e Ts = 7.2 × 10−4N e la tensione superficialedell’acqua. Si calcoli per quale valore della lunghezza d’onda la velocita di fase e la velocita di gruppo sonocoincidenti. (λ = 1.7m)

3.7

La ionosfera terrestre e un esempio di mezzo dispersivo per onde elettromagnetiche con frequenze superiorialla frequenza di oscillazione del plasna (νp = 20MHz). Calcolare velocita di fase e di gruppo per un’undaavente λ = 6.28 × 102cm, sapendo che la relazione di dispersione e ω2 = 2πνp = ω2

p + c2k2. (vφ =3.25× 1010cm/s, vg = 2.77× 1010cm/s)

4 Onde stazionarie

4.1

Date due onde piane progressive ψ1 = A sin 2π( tτ −xλ ) e ψ2 = A sin 2π( tτ + x

λ ) che si propagano nella stessadirezione in versi opposti (A = 1cm, τ = π × 102s−1, λ = 62.8cm), calcolare:

a) l’equazione dell’onda risultante, prendendo un nodo come origine del sistema di riferimento;

b) i valori di x corrispondenti ai nodi e ai ventri (XN = n3.14cm, xV = (2n+ 1)15.7cm).

4.2

Un’onda vibra secondo l’equazione y = 0.5 sin(πx3 ) cos(40πt), con x, y in centimetri e t in secondi. Deter-minare:

a) quali sono le ampiezze e le velocita delle onde dalla cui sovrapposizione puo aver luogo questa vibrazione(A1 = A2 = 0.25cm, v1 = v2 = 120cm/s).

b) qual’e la distanza tra due nodi (3cm).

4.3

Un tubo di Kundt e costituito da un tubo trasparente, con un’estremita chiusa da una piastra A che vibranella direzione dell’asse x del tubo. All’altro estremo si trova un pistone P che riflette l’onda sonora. P puoessere spostato lungo l’asse del tubo. All’interno del tubo tra A e P viene posta della polvere di sughero.Muovendo il pistone si raggiungono delle situazioni di onde stazionare. In questi casi la polvere di sughero siaccumula nei nodi dell’onda staionaria, mentre in corrispondenza dei ventri il moto prodotto dall’onda nonpermette l’accumulo della polvere. Nota la frequenza ν con cui vibra A e misurata la distanza d tra duenodi, e possibile effettuare una misura della velocia del suono (Esperienza in Aula con Serra, come valoriusare ν = 6620Hz d = 2.5cm)

4.4

Determinare le frequenze e le lunghezze d’onda permesse in un tubo chiuso ai due estremi lungo 1m, sapendoche la velocita del suno e vs = 340m/s. (λn = (2/n)m, ν0 = n170Hz)

4.5

Nell’orecchio il condotto acustico esterno e praticamente schematizzabile come un tubo stretto chiuso ad unestremo dal timpano. Sapendo che il condotto e lungo 2.7 cm, qual’e la frequenza fondamentale che verraamplificata? (ν0 = 3.2kHz)

4.6

Un cavo d’acciaio di massa m = 4g e lungo L = 1.25m e teso con una tensione T = 1020N . Calcolare:

a) La lunghezza d’onda e la frequenza fondamentale e della terza armonica (λ0 = 2.5m, ν0 = 226Hz,λ3 = 0.83m, ν3 = 678Hz);

b) l’equazione d’onda per la terza armonica.

4.7

Due uccelli (un usignolo e una cornacchia) sono seduti su un filo telegrafico di lunghezza 36m e distano dagliestremi A e B rispettivamente 12m e 6m. Il filo e rigidamente fissato ai punti A e B. Una persona nel puntoA vuole sloggiare la cornacchia senza disturbare l’usignolo. La persona scuote il filo provocando un’ondastazionaria con velocita v = 48m/s. Determinare:

a) la lunghezza d’onda massima per cui si ottiene l’effetto desiderato (λ = 24m);

b) la frequenza con cui la persona deve scuotere il filo per ottenere tale onda (ν = 2Hz);

c) qual’e la minima ampiezza necessaria per far volare la cornacchia, se riesce a rimanere attaccata al filosolo se la sua accelerazione verticale e minore di ay = 48m/s2 (Amax = 0.3cm).

5 Onde sonore e livello di intensita sonora

5.1

Una delle corde di una chitarra e di filo di acciaio, avente densita ρ = 8000kg/m3 , ed ha una lunghezzaL = 1, 1m. Quando la chitarra e accordata, tale corda emette un suono corrispondente alla nota musicale La,dovuto alla frequenza fondamentale di vibrazione della corda stessa, che vale ν = 220Hz. In tali condizioni,la tensione della corda e T = 778, 5N .

a) Determinare quale deve essere il diametro della corda (d = 0.73mm).

b) Sapendo che la potenza media della sorgente sonora (considerata puntiforme) corrispondente alla notamusicale di cui sopra Pm = 5, 026× 10−4W e considerando le onde sonore come sferiche, determinare aquale distanza dalla sorgente lintensita del suono percepito vale 50 dB (r = 20m).

c) Nell’ipotesi in cui l’onda sonora si propaghi all’interno di un locale in aria (ρaria = 1.25kg/m3), ap-prossimabile ad un gas perfetto biatomico, (γ = 7/5) con velocita vS = 345m/s, determinare la pressioneall’interno del locale (p = 106kPa).

5.2

Una fune metallica omogenea ha densita volumetrica ρ = 7.8kg/dm3, sezione uniforme A = 6.5mm2 elunghezza L = 0.6m . La fune, fermata in un estremo a un vincolo rigido, viene mantenuta tesa da uncorpo di massa m (vedi figura 1). Una forza di modulo F , sviluppante una potenza W = 5W , perturba lafune, generando delle onde stazionarie la cui armonica fondamentale si propaga lungo la fune stessa con unavelocita v = 50m/s. Determinare, in tali condizioni:

a) la frequenza dell’armonica fondamentale delle onde stazionarie ed il valore della massa m (ν = 41, 7Hz,m = 12, 4kg);

b) a quale distanza dalla corda il suono prodotto dalla vibrazione originatasi viene avvertito con un livellosonoro di 80 dB, considerando la sorgente sonora come isotropa e puntiforme (r = 63, 1m).

.L1

m1

Figure 1:

5.3

Due corde di pianoforte uguali sono tese ad una stessa tensione T1 = 500N . Le due corde sono ben accordatesu una nota a 220Hz. Se una delle due corde passa ad una tensione T2 = 480N , quale frequenza di battimentosi sentira quando le due corde sono percosse simultaneamente? (∆ν = 4.4Hz)

5.4

Due violini identici producono insieme un suono che ha un livello di intensita sonora di 72 dB. Determinareil livello di intensitaa del suono di un solo violino (si considerino i violini equidistanti dall’ascoltatore)(β = 69dB).

5.5

Due corde di uguale lunghezza L=57 cm e densita lineare ρL = 1.25g/m sono tese rispettivamente alletensioni T1 = 105N e T2 = 106N . Determinare:

a) per ciascuna corda, la serie delle frequenze delle note emesse (ν1(n) = 254, 2n, ν2(n) = 255, 4n);

b) la pulsazione di battimento quando entrambe suonano la rispettiva nota fondamentale (∆ω = 7.6rad/s).

6 Effetto Doppler

6.1

La frequenza di un clacson di un automobile e ν0 = 400Hz (velocita suono 340m/s).

a) Quale frequenza si sente se l’auto si muove con velocita vS = 30m/s verso un ricevitore fermo? (439Hz)

b) Quale frequenza si sente se il ricevitore si muove con velocita vR = 30m/s verso l’auto ferma? (435 Hz)

6.2

Una locomotiva si muove di moto rettilineo uniforme con velocita v1 = 100Km/h ed emette un fischio difrequenza ν1 = 2000Hz. Un ascoltatore si muove con velocita v2 = 15km/h nella stessa direzione e nellostesso verso della locomotiva. Se la velocita del suono e v = 340m/s, calcolare la frequenza apparente ν2

percepita dall’ascoltatore (ν2 = 2150Hz).

6.3

Una sirena ferma emette un suono ad una frequenza ν0 = 2140Hz. Un’auto si allontana dalla sirena velocitadi 27 m/s. Il suono ragiunge l’auto seguendo due percorsi: direttamente dalla sirena e riflesso da un palazzoche si trova di fronte all’auto. Determinare le frequenza percepite dall’autista nel caso diretto e riflesso,assumendo la velocita del suono di 343 m/s (νd = 1970Hz, νr = 2310Hz).

6.4

Un aereo viaggia con accelerazione costante a = 0.5m/s2 allontanandosi da un temporale. Ad un certoistante uno dei sensori di navigazione registra il suono di un tuono a frequenza ν1 = 50Hz e, dopo unintervallo di tempo ∆t = 100 secondi, un secondo tuono a frequenza ν2 = 40Hz. Assumendo che i due tuoniabbiano un suono con la stessa frequenza, determinare la lunghezza d’onda del tuono (λ = a∆t

(ν1−ν2) = 5m).

6.5

Il radar utilizzato per misurare la velocita di un’automobile utilizza l’effetto Doppler di onde EM. Il radaremette microonde le quali vengono riflesse dalle auto in transito e rivelate dal dispositivo con una frequenzadifferente. Supponendo che le microonde siano emesse con lunghezza d’onda λ = 4cm e che al transitodi un’auto la differenza di frequenza registrata dallo strumento e ∆ν = 1945Hz, determinare la velocitadell’auto (v = λ∆ν/2 = 140Km/h).

6.6

Un razzo parte da terra con un potente flash luminoso di lunghezza d’onda λ0 = 400nm. Gli osservatoria terra misurano un flash ma la lunghezza d’onda risulta λ = 650nm. Con quale velocia il razzo si staallontanando dalla terra? (v = 0.45c)

7 Onde Elettromagnetiche nel vuoto

7.1

Scrivere l’espressione di un’onda EM monocromatica che si propaga nel vuoto in direzione n = ( 1√2, 1√

2, 0),

con una frequenza ν = 4× 1014Hz, supponendo che l’onda sia polarizzata nella direzione dell’asse z.

7.2

Si consideri un’onda EM il cui campo elettrico e dato da ~E = jE0 sin[2πν(xc − t)] + kE0 cos[2πν(xc − t)] dovec e la velcita della luce nel vuoto e ν = 150MHz. Si determini:

a) la lunghezza d’onda λ, la direzione di propagazione ed il vettore d’onda ~k dell’onda EM;

b) lo stato di polarizzazione dell’onda;

c) il campo magnetico ~B dell’onda;

d) il vettore di Poynting ~S.

7.3

Un’onda EM piana sinusoidale di frequenza ν, si propaga nel vuoto nel verso positivo dell’asse x ed epolarizzata linearmente secondo l’asse y. Il campo elettrico ha un’ampiezza E0. Determinare:

a) le espressioni del campo elettrico e magnetico;

b) la f.e.m. risultante in un circuido quadrato di lato l, disposto nel primo quadrante del piano x − y, conun vertice nell’origine;

c) la f.e.m. indotta nel circuito.

7.4

Un’onda EM piana polarizzata linearmente lungo l’asse y, di frequenza ν = 250kHz si propaga nel vuoto esi riflette su una superficie piana perfettamente conduttrice disposta peprendicolarmente alla sua direzionedi moto. Determinare:

a) a quale distanza dalla superficie si formano i nodi e i ventri dell’onda elettrica risultante;

b) a quale distanza sono i nodi e i ventri dell’onda magnetica;

c) il vettore di Poynting a distanza d dalla superficie.

8 Onde Elettromagnetiche nella materia

8.1

Il campo magnetico di un’onda EM piana polarizzata linearmente lungo l’asse y si propaga lungo x in unmezzo con εr = 80, secondo l’equazione ~B = 1.8 × 10−6 cos(8 × 107t − 4x)k, dove il modulo del campomagnetico e misurato in Tesla. Determinare:

a) l’ampiezza del campo elettrico;

b) la permeabilita magnetica del mezzo µr.

8.2

Un sommozzatore si trova sott’acqua e vede il sole ad un angolo di 42 rispetto alla verticale (naria = 1,nacqua = 1.33).

a) Determinare la posizione reale del sole e la velocita della luce nell’acqua.

b) Come variano i risultati nel caso in cui la la superficie dell’acqua e coperta da uno strato di sostanzeinquinanti con indice di rifrazione ninq = 2.1?

8.3

Due lastre di vetro, a facce piane, prallele ed eguale spessore d = 2cm, hanno una faccia in comune. Unsottile fascio di luce incide con un angolo d’incidenza θi = π/3.Supponendo che le due lastre abbiano indicidi rifrazione n1 = 1.5 e n2 = 1.7:

a) dimostrare che il fascio uscente e paralelo a quello entrante;

b) calcolare di quale distanza D si e spostato il fascio (D = 2.169cm, vedi Figura 2).

8.4

Un raggio di luce incide normalmente alla faccia piu piccola di un prisma triangolare con angoli 30−60−90.Il prisma e costituito da un materiale con indice di rifrazione n1 = 1.655 ed e immerso in acqua (n = 1.333).

a) Determinare l’angolo di uscita del raggio dal prisma.

b) Se una sostanza viene sciolta nell’acqua per aumentare l’indice di rifrazione, determinare per quale valoredi nmix della miscela non si avra piu riflessione totale sulla faccia piu grande del prisma.

8.5

Un raggio di luce incide su una faccia di un cubo di vetro di indice di rifrazione n = 1.5 immerso in acqua(nA = 1.33), con un angolo di incidentza θi e viene quindi ad incidere su una seconda faccia del cubo. Trovareil massimo valore di θi per cui un osservatore posto di fronte alla seconda faccia la veda non illuminata.

8.6

Una sorgente luminosa e posta ad una profondita d in una vasca piena d’acqua con costante dielettricaε = 1.75ε0 e permeabilita magnetica relativa µr = 1. Si determini la profondita d sapendo che la sorgenteillumina un disco di raggio r = 5m sulla superficie dell’acqua. (d = 4.32m)

θI

θI

θ1

θ2

α

β θ1 n1

n2

d2

d1

d

d

h1

h2

d2=h2 sinαh2=d/cosθ2α=θI-θ2

d1=h1 sinβh1=d/cosθ1β=θI-θ1

Figure 2: Esercizio 8.3

8.7

Una sbarra di materiale dielettrico trasparente puo essere usata come guida per un’onda elettromagnetica,sfruttando la riflessione interna totale. Si calcoli il valore minimo che deve avere la costante dielettricarelativa del materiale (supponendo che la permeabilita magnetica relativa sia µr = 1), affinche un’ondaincidente ad un qualunque angolo in una estremita sia confinata nella sbarra fino ad emergere all’estremitaopposta. (εr ≥ 2)

8.8

Una lamina polaroid viene utilizzata come analizzatore di un fascio di luce, la cui intensita e I0. Si determinil’intensta della luce trasmessa nei seguenti casi in cui l’onda e:

a) polarizzata linearmente;

b) non polarizzata;

c) polarizzata ellitticamente;

d) polarizzata circolarmente.

8.9 (opzionale)

Un’onda piana monocromatica di lunghezza d’onda λ = 544nm si propaga lungo l’asse z con equazioneEx = E0 cos(kz−ωt), Ey = −E0 sin(kz−ωt). L’onda incide su una lamina di calcite (di spessore d = 80nm)con asse ottico parallelo all’asse x. Determinare:

a) stato di polarizzazione dell’onda incidente sulla lamina;

b) equazione e stato dell’onda uscente dalla lamina, sapendo che i due indici di rifrazione ordinario e straor-dinario valgono nO = 1.66 e nS = 1.49, rispettivamente.

9 Interferenza e diffrazione

9.1

Due sorgenti coerenti A e B di onde sonore armoniche, di eguale frequenza ν = 170Hz e in fase, irradianouniformemente in aria in ogni direzione. Le potenze dei segnali emessi sono rispettivamente PA = 12.6 ×10−3W e PB = 25.1× 10−3W . Calcolare:

a) lo sfasamento δ tra le due onde in un punto C, che si trova a distanza rA = 3m da A e rB = 4m da B;(δ = π)

b) l’intensita dell’onda risultante in C. (I = 4.16× 10−8W/m2)

9.2

Due sorgenti puntiformi S1 e S2 trasmettono in modo isotropo nel vuoto delle onde elettromagnetiche sferiche,coerenti, monocromatiche di lunghezza d’onda λ = 30cm. Le due sorgenti hanno la stessa potenza mediaP = 10W e i due trasmettitori hanno la caratteristica di poter variare con continuita la fase relativa ∆φ diemissione. Se un ricevitore e posto a distanza d1 = 50cm da S1 e d2 = 80cm da S2, determinare:

a) quanto deve valere ∆φ perche il ricevitori registri un massimo di intensita (∆φ = 2(n− 1)π);

b) il valore dell’intensita media di tale massimo (I= P4π ( 1

d1+ 1

d2)2 = 8.41W/m2).

9.3

Una sorgente S, puntiforme ed isotropa, di onde sonore armoniche,(di frequenza =100 kHz) si trova a distanzaL = 1m da uno schermo K sul quale sono praticati due piccoli fori F1 e F2 equidistanti dall’asse di simmetriax e distanti tra loro d = 10cm (vedi figura 3). La potenza della sorgente S e WS = 100W . Un secondoschermo H e posto a distanza D = 10m da K e parallelo ad esso. In tale situazione, con riferimento alsistema xy di figura e utilizzando le usuali approssimazioni di angoli piccoli, determinare:

velocità di propagazione del suono varia=340 m/s). Le potenze dei segnali emessi sono rispettivamente PA=12.6×10-3 W e PB=25.1 ×10-3 W. Calcolare: a) lo sfasamento δ tra le due onde in un punto C, che si trova a distanza rA=3m da A e rB=4m

da B; b) le intensità e i livelli sonori di ciascuno dei due segnali in C, considerati separatamente; c) l’intensità dell’onda risultante in C.

16) Una sorgente S puntiforme e isotropa, di onde sonore armoniche (di frequenza ν=100 kHz), si

trova a distanza L=1 m da uno schermo K, sul quale sono praticati due piccoli fori, F1 e F2, equidistanti dall’asse di simmetria x e distanti tra loro d=10 cm (vedi figura). La potenza della sorgente S è WS=100 W.

Un secondo schermo H è posto a distanza D=10 m da K e parallelo ad esso. L’intero sistema è immerso in aria, considerata come un mezzo omogeneo, isotropo e ideale. Si supponga che la densità dell’aria sia ρ=1,15 g/dm3 e che la velocità del suono in essa sia vs= 340 m/s. In tale situazione, con riferimento al sistema xy di figura e utilizzando le usuali approssimazioni di “angoli piccoli”, determinare: a) L’ampiezza del suono e il suo livello sonoro in F1. b) Il livello sonoro nel punto O dello schermo H. c) L’intensità del suono nel punto P dello schermo H, distante yP=100 cm da O. d) Il numero di punti sullo schermo H (tra O e P, lungo l’asse y) nei quali si ha un massimo di

intensità sonora. 17) Un reticolo di diffrazione di passo d=2 µm è formato da N=48 fenditure, ciascuna di

larghezzaa=1µm.Ilreticoloèilluminatodaunfasciodilucedilunghezzad’ondaλ=583.3nm.Calcolare:1) Il numero dei massimi principali della figura di diffrazione; 2) La larghezza del massimo principale di ordine 0; 3) Il numero dei massimi secondari compresi tra i massimi principali di ordine 1 e 2

Prof. I.G. Massa - Fisica Moderna LS Prova Intermedia di Onde (21 Novembre 2008)

Una sorgente S puntiforme e isotropa, di onde sonore armoniche (di frequenza f = 100 kHz), si trova a distanza L = 1 m da uno schermo K, sul quale sono praticati due piccoli fori, F1 e F2, equidistanti dall’asse di simmetria x e distanti tra loro d = 10 cm (vedi figura). La potenza della sorgente S è WS = 100 W. Un secondo schermo H è posto a distanza D = 10 m da K e parallelo ad esso. L’intero sistema è immerso in aria, considerata come un mezzo omogeneo, isotropo e ideale. Si supponga che la densità dell’aria sia ρ = 1,15 g/dm3 e che la velocità del suono in essa sia va = 340 m/s. In tale situazione, con riferimento al sistema xy di figura e utilizzando le usuali approssimazioni di “angoli piccoli”, determinare:

1. L’ampiezza del suono e il suo livello sonoro in F1. 2. Il livello sonoro nel punto O dello schermo H. 3. L’intensità del suono nel punto P dello schermo H, distante yP = 100 cm da O. 4. Il numero di punti sullo schermo H (tra O e P, lungo l’asse y) nei quali si ha un

massimo di intensità sonora. Si supponga ora di riempire la regione di spazio tra i due schermi K ed H con un mezzo omogeneo e isotropo diverso dall’aria. Si osserva che la distanza tra due punti consecutivi (su H e lungo y) nei quali si ha un massimo di intensità sonora aumenta dell’80%. In tale nuova situazione, determinare:

5. La velocità v* del suono in questo nuovo mezzo.

Figure 3: Esercizio 9.3

a) L’intensita del suono nel punto O dello schermo H (IO = 31.76× 10−2W/m2).

b) L’intensita del suono nel punto P dello schermo H, distante yP = 100cm da O. (IP = 0.3W/m2).

c) Il numero di punti sullo schermo H (tra O e P , lungo lasse y) nei quali si ha un massimo dell’intensitasonora (n = 2, escludendo max centrale).

9.4

Due sorgenti identiche e coerenti di microonde, poste ad una distanza d = 0.6cm emettono onde sfericheisotrope. In corrispondenza degli angolo θA = 41, 8 e θB = 90 si osservano due massimi di interferenzaconsecutivi. Determinare:

a) la frequenza ν delle microonde (ν = 150GHz);

b) gli ordini dei massimi in θA e θB e le direzioni angolari di eventuali altri massimi e dei minimi di intensita(nA = 2, NB = 3);

c) la potenza di ciascuna sorgente se l’intensita massima misurata ad una distanza D = 1km vale IM =5× 10−6W/m2. (P = 15.7W )

9.5

In un dispositivo di Young la distanza tra i fori e d = 0.1mm, mentre lo schermo su cui si osserva la figura diinterferenza e posto ad una distanza L = 20cm. Si illumina il sistema con luce monocromatica e si osservache la distanza tra i massimi del 10 ordine a sinistra e a destra del massimo centrale e D = 20mm (Figura4. Calcolare:

a) la lunghezza d’onda della luce;(λ = 500nm)

b) la larghezza di uno dei massimi del 10 ordine (misurata come distanza tra due minimi adiacenti);(a =1mm)

c) la nuova posizione del 1 minimo (di ordine m = 0) se il dispositivo viene immerso in acqua con n = 1.33.(ymin,1 = 0.38mm)

DLd

Figure 4: Esercizio 9.5

9.6

Due fenditure distanti d = 2mm sono illuminate dalla luce di una lampada avente due lunghezze d’ondaλ1 = 485nm e λ2 = 495nm.Le frange di interferenza vengono osservate su uno schermo posto a distanzaL = 3m dal piano delle fenditure. Sia ∆yM la distanza tra due frange illuminate consecutive per la lunghezzad’onda λ1. Calcolare:

a) la distanza ∆yM (0.73mm);

b) la distanza sullo schermo tra due minimi del decimo ordine corrispondenti alle lunghezze d’onda λ1 e λ2

(0.16mm);

c) a quale distanza ym dal centro dello schermo si forma la frangia di ordine 0 se davanti ad una dellefenditure si pone una lastra di vetro di spessore q = 40µm ed indice di rifrazione n = 1.5 (|ym| = 30mm).

9.7

Un trasmettitore ed un ricevitore operano a frequenza ν = 120MHz e sono collocati su due edifici altih = 80m. Se si suppone che il suolo attorno agli edifici sia sgombro e che l’indice di rifrazione del suolo sian = 2.2, qual’e la massima distanza fra i due edifici per consentire al ricevitore di registrare un minimo diinterferenza tra il segnale che arriva direttamente e quello che subisce un’unica riflessione al suolo? (d =4h2−λ2

2λ = 5.1km)

9.8

Un’onda luminosa piana e monocromatica incide perpendicolarmente su una sottile lastra di vetro aventeindice di rifrazione n = 1.5. Variando in modo continuo la lunghezza d’onda si osserva che la luce riflessapresenta interferenza completamente distruttiva per le lunghezze d’onda λ1 = 480nm e λ2 = 600nm, manon per valori intermedi. Calcolare:

a) lo spessore della lastra; (d = 4λ2

2n = 0.8µm)

b) il valore di λM , compreso tra λ1 e λ2,per cui l’intensita della luce riflessa e massima. (λM = 4nd2m−1 =

540nm con m = 5)

9.9

Una lastra di vetro (nV = 1.5) e coperta da un sottile strato di vernice trasparente (n = 1.4). Se si osservalo spettro in riflessione per un’incidenza di 30, si vedono bande scure in corrispondenza di λ1 = 591.5nm eλ2 = 409.5nm. Si determini lo spessore (minimo) h della vernice. (h = 9λ1

2√

4n2−1= 1.02µm)

9.10

Tre sorgenti identiche di microonde, alimentate in fase, sono disposte lungo una retta e separate dalla stessadistanza d. Esse irradiano in modo isotropo alla lunghezza d’onda λ = 0.2m. Alla distanza L = 500msi osserva un’intensita massima IM = 3 × 10−5W/m2, in corrispondenza delle direzioni θ = 0, ±30 e±90 rispetto alla perpendicolare alla retta contenente le tre sorgenti e passante per la sorgente intermedia.Calcolare:

a) la distanza d tra le sorgenti;

b) la potenza P0 di ciascuna sorgente.

9.11

Un sistema di N = 4 sorgenti sonore sferiche di frequenza ν = 3.3kHz e disposto lungo una linea. Valutarel’intensita in funzione di θ a distanze molto grandi, supponendo che vsuono = 330m/s, nei casi in cui ladistanza tra due sorgenti consecutive sia d = 10cm oppure d = 5cm (separatamente).

9.12

Una fenditura di larghezza a = 0.11mm e illuminata con una luce monocromatica di λ = 577nm. Alladistanza D = 4m e collocato uno schermo sul quale si osserva la figura di diffrazione. Determinare:

a) la larghezza del massimo centrale;

b) la larghezza del primo massimo secondario.

9.13

I fari di un’automobile sono distanti tra di loro circa un metro ed emettono luce con λ = 500nm. Assumendoche il diametro di una pupilla sia d = 2mm, fino a quale distanza massima da un osservatore i due fari sonoosservati distintamente?

9.14

Un reticolo di diffrazione di passo d = 2µm e formato da N = 24 fenditure uguali di larghezza a = 1µm.Il reticolo e illuminato da un fascio di luce monocromatica di lunghezza d’onda λ = 583.3nm, incidenteperpendicolarmente sul piano delle fenditure. Calcolare:

a) il numero dei massimi principali ed i rispettivi angoli;

b) la larghezza angolare del massimo principale di ordine 0;

c) il numero di minimi secondari compresi tra il massimo principale di ordine 1 e quello di ordine 3.

9.15

Un reticolo di diffrazione e composto da N = 7000 fenditure di larghezza a = 1.8µm e passo d = 3µm. Ilreticolo e illuminato da luce dicromatica di lunghezze d’onda λ1 = 630nm e λ2 = 631nm. Determinare:

a) la posizione angolare dei massimi principali di interferenza di ordine 1 per le due lunghezze d’onda;

b) la larghezza angolare del massimo centrale di diffrazione per λ1;

c) il potere risolutivo del reticolo all’ordine 2.

10 Ottica Geometrica

10.1

Uno specchio sferico concavo C1, di raggio di curvatura R1 = 30cm e posto di fronte ad uno specchio sfericoconvesso C2 di raggio R2 = 3m. La distanza tra i vertici dei due specchi e d = 1m. Una sorgente si trovasulla retta congiungente i centri di curvatura ad una distanza p = 17cm da C1. Calcolare la posizione delleimmagini formate dai raggi che hanno subito:

a) una riflessione su C1 (q1 = −1.275m);

b) una riflessione su C1 e una su C1 (q2 = −0.336m).

10.2

Si consideri un diottro sferico aria-vetro con la superficie convessa per chi osserva dall’esterno. Sia nV = 1.5l’indice di rifrazione del vetro. I raggi paralleli all’asse ottico convergono in un punto dentro il vetro aduna distanza di 40cm dal diottro. Nota la distanza p = 50cm del punto oggetto del diottro, determinare ladistanza del punto immagine.(q = 85.7cm)

10.3

Una lente biconvessa di indice di rifrazione n = 1.5 ha una distanza focale f = 40cm in aria. Qual’e il valoredella distanza focale f ′ quando la lente e immersa in acqua (nA = 1.33)? (f ′ = 156.5cm)

10.4

Un sistema ottico centrato e costituito da due lenti sottili L1 e L2. La lente L1 ha distanza focale f = 20cmed e divergente, la lente L2 ha distanza focale f , e convergente ed e posta a distanza f da L1. Calcolare ledimensioni e la posizione rispetto a L1 dell’immagine di un oggetto di lunghezza x = f/2 posto a distanzaf dalla lente L1. (y = x, q = 4f)

10.5

Due lenti sottili formano un sistema ottico centrato e sono distanti d = 10cm. La prima lente e convergentee formata da raggi di curvatura R1 = +60cm e R2 = −60cm. La seconda lente e piana-convessa ed ha raggiodi curvatura R = −50cm. Entrambe le lenti sono fatte di un materiale avente indice di rifrazione n = 1.5.Un oggetto e posta davanti alla prima lente ad una distanza p = 40cm. Determinare:

a) le distanze focali delle due lenti (f1 = 60cm, f2 = 100cm);

b) la posizione e l’ingrandimento dell’immagine finale formata dal sistema ottico delle due lenti per l’oggetto(q2 = 433.3cm da L2, m = 10).