ESERCITAZIONE N. 2 (22 ottobre 2007) Verifica con il metodo di ...

Corso di Reti Idrauliche A.A. 2007/2008 Prof. Carlo Ciaponi Esercitazione 2 – Verifica con Hardy Cross di un sistema con più serbatoi e impianto di pompaggio Ing. Paolo Ardenti – Ing. Luigi Franchioli

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ESERCITAZIONE N. 2 (22 ottobre 2007)

Verifica con il metodo di Hardy Cross di un sistema con più serbatoi e impianto di pompaggio È dato un centro abitato di 4000 abitanti, servito da un acquedotto il cui sistema di approvvigionamento, adduzione e stoccaggio è schematizzato nella figura allegata. Il pozzo, di tipo artesiano, ha una profondità di 120 m, con la quota del piano campagna a 100 m s.l.m.. Esso è caratterizzato da un livello statico di –5,00 m dal piano campagna e da un livello dinamico di –11,00 m dal piano campagna con un emungimento di 30 l/s. La pompa sommersa, con una profondità di installazione di 20,00 m dal piano campagna, è una KSB tipo UPA 200-11/4 (vedi documentazione allegata). La sorgente ha una quota del pelo libero pari a 200 m s.l.m. ed una portata massima disponibile pari a 10 l/s. Tutte le condotte sono realizzate in acciaio senza saldatura semplicemente bituminato ed hanno le seguenti dimensioni: − tronco 1-3: DN 100 mm, lunghezza = 10000 m; − tronco 2-3: DN 125 mm, lunghezza = 3000 m; − tronco 3-4: DN 150 mm, lunghezza = 300 m. Il serbatoio di carico della rete di distribuzione (alimentata a gravità) ha una capacità di 600 m3 ed una quota di scarico di troppo pieno pari a 135 m s.l.m.. Sono richiesti: − il calcolo delle portate con cui il pozzo e la sorgente contribuiscono all’alimentazione

dell’acquedotto; − la verifica delle condizioni di funzionamento della pompa; − la verifica dell’idoneità dello spessore delle condotte sia in condizioni di esercizio normale, sia

nell’ipotesi che, per errore, la pompa sia fatta funzionare con saracinesca all’ingresso del serbatoio chiusa;

− il calcolo dei costi annui d’esercizio per energia elettrica, (costo mensile per impegno di potenza: € 4,15 per kW; costo per consumo: € 0,105 per kWh).


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Risoluzione La determinazione delle portate del sistema di approvvigionamento, essendo un problema di verifica, è risolvibile attraverso l’applicazione del metodo numerico di Hardy-Cross, previa introduzione di due tronchi fittizi. Come indicato nella figura successiva, si introducono i tronchi fittizi 4-1 e 1-2, individuando due maglie chiuse per le quali si fissa arbitrariamente come positivo il verso antiorario.

Al fine di individuare delle portate di primo tentativo non troppo dissimili da quelle reali, così da contenere il numero di iterazioni, si ipotizza la coincidenza dei nodi 3 e 4 e si studiano indipendentemente, determinandone la portata, i due sotto-sistemi costituiti il primo dalla sorgente collegata al serbatoio, il secondo dalla pompa collegata anch’essa al serbatoio. Partendo dal primo sistema, sorgente-serbatoio, si considera la condotta 1-3 come una lunga condotta e si determina la portata attraverso la seguente espressione:

H1 – H3≡4 = J1-3 L1-3 (1)

essendo H il carico totale (H1 riferito alla sorgente, H3≡4 riferito al serbatoio) J1-3 la cadente lungo il tronco 1-3 L1-3 la lunghezza della condotta 1-3

Esplicitando nella (1) la cadente J1-3 con l’espressione monomia valida per l’acciaio senza saldatura semplicemente bituminato ( J = 0,001456 q1,82 / D4,71) si ricava direttamente il valore della portata di primo tentativo per il tronco 1-3:

q1-3 = 7 l/s

essendo il diametro interno D pari a 0,1071 m. Il valore di portata è ammissibile in quanto inferiore al valore massimo pari a 10 l/s.


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Passando al secondo sistema, pompa-serbatoio, di nuovo è valida l’ipotesi di lunga condotta. Innanzitutto si costruisce la caratteristica esterna (∆HT, q), inserendo dei valori arbitrari di portata q2-3 nella formula della prevalenza totale:

∆HT = ∆HG + J2-3 L2-3 (2)

essendo ∆HT la prevalenza totale ∆HG la prevalenza geometrica J2-3 la cadente lungo il tronco 2-3 (diametro interno del tronco 2-3 = 0,1317 m) L2-3 la lunghezza della condotta 2-3

Si osserva che la prevalenza geometrica è anch’essa funzione della portata q2-3 attraverso la variazione del livello dinamico, pertanto l’espressione esplicita del termine ∆HG è la seguente:

∆HG = (H3≡4 – H) + hd = H3≡4 – [H – (hs + (hd* – hs) / qd* ⋅ q2-3)] (3)

essendo H la quota del piano campagna del pozzo hs l’abbassamento statico del pozzo hd l’abbassamento dinamico del pozzo → (falda artesiana: |hd*| = a qd* + |hs|) qd* la portata corrispondente all’abbassamento hd*

Di seguito è rappresentata graficamente l’espressione (2); ad essa è sovrapposta la caratteristica interna della pompa, fornita dalla documentazione allegata: l’intersezione delle due curve individua il punto di funzionamento. Pertanto la portata di primo tentativo q2-3 per il tronco 2-3 è pari a 11 l/s , con una prevalenza totale fornita dalla pompa di 59 m.

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03

portate [m3/s]

pre

va

len

za

[m

]

caratteristica esterna

caratteristica interna


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Stimate le portate di calcolo di primo tentativo q1-3 = 7 l/s e q2-3 = 11 l/s, per la continuità al nodo 3 la portata q3-4 risulta pari a 18 l/s. A partire da questa configurazione di portate, introdotti i tronchi fittizi 4-1 e 1-2, si procede a risolvere la rete iterativamente col metodo di Hardy-Cross. Di seguito sono riportate le iterazioni necessarie per giungere ad uno sbilanciamento minore di 0,50 m in entrambe le maglie.

1° iterazione

maglia tronco q [l/s] delta H delta S maglia n. tronco q [l/s] delta H delta S

1-3 7 64,704(1)

16823,050(4)

2-3 11 16,687(7)

2760,877(10)

3-4 18 1,620(2)

163,848(5)

3-1 -7 -64,704(8)

16823,050(11)

1

4-1 0 -65,000(3)

0,000(6)

2

1-2 0 48,200(9)

0,000(12)

tot 1,325 16986,898 tot 0,183 19583,927

portata correttiva [l/s]:

- (delta H / delta S) -0,078 portata correttiva

[l/s]: - (delta H / delta S) -0,009

2° iterazione

maglia n. tronco q [l/s] delta H delta S maglia n. tronco q [l/s] delta H delta S

1-3 6,931(13)

63,554 16687,642 2-3 10,991(15)

16,661 2758,958

3-4 17,922(14)

1,608 163,266 3-1 -6,931 -63,554 16687,642 1

4-1 0,000 -65,000 0,000

2

1-2 0,000 48,198(16)

0,000

tot 0,162 16850,908 tot 1,305 19446,600


- (delta H / delta S) -0,010 portata correttiva

[l/s]: - (delta H / delta S) -0,067

3° iterazione

maglia n. tronco q [l/s] delta H delta S maglia n. tronco q [l/s] delta H delta S

1-3 6,989 64,517 16801,142 2-3 10,924 16,476 2745,134

3-4 17,912 1,606 163,194 3-1 -6,989 -64,517 16801,142 1

4-1 0,000 -65,000 0,000

2

1-2 0,000 48,185(17)

0,000

tot 1,123 16964,336 tot 0,144 19546,277


- (delta H / delta S) -0,066 portata correttiva [l/s]:

- (delta H / delta S) -0,007

(1) = J1-3 L1-3 = 0,001456 ⋅ (0,007)1,82 / (0,1071)4,71 ⋅ 10000 (2) = J3-4 L3-4 = 0,001456 ⋅ (0,018)1,82 / (0,1603)4,71 ⋅ 300 (3) = H4 – H1 = 135 – 200 = -65 m (4) = 0,001456 ⋅1,82 ⋅(0,007)0,82 / (0,1071)4,71 ⋅ 10000 (5) = 0,001456 ⋅1,82 ⋅(0,018)0,82 / (0,1603)4,71 ⋅ 300 (6) il termine delta S è sempre nullo per i tronchi fittizi (7) = J2-3 L2-3 = 0,001456 ⋅ (0,011)1,82 / (0,1317)4,71 ⋅ 3000 (8) = J3-1 L3-1 = 0,001456 ⋅ (-1) ⋅ (0,007)1,82 / (0,1071)4,71 ⋅ 10000 (9) = H1 – H2 = 200 – (95 – (11-5) / 30 ⋅ 11 + 59) (10) = 0,001456 ⋅1,82 ⋅(0,011)0,82 / (0,1317)4,71 ⋅ 3000 (11) = 0,001456 ⋅1,82 ⋅(0,007)0,82 / (0,1071)4,71 ⋅ 10000 (12) = (6) (13)

= 7 + (-0,078) – (-0,009) (14) = 18 + (-0,078) (15) = 11 + (-0,009) (16) = H1 – H2 = 200 – (95 – (11-5) / 30 ⋅ 10,991 + 59(*)) (*) la prevalenza è funzione della portata, perciò dovrebbe cambiare nel corso delle iterazioni cambiando la portata; tuttavia, in questo caso le variazioni di portata sono talmente piccole che non si riesce a valutare la corrispondente variazione di prevalenza dalla caratteristica interna della pompa. (17) = H1 – H2 = 200 – (95 – (11-5) / 30 ⋅ 10,924 + 59(*)) Si osserva che nel passare da un’iterazione a quella successiva, gli sbilanciamenti di entrambe le maglie oscillano, benché la loro somma algebrica diminuisca lievemente ad ogni passaggio. Nonostante le oscillazioni dello sbilanciamento nelle prime iterazioni siano, in generale, giustificabili per via delle approssimazioni con le quali secondo il metodo di Hardy-Cross si calcola la portata correttiva, in questo particolare caso tali imprecisioni sono probabilmente amplificate dall’errore introdotto nella lettura delle coordinate del punto di funzionamento della pompa. A

∑∑

∆

∆−=∆

=

=∆

=∆−

i

i

i

i

S

Hq

D

Lkr

qrS

qrH

ii

ii

iii

β

α

α

α1


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seguito di queste considerazioni, si ritiene accettabile la precisione di calcolo ottenuta con la terza iterazione:

q1-3 = 7 l/s q2-3 = 10,9 l/s q3-4 = 17,9 l/s

Osservando l’andamento della curva dei rendimenti della pompa, si verifica che alla portata q2-3 corrisponde un rendimento pari al 74%, circa prossimo al valore massimo. Dalla curva dell’NPSH, sempre in corrispondenza di q2-3, si ricava un valore pari a 5,5 m che soddisfa ampiamente la seguente disuguaglianza:

∆ ≤ patm / γ - pv / γ -NPSH (4)

-12,82 m ≤ 4,63 m

essendo ∆ l’innalzamento della pompa rispetto al pelo libero del pozzo patm la pressione atmosferica assoluta

pv la tensione di vapore assoluta dell’acqua (pv/γ = 0,2 m a temperatura ambiente)

γ il peso specifico dell’acqua

La pompa, quindi, funziona senza alcun rischio di cavitazione. Al fine di verificare l’idoneità dello spessore delle condotte, si osserva che nell’intero sistema la sezione più sfavorita, per effetto delle sollecitazioni, è quella immediatamente a valle della pompa. La verifica di tale sezione viene condotta in riferimento a due situazioni di funzionamento dell’impianto:

1. funzionamento in condizioni di esercizio normale 2. funzionamento in condizioni di esercizio eccezionale, quando la pompa viene fatta

funzionare con la saracinesca all’ingresso del serbatoio chiusa. In caso di esercizio normale, la portata sollevata dalla pompa è pari a 10,9 l/s, con una prevalenza di circa 59 m, pertanto essendo la pompa posizionata ad una quota di 80 m, la pressione della sezione immediatamente a valle della pompa è pari a:

P = zd + ∆HT - zp (5) = 71,82 m

essendo zd la quota del livello dinamico corrispondente alla portata sollevata ∆HT la prevalenza fornita dalla pompa alla portata sollevata zp la quota di installazione della pompa

In caso di esercizio eccezionale, potrebbe accadere che la pompa alimenti la sorgente. In realtà, ciò non accade in quanto, pur considerando in prima ipotesi la prevalenza massima della pompa (81 m, corrispondente ad una portata nulla), la pompa non è in grado di sollevare l’acqua alla quota del pelo libero della sorgente:

(95 + 81)m < 200m

Ciò significa che si instaura un flusso d’acqua dalla sorgente al pozzo. Pertanto interviene la valvola di non ritorno posizionata a valle della pompa. La sua chiusura disconnette il sistema in due parti indipendenti: in quella a valle della pompa la distribuzione delle pressioni dipende dalla sorgente, nell’altra dalla pompa. La sezione in corrispondenza della valvola di non ritorno è soggetta a due


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diverse pressioni. Si assuma che la valvola sia posizionata in superficie a quota 100 m s.l.m.. La pressione imposta dalla pompa è data dalla seguente relazione:

P = zs + ∆HT – zv (6)

essendo zs la quota del livello statico = 95 m ∆HT la prevalenza fornita dalla pompa per portata nulla = 81 m zv la quota di installazione della valvola di non ritorno = 100 m

da cui

P = 76 m

Mentre la pressione imposta dalla sorgente, considerando la situazione a regime di portata nulla, risulta:

P = H1 – zv = 100m

Le pressioni risultanti in tutte le situazioni analizzate sono inferiori a quella massima di esercizio ammissibile, fornita dalla documentazione allegata, pari a 124 kgf/cm2 (circa 124 bar), quindi la verifica è soddisfatta. Infine, per la valutazione dei costi annui di esercizio, è necessario considerare il contributo di due voci distinte: il costo annuo per potenza impegnata ed il costo annuo per potenza consumata. Essendo il costo per kW impegnato pari a € 4,15 al mese e la potenza nominale della pompa, leggermente maggiorata, pari a 15 kW(dalla documentazione allegata), il costo annuo ammonta a € 747. Calcolata, invece, la potenza assorbita dal motore (P = ∆HTq2-3γ/η), pari a 8,5 kW, ipotizzando un funzionamento annuo dell’impianto di 15 ore al giorno, il costo per consumo annuo ammonta a € 4.886. Sommando i due costi sopra calcolati, risulta che il costo totale annuo di esercizio è pari a € 5.633.


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DOCUMENTAZIONE TECNICA:


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