Forlì, 21 febbraio 2017

ESERCITAZIONE – Ammortamento economico

Prof. Ing. Augusto Bianchini

DIN – Dipartimento di Ingegneria IndustrialeUniversità degli Studi di Bologna

Impianti Industriali

Ammortamento economico

2

Esercizio 1Costruire il piano di ammortamento (quota, interesse, rata, capitale residuo) utilizzando

i tre metodi:

1) a rata costante

2) a quota capitale costante

3) a percentuale costante del valore residuo

di un impianto con valore iniziale pari a 2.100.000 € ed un valore residuo finale pari a

100.000 €. Ipotizzare un tasso di interesse pari a 8% e una vita prevista n = 10 anni.

Valore iniziale dell'impianto V0 [€] 2100000

Valore residuo dell'impianto Vr [€] 100000

Vita prevista n [anni] 10

Tasso di interesse i [%] 8

3

Ammortamento economico

1) Piano di ammortamento a rata costante

𝑆 = 𝑞𝑗 + 𝐼𝑗

𝑆 = rata annuale costante

𝑞𝑗 = quota capitale

𝐼𝑗 = interessi

𝑆 =𝑟𝑛 ∙ 𝑖

𝑟𝑛 − 1𝑉0 −

𝑉𝑟𝑟𝑛

𝑉0 = valore iniziale dell’impianto

𝑉𝑟 = valore residuo dell’impianto

𝑛 = vita prevista

𝑖 = tasso di interesse

𝑟 = 1 + 𝑖

La rata annuale costante è data da:

L’ammortamento è computato tra i costi fissi di esercizio considerando una rata

costante per ogni anno. La rata copre gli interessi e una quota capitale:

4

1. Calcolo della rata 𝑆 =𝑟𝑛∙𝑖

𝑟𝑛−1𝑉0 −

𝑉𝑟

𝑟𝑛, costante per tutti gli anni

2. Calcolo degli interessi 𝐼𝑗 = 𝑉𝑗−1 ∙ 𝑖

3. Calcolo della quota capitale 𝑞𝑗 = 𝑆 − 𝑖 ∙ 𝑉𝑗−1

4. Calcolo del capitale residuo 𝑉𝑗 = 𝑉𝑗−1 − 𝑞𝑗

Anno Rata Interessi Quota capitale Capitale residuo

1 S 𝐼1 = 𝑉0 ∙ 𝑖 𝑞1 = 𝑆 − 𝑖 ∙ 𝑉0 𝑉1 = 𝑉0 − 𝑞1

2 S 𝐼2 = 𝑉1 ∙ 𝑖 = (𝑉0 − 𝑞1) ∙ 𝑖 𝑞2 = 𝑆 − 𝐼2 𝑉2 = 𝑉1 − 𝑞2

3 S 𝐼3 = 𝑉2 ∙ 𝑖 = (𝑉0 − 𝑞1 − 𝑞2) ∙ 𝑖 𝑞3 = 𝑆 − 𝐼3 𝑉3 = 𝑉2 − 𝑞3

… … … … …

Ammortamento economico

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

[€]

Anni

Rata [€]

Quota capitale [€]

5

Ammortamento economico

Anno Rata [€] Interessi [€] Quota capitale [€] Capitale residuo [€]

1 306059 168000 138059 1961941

2 306059 156955 149104 1812837

3 306059 145027 … …

4 306059 …

5 306059 …

6 306059

7 306059

8 306059

9 306059

10 306059 𝑉𝑟

𝐼𝑗

𝑞𝑗

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

[€]

Anni

Rata [€]

Quota capitale [€]

6

Ammortamento economico

2) Piano di ammortamento a quota capitale costante

𝑞 =𝑉0 − 𝑉𝑟

𝑛𝑞= quota capitale costante

𝑉0 = valore iniziale dell’impianto

𝑉𝑟 = valore residuo dell’impianto

𝑛 = vita prevista

La quota capitale costante vale:

L’ammortamento è computato tra i costi fissi di esercizio considerando ogni anno

una quota costante del capitale, a cui si aggiungono gli interessi.

La rata annuale per computare l’ammortamento è:

𝑆𝑗 = 𝑞 + 𝐼𝑗𝑞 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑆𝑗 = rata annuale (variabile)

𝐼𝑗 = interessi

7

1. Calcolo della quota capitale costante 𝑞 =𝑉0−𝑉𝑟

𝑛

2. Calcolo degli interessi 𝐼𝑗 = 𝑉𝑗−1 ∙ 𝑖

3. Calcolo della rata 𝑆𝑗 = 𝑞 + 𝐼𝑗

4. Calcolo del capitale residuo 𝑉𝑗 = 𝑉𝑗−1 − 𝑞

AnnoQuota

capitaleInteressi Rata Capitale residuo

1 q 𝐼1 = 𝑉0 ∙ 𝑖 𝑆1 = 𝑞 + 𝑖 ∙ 𝑉0 𝑉1 = 𝑉0 − 𝑞 = 𝑉0 −𝑉0−𝑉𝑟

𝑛

2 q 𝐼2 = 𝑉1 ∙ 𝑖 = (𝑉0 − 𝑞) ∙ 𝑖 𝑆2 = 𝑞 + 𝐼2 𝑉2 = 𝑉1 − 𝑞 = 𝑉0 − 2𝑉0−𝑉𝑟

𝑛

… … … … …

j q 𝐼𝑗 = 𝑉𝑗−1 ∙ 𝑖 = 𝑉0 − (𝑗 − 1)𝑉0−𝑉𝑟

𝑛∙ 𝑖 𝑆𝑗 = 𝑞 + 𝐼𝑗 𝑉𝑗 = 𝑉𝑗−1 − 𝑞 = 𝑉0 − 𝑗

𝑉0−𝑉𝑟

𝑛

… … … … …

Ammortamento economico

8

Ammortamento economico

Anno Quota capitale [€] Interessi [€] Rata [€] Capitale residuo [€]

1 200000 168000 368000 1900000

2 200000 152000 352000 1700000

3 200000 136000 … …

4 200000 …

5 200000 …

6 200000

7 200000

8 200000

9 200000

10 200000 𝑉𝑟

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

400000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

[€]

Anni

Quota capitale [€]

Rata [€]

𝐼𝑗

𝑞

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

400000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

[€]

Anni

Quota capitale [€]

Rata [€]

Interessi [€]

9

Ammortamento economico

3) Piano di ammortamento a percentuale costante del valore residuo

L’ammortamento è computato tra i costi fissi di esercizio considerando ogni anno

una percentuale costante del valore residuo, a cui si aggiungono gli interessi.

Si considera la percentuale 𝑝 < 1:

𝑝 = 1 −𝑉𝑟𝑉0

1𝑛

La rata annuale per computare l’ammortamento è:

𝑆𝑗 = 𝑉𝑗−1 ∙ 𝑝 + 𝐼𝑗

𝑝 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑆𝑗 = rata annuale (variabile)

𝐼𝑗 = interessi

𝑉𝑗−1 = valore residuo al periodo j-1

𝑉0 = valore iniziale dell’impianto

𝑉𝑟 = valore residuo dell’impianto

𝑛 = vita prevista

10

1. Calcolo della percentuale costante 𝑝 = 1 −𝑉𝑟

𝑉0

1

𝑛

2. Calcolo degli interessi 𝐼𝑗 = 𝑉𝑗−1 ∙ 𝑖

3. Calcolo della rata 𝑆𝑗 = 𝑉𝑗−1 ∙ 𝑝 + 𝐼𝑗

4. Calcolo del capitale residuo 𝑉𝑗 = 𝑉𝑗−1 − 𝑉𝑗−1 ∙ 𝑝

AnnoQuota

capitaleInteressi Rata Capitale residuo

1 𝑞1 = 𝑉0 ∙ 𝑝 𝐼1 = 𝑉0 ∙ 𝑖 𝑆1 = 𝑞1 + 𝐼1 𝑉1 = 𝑉0 − 𝑞1 = 𝑉0 − 𝑉0 ∙ 𝑝

2 𝑞2 = 𝑉1 ∙ 𝑝 𝐼2 = 𝑉1 ∙ 𝑖 = 𝑉0(1 − p) ∙ 𝑖 𝑆2 = 𝑞 + 𝐼2 𝑉2 = 𝑉1 − 𝑞2 = 𝑉0 1 − 𝑝 2

… … … … …

j 𝑞𝑗 = 𝑉𝑗−1 ∙ 𝑝 𝐼𝑗 = 𝑉𝑗−1 ∙ 𝑖 = 𝑉0 (1 − p)𝑗−1∙ 𝑖 𝑆𝑗 = 𝑞 + 𝐼𝑗 𝑉𝑗 = 𝑉𝑗−1 − 𝑞𝑗 = 𝑉0 1 − 𝑝 𝑗

… … … … …

Ammortamento economico

11

Ammortamento economico

Anno Quota capitale [€] Interessi [€] Rata [€] Capitale residuo [€]

1 551193 168000 719193 1548807

2 406520 123905 530424 1142288

3 299819 … … …

4 …

5 …

6

7

8

9

10 𝑉𝑟

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

800000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

[€]

Anni

Quota capitale [€]

Rata [€]

𝐼𝑗

𝑞𝑗0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

800000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

[€]

Anni

Quota capitale [€]

Rata [€]

Interessi [€]

12

Ammortamento economico

Confronto tra i tre metodi di ammortamento

0

200000

400000

600000

800000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

[€]

Anni

Rata RC [€]

Rata QC [€]

Rata PC [€]

0

50000

100000

150000

200000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

[€]

Anni

Interessi RC [€]

Interessi QC [€]

Interessi PC [€]

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

[€]

Anni

Capitale residuo RC [€]

Capitale residuo QC [€]

Capitale residuo PC [€]

Rata

Interessi

Capitale

residuo

1) Ammortamento a rata costante

Il capitale viene recuperato principalmente

alla fine della vita prevista (ambiente poco

competitivo e basso rischio di

obsolescenza).

2) Ammortamento a quota costante

Il capitale è recuperato in modo costante

3) Ammortamento a percentuale

costante del valore residuo

Il capitale è recuperato principalmente

all’inizio della vita prevista (ambiente molto

competitivo e alto rischio di obsolescenza).

Ammortamento economico

13

Esercizio 2Costruire il piano di ammortamento (quota, interesse, rata, capitale residuo) utilizzando i

tre metodi:

1) a rata costante

2) a quota capitale costante

3) a percentuale costante del valore residuo

di un bene per cui il tasso di interesse è i = 8%, il valore iniziale del bene è C0 =2.600 k€,

quello di recupero Vr = 200 k€ e la vita prevista è 4 anni.

Valore iniziale dell'impianto V0 [€] 2600000

Valore residuo dell'impianto Vr [€] 200000

Vita prevista n [anni] 4

Tasso di interesse i [%] 8

Ammortamento economico

14

1) A rata costante

2) A quota capitale costante

3) A percentuale costante del valore residuo

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1 2 3 4

[€]

Anni

Quota capitale [€]Rata [€]

Interessi [€]

0

500000

1000000

1500000

2000000

1 2 3 4

[€]

Anni

Quota capitale [€]Rata [€]

Interessi [€]

𝑆 = 740 610 €

𝑞 = 600 000 €

𝑝 = 0,473

0

200000

400000

600000

800000

1 2 3 4

[€]

Anni

Rata [€]

Quota capitale [€]Interessi [€]

Ammortamento economico

15

Esercizio 3Costruire il piano di ammortamento (quota, interesse, rata, capitale residuo) utilizzando i

tre metodi:

1) a rata costante

2) a quota capitale costante

3) a percentuale costante del valore residuo

di un investimento industriale di valore iniziale Vo =4200 k€ su una vita prevista di 6

anni ed un valore di recupero pari a 200 k€.

Considerare un rateo di interesse annuo pari al 10%.

Valore iniziale dell'impianto V0 [€] 4200000

Valore residuo dell'impianto Vr [€] 200000

Vita prevista n [anni] 6

Tasso di interesse i [%] 10

Ammortamento economico

16

1) A rata costante

2) A quota capitale costante

3) A percentuale costante del valore residuo

𝑆 = 938 430 €

𝑞 = 666 667€

𝑝 = 0,398

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1 2 3 4 5 6

[€]

Anni

Quota capitale [€]Rata [€]

Interessi [€]

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

1 2 3 4 5 6

[€]

Anni

Quota capitale [€]Rata [€]

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1 2 3 4 5 6

[€]

Anni

Rata [€]

Forlì, 21 febbraio 2017

Prof. Ing. Augusto Bianchini

DIN – Dipartimento di Ingegneria IndustrialeUniversità degli Studi di Bologna

Impianti Industriali