Domande stimolo

1. A quale area di contenuto appartiene la prova considerata?2. A quale livello di difficoltà appartengono ciascuna delle tre domande?3. Cosa devono sapere e saper fare gli studenti per rispondere ai diversi quesiti?4. Quale, secondo voi, è risultata, per ciascuna domanda, la 4. Quale, secondo voi, è risultata, per ciascuna domanda, la percentuale di risposte esatte fornite dai quindicenni italiani?5. Qual è, secondo voi, per ciascuna domanda l’errore più probabile commesso da uno studente quindicenne?6 Ritenete la prova utilizzabile nella realtà scolastica in cui operate? (motivare brevemente la risposta)

Enrico è un grande appassionato di skateboard. Visi ta un negozio che si chiama SKATER per controllare alcuni prezzi.In questo negozio puoi comprare uno skateboard compl eto, oppure puoi comprare una tavola, un set di 4 rotelle, un set di 2 blocchi e un set di accessori per montare il tuo skateboard.I prezzi dei prodotti del negozio sono:

SKATEBOARD (OCSE)SKATEBOARD (OCSE)SKATEBOARD (OCSE)SKATEBOARD (OCSE)

Domanda 2: SKATEBOARD

Il negozio offre tre tipi diversi di tavole, due tipi di set di rotelle diversi e due tipi di set di accessori. C’è solo una possibilità per il set di blocchi.

Domande 1A e 1B: SKATEBOARD

Enrico vuole montare da solo il suo skateboard. In questo negozio, qual è il prezzo minimo e il prezzo massimo degli skateboard «fai da te»?

� (a) Prezzo minimo: .................................zed

� (b) Prezzo massimo: possibilità per il set di blocchi.Quanti skateboard diversi può costruire Enrico?

� A 6� B 8� C 10� D 12

� (b) Prezzo massimo: ..............................zed

Pezzo Importo (zed)Tavola

Domanda 3: SKATEBOARD Enrico può spendere 120 zed e vuole comprare lo ska teboard più costoso che si può permettere.Quanto può permettersi di spendere Enrico per ciasc uno dei 4 pezzi?

Scrivi la tua risposta nella tabella qui sotto.

Tavola

Rotelle

Blocchi

Accessori

Descrizione item quesito 1 SkateboardIdea chiave: quantitàLivello di difficoltà dell’item: punteggio pieno 496 (Livello 3 sulla scala complessiva di literacy in matematica)punteggio parziale 464 (Livello 2 sulla scala complessiva di literacy inmatematica)

Descrizione item quesito 2 SkateboardIdea chiave: quantitàLivello di difficoltà dell’item: 570 (Livello 4 sulla scala complessiva di literacy in matematica)

Descrizione item quesiti 3 SkateboardIdea chiave: quantitàLivello di difficoltà dell’item: 554 (Livello 4 sulla scala complessiva di literacy in matematica)

2°ipotesi di lavoro:cambiamo il punto di vista...Alcune risposte di studenti di una classe prima di Scuola Secondaria di1°Grado: cosa ci dicono?

OCSE OCSE OCSE OCSE ---- PISAPISAPISAPISA

� Il consiglio comunale ha deciso di mettere un lampione in un piccolo parco triangolare in modo che l’intero parco sia

AREA DI CONTENUTO:

SPAZIO E FORMA

che l’intero parco sia illuminato. Dove dovrebbe essere collocato il lampione?

Quali caratteristiche e quale strategia risolutiva?

1. Partire da un problema reale.Occorre localizzare il punto di un parco in cui mettere un lampione.

2. Strutturare il problema in base a concetti matem atici.Il parco può essere rappresentato come un triangolo e l’illuminazione di un lampione come un cerchio con il lampione al centro.

3. Isolare progressivamente il problema ritagliando lo dalla realtà attraversoprocessi quali il fare supposizioni sulle caratteristiche essenziali del problema stesso, il generalizzare e il formalizzare (mettendo così in evidenza gli aspetti matematici de lla situazione e trasformando il problema reale in un problema matem atico che rappresenti fedelmente la situazione).

Il problema viene riformulato in: “localizzare il centro del cerchio circoscritto al triangolo”.

4. Risolvere il problema matematico.Poiché il centro di un cerchio circoscritto a un triangolo giace nel punto di incontro degli assi dei lati del triangolo, occorre costruire gli assi di due lati del triangolo. Il loro punto di intersezione è il centro del cerchio.

5. Infine, tradurre la soluzione matematica nei term ini della situazione reale.reale.La soluzione trovata viene applicata alla situazione del parco reale. Occorre ragionare sulla soluzione e riconoscere che se uno dei tre angoli fosse ottuso, la soluzione non sarebbe appropriata, poiché il lampione dovrebbe essere collocato fuori dal parco. Occorre anche riconoscere che l’ubicazione e la dimensione degli alberi nel parco sono altri fattori che influisconosull’utilità della soluzione matematica.

OCSE a scelta multiplaOCSE a scelta multiplaOCSE a scelta multiplaOCSE a scelta multipla

� LA FOCA

Una foca deve respirare anche mentre dorme. Martino ha osservato una foca per un’ora. All’inizio della sua osservazione, la foca si è immersa nel fondo del mare e ha cominciato a dormire. Durante gli 8 minuti successivi è ritornata lentamente a galla e ha preso fiato.Durante gli 8 minuti successivi è ritornata lentamente a galla e ha preso fiato.Dopo tre minuti era nuovamente sul fondo del mare e l’intero processo si è ripetuto in modo molto regolare. Dopo un’ora, la foca stava:

� A. sul fondo del mare.� B. risalendo a galla.� C. prendendo fiato.� D. scendendo sul fondo.

Sulla base dell’esperienza del primo ciclo di PISA (2000), i quesiti a scelta multipla sono generalmente considerati più adatti per valutare i raggruppamenti di competenze della riproduzione e delle connessioni.

L’esempio 15 mostra un quesito che riguarda il raggruppamento di competenze delle connessioni e che ha un numero limitato di alternative.delle connessioni e che ha un numero limitato di alternative.

Per risolvere questo problema gli studenti devono tradurlo in termini matematici, mettere a punto un modello per rappresentare la scansione periodica descritta nel contesto e ripetere la sequenza estendendo il modello in modo da far combaciare il risultato con una delle opzioni proposte.

Esempio di quesito a risposta aperta univocaEsempio di quesito a risposta aperta univocaEsempio di quesito a risposta aperta univocaEsempio di quesito a risposta aperta univoca

Matematica: esempio 16 - MARATONA DI ROTTERDAMTepla Loroupe ha vinto la maratona di Rotterdam nel 1998. “È stato facile”, ha detto, “il percorso era quasi pianeggiante”.Qui è mostrato un grafico delle variazioni altimetriche del percorso della maratona di Rotterdam:

Quale era la differenza tra il punto più alto e quello più basso del percorso?________________ m

I quesiti a risposta aperta univoca consentono di porre lo stesso tipo di domande dei quesiti a scelta multipla, ma gli studentidevono produrre una risposta che può essere facilmente classificata comecorretta o errata. Per i quesiti che hanno questo formato, è più improbabileche lo studente tiri a indovinare e non è necessario fornire informazioni plausibili errate (che influenzano il costrutto che si sta valutando). Per esempio,nel problema presentato nell’esempio 16 c’è una risposta corretta e moltepossibili risposte errate.

In OCSE vengono proposti “problemi autentici”:

È da notare che il termine “autentico” non vuole qui significare che i quesiti di matematica siano in un certo senso genuini e reali. Nella matematica dell’OCSE/PISA il termine “autentico” indica che l’uso della matematica è realmente funzionale alla risoluzione del problema e che quindi il problema non è una semplice occasione di esercizio matematico.

Processi di matematizzazione

Il progetto OCSE/PISA esamina la capacità degli studenti di analizzare, ragionare e comunicare idee matematiche in modo efficace nel momento in cui pongono, formulano, risolvono problemi matematici e ne interpretano le soluzioni.Tale attività di analisi e soluzione di problemi richiede, da parte deglistudenti, l’uso di abilità e competenze acquisite attraverso il percorso studenti, l’uso di abilità e competenze acquisite attraverso il percorso scolastico e l’esperienza.Nell’indagine OCSE/PISA, si usa il termine “matematizzazione”per riferirsi a un processo fondamentale del quale gli studenti si servonoper risolvere problemi della vita reale.

IL CICLO DI MATEMATIZZAZIONE

Soluzionereale

Problemamatematico

Problema del mondo reale

Soluzionematematica

1,2,3

4

5

5

1. Si parte dal problema situato nella realtà

2. Si organizza il problema in base a concetti matematici e si identificano gli strumenti matematici pertinenti

3) Si ritaglia progressivamente la realtà attraverso processi quali il fare supposizioni, il generalizzare e il formalizzare il problema, generalizzare e il formalizzare il problema, che mettono in evidenza le caratteristiche matematiche della situazione e trasformano il problema reale in uno matematico che rappresenti fedelmente la situazione di partenza.

4) Si risolve il problema matematico.

5) Si interpreta la soluzione matematica nei termini della situazione reale, individuando anche i limiti della soluzione proposta.

C21 (INValSI)

� Interessante il quesito C21 perché richiedeva di mettere in movimento rappresentazioni multiple di un problema: tabella con numeri, grafico, e percentuale. Si richiedeva inoltre di spiegare il procedimento seguito.

NUCLEO :

MISURE, DATI E PREVISIONI

Risposte corrette

procedimento seguito.� Anche in questo caso erano

possibili strategie di soluzioni diverse e l'analisi di queste può essere elemento di riflessione per gli insegnanti.

La prova nazionale di “terza media” - R. Garuti, A. Orlandoni -

in E. Romagna =34,9%

in Italia = 30,8%

Il quesito valuta la capacità di collegare tra di loro diverse rappresentazioni dello stesso insieme di dati, e di operare con le percentuali per trovare un dato mancante.

Dalle Indicazioni per il curricolo 2007:Calcolare percentuali .Rappresentare insiemi di dati.Riconosce e risolve problemi di vario genere analizzando la situazione e traducendola in termini matematici , spiegando anche in formatraducendola in termini matematici , spiegando anche in formascritta il procedimento seguito .

Dalle Indicazioni Nazionali:Ricavare informazioni da raccolte di dati e grafici di varie fonti.Esporre chiaramente un procedimento risolutivo, evidenziando le azioni da compiere e il loro collegamento.

Dai dati al grafico“Quanti biglietti della lotteria hai venduto?” questa domanda è stata posta a un gruppo di alunni dal Presidente del Comitato Gen itori di una scuola media . Le risposte sono state le seguenti:

10,9,8,7,10,8,9,11,10,6,12,13,10,11,12,14,10,10,11,9.

a)Quanti ragazzi hanno venduto i biglietti della lotteria?b)Compila una tabella di distribuzione di frequenza indicando frequenza assoluta, b)Compila una tabella di distribuzione di frequenza indicando frequenza assoluta, relativa e percentualec)Rappresenta graficamente i dati attraverso un istogrammad)Calcola i valori degli indici della tendenza centrale: moda, media e mediana.e)Qual è la percentuale dei ragazzi che hanno venduto:

•almeno 9 biglietti•più di 12 biglietti•tanti biglietti quanti ne indica la moda•non più di 8 biglietti

Un altro esempioUn altro esempioUn altro esempioUn altro esempio

Sono di seguito riportati i numeri dei giorni di as senza accumulati dagli alunni di una classe terza nel corso di un quadrimestre:

2, 3, 4, 6, 7, 6, 8, 5, 4, 3, 5, 8, 5, 2, 4, 7, 6, 5, 4, 5, 3, 7

.

•Compila una tabella di distribuzione di frequenza, calcolando frequenza assoluta, relativa e percentuale.

•Costruisci l'istogramma relativo

•Calcola poi i valori della tendenza centrale: moda, media e mediana.

•Se un dato “8 giorni di assenza” fosse sostituito dal dato “15 giorni di assenza” quale dei dati della tendenza centrale varierebbe? Perché? Giustifica la tua risposta

� Prova 1( Da esame terza media ) COMPLETA1. In un sistema di riferimento cartesiano con unità di misura uguale ad un cm, disegnateil quadrilatero ai vertici:A (5;3), B(8;3), C(8;7), D(5;7).· Di quale quadrilatero si tratta ?· Calcolate perimetro ed area del quadrilatero ABCD· Calcolate la superficie totale, il volume e il peso del solido ottenuto dalla rotazionecompleta del quadrilatero attorno al lato BC, nell’ipotesi che il solido sia di vetro ( ps= 2,5).= 2,5).

2. Avete davanti due urne: nella prima ci sono nove biglie bianche e sei nere e nellaseconda ci sono otto biglie bianche e sette nere. Quale urna scegliete se voleteestrarre più facilmente una biglia bianca ? Perché ?Calcolate, in percentuale, quante probabilità si hanno di estrarre una biglia nera dallaprima urna. E dalla seconda ?

3. Un corpo si muove con moto rettilineo uniforme alla velocità di 10 Km/h, quanti kmpercorre rispettivamente in 3h, 5h, 7h, 12h e 15h ? Costruite il relativo diagrammacartesiano, portando i valori del tempo t sull’asse delle ascisse e i valori dello spazio ssull’asse delle ordinate, Qual è la legge matematica che lega le due grandezze ?

4. Risolvi la seguente equazione con verifica:12 x – 5 (x-3) = 6x – 4 (3x –11) – 3

...statistica...statistica...statistica...statistica

Quesito 3

La seguente tabella indica i voti riportati da uno studente universitario negli esami del suo corso di laurea.

27 30 21 27 28 27 30 28 21 30 24 3027 30 21 27 28 27 30 28 21 30 24 3027 24 30 21 28 29 27 27 21 30 27 27

� Quanti esami comprendeva quel corso universitario?� Raccogli i dati in una distribuzione di frequenza e calcola

moda, media mediana� Determina quale percentuali di voti è superiore a 28

Proporzionalità….e graficiProporzionalità….e graficiProporzionalità….e graficiProporzionalità….e grafici

Quesito 4La molla di un dinamometro si allunga di 3 cm per ogni kg/peso. Appendi successivamente al gancio del dinamometro i seguenti solididi vetro ( p.s = 2,5):un cubo con lo spigolo di 10 cm un parallelepipedo rettangolo con le dimensioni di 8 cm, 10 cm e

15 cm.un parallelepipedo rettangolo con le dimensioni di 8 cm, 10 cm e

15 cm.un prisma quadrangolare regolare avente lo spigolo di base lungo 10

cm e l'altezza di 4 cm.

� Calcola in ogni caso l'allungamento della molla.

� Raccogli i dati ottenuti in una tabella peso in kg ( x) / allungamento della molla in cm ( y) e traccia il grafico relativo, utilizzando per il peso la seguente unità di misura: 1 kg = 1 cm (o il lato di un quadretto).

� Scrivi la funzione che lega y ad x e indica il tipo di proporzionalità.

Quesito

Considera un rettangolo RRRR che ha le dimensioni rispettivamente di 40 cm e 50 cm e un triangolo rettangolo TTTT che ha i cateti rispettivamente di 50 cm e 120 cm.

Esegui una rotazione completa di RRRRattorno alla dimensione minore e di TTTT attorno al cateto maggiore.

QuesitoOsserva i solidi in figura, ciascuno dei quali è formato da 8 cubetti congruenti con lo spigolo di 2cm.

Calcola, seguendo quello che ti sembra il metodo più rapido, l’ area della loro superficie.

Esprimi le tue considerazioni sul loro volume, anche senza calcolarlo.

Solida……

TTTT attorno al cateto maggiore.

Descrivi i due solidi così ottenuti e calcola area della superficie e volume di ciascuno.

Scrivi le considerazioni sul risultati del volume ottenuti e indica se i risultati ottenuti erano prevedibili e perchè .

I numeri reali relativi

Kangourou, 2006

La metà di un centesimo è..

A) 0,5 B) 0,002 C) 0,005 D) 0,02 E) 0,05

Calcolo letterale, monomi, polinomi Le equazioni di 1°grado(Rally Matematico Transalpino, 2006)

La predizione

� Marco propone questo gioco al suo amico Luca:- pensa un numero intero qualsiasi,- aggiungi il numero immediatamente successivo,- aumenta di 9 la somma precedente,- aumenta di 9 la somma precedente,- dividi il risultato ottenuto per 2,- sottrai il numero che hai pensato all'inizio.Il risultato è 5, vero?Luca è stupefatto, ma non è magia: si tratta solo di matematica.

� Perché si ottiene sempre lo stesso risultato da qualunque numero parta il gioco?

(Giochi Bocconi Parigi 2001)

� Il peso di Anna

Ieri Anna si è pesata con lo zainetto in spalla: la bilancia segnava 45 kg. oggi pesa 53 kg, ma il suo zainetto è tre volte più pesante di quello del giorno prima.

Quanti chilogrammi pesa Anna (sapendo che il suo peso tra ieri e oggi è Quanti chilogrammi pesa Anna (sapendo che il suo peso tra ieri e oggi è rimasto lo stesso)?

Un primo passo in Algebra (tratto da Giuseppe Peano, Giochi di aritmetica e problemi interessanti, Paravia, 1925)

� Il Maestro, e i piccoli allievi Pietro e Paolo.MAESTRO: Pietro, pensa un numero.PIETRO: Pensato.MAESTRO: Aggiungi uno.PIETRO: Aggiunto.MAESTRO: Quanto hai trovato?MAESTRO: Quanto hai trovato?PIETRO: Sei.MAESTRO: Tu Paolo, indovina il numero pensato da Pietro.PAOLO: 6 -1 = 5, tale è il numero pensato.MAESTRO: Bravo Paolo, hai fatto un primo passo in Algebra.

� Come si spiega il calcolo di Paolo?

Un gioco di Leonardo (tratto da Giuseppe Peano, Giochi di aritmetica e problemi interessanti, Paravia, 1925)

� Pensa un numero, moltiplica per 2, aggiungi 5, molt iplica per 5, aggiungi 10, e moltiplica per10, e dimmi il risulta to. Se da questo sottraggo 350, e divido per 100, ho il numero pensa to.

Come si spiega questo risultato?

(Gran Premio di Matematica Applicata, 2004)

Cognomi e capelli � Due uomini e una donna di cognome Biondi, Neri e Rossi si

incontrano in un bar.La donna, che non ha i capelli rossi, osserva: "I nostri cognomi La donna, che non ha i capelli rossi, osserva: "I nostri cognomi corrispondono proprio al colore dei nostri capelli!". "Vero," risponde la persona dai capelli neri "però nessuno di noi ha i capelli che si accordano col proprio cognome." "Hai proprio ragione!" esclama Biondi.Qual è il colore dei capelli di Neri?

"I problemi" numero DUE (Gennaio 2005) (Quesito per alunni scuole medie)

"Ricaricami il pupo..."Una grande compagnia di produzione di telefonia cellulare vuole investire su un nuovo prodotto per giovani acquirenti. A tale scopo ha realizzato un’indagine per conoscere la diffusione del cellulare tra i giovanissimi. Il gruppo dei 173 ragazzi contattati ha dato queste risposte in merito al possesso di cellulare:

Maschi FemmineSì 16 19

Maschi Femmine

Sì 16 19

Sì 16 19No 80 58

Totale 96 77� Cosa si può concludere da questi dati?

a) Nel gruppo hanno più cellulari o le ragazze o i ragazzi?

� b) Qual è la percentuale di ragazzi tra coloro che hanno un cellulare?

� c) Come si compone rispetto alle ragazze e ai ragazzi il gruppo di coloro che non hanno un cellulare?

� d) Qual è la percentuale delle ragazze che non hanno un cellulare sul totale degli intervistati?

No 80 58

Totale 96 77

ISOLANI O ISOLATI?

� Riflessioni sulla densità di popolazione nell’arcipelago indonesianoProblema rivolto agli studenti di Scuola Secondaria di 1°gradoe del primo biennio di Scuola Secondaria di 2°grado.

� INDONESIA

Regione Estensione

(Km2)

Percentuale dell’estension

e rispetto all’area totale

Popolazione nel

1980 (in milioni)

Percentuale rispetto all’intera

popolazione

Java/Madura 132187 6.95 91.281 61.87

Sumatra 473606 24.86 27.981 18.99

Il problema numero CINQUE (Ottobre 2006)(Fonte: de Lange e Verhage (1992), OECD PISA 2003 Valutazione dei quindicenni, Armando Editore, 2004, pg. 56)

L’Indonesia si trova tra la Malesia e l’Australia. Nella seguente tabella sono riportati alcuni dati sulla popolazione dell’Indonesia e la sua distribuzione nelle varie isole:

Sumatra 473606 24.86 27.981 18.99

Kalimantan (Borneo)

539460 28.32 6.721 4.56

Sulawesi (Celebes)

189216 9.93 10.377 7.04

Bali 5561 0.30 2.470 1.68

Irian Java 421981 22.16 1.145 5.02

TOTALE 1905569 100.00 147.384 100.00

Una delle principali difficoltà dell’Indonesia è la distribuzione ineguale della popolazione nelle varie isole.

RICHIESTE:� Disegna un grafico (o alcuni grafici) che

mostri l’ineguale distribuzione della

Affermazione Vero/Falso Perchè

La maggior parte degli abitanti dell’Indonesia si trova a Java/ Madura

mostri l’ineguale distribuzione della popolazione indonesiana.

� Definisci il concetto di densità di popolazione

� Secondo te a cosa serve conoscere la densità di popolazione

A Java/Madura gli abitanti sono tanti e sono molto fitti

L’isola più grande è Java/Madura

A Bali la densità di popolazione è bassa