ESEMPIDI APPLICAZIONI

DELLECALCOLATRICI

NELL’INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA

a cura di Aurelia Orlandoni, Ercole Castagnola, Sebastiano Cappuccio

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INDICE

Introduzione pag. ...................................................... 5 Linguaggi algebrici pag. ......................................... 7 Introduzione ai numeri reali pag. ....................... 10 Polinomi pag. ............................................................. 12 Introduzione alle disequazioni pag. ................... 15 Piano cartesiano pag. .............................................. 17 Rette nel piano cartesiano pag. ............................ 19 Equazioni pag. ........................................................... 21 Funzioni pag. .............................................................. 27 Grafici di funzioni e trasformazioni elementari pag. .......................................................... 30 Problemi e modelli pag. ........................................... 33 Fasci di parabole pag. ............................................. 38 Una proprietà delle cubiche pag. ......................... 41 Due problemi di geometria pag. ........................... 45 Le equazioni di un orsetto pag. ............................ 49 Introduzione alle successioni pag. ........................ 52 Distribuzione delle frequenze pag. ..................... 56 Dalla statistica alla probabilità pag. ................... 60 Regressione e correlazione pag. .......................... 64 Per approfondire pag. ............................................. 71

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INTRODUZIONE

In questo fascicolo sono presentate solo alcune tra le innu-merevoli applicazioni in classe possibili con una calcolatrice grafica e simbolica; in particolare vengono mostrate quelle nelle quali il rapporto “qualità/ prezzo” (cioè tra l’impor-tanza concettuale e le necessarie conoscenze dello stru-mento) è particolarmente alto e quindi sono alla portata an-che di chi non ha molta esperienza nell’uso delle calcolatrici.

Ciascuna applicazione è preceduta da una “scheda” simile al-la seguente:

TITOLO: . . . . . .ARGOMENTO E CLASSE: . . . . . . POSSIBILITÀ D’USO: . . . . . .COMMENTI: . . . . . . RIFERIMEN-TOVengono citati esempi di arti-coli o lavori va-ri sull’argomen-to.

DIFFICOL-TÀ* facilissimo ** facile *** medio **** difficile Il grado di dif-ficoltà fa rife-rimento alle necessarie co-noscenze dello strumento uti-lizzato

STRUMENTOCNG (calcolatrice numerica e

grafica) CGS (calcolatrice grafica e sim-

bolica)CAS (sistema di elaborazione

simbolica, sia su computer che su calcolatrice)

FE (foglio elettronico) GD (geometria dinamica) LP (linguaggio di programmazio-

ne, sia su computer che su cal-colatrice)

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Le indicazioni su “ARGOMENTO E CLASSE” fanno di norma riferimento alla bozza dei Nuovi Programmi di Matematica elaborata dalla UMI-CCIM come appare in “Matematica 2003, Attività didattiche e prove di verifica per un nuovo curricolo di Matematica”.

In molti casi viene riportato come esempio un brano di un lavoro ritenuto particolarmente significativo. La maggior parte di questi esempi sono tratti dal CD di ADT 2004, ed. Ghisetti e Corvi.

NOTA: Molti dei lavori qui pubblicati fanno riferimento alla calcolatrice TI-92. Le stesse attività possono es-sere eseguite anche con le equivalenti calcolatrici TI-89, TI-89 Titanium e Voyage 200.

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LINGUAGGI ALGEBRICI ARGOMENTO E CLASSE Numeri e algoritmi; uso consapevole delle parentesi.Primo biennio.POSSIBILITÀ D’USO Digitazione di espressioni numeriche (CNG) e letterali (CGS). Tra-duzione di espressioni numeriche e letterali dal normale “linguag-gio algebrico” alla forma lineare e viceversa.COMMENTIUn certo addestramento alla digitazione di espressioni (numeriche o letterali) sulla calcolatrice o al computer (CAS) può essere molto utile allo studente, non solo come abilità di base per successive ap-plicazioni, ma anche e soprattutto come spunto di riflessione su al-cuni importante aspetti dell’algebra di base.RIFERIMENTO/documen/italia/libro_b/ticap03.pdf

DIFFICOLTÀ*

STRUMENTOCNG CGS CAS

Chiunque operi con una tastiera, sia essa di calcolatrice o di com-puter, sa bene che non sempre è facile riprodurre espressioni aritme-tiche o algebriche perché il tradizionale linguaggio algebrico usa (ad esempio nelle frazioni o nell’elevamento a potenza) scritture su più livelli non facilmente riproducibili con la tastiera. Ciò costringe nella digitazione a operare con un “linguaggio algebrico” almeno in parte diverso da quello usuale: il formato lineare.

Il formato algebrico lineare Il dover digitare espressioni in forma lineare costringe a inserire parentesi anche quando, nel linguaggio algebrico tradizionale, ven-gono omesse perché non necessarie. Ciò costringe a riflettere sulla priorità delle operazioni e sull’uso delle parentesi. Lo studente ha così la possibilità di operare con almeno tre diversi formalismi algebrici:

tradizionale lineare

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grafi ad albero Il passaggio dall’uno all’altro formalismo consente così una più approfondita comprensione e una maggiore consapevolezza della struttura di una espressione. È importante in questo processo di “tra-duzione” il fatto che i CAS e le calcolatrici grafico-simboliche fanno rivedere nel formato “tradizionale” ciò che si è scritto, offrendo la possibilità di controllare la correttezza della digitazione. Nella tabella che segue vediamo a titolo di esempio alcune e-spressioni scritte usando la notazione lineare, quella tradizionale e il corrispondente grafo ad albero:

(5+7)/(4 2)2475 /

+

5 7 4 2 5 + 7 / 4 2 5 +

47 2

+

5 –

/ 2

7 4 (5+7)/4 – 2

24

75

/ 2

+ 4

5 7 5+7/(4 – 2)

2475

+

5 /

7

4 2

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L’operazione di elevamento a potenzaAnche l’operazione di elevamento a potenza nel formato tradizio-

nale non può essere riprodotta con una tastiera: è stato così introdotto un esplicito simbolo (di norma l’accento circonflesso ^) per indicare questa operazione. Così, ad esempio, 32 deve essere digitato come 3^2. Può sembrare banale, ma il dover utilizzare una struttura del ti-po operando – operatore – operando, simile a quella delle altre ope-razioni, fa sì che lo studente percepisca meglio il concetto di potenza come operatore e le sue proprietà (o non-proprietà, come la commu-tativa e la associativa).

I diversi significati del segno “meno” In ogni tipo di linguaggio non formale (come invece sono ad e-sempio i linguaggi di programmazione) una parola ha spesso signifi-cati assai diversi. Di solito ciò non trae in inganno chi lo usa, perché egli ne sa interpretare correttamente il significato in base al conte-sto1; ciò talvolta avviene anche in matematica, ad esempio a proposi-to della “parola” meno. Una delle principali difficoltà nell’algebra e-lementare è data dalla gestione del segno “meno”; questo disagio, da parte di molti studenti, dipende spesso dall’ambiguità di fondo di questo simbolismo matematico. Lo stesso simbolo viene infatti uti-lizzato con due diversi significati:

quello operativo (o di operatore binario) quando indica l’operazione di sottrazione tra due numeri quello predicativo (o di operatore unario) quando indica l’opposto di un numero.

Nelle calcolatrici sono presenti due diversi tasti per indicare i due significati del “meno”: - e (-) . Ciò non può che chiarire meglio questa duplice natura del simbolo e costringere così lo studente a prenderne concretamente coscienza riducendo gli errori di segno che spesso non sono dovuti a distrazione, ma a una scarsa comprensione dei significati del simbolo.

1 Ad esempio: “Nella minestra c’è poco sale”, “Le sale del palazzo ospitano una grande festa”, “Il prezzo del petrolio sale”: la parola sale, pur con signi-ficati e ruoli sintattici assai diversi, non crea ambiguità grazie al contesto.

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INTRODUZIONE AI NUMERI REALI ARGOMENTO E CLASSE Numeri reali come numeri decimali. Classe prima:POSSIBILITÀ D’USO Individuazione del valore approssimato di numeri reali (ad esempio radicali quadratici) per tentativi, o, meglio, per approssimazioni successive.COMMENTIAnche questo argomento favorisce la percezione numerica, spesso distratta dai formalismi algebrici, in particolare nel calcolo con i radicali.Nel documento di riferimento viene presentato l’algoritmo delle “scatole cinesi”.RIFERIMENTO/documen/italia/labclass/DFOA02.PDF

DIFFICOLTÀ*

STRUMENTOCNG CGS CAS

Scatole cinesi (Donata Foà) Si comincia quasi sempre dalla radice di 2 e si introduce l'algo-ritmo che permette di approssimarla con la precisione voluta; è abba-stanza scomodo ripercorrere questo cammino a mano o con una mac-china calcolatrice che dia solo i numeri, è facile perdersi nei numeri decimali e non vedere bene il procedimento. Proviamo ad usare le li-ste con il comando seq (sequence). Visto che 2 è compreso fra 1 e 2 si suddivide l'intervallo in dieci parti con il comando seq che costruisce una sequenza di numeri da un minimo a un massimo secondo una funzione assegnata, nel nostro caso 1 + k/10 con k che varia da 0 a 9. seq(1+k/10,k,0,9) appare la sequenza dei decimali 1.1, 1.2, 1.3 ......se non appare così occorre andare a modificare il tipo di nu-mero da exact a approximate (per fare questo battere il tasto Mode e andare fino in fondo).

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Una volta ottenuta la sequenza dei decimali bisogna farne il qua-drato per vedere fra quali valori è compreso il 2. Si seleziona la riga di scrittura, si digita ^2 e si ottengono i quadrati; a mano si sceglie quello approssimato per difetto e si ricomincia da capo a partire da questo: l'unica differenza sta nel grado di approssimazione: seq(1.4+k/100,k,0,9) e così via fino al numero di decimali voluto.

Per trovare la parte intera di una radice il comando è un po' diver-so; supponiamo di avere 1398: si può partire da 30 e andare avanti. seq(k^2,k,30,40) (*il numero limitato di numeri è consigliato solo per ragioni di schermo*). È evidente che questo metodo elimina tutta la parte di calcolo e permette di ricostruire la procedura anche più volte, permette di co-struire suddivisioni diverse, in due parti, in tre o in quante si vuole e quindi individuare la scatola cinese come classe di equivalenza, per-mette di capire quante operazioni vengono effettuate nelle diverse partizioni e qual è la più veloce, induce negli studenti l'idea di algo-ritmo e quindi di costruire un programma che ricalchi questo proce-dimento.

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POLINOMIARGOMENTO E CLASSEPolinomi in una indeterminata e, più in generale, calcolo di e-spressioni letterali. Classe Prima.POSSIBILITÀ D’USO Sostituzione di un valore numerico ad una o più variabili di una e-spressione simbolica. Tabulazione del valore di una espressione al variare dei valori di una variabile.COMMENTIL’applicazione, di solo apparente banalità, consente di non perdere la “percezione” numerica del valore di una espressione letterale. Permette anche di far comprendere come una espressione può as-sumere valori nulli, positivi, negativi, oppure perdere di significato a seconda del valore assegnato alla variabile, applicazione prope-deutica ai concetti di equazione, disequazione e funzione.RIFERIMENTO DIFFICOLTÀ

*STRUMENTOCGS CAS FE

Il passaggio dal calcolo numerico a quello simbolico costituisce una importante tappa nell’apprendimento dell’Algebra. Questo pas-saggio può essere reso più graduale attraverso l’uso di uno strumento di calcolo per effettuare la sostituzione di un valore ad una variabile dell’espressione. La calcolatrice simbolica, con il tasto with ( ) e l’ambiente table,è particolarmente adatta a questo tipo di applicazione. La stessa cosa può essere realizzata manualmente ma, a causa della pesantezza dei calcoli, ciò può far perdere di vista questa importante concettualizza-zione. Il tasto with produce una assegnazione locale che sostituisce nell’espressione indicata a sinistra, il valore indicato a destra della barra verticale.

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Fig. 1. Nella prima linea l’espressione viene “semplificata” automa-ticamente (in questo caso si tratta di una “scomposizione in fratti semplici”). Nelle linee successive grazie all’uso del tasto with, rap-presentato da una barra verticale, l’espressione vene valutata sosti-tuendo alla variabile a rispettivamente i valori 4, 0 e –1.

Fig. 2. Un CAS consente anche sostituzioni “multiple” con più va-riabili contemporaneamente. Si noti l’uso del connettivo and.

Ciò è molto utile per far sì che lo studente non perda il significato numerico delle espressioni letterali che deve manipolare e acquisti una visione “dinamica” di tali espressioni. La cosa può essere ulteriormente approfondita con l’uso dell’ambiente Table: dopo aver scritto una espressione simbolica nell’apposito ambiente di definizione delle funzioni, i valori dell’espressione possono facilmente essere tabulati facendo variare i valori della variabile x a partire da un dato valore iniziale con un “passo” prefissato. Sarà così facile riconoscere come per determinati valori della va-riabile l’espressione si annulla, per altri può perdere di significato e così via (vedi anche scheda successiva).

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Fig. 3. L’espressione (in questo caso sarebbe ovviamente più corretto chiamarla funzione, ma a questi livelli scolari probabilmente il con-cetto di funzione non è ancora stato introdotto) viene definita nell’apposito Editor.

Fig. 4. Il valore iniziale della tabella tblstart x = 0 e il passo tbl = 1 sono i valori di default. Possono comunque essere modificati in qual-siasi istante dall’utente.

Fig. 5: Nell’ambiente Table vengono tabulati i valori della funzione (anzi, nel nostro lessico in questo contesto, della espressione) data: nella prima colonna compaiono i valori della variabile x, nella se-conda colonna i valori dell’espressione corrispondenti ad essi.

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INTRODUZIONE ALLE DISEQUAZIONI ARGOMENTO E CLASSEEquazioni e disequazioni di primo grado a una incognita.Primo biennio.POSSIBILITÀ D’USOTabulazione di una funzione con l’ambiente Table.COMMENTIAnche un CAS (ad esempio Derive con l’uso di Vector) o un foglio elettronico permettono la stessa cosa, ma in modo meno espressivo e immediato e soprattutto più complesso da realizzare. RIFERIMEN-TO

DIFFICOLTÀ* con le calcolatrici grafiche

e/o simboliche ** con un altro CAS ** con il foglio elettronico

STRUMENTOCGCGSCASFE

Per questo argomento la tecnologia facilita un importante salto concettuale: quello dalle equazioni alle disequazioni. Spesso, paradossalmente, l’aver appreso le tecniche di calcolo delle equazioni può costituire un ostacolo all’apprendimento delle di-sequazioni: non dobbiamo scandalizzarci se uno studente, che viene lodato se scrive x = 3 come risultato dell’equazione x2 = 9 , si stupi-sce di essere rimproverato quando scrive x > 3 come risultato della disequazione x2 > 9: il suo disorientamento è comprensibile! Si propone quindi di calcolare il valore di una espressione in una data variabile (che potremmo chiamare ad esempio x) al variare di ta-le x. Non è neppure necessario aver già introdotto il concetto di fun-zione, anzi, tutto ciò può anche essere propedeutico a tale argomento. Viene poi posto il problema di studiare il segno di una “espres-sione”, inteso come individuazione dei valori della variabile che danno origine a un valore positivo, negativo, nullo o che non posso-no generare alcun valore. Gli aspetti relazionali e funzionali di tale argomento potranno poi essere approfonditi in un secondo momento.

Vediamo ad esempio l’espressione: 52

xx

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Lo studente potrà così vedere come il valore assunto dall’espressione si modifica al mutare del valore assegnato alla variabile: la calcola-trice gli offre un modello dinamico che sostituisce la visione “stati-ca” usata fino ad allora in Algebra. Saranno poi possibili “esplorazioni” dirette scorrendo la tabella dei valori o modificando il passo di variazione della variabile. Da queste esplorazioni sorgeranno poi spontaneamente i limiti di tale modo di agire: ad esempio la difficoltà che talora si presenta nell’individuare gli zeri (si pensi alla tabulazione dell’espressione 5x2 1 nella prima figura sotto) o i valori in corrispondenza dei quali l’espressione (7x – 8)/(6x – 7) (nella seconda figura sotto) assume valori negativi. In questo esempio sarà necessario adottare una “rete a maglie più strette” per individuare la presenza dell’intervallo desi-derato, mentre nel precedente, a causa della natura degli zeri, la no-stra “rete a maglie necessariamente razionali” riesce a “circoscriver-li” ma non a individuarli.

Si presenta così la necessità di un procedimento esatto che per-metterà di studiare il segno di una espressione e si potranno quindi introdurre il concetto di disequazione e le relative tecniche di calcolo per la ricerca degli eventuali valori della variabile che forniscono un risultato, ad esempio, positivo.

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PIANO CARTESIANO ARGOMENTO E CLASSEIl piano cartesiano: il metodo delle coordinate. Classe Seconda, Terza.POSSIBILITÀ D’USO Costruzione di una libreria di funzioni e loro uso nella risoluzione di problemi. Ad esempio: DIST(xa,ya,xb,yb), per calcolare la di-stanza tra due punti, PMED(xa,ya,xb,yb) per determinare le coor-dinate del punto medio di un segmento…..COMMENTIIn questo caso si propone la costruzione di una libreria di funzioni nell’ambito della geometria analitica, ma se ne potrebbero realizza-re altre, ad esempio in trigonometria relativamente alla risoluzione dei triangoli, o in analisi per la determinazione delle rette tangente e normale al grafico di una funzione ecc. RIFERIMENTOV. scheda successiva

DIFFICOLTÀ**

STRUMENTOCGS CAS

Non scenderemo in dettaglio in questa sede, rimandando alla lun-ga lista di riferimenti elencato nella scheda successiva. Ci limiteremo a far osservare che le funzioni qui proposte sono estremamente semplici, tanto da non richiedere l’uso del linguaggio di programmazione, ma una semplice assegnazione con il tasto STOnell’ambiente di calcolo. Ad esempio per definire la funzione DIST basterà digitare:

((xa-xb)^2+(ya-yb)^2) STO DIST(xa,ya,xb,yb) Il principio ispiratore di questo tipo di attività è concentrare l’attenzione dello studente sul metodo risolutivo del problema propo-sto utilizzando gli strumenti che ha a disposizione. Particolarmente significativo è il ruolo dello studente che non si limita ad applicare formule precostituite (questo lavoro è demandato alla macchina) ma si fa attore del proprio apprendimento e costruttore del proprio sape-re. Interessante è anche la fase di verifica della correttezza delle “formule” implementate nella libreria, fase che viene demandata allo

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studente, la ricerca e il riconoscimento di “situazioni estreme” e l’interpretazione dei risultati forniti dalla macchina in questi casi. Ecco alcuni esempi di problemi:

riconoscimento dell’allineamento di tre punti A, B, C se AC = AB+BC (e B compreso fra A e C), riconoscimento di triangoli rettangoli, dati i vertici, se i lati verificano la relazione pitagorica, riconoscimento di quadrilateri particolari (ad es. parallelo-grammi, rombi, rettangoli) dati i vertici e usando le note pro-prietà (ad es. diagonali con il medesimo punto medio),

Da non trascurare anche la possibilità di dare compiti con dati tut-ti diversi tra uno studente e l’altro: poiché le difficoltà di calcolo per-dono drasticamente di importanza, non esistono più calcoli “facili” o “difficili” né risultati “belli” o “brutti”: l’unica cosa importante è la correttezza del metodo risolutivo. Si noti infine anche la possibilità di definire le funzioni fornendo come argomenti delle funzioni le coordinate dei punti interessati (come qui sopra suggerito) oppure di utilizzare, se lo si desidera, strutture di dati più complesse come le liste o i vettori, individuando così i punti attraverso un loro identificatore.

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RETTE NEL PIANO CARTESIANO ARGOMENTO E CLASSEIl piano cartesiano: il metodo delle coordinate. Classe TerzaPOSSIBILITÀ D’USO Prosegue la costruzione della libreria di funzioni e loro uso nella ri-soluzione di problemi. COMMENTIAncora una volta la “libreria” di funzioni sarà usata come “cassetta degli attrezzi” per la risoluzione di problemi di maggiore complessità. La creazione e l’uso sistematico di una libreria di funzioni, oltre ad essere di per sé un utile esercizio, stimola l’abitudine alla generalizzazione, favorisce la divisio-ne di problemi in sottoproblemi, consente di risolvere con po-chissimi calcoli manuali e in breve tempo problemi anche di notevole complessità, ponendo l’accento soprattutto sul me-todo risolutivo. RIFERIMENTO/documen/italia/labclass/GRAVE02.PDF /documen/italia/labclass/MCHIM01.PDF/documen/italia/labclass/NNOLL02.PDF

DIFFICOLTÀ**

STRUMENTOCGS CAS

Alcuni esempi: RETTA(xa,ya,xb,yb) per determinare l’equazione della retta pas-sante per due punti. DPR(xa,ya,a,b,c) per calcolare la distanza tra un punto e una retta PARALL(punto, retta) per determinare l’equazione della retta pas-sante per un punto dato e parallela a una retta data PERPEN(punto, retta) per determinare l’equazione della retta pas-sante per un punto dato e perpendicolare a una retta data .…..

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Si noti che queste implementazioni delle formule di geometria analitica possono essere utilizzate a loro volta come “macro” per co-struirne delle nuove. Ad esempio potrà essere così definita la funzione che, date le co-ordinate di due punti, determina l’equazione dell’asse del segmento di cui essi sono estremi come luogo di punti equidistanti dagli estre-mi stessi: solve(DIST(xa,ya,x,y)=DIST(xb,yb,x,y),y) STO

ASSE(xa,ya,xb,yb) Vale quanto già detto nella scheda precedente riguardo al ricono-scimento di “situazioni estreme” e all’interpretazione dei risultati forniti dalla macchina. Ad esempio, nel caso in cui la retta sia paral-lela all’asse delle ordinate, la nota formula che viene applicata in RETTA(xa,ya,xb,yb) è ovviamente inefficace; ma in tali casi lo stu-dente potrà (anzi, dovrà) riconoscere la situazione, saper motivare il mancato funzionamento del suo “attrezzo” e arrivare manualmente al risultato desiderato. Si noti che queste funzioni sono definite direttamente nell’ambiente Home senza passare attraverso l’ambiente di pro-grammazione e che, fatto non irrilevante, per definirle sono state usa-te altre funzioni definite in precedenza: la costruzione di “attrezzi” più semplici ci permette la costruzione di “attrezzi” via via sempre più complessi. Se si desidera dare un maggiore risalto agli aspetti algoritmici, u-tilizzando il linguaggio di programmazione e le strutture di controllo in esso disponibili, possono essere definite funzioni più sofisticate, che tengano conto delle varie situazioni particolari che possono pre-sentarsi. Nei documenti in riferimento vengono presentate librerie di questo tipo.

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EQUAZIONI ARGOMENTO E CLASSEEquazioni e sistemi di equazioni. Primo Biennio – Secondo Bien-nioPOSSIBILITÀ D’USORisoluzione di equazioni e sistemi.COMMENTIViene qui di seguito riportato un documento elaborato, come altri presenti in questo fascicolo, nell’ambito del progetto Labclass. Si tratta di uno sguardo di assieme sulle possibilità offerta dalle calcolatrici simboliche nella risoluzione di equazioni. RIFERIMENTO/documen/italia/labclass/dfoa02.PDF

DIFFICOLTÀ**

STRUMENTOCGS CAS

Il comando Solve (Donata Foà) Questo è il comando più importante perché permette di risolvere equazioni, disequazioni di primo grado, in maniera esatta o appros-simata secondo le situazioni. La sintassi è la seguente: solve(equazione/disequazione,variabile)

E’ necessario indicare rispetto a quale variabile si vuol risolvere. Questo è un passaggio fondamentale per gli studenti che si abi-tuano a considerare le variabili tutte come potenziali incognite, senza privilegi impliciti: Digitare solve(a*x=b,x) solve(a*x=b,a) solve(a*x=b,b) La macchina non sa fare la discussione delle equazioni e non po-ne vincoli, si limita a dire se l'uguaglianza è vera o falsa quando i vincoli li mettiamo noi. Per esempio solve(a*x=b,x) dà come risultato b/a a meno che non si ponga noi la condizione a = 0.

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In questo caso occorre utilizzare il comando with ([2nd] k) e scrive-re solve(a*x=b,x)| a=0 e il risultato è "false" 2. Nel caso però di equazioni numeriche in cui la soluzione non sia accettabile come ad esempio

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31

xxx dà la risposta "false" e di fronte a un'identità risponde

"true"

Una cosa interessante e istruttiva per gli studenti, nella soluzione di equazioni, come anche in altri contesti, è la possibilità di far lavo-rare la macchina passo passo, indicandole i passaggi uno ad uno sen-za usare il comando solve ma usando i principi di equivalenza delle equazioni. Si voglia risolvere

3x - 2 = 5 - 4x. Si seleziona la riga di scrittura e si digita +4x; la scritta diventa ans(1)+4x; ciò significa che si è sommato ad entrambi i membri 4x e nello schermo compare 7x - 2 = 5; sempre selezionando la riga di scrittura si digita +2; diventa 7x = 7; si digita /7 e appare x = 1.

2 Sulla voyage 200, sulla TI-92 Plus e sulla TI89 compare “0=b” e non “fal-se” [N.d.R. ]

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Questo procedimento (operare con la stessa operazione in en-trambi i membri di un'equazione) si può applicare sempre purché si sia disposti a fare o a far fare alla macchina il controllo dei risultati; Si voglia risolvere (x2+1) = x - 1. Selezionando la riga di scrittura si digita ^2 e si ottiene il quadrato di entrambi i membri:

(x^2+1) = (x-1)^2se non si attiva nessun controllo la soluzione che si ottiene x = 0 è falsa ma è una buona occasione per discuterne con gli studenti e por-re la condizione che x sia maggiore di 1 con il comando with; la ri-sposta diventa false. Di fronte a equazioni con più soluzioni, queste appaiono separate dal connettivo or . Ad esempio provate a risolvere l'equazione 2x = x2 oppure l'equazio-ne x2 - 2x+5 = 0 oppure 2x2 - 4x - 3 = 0. Quanto alle disequazioni, con la stessa procedura delle equazioni si riesce a risolvere quelle di primo grado, non quelle di grado supe-riore. Equazioni trigonometriche, in cui le soluzioni sono infinite, del tipo:

2sin(x)cos(x) - sin(x) = 0 vengono risolte col comando solve e le soluzioni appaiono come in figura (@n1 è l'equivalente di k numero intero)

Alcune applicazioni effettuate nel lavoro curricolare: 1) Risoluzione di sistemi

Si voglia risolvere il sistema 35123

yxyx

.

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Si possono seguire le stesse strade che si percorrono manualmente senza fare errori di calcolo e essendo costretti a evidenziare le opera-zioni e quindi il processo logico; solve(5x+y=3,y): appare la funzione nella forma y = f(x).solve( 3x-2y=1| y=-5x+3,x): appare la soluzione in x. Il comando | (with) significa "con la condizione assegnata" ovvero con la y uguale a quella espressa nell’uguaglianza precedente; il do-ver specificare rispetto a quale variabile si risolve è importante e si-gnificativo.

Altrimenti si può operare col metodo di riduzione moltiplicando opportunamente le due equazioni e sommandole fra loro: selezionare l’espressione 5x + y = 3, moltiplicarla per 2: si ottiene u-n'equazione in cui le y hanno lo stesso coefficiente; occorre sviluppa-re l'espressione con il comando Expand; selezionando quest'ultima espressione e digitando ans(1)+(3x-2y=1) si ottiene la somma membro a membro in cui è scomparsa la y; non resta che dividere il risultato per 13 per ottenere la soluzione in x; per la y basta utilizzare il comando solve e risolvere una qualsiasi delle due equazioni con la condizione che x = 7/13 rispetto alla y. Per studenti un po' più grandi che hanno già sentito parlare di tra-sformazioni, di vettori e matrici si possono appunto usare le matrici:

digitare [3,-2;5,1] sto matrice (*la matrice del siste-ma*) [1;3] sto vett (*il vettore dei termini noti*) simult(matrice,vett): restituisce il risultato del sistema sotto forma di vettore [7/13; 4/13].La virgola sposta l'elemento nella stessa riga, il punto e virgola cambia riga.

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Anche senza assegnare la matrice o il vettore a delle variabili si può procedere per esteso: simult([3,-2;5,1],[1;3]):

Nella riga sopra compaiono scritte esplicitamente la matrice e il vet-tore (sulla sinistra) e il risultato (sulla destra). Quando si ha a che fare con una parabola passante per tre punti questa è,probabilmente, la via più conveniente. Niente vieta comunque di usare il metodo di riduzione anche in questo caso: certo è un po' più complicato, ma diventa accessibile se si usa il comando ans(n) ovvero "answer n" che richiama il risulta-to che sta n passi avanti: ans(1) è il risultato immediatamente pre-cedente, ans(2) quello subito sopra e così via. Proviamo su questo caso:

3220432

2

zyxzyx

zyx.

ans(1)+ans(3) restituisce un'equazione nelle sole y e z, che ora è diventata ans(1), quindi 2*ans(4)-ans(3) dà un'equazione in y e z.

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È chiaro che si può procedere così fino alla fine ed è anche chiaro che si deve esprimere a parole con chiarezza cosa si vuol fare, quale equazione si vuol modificare e perché. Non è poca cosa da pretendere dagli studenti.

Se il sistema da risolvere non è di primo grado il procedimento è lo stesso; provare l'intersezione di un cerchio con una parabola op-portuna; vengono espresse anche le condizioni di realtà delle radici.

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FUNZIONIARGOMENTO E CLASSE Funzioni. Secondo BiennioPOSSIBILITÀ D’USO Definizione e uso di funzioni.COMMENTIUna funzione può essere rappresentata secondo vari “registri rap-presentativi”, ad esempio quello proposizionale, quello algebrico, quello grafico-cartesiano, quello tabulare e infine come “macchina” che, ricevuto un input, produce un output. È importante che l’alunno impari a utilizzare correttamente tutti questi registri e che sappia passare con disinvoltura dall’uno all’altro. RIFERIMENTO/documen/italia/altro/pacco13.PPT/documen/italia/labclass/gserv01.pdf /documen/italia/labclass/gserv02.pdf

DIFFICOLTÀ * con le calcolatrici

simboliche ** con un altro CAS ** con il foglio elet-

tronico

STRUMENTOCGCGSCASFE

Tra gli strumenti proposti la calcolatrice simbolica appare lo strumento più adatto, vista la facilità di utilizzare una stessa funzione nei vari registri e di passare dall’uno all’altro con la semplice pres-sione di un tasto: una funzione (o anche più di una contemporanea-mente) può essere definita nell’ambiente di calcolo Home con una semplice assegnazione, oppure nell’apposito ambiente Y=Editor.

Fig. 1. La definizione di una funzione nell’ambiente Y=Editor.

Fig. 2. La tabulazione automati-ca dei valori della funzione nell’ambiente Table (a sinistra) e

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il grafico nell’ambiente Graphdella funzione prima definita. Si noti la possibilità di suddividere lo schermo in due parti.

Fig. 3. Le stesse operazioni (definizione di una funzione, sua tabu-lazione e grafico) possono essere facilmente realizzate anche con una semplice calcolatrice grafica di basso prezzo, sacrificando solo qualcosa nella risoluzione dello schermo grafico. Si noti (seconda immagine) che anche con queste calcolatrici è possibile modificare il valore iniziale e il passo di tabulazione.

Fig. 3. Altri due modi di definire una funzione nell’ambiente di cal-colo Home di una calcolatrice simbolica.

I valori della funzione possono essere poi tabulati nell’ambiente Table ed è immediato ottenere una rappresentazione grafica nell’ambiente Graph.

Infine se la calcolatrice ha anche la possibilità di eseguire calcoli simbolici, le funzioni definite possono essere manipolate tornando nell’ambiente di calcolo Home.

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Fig. 4. Le funzioni y1(x) e y2(x)sono l’una l’inversa dell’altra poiché la loro composizione è la funzione identica.

Fig. 5. Di norma la composizio-ne di due funzioni non è commu-tativa.

Questa ricchezza di modelli e di ambienti facilita la comprensione del concetto di funzione. Attività simili (escluse ovviamente le mani-polazioni simboliche) possono essere realizzate anche con un foglio elettronico; questo strumento però presenta maggiori difficoltà d’uso perché i comandi da impartire e i menu da attivare sono più comples-si, tanto da rischiare di far perdere di vista l’obiettivo principale, che è quello della creazione, analisi e manipolazione di funzioni.

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GRAFICI DI FUNZONI ETRASFORMAZIONI ELEMENTARI

ARGOMENTO E CLASSE Rappresentazione analitica di trasformazioni geometriche ele-mentari (traslazioni, rotazioni con centro nell’origine, simme-trie, omotetie, dilatazioni). Secondo BiennioPOSSIBILITÀ D’USO Una possibilità è mostrare grafici di funzioni sottoposte a trasfor-mazioni elementari: l’insegnante mostra come viene modificato il grafico in relazione ad una trasformazione effettuata sulla sua e-quazione.COMMENTIPossono essere messe a frutto le possibilità grafiche di CAS e cal-colatrici. L’insegnante può utilizzare qualche strumento di visua-lizzazione collettiva (videoproiettore, viewscreen…) per mostrare agli alunni ciò che appare sullo schermo della sua calcolatrice, op-pure può predisporre schede di lavoro per guidare il loro lavoro. Possono essere sottoposti agli alunni esercizi del tipo:

costruire una funzione a partire da una funzione già nota il cui grafico risponda a certe caratteristiche. visualizzare sullo schermo della calcolatrice o del compu-ter il grafico di una funzione che, a causa di opportune tra-sformazioni (traslazioni, dilatazioni ecc.), non appare nello schemo con scala standard.

RIFERIMENTO/documen/italia/labclass/ntamb03.PDF /documen/italia/labclass/cmocc06.PDF /documen/italia/montesilv/distefan.PDF

DIFFICOLTÀ * con le calcolatrici

grafiche e con quelle simboliche

** con un altro CAS ** con il foglio elet-

tronico

STRUMENTOCGCGS

CASFE

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Grafici di funzioni: il gioco dello Slalom Un argomento, oggigiorno abbastanza “di moda” nell’insegna-mento, è quello dei grafici di funzioni sottoposte a trasformazioni elementari: dato il grafico di una funzione f(x), quello di f(x) + k si ottiene da questo con una traslazione verticale, quello di f(x + k) con una traslazione orizzontale (verso destra se è k < 0, verso sinistra se è k > 0); così k f(x) ha un grafico che si ottiene da quello di f(x) con una “dilatazione” in direzione verticale, quello di f(x/k) una “dilata-zione” in direzione orizzontale (ovviamente con k > 1) e così via.

La cosa ha una notevole importanza per una “percezione” geome-trica del grafico delle funzioni e ovviamente l’uso di uno strumento come una calcolatrice grafica può aiutare molto lo studente. Ma l’argomento si presta bene anche ad un gioco: quello dello slalom. Viene dato un insieme di “birilli” (vedi Fig. 1), ad esempio i punti di coordinate (1; 3), (3; 3), (5; 3), (7; 3) e lo studente viene invitato a trovare una funzione trigonometrica che “faccia lo slalom tra i birilli” cioè il cui grafico passi tra i punti lasciandoli alternativamente uno a destra e il successivo a sinistra o viceversa. In altre parole lo studente viene invitato a costruire un grafico simile a quello mostrato in Fig. 2.

Fig. 1.I birilli del gioco dello Slalom e il grafico della funzione di partenza sinx.

Fig. 2 Una possibile soluzione del gioco.

Una recente ricerca (Trouche, 1997) ha individuato diverse tipo-logie di comportamento nell’uso della calcolatrice da parte dello stu-dente, ciascuna con i suoi pregi e i suoi difetti. Per ottenere un ragio-nevole compromesso tra il comportamento “razionale” e quello “spe-rimentale” e “bricoleur”, propongo il gioco sotto forma di scheda di

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lavoro per conservare traccia delle trasformazioni effettuate e per co-stringere gli alunni ad un lavoro consapevole e non casuale: un ri-schio infatti è quello dell’andare a casaccio, favorito questo dalla ve-locità con la quale la calcolatrice permette di tracciare il grafico. Una possibile variazione sul tema è chiedere un analogo slalom però questa volta effettuato con una funzione polinomiale. Il problema non è difficile ma neppure banale: una possibile stra-tegia potrà essere quella di cercare una funzione polinomiale che ab-bia come zeri, ad esempio, 0, 2, 4, 6, 8, modificarla in modo da “comprimerne” il grafico in direzione verticale e infine traslarla ver-so l’alto perché le sue evoluzioni tra i “birilli” siano quelle desidera-te.

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PROBLEMI E MODELLI ARGOMENTO E CLASSE Scegliere, adattare, costruire, utilizzare schematizzazioni matemati-che di situazioni e fenomeni matematici e non per risolvere pro-blemi. Primo BiennioPOSSIBILITÀ D’USO Le capacità di visualizzazione e di modellizzazione offerte da stru-menti come i CAS e le calcolatrici grafiche possono essere messi a frutto in modo particolarmente significativo nella modellizzazione e nella risoluzione di problemi. COMMENTIViene qui presentato come esempio un lavoro svolto da una Colle-ga nell’ambito di una sperimentazione sull’uso delle calcolatrici promossa dall’IRRE Emilia/Romagna durante l’Anno Scolastico 2000/2001.RIFERIMENTOhttp://www.fardiconto.it/calcolatrici/TI89/index. htm

DIFFICOLTÀ** con le calcolatrici

o altro CAS

STRUMENTOCG CGS CAS

Disequazioni di primo grado e problemi di scelta (M. Cavicchi)

PRIMA FASE …… omissis ……

SECONDA FASE

Con gli strumenti forniti agli studenti la lezione precedente ho fat-to impostare e risolvere graficamente i seguenti problemi tratti dal te-sto “Multi_Format” Maraschini- Palma:

1. Il prezzo richiesto da una azienda di trasporti per consegnare un voluminoso armadio è di 13 € più 2 € per il numero dei piani in cui si trova l’appartamento del cliente; scrivi e rappresenta grafi-camente la funzione che esprime la spesa sostenuta per il tra-sporto in funzione del numero di piani;

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2. Una sarta che lavora in casa guadagna nell’arco di un mese 60 € fissi più 4,50 € per ogni pezzo cucito; esprimi la funzione che rappresenta il guadagno della sarta, rappresenta la graficamente ed utilizzando la calcolatrice rispondi alla domanda: se in mese ha guadagnato 600 €, quanti pezzi ha cucito in quel mese?

3. Un rappresentante di piccoli aspirapolvere in un mese guadagna 300 € fissi più una provvigione del 15% su ogni pezzo venduto, il cui costo per gli acquirenti è di 55 €; imposta la funzione che esprime il guadagno e rispondi: quanto ha guadagnato in un me-se se il suo incasso è stato di 1815 €?

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4. Un commerciante guadagna in media 15 € per ogni articolo ven-duto meno 500 € di spese fisse al mese; imposta la funzione del guadagno e rispondi: quanti articoli deve vendere mensilmente per non essere in perdita?

5. Un camper può essere affittato da una ditta A con le seguenti modalità: una quota fissa di 120 €; una giornaliera di 45 €; può essere invece affittato da una ditta B pagando una quota fissa di 25 € ed una quota settimanale di 350 €. Rappresenta graficamen-te le due situazioni e stabilisci quale delle due è più conveniente se si vuole affittare il camper per due settimane.

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Quest’ultimo problema mi ha dato lo spunto per passare alla ter-za fase:

TERZA FASE Abbiamo rappresentato due funzioni nel piano cartesiano ed ab-biamo determinato la soluzione grafica del sistema lineare dato dalle due equazioni;

QUARTA FASE Abbiamo poi confrontato le ordinate delle due funzioni nell’ambiente Table, osservando l’alternativa più conveniente anche dal punto di vista delle ordinate delle due funzioni.

QUINTA FASE PROVA DI VERIFICA SVOLTA CON L’AUSILIO DELLA CALCOLATRICE GRAFICO-SIMBOLICA TI89

1. Ambiente Y=EDITOR: Definisci in y1(x) e y2(x) le funzioni che traducono il seguente problema di trasporto: per la spedizione di alcuni quantitativi di merce possono essere uti-lizzate due forme di trasporto. Il costo di ognuna si compone di una quota fissa ed una quota per ogni unità di merce ed è espressa dalle funzioni: A: y = 10x+500B: y = 8x+12002. Ambiente GRAPH : Traccia il diagramma cartesiano delle due funzioni e determina l’eventuale intersezione, evidenziandola con opportuni zoom ; riporta il grafico nello spazio sottostante.

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3. Risolvi il seguente problema: Si chiede di determinare quale sia l’alternativa di costo minore al variare delle quantità x della merce da trasportare. Suggerimento: utilizza oltre al grafico anche l’ambiente TABLE dal quale puoi avere la tabella dei valori delle due rette.

OSSERVAZIONI SULLA SPERIMENTAZIONE IN CLASSE L’uso della calcolatrice TI-89 ha sicuramente interessato i ragazzi che hanno risposto molto positivamente al test sul gradimento loro somministrato sollecitandone l’utilizzo sistematico in classe anche per gli altri argomenti del programma. I vantaggi che ne ho tratti sull’insegnamento della materia sono stati molteplici:

I ragazzi più motivati hanno potuto utilizzare lo strumento per approfondire i concetti nuovi; Gli allievi si sono appassionati all’uso dello strumento ed hanno “fatto” loro stessi delle prove autonome per individua-re delle proprietà; Anche i meno motivati attratti dalla novità hanno lavorato in classe con interesse.

Ritengo però che sia stato un limite il poter utilizzare per così breve tempo le calcolatrici e soprattutto il non avere dato la possibili-tà ai ragazzi di portarla a casa e quindi di utilizzarla autonomamente anche nel lavoro domestico.

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FASCI DI PARABOLE ARGOMENTO E CLASSE Coniche. Secondo Biennio.POSSIBILITÀ D’USO Costruzione di coniche come luoghi geometrici. Supporto algebrico nella risoluzione di esercizi. Creazione e rappresentazione grafica di “fasci” di coniche ed esplo-razione delle loro proprietà.COMMENTICon pochi facili comandi è possibile creare insiemi di equazioni di coniche facendo variare uno dei coefficienti da un valore minimo a uno massimo a un determinato passo. I “fasci” così ottenuti si prestano a interessanti esplorazioni, alla formulazione di congetture, alla scoperta di proprietà. Attraverso la visualizzazione grafica acquista concretezza la distin-zione tra variabile e parametro e l’influenza di ciascuno dei coeffi-cienti dell’equazione di una conica sulle caratteristiche del suo gra-fico. Purtroppo, contrariamente ai CAS su computer, le calcolatrici grafiche non hanno, almeno per ora, la possibilità di visualizzare direttamente grafici di curve in forma implicita in modo agevole. È possibile però ovviare all’inconveniente ricorrendo alla rappre-sentazione in forma parametrica, anche in forma del tutto traspa-rente allo studente. RIFERIMENTO/documen/italia/labclass/rcagn01.PDF/documen/italia/cattolica/tomas.PDF /documen/italia/altro/coniche.PDF /documen/italia/libro_b/Ticap10.PDF

DIFFICOLTÀ* con le calcolatrici

grafiche e con quelle simboliche

* con un altro CAS

STRUMENTOCGCGS

CAS GD

Viene riportato il testo di una scheda di laboratorio per una “esplora-zione guidata” sulle parabole. Vogliamo indagare sul fascio di parabole avente equazione:

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y = ax2 + 3x + 2 Per studiare l’influenza del parametro a possiamo tracciare il grafico dell’insieme di parabole con a che assume, ad esempio, valori interi da 5 a 5. Nell’ambiente di calcolo digitare seq(a,a,-5,5) [ENTER].Viene così creata una lista formata dai valori interi non minori di 5e non maggiori di 5. Premere [2nd] [ANS] [STO] v [ENTER].La lista precedente viene così assegnata ad una variabile di nome v.Premere [APPS]Y= Editor per passare all’ambiente di editor di funzioni. Premere [ENTER] per passare alla linea di editing e digita-re:

v*x^2+3x+2 [ENTER]. La funzione (o, meglio, la lista di funzioni, una per ciascun valore contenuto nella lista v) viene così posta nella corrispondente linea dell’editor, contrassegnata sulla sinistra dal simbolo ; ciò significa che la funzione è attiva e quindi il suo grafico sarà tracciato non ap-pena si passerà all’ambiente di grafica. Premere [APPS] Graph per attivare lo schermo grafico. Sa-ranno così tracciate, una dopo l’altra, le parabole della lista.

L’immagine così ottenuta offre alcuni spunti di indagine e ci permet-te di fare alcune osservazioni e congetture.

Perché alcune parabole hanno la concavità rivolta verso il basso e altre verso l’alto? Perché nel “fascio” tracciato compare anche una retta?

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Sembra che tutte le parabole passino per lo stesso punto dell’asse y. È vero? Se è vero, quali sono le sue coordinate? E perché sono proprio quelle? Sembra anche che tutte le parabole abbiano la stessa retta tangente, passante per il punto di cui sopra. È vero e perché? Se è vero, qual è la sua equazione? Formulare una congettura che generalizzi il risultato ora tro-vato e dimostrarla. 3Qual è il luogo dei vertici delle parabole?

Un altro esercizio, simile al precedente: Vogliamo indagare sul fascio di parabole avente equazione:

y = x2 + bx + 2. Per studiare l’influenza del parametro b possiamo tracciare il grafico dell’insieme di parabole con b che assume, ad esempio, valori interi da 5 a 5. Usando il metodo visto nel precedente esempio ed utilizzando la me-desima lista v, si ottiene il seguente grafico:

Potranno poi essere sottoposti agli studenti quesiti analoghi ai prece-denti.

3 Nota per l’Insegnante: questa è probabilmente la domanda più difficile (ma non al di fuori della portata degli alunni); si tratta di congetturare e suc-cessivamente dimostrare che la parabola di equazione y = ax2 + bx + c ha, nel suo punto di intersezione con l’asse delle ordinate, la retta tangente di equazione y = bx + c.

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UNA PROPRIETA’ DELLE CUBICHE ARGOMENTO E CLASSE Esplorare, congetturare, dimostrare. Secondo Biennio.POSSIBILITÀ D’USOUno strumento di calcolo, meglio se simbolico, è una formidabile “macchina per fare congetture”: la possibilità di fare moltissimi e-sempi in pochi minuti e senza doversi preoccupare delle difficoltà del calcolo permette di esplorare situazioni, formulare congetture, verificarle o confutarle. COMMENTIIn questo caso, più che con un vero e proprio argomento, si ha a che fare con una strategia didattica, quella della scoperta (più o meno) guidata. Con questa strategia il ruolo dell’insegnante è appa-rentemente meno importante ma in realtà è essenziale nel proporre situazioni da esplorare, nel guidare la “ricerca” degli studenti, nello stimolare il loro senso critico. Questa strategia richiede più tempo rispetto alle lezioni frontali tradizionali, ma, almeno per alcuni argomenti, è opportuno che venga applicata: i risultati in termini di interesse, partecipazione, coinvolgimento (e di conseguenza anche di qualità di apprendimento) ripagheranno ampiamente il tempo impiegato. RIFERIMENTO/documen/italia/libro_b/Ticap06.PDF

DIFFICOLTÀ Dipende dal tipo di applicazione

STRUMENTOCG CGS CAS

Iniziamo con un semplice problema, apparentemente di ordinaria amministrazione, adatto ad alunni di quarta o quinta superiore: trova-re l’equazione della retta tangente al grafico della funzione polino-miale

f(x) := x3 + 2x2 x 2 nel punto avente ascissa (x1 + x2)/2, ove x1 e x2 sono i primi due zeri della funzione (in ordine crescente). Tracciare il grafico della funzione e della retta tangente. Il problema è molto facile anche “fatto a mano”: gli zeri sono, in ordine crescente, 2, 1,1; la retta tangente al grafico della funzione

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ha coefficiente angolare f ’( 3/2) = 1/4 e la sua equazione è y = 1/4x +1/4.

Con la TI-92 gli zeri possono essere trovati, ad esempio, con la funzione zeros(x^3+2x^2-x-2,x) che fornisce la lista degli zeri richiesti; la funzione zeros può essere digitata direttamente nella linea di editing dell’ambiente di calcolo oppure la si può ottenere premendo in successione i tasti F2 4.Premere [APPS]Y= Editor. Premere [ENTER] per passare alla linea di editing e digitare la funzione proposta: x^3+2x^2-x-2[ENTER]. Premere [APPS]Graph per passare all’ambiente di gra-fica. Il grafico della funzione viene automaticamente tracciato. È possibile modificare la scala: premere [F2] 2:ZoomIn per ingran-dire l’immagine e premere ENTER per confermare il medesimo cen-tro dello schermo (l’origine). Il grafico appare nella nuova scala. Premere [F5] A:Tangent. Viene così attivato il menu Mathalla voce Tangent. Viene richiesto Tangent at? È possibile spostare il cursore grafico fino al punto desiderato, oppure, e in questo caso è preferibile, si può digitare la sua ascissa direttamente: -3/2 [EN-TER]. La retta tangente viene tracciata sullo schermo e la sua equa-zione (nella forma y = 0.25x + 0.25) appare in basso sullo schermo (vedi figura 1).

Fig. 1 Fig. 2

Dal grafico appare un fatto inaspettato: la retta passa per il punto di coordinate (1, 0), cioè per il terzo zero della funzione! Forse è solo un caso fortuito: proviamo con un altro punto medio tra gli zeri della funzione, per esempio con 0.

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Premere [F4]. Questo tasto corrisponde al comando ReGraph: lo schermo grafico viene cancellato e la funzione attiva viene ridisegna-ta senza alcun altro elemento aggiuntivo (in questo caso senza la ret-ta tangente). Premere [F4]A:Tangent poi premere 0 [ENTER] . La tangente e la sua equazione, y = x 2, appaiono sullo schermo. Ancora la tangente passa per lo zero x = 2. Ma forse questo accade solo con questa funzione: proviamo con un altra funzione polinomiale di terzo grado. Premere [APPS]Y= Editor [F5]2 per attivare l’ambiente di editor di funzioni e attivare il comando All Functions Off: tutte le funzioni presenti, pur non essendo cancellate, vengono deseleziona-te: il simbolo alla loro sinistra scompare ed il loro grafico non sarà più tracciato. Premere il bottone direzionale verso il basso per portar-si sulla nuova funzione y2=, premere [ENTER] per passare alla li-nea di editing e digitare la funzione x^3+x^2-6x [ENTER]. Pre-mere [APPS]Home per passare all’ambiente di calcolo, premere [F2]4:zeros, digitare y2(x),x) [ENTER]: gli zeri della nuo-va funzione appaiono sulla destra dello schermo. Essi sono, in ordine crescente, x1= 3, x2 = 0, x3 = 2. Premere [APPS]Graph per tornare nell’ambiente di grafica e, immediatamente dopo, premere [ON]. TI-92 traccia automaticamen-te il grafico delle funzioni attive non appena si è nell’ambiente di grafica; premendo il tasto [ON] questa operazione viene interrotta. Premere [F2]6:ZStndard: il grafico della funzione viene così tracciato con la scala ai valori standard. Premere [F5]A:Tangente digitare -1/2 [ENTER]. Ancora una volta la retta tangente al gra-fico della funzione nel punto di ascissa (x1+x3)/2 passa per x2. Analo-gamente anche la retta tangente al grafico nel punto di ascissa (x1+x2)/2 passa per x3 e così via. Possiamo tentare ancora nuovi esperimenti con altre funzioni (ad esempio f(x) := x3 2x2 4x + 8) anche con due zeri coincidenti (il caso con tre zeri coincidenti è ovvio): otterremo sempre lo stesso ri-sultato. Ciò ci induce a formulare la seguente congettura:

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In ogni funzione polinomiale di terzo grado con tre zeri reali (non necessariamente distinti) a, b, c, la retta tangente al suo grafico nel punto di ascissa (a+b)/2 passa per il punto (c,0). Ma, lo abbiamo visto negli esempi precedenti, in matematica gli esperimenti non bastano: è necessario procedere ad un dimostrazione rigorosa di questa proprietà. Questa dimostrazione non è concettual-mente difficile: basterà una verifica che però richiede una discreta quantità di calcoli piuttosto noiosi, ma, avendo a disposizione una calcolatrice simbolica, possiamo demandarle il lavoro più faticoso. Premere [APPS]Home per tornare all’ambiente di calcolo e digitare

define f(x)=k*(x-a)*(x-b)*(x-c) [ENTER]. Non va omesso il simbolo * di moltiplicazione tra i fattori, in par-ticolare quello dopo il coefficiente k. La funzione f(x) sarà così defi-nita come funzione polinomiale avente zeri uguali, rispettivamente, ad a, b, c. Il modo più semplice per ottenere l’equazione della retta tangente al suo grafico nel punto x0 è quello di usare la funzione pre-definita taylor . Digitare taylor(f(x),x,1,(a+b)/2) [EN-TER]. Premere [F2]2 [2nd] [ANS][ENTER]. Come è noto, con [F2]2 si attiva il comando factor; con [2nd] [ANS] si richiama il precedente risultato; è poi necessario chiudere la parentesi.

Fig. 3 Fig. 4

Il polinomio di Taylor prima ottenuto viene così scomposto in fat-tori: la presenza del fattore (x c) ci assicura l’appartenenza del pun-to di coordinate (c, 0) alla retta tangente al grafico della curva nel punto considerato.

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DUE PROBLEMI DI GEOMETRIA ARGOMENTO E CLASSE Esplorare, congetturare, dimostrare.Primo Biennio.POSSIBILITÀ D’USOLe osservazioni fatte nella precedente scheda sono valide anche in un contesto geometrico, in particolare usando un software di geo-metria dinamica come Cabri Géomètre, anche nella versione im-plementata sul alcune calcolatrici tascabili. COMMENTIV. scheda precedente. RIFERIMENTO/documen/italia/labclass/pacco02.PDF

DIFFICOLTÀ Dipende dal tipo di applicazione

STRUMENTOCGS GD

Esplorare, congetturare, dimostrare con la TI-92 : due problemi di geometria. (P. Accomazzo)

L’attività a cui si farà riferimento è stata condotta in una classe II Liceo scientifico con sperimentazione PNI. Gli allievi erano 27 ed avevano a disposizione 16 calcolatrici. Nell’ambito della geometria euclidea avevano studiato le proprietà dei quadrilateri ed avevano af-frontato alcune dimostrazioni sull’argomento; conoscevano la teoria relativa al teorema di Talete, ma non avevano svolto ancora esercizi in proposito. In ambito cartesiano sapevano lavorare su segmenti (pendenza, lunghezza, punto medio) e su rette (equazione, interse-zione). Avevano pratica del software Cabri 1, che usavano in labora-torio di Informatica4

È stato proposto agli allievi il seguente problema aperto : Costruisci un generico quadrilatero ABCD. Indica con M, N, P, Q i punti medi dei lati AB, BC, CD, DA.

4 L’esperienza prende spunto dalle attività del Seminario di geometria per la scuola superiore coordinato dal Prof. Arzarello del Dipartimento di Matematica dell’Università di Torino.

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Costruisci il quadrilatero MNPQ ; si tratta di un quadrilatero particolare ? MNPQ può essere un rettangolo, o un rombo o un quadrato ? Formula una congettura sulle caratteristiche di MNPQ in re-lazione alla particolare forma di ABCD. Dimostra le tue affermazioni con le proprietà della geometria euclidea.

La costruzione del disegno con la TI-92 è molto semplice : con [APPS] Geometry New , assegnato un nome al file, si entra in ambiente Geometry, ci si serve quindi dei comandi [F2] segmented [F4] midpoint per avere la figura richiesta. ( Fig. 1).

Fig. 1 Fig. 2 Muovendo i punti del quadrilatero ABCD si ottiene ancora una figura che mantiene le relazioni geometriche richieste : si può quindi dire di avere a disposizione un’intera classe di figure che rispondono ai requisiti del problema. Gli studenti, lavorando a coppie, hanno individuato abbastanza agevolmente la relazione di parallelismo tra i lati di MNPQ. Alcuni hanno ritenuto opportuno introdurre la misura di alcuni lati (si ottiene con [F6] distance) che, pur con qualche imprecisione legata alle modalità di misura di Cabri, dava un’idea della congruenza fra segmenti. Più difficile è stata invece la ricerca delle condizioni di ABCD che davano origine ad un particolare parallelogrammo MNPQ: alcuni allievi si sono fermati a situazioni particolari, affer-mando, ad esempio che:

perché MNPQ sia un rombo, ABCD deve essere un rettangolo, perché MNPQ sia un rettangolo, ABCD deve essere un rombo.

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In questi casi è stato utile “muovere” i vertici di ABCD mostran-do situazioni più generali che davano origine a particolari quadrila-teri interni. Dimostrare che MNPQ è un parallelogramma non ha creato diffi-coltà: alcuni studenti hanno intuito l’utilità di tracciare la diagonale AD ed hanno comunicato ai compagni la scoperta. Questa modifica grafica ha facilitato la scoperta di relazioni tra lati di MNPQ e diago-nali di ABCD ed ha fatto sì che alcuni allievi riformulassero le con-getture relative alla seconda parte del problema. Per poter individua-re più facilmente le situazioni particolari , qualche gruppo ha ritenuto opportuno introdurre la misura di lati o angoli che, pur con qualche imprecisione legata alle modalità di misura di Cabri, dava un’idea per la ricerca della congruenza (Fig. 2). L’attività si è conclusa con una discussione in cui si mettevano in comune gli elementi acquisiti e quelli dubbi; gli allievi hanno quindi stilato individualmente una dimostrazione che io ho ritirato e corret-to. A distanza di una settimana è stato proposto un altro problema :

È dato il triangolo rettangolo ABC di ipotenusa BC. Costrui-sci sui cateti, esternamente ad ABC, i due quadrati ACTS e APQB.In che relazione sono i punti Q, A,T? In che relazione sono le rette PB ed SC? Di che natura è il quadrilatero PBCS ? Può essere un paralle-logramma?Dimostra le tue affermazioni scegliendo l’ambiente della geo-metria euclidea o l’ambiente della geometria analitica.

Fig. 3 Fig. 4

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Alcuni allievi hanno scelto di “immergere” la figura in un piano cartesiano ([F8] Format Coordinate axes Rectangu-lar ), rilevando le coordinate di alcuni punti. Si è scelto di non introdurre la verifica automatica dell’allineamento o del parallelismo che Cabri2 prevede (F4] check property ). Anche questa attività si è conclusa con un’ampia discussione e con la correzione delle dimostrazioni prodotte individualmente. Al termine è stata svolta una verifica individuale in cui ogni allievo aveva a disposizione una TI-92 su cui erano state memorizzate le fi-gure relative alle due attività di gruppo.

Per concludere: Cabri2 su Personal Pomputer è certo più agile nel dragging e più incisivo nella grafica rispetto all’analogo software della TI-92. Quest’ultimo ha, tuttavia, il grosso pregio del rapporto 1 a 1 studente-macchina, della disponibilità immediata durante le le-zioni e della possibilità d’uso durante le verifiche individuali.

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LE EQUAZIONI DI UN ORSETTO ARGOMENTO E CLASSE Curve in forma parametrica. Secondo Biennio.POSSIBILITÀ D’USODefinizione, tabulazione, rappresentazione grafica e manipolazione di curve in forma parametrica. COMMENTIArgomenti come la rappresentazione di curve in forma parametrica (e anche in coordinate polari) sono normalmente poco presenti nel-la prassi didattica della scuola secondaria; causa di ciò è anche la difficoltà nell’ottenere una loro rappresentazione se non attraverso il passaggio alla equivalente forma cartesiana. Gli strumenti tecno-logici permettono di ottenere i loro grafici in modo molto semplice. RIFERIMENTO/documen/italia/montesilv/impedovo.PDF

DIFFICOLTÀ Dipende dal tipo di applicazione

STRUMENTO CGS CAS

Curve in forma parametrica: gli Orsetti(S. Cappuccio, da un’idea di Michele Impedovo)

Un argomento di geometria analitica spesso un po’ trascurato nel-la prassi scolastica è quello delle curve rappresentate in forma para-metrica, in particolare il caso della circonferenza. Anche in questa occasione può essere preziosa la disponibilità di una calcolatrice gra-fica che ha la possibilità di tracciare facilmente il grafico di una cur-va rappresentata nella forma x = f(t), y = g(t). Invece di proporre esercizi formulati con il solito linguaggio un po’ pedante che si trova sui libri di testo (Trovare l’equazione para-metrica della circonferenza avente il centro in… e raggio ….) si po-trebbe procedere in altro modo. In “La matematica nella scuola di tutti: percorsi didattici e ipotesi di rinnovamento” di M. Impedovo, Atti del Congresso ADT 2000 (Montesilvano) incontriamo un accenno a una immagine creata da un suo fantasioso studente; trovando la cosa divertente e utile, ho propo-sto qualcosa di simile anche ai miei studenti (terza Istituto Tecnico) , invitandoli a riprodurre il disegno in Fig. 1.

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Fig. 1. L’orsetto base, altrimenti noto come l’Orsetto Al-legro

Fig. 2. Le equazioni parametri-che dell’Orsetto Allegro

Gli studenti conoscevano solo le equazioni parametriche della cir-conferenza di raggio unitario e centrata nell’origine. Tutti, senza difficoltà, anche grazie al lavoro precedente sulle tra-sformazioni elementari, sono arrivati da soli a scoprire come ottenere le equazioni parametriche di una circonferenza con un dato centro e un dato raggio per costruire così naso, occhi e orecchie. Particolar-mente interessante è stata l’osservazione del comportamento degli studenti nel posizionamento delle orecchie: è stato in certi casi con-sapevole e teorico/razionale, determinando l’intersezione tra la cir-conferenza di equazione x2 + y2 = 16 (la testa dell’orsetto) e le biset-trici dei quadranti, in altri casi più sperimentale/bricoleur, ad esem-pio posizionando il cursore sullo schermo nella posizione voluta e leggendo le coordinate del punto di tangenza sullo schermo, ma co-munque tutti sono arrivati al risultato voluto; i più raffinati hanno addirittura utilizzato le simmetrie per disegnare il secondo occhio e il secondo orecchio. Più difficile è stata la determinazione delle equazioni del “sorri-so”: trattandosi di una semicirconferenza e dato che con lo strumento utilizzato (la calcolatrice TI-92) il parametro t deve variare nel mede-simo intervallo per tutti i grafici rappresentati nello stesso schermo, in alcuni casi (meno del previsto, bisogna dire) è stato necessario l’intervento dell’insegnante. Possibili variazioni sul tema e approfondimenti: Orsetto Triste, Or-setto Serio, Orsetto Serio seconda versione (notare le orecchie, non facili), rappresentati rispettivamente in Figg. 3a, 3b, 3c.

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Fig. 3° L’Orsetto Triste

Fig. 3b. L’Orsetto Serio

Fig. 3c. L’Orsetto Serio seconda versione (si faccia atten-zione alle orec-chie)

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INTRODUZIONE ALLE SUCCESSIONI ARGOMENTO E CLASSE Esempi significativi di successioni, approccio intuitivo al con-cetto di limite. Secondo Biennio.POSSIBILITÀ D’USOCostruzione e esplorazione del comportamento di successioni. COMMENTICiò può essere fatto, per le successioni ricorsive, sfruttando la pos-sibilità di utilizzare il risultato del precedente calcolo (ANS(1)) op-pure l’apposito ambiente di definizione delle successioni. In questa sede viene presentato un lavoro svolto nell’ambito della sperimen-tazione ministeriale Labclass. RIFERIMENTO/documen/italia/labclass/atrav01.PDF

DIFFICOLTÀ**

STRUMENTOCGS

UN APPROFONDIMENTO SULLE PROGRESSIONI GEO-METRICHE (A. Travaglini) Classe 4B.

Finalità perseguite:usare la TI-92 per far acquisire i concetti di successione e di pro-

gressione. Argomenti trattati:

successioni e progressioni geometriche. Obiettivi usare la TI-92 per:

- recuperare gli alunni più deboli dando loro un punto di ap-poggio per superare le difficoltà;

- abituare gli studenti a scegliere la strategia risolutiva più a-datta al problema;

- risolvere problemi sulle successioni e sulle progressioni. Metodologia:

- uso del view screen per l'esposizione e i richiami dei concetti fondamentali;

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- uso di una macchina TI-92 per ogni studente per un lavoro autonomo che rispetti i tempi di apprendimento di ciascuno;

- scoperta guidata di leggi e proprietà con eventuali discussioni sulle difficoltà incontrate dall'alunno.

Tempi di attuazione: sei ore.

Prima lezione due ore. Obiettivo: rappresentare l'andamento della successione an = (3n +1) / (2n + 3),per far comprendere agli alunni le successioni convergenti, divergen-ti e indeterminate.

Strumenti utilizzati: view screen e calcolatrice grafica TI-92.

Da quanto si vede sullo scher-mo si può notare la scrittura del-la successione.

Per visualizzare questa scher-mata bisogna eseguire i seguenti comandi: MODE imposta il modo Graph su SEQUENCE e poi <EN-TER> e ancora < ENTER>

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W per scrivere la successione. F6 e poi 3 per definire lo stile della rappresentazione. E per aprire la finestra Window Editor: dove si possono impostare le op-portune variabili, (vedi figura se-guente). Così facendo si dà l'opportunità alla TI-92 di rappresentare il gra-fico degli elementi di una succes-sione. Andando in modalità grafi-ca: R e usando F2 Zoom si vi-sualizzano i punti.

Si costruisce una tabella nella quale sono elencati gli elementi delle successione operando nel modo seguente:

T : si apre una finestra nella quale puoi impostare la costru-zione della tabella, si inseriscono i valori come in figura accanto e poi si digita <ENTER>. Con Y compare una tabella con i primi 8 valori della successione, premendo [2nd] e il cursore ver-so il basso si possono visualizzare gli altri valori della tabella, come mostrano le figure successive.

Procedendo sempre tenendo pre-muto [2nd] e il cursore verso il basso si possono visualizzare al-tre pagine, oppure con T si ria-pre la finestra nella quale si può inserire il valore di 200 a tblStart e ottenerre la seguente schermata,

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nella quale si nota che all'aumen-tare di n la successione si avvici-na al valore di 1,5, pertanto si tratta di una successione conver-gente.

ESERCIZI: Studiare le successioni :

a) an = (n^2-2) / n ; b) bn = (n + (-1) ^ n * n ) / ( n / 2 ).- Rappresentare tali successioni sullo schermo e descrivere tutte le

sue caratteristiche. - Costruire le relative tabelle variando opportunamente i valori inizia-

li di tblStart.

A quale successione si riferisce il se-guente grafico e quali sono i valori inseriti nella finestra di Window Editor ? A quale successione si riferisce la seguente tabella e quali sono valori inseriti nella finestra Table Setup ?

Osservazioni : Al termine di queste due ore gli alunni hanno:

- acquisito i concetti di successione convergente, divergente e indeterminata e acquisito maggiore dimestichezza con i co-mandi della TI-92;

- imparato a porsi domande, sia di fronte al grafico dei punti della successione che di fronte alla tabella dei valori, a ipotiz-zare risposte e a verificarle.

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DISTRIBUZIONE DELLE FREQUENZE ARGOMENTO E CLASSE Dati e previsioni: distribuzione delle frequenze, rappresenta-zioni grafiche, principali indici statistici. Primo Biennio.POSSIBILITÀ D’USOL’uso di uno strumento di calcolo è essenziale per affrontare esem-pi significativi in campo statistico, senza disperdersi in facili quan-to pesanti calcoli, assolutamente inutili dal punto di vista dell’ap-prendimento. COMMENTILe calcolatrici o il foglio elettronico, hanno già predefiniti i co-mandi per realizzare istogrammi e altre rappresentazioni grafiche. RIFERIMENTO /documen/italia/montesilv/carosati.pdf

DIFFICOLTÀ**

STRUMENTOCNG CGS FE

Da “Probabilità e Statistica con la TI-92” di L. Carosati in “Atti del 2° Convegno Nazionale ADT”, Montesilvano 2000

Distribuzione delle frequenze (L. Carosati).

La Statistica e la Probabilità sono ancora una specie di Cenerento-la nell'ambito dei nuovi programmi del PNI essendo argomenti anco-ra piuttosto nuovi dal punto di vista della tradizione didattica a livel-lo di scuola media superiore, e non molto conosciuti dagli insegnanti, specie quelli che non hanno ricevuto a suo tempo all'Università una formazione specifica. Essi vengono quindi relegati (talvolta anche nei libri di testo) a poche nozioni un po' frettolose e confuse anche perché in questo quadro si preferisce dedicare il prezioso tempo-classe ad altre questioni più tradizionali e consolidate. Lo stesso MPI ha dimostrato nelle prove d'esame una certa incertezza presentando problemi da cui non si evince chiaramente quali siano gli obiettivi fondamentali che gli studenti debbono raggiungere.

La presente comunicazione vuole dare qualche contributo verso l'introduzione dei due argomenti in modo un po' più organico e più

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adatto al livello degli studenti di scuola media superiore (per i primi concetti si può già lavorare nella prima classe), anche attraverso l'uso della TI-92 che con le sue potenzialità diventa indispensabile stru-mento attraverso cui elaborare i concetti.

Per un approfondimento, in particolare tecnico, si fa riferimento a [9] in Bibliografia.

Introduzione ai concetti statistici.

1.1 Un po' di Statistica …

1.1.1. Un problema di medie. L'iter Statistica-Probabilità può cominciare dalla Statistica

attraverso l'analisi di semplici problemi di medie. Ad esempio si può chiedere alla classe di determinare il peso medio degli alunni della classe stessa o di due o tre classi (più sono i dati più si giustifica e si apprezza l'uso di strumenti automatici di calcolo). Il problema è semplice ma coinvolge già alcuni concetti importanti: si tratta di raccogliere i dati di una variabile continua, di decidere quindi come approssimare le misurazioni, poi di definire il concetto di valoremedio per arrivare alle formule delle medie aritmetiche semplice e ponderata.

1.1.2. La TI-92, gli istogrammi e le variabili statistiche. Si può anche lavorare con la TI-92 introducendo i dati in una

tabella (un semplice elenco) e poi farli rappresentare con un istogramma (Fig. 1). La TI-92 può rappresentare un diagramma a bastoni (a nastri) ma meglio ancora un istogramma: in questo caso calcola automaticamente le frequenze dei vari pesi suddividendo i dati in un certo numero di classi deciso dall'utente. Con qualche accorgimento si possono anche decidere i valori iniziali e finali delle classi.

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Fig. 1 - Istogramma della distribuzione dei pesi.

Questa possibilità favorisce l'apprendimento del concetto di distribuzione delle frequenze. Osservando l'istogramma ci si chiede che cosa è successo, ed esplorando con il cursore i vari rettangoli dell'istogramma si scoprono appunto le frequenze usate dalla macchina.

È naturale introdurre allora il concetto di variabile statistica come corrispondenza tra valori del carattere (o classi, o valori rappresentativi delle classi) e frequenze. Non è difficile poi passare alle frequenze relative. Tutto ciò è facilmente elaborabile con la TI-92.

1.1.3. Media ponderata e varianza. Successivamente si può far calcolare non solo la media dei dati,

ma anche lo scarto quadratico medio (e quindi la varianza) e altri valori statistici (Fig. 2).

Fig. 2 - Calcolo di media e scarto quadratico medio con la TI-92.

Il fatto di farlo fare prima alla TI-92 e poi di indovinare che cosa ha fatto e cercare di riprodurlo costituisce un elemento di sfida per gli alunni, e questo facilita ed accelera l'apprendimento. Un accorgimento: quando si cerca di indovinare cosa fa la macchina è

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bene semplificare il problema ad esempio diminuendo il numero di dati in modo da renderlo accettabile per una elaborazione pressoché manuale. È il caso anche di fare diverse prove in situazioni di estrema regolarità, come ad esempio dati tutti uguali o con valori concentrati agli estremi della distribuzione. Tutto ciò permetterà poi di capire meglio anche l'elaborazione teorica, ad esempio il concetto di valore medio visto come quel valore che può sostituire tutti gli altri dando lo stesso risultato complessivo. In poco tempo quindi, e magari con problemi legati alla vita degli a-lunni (tipico è il problema del trattamento statistico dei voti - voto medio, scarti, mediana e quartili ecc.) si può superare il primo impat-to con la Statistica.

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DALLA STATISTICA ALLA PROBABILITA’ ARGOMENTO E CLASSE Dati e previsioni: Dalla statistica alla probabilità. Primo Bien-nio.POSSIBILITÀ D’USONell’ambiente Data/Matrix della calcolatrice vengono simulati e-venti casuali per introdurre i concetti di probabilità e di variabile aleatoria..COMMENTILa calcolatrice (come anche il foglio elettronico) consente un ap-proccio “sperimentale”alla probabilità. Attraverso la simulazione di un evento casuale è possibile introdurre i concetti di probabilità classica e frequentista e arrivare alla formulazione della legge dei grandi numeri. Viene riportata una parte di un’esperienza realizzata all’interno del progetto Labclass e contenuta nel CD di ADT RIFERIMENTO/documen/italia/labclass/lcaro01.pdf

DIFFICOLTÀ**

STRUMENTOCNG CGS FE

Dalla statistica alla probabilità (L. Carosati)

Il concetto di variabile aleatoria è piuttosto oscuro (e astruso) se presentato in modo formale partendo da situazioni solo probabilisti-che, in particolare fatte di Teste e Croci, palline Bianche e Nere, so-prattutto non se ne comprende l'utilità quando tutto sommato per cal-colare la probabilità degli eventi basta appunto il concetto di "even-to".

Un'idea per superare l'ostacolo è quella di introdurre la probabilità dopo la statistica, partendo inizialmente da un fenomeno statistico in cui già il concetto di variabile statistica è stato acquisito.

Problema 1 : "facciamo lanciare un dado dalla …TI-92 !"

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All'inizio si introduce la funzione Rand(n) della TI-92 e si prende confidenza con il concetto di numero aleatorio (basta chiamare i ra-gazzi per l'interrogazione utilizzando tali numeri della TI-92 invece del solito numero di pagina, tutt'altro che equanime).

Poi si passa alla simulazione, in una tabella, del lancio di un dado (30 lanci sono sufficienti).

Si ha così una tabella di dati (aleatori) che possono essere elaborati esattamente come quelli di una tabella statistica (si cercano le frequenze di uscita delle varie facce).

Concetti introdotti: numeri casuali e pseudo-casuali, probabilità.Con [APPS] DATA/Matrix Editor DADO si apre una

nuova tabella5 .Introdurre nella colonna C1 la formula seq(rand(6),x,1,30) per gene-rare una lista di numeri casuali. Elaborare la tabella come quella dei pesi (vedi le indicazioni per PESI e le figure del paragrafo 1). Le figure relative alla tabella DADO sono le seguenti:

5 DATA/MATRIX EDITOR: se succede di dover cancellare delle colonne, per errori di imposta-zione della tabella, accade che si blocca il calcolo sulla prima formula che non trova più i rife-rimenti corretti. In questo caso da F1 (di DATA EDITOR) disattivare l’Auto-calcolo (opzione 9:Format…), poi modificare tutte le formule delle varie colonne ed infine riattivare l’Auto-calcolo.

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È bene osservare anche l'istogramma.Ad ogni rientro nella tabella ([APPS]Data/Matrix

Editor) i lanci vengono ripetuti e così si può notare che le uscite delle varie facce non sono sempre in egual numero.

Dopo aver osservato vari istogrammi si pongono i due problemi: Problema 2 : "se punto 1000 lire sul 3 quanto punteresti tu sul 6 ?" Problema 3 : "c'è una faccia su cui ti senti di puntare di più ?"

La discussione in genere si accende perché non per tutti è naturale pensare che non ci sono preferenze particolari per assegnare un mag-gior grado di fiducia ad una delle facce. Nonostante accada che le uscite cambino continuamente, per alcuni qualche faccia potrebbe presentarsi più facilmente.

In effetti tale posizione concettuale non è peregrina perché la TI-92 non effettua un vero lancio "casuale", ma una semplice simula-zione attraverso un algoritmo di calcolo. Questa posizione dubbiosa è utile però per presentare la differenza tra i numeri casuali e quelli pseudo-casuali che dei primi mantengono solo la pressoché uniforme distribuzione su un grande numero di lanci.

Tutti si convincono in genere che nel caso del lancio di un verodado non ci sono motivi particolari per assegnare la preferenza ad una faccia invece che ad un'altra.

Tuttavia anche questa equidistribuzione ipotetica delle uscite è una semplice congettura, un grado di fiducia assegnato alle varie facce.

Si arriva così ai vari concetti di probabilità: classica : spontanea e intuitivasoggettiva : non si hanno motivi per ritenere una faccia più pro-babile delle altre (probabilità = grado di fiducia) frequentista : si arriva ad 1/6 notando (legge empirica del caso)la tendenza alla coincidenza delle frequenze aumentando il nu-mero di lanci.

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La conclusione è che possiamo esaminare i fenomeni non solo dopo che si sono verificati (statistica) ma anche prima che si verifi-chino o, pur essendosi verificati, in assenza di informazioni determi-nistiche sugli eventi stessi (probabilità)6.

Avremo ancora variabili , non più statistiche ma casuali, popola-zioni ed unità (universo degli esiti, eventi), valori di sintesi e disper-sione (media, varianza, sqm): la probabilità è un numero che svolge lo stesso ruolo della frequenza relativa, le facce del dado sono come le persone di cui rileviamo il peso (eventi), i valori disegnati sulle facce del dado sono i valori possibili di una variabile (aleatoria) co-me quelli di una variabile statistica (il peso), la tabella che ad ogni valore della faccia assegna una probabilità è l'equivalente della tabel-la di distribuzione delle frequenze.

Il ponte dalla statistica alla probabilità e alle variabili casuali è stato gettato: si tratta ora solo di sviluppare il discorso.

6 Ad esempio se lancio un dado e non guardo quale faccia è uscita (potrei spegnere la luce !) l’evento si è verificato comunque ma non ho informazioni deterministiche che mi permettono di individuare il numero uscito. Ho solo informazioni non deterministiche, cioè il fatto che il dado ha sei facce ma nient’altro. Per questo motivo sarebbe indifferente puntare su una faccia prima o dopo il lancio, purché nel secondo caso non si conosca quale faccia è uscita.

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REGRESSIONE E CORRELAZIONE ARGOMENTO E CLASSE Dati e previsioni: concetto e significato di modello, curve di re-gressione. Secondo Biennio.POSSIBILITÀ D’USOLo studio di questo argomento rappresenta un caso emblematico di enfatizzazione degli aspetti di calcolo, anziché di quelli concettuali. L’attività presentata cerca di evidenziare come l’utilizzo di uno strumento di elaborazione consente di focalizzare l’attenzione sull’analisi della situazione a cui vengono applicati diversi modelli di interpolazione. COMMENTIL’esempio qui proposto è stato sviluppato nell’ambito di una spe-rimentazione in alcune scuole secondarie nell’ambito di un proget-to SET; è stato attuato utilizzando la calcolatrice numerica e grafica TI-83, ma può essere realizzato anche con le altre calcolatrici grafi-co-simboliche, sia con l’apposito software Statistics sia senza. RIFERIMENTOViene riportata parte di un’unità didattica tratta dal sito Cartesio: http://www.cartesionline .it /html/ set_ unita-stat00.html

DIFFICOL-TÀ***

STRUMENTOCNG CGS FE

Regressione e correlazione (A. Orlandoni)

In questa attività vengono utilizzati i dati relativi al censimento degli Stati Uniti (in milioni di persone):

Anno 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X

Y 7.24 9.64 12.87 17.07 23.19 31.44 39.82 50.16 62.95 anno 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980

10 11 12 13 14 15 16 17 18 XY 75.99 91.97 105.7 122.78 131.67 151.33 179.32 203.21 226.5

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Il valore per il 1990 è di 249.63 milioni di persone, ma non lo includeremo nella lista perché ce ne serviremo per verificare con quale precisione l'equazione interpolante è in grado di prevederlo.

Costruzione della tabella e rappresentazione dei dati iniziali La prima operazione necessaria è quella di memorizzare i dati

relativi alla popolazione in una lista (POPUS), e quelli relativi a-gli anni in un'altra (L1) utilizzando i valori da 1 a 18 per gli anni dal 1810 al 1980 e rappresentarli in un diagramma a dispersione.

Premete [STAT]1:Edit. Osservate che ci sono sei nomi di lista da L1 a L6. Inserite nella colonna L1 i valori relativi a X.

Evidenziate L2 e premete [2nd] [INS] per spostare la lista L1 sulla destra. Per inserire il nome della seconda lista mettetevi in modalità alphalock ([2nd] [ALPHA]) e scrivete POPUS.Premete [ENTER] [ ] e inserite i dati relativi alla popolazione. Per rappresentare i dati in un grafico a punti è necessario predi-sporre la TI83. Premete [2nd] [Y=] ( Stat Plot) e selezionate la modalità come in Fig. 2.

Fig. 1 Fig. 2

Premete [ZOOM] 9:ZoomList [TRACE] per ottenere il gra-fico mostrato IN Fig. 3

Fig. 3

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Osservate che in cima alla schermata del grafico viene mostrata l'impostazione con P1:L1,POPUS.I punti sembrano giacere più su di una curva che non su di una linea retta, ma noi cominceremo interpolando i dati con una curva di re-gressione lineare.

Retta di regressione lineare secondo i minimi quadrati Per calcolare i coefficienti della retta interpolante premete

[STAT] [CALC] 4: LinReg(ax+b)L1,POPUS,Y1, con PO-PUS selezionato da [2nd][LIST] e Y1 da [VARS]Y-VARS1:Function (vedi Fig.4). Per vedere i risultati premete [ENTER](Fig. 5).

Fig. 4 Fig. 5

Oltre all'equazione della retta di regressione vengono automati-camente calcolati sia il coefficiente di determinazione sia quello di correlazione lineare come indicatori della bontà della funzione scelta. Il coefficiente di determinazione è dato da

n

1i

2i

n

1i

2ii

2

yy

yyr

)(

)ˆ(,

dove )(ˆ ii xfy rappresenta il valore teorico, corrispondente al da-

to xi, e y il valore medio dei dati sperimentali. Se la funzione si ac-costa in modo perfetto ai dati, cioè ii yy per ogni i, allora la frazio-ne assume il valore 0 e il coefficiente di determinazione il valore 1.

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Viceversa, più il coefficiente di determinazione si avvicina a 0, meno adatta è la funzione a rappresentare la serie di dati statistici.

Nel caso della retta si può anche calcolare il coefficiente di corre-lazione lineare:

n

1i

2i

2i

n

1iii

yyxx

yyxxr

)()(

))((,

che varia fra 1 e 1; r = 1, indica una perfetta correlazione inver-sa, r = 0 indica che non vi è correlazione e r = 1 indica una perfetta correlazione diretta.

Premete [ZOOM] 9:ZoomStat [TRACE] per visualizzare il grafico della retta di regressione sovrapposta al diagramma dei dati sperimentali (Fig. 6).

Fig. 5 Fig. 6

La TI-83, quando vengono calcolati i parametri della retta dei mi-nimi quadrati, costruisce automaticamente una lista (RESID) in cui vengono inseriti gli scarti residui, cioè le differenze fra i valori spe-rimentali e i valori teorici.

Se la funzione interpolante approssima in modo perfetto i dati, gli scarti residui sono tutti nulli, altrimenti assumono valori diversi. Quindi possiamo utilizzarli per avere un'informazione sulla "bontà" dell'interpolazione scelta. Rappresentiamo quindi il grafico degli scarti residui.

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Per ottenerlo, dovremo prima disattivare gli altri grafici, poi imposta-re Plot2 sul diagramma a punti, dove Xlist:L1 e Ylist:RESID, come nella figura 7.( Per disattivare il grafico della retta di regressione premete [Y=], utilizzando il cursore posizionatevi sul segno = e premete [ENTER]. Osservate che il segno = cambia forma)

La disposizione non casuale del grafico degli scarti residui con-ferma che la retta di regressione non interpola molto bene i dati. Poi-ché gli scarti residui risultano alcuni positivi, altri negativi ed altri ancora uguali a zero, ci serviremo della Somma dei Quadrati degli Scarti Residui per una valutazione di quanto i punti si adattino alla curva; infatti questo valore sarebbe zero se tutti i punti giacessero sulla curva. Il valore che si ottiene è 4651.51534, confermando il fat-to che la retta non sia la funzione più adatta in questo caso ([2nd][LIST]MATH 5:sum , poi [2nd] [LIST]RESID).

Proviamo anche a "prevedere" il valore per l'anno 1990: [VARS]Y-VARS 1:Function1:Y1 In figura 8 è stato anche calcolato l'errore relativo sulla previsione, che risulta piuttosto grande (17%).

Fig. 8

Confronto fra diverse interpolazioni Si può ripetere il procedimento interpolando i dati con funzioni

diverse (la calcolatrice offre la possibilità di usare molti modelli). Come esemplificazione vengono riportati in una tabella i risultati delle analisi fatte e dei calcoli svolti, in modo da poterli confrontare meglio:

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Interpo-lazione

SQSR % errore su X=19

Grafico dei residui Lungo periodo

lineare 4652 17.1 schema delineato crescita lineare quadratica 131 0.4 sembra casuale " in prop. a x2

esponenz. 9849 -48.3 schema delineato " esponenz. logistica 307 2.9 schermata 25 si appiattisce

L'interpolazione quadratica sembra la migliore nel breve periodo, ma la logistica non si discosta di molto e, ha il vantaggio di una proiezione a lunga scadenza più realistica (almeno speriamo sia co-sì!).

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PER APPROFONDIRE

- AA.VV., “Matematica 2003, Attività didattiche e prove di ve-rifica per un nuovo curricolo di Matematica”, L. S. Vallisneri, Lucca 2003.

- AA.VV., “Il Progetto Labclass”, Quaderno n. 44, L. S. Ricci Curbastro, Lugo di Romagna 2001.

- G. C. Barozzi, S. Cappuccio, “Le calcolatrici grafiche nell’insegnameno della matematica”, Pitagora Editrice, Blo-gna 1997.

- M. Impedovo, “Matematica: insegnamento e computer alge-bra”, Springer-Verlag Italia, Milano 1999.

Inoltre:

- IPOTESI, rivista quadrimestrale di Texas Instruments. - CD di ADT 2004, Ghisetti e Corvi ed. - http://www.adt.it/ - http://www.cartesionline.it - http://www.fardiconto.it/index.htm