Istituto Comprensivo “Massari-Galilei”

•Colui che cerca con curiosità scopre che

questo di per sé è una MERAVIGLIA.

Si ritrovano qui alcuni motivi fondamentali della produzione artistica di Escher: le tassellazioni, il passaggio dal piano allo spazio, i solidi geometrici.

La sue opere grafiche sono nettamente intese a comunicare un determinato processo di pensiero, di cui Escher stesso così parla: «Le idee che stanno alla loro base derivano dalla mia ammirazione e dal mio stupore nei confronti delle leggi che regolano il mondo in cui viviamo. Chi si meraviglia di qualcosa si rende consapevole di tale meraviglia. Nel momento in cui sono aperto e sensibile nei confronti degli enigmi che ci circondano e analizzando le mie osservazioni, entro in contatto con la matematica».

Nell'illustrazione Cascata, un flusso d'acqua cadendo dall'alto mette in funzione un mulino il quale, a sua volta, spinge il flusso in un canale che, zigzagando, torna all'inizio della cascata. Per ottenere questo effetto, egli ha unito due triangoli di Penrose in un'unica figura. La cascata rappresenta un sistema chiuso: essa ritorna in continuazione alla ruota del mulino in un movimento perpetuo che viola la legge di conservazione dell'energia.

•Penso che sia nella mia cantina... Lasciami andare di sopra a controllare.

Escher per realizzare questo

quadro si è basato sulla teoria

di Poincarè secondo la quale il

piano infinito è rappresentato

da un disco dove le rette sono

sostituite da linee curve e,

mano a mano che ci si avvicina

alla circonferenza, si raggiunge

l’infinito e anche la distanza

cambia. Due segmenti sono

congruenti anche se a noi

sembrano diversi: più ci si

avvicina al bordo del disco, e

quindi più si va verso l’infinito,

più i segmenti sembrano

piccoli. Ma in realtà sono

congruenti.

Per tassellare il piano Escher ha

utilizzato angeli e diavoli di

dimensioni congruenti

Circle limit fourth / ANGELI e DIAVOLI

Abbiamo analizzato questa tavola che ci è sembrata interessante dal punto di vista della percezione. Gli Angeli sono bianchi, hanno una forma arrotondata e un’espressione benevola; i Diavoli sono neri, hanno una forma spigolosa e un’espressione maligna. Continuiamo a riconoscere le due forme anche se eliminiamo progressivamente le informazioni precedenti. Se invertiamo i colori (questa volta i Diavoli sono bianchi, gli Angeli neri) continuiamo a riconoscere i personaggi rappresentati.

Siamo così bravi che continuiamo a riconoscere le due forme (l’Angelo buono e bello, il Diavolo cattivo e brutto) anche se eliminiamo ogni espressione lasciando solo le sagome.

Le riconosciamo anche se le isoliamo dal contesto rappresentandole come tessere di una tassellazione.

… e anche se rimangono solo i contorni… Ma come fa il nostro cervello per riconoscere due immagini diverse? La Matematica ci può aiutare? Proviamo a misurarle.

ANGELO DIAVOLO

PERIMETRO 460 460

AREA 3067 3067

LARGHEZZA 87 87

ALTEZZA 81 81

L’abilità di Escher è stata quella di disegnare due forme complementari e indistinguibili dal punto di vista delle misure

Sembrerebbe quindi che la Matematica non ci possa aiutare.

Utilizzando procedure matematiche più avanzate (calcolo di una ellisi di approssimazione dei due contorni) vediamo però che troviamo delle differenze e torniamo a distinguere le due forme (in rosso e verde i diametri delle ellisi, diverse per misure).

Se calcoliamo il diametro di Feret (segmento che unisce i due punti più distanti di un contorno) troviamo che non solo le misure dei due segmenti sono diverse, ma cambia anche l’angolazione.

Analisi armonica di Fourier: otteniamo due equazioni (rappresentate dalle curve blu) molto diverse tra loro. Applicando quindi procedure di Matematica avanzata siamo finalmente in grado di distinguere le due figure… DIABOLICO!

I dati numerici sono stati ottenuti con il programma per analisi di immagine: “ImageJ, U. S. National Institutes of Health, Bethesda, Maryland, USA, http://imagej.nih.gov/ij/, 1997-2012.

Licia BALDASSARRE

Maddalena BUONAMICO

Francesca CASSANO

Rebecca DANESE

cl. 3° A plesso MASSARI