Nelle sue opere Escher è riuscito a esprimere in forma visivaconcetti astratti di matematica e di fisica

di Doris Schattschneider

p

er tutta la vita Maurits Cornelis E-scher (che usava firmarsi solo M.C.) confessò la propria inca-

pacità di comprendere la matemati-ca, dichiarandosi «completamentedigiuno di studi e di conoscenzenel campo delle scienze esatte».Fin da bambino, però, egli eraaffascinato dall'ordine e dallasimmetria. Quell'attrazione Iocondusse in seguito a studia-re le configurazioni delle pia-strelle dell'Alhambra a Grana-da, a esaminare disegni geo-metrici in articoli di matemati-ca (con l'aiuto del fratello geo-logo) e infine a seguire le proprieidee originali sulla tassellatura delpiano.

L'attenzione che Escher prestavaai colori dei suoi disegni di tasselli in-terconnessi anticipava le ricerche succes-sive di matematici e cristallografi nel campodella simmetria di colore. Oggi le sue opere vengo-no usate normalmente per illustrare quei concetti. L'esposi-

Autoritratto, 1943

M. C. Escher vede se stesso allo spec-chio in questo disegno «a graffio»

eseguito su inchiostro litografico.

zione dei suoi lavori in conco-mitanza del Congresso inter-nazionale dei matematici, te-nuto nel 1954 ad Amsterdam,e la pubblicazione, nel 1959,del suo primo libro (The Gra-

phic Work of M. C. Escher)hanno toccato una corda che vi-

bra ancora con forza nella mentedi matematici e scienziati. Escher

scriveva che una delle spinte prin-cipali della sua opera era «un profon-

do interesse per le leggi geometrichecontenute nella natura che ci circonda».

Esprimendo le sue idee in opere grafiche, egliha creato metafore visive avvincenti per illustrare

idee fondamentali della scienza.

SCIENZA PER IMMAGINI

Le metafore di Escher

Striscia di Mbbius II, 1963Striscia di Miibius II mostra una processione di formiche che

si muovono in un ciclo infinito. Con un numero limita-to di figure, Escher rappresenta l'infinito trami-

te il percorso continuo di un anello senza fi-ne. Al contempo le formiche dimostra-

no che questo insolito anello (verticalenell'originale) ha una sola faccia.

LE SCIENZE n. 317, gennaio 1995 5352 LE SCIENZE n. 317, gennaio 1995

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Limite del cerchioIV, 1960

La dualità è forse il tema prevalente nelle ultime opere di Escher. In matematica,un enunciato ha una negazione e un insieme ha un insieme complementare; in ognicaso, l'oggetto e il suo duale si definiscono completamente a vicenda. In Limite delcerchio IV non vi sono contorni: i profili degli angeli e dei diavoli si definisconoa vicenda. Sia gli uni sia gli altri possono essere visti come figure o come sfondo(Escher ce lo ricorda omettendo i particolari in metà delle figure). In questa tassel-latura iperbolica, ai nostri occhi euclidei le figure finiscono per diventare tanto piùdistorte quanto più diminuiscono di dimensioni. Tuttavia, se misurati nella geome-tria intrinseca del mondo di questa xilografia, tutti gli angeli e tutti i diavoli hanno

esattamente le stesse dimensioni e la stessa forma. Si ha una ripetizione all'infini-to di un numero infinito di copie, che non escono mai dai confini del cerchio.

Escher nacque nel 1898 nella città diLeeuwarden, nei Paesi Bassi. Figlio mi-nore di un ingegnere civile, crebbe in-sieme con i quattro fratelli ad Arnhem.Tre dei suoi fratelli si dedicarono allascienza o all'ingegneria, ma Escher dastudente non brillava in matematica. In-coraggiato dal suo insegnante di artenella scuola superiore, si interessò inve-ce alla grafica, cominciando con inci-sioni su linoleum.

Nel 1919 entrò alla Scuola di archi-tettura e arti decorative di Haarlem conl'intenzione di studiare architettura, ma,quando Samuel Jesurun de Mesquita,che vi insegnava arti grafiche, vide isuoi lavori, lo consigliò di concentrar-si in quel campo. De Mesquita esercitòuna profonda influenza su Escher, dap-prima come insegnante (in particolareper le tecniche di incisione su legno) epoi come amico e collega.

Conclusi gli studi a Haarlem, Eschersi trasferì a Roma e compì numerosiviaggi per eseguire schizzi, in particola-re nell'Italia meridionale. I suoi occhiriuscivano a cogliere effetti visivi affa-scinanti nelle cose comuni: dettagli ar-chitettonici di edifici monumentali coltida punti di vista non usuali, luci e om-bre gettate da labirinti di scale in picco-li villaggi, grappoli di case appollaiatesu pendii che scendevano verso vallilontane e, all'altro estremo della scala,particolari minuscoli visti come attra-verso una lente di ingrandimento. Nel

Sistema triangolare 1133 , Tipo 2, 1948

suo studio, poi, trasformava gli schizziin xilografie e litografie.

Nel 1935 la situazione politica eraormai divenuta insostenibile ed Escher,con moglie e figli, lasciò definitivamen-te l'Italia. Dopo aver trascorso due anniin Svizzera e tre a Uccle, presso Bruxel-les, la famiglia si stabilì infine a Baarn,nei Paesi Bassi. Quegli anni videro an-che una svolta improvvisa nell'opera diEscher, che da quel momento in poiavrebbe tratto quasi esclusivamenteispirazione non da ciò che i suoiocchi vedevano, ma dall'occhiodella mente. Escher tentava didare un'espressione visiva aconcetti astratti e di rappresen-tare le ambiguità dell'osserva-zione e della conoscenza uma-na. Così facendo, si trovò so-vente in un mondo governatodalla matematica.

Escher era affascinato, eaddirittura ossessionato, dalconcetto di «divisione rego-lare del piano», e realizzò ol-tre 150 disegni a colori chedimostrano la sua ingegno-sità nella creazione di figu-re che camminano, nuotanoe volano, e che riempiono ilpiano di loro cloni. Questi di-segni illustrano simmetrie dimolti tipi diversi, ma per Escherla divisione del piano era ancheun mezzo per catturare l'infinito.

Anche se una tassellatura comequella che impiega le farfal-le (si veda l'illustrazione nel-la pagina a fronte in basso)può continuare indefinita-mente, in linea di principio,Escher vedeva la sua sfi-da nel contenere l'infinitoentro i confini di una solapagina. «Chiunque si tuffinell'infinito, sia nel tempocome nello spazio, senzainterrompersi, ha bisognodi punti fissi, di pietre mi-liari, perché altrimenti ilsuo movimento non sareb-be distinguibile dall'immo-

bilità» scriveva Escher. «Eglideve dividere l'universo in di-

stanze di una data lunghezza,in compartimenti che ricorrono

in una serie interminabile.»

Limite del quadrato, 1964

Dopo avere realizzato svariate ope-re in cui le figure diminuiscono indefi-nitamente di dimensione nell' avvicinar-si a un punto di fuga centrale (si vedaVortici a pagina 53), Escher cercò unmezzo per rappresentare la riduzioneprogressiva nella direzione opposta. E-

4e=~1

La simmetria è un concetto strutturaleche sottende molti modelli matematici efisici. Nel disegno le farfalle sembranoriempire la pagina a caso, ma ciascuna èposizionata con precisione. Ve ne sonosempre sei (in colori alternati) che turbi-nano attorno a un punto in cui si incon-trano le punte frontali delle ali sinistre;ve ne sono sempre tre (in colori differen-ti) in un punto in cui si toccano le partiposteriori delle ali destre; e vi sono sem-pre coppie (in colori differenti) in opposi-zione, con i bordi delle ali destre che sitoccano. Oltre alla simmetria di rotazio-ne, vi è simmetria di traslazione basatasu una griglia triangolare. Lo schemapuò continuare all'infinito in tutte le di-rezioni e perciò costituisce una metaforadell'infinito. L'attenzione di Escher peri coloni ha anticipato successive scoper-te nel campo della simmetria di colore.

Limite del quadrato, una xilografia co-struita seguendo uno schema ricorsivoinventato da Escher, illustra l'autosomi-glianza. Un insieme di direttive, applica-to a un oggetto per produrre nuovi og-getti, poi applicato ai nuovi oggetti perprodurne altri ancora e così via all'infi-nito, è detto algoritmo ricorsivo. Il pro-dotto finale è autosomigliante quandotutti gli oggetti finali sono identici all'o-riginale, a meno di cambiamenti di sca-la, orientazione o posizione. Uno schizzo(a destra in alto) inviato da Escher almatematico H. S. M. Coxeter per spie-gare quest'opera mostra che la grigliasottostante comporta la suddivisione ri-corsiva di triangoli isosceli. Nell'esecu-zione, Escher incise nel blocco di legnosolo un triangolo avente l'apice al centrodel quadrato e per base uno dei lati diquesto e stampò il blocco quattro volte.

Vortici, 1957

4

Giorno e notte, 1938

Quello di dimensione è un concet-to che separa nettamente il punto,la linea, il piano e lo spazio. Per il-lustrare l'ambiguità nella perce-zione delle dimensioni. Escher hasfruttato la pagina stampata, chedeve sempre ingannare chi guardase raffigura una scena tridimen-sionale. In Giorno e notte la scac-chiera di campi coltivati si muta indue stormi di anatre. Questa xilo-grafia illustra anche il concetto dicambiamento topologico: una fi-gura viene deformata senza esseretagliata o forata. Sono presentiinoltre la riflessione e la dualità: leanatre nere volano su un villaggioilluminato dal sole; quelle bianchepassano su un'immagine specula-re notturna della stessa scena.

Su e giù, 1947

In base alla teoria della relatività, ciò che un osservatore vede è in-fluenzato dal contesto e dal punto di vista. Nella litografia Su e giùEscher presenta due viste differenti della medesima scena. Nella metàinferiore l'osservatore si trova nel patio; nella metà superiore inveceguarda verso il basso. Ora allontanatevi un poco dalla pagina: il tra-pezio tassellato al centro è un pavimento oppure un soffitto? EscherIo utilizza con ambedue le funzioni, al fine di fondere insieme le dueviste. È impossibile vedere l'immagine nel suo complesso in un modologico. La scena dimostra anche come l'accostamento di viste loca-li per formare un tutto globale possa dare origine a contraddizioni.

gli voleva figure che si ripetessero sempre, avvicinandosi via via a unconfine circoscritto, ma senza mai raggiungerlo. Nel 1957 il matemati-co H. S. M. Coxeter inviò a Escher una ristampa di un suo articolo incui illustrava la simmetria del piano con alcuni disegni di Escher. Lìl'artista trovò una figura che gli diede «una vera scossa», una tassella-tura iperbolica di triangoli che mostrava esattamente l'effetto da luicercato. Con uno studio approfondito del diagramma, Escher scoprì leregole della tassellatura in cui archi circolari incontrano perpendicolar-mente la circonferenza di un cerchio che li circonda. Nel corso dei treanni successivi, sulla base di quel tipo di griglia, realizzò quattro xilo-grafie diverse, l'ultima delle quali è Limite del cerchio IV (si veda l'il-lustrazione in alto alle pagine 54-55).

Quattro anni più tardi Escher escogitò la propria soluzione al pro-blema dell'infinito all'interno di un rettangolo (si veda l'illustrazionein basso a pagina 55). L'algoritmo ricorsivo da lui trovato (un insiemedi direttive applicate ripetutamente a un oggetto) dà luogo a una confi-gurazione sempre simile a se stessa, nella quale ogni elemento è inrapporto con un altro per via di un cambiamento di scala.

Escher inviò a Coxeter uno schizzo della griglia sottostante, scusan-dosi con queste parole: «Temo che l'argomento non sarà molto inte-ressante, dal suo punto di vista di matematico, perché in realtà è sem-plice come un ricoprimento piano. Ciononostante è stato un rompica-po tremendo trovare un metodo adeguato per realizzarlo nel modopiù semplice possibile.» In una conferenza tenuta alcuni anni fa, Wil-liam P. Thurston, matematico e direttore del Mathematical SciencesResearch Institute dell'Università della California a Berkeley, ha illu-strato il concetto di tassellatura autosomigliante proprio con una gri-glia di questo genere, senza sapere nulla della precedente scoperta diEscher.

Curiosamente, le configurazioni autosomiglianti ci danno esempi difigure che hanno dimensioni frazionarie (o frattali), un'ambiguità cheEscher avrebbe senza alcun dubbio apprezzato. Nel 1965 l'artista con-fessava: «Non posso fare a meno di prendermi gioco di tutte le nostre

56 LE SCIENZE n. 317, gennaio 1995

La riflessione permette di os- Pozzanghera, 1952servare fenomeni troppo pic-coli, lontani o oscuri per poteressere visti direttamente. Poz-zanghera dirige i nostri occhisu una pista fra gli alberi se-gnata da impronte di stivali edi pneumatici, ma nella poz-zanghera si vedono anche al-beri stagliati contro un cieloilluminato dalla luna. Escherci rammenta mondi al di làdei limiti del nostro sguardo.

In Vortici l'infinito è confina-to nello spazio di una stampa.Escher disegna una proiezio-ne piana della curva (una los-sodromica) tracciata sul glo-bo da un percorso che attra-versa tutti i meridiani con an-golo costante. Come sanno inaviganti, viaggiare lungo ta-le curva dà una spirale infini-ta che tende a stringersi attor-no al polo. Escher ha usato unsolo blocco dileguo per ambe-due i colori: ha stampato ilrosso, poi l'ha ruotato di 180gradi per stampare il grigio.

certezze incrollabili. È molto divertente, per esempio, confondere delibera-tamente due e tre dimensioni, il piano e lo spazio, e scherzare con la gra-vità». Escher era un autentico maestro nel confondere le dimensioni, comesi può ben apprezzare in Giorno e notte (si veda l'illustrazione in alto nel-la pagina a fronte), in cui i campi coltivati bidimensionali subiscono mi-steriosamente una metamorfosi che li trasforma in anatre tridimensionali.Si divertiva anche a mettere in evidenza le ambiguità e le contraddizioniinterne di una pratica comune nella scienza: quella di affiancare più vistelocali di un oggetto per ottenere un tutto globale (si veda l'illustrazione inbasso nella pagina a fronte).

Verso la fine della vita (morì nel 1972), Escher scriveva: «Soprattutto,sono felice che da tutto questo siano risultati contatti e amicizie con mate-matici. Spesso proprio loro mi hanno dato nuove idee, e talvolta c'è statafra noi addirittura un'interazione. Come possono essere giocosi, questi si-gnori e queste signore di grande cultura!»

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