Universita' degli studi Roma Tre

Esame Scritto di Matematica Generale del 20/01/2014

Cognome e Nome......................................................................... Matr. .................Firma...........................................................................................

Voto

1) Studiare la funzione seguente: (Punti 9)

f(x) = ex

x+2 − 1.

a) Dominio:

b) Segno e intersezioni con gli assi:

c) Limiti e asintoti:

d) Derivata prima:

e) Segno della derivata prima. Crescenza, decrescenza, max e min relativi:

f) Derivata seconda:

g) Segno della derivata seconda. Concavità, convessità e �essi:

1

e) Gra�co della funzione:

2) Determinare, al variare del parametro k, le soluzioni del sistema: è un in-�nitesimo, in x0 = 0, di ordine 4. (Punti4)

−2x+ 2y − 3z = 0x+ 2ky + z = 0x+ 2y + kz = 0

2

3) Si risolva l'integrale de�nito seguente: (Punti 4)

∫ 3

0

3x

x+ 4dx

4) Si dica per quale valore del parametro k la funzione seguente risulta continuae, in corrispondenza di tale valore, si stabilisca se essa è derivabile. (Punti 4)

{ √3x+ k − 2 x ≥ 0

2x+ 1 x < 0

3

5) Si stabilisca se le a�ermazioni seguenti sono vere o false, giusti�cando larisposta con de�nizioni, esempi, teoremi, ed eventuali calcoli ritenuti utili (3punti ciascuno).

a) La serie

+∞∑k=2

(1

3)k

vale 32 .

vero � falso �

Perché:

b) Se f(x) è invertibile allora f(x) è strettamente monotòna.

� vero � falso

Perché:

c) La retta tangente in x0 = 0 di f(x) = e3x + 2 vale y = 3x+ 2

� vero � falso

Perché:

4