PROGRAMMA DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 PERELETTRONICA (9 CREDITI): 2015/2016

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE.Definizione di EDO, problema di Cauchy. Soluzioni massimali e prolungabilit.Equazioni a variabili separabili. Teorema di esistenza e unicita. Esempi di soluzioninon globali e non uniche. Equivalenza tra equazioni e sistemi. Equazioni differen-ziali lineari, omogenee e non. Spazio delle soluzioni e integrale generale diuna equazione omogenea e non. Equazioni differenziali lineari del primoordine: formula risolutiva. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costantidi ordine superiore al primo. Esempi. Equazioni differenziali lineari: Wronskiano,teorema del Wronskiano, dimensione dello spazio delle soluzioni. Polinomio carat-terisitco e soluzioni di una equazione del secondo ordine. Metodo di variazione dellecostanti: esempi.

TRASFORMATA DI LAPLACE REALE.Definizione di segnale e di funzione di ordine esponenziale. Ascissa di con-vergenza. Teorema di Lebesgue e passaggio al limite sotto il segno di integrale.Esempi. Continuita e proprieta asintotiche della trasformata di Laplace (TdL).Proprieta algebriche della trasformata di Laplace Derivata della trasformata etrasformata della derivata. Convoluzione e TdL. Utilizzo della TdL per larisoluzione di equazioni differenziali lineari

CURVE E INTEGRALI DI CURVE E CAMPI.Definizione di curva, velocita e accelerazione. Curva semplice, chiusa, regolare.Sostegno di una curva. Versore tangente. Curve equivalenti e equiorientate.Lunghezza di una poligonale e di una curva. Teorema di rettificabilita.(dimostrazione solo di una implicazione)

Esempio di curva non rettificabile e non regolare. Esempi: Ellisse, spirale, spiralelogaritmica, elica. Integrale cuvilineo.Invarianza degli integrali curvilinei per curve equivalenti. Definizione di ascissacurvilinea e (parametrizzazione ad arco). Curvatura di curve piane e param. adarco. Massa, baricentro, momento d’inerzia.Campi di vettori e lavoro lungo una curva. Forme differenziali. Relazione tra campie forme. Forme esatte e loro integrazione. Teorema di classificazione delleforme esatte. Forme chiuse, campi irrotazionali. Relazione tra forme chiuseed esatte. Definizione di stellato. Teorema di Poincare su stellati. Dominisemplicemente connessi.

FUNZIONI DI 2 O PIU’ VARIABILI:Elementi di base di topologia in Rn: palla aperta, punto interno, esterno o difrontiera per un insieme. Limiti in piu variabili: continuita. Derivate parziali,differenziabilita: Teorema del gradiente, derivazione composta, Teorema deldifferenziale totale. Derivate seconde e Matrice Hessiana. Formula di Tayloral secondo ordine. Condizioni necessarie di primo e secondo ordine peril calcolo di max e min all’interno. Massimi e minimi vincolati in 2 variabili:calcolo tramite parametrizzazioni elementari.

INTEGRALI DOPPI e TRIPLI, SUPERFICI e FLUSSI.Domini normali rispetto agli assi. Integrale di Riemann in R2. Uniforme conti-nuita, teorema di Heine Cantor. Integrabilita delle funzioni continue. Formuledi riduzione in domini normali. Proprieta elementari degli integrali di Rn:additivita, linearita, (int. del valore assoluto. Interpretazione geometrica del de-terminante. Formule di cambiamento di variabili.) Coordinate polari. Dominionormale regolare. Formule di Gauss-Green e Teorema della divergenza

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in R2. Interpretazione fisica. Teorema di Poincare su semplic. connessi.Formula di Stokes in R2. Integrazione per parti. Formule dell’area.

Integrale su un insieme limitato di R3. Formule di riduzione. Applicazionidell’integrale triplo al calcolo del baricentro e dei momenti d’inerzia rispetto a unasse fissato di un corpo solido materiale. Trasformazioni ammissibili. Formula delcambiamento di coordinate negli integrali tripli. Coordinate sferiche e coordinatecilindriche nello spazio. Esempi. Integrali tripli: esempi. Superfici regolari.Superfici equivalenti. Normale. Area di una superficie.Integrali di superficie e (invarianza per superfici equivalenti). Superfici come graficie superfici di rotazione. Esempi. Superfici di rotazione: coni e tori. Superficiorientabili e nastro di Moebius. Flusso di un campo attraverso una superficie.Superfici con bordo e orientazione indotta. Teorema della divergenza e del rotore.

ANALISI COMPLESSA.Funzioni di una variabile complessa. Funzioni olomorfe. Residui.Il campo complesso. Potenze e radici n-esime. Esponenziale complesso. Formuladi Eulero. Funzioni di una variabile complessa. Funzioni elementari. Limiti e con-tinuita. Logaritmo complesso. Continuita del logaritmo e delle potenze in campocomplesso.Funzioni olomorfe. Derivabilita e differenziabilita. Condizioni di Cauchy-Riemann. Olomorfia delle funzioni elementari. Condizioni di Cauchy-Riemann incoordinate polari. Curve regolari e integrali curvilinei. Integrazione in campo com-plesso. Primitive di una funzione e classificazione delle funzioni che ammettonoprimitiva. Teorema dell’integrale nullo di Cauchy. Formula integrale diCauchy. Applicazioni.Serie di potenze in campo complesso. Raggio di convergenza (Teorema di derivazioneper serie). Funzioni analitiche. Analiticita delle funzioni olomorfe. Teo-rema di Goursat e di Morera. Zeri di funzioni analitiche. Principio di identita.Prolungamento analitico. Disuguaglianze di Cauchy. Teorema di Liouville.Teorema fondamentale dell’algebra.Punti di singolarita isolata e loro classificazione. Residui. Calcolo di residui nelcaso di poli. Serie bilatere. Sviluppo in serie di Laurent. Teorema di svilup-pabilita. Classificazione delle singolarita isolate con le serie di Laurent e appli-cazione al calcolo di residui.Teorema dei residui. Lemma del grande cerchio e del piccolo cerchio.Lemma di Jordan. Calcolo di integrali con il metodo dei residui. Integrazione surettangoli. Calcolo di Serie di Laurent. Prodotti di serie bilatere.

ComplementiValore Principale e problemi di definizione per integrali oscillanti. Teoremi di pas-saggio al limite sotto il segno di integrale: convergenza semplice uniforme e totale;teorema di Lebesgue. Controesempi

• Scrivo in Grassetto le parti molto importanti.• Scrivo in Corsivo le parti importanti.• Scrivo tra parentesi le parti di cui non e richiesta la dimostrazione• Le parti scritte normalmente possono essere chieste ma sono di importanzasecondaria

Testi di riferimento:

• N. ”Analisi matematica 2” - N. Fusco, P. Marcellini e C. Sbordone, edizioniLiguori

• ”Esercitazioni di matematica 2” - N. Fusco, P. Marcellini e C. Sbordone,edizioni Liguori (vol 1 e 2)

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• ”Matematica per l’Ingegneria dell’Informazione” - G.C. Barozzi, Ed. Zanichelli(Bologna).

Altri testi consigliati:

• ”Metodi Matematici per l’Ingegneria” - M. Codegone, Ed. Zanichelli (Bologna).• ”Variabili Complesse” - M.R. Spiegel, Ed. McGraw-Hill (collana Schaum’s).• ”Analisi di Fourier” - M.R. Spiegel, Ed. McGraw-Hill (collana Schaum’s).• ”Note di Metodi Matematici per Ingegneria Informatica” - M. Giaquinta eG. Modica, Ed. Pitagora (Bologna).