Slide 1

Metodi matematici per l'ottimizzazione Seminario Equazioni differenziali Ordinarie Metodi One Step Di Cunzolo Alessandro Farioli Giuseppe 10 Gennaio 2012

Slide 2

Equazioni differenziali Ordinarie Introduzione Una equazione differenziale unequazione che coinvolge una o pi derivate di una funzione incognita. Se tutte le derivate sono calcolate rispetto ad una sola variabile indipendente, lequazione si dir equazione differenziale ordinaria (ODE). Quando sono presenti derivate rispetto a pi variabili indipendenti, avremo invece una equazione differenziale alle derivate parziali (PDE). Una equazione differenziale avr ordine n, se n lordine massimo delle derivate che vi compaiono. La forma generale di una ODE di ordine n : dove la funzione cercata. Una funzione detta soluzione di una ODE se essa riduce lequazione ad una identit quando viene sostituita nellequazione.

Slide 3

Equazioni differenziali Ordinarie Introduzione Alcuni esempi: y = 2 sin(x) ODE di ordine 1, sol : y(x) = -2 cos(x) + C y= -4y ODE di ordine 2, sol : y(x) = Acos(2x) + Bsin(2x) (oscillatore armonico y = e -x ODE di ordine 1, sol : y(x) = - e -x + C semplice) y = y ODE di ordine 1, sol : y(x) = C e x y = -ky ODE di ordine 1, sol : y(x) = C e -kx (decadimento radioattivo) y = 3y-4x ODE di ordine 1, sol : y(x) = C e 3x + 4/3 x + 4/9

Slide 4

Equazioni differenziali Ordinarie Introduzione Una equazione differenziale ordinaria ha infinite soluzioni, come mostrato nel seguente esempio: cio la soluzione generale contiene una costante arbitraria c. Ogni volta che si fissa un valore per c, otteniamo una soluzione particolare. La soluzione generale di una ODE di grado n, conterr n costanti arbitrarie. Il grafico di ogni soluzione particolare detto curva integrale della ODE.

Slide 5

Equazioni differenziali Ordinarie Grafico curve integrali Ad esempio, consideriamo la funzione con soluzione ; il grafico delle curve integrali della funzione il seguente:

Slide 6

Equazioni differenziali Ordinarie Es. condizioni iniziali Per isolare una soluzione particolare dobbiamo aggiungere delle condizioni che sono note come condizioni iniziali. Esempio: abbiamo lequazione e vogliamo che in sia Allora la soluzione cercata Il problema di cercare una soluzione particolare di una ODE con certe condizioni iniziali e detto problema di Cauchy (problema ai valori iniziali: IVP).

Slide 7

ODE di primo ordine Forma generale di una equazione differenziale ordinaria di primo ordine: dove la funzione incognita. Per semplicit assumiamo che lequazione sia scritta nella forma: con la condizione quando cio :

Slide 8

ODE di primo ordine Interpretazione geometrica Interpretazione geometrica della soluzione: Ogni soluzione particolare rappresentata da una curva nel piano (x, y); preso un punto arbitrario P(x,y), allora f(x,y) sar uguale alla pendenza della tangente alla curva desiderata nel punto P.

Slide 9

ODE di primo ordine Campo delle direzioni Associando ad ogni punto del piano la direzione della retta la cui pendenza f(x,y) otteniamo il campo delle direzioni di una equazione differenziale Esempio : y=y(2-y)

Slide 10

Alcuni esempi: Equazioni differenziali integrabili Una equazione differenziale ordinaria si dice integrabile per quadrature, se la sua soluzione generale esprimibile in una forma esplicita o implicita, che pu contenere quadrature (cio integrali indefiniti) di qualche funzione incognita. Esempio di equazioni differenziali integrabili sono le equazioni differenziali a variabili separabili: Forma generale di cui soluzione generale sar

Slide 11

Alcuni esempi: Equazioni differenziali integrabili Esempio : vogliamo risolvere lequazione differenziale Soluzione :

Slide 12

Alcuni esempi: Equazioni differenziali lineari Una equazione differenziale ordinaria detta lineare, se F una funzione lineare nella funzione incognita e nelle sue derivate, cioe e del tipo: Se si divide per a(x) si ottiene: (1) con Se f(x)=0 lequazione detta omogenea lineare.

Slide 13

Alcuni esempi: Equazioni differenziali lineari Se lequazione non omogenea (f(x)0) bisogna dapprima risolvere lequazione omogenea associata: (2) Separiamo le variabili e otteniamo: Risolvendola: Con e ottenuta da z ponendo c=1. una soluzione particolare della (2).

Slide 14

Alcuni esempi: Equazioni differenziali lineari Avendo calcolato z cerchiamo la soluzione della (1) nella forma: (3) In cui da determinare. Sostituendo la (3) nella (1): Ma soluzione della (2) quindi lespressione in parentesi nulla e si ha: e sostituendo nella (3) otteniamo: Questa la soluzione generale della (1). Questo metodo unapplicazione del metodo noto come metodo di variazione delle costanti (di Lagrange).

Slide 15

Alcuni esempi: Funzione esponenziale Si consideri lequazione: (k = costante) Separiamo le variabili: (4) Con. Se data una condizione iniziale si avr: Da cui: Sostituendo il valore calcolato di C, nella (4) si ha infine:

Slide 16

Problema di Cauchy in una dimensione Sia,, cerchiamo una funzione, y derivabile in I, tale che: (5) con Tale problema detto problema ai valori iniziali. Supponiamo che siano verificate le ipotesi del teorema di esistenza ed unicit della soluzione.

Slide 17

Teorema di esistenza e unicit Sia un dominio ed una funzione continua che soddisfi la condizione di Lipschitz: Comunque si scelgano e qualche costante segue che: ha soluzione unica in tale intervallo.

Slide 18

Metodi numerici: Introduzione Data unequazione differenziale facile pensare che trovare una soluzione per via analitica piuttosto difficile. In tal caso bisogna ricorrere ai metodi numerici per ricavarne una soluzione approssimata, trasformando in tal modo il problema matematico in un problema discreto. Consideriamo una successione di nodi con (con punto della condizione iniziale ed passo della discretizzazione) Supponiamo Se a e b sono gli estremi di I, si ha:

Slide 19

Metodi numerici: Introduzione I metodi numerici si basano sul Sviluppo in serie di Taylor. Sia la soluzione vera in e la soluzione approssimata in, e supponendo che y(x) sia sufficientemente regolare si ha: Sviluppo in serie di Taylor di y(x) attorno xi Se tronchiamo la serie al k-esimo termine, si ottiene: con:

Slide 20

Metodi numerici: Metodi ad un passo Data unequazione differenziale, i metodi numerici per la risoluzione della stessa possono essere ad un passo o a pi passi. Metodi a un passo: Un metodo numerico detto ad un passo (one-step) se, per dipende solo da :

Slide 21

Metodi numerici: Metodo di Eulero esplicito Se poniamo k=1 in otteniamo : detto metodo di Eulero in avanti o esplicito. Es. test: Applicando il metodo otteniamo:

Slide 22

Interpretazione geometrica Metodo di Eulero esplicito In ogni intervallo si sostituisce all'integrale particolare cercato, il segmento di retta tangente nel punto alla curva integrale che passa in quel punto. Soluzione analitica Soluzione calcolata

Slide 23

Metodi numerici: Metodo di Eulero implicito possibile ottenere anche la seguente relazione: detto metodo di Eulero allindietro o implicito. Es. test: Applicando il metodo otteniamo:

Slide 24

Metodi numerici: Metodi espliciti e impliciti Quando un metodo si dice esplicito? Quando implicito? Definizione: Un metodo detto esplicito se dipende solo dai valori ai passi precedenti, mentre detto implicito se dipende pure da se stesso tramite f. I metodi impliciti richiedono la soluzione di una equazione non lineare se f non lineare in y.

Slide 25

Metodi numerici: Metodo dei Trapezi Data, osserviamo che se f una funzione continua rispetto ad ed integrabile tra e si ha: Se approssimiamo lintegrale tra e con la regola del trapezio, si ha: dove.

Slide 26

Metodi numerici: Metodo dei Trapezi Osservando la formula del metodo dei Trapezi si capisce subito che tale metodo implicito. Es test: Applicando il metodo otteniamo: da cui si ottiene

Slide 27

Metodi numerici: Metodo di Heun Tale metodo espresso dalla relazione: si ottiene applicando il metodo dei trapezi ed il metodo di Eulero in avanti per calcolare. Es. test: Applicando il metodo otteniamo:

Slide 28

Metodi numerici: Zero-stabilit Un metodo numerico del tipo si dice zero-stabile, se: dove ed sono le soluzioni del problema perturbato e di quello non perturbato : con. Tale stabilit riguarda il comportamento del metodo numerico quando h 0. Se il metodo zero-stabile la soluzione poco sensibile alla perturbazione dei dati.

Slide 29

Metodi numerici: Convergenza Definizione: Un metodo si dice convergente se, con C(h) infinitesimo rispetto ad h; se si dice convergente di ordine p. Teorema di convergenza Sia y(x) soluzione di: ed la soluzione approssimata data da. Supponiamo, inoltre, che sia lipschitziana nella seconda variabile: con Sia infine: Allora:

Slide 30

Metodi numerici: Interpretazione geometrica errori Sia la soluzione dellequazione differenziale: Dato un punto sia una approssimazione di.Sia u(x) una curva integrale di y=f(x,y) che passa per, cio che soddisfa: Se la soluzione approssimata calcolata da: Allora si ha il seguente grafico:

Slide 31

Metodi numerici: Assoluta stabilit Un metodo numerico assolutamente stabile se, soluzione numerica del problema test, tale che : Assoluta stabilit: Riguarda la propagazione degli errori accumulati ai passi precedenti. Un metodo si dice assolutamente stabile, se per h fissato, limitato per Dato il problema test: La soluzione sar del tipo Definiamo regione di assoluta stabilit linsieme:. Se

Slide 32

Assoluta stabilit: Eulero esplicito Applicando Eulero esplicito al problema test abbiamo ottenuto: Quindi la (6) vera se. Considerando linsieme dei punti con otteniamo il bordo di un cerchio di centro (-1, 0) e raggio 1. La regione di assoluta stabilit data : Im z Re z

Slide 33

Problema test:con Soluzione analitica Soluzione calcolata Assoluta stabilit per

Slide 34

Assoluta stabilit: Eulero implicito Applicando Eulero implicito al problema test abbiamo ottenuto: Quindi la (6) vera se. Considerando linsieme dei punti otteniamo il bordo di un cerchio di centro (1, 0) e raggio 1. La regione di assoluta stabilit data : Im z Re z 1

Slide 35

Assoluta stabilit: Metodi dei trapezi e di Heun Analogamente per il metodo dei trapezi avevamo ottenuto: In questo caso la (6) vera, cio se Per il metodo di Heun avevamo ottenuto: La (6) vera se :

Slide 36

Metodi numerici: Metodi di Runge-Kutta I metodi ad un passo possono essere dedotti dallo sviluppo in serie di Taylor: con: I metodi di Runge-Kutta sono costituiti da formule del tipo: con concidente con per un certo numero di termini senza utilizzare le derivate. Per un metodo di k-ordine si ha:

Slide 37

Metodi di Runge-Kutta di quarto ordine Il metodo pi noto quello del quarto ordine: dove: Metodi di ordine maggiore non sono convenienti poich richiedono un numero troppo grande di valutazioni della funzione f.

Slide 38

Implementazione Matlab

Slide 39

Implementazione Matlab Metodo di Eulero Applico il metodo di Eulero in avanti al problema test: con = -5 Confronto della soluzione analitica con la soluzione calcolata dal metodo di Eulero. Osservazione dellandamento del metodo variando i passi di discretizzazione h. : Gui_Eulero.m Applicazione_Eulero_avanti.m eulero_avanti.m

Slide 40

Implementazione Matlab Metodo di Runge-Kutta Applico il metodo di Runge Kutta del 4 ordine al problema test: con = -5 Confronto della soluzione analitica con la soluzione calcolata dal metodo Runge-Kutta. Osservazione dellandamento del metodo variando i passi di discretizzazione h. : Gui_RK4.m Applicazione_RK4.m rk4.m

Slide 41

Implementazione Matlab Eulero vs Runge-Kutta Applico i 2 metodi al problema test: con = -5 Confronto tra i due metodi. Osservazione dellandamento dei metodi variando i passi di discretizzazione h. Confronto del tempo di esecuzione tra i due metodi. : Applicazione_Confronto.m Eulero_avanti.m rk4.m Gui_Confronto.m

Slide 42

Applicazioni Reali Uso delle equazioni differenziali per risolvere problemi della vita reale

Slide 43

Problema 1 Si vuole analizzare il seguente fenomeno: Un nuovo prodotto di cereali Oat Puffs, viene introdotto attraverso una campagna pubblicitaria per una popolazione di 1 milione di potenziali clienti. La velocit con cui la popolazione sente parlare del prodotto si presume essere proporzionale al numero di persone che non sono ancora a conoscenza del prodotto. Entro la fine di 1 anno, la met della popolazione ha sentito parlare del prodotto. Applicazioni Reali - Pubblicit Quante persone avranno sentito parlare del prodotto entro la fine di due anni?

Slide 44

Ricaviamo lequazione differenziale associata al problema: Sia y il numero (in milioni) di persone che al tempo t hanno sentito parlare del prodotto. Ci significa che (1-y) il numero di persone che non sono a conoscenza del prodotto, ed il tasso alla quale la popolazione sente parlare del prodotto. Dalle osservazioni appena fatte possibile scrivere l'equazione differenziale come segue : Applicazioni Reali - Pubblicit Il tasso del cambiamento di y proporzionale alla differenza tra 1 e y Svolgimento

Slide 45

Applicazioni Reali - Pubblicit Conoscenza della pubblicit Potenziali clienti (in millioni) Tempo (in anni)

Slide 46

Problema 2 Si vuole analizzare il seguente fenomeno: Un serbatoio contiene 40 litri di una soluzione composta da 90% dacqua e da 10% dalcool. Una seconda soluzione contenente met acqua e met alcool aggiunta al serbatoio al ritmo di 4 litri al minuto. Allo stesso tempo, il serbatoio viene svuotato al ritmo di 4 litri al minuto, come mostrato nella figura seguente : Applicazioni Reali - Serbatoio 4 litri/min Supponendo che la soluzione si mescoli costantemente, quanto alcool sar presente nel serbatoio dopo 10 minuti ?

Slide 47

Ricaviamo lequazione differenziale associata al problema: Sia y il numero di litri di alcool nel serbatoio in un qualsiasi istante t. La percentuale di alcool nel serbatoio da 40 litri in qualsiasi istante . Inoltre, visto che 4 litri di soluzione vengono drenati ogni minuto, il tasso di variazione di y : Applicazioni Reali - Serbatoio Il tasso del cambiamento di y pari alla quantit di alcool drenata fuori pi lammontare di alcool uscente Svolgimento