Equazioni di Navier-Stokes

Le equazioni di Navier-Stokes sono un sistema diequazioni dierenziali alle derivate parziali che descrivo-no il comportamento di un uido dal punto di vista ma-croscopico. L'ipotesi di base che il uido possa esseremodellato come un continuo deformabile. Esse presup-pongono perci la continuit del uido in esame, ovve-rosia il sistema perde di validit nello studio di un gasrarefatto.Le equazioni debbono il loro nome a Claude-Louis Na-vier e a George Gabriel Stokes che le formalizzarono ela loro soluzione analitica generale rappresenta attual-mente uno dei problemi irrisolti della matematica mo-derna (i cosiddetti 7 problemi per il millennio) per il qua-le vale il premio Clay; soluzioni analitiche particolari sihanno in casi estremamente semplicati mentre soluzioniapprossimate si ottengono tipicamente ricorrendo a me-todi propri dell'analisi numerica e all'uso congiunto delcalcolatore.Queste equazioni rappresentano l'approssimazione diChapman-Enskog del prim'ordine delle equazioni dibilancio canoniche (sono quindi pi generali delleequazioni di Eulero, che costituiscono l'approssimazioneprecedente, e pi particolari delle equazioni di Burnettche costituiscono quella successiva). Le relazioni costi-tutive che contengono sono anch'esse lineari: la legge diNewton e la legge di Fourier.

1 Il modello matematico

La maggiore ecienza predittiva di tali equazioni rispet-to a quello di Eulero viene pagata in termini di dicoltdi soluzione. Nel caso generale coinvolgono infatti cinqueequazioni scalari dierenziali alle derivate parziali e 20variabili. Il bilancio tra equazioni e incognite avviene (co-me vedremo pi avanti) con la denizione delle proprietdel uido considerato, delle eventuali forze di campo ingioco e con considerazioni matematiche. Inoltre, a cau-sa della loro non linearit, le equazioni di Navier-Stokesnon ammettono quasi mai una soluzione analitica (ovverouna soluzione esatta), ma esclusivamente numerica (unasoluzione approssimata con un metodo numerico).Le equazioni di Navier-Stokes sono in grado di descriverecompletamente qualsiasi usso uido, anche turbolento.In particolare per un usso turbolento, dove cio le tra-iettorie delle particelle di usso non sono pi costanti neltempo, un approccio numerico di calcolo chiamato ge-neralmente simulazione numerica diretta. A causa del fat-

to che le risorse di calcolo necessarie alla loro risoluzionecrescono con il numero di Reynolds (quasi con Re) e chetale numero pu avere valori dell'ordine di 106109, ta-le approccio resta tecnicamente impossibile. In alternati-va alla simulazione numerica possibile adottare sistemimeno onerosi quali la formulazione LES o le equazionimediate.Le equazioni vengono completate dalle condizioni alcontorno e dalle condizioni iniziali (condizioni imposteall'inizio temporale del fenomeno da studiare). Posso-no inoltre essere integrate dall'equazione di stato dei gasperfetti e dalle equazioni di conservazione delle singolespecie gassose nel caso di una miscela di gas.La soluzione delle equazioni fornisce il campo delle velo-cit del uido. Da questo sar poi possibile risalire a tuttele altre grandezze che caratterizzano il usso.

2 Ipotesi del modello matematicoIl modello matematico che permette l'analisi della di-namica dei continui deformabili si basa sulle seguenticaratteristiche:

uido continuo; uido chimicamente omogeneo e non reagente; uido privo di cariche elettriche.

2.1 Ipotesi di uido continuoViene trascurata la natura discontinua della materia, inquesto modo sar possibile far tendere a zero un volumedi uido, senza che questo possa restare privo di materia.Un parametro fondamentale che caratterizza il mezzo dalpunto di vista della continuit il numero di Knudsen,denito come il rapporto tra il cammino libero mediodi una particella costituente il uido e una lunghezzacaratteristica del usso:

Kn = lL

Se il numero di Knudsen molto minore di uno, allora possibile considerare il uido continuo. Altrimenti sarnecessario studiare il comportamento del gas unicamen-te su base statistica, mediante la teoria cinetica dei gas,

1

2 3 DERIVAZIONE DELLE EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES

la quale analizza statisticamente la distribuzione delle ve-locit molecolari e da questa ricava tutte le propriet delgas.

2.2 Ipotesi di uido chimicamente omoge-neo e non reagente

Verranno trascurate le perturbazioni dovute alla nonomogeneit del usso ed alle reazioni chimiche. Ci nonsar del tutto possibile per ussi reagenti quali quelliall'interno di una camera di combustione ad esempio.

2.3 Ipotesi di uido privo di cariche elet-triche

Verranno trascurate le perturbazioni dovute al cam-po elettromagnetico. L'interazione di ussi con campielettromagnetici studiata dalla magnetouidodinamica.

3 Derivazione delle equazioni diNavier-Stokes

Le equazioni di Navier-Stokes sono la formalizzazio-ne matematica di tre principi sici ai quali i ui-di rispondono, imposta la condizione di continuodeformabile:

principio di conservazione della massa (equazione dicontinuit);

secondo principio della dinamica (bilancio dellaquantit di moto);

primo principio della termodinamica(conservazione dell'energia).

Per questo motivo sono spesso nominate anche equazionidi bilancio.Nei successivi paragra indicheremo sempre il vettorevelocit del uido con la notazione ~u , mentre p e indi-cheranno rispettivamente la pressione statica e la densitdel uido stesso. Il simbolo~a rappresenter il vettore delleaccelerazioni di campo.

3.1 Descrizione del moto lagrangiana edeuleriana

possibile descrivere temporalmente il moto di un uidoattraverso due punti di vista.Il primo, detto lagrangiano o materiale, segue latraiettoria di ogni particella di uido, identicata soli-tamente dalle sue coordinate iniziali, analizzando le va-riazioni delle sue propriet siche (come ad esempio la

densit o la temperatura). Indicando le coordinate inizia-li come (a; b; c; 0), le coordinate della particella sarannovariabili dipendenti:

8>:x = x(a; b; c; t)

y = y(a; b; c; t)

z = z(a; b; c; t)

cos come le altre propriet speciche.Il punto di vista euleriano, viceversa, osserva le variazio-ni delle propriet siche per ogni data posizione spazia-le (x; y; z). Le coordinate spaziali (assieme alla variabiletemporale) saranno perci variabili indipendenti. Le va-riabili dipendenti sono perci funzione di quelle spazialie temporali. Ad esempio, per la velocit:

~u = ~u(x; y; z; t):

3.2 Teorema del trasporto di Reynolds

Per comodit di trattazione riportiamo il teorema deltrasporto di Reynolds, che, per una propriet:

A = A(x; y; z; t)

contenuta in un volume arbitrario V, che si muova con iluido, ed abbia supercie S, indicato come:

d

dt

ZV (t)

AdV =

ZV (t)

@A

@tdV +

ZS(t)

A~u n^ dS:

Ricordando il teorema della divergenza possibileesprimere la precedente anche come:

d

dt

ZV (t)

AdV =

ZV (t)

@A

@t+r (A~u)

dV

e ricordando che:

r (A~u) = (~u r)A+Ar ~u

nonch la denizione di derivata totale, possibileesprimere il teorema in una forma molto utile:

d

dt

ZV (t)

AdV =

ZV (t)

DA

Dt+Ar ~u

dV:

3.4 Equazione di bilancio della quantit di moto 3

3.3 Equazione di continuit3.3.1 Punto di vista lagrangiano

Il principio di conservazione della massa, nel caso di mo-to di un uido, pu essere espresso dal punto di vistalagrangiano aermando che:In questo caso dunque, in termini matematici:

dm

dt=

d

dt

ZV (t)

dV = 0 :

Applicando il teorema del trasporto di Reynolds al-la densit (massa per unit di volume), otteniamol'equazione di continuit in forma di divergenza:

@

@t+r (~u) = 0

che pu essere riportata anche in forma indiciale:

@

@t+@ (ui)

@xi= 0

che pu essere riportata anche in forma estesa:

@

@t+@ (u)

@x+@ (v)

@y+@ (w)

@z= 0

o in termini della derivata totale:

D

Dt+ r ~u = 0 :

3.3.2 Punto di vista euleriano

Lo stesso principio di conservazione, dal punto di vistaeuleriano, pu essere cos espresso:Un generico usso di massa per unit di supercie, chepassi attraverso una coppia di facce P e Q di un volume, considerato come il prodotto tra la densit del uido,la componente della velocit in direzione perpendicolarealla faccia considerata e l'area della faccia medesima.Considerando l'ipotesi di elemento innitesimo possiamoapprossimare il valore del usso nel punto centrale di ognifaccia con il suo valore medio e calcolare il valore delusso su una faccia a partire dal valore assunto sulla facciaprecedente tramite una serie di Taylor troncata al primoordine:

Px = u dydz Qx = u dydz +@u

@xdxdydz

dove con Px e Qx si sono indicate le facce normali (cioperpendicolari) alla direzione x. Seguendo l'enunciato delprincipio, ovverosia calcolando la dierenza dei ussi,otteniamo:

x = QxPx = u dydz+@u

@xdxdydzu dydz = @u

@xdxdydz

Estendendo il ragionamento alle altre direzioni spazialiotteniamo che il usso netto sar uguale a:

=

@u

@x+@v

@y+@w

@z

dxdydz = [r (~u)] dxdydz:

Ponendo ora la variazione di massa nel tempo ugualeall'opposto del usso netto:

@

@tdxdydz = [r (~u)] dxdydz

ed inne, per unit di volume:

@

@t+r (~u) = 0

riottenendo l'espressione precedentemente mostrata.

3.4 Equazione di bilancio della quantit dimoto

3.4.1 Punto di vista lagrangiano

La conservazione della quantit di moto (denita comeprodotto dellamassa per la velocit o, per unit di volume,della densit per la velocit) si esprime aermando che:e matematicamente:

d~Q

dt= ~Fe

dove, appunto, con Fe si indicata la somma delle forzeesterne, di massa (come ad esempio la forza di gravit) edi supercie (quali ad esempio le forze viscose).Introducendo questa dierenziazione nelle forze ed unaformulazione integrale:

d

dt

ZV (t)

~u dV =

ZV (t)

~FV dV +

ZS(t)

~FS dS

Il primo membro pu essere trasformato in formapi conveniente mediante il teorema del trasporto diReynolds:

4 3 DERIVAZIONE DELLE EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES

d

dt

ZV (t)

~u dV =

ZV (t)

D~u

Dt+ ~u (r ~u)

dV

che pu essere ridotta nella forma:

d

dt

ZV (t)

~u dV =

ZV (t)

D~u

DtdV+

ZV (t)

~u

D

Dt+ r ~u

dV

dove l'ultimo integrale coincide con l'equazione dicontinuit ed perci nullo.Se si applica il teorema della divergenza all'ultimo inte-grale dell'equazione della quantit di moto, sar possi-bile scriverlo come integrale di volume. L'equazione sitrasforma quindi come segue:

ZV (t)

D~u

Dt ~FV r T

dV = 0

dove con T con doppia sottolineatura si indicato iltensore delle tensioni. Dato che l'uguaglianza prece-dente deve valere per qualsiasi arbitrario volume diintegrazione, dovr essere nullo l'integrando:

D~u

Dt= ~FV +r T

che esprime l'equazione della quantit di moto (per unitdi volume).

3.4.2 Punto di vista euleriano

Il secondo principio della dinamica esprime la conserva-zione della quantit di moto e, per un elemento del uidopu essere enunciato come segue:Quindi, con formulazione integrale:

d

dt

ZV

~u dV +

IS

(~u) ~un^ dS =ZV

~FV dV +

IS

T dS

dove il volume (come la supercie S che lo racchiude) non funzione del tempo.

3.4.3 Il tensore delle tensioni per un uido

Il tensore delle tensioni o tensore degli sforzi un tensorebidimensionale, caratterizzato da nove componenti Tikche rappresentano le tre componenti degli sforzi nelletre direzioni spaziali di un certo sistema di riferimentocartesiano. In forma matematica:

T =

8

3.4 Equazione di bilancio della quantit di moto 5

~Mz = T 012 bc a2T 0012 bca2+T 021 ac b2

T 021 ac

b

2

mentre l'equazione del momento meccanico di un motoattorno ad un baricentro di un parallelepipedo :

~Mz = Iz !z = abc a2 + b212

!z

dove con Iz si indicato il momento d'inerzia attornoall'asse z e con z la velocit angolare. Eguagliando leprecedenti espressioni si ottiene:

a2 + b2

12!z =

T 012 + T0012

2 T

021 + T

0021

2:

Al tendere del volume a 0, le lunghezze a, b e c tenderannoa 0, mentre gli sforzi sulle facce opposte tenderanno ad unvalore comune. Resta quindi:

T12 T21 = 0

che vale anche per gli altri assi.

3.4.5 Relazioni tra sforzi e velocit di deformazio-ne: uidi newtoniani isotropi

Un uido si denisce newtoniano quando la sua viscositnon varia con la velocit e, per questo motivo, la re-lazione matematica che lega il tensore degli sforzi allecomponenti del tensore della velocit di deformazione lineare.Desiderando trovare le relazioni che legano sforzi e ve-locit di deformazione, analizziamo i casi pi sempli-ci per poi sommarne gli eetti (grazie alla linearit delproblema), ricavando il caso generale.Il caso pi semplice in assoluto sar il caso statico:come gi osservato gli sforzi saranno puramente nor-mali, mentre il tensore delle velocit di deformazione(che indicheremo con " ) nullo per ipotesi. In terminimatematici:

(Tik = p per i = kTik = 0 per i 6= k:

Consideriamo adesso un usso in moto, dove per, perun particolare sistema di riferimento cartesiano, gli sforzisiano puramente normali alle superci di un elemento diforma parellelepipeda (sistema di riferimento degli assiprincipali di deformazione). Per esempio supponiamo chesia:

(Tik = 0 per i 6= kT11 > T22 = T33 :

Gli eetti del sistema di sforzi precedente su di un uido,sono dierenti nel caso di uido isotropo (come ad esem-pio acqua ed aria) oppure anisotropo (come ad esem-pio il sangue, le cui molecole conferiscono al uido pro-priet diverse nelle dierenti direzioni). L'esperienza -sica dimostra che i uidi che interessano l'aerodinamicae l'idrodinamica sono uidi newtoniani ed isotropi, al-trimenti detti uidi stokesiani. Analizzeremo perci unuido isotropo, dove cio dovr essere 12 = 0:

8>:"ik = 0 per i 6= k"11 > 0

"22 = "33 < "11 :

Resta inne da considerare il caso pi generale, dove ciotutte le componenti degli sforzi saranno diversi da zero:

Tik 6= 0 8i; k ) "ik 6= 0 8i; k:Ogni componente del tensore degli sforzi sar una certafunzione, lineare per uidi newtoniani, delle componentidel tensore delle velocit di deformazione. Sviluppandotale funzione in serie di Taylor (arrestata al primo ordineper la sua propriet di linearit), si ottiene:

Tik = f0 + f1("mn):

Resta ora da ricavare tali funzioni lineari: trattando ilproblema in un sistema di riferimento particolare qualequello degli assi principali di deformazione, si ha:

8>:T11 = f0 + a1"11 + b1"22 + b1"33

T22 = f0 + a2"22 + b2"11 + b2"33

T33 = f0 + a3"33 + b3"11 + b3"22:

Nel primo caso analizzato sar quindi:

f0 = p:A causa del fatto che studiamo un uido stokesiano, vi inoltre completa equivalenza di comportamento tra le tredirezioni principali di deformazione x1, x2, x3 e quindi:

(a1 = a2 = a3 = a

b1 = b2 = b3 = b

e dunque il sistema iniziale si potr scrivere come:

6 3 DERIVAZIONE DELLE EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES

8>:T11 = f0 + (a b)"11 + b

P3i=1 "ii

T22 = f0 + (a b)"22 + bP3

i=1 "ii

T33 = f0 + (a b)"33 + bP3

i=1 "ii:

Inne, tenendo conto che

3Xi=1

"ii = r ~u

e ponendo per comodit

(a b = 2b =

si ottiene:

8>:T11 = p+ r ~u+ 2 "11T22 = p+ r ~u+ 2 "22T33 = p+ r ~u+ 2 "33

dove il secondo termine a secondo membro descrivel'eetto della viscosit dovuto alla variazione di volumedi una particella di uido.Non resta ora che generalizzare il sistema di equazioniprecedente al caso di una terna di riferimento qualsiasi:

(Tkk = p+ r ~u+ 2 "kkTik = 2 "ik i 6= k:

La prima equazione del sistema precedente evidenzia ilfatto che, nel caso generale, i tre sforzi normali sonodierenti tra loro. La loro media :

T11 + T22 + T333

= p+ r ~u+ 23 ("11 + "22 + "33) =

= p+ r ~u+ 23r ~u

= p+ 0r ~udove con ' si indicata la viscosit di volume (o in ter-minologia anglosassone bulk viscosity), la quale descrivela dierenza tra lo sforzo normale medio e la pressionedi un uido, dovuta alla viscosit. Il valore della viscositdi volume in genere trascurabile per i gas, in particolareper quelli monoatomici.

3.5 Conservazione dell'energiaIl primo principio della termodinamica, ovvero il princi-pio di conservazione dell'energia pu essere espresso di-cendo che la variazione nell'unit di tempo dell'energia

totale del uido contenuto nel volume di controllo som-mata al usso netto di energia totale attraverso le faccedel volume di controllo uguaglia la somma della potenzadelle forze agenti sull'elemento di uido e del usso net-to di energia termica trasmessa all'elemento di uido perconduzione.Come si nota in questa formulazione viene trascuratal'energia trasmessa all'elemento per irraggiamento. For-malizzando matematicamente questo principio si sfrutte-r il concetto di energia totale per unit di massa E che uno scalare denito come:

E = e+1

2V 2

cio la somma tra l'energia interna delle molecole el'energia meccanica degli elementini di uido.Nell'enunciato si parla di usso netto di energia totale:come per la quantit di moto si indicher questo ussocome il prodotto tra il usso di massa e l'energia totaleper unit di massa trasportata in ogni direzione:

E =@Eu

@x+@Ev

@y+@Ew

@z

La potenza degli sforzi agenti sull'elementino di uidoconsiderato comprende sia la potenza sviluppata daglisforzi viscosi del tensore S sia gli sforzi associati allapressione.Ricorrendo alla denizione di potenza come prodotto diuna forza per una velocit, si potr scrivere:

PS =@(Sxxu+ Syxv + Szxw)

@x+@(Sxyu+ Syyv + Szyw)

@y+@(Sxzu+ Syzv + Szzw)

@z

per quanto riguarda gli sforzi viscosi, mentre per lapressione sar:

Pp = @pu

@x+@pv

@y+@pw

@z

La potenza delle forze di campo si denisce come:

Pc = axu+ ayv + azw

Per quanto riguarda la potenza termica trasmessa perconduzione attraverso le facce dell'elementino neces-saria la denizione di un vettore ~q = [qx; qy; qz]T ussotermico. Sar possibile scrivere:

@qx@x

+@qy@y

+@qz@z

7L'equazione completa che formalizza il primo princi-pio della termodinamica per i uidi in movimento sarquindi:

@E

@t+@Eu

@x+@Ev

@y+@Ew

@z=

@pu

@x+@pv

@y+@pw

@z

+

+@(Sxxu+ Syxv + Szxw)

@x+@(Sxyu+ Syyv + Szyw)

@y+@(Sxzu+ Syzv + Szzw)

@z+

+axu+ ayv + azw @qx@x

+@qy@y

+@qz@z

3.6 Osservazioni e chiusura del problema

Le 3 equazioni (due equazioni scalari ed un'equazionevettoriale) appena derivate sono insucienti, da sole, al-la chiusura del problema della determinazione del cam-po di moto del uido. Infatti le equazioni contengono 20incognite:

densit

vettore velocit (3 incognite)

pressione

tensore degli sforzi viscosi S (9 incognite)

vettore accelerazione di campo (3 incognite)

energia interna e

vettore usso termico ~q , sempre riconducibile a unafunzione di un coeciente di conducibilit termicae della temperatura (2 incognite).

Queste equazioni sono del tutto generali e per la loro ap-plicazione necessaria una sorta di specializzazione dellestesse alla situazione di lavoro.Per la chiusura del problema quindi necessario deni-re le propriet termosiche del uido in esame (che per-mettono di denire la conducibilit termica, la densit,l'energia interna e una o pi equazioni di stato in gradodi determinare anche temperatura e pressione) e il cam-po di forze in cui si muove (determinando il vettore diaccelerazioni di campo). Inoltre si osserva che il tensoredegli sforzi viscosi S simmetrico, con la conseguenzache le incognite eettivamente contenute sono 6 e non9 e sono determinabili sperimentalmente o teoricamen-te specicando il tipo di uido. Saranno successivamentenecessarie le condizioni iniziali e le condizioni al con-torno, trattandosi di equazioni dierenziali (problema diCauchy o problema di von Neumann).

4 Equazioni di Eulero

4.1 Relazioni di salto4.1.1 Discontinuit di contatto

4.1.2 Onda d'urto

5 Le equazioni in forma adimen-sionale

Le equazioni scritte nei paragra precedenti sono in for-ma dimensionale, nel senso che ogni termine possiededimensioni siche della grandezza considerata:

h

kgm3 s

inella prima equazione;

h

kgm2 s2

inelle tre equazioni della quantit di

moto;

h

kgm s3i

nell'ultima equazione.

Di conseguenza, volendo confrontare tra loro i numerosicoecienti per sapere quali di essi sia il pi preponderan-te nei vari casi in esame, bisognerebbe calcolare il valoredi ogni singolo termine. Un metodo pratico per ovviare aquesta necessit quello di dividere ogni coeciente peruna certa grandezza omogenea di riferimento, in tal modoi coecienti risulteranno adimensionali. Queste grandez-ze di riferimento saranno scelte in base alle condizioni alcontorno ed alle condizioni iniziali del particolare pro-blema uidodinamico che si vuole esaminare. Qui sonoindicate con il pedice 0 (zero):

=

0ui

=uiU0

p =p

p0t =

t

t0x =

xiL0

T =T

T0

5.1 L'equazione di conservazione dellamassa

L'equazione di conservazione della massa scritta nellaforma:

D

Dt+ ~r ~u = @

@t+ (~u ~r)+ ~r ~u = 0

pu essere resa adimensionale esprimendola nella forma:

St @

@t+ (~u ~r) + ~r ~u = 0

dove con il simbolo St si indicato il gruppo adimensio-nale, detto numero di Strouhal:

St = L0U0 t0 .

8 7 VOCI CORRELATE

5.2 Le equazioni di conservazione dellaquantit di moto

Le equazioni di conservazione della quantit di motopossono essere adimensionalizzate nella forma:

St@~u

@t

+

~u ~r

~u = 1Ru

~rp 1Fr2 ~k+

1

Rer2~u+

1

3Re~r~r ~u

dove i simboli indicano i seguenti gruppi adimensionali:

Re = U0 L0 = 0 U0 L0 numero diReynolds;

Fr =q

U20g L0

numero di Froude;

Ru = 0 U20p0 numero di Ruark, inversodel numero di Eulero.

Nel caso in cui la viscosit dinamica non sia costan-te, si trover un valore di riferimento 0 e si utilizzerall'interno dell'equazione il valore adimensionale .

5.3 L'equazione di conservazionedell'energia termica

L'equazione di conservazione dell'energia termica, datoche quella dell'energia meccanica condurrebbe a grup-pi adimensionali gi visti per le equazioni della quan-tit di moto, viene espressa in funzione di terminiadimensionali:

St@T

@t

+

~u ~r

T = St EcRu

@p

@t+EcRu~u ~r

p+

EcRe

+1

PrRer2T +

NuPrRe

_q

dove i simboli indicano i seguenti gruppi adimensionali:

Ec = U20cp T0 numero di Eckert; Pr = cpK = numero di Prandtl, dovecon = K cp si indicato il coecientedi diusivit termica;

Nu = L0K numero di Nusselt, do-ve con si indicato il coeciente discambio termico.

6 Bibliograa

(EN) R. Byron Bird, Warren E. Stewart; Edwin N.Lightfoot, Transport Phenomena, 2 ed., New York,Wiley, 2005, ISBN 0-470-11539-4.

7 Voci correlate Equazioni di Navier-Stokes mediate Flusso potenziale incomprimibile Equazioni di diusione Fluidodinamica Bilancio (fenomeni di trasporto) Metodi lattice Boltzmann Continuo di Cauchy Relazioni costitutive Teoria dell'elasticit

98 Fonti per testo e immagini; autori; licenze8.1 Testo

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8.3 Licenza dell'opera Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0

Il modello matematico Ipotesi del modello matematico Ipotesi di fluido continuo Ipotesi di fluido chimicamente omogeneo e non reagente Ipotesi di fluido privo di cariche elettriche

Derivazione delle equazioni di Navier-Stokes Descrizione del moto lagrangiana ed euleriana Teorema del trasporto di Reynolds Equazione di continuit Punto di vista lagrangiano Punto di vista euleriano

Equazione di bilancio della quantit di moto Punto di vista lagrangiano Punto di vista euleriano Il tensore delle tensioni per un fluido Fluido non micropolare Relazioni tra sforzi e velocit di deformazione: fluidi newtoniani isotropi

Conservazione dell'energia Osservazioni e chiusura del problema

Equazioni di Eulero Relazioni di salto Discontinuit di contatto Onda d'urto

Le equazioni in forma adimensionale L'equazione di conservazione della massa Le equazioni di conservazione della quantit di moto L'equazione di conservazione dell'energia termica

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