EQUAZIONE DIFFERENZIALE DELLA LINEA ELASTICA:Trave doppiamente incastrata, con carico concentrato

Vogliamo calcolare la funzione spostamento attraverso l'equazione differenziale della linea elastica "alla Eulero Bernoulli" . L'equazione per poter essere integrata bisogna conoscere l'espressione del momento flettente Mx il quale non si conosce a priori in quanto sono sconosciute le reazioni vincolari. Sar possibile risalire al suo valore mediante un artificio (1) . La linea elastica delle travi inflesse pu essere affetta da diverse specie di discontinuit che costringono a studiarne separatamente l'equazione per ogni tratto compreso tra due di esse e a determinare un numero maggiore di costanti di integrazione; ci che rende in molti casi il calcolo molto laborioso. Indichiamo ora un artificio, scegliendo lo stesso sistema di riferimento per tutti i tratti, che consente di scrivere ed integrare una sola equazione della linea elastica e quindi ridurre le costanti a sole due. Il momento flettente in una sezione a destra della forza F pu essere messo in evidenza attraverso il pricipio di sezionamento immaginando che il vicolo in A reagisca con una coppia MA ed una forza RA, ottenendo l'espressione:

l'equazione della linea elastica sar

Integrando due volte si avr:

Si dispongono di quattro condizioni di vincolo di cui due serviranno a determinare le costanti C1 e C2 e le altre due per determinare RA ed MA. Per il momento flettente pari a quello mostrato precedentemente senza il termine relativo alla F lo stesso varr per le equazioni scritte in seguito. Giacch per z = 0 deve risultare

Si ricava che C1 = C2 = 0. Per il momento flettente quello mostrato precendentemente, e lo stesso varr per le altre equazioni. Dovr risultare per

Risolvendo il sistema di due equazioni nelle due incognite si ricava che:

Sostituendole all'interno della (..) si pu ricavare la funzione spostamento

Coefficienti di influenza. Nello studio del grigliato di travi, riesce utile l'impiego di elementi che diano lo spostamento, in una assegnata sezione, per effetto di una forza unitaria agente in un altra sezione o sulla sezione stessa; elementi che vengono chiamati Coefficienti di influenza. Conoscendo la funzione spostamento la determinazione dei coefficienti di influenza risulta molto agevolata, perch baster esplicitare la posizione della forza quindi assegnare a e b, ed indicare quale spostamento si vuole conoscere assegnando un certo valore alla z ad esempio la posizione z = a; ponendo nella formula F = 1 si ricava il valore dell'abbassamento della trave nel punto z = a sottoposta ad un carico concentrato unitario posto in z = a.