Equazione della retta -...

EQUAZIONE DELLA RETTA

EQUAZIONE DEGLI ASSI L’equazione dell’asse x è � � 0.

EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSIL’equazione di una retta r parallela all’asse x è

L’equazione di una retta r parallela all’asse y è

EQUAZIONE DELLE BISETTRICI DEI Ricordiamo la definizione di bisettrice: la

luogo di punti equidistanti dai lati dell’angolo.

Essendo quindi tutti i punti equidistanti dai due assi, l’

della bisettrice del I e III quadrante

L’equazione della bisettrice del II e IV quadrante

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EQUAZIONE DELLA RETTA

L’equazione dell’asse y è � � 0.

EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI L’equazione di una retta r parallela all’asse x è � � � cioè � è uguale ad una costante:

� ∥ � → � � �

L’equazione di una retta r parallela all’asse y è � � � cioè � è uguale ad una costante:

� ∥ � → � � �

EQUAZIONE DELLE BISETTRICI DEI QUADRANTIRicordiamo la definizione di bisettrice: la bisettrice di un angolo è il luogo di punti equidistanti dai lati dell’angolo.

Essendo quindi tutti i punti equidistanti dai due assi, l’

della bisettrice del I e III quadrante è:

� � �

equazione della bisettrice del II e IV quadrante

� � �

EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER L’ORIGINE Consideriamo una retta � passante per l’origine

distinta dagli assi cartesiani: la retta

punti aventi ordinata proporzionale all’ascissa

secondo un coefficiente opportuno. Infatti siano �� , � � e ��, �� due punti generici della retta

r, ma distinti dall’origine: siano

ortogonali di � e � sull’asse x: i triangoli ��′� sono simili (perché hanno angoli uguali) e si

ha pertanto la seguente proporzione tra i segmenti

e tra le loro relative misure:


è uguale ad una costante:

è uguale ad una costante:

QUADRANTI bisettrice di un angolo è il

luogo di punti equidistanti dai lati dell’angolo.

Essendo quindi tutti i punti equidistanti dai due assi, l’equazione

equazione della bisettrice del II e IV quadrante è:

EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER

passante per l’origine

distinta dagli assi cartesiani: la retta � è il luogo dei

punti aventi ordinata proporzionale all’ascissa

secondo un coefficiente opportuno. Infatti siano

due punti generici della retta

r, ma distinti dall’origine: siano �′ e �′ le proiezioni

x: i triangoli ��′� e

sono simili (perché hanno angoli uguali) e si

ha pertanto la seguente proporzione tra i segmenti


�′��′ � �′��′ → � � ��

Dato che i punti P e Q sono generici, possiamo concludere che per tutti i punti della retta, diversi

dall’origine, il rapporto tra ordinata e ascissa è costante, tale costante si indica con �.

�� → � � ��

Il valore di � si chiama coefficiente angolare o pendenza della retta (maggiore è il valore di �,

maggiore è l’angolo). Rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.

• Se � > 0, la retta appartiene al I e III quadrante.

• Se � � 1, otteniamo la bisettrice del I e III quadrante.

• Se � < 0, la retta appartiene al II e IV quadrante.

• Se � � 1, otteniamo la bisettrice del II e IV quadrante.

EQUAZIONE DELLA RETTA IN POSIZIONE GENERICA Dobbiamo ricavare l’equazione di una generica retta del piano, non passante per l’origine e non

parallela ad alcuno degli assi cartesiani.

Consideriamo una retta� non passante per

l’origine e non parallela ad alcuno degli assi

cartesiani. Sia ��0, �� il punto in cui r

interseca l’asse y. Sia � la traslazione del

sistema di riferimento che porta l’origine in �.

Nel sistema �� la retta r passa per l’origine

e quindi avrà equazione � � ��;

sostituendo in tale equazione � al posto di �

e � � al posto di � in base alle equazioni

della traslazione, si otterrà l’equazione di �

nel sistema ��, in cui � non passa per

l’origine, in formule:

� � �� → � � � �� → � � �� + �

Pertanto si può concludere che:

� � �� + �

è l’equazione di una generica retta del piano ��, dove � è il coefficiente angolare e � è detta

intercetta o ordinata dell’origine, in quanto è l’ordinata del punto � di intersezione della retta

con l’asse y. L’equazione � � �� + � viene chiamata equazione della retta in forma esplicita o

anche equazione della funzione lineare.

• Se � � 0 si ottiene l’equazione di una retta passante per l’origine.

• Se � > 0 la retta generica forma un angolo acuto con l’asse x.

• Se � < 0 l’angolo formato è ottuso.

• Se � � 0 si ha l’equazione di una retta parallela all’asse x.

CONDIZIONE DI PARALLELISMO

Condizione necessaria e sufficiente affi

parallele è che i loro coefficienti angolari siano uguali.

CONDIZIONE DI PERPENDICOLARITÀ

Condizione

perpendicolari è che i coefficienti angolari siano

l’antireciproco dell’altro.

EQUAZIONE GENERALE DELLA RETTALa più generale equazione di primo grado in

Quest’equazione rappresenta, al variare dei coefficienti a, b, c, una qualsiasi retta del piano.

Prende il nome di equazione generale della rettaimplicita. Il coefficiente � viene detto termine noto. I vari casi

• ! 0 ∧ # ! 0 ∧ � ! 0In questo caso l’equazione è completa e può essere rispetto a y essendo

Il coefficiente angolare è �

L’intercetta è � � � #⁄


l’angolo formato è ottuso.

si ha l’equazione di una retta parallela all’asse x.

CONDIZIONE DI PARALLELISMO

Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano


� ∥ % ⇔ �' � �

CONDIZIONE DI PERPENDICOLARITÀ

Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano

perpendicolari è che i coefficienti angolari siano

l’antireciproco dell’altro.

� ( % ⇔ �' �

EQUAZIONE GENERALE DELLA RETTA La più generale equazione di primo grado in � e � (equazione lineare in due variabili) è

� + #� + � � 0


equazione generale della retta o anche di equazione della retta in forma viene detto termine noto. I vari casi possibili sono: 0

In questo caso l’equazione è completa e può essere rispetto a y essendo #� � # � �#

� #⁄


nché due rette siano


�)

necessaria e sufficiente affinché due rette siano

perpendicolari è che i coefficienti angolari siano l’uno

1�)

in due variabili) è


equazione della retta in forma

# ! 0

• ! 0 ∧ # ! 0 ∧ � �L’equazione assume la forma

per l’origine, di coefficiente angolare

• � 0 ∧ # ! 0(con � qualsiasi)

L’equazione diventa #� + � �all’asse x (se� � 0 è l’equazione dell’asse x stessa).

• ! 0 ∧ # � 0 (con c qualsiasi)

L’equazione diventa � + � �y (se � � 0 è l’equazione dell’asse y stesso).

• � 0 ∧ # � 0 ∧ � �L’equazione, riducendosi all’identità

numeri reali, essa non rappresenta alcuna retta, ma il piano stesso.

• � 0 ∧ # � 0 ∧ � ! 0L’equazione non ha soluzioni e

FASCIO IMPROPRIO DI RETTE Il fascio improprio di rette è l’insieme di tutte le rette di un piano che sono tra loro parallele.

L’equazione che rappresenta il fascio improprio è:

Il coefficiente angolare � è comune a tutte le rette, l’intercetta

ottengono tutte le rette del fascio e per

considerata la retta base del fascio alla quale tutte le altre sono parallele.

L’equazioni della traslazione degli assi sono:


� 0 � + #� � 0, cioè � � � #��⁄ , che è l’equazione di una retta

per l’origine, di coefficiente angolare � � #⁄ .

qualsiasi) � 0, ossia � � � #⁄ , che è l’equazione di una re

è l’equazione dell’asse x stessa).

(con c qualsiasi) � 0, cioè � � � ⁄ che è l’equazione di una retta parallela all’asse

è l’equazione dell’asse y stesso).

� 0

L’equazione, riducendosi all’identità 0 � 0, risulta verificata per qualsiasi coppia ordinata di

numeri reali, essa non rappresenta alcuna retta, ma il piano stesso.

0

L’equazione non ha soluzioni e non ha rappresentazione grafica.

è l’insieme di tutte le rette di un piano che sono tra loro parallele.

L’equazione che rappresenta il fascio improprio è:

� � �� + �

comune a tutte le rette, l’intercetta � è variabile. Al variare di

ottengono tutte le rette del fascio e per � � 0 si ottiene quella passante per l’origine che è

considerata la retta base del fascio alla quale tutte le altre sono parallele.

FASCIO PROPRIO DI RETTEIl fascio di rette proprio è l’insieme di tutte le

rette del piano che passano per uno stesso

punto, detto centro o sostegno del fascioNell’equazione del fascio proprio il coefficiente

angolare dovrà essere variabile in quanto l

rette del fascio hanno ciascuna un diverso

coefficiente angolare.

L’equazione del fascio proprio di rette passanti

per l’origine degli assi è � �in R.

Consideriamo un fascio di rette di centro *��+, �+�. Operiamo una traslazione �� che porti l’origine nel punto

riferimento �*� il fascio di rette è

rappresentato dall’equazione

L’equazioni della traslazione degli assi sono:


, che è l’equazione di una retta

, che è l’equazione di una retta parallela

che è l’equazione di una retta parallela all’asse

, risulta verificata per qualsiasi coppia ordinata di

è l’insieme di tutte le rette di un piano che sono tra loro parallele.

è variabile. Al variare di � in R si

si ottiene quella passante per l’origine che è

FASCIO PROPRIO DI RETTE è l’insieme di tutte le

rette del piano che passano per uno stesso

sostegno del fascio.

Nell’equazione del fascio proprio il coefficiente

angolare dovrà essere variabile in quanto le

rette del fascio hanno ciascuna un diverso

L’equazione del fascio proprio di rette passanti � �� con � variabile

Consideriamo un fascio di rette di centro

. Operiamo una traslazione degli assi

che porti l’origine nel punto *. nel

il fascio di rette è

rappresentato dall’equazione � � ��.


� � � + �+ � � � �+ � � � + �+ � � � �+

� � �� → � �+ � �� +�

Quindi:

� �+ � �� +�

dove � è il coefficiente angolare variabile, rappresenta il fascio di rette di centro *��+, �+�.

COEFFICIENTE ANGOLARE DELLA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI Consideriamo i punti �� , � � e ��, ��. L’equazione del fascio di rette di centro �� , � � è

� � � ��

Imponendo che la generica retta di questo fascio passi per �, ossia che le coordinate di �

soddisfino la precedente equazione, si ottiene:

��

Cioè

� � ��

Pertanto: il coefficiente angolare della retta passante per due punti dati si ottiene come rapporto

tra la differenza delle ordinate dei due punti e la differenza delle corrispondenti ascisse.

EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI Siano �� , � � e ��, �� due punti della retta ��. L’equazione della retta passante per � e per � si otterrà scrivendo l’equazione della retta passante per �� , � �e con coefficiente angolare �

uguale a quello della retta ��, cioè � � �� ⁄ ; si avrà quindi:

� � � ��

Dividendo ambo i membri per �� , si ha:

� � ��

Che è l’equazione della retta passante per due punti dati �� , � � e ��, �� e non parallela ad

alcun asse cartesiano.

DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA

per la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti di

EQUAZIONE DELLE BISETTRICI DI UN ANGOLO

E perciò, dovendo essere �,---- � �.- | � + #� + �|

√ � + #� � | ′�√

Le equazioni delle due bisettrici si ottengono dalla formula considerando

volta il segno -.


DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA

Per calcolare la distanza di un generico punto

dalla retta � di equazione � + #� +seguente formula:

1 � | �+ + #�+√ � + #

Cioè la distanza di un punto da una retta di equazione � + #� + � � 0 si ottiene sostituendo nel primo membro

dell’equazione della retta al posto di �e �+ del punto e dividendo il valore assoluto del risultato

per la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti di � e di � nell’equazione stessa.

EQUAZIONE DELLE BISETTRICI DI UN ANGOLO

Determiniamo le equazioni delle bisettrici

degli angoli formati dalle rette incidenti r

ed s, di equazione rispettivamente:

r) � + #� + � � 0

s) 2� + #2� + �2 �

Sia ��, �� un punto generico di una delle

bisettrici. Applicando la formula della

distanza tra un punto e una retta, si ha:

�,---- � | �√

�.---- � | ′�√

- �.----

+ #′� + �|√ � + #� → � + #� + �

√ � + #� � 3 ′

Le equazioni delle due bisettrici si ottengono dalla formula considerando una volta il segno + e una


Per calcolare la distanza di un generico punto ��+, �+� � � 0 si usa la

+ �|�

Cioè la distanza di un punto da una retta di equazione

si ottiene sostituendo nel primo membro � e � le coordinate �+

del punto e dividendo il valore assoluto del risultato

nell’equazione stessa.

Determiniamo le equazioni delle bisettrici

i formati dalle rette incidenti r

ed s, di equazione rispettivamente:

� 0

un punto generico di una delle

bisettrici. Applicando la formula della

distanza tra un punto e una retta, si ha:

- � + #� + �|√ � + #�

� + #′� + �|√ � + #�

′� + #′� + �√ � + #�

una volta il segno + e una

ASSE DI UN SEGMENTO L’asse di un segmento è la retta perpendicolare al

segmento e passante per il suo punto medio. L’asse è

anche il luogo geometrico di tutti e soli i punti del piano

che sono equidistanti dagli estremi del segmento.

Quindi per trovare l’equazione dell’asse di un segmento

possiamo fare:

�4 � �5 → �4--

Ossia

�� +

Sviluppando e riducendo si avrà l’equazione cercata, che risulta un’equazione lineare

FASCIO DI RETTE GENERATO DA DUE RETTE

• Se � � 0, si ottiene la seconda generatrice.

• Se �� 0, si ottiene la prima generatrice.

Per non avere due costanti (� e

� ��

Se � ��⁄ � �, allora �� +

Se �� 0, �perde significato e si suol

o � → ∞ (� tende all’infinito).

La forma nella quale è di solito assegnato un fascio proprio di rette è:


L’asse di un segmento è la retta perpendicolare al

segmento e passante per il suo punto medio. L’asse è

anche il luogo geometrico di tutti e soli i punti del piano

dagli estremi del segmento.

Quindi per trovare l’equazione dell’asse di un segmento

�4�---- � �5�-----

� + �� + �� Sviluppando e riducendo si avrà l’equazione cercata, che risulta un’equazione lineare

DA DUE RETTE

Consideriamo due rette�equazione

r) � + #� + � � 0

s) 2� + #2� + �2 � 0

e sia *��+, �+� il loro punto di intersezione.

Le due rette generano un fascio proprio di

rette di centro * e sono dette rette generatrici,

in particolare la retta� è la prima generatrice e

la retta% è la seconda generatrice.

L’equazione del fascio di rette generato da due

rette è:

� � � + #� + �� + ��

, si ottiene la seconda generatrice.

, si ottiene la prima generatrice.

e ��), si divide per �� e si ottiene

� + #� + �� + �� 2� + #2� + �2� � 0

� + #� + �� + 2� + #2� + �2 � 0

perde significato e si suol dire che � è «infinito» e si scrive � � ∞La forma nella quale è di solito assegnato un fascio proprio di rette è:


��

Sviluppando e riducendo si avrà l’equazione cercata, che risulta un’equazione lineare in � e �.

� ed %, incidenti, di

il loro punto di intersezione.

Le due rette generano un fascio proprio di

e sono dette rette generatrici,

è la prima generatrice e

è la seconda generatrice.

L’equazione del fascio di rette generato da due

� 2� + #2� + �2� � 0

∞ (� uguale a infinito)

� +

Avendo supposto che le generatrici

Esso risulta in funzione di �e, al variare di

inclinazione variabile.

Se le generatrici � ed % fossero parallele, si avrebbe il fascio improprio di rette generato da

il coefficiente angolare è

In pratica un’equazione di primo grado in

• un fascio proprio di rette, se il coeffici

• un fascio improprio di rette, se il coefficiente angolare è costante.

Il centro del fascio proprio si determina intersecando le generatrici del fascio.

AREA DEL TRIANGOLO Esiste una regola che ci permette di calcolare l’are

coordinate de vertici, questa è la

Frederic Sarrus.

7 � 12 |��9 ∙ �; ∙ 1� + ��9 ∙ 1 ∙ �


� + ′�� + �# + #′�� + � + �2� � 0

Avendo supposto che le generatrici � ed % siano incidenti, il coefficiente angolare è:

� � + ′�# + #′�

e, al variare di�, si ottengono le diverse rette del fascio con

fossero parallele, si avrebbe il fascio improprio di rette generato da

� � ′#′ un’equazione di primo grado in � e � rappresenta:

, se il coefficiente angolare è funzione di k;

, se il coefficiente angolare è costante.


Esiste una regola che ci permette di calcolare l’area di un triangolo conoscendone solo le

coordinate de vertici, questa è la regola di Sarrus, dal nome del matematico francese Pierre

7 � 12 <�9 �9�; �;�= �=

Per trovare il determinante della matrice bisogna riportare

le prime due colonne a destre della matrice e poi

moltiplicare le diagonali:

7 � 12 <�9 �9 1�; �; 1�= �= 1<

�9�;�=�=� + �1 ∙ �; ∙ �=� �1 ∙ �; ∙ �=� ��9 ∙ 1


siano incidenti, il coefficiente angolare è:

, si ottengono le diverse rette del fascio con

fossero parallele, si avrebbe il fascio improprio di rette generato da � ed %e


a di un triangolo conoscendone solo le

, dal nome del matematico francese Pierre

111< Per trovare il determinante della matrice bisogna riportare

e colonne a destre della matrice e poi

< 9 �9; �;= �=

∙ �=� ��9 ∙ �; ∙ 1�|

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