ENTROPIA DI ENTANGLEMENT E TEORIA DEI CAMPI ......Stefano Evangelisti Tesi di laurea in Teoria...

UNIVERSITÀ DI BOLOGNA

DIPARTIMENTO DI FISICA

Laurea specialistica in FISICA

Anno Accademico 2007-2008

ENTROPIA DI ENTANGLEMENT

E TEORIA DEI CAMPI

BIDIMENSIONALE

Stefano Evangelisti

Tesi di laurea in Teoria Statistica dei Campi

Bologna, 2008

Relatore: Corelatore:

Prof. FRANCESCO RAVANINI Prof.ssa ELISA ERCOLESSI

I Sessione di Laurea

Indice

Introduzione 9

1 Teoria dei campi e meccanica statistica 13

1.1 Modello di Ising 2d e matrice di trasferimento . . . . . . . . . 13

1.2 Fermionizzazione del modello di Ising 2d . . . . . . . . . . . . 18

1.2.1 Limite hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.2 Operatori di disordine e dualità . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.3 Diagonalizzazione dell’hamiltoniana . . . . . . . . . . . 28

1.2.4 Equazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.2.5 Il fermione di Majorana in coordinate complesse . . . . 35

2 Invarianza conforme globale 39

2.1 Il gruppo conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 Algebra del gruppo conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3 Invarianza conforme e teoria dei campi classica . . . . . . . . . 46

2.3.1 Rappresentazioni del gruppo conforme in d dimensioni 47

2.4 Il tensore energia-impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.5 Invarianza conforme e teoria dei campi quantistici . . . . . . . 51

2.5.1 Identità di Ward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5.2 Correlatori in teorie conformi . . . . . . . . . . . . . . 55

3 Invarianza conforme in due dimensioni 59

3.1 Il guppo conforme in due dimensioni . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2 Trasformazioni conformi globali in due dimensioni . . . . . . . 62

3.3 I generatori conformi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3.1 I campi primari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4 Le funzioni di correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.5 Forma olomorfa delle identità di Ward . . . . . . . . . . . . . 67

5

INDICE

3.5.1 Identità di Ward conformi . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.6 L’espansione del prodotto di operatori . . . . . . . . . . . . . 73

3.6.1 Il bosone libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.6.2 Il fermione libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.7 La carica centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.7.1 Legge di trasformazione del tensore energia-impulso . . 82

3.7.2 Il significato fisico di c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.8 Bordi ed effetti di size finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.8.1 Invarianza conforme sul cilindro . . . . . . . . . . . . . 85

3.8.2 Comportamento critico di superficie . . . . . . . . . . . 88

3.9 Algebra di Virasoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4 Tecniche di calcolo per l’entropia di Entanglement 95

4.1 Matrice densità ed entropia di Von Neumann . . . . . . . . . . 95

4.1.1 Approccio alla matrice densità tramite integrali sui

percorsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.1.2 Sistemi composti ed entropia di entanglement . . . . . 100

4.2 Entropia di entanglement e superfici di Riemann . . . . . . . . 104

4.3 Entropia di entanglement e teorie conformi bidimensionali . . 107

4.3.1 Singolo intervallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.3.2 Sistemi finiti con bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.3.3 Il caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.4 Fuori dal punto critico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.5 Il bosone libero massivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.6 Il fermione di Majorana massivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.7 Il fermione di Dirac massivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5 Matrice densità e Corner Transfer Matrix 133

5.1 La Corner Transfer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.2 La matrice densità attraverso la CTM . . . . . . . . . . . . . . 138

5.3 La catena di Ising trasversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.3.1 CTM per il modello di Ising . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.3.2 Diagonalizzazione della matrice densità ρ1 . . . . . . . 149

5.3.3 Entropia di entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.4 Il modello XYZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.4.1 Il modello a otto vertici . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6

INDICE

5.4.2 Formulazione dell’otto vertici in termini di

variabili di Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.4.3 Parametrizzazione in termini di funzioni

ellittiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.5 Entropia di entanglement per il modello XYZ . . . . . . . . . 169

5.5.1 Il modello XXZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.5.2 Il modello di Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Conclusioni 177

A Funzioni Ellittiche 179

A.1 Analiticità e periodicità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

A.2 Identità algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

A.3 Valori speciali di sn, cn, dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

A.4 Identità differenziali e integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

A.5 Trasformazioni di Landen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

7

INDICE

8

Introduzione

L’entanglement è una delle caratteristiche più peculiari della meccanica quan-

tistica; esso ha posto alla comunità scientifica i maggiori interrogativi rela-

tivamente ai fondamenti della teoria stessa. Dal lavoro di A. Einstein, B.

Podolsky e N. Rosen del 1935 [24] il dibattito sul carattere intrinsecamente

non locale1 delle teorie quantistiche e suoi possibili completamenti della teo-

ria in senso deterministico si sono susseguiti fino al 1964, anno in cui J.S.

Bell [9] pubblicò il suo fondamentale lavoro. Egli infatti indicò che le teorie

alternative alla meccanica quantistica2, basate sul principio di realismo lo-

cale di Einstein, predicono una disuguaglianza verificabile fra osservabili in

misure di correlazione di spin, che contraddicono le previsioni della meccanica

quantistica.

I risultati di tutti i recenti esperimenti3 di precisione hanno conclusivamente

stabilito che la disuguaglianza di Bell è violata, per di più in modo tale da

essere in accordo, entro gli errori, con le previsioni della meccanica quantisti-

ca. La non-località risulta quindi essere un tratto ineliminabile delle teorie

quantistiche, e seguendo le parole stesse di Bell “Entanglement expresses the

spooky nonlocality inherent to quantum mechanics”.4

In questa tesi verranno discusse alcune tecniche analitiche di calcolo dell’en-

tropia di entanglement, ossia di una quantità fisica che è in grado di discri-

minare fra stati fattorizzabili e stati entangled. In altre parole essa misura

quanto “quantistico” sia uno stato fisico.

L’interesse per questo tipo di grandezze è recentemente aumentato in virtù

del crescente sviluppo degli studi sulla “quantum computation”, ma ha appli-

1nel senso di A. Einstein, si veda [24].2nella sua formulazione “ortodossa”, elaborata dalla scuola di Copenhagen.3si veda per esempio il lavoro di A. Aspect, [4].4traduzione: “l’entanglement esprime la sinistra non-località della meccanica

quantistica”.

9

cazioni molto vaste che toccano la fisica della materia condensata,5 dell’ottica

quantistica e anche la fisica dei buchi neri.6

I sistemi fisici su cui ci concentreremo saranno prevalentemente catene di

spin quantistici unidimensionali, al punto critico e non. Al punto critico tali

modelli sono descrivibili attraverso la teoria dei campi conformi bidimensio-

nale.7 Per questo motivo sfrutteremo le connessioni fra la teoria quantistica

di campo 1+1 dimensionale e la meccanica statistica classica e quantistica,

che ci permetteranno di descrivere in modi differenti lo stesso fenomeno fisi-

co.

Nello studiare i sistemi critici ci avvaleremo delle tecniche analitiche derivanti

dalla teoria dei campi conformi bidimensionale, che grazie alla sua algebra

infinito dimensionale permette di calcolare in modo esatto un gran numero

di grandezze fisiche rilevanti per gli scopi di questa tesi.

Per i sistemi non critici utilizzeremo invece tecniche derivanti dal gruppo di

rinormalizzazione e dalla meccanica statistica classica, ed in particolare la

cosidetta Corner Transfer Matrix. Essa è un potente strumento di soluzione

esatta dei modelli classici bidimensionali, ed inoltre ci permetterà di calcolare

esattamente l’entropia di entanglement per alcuni modelli, come la catena di

Ising trasversa e il modello XYZ.

Lo schema della tesi è il seguente:

• nel capitolo 1 analizzeremo le connessioni fra la meccanica statisticaclassica bidimensionale e la teoria di campo 1+1 dimensionale, pren-

dendo come prototipo il modello di Ising, che verrà ripreso più volte

in tutto l’elaborato;

• nel capitolo 2 studieremo le proprietà fondamentali delle teorie dicampo conformi, in dimensione generica. Tali teorie descrivono i

punti critici del secondo ordine dei modelli statistici;

• nel capitolo 3 specializzeremo la discussione del capitolo 2 al caso bi-dimensionale. In questo caso l’algebra del gruppo conforme è infinito

dimensionale, e ciò permette il calcolo esatto di molte quantità fisiche

rilevanti. Le mappe conformi permettono poi di studiare lo stesso siste-

ma fisico in diverse geometrie, ed in particolare di studiare i cosidetti

effetti di volume finito;

5si veda per esempio [3] e referenze ivi contenute.6si veda per esempio [50] e referenze ivi citate.7una dimensione spaziale e una temporale.

10

Introduzione

• nel capitolo 4 definiremo il concetto di matrice densità ed entropiadi Von Neumann, strettamente correlato con l’entropia di entangle-

ment. Sarà discussa poi la tecnica delle “repliche”, che, unita alle

tecniche conformi, permetterà il calcolo esatto dell’entropia di entan-

glement per molti modelli fisici differenti al punto critico.

Inoltre grazie ai risultati derivanti dalla teoria del gruppo di rinor-

malizzazione si deriva l’espressione generale per l’entropia al di fuori

del punto critico,8 che verificheremo esplicitamente per la teoria bo-

sonica e per la prima volta anche per la teoria fermionica libera

bidimensionale;

• nel capitolo 5 introdurremo il concetto e le principali caratteristichedella Corner Transfer Matrix, utilizzandola poi per derivare le pro-

prietà dell’operatore densità e quindi dell’entropia di entanglement di

porzioni semi-infinite di catene quantistiche. Otterremo infatti l’espres-

sione dell’entropia per il modello XYZ, la quale ci consentirà in mo-

do originale di derivare i risultati noti per la catena di Ising e per il

modello XXZ.

8ma in prossimità di esso.

11

Capitolo 1

Teoria dei campi e meccanica

statistica

In questo capitolo ci proponiamo di analizzare le connessioni fra teoria quan-

tistica dei campi e meccanica statistica classica nell’intorno di un punto cri-

tico.1 Per fare ciò ci serviremo a lungo del modello di Ising bidimensionale,

il cosidetto “atomo d’idrogeno” della meccanica statistica, dal momento che

il suo contenuto fisico e matematico è di vasta portata e permette di eviden-

ziare chiaramente le connessioni fra meccanica statistica classica e teoria dei

campi. Inoltre la teoria quantistica a lui equivalente, ossia la teoria fermio-

nica neutra 1+1 dimensionale sarà poi ripresa nei capitoli successivi come

“check” delle nuove teorie affrontate.

Un metodo per passare da una teoria statistica classica ad un modello quan-

tistico passa attraverso l’analisi della matrice di trasferimento, che analizze-

remo nel prossimo paragrafo.

1.1 Modello di Ising 2d e matrice di trasferi-

mento

Un potente metodo di risoluzione del modello di Ising bidimensionale e di

molti altri modelli di meccanica statistica è il cosidetto metodo della matri-

1tale punto critico deve essere del secondo ordine, per motivi che emergeranno in

seguito. I lavori pionieristici sui punti critici dei modelli statistici classici sono [56] e

[57].

13

1.1 Modello di Ising 2d e matrice di trasferimento

ce di trasferimento,2 che è l’analogo in meccanica statistica del formalismo

operatoriale della teoria quantistica dei campi.3 In questo paragrafo descri-

veremo tale metodo e illustreremo come questo guidi verso una analogia fra

teorie quantistiche e meccanica statistica critica.

Consideriamo un modello di Ising bidimensionale anisotropo definito su un

reticolo quadrato con m righe e n colonne e passo reticolare a. In ogni sito del

reticolo poniamo una variabile classica dicotomica, ossia una variabile σi,j4

che possa assumere solo i valori ±1. Assumiamo inoltre condizioni periodicheal contorno in entrambe le direzioni, ossia:

σi,j+n = σi,j σi+m,j = σi,j (1.1)

condizione la quale, topologicamente parlando, equivale a considerare il mo-

dello definito su un toro. Denotiamo con µi la configurazione complessiva

degli spin della i-esima riga:

µi = {σi,1σi,2 . . . σi,n} (1.2)

Complessivamente ci sono 2n configurazioni possibili. Ogni riga contribuisce

all’energia complessiva del modello attraverso il seguente termine:

E[µi] = −Jn∑

k=1

σi,kσi,k+1 (1.3)

che non è altro che il classico termine di interazione di Ising che simula l’in-

terazione di scambio fra due spin vicini. Inoltre vi è un termine d’interazione

fra due righe vicine:5

E[µi, µj] = −J ′n∑

k=1

σi,kσj,k+1 (1.4)

Definiamo ora formalmente lo spazio vettoriale V , i cui elementi sono le µi,

2un testo di riferimento per studiare tali tecniche e applicarle a modelli statistici è [5].3le equivalenze fra meccanica statistica e teoria dei campi emergono anche nel conte-

sto degli integrali sui percorsi, come accenneremo nel capitolo 4, quando discuteremo la

matrice densità.4gli indici i e j corrono sulle righe e sulle colonne rispettivamente.5stiamo lavorando in assenza di campo magnetico.

14

Teoria dei campi e meccanica statistica

che noteremo da adesso in poi come ket e bra, ossia |µi〉, in analogia con lameccanica quantistica. In questo spazio definiamo l’azione della matrice di

trasferimento attraverso i suoi elementi di matrice:

〈µ|T |µ′〉 = exp{

−β (E[µ, µ′] + 12E[µ] +

1

2E[µ′])

}

(1.5)

in termini dell’operatore T , la funzione di partizione del modello:

Z =∑

µ1,µ2,...,µm

exp{−β (E[µi] + E[µi, µj])} (1.6)

si scrive come:

Z =∑

µ1,µ2,...,µm〈µ1|T |µ2〉〈µ2|T |µ3〉 . . . 〈µm|T |µ1〉

= Tr Tm(1.7)

La matrice di trasferimento definita in (1.5) è manifestamente simmetrica,

quindi diagonalizzabile.6 La funzione di partizione può essere espressa in

termini dei 2n autovalori Λk di T :

Z =2n−1∑

k=0

Λmk (1.8)

Il limite termodinamico si ottiene per n,m → ∞. In questo limite l’energialibera si può estrarre dall’andamento dell’autovalore massimo di T , assumen-

do per semplicità che esso non sia degenere. Infatti l’energia libera per sito

è data da:

−f/T = limm,n→∞

1mn

ln(Λm0 + Λm1 + . . . )

= limm,n→∞

1mn

{m ln(Λ0) + ln(1 + (Λ1/Λ0)m + . . . )}

= limn→∞

ln Λ0n

(1.9)

dal momento che Λ1/Λ0 < 1. Il calcolo di quantità fisiche più complicate può

6grazie al teorema spettrale in dimensione finita.

15

1.1 Modello di Ising 2d e matrice di trasferimento

richiedere la conoscenza di più autovalori.

Prima di esprimere i correlatori in termini di matrice di trasferimento, intro-

duciamo l’operatore σ̂i che agisce sugli elementi di V dando il valore dello

spin dell’i-esima colonna della configurazione |µ〉:

σ̂i|µ〉 = σi|µ〉 (1.10)

quindi:

〈σi,jσi+r,k〉 = 1/Z∑

µ1,µ2,...,µm〈µ1|T |µ2〉 . . . 〈µi|σ̂jT |µi+1〉 . . .

. . . 〈µi+r|σ̂kT |µi+r+1〉 . . . 〈µm|T |µ1〉

=Tr(Tm−rσ̂jT

rσ̂k)TrTm

(1.11)

Quest’ultima equazione ricorda il passaggio dal formalismo operatoriale ai

path integrals in teoria di campo.7 In questo caso l’evoluzione temporale è

data dalla matrice di trasferimento, che verrà quindi interpretata come ope-

ratore di evoluzione temporale U(a), che fa evolvere il sistema di un tempo

a, pari al passo reticolare del reticolo. In altre parole possiamo definire un

operatore hamiltoniano Ĥ nel seguente modo:

T = exp(−aĤ) (1.12)

Gli autostati di T sono gli autostati dell’hamiltoniana quantistica H, e gli

autovalori di quest’ultima Er sono espressi da:

Er = −1/a ln(Λr) (1.13)

in termini degli autovalori di T . Quindi la densità di energia libera f/a2 è

proporzionale all’energia di vuoto per sito, nella teoria quantistica:

f/a2 = limn→∞

E0na

(1.14)

7vedi per esempio [23], capitolo 2.

16


La magnetizzazione 〈σ〉 nel limite termodinamico è data da:

〈σ11〉 = limm→∞

(TrTm)−1Tr(σ̂Tm)

= limm→∞

∑

l e−ma(El−E0) 〈0|σ̂l|l〉

= 〈0|σ̂1|0〉

(1.15)

dove abbiamo inserito un set completo di autostati di T , del quale rimane

solo |0〉〈0| nel limite termodinamico, a causa dei fattori esponenziali. Il va-lore medio statistico dello spin è quindi dato dal valore di aspettazione sul

vuoto del corrispondente operatore quantistico. Questa relazione si applica

ad ogni quantità locale e al suo corrispondente operatore.

Allo stesso modo il correlatore a due punti può essere espresso nel limite

termodinamico come:

〈σ11σ1+r,1〉 = limm→∞

(TrTm)−1Tr(Tm−rσ̂T rσ̂)

= limm→∞

e−maE0∑

l〈0|e(m−r)aE0σ̂|l〉〈l|e−raElσ̂|0〉

= 〈σ11〉2 + |〈0|σ̂|1〉|2 exp(−ra(E1 − Eo)) + . . .

(1.16)

La funzione a due punti connessa a grandi r ≫ 1 distanze è data da:

〈σ11σ1+r,1〉C ∼ |〈0|σ̂|1〉|2 exp(−ra(E1 − Eo)) (1.17)

Il gap energetico fra lo stato fondamentale e il primo livello eccitato non è

altro che la massa della teoria di campo quantistica. Infatti da quest’ultima

relazione leggiamo in che rapporto sono tale massa con la lunghezza di cor-

relazione associata allo spin del modello statistico:

ξ =1

ma(1.18)

Nell’intorno di un punto critico del secondo ordine la lunghezza di correla-

zione diverge, quindi “cadiamo” in una teoria di campo a massa nulla, ossia

17

1.2 Fermionizzazione del modello di Ising 2d

come vedremo nei prossimi capitoli, in una teoria invariante di scala. La

relazione precedente giustifica anche il fatto che l’analogia fra meccanica sta-

tistica classica e teoria dei campi quantistici valga nell’intorno di un punto

critico. In tale intorno infatti ξ ≫ a, ed ha quindi senso mandare a zero ilpasso reticolare considerando una teoria di campo. Quando ciò non è vero,

parleremo di analogia fra meccanica statistica classica e un modello quanti-

stico definito su reticolo.

Un’ultima ma importante considerazione riguarda il conto delle dimensioni.

Siamo infatti partiti da un modello classico bidimensionale, “atterrando” poi

su una teoria di campo quantistica euclidea 1+1 dimensionale. Quindi in via

del tutto generale possiamo affermare che un modello statistico classico in

d dimensioni spaziali equivale ad una teoria di campo in d − 1 dimensionispaziali. La dimensione mancante è il tempo euclideo della teoria quantistica.


In questa sezione riprenderemo il modello di Ising, esplicitando i concetti del

paragrafo precedente, con l’intento di arrivare alla formulazione del modello

in termini di una teoria di campo fermionica neutra.8

1.2.1 Limite hamiltoniano

Consideriamo nuovamente un modello di Ising definito su un reticolo qua-

drato con N = n2 siti, ossia con n righe e n colonne, indicando con τ il passo

reticolare lungo la verticale e con α quello lungo l’orizzontale (vedi figura

sottostante). Ancora una volta considereremo condizioni al contorno di tipo

periodico sugli spin del reticolo:

σi+n,j = σij σi,j+n = σij (1.19)

Nel seguito indicheremo con σi e σ′i gli spin su righe successive, mentre il

pedice i sarà riferito alla posizione dello spin sulla riga. Ora sappiamo che

8per teoria di campo neutra intendiamo una teoria che ammetta soluzioni reali per

le equazioni del moto. La teoria fermionica neutra è anche detta di Majorana, e viene

utilizzata in teoria dei campi per descrivere particelle di spin 1/2 neutre dal punto di vista

elettrico, come ad esempio il neutrino.

18


Figura 1.1: Reticolo di Ising bidimensionale.

la configurazione globale del reticolo è specificata dalle n configurazioni delle

singole righe, ossia da {µ1 . . . µn}. Se consideriamo la possibilità di avere uncampo magnetico non nullo, le espressioni del paragrafo precedente riguar-

danti le energie si generalizzano in:

E(µ, µ′) = −J ′n∑

k=1

σkσ′k (1.20)

e

E(µ) = −Jn∑

k=1

σkσk+1 −Bn∑

k=1

σk (1.21)

L’energia totale del sistema associata alla configurazione {µ1, . . . , µn} è datada:

E(µ1, . . . , µn) =n∑

a=1

[E(µa, µa+1) + E(µa)] (1.22)

mentre la funzione di partizione canonica diviene:9

9in tutto l’elaborato per funzione di partizione si intenderà sempre quella canonica.

19


Z =∑

µ1

∑

µ2

· · ·∑

µn

exp{−βE(µ1, . . . µn)} (1.23)

La matrice di trasferimento T ha elementi:10

〈µ|T |µ′〉 = exp {−β [E(µ, µ′) + E(µ)]} (1.24)

e riscriviamo la funzione di partizione come:

Z =∑

µ1,µ2,...,µn〈µ1|T |µ2〉〈µ2|T |µ3〉 . . . 〈µn|T |µ1〉

= Tr T n(1.25)

Il problema si riduce cos̀ı alla diagonalizzazione della matrice di trasferimen-

to, cosa che nel caso di campo magnetico applicato nullo è stata affrontata

con successo da Onsager nel 1944, [42]. Noi non ripercorreremo questa stra-

da, ma una ad essa equivalente.11 L’operatore T può essere cos̀ı decomposto:

T = V3V2V1, dove le matrici Vi sono matrici 2n × 2n (come del resto T ) con

elementi dati da:12

〈σ1 . . . σn|V1|σ′1 . . . σ′n〉 =n∏

k=1

eLσkσ′k

〈σ1 . . . σn|V2|σ′1 . . . σ′n〉 = δσ1σ′1 . . . δσnσ′nn∏

k=1

eKσkσk+1

〈σ1 . . . σn|V3|σ′1 . . . σ′n〉 = δσ1σ′1 . . . δσnσ′nn∏

k=1

eβBσk

(1.26)

dove si sono posti K = βJ e L = βJ ′. È immediato verificare che dalle

relazioni precedenti si ottiene:

10questa definizione differisce nella forma leggermente da quella introdotta nel paragrafo

precedente, ma conduce alle stesse relazioni.11anche se il nostro obiettivo non sarà quello di determinare in modo esatto gli esponenti

critici del modello, ma piuttosto cercare l’equivalente teoria di campo.12i pedici indicano le posizioni reticolari.

20


〈σ1 . . . σn|T |σ′1 . . . σ′n〉 =n∏

k=1

eKσkσk+1+Lσkσ′

k+βBσk (1.27)

come ci si aspettava. Nel seguito risulteranno di grande utilità i seguenti

operatori, definiti su V = C2 ⊗ C2 ⊗ · · · ⊗ C2, ossia il prodotto tensoriale diC

2 n volte:13

σ1(a) = I ⊗ I ⊗ · · · ⊗ σ1 ⊗ · · · ⊗ I

σ2(a) = I ⊗ I ⊗ · · · ⊗ σ2 ⊗ · · · ⊗ I

σ3(a) = I ⊗ I ⊗ · · · ⊗ σ3 ⊗ · · · ⊗ I

(1.28)

Dove:

σ1 =

(

0 1

1 0

)

σ2 =

(

0 −ii 0

)

σ3 =

(

1 0

0 −1

)

(1.29)

sono le matrici di Pauli, che compaiono nella posizione a-esima dei corrispet-

tivi σi(a). Valgono le seguenti proprietà:

[σi(a), σj(b)] = 2i εijk σk(a) δab

{σi(a), σj(a)} = 2δij(1.30)

In termini degli operatori appena definiti la matrice di trasferimento si ri-

scrive come:

T =n∏

a=1

[

eβBσ3(a) eKσ3(a)σ3(a+1) A(L) eL∗σ1(a)

]

(1.31)

dove A(L) = (2 sinh(2L))1/2 e tanh(L∗) = e−2L. Possono risultare utili le

seguenti identità:

eβBσ3(a) = cosh(βB) + σ3(a) sinh(βB)

eLσ1(a) = cosh(L) + σ1(a) sinh(L)

eKσ3(a)σ3(a+1) = cosh(K) + σ3(a)σ3(a+ 1) sinh(K)

(1.32)

13da adesso in poi le posizioni reticolari saranno indicate entro parentesi.

21


Nella sezione precedente avevamo assunto di poter scrivere:

T = e−τĤ (1.33)

Ora si petrebbe in linea teorica cercare di costruire Ĥ a τ fissato, facendo

ampio uso della formula di Baker-Haussdorf, ma l’hamiltoniana risultante

non è particolarmente illuminante dal punto di vista fisico ne facilmente

risolvibile. Più utile è considerarne il cosidetto limite hamiltoniano, ossia

mandare τ → 0 e ricavare Ĥ dall’espressione:

T = I − τĤ + o(τ 2) (1.34)

Nel mandare a zero il passo reticolare occorre assicurarsi che la descrizio-

ne fisica del problema non cambi, e come insegna la teoria del gruppo di

rinormalizzazione 14 questa richiesta può essere soddisfatta riscalando op-

portunamente le costanti di accoppiamento. Procediamo come segue: nel

limite τ → 0 espandiamo T come in (1.34). Per semplicità esponiamo ilragionamento per una matrice di trasferimento 2 × 2, e poi generalizzeremoal caso 2n × 2n. Pensiamo quindi a T come a:

T =

(

a b

c d

)

(1.35)

e vorremmo identificarla come:

I − τH̄ =(

1 0

0 1

)

− τ(

H11 H12H21 H22

)

(1.36)

quindi si individua la seguente corrispondenza:

14una ampia e didattica presentazione del gruppo di rinormalizzazione in meccanica

statitistica si trova nel libro [14] e nell’articolo [32].

22


a→ 1 − τH11 per τ → 0

b→ −τH12 per τ → 0

c→ τH21 per τ → 0

d→ 1 − τH22 per τ → 0

(1.37)

a e d corrispondono agli elementi diagonali, ossia elementi di matrice di T

calcolati sulla medesima configurazione di spin, mentre b e c corrispondono

a elementi di matrice in cui il secondo spin è stato ruotato rispetto al primo.

Per questo motivo chiameremo H11 e H22 le hamiltoniane a zero spin ruotati,

mentre H12 e H21 le hamiltoniane a uno spin ruotato.

Quando ogni riga del reticolo possiede più di uno spin, T ha 2n×2n elementi,ma il discorso precedente si ripete in modo identico. Vogliamo ora convincer-

si che nel limite τ → 0 sopravvivono in Ĥ solo termini che lasciano gli spininvariati o al più ne ruotano uno. Per fare ciò consideriamo una transizione

fra una riga a e una riga a+ 1 che non ruoti nessuno spin:

T (zero spin ruotati) = exp {K∑

i

σiσi+1} (1.38)

dove ci siamo già messi nel caso di campo magnetico nullo e abbiamo ag-

giunto un controtermine costante all’hamiltoniana originaria per elidere il

termine costante che comparrebbe ad esponente nella matrice di trasferi-

mento.15 Scriviamo quindi:

T (zero spin ruotati) ∼ 1 − τH0 spin (1.39)

da cui se K → 0 per τ → 0, ossia K ≈ τ , avremmo un termine in Ĥproporzionale a

∑

a σaσa+1. Ora nel caso di uno spin ruotato si ha:

T (uno spin ruotato) = exp {K∑i σiσi+1 − 2L}

= exp{−2L} exp {K∑i σiσi+1}

∼ −τH1 spin

(1.40)

15Hnew = Hold + J′n

23


e con l’identificazione τ ∼ exp{−2L}, ed espandendo nel limite τ → 0 otte-niamo:

∼ τ{1 + λτ∑

a

σaσa+1} ∼ τ + o(τ 2) (1.41)

dove si è posto K = λτ . Se infine consideriamo le transizioni fra righe con k

spin ruotati otteniamo:

T (k spin ruotati) = exp{−2kL} exp{K∑a σaσa+1}

∼ −τHk rot

∼ τ k{1 + λτ∑a σaσa+1}

(1.42)

che per ogni k > 1 da un contributo trascurabile nel limite τ → 0. Quindinell’hamiltoniana quantistica ci devono essere solo termini che non ruotano

nessuno spin o che ne ruotano al massimo uno. Identifichiamo quindi:

τ = exp{−2L}

K = λτ

(1.43)

da cui si evince che nel limite hamiltoniano K diviene molto piccolo mentre

L diviene molto grande. Il valore λ = 1 identifica il punto critico del modello,

infatti per un modello di Ising 2d si ha la seguente linea critica nello spazio

delle costanti di accoppiamento:16

sinh(2K) sinh(2L) = 1 (1.44)

Ogni punto di questa equazione conduce al modello di Ising critico con lun-

ghezza di correlazione ξ infinita. Nel limite hamiltoniano l’equazione critica

diviene:

e2L k = 1 −→ λ = 1 (1.45)16ricavata dal confronto fra l’espansione a bassa temperatura e quella ad alta

temperatura della funzione di partizione, vedi per esempio [5].

24


Figura 1.2: Diagramma di fase del modello di Ising.

Inoltre λ > 1 identifica la fase ordinata, mentre λ < 1 quella disordinata.

Consideriamo la seguente hamiltoniana quantistica:17

Ĥ = −n∑

a=1

[σ1(a) + λ σ3(a)σ3(a+ 1)] (1.46)

che descrive una catena unidimensionali di spin quantistici. Ora è semplice

convincersi che questa hamiltoniana ha i corretti elementi di matrice, dato

che se confrontiamo gli elementi di 1− τĤ e T nel limite τ → 0 otteniamo lostesso risultato, previa avere fatto la corretta identificazione fra le costanti

di accoppiamento. Da osservare che effettivamente questa hamiltoniana ha

elemento di matrice nullo se preso fra due configurazioni con più di uno spin

differente.

1.2.2 Operatori di disordine e dualità

Abbiamo visto nella sezione precedente come nel limite hamiltoniano il mo-

dello di Ising bidimensionale classico sia equivalente ad un modello quanti-

17detta catena di Ising trasversa.

25


Figura 1.3: Azione dell’operatore di disordine.

stico di spin su reticolo 1+1 dimensionale. Introduciamo i seguenti operatori

detti di disordine:18

µ3(r + 1/2) =r∏

ρ=−∞σ1(ρ)

µ1(r + 1/2) = σ3(r)σ3(r + 1)

(1.47)

Essi sono definiti sui punti del reticolo duale, ovvero sui punti medi del

reticolo originario. Dalla loro definizione si deduce che µ1(r+1/2) è sensibile

all’allineamento di due siti primi vicini. L’operatore µ3(r+1/2) agendo sugli

spin originari del reticolo, ruota tutti quelli che sono alla sinistra del punto

r, come illustrato in figura. Valgono le seguenti proprietà:

18definiti nel limite termodinamico. Il ruolo di tali operatori nel modello di Ising è stato

discusso originariamente nei lavori [25], [33].

26


i) µ3(r − 1/2)µ3(r + 1/2) = σ1(r)

ii)∏

m 1 e quello a

λ < 1 e da sola è in grado di dire dove si trova il punto critico del modello.

Per punto critico di un modello quantistico intendiamo l’azzeramento del gap

energetico fra il livello fondamentale e il primo livello eccitato, ciò l’azzera-

mento del cosidetto “massgap”. Detto m(λ) il massgap del modello di Ising,

l’equazione precedente implica che se m(λ∗) = 0 per un certo λ∗ allora anche

27


m(λ−1∗ ) = 0. Se ammettiamo che la teoria debba avere un solo punto criti-

co,19 questo sarà necessariamente per λ∗ = 1.

1.2.3 Diagonalizzazione dell’hamiltoniana

L’hamiltoniana quantistica del modello di Ising può essere diagonalizzata

esplicitamente mediante una trasformazione di Wigner-Jordan. Per sempli-

ficare le formule che seguono conviene effettuare una trasformazione unitaria

sull’hamiltoniana arrivando a:20

Ĥ = −∑

a

[σ3(a) + λ σ1(a)σ1(a+ 1)] (1.51)

Definiamo i seguenti operatori fermionici:21

c(a) =a−1∏

j=1

eiπσ+j σ

−

j σ−(a) =a−1∏

j=1

(−σzj ) σ−(a)

c+(a) =a−1∏

j=1

e−iπσ+j σ

−

j σ+(a) =a−1∏

j=1

(−σzj ) σ+(a)

(1.52)

che soddisfano alle seguenti regole di anticommutazione:

{c(a), c(b)} = {c+(a), c+(b)} = 0

{c(a), c+(b)} = δab(1.53)

Nelle espressioni precedenti σ+ e σ− sono gli operatori cosidetti di scala, che

innalzano o abbassano le componenti lungo z di uno spin 1/2:

σ+ =1

2(σx + i σy) σ− =

1

2(σx − i σy) (1.54)

Valgono inoltre le seguenti importanti proprietà:

19vedi per esempio [42], [32].20fisicamente abbiamo semplicemente cambiato il sistema di riferimento.21stiamo pensando ancora ad una catena finita.

28


σ1(a)σ1(a+ 1) = [c+(a) − c(a)] [c+(a+ 1) + c(a+ 1)]

σ3(a) = 2 c+(a)c(a) − 1

(1.55)

L’hamiltoniana in termini di questi operatori fermionici si scrive come:22

Ĥ = −2∑

a

c+(a)c(a) − λ∑

a

[c+(a) − c(a)][c+(a+ 1) + c(a+ 1)] (1.56)

Numeriamo ora i siti della catena nel seguente modo: −n,−n+1, . . . , n−1, nin modo da avere complessivamente 2n + 1 siti, e espandiamo gli operatori

fermionici in trasformata di Fourier:

c(a) = 1√2n+1

∑

k e−ika ck

c+(a) = 1√2n+1

∑

k eika c†k

(1.57)

in cui k appartiene alla prima zona di Brillouin, ossia:

k = 0,± 2π2n+ 1

,± 4π2n+ 1

, . . . ,± 2πn2n+ 1

(1.58)

Invertendo le relazioni precedenti si ottiene l’algebra degli operatori c†k e ck:

{ck, cj} = {c†k, c†j} = 0

{ck, c†j} = δkj ∀ k, j(1.59)

Inserendo le espansioni precedenti nell’espressione per l’hamiltoniana otten-

go:

Ĥ = − 2∑

k>0

(1 + λ cos k)(c†kck + c†−kc−k)+

+ 2iλ∑

k>0

sin k(c†kc†−k + ckc−k) − 2(1 + λ)c

†0c0

(1.60)

22a meno di una ininfluente costante additiva.

29


Il modo zero rimane nell’espressione di Ĥ, e crea una degenerazione del vuo-

to.23 Questo annoso problema può essere rimosso imponendo condizioni an-

tiperiodiche24 sulla catena di spin quantistici, cosa che si fa prendendo i

seguenti valori di k nell’espressione (1.57):

k = ± π2n+ 1

,± 3π2n+ 1

, . . . ,± πn2n+ 1

(1.61)

Questa nuova zona di Brillouin adattata alle condizioni al contorno antipe-

riodiche porta alla seguente espressione dell’hamiltoniana in termini di c†k e

ck:

Ĥ = − 2∑

k= 12, 32,...

(1 + λ cos k)(c†kck + c†−kc−k) +

+ 2iλ∑

k= 12, 32,...

sin k(c†kc†−k + ckc−k)

(1.62)

Questa hamiltoniana è quadratica negli operatori c†k e ck, ma la sua forma

non è ancora sufficiente a determinarne lo spettro. Il vuoto di Ĥ non è il

vuoto di ck a causa dei termini c†kc

†−k. Dovremmo trasformare l’hamiltonia-

na affinchè sia nella forma:

Ĥ =∑

k

[. . . ] η†kηk (1.63)

con opportuni operatori di creazione e distruzione fermionici η†k e ηk.

Con questo proposito applichiamo la trasformazione di Bogoliubov-Valentin:25

ηk = Ukck + iVkc†−k η−k = Ukc−k − iVkc

†k

η†k = Ukc†k − iVkc−k η

†−k = Ukc

†−k + iVkck

(1.64)

dove Uk e Vk sono parametri per il momento arbitrari. Questi nuovi operatori

23ossia la teoria possiede una infinità di vuoti, labellati dall’autovalore dell’impulso del

modo zero.24tali condizioni saranno poi le più appropriate per la teoria di campo che ci apprestiamo

ad introdurre.25definita per k > 0.

30


di creazione e annichilazione soddisfano alla seguente algebra:

{ηk, ηj} = {η†k, η†j} = 0

{ηk, η†j} = δkj ∀ k, j(1.65)

a patto che U2k + V2k = 1, condizione la quale ci consente di parametrizzare

tali parametri come:

Uk = cos θk Vk = sin θk (1.66)

Utili risultano essere le trasformazini inverse:

ck = Ukηk − iVkη†−k c−k = Ukη−k + iVkη†k

c†k = Ukη†k + iVkη−k c

†−k = Ukη

†−k − iVkηk

(1.67)

Sostituendo queste relazioni all’interno dell’hamiltoniana, si ottiene:

Ĥ =∑

k= 12, 32,...

[−2(1 + λ cos k)(U2k − V 2k ) + 4λ sin kUk Vk](η†kηk + η†−kη−k)+

+∑

k= 12, 32,...

[4i(1 + λ cos k)Uk Vk + 2iλ sin k(U2k − V 2k )](η†kη

†−k + ηkη−k)

(1.68)

Per avere una hamiltoniana nella forma canonica (1.63) imponiamo che:

4(1 + λ cos k)Uk Vk + 2λ sin k(U2k − V 2k ) = 0 (1.69)

mentre si ha anche:

2Uk Vk = sin 2θk U2k − V 2k = cos 2θk (1.70)

che si riscrive come:

31


Figura 1.4: Relazione di dispersione per la teoria quantistica di Ising. In

ordinata è rappresentata l’energia mentre in ascissa in vettore d’onda k.

tan 2θk = −λ sin k

1 + λ cos k(1.71)

da cui, tenendo opportunamente conto dei segni:

sin 2θk =λ sin k√

1 + 2λ cos k + λ2

cos 2θk = − 1 + λ cos k√1 + 2λ cos k + λ2

(1.72)

e inserendo nell’hamiltoniana otteniamo:

Ĥ = 2∑

k

Λk η†kηk (1.73)

dove Λk =√

1 + 2λ cos k + λ2. Tale relazione di dispersione è graficata in

figura.

Il minimo della relazione di dispersione lo si ha per k = ±π, ossia:

Λ±π =√

1 − 2λ+ λ2 = |λ− 1| (1.74)

32


e anche Emin = 2 |λ− 1|, cosa che conferma ulteriormente λ = 1 come puntocritico del modello.

Vorremmo ora andare nel limite continuo, ossia mandare α → 0 e misurareil momento rispetto a kmin. Quindi scriviamo:

k = π + αk′ e Ek = Λk/α (1.75)

che per piccoli α da Λk ≈√

(1−λ)2α2

+ λk′2, che non è altro che la relazione

di dispersione di una particella relativistica di massa |1−λ|α

.

Infatti nell’intorno del punto critico si ha: E(k′) ≈ |k′|, che è la relazionedi dispersione di una particella relativistica massless. Nella prossima sezione

illustreremo un modo più diretto di evidenziare il contenuto fermionico del

modello di Ising.

1.2.4 Equazione di Dirac

Riconsideriamo ora l’hamiltoniana:

Ĥ = −12

∑

a

[σ1(a) + λσ3(a)σ3(a+ 1)] (1.76)

dove il fattore 1/2 è stato introdotto per convenienza futura. Vorremmo

determinare l’equazioni del moto degli operatori della teoria. Nella metrica

euclidea per un operatore Â generico vale:

∂

∂τÂ = [Ĥ, Â] (1.77)

per cui si ha immediatamente:

∂

∂τσ3(r) = [Ĥ, σ3(r)] = σ3(r)σ1(r)

∂

∂τµ3(r + 1/2) = [Ĥ, µ3(r + 1/2)] = −λσ3(r)σ3(r + 1)µ3(r + 1/2)

(1.78)

Le equazioni del moto sono non lineari e non particolarmente agevoli da ri-

solvere. Possono essere tuttavia linearizzate definendo:

33


ψ1(r) = σ3(r) µ3(r + 1/2)

ψ2(r) = −σ3(r) µ3(r − 1/2)(1.79)

Ora conoscendo l’evoluzione a tempo euclideo per σ3 e µ3 non è difficile

ottenere:∂ψ1(r)

∂τ= −ψ2(r) + λ ψ2(r + 1)

∂ψ2(r)

∂τ= −ψ1(r) + λ ψ1(r − 1)

(1.80)

ristabilendo il passo reticolare con r ± 1 → r ± α e passando al limite conti-nuo, si scrive:

∂ψ1(r)

∂τ= −(1 − λ)ψ2(r) + λ

∂ψ2(r)

∂rα

∂ψ2(r)

∂τ= −(1 − λ)ψ1(r) − λ

∂ψ1(r)

∂rα

(1.81)

e definendo t = ατ ,

∂ψ1(r)

∂t= −(1 − λ)

αψ2(r) + λ

∂ψ2(r)

∂r

∂ψ2(r)

∂t= −(1 − λ)

αψ1(r) − λ

∂ψ1(r)

∂r

(1.82)

I due campi ψ1 e ψ2 possono essere organizzati in un campo spinoriale:

Ψ =

(

ψ1ψ2

)

(1.83)

Ora l’idea è di mandare a zero il passo reticolare orizzontale α per “cadere”

in una vera e propria teoria di campo. Nel fare ciò dobbiamo però contem-

poraneamente mandare λ → 1 affinchè il termine massivo 1−λα

tenda ad un

valore finito m. Cos̀ı facendo possiamo riscrivere le equazioni del moto per il

campo Ψ nel seguente modo:

(

γ0∂

∂t+ γ3

∂

∂r+m

)

Ψ = 0 (1.84)

34


dove le matrici γ0 e γ3 sono date da:

γ0 =

(

0 1

1 0

)

γ3 =

(

1 0

0 −1

)

(1.85)

È importante osservare che ψ1 definito in (1.79) è un operatore antiautoag-

giunto, mentre ψ2 è autoaggiunto.26 Questo ci dice che non saranno esatta-

mente ψ1 e ψ2 le due componenti dello spinore neutro di Majorana che stia-

mo cercando, ma opportune loro combinazioni lineari, come vedremo nella

prossima sezione. 27

1.2.5 Il fermione di Majorana in coordinate complesse

Al termine della sezione precedente eravamo arrivati all’equazione (1.84) per

un fermione a due componenti. Tale equazione può essere riscritta come:

(

m+ ∂r ∂t∂t m− ∂r

)(

ψ1ψ2

)

= 0 (1.86)

Consideriamo ora la seguente matrice unitaria:

S =1√2

(

1 −i−i 1

)

(1.87)

che soddisfa S†S = SS† = I. Valgono inoltre:

S†γ0S = γ0

S†γ3S = σ2 ≡ γ2(1.88)

In virtù di tali proprietà possiamo mappare l’equazione di Dirac precedente

nella seguente:

(

γ0∂t + γ2∂r +m

)

Ψ ′ = 0 (1.89)

26si può verificare in entrambi i casi prendendone il trasposto coniugato.27per una ampia discussione sull’equivalenza fra Ising 2d e la teoria fermionica neutra

si veda per esempio [51],[60],[30], [48].

35


dove Ψ ′ = S†Ψ . Possiamo riscriverla in notazione matriciale come:

(

m −∂r − i∂t∂t − i∂r −im

)(

−iψ′1ψ′2

)

= 0 (1.90)

Ora ridefinendo le variabili nel seguente modo:

ψ ≡ −iψ′1 =1√2(ψ2 − iψ1) ψ̄ ≡ ψ′2 =

1√2(ψ2 + iψ1) (1.91)

e anche 28:z = t+ ir z̄ = t− ir

∂z =12(∂t − i∂r) ∂z̄ = 12(∂t + i∂r)

(1.92)

le equazioni del moto per le componenti spinoriali divengono:

∂z̄ψ =im2ψ̄

∂zψ̄ =−im

2ψ

(1.93)

Tali equazioni possono essere dedotte dalla seguente azione euclidea:29

S =

∫

d2x{

ψ∂z̄ψ + ψ̄∂zψ̄ + imψ̄ψ}

(1.94)

per uno spinore a due componenti reali, ossia uno spinore di Majorana. La

dualità del modello di Ising bidimensionale è espressa dall’invarianza della

teoria fermionica sotto la trasformazione:

m −→ −m

ψ −→ ψ

ψ̄ −→ −ψ̄

(1.95)

Da osservare che quando m = 0 le equazioni del moto impongono che i due

28definite in questo modo risulta evidente - in base alla discussione finale della sezione

precedente - che sia ψ che ψ̄ sono campi di Grassmann reali.29nota che ψψ̄ + ψ̄ψ = 0 essendo variabili di Grassmann.

36


campi spinoriali siano olomorfo e antiolomorfo rispettivemente. Riprendere-

mo questa importante proprietà nel capitolo sulle teorie conformi bidimensio-

nali, mentre considereremo la teoria massiva in dettaglio quando parleremo

di teorie fuori dal punto critico.

Nel prossimo capitolo ci occuperemo di una classe importante di teorie di

campo, ossia le teorie di campo conformi. In questa classe cade per esempio

la teoria fermionica neutra massless, incontrata in questo capitolo.

37


38

Capitolo 2

Invarianza conforme globale

2.1 Il gruppo conforme

Scopo di questo capitolo è introdurre la nozione di invarianza conforme, in

uno spazio-tempo di dimensione generica. Denoteremo con gµν il tensore

metrico in uno spazio-tempo di dimensione d. Per definizione, una trasfor-

mazione conforme delle coordinate è una mappa invertibile x→ x′ che lasciail tensore metrico invariato a meno di un fattore di scala:

g′µν(x′) = Λ(x) gµν(x) (2.1)

L’azione di una trasformazione conforme sulle coordinate può essere pensa-

ta localmente equivalente ad una rotazione ed a una dilatazione. L’insieme

delle trasformazioni conformi forma gruppo - essendo invertibili e contenen-

do la trasformazione identità - ed inoltre il gruppo di Poincaré 1 è un suo

sottogruppo, dal momento che esso corrisponde al caso Λ(x) = 1.

Tale affermazione segue dal fatto che per definizione le trasformazioni del

gruppo di Lorentz sono quelle che lasciano invariato il tensore metrico. In-

fatti vale la proprietà seguente:

Λαµ Λβν gαβ = gµν (2.2)

per ogni arbitraria matrice del gruppo di Lorentz. Un altro modo per visualiz-

zare una trasformazione conforme delle coordinate, in via del tutto generale,

1tale gruppo di trasformazioni è formato dalle trasformazioni del gruppo di Lorentz -

dette in gergo boost - e dalle traslazioni spazio-temporali.

39


Figura 2.1: caso (a): reticolo originario. Caso (b): reticolo dopo una

trasformazione conforme. Caso (c): reticolo dopo una trasformazione non

conforme.

è quello di pensare a una mappa che lasci invariati gli angoli fra due cur-

ve qualsiasi che si intersecano in un punto. Proprio per questo motivo tali

trasformazioni sono note nella letteratura matematica come le mappe che

preservano gli angoli 2. Storicamente tale caratteristica delle trasformazioni

conformi delle coordinate trovò una applicazione pratica nella realizzazione

delle carte navali, nelle quali si deve riprodurre su un piano una porzione

del globo terracqueo, e nel fare ciò, ai fini della navigazione, bisogna ripro-

durre fedelmente gli angoli fra rette piuttosto che le dimensioni lineari delle

nazioni. Analizziamo ora le conseguenze di (2.1) su di una trasformazione

infinitesima x µ −→ x µ + ǫ µ. Premesso che:

∂xα

∂x′µ= δαµ − ∂µ ǫα (2.3)

La metrica al primo ordine in ǫ varia secondo la seguente legge:

g′µν(x′) =

∂xα

∂x′µ∂xβ

∂x′νgαβ(x) (2.4)

e cos̀ı facendo si ottiene:

gµν(x) −→ g′µν(x′) = gµν(x) − ∂µǫν − ∂νǫµ (2.5)2in realtà si dovrebbe distinguere fra trasformazioni conformi pure e trasformazioni

isogonali, che preservano s̀ı l’ampiezza dell’angolo, ma in generale non l’orientazione.

40


Richiedere che la trasformazione sia conforme equivale a richiedere che:

∂µǫν + ∂νǫµ = f(x) gµν(x) (2.6)

e il fattore f(x) viene determinato prendendo la traccia di entrambi i lati:

f(x) =2

d∂ρ ǫ

ρ (2.7)

Per semplicità assumiamo che la trasformazione conforme sia una deforma-

zione infinitesima della metrica euclidea standard in d dimensioni, ossia: 3

gµν = diag (1, 1, . . . , 1) = ηµν (2.8)

Applicando una ulteriore derivata ∂ρ all’equazione(2.6), permutando gli in-

dici e prendendo opportune combinazioni lineari delle espressioni ottenute,

si ottiene:

2 ∂µ ∂ν ǫρ = ηµρ ∂νf + ηνρ ∂µf − ηµν ∂ρf (2.9)Contraendo con il tensore metrico ηµν , essa diviene:

2 ∂ 2ǫµ = (2 − d) ∂µf (2.10)

dove abbiamo usato la seguente notazione 4: ∂ 2 = ηµν∂µ ∂ν . Applicando ∂νalla (2.10) e ∂ 2 alla (2.6) otteniamo:

(2 − d) ∂µ ∂ν f = ηµν ∂ 2f (2.11)

e finalmente contraendo col tensore metrico η si perviene a:

(d− 1) ∂ 2f = 0 (2.12)

Per prima cosa notiamo che nel caso unidimensionale questa equazione non

dice granchè, poichè non impone nessun vincolo sulla funzione f, dato che

qualsiasi trasformazione delle coordinate invertibile è conforme in una di-

mensione 5.Il caso bidimensionale sarà affrontato in notevole dettaglio in se-

guito, per il momento concentriamo la nostra attenzione sul caso d > 3. Le

equazioni precedenti implicano:

∂µ ∂νf = 0 (2.13)

3tale ipotesi equivale a lavorare a tempo immaginario.4utilizzata sistematicamente in tutto l’elaborato.5in una dimensione non è nemmeno definito il concetto di angolo.

41


cioè la funzione f è al più lineare nelle coordinate:

f(x) = A + Bµ xµ (2.14)

Ora riconsideriamo l’equazione (2.9):

2 ∂µ ∂ν ǫρ = ηµρ ∂νf + ηνρ ∂µf − ηµν ∂ρf (2.15)

Se sostituiamo l’espresione ottenuta per f all’interno di quest’ultima, scopria-

mo che ∂µ ∂ν ǫρ è una costante, il che significa che ǫµ è al piú quadratico

nelle coordinate. In via del tutto generale possiamo scrivere:

ǫµ = aµ + bµν xν + cµνρ x

ν xρ (2.16)

nel quale si ha, ovviamente cµνρ = cµρν .

Dal momento che i vincoli ottenuti sulla variazione infinitesima devono es-

sere soddisfatti per ogni x ∈ Rd, possiamo trattare ogni potenza di x sepa-ratamente. La prima cosa che se ne deduce è che il parametro aµ è libero

da vincoli, e corrisponde ad una traslazione spazio-temporale infinitesima.

Consideriamo ora il termine lineare in x e sostituiamolo nell’equazione (2.6)

ottenendo:

bµν + bνµ =2

dηµν b

λλ (2.17)

la quale implica che bνµ è la somma di una parte antisimmetrica e una traccia

pura:

bνµ = α ηµν + mµν (2.18)

dove

mµν = − mνµ (2.19)Il termine contenente la traccia di b rappresenta una trasformazione di dilata-

zione, mentre la parte antisimmetrica rappresenta una rotazione infinitesima

rigida. 6 Sostituendo infine il termine quadratico in x di ǫµ in (2.6) si ottiene:

cµνρ = ηµρ bν − ηνρ bµ + ηµν bρ (2.20)

dove 7

bµ ≡1

dcσσµ (2.21)

6in uno spazio tempo euclideo un boost lorentziano si realizza mediante una rotazione

rigida.7si osservi che ∂σ ǫ

σ = b λλ + 2 cλλα x

α

42


cos̀ı da poter scrivere la corrispondente variazione infinitesima come:

ǫµ = cµνρ xν xρ = 2 (b · x) xµ − bµ x2 (2.22)

e in conclusione si ha:

x′µ = xµ + 2 (b · x) xµ − b µ x2 (2.23)

che porta il nome di trasformazione conforme speciale, SCT. Listia-

mo ora la trasformazioni finite corrispondenti alle trasformazioni infinitesime

appena studiate:

(traslazioni) x′µ = xµ + aµ

(dilatazioni) x′µ = α xµ

(rotazioni rigide) x′µ = M µν xν

(SCT ) x′µ = xµ − b µ x2

1 − 2 b·x + b2 x2

(2.24)

Le prime tre trasformazioni non sono altro che “esponenziazioni” della corri-

spondente trasformazione infinitesima, mentre l’ultima non è cos̀ı immedia-

ta, anche se è semplice convincersi che la sua versione infinitesima è proprio

(2.23). La SCT è una trasformazione conforme delle coordinate con un fattore

Λ(x) dato da:

Λ(x) = (1 − 2 b · x + b2 x2)2 (2.25)Un altro modi per leggere l’azione delle SCT sulle coordinate è il seguente:

x′µ

x′2=

xµ

x2− bµ (2.26)

Ora risulta manifesto il fatto che le SCT non sono altro che traslazioni pre-

cedute e seguite da una inversione del tipo xµ → xµx2

.

2.2 Algebra del gruppo conforme

Richiamiamo ora la definizione di variazione in forma per un campo classico

φ(x) sotto l’azione di un gruppo continuo parametrizzata dai parametri ωa,

a = 1, 2, . . . , n.8 Consideriamo quindi un campo classico9 φ : x −→ V e una8tali parametri, che in generale parametrizzano il gruppo di Lie in questione, sono

supposti essere costanti.9lo spazio V dipende dal tipo di campo che si sta considerando, per un campo scalare

potrà essere per esempio R o C.

43

2.2 Algebra del gruppo conforme

trasformazione infinitesima che agisce sia sulle coordinate spazio-temporali

che sul campo:10

x′µ = xµ + ωaδxµ

δωa

φ′(x′) = φ(x) + ωaδFδωa

(x)

(2.27)

Analizzeremo tale variazione al primo ordine nel set di parametri {ωa}. Ti-picamente si definisce il generatore Ga di una trasformazione di simmetria

attraverso la seguente espressione per la variazione infinitesima allo stesso

punto:11

δωφ(x) ≡ φ′(x) − φ(x) ≡ −iωaGaφ(x) (2.28)

Relazionando tale definizione con l’equazione (2.27), al primo ordine in ω

otteniamo:

φ′(x′) = φ(x) + ωaδFδωa

(x) (2.29)

= φ(x′) − ωaδxµ

δωa∂µφ(x

′) + ωaδFδωa

(x′) + o(ω2) (2.30)

L’espressione esplicita per il generatore risulta quindi essere:

iGaφ =δxµ

δωa∂µφ − δFδωa

Supponiamo per il momento che la trasformazione conforme non agisca sui

campi, ossia F(φ) = φ, allora i generatori del gruppo conforme sono iseguenti:

(traslazioni) Pµ = −i ∂µ(dilatazioni) D = −i xµ∂µ(rotazioni rigide) Lµν = i (xµ∂ν − xν∂µ)(SCT ) Kµ = −i (2xµxν∂ν − x2∂µ)

(2.31)

dove i generatori meno familiari D e K sono associati rispettivamente alle di-

latazioni globali e alle trasformazioni conformi speciali. I suddetti generatori

obbediscono alle seguenti regole di commutazione, che infatti definiscono la

10se non specificato la convenzione di Einstein sugli indici ripetuti sarà sempre assunta.11variazione allo stesso punto è sinonimo di variazione in forma.

44


cosidetta algebra conforme:

[D,Pµ] = i Pµ (2.32)

[Kµ, D] = i Kµ (2.33)

[Kµ, Pν ] = 2i (ηµνD − Lµν) (2.34)[Kρ, Lµν ] = i (ηρµ Kν − ηρν Kµ) (2.35)[D,Lµν ] = 0 (2.36)

Inoltre continuano a valere gli usuali commutatori del gruppo di Poincaré:

[Pρ, Lµν ] = i (ηρµPν − ηρνPµ) (2.37)[Lµν , Lρσ] = i (ηνρLµσ + ηµσLνρ − ηµρLνσ − ηνσLµρ) (2.38)

Un metodo estremamente efficace per semplificare l’algebra del gruppo con-

forme è quello di ridefinire i generatori del gruppo nel seguente modo:

Jµν = Lµν J−1,µ =12(Pµ −Kµ)

J−1,0 = D J 0,µ =12(Pµ +Kµ)

(2.39)

dove Jab = −Jba e a, b ∈ {−1, 0, 1, . . . , d}. Questi nuovo generatori obbedi-scono alle regole di commutazione dell’algebra SO(d+ 1, 1), ossia:

[Jab, Jcd] = i (ηadJbc + ηbcJad − ηacJbd − ηbdJac) (2.40)

con la matrice diagonale ηab che ha elementi {−1, 1, 1, . . . , 1), se la spazio-tempo originario possedeva metrica euclidea. Questo dimostra l’isomorfi-

smo fra il gruppo conforme in d dimensioni e il gruppo pseudo-ortogonale

SO(d+ 1, 1) in d+ 1 dimensioni, che possiede 12(d+ 1)(d+ 2) parametri.12

Da osservare è il fatto che il gruppo di Poincaré con l’aggiunta delle di-

latazioni forma gruppo. 13 Questo implica che una teoria invariante sotto

traslazione, rotazione e dilatazione non è necessariamente invariante sotto

l’intero gruppo conforme.

Prima di continuare ad esplorare la conseguenze delle trasformazioni confor-

mi sui campi, vogliamo introdurre degli oggetti, detti rapporti anarmonici

12il gruppo conforme in 3+1 dimensioni ha 15 paramtri, cinque in più del gruppo di

Poincaré, infatti a quest’ultimo bisogna aggiungere la dilatazione globale e le quattro

distinte SCT .13l’algebra dei loro generatori è chiusa.

45

2.3 Invarianza conforme e teoria dei campi classica

o invarianti conformi, che sono funzioni delle coordinate Γ(xi) invarianti sot-

to una qualsiasi trasformazione conforme. L’invarianza traslazionale implica

che tali quantità debbano dipendere solo dai moduli delle distanza | xi −xj |fra coppie di punti distinti. L’invarianza sotto trasformazioni di scala implica

che solo i rapporti fra queste quantità possono comparire, come ad esempio:

| xi − xj || xk − xl |

(2.41)

Inoltre, sotto una trasformazione conforme speciale la distanza fra due punti

diviene:14

| x′j − x′k | =| xj − xk |

(1 − 2 b · xj + b2 x2j)1

2 (1 − 2 b · xk + b2 x2k)1

2

(2.42)

L’uguaglianza precedente evidenzia come sia impossibile costruire degli in-

varianti conformi con due o tre punti, i più semplici rapporti anarmonici

costruibili sono formati da quattro punti, ad esempio:

| x1 − x2 || x3 − x4 || x1 − x3 || x2 − x4 |

| x1 − x2 || x3 − x4 || x2 − x3 || x1 − x4 |

(2.43)

Con N punti distinti possono essere costruiti N(N−3)2

rapporti anarmonici.

2.3 Invarianza conforme e teoria dei campi

classica

Una teoria di campo possiede invarianza conforme a livello classico se la sua

azione è invariante sotto l’applicazione del gruppo conforme, ossia scrivendo

in forma generale l’azione per un campo φ 15 nella forma:

S =

∫

ddx L(φ, ∂φ) (2.44)

14si deduce applicando da definizione la SCT a x′µ, con un pò di pazienza.15potrebbe rappresentare anche una collezione di campi.

46


si deve avere:16

δ S = 0 (2.45)

sotto una generica trasformazione conforme dei campi e delle coordinate.

Daremo ragione del fatto che, per certe teorie, l’invarianza conforme è una

conseguenza dell’invarianza di scala e dell’invarianza sotto le trasformazioni

del gruppo di Poincaré. 17 É importante però sottolineare che l’invarianza

conforme a livello della teoria di campo quantistica non segue necessaria-

mente dall’invarianza classica.18In particolare una teoria di campo quantisti-

ca interagente risulta priva di significato fisico senza avervi introdotto una

procedura regolarizzante, e ciò porta all’introduzione nella teoria stessa di

un fattore di scala che rompe la simmetria sotto dilatazioni! Questo avvie-

ne sempre in generale ad eccezione di alcuni valori particolari delle costanti

di accoppiamento della teoria, che corrispondono a punti fissi del gruppo di

rinormalizzazione.[14, 47, 36]

2.3.1 Rappresentazioni del gruppo conforme in d di-

mensioni

Per prima cosa analizziamo come un campo classico 19si trasforma sotto l’a-

zione del gruppo conforme. Avendo una trasformazione infinitesimale para-

metrizzate dai parametri ωa cerchiamo la trasformazione matriciale tale che

il campo multicomponente φ(x) trasformi come:20

φ′(x′) = (1 − i ωaTa) φ(x) (2.46)

L’operatore Ta produce una variazione dei campi che va aggiunta a quella

ottenuta nella sezione precedente 21 per ottenere la variazione in forma com-

plessiva del campo e il generatore completo della simmetria. Per fare ciò

conviene usare il seguente metodo, prima applicato al più familiare gruppo

di Poincaré: consideriamone il sottogruppo che lascia invariata l’origine delle

16L è la densitá di lagrangiana della teoria.17risultato talvolta indicato come teorema di Polyakov [37].18quando ciò si realizza si parla di implementazione della simmetria alla Weyl-Wigner.

Si veda per esempio [17] per approfondimenti.19con il termine campo classico denotiamo una funzione delle coordinate, mentre con il

termine campo quantistico intenderemo un operatore definito su uno spazio di Hilbert H.20in questo caso stiamo considerando la variazione totale del campo.21dove si era supposto che solo lo coordinate venissero modificate dall’azione del gruppo

conforme.

47

2.3 Invarianza conforme e teoria dei campi classica

coordinate, ossia x = 0. Tale sottogruppo è il gruppo di Lorentz. Definiamo

allora un operatore Sµν che mi da la variazione subita dal campo φ(0) in

seguito ad una rotazione infinitesima:22

Lµνφ(0) = Sµνφ(0) (2.47)

L’operatore Sµν è detto operatore di spin associato al campo φ.23 Ora cono-

scendo l’algebra dei generatori siamo in grado di traslare Lµν(0) in qualsiasi

altro punto dello spazio-tempo, grazie all’operatore impulso:

Lµν(x) = ei xρPρ Lµν(0) e

−i xρPρ = Sµν − xµPν + xνPµ (2.48)

dove abbiamo usato la formula di Baker-Haussdorf [41]:

e−A B eA = B + [B,A] +1

2![[B,A]A] + . . . (2.49)

in cui i termini successivi contengono correlatori che involvono un numero

sempre superiore di campi. Ciò permette di ottenere la formula esplicita per

il generatore delle rotazioni:

Lµν φ(x) = [i (xµ∂ν − xν∂µ) + Sµν ] φ(x) (2.50)

L’idea è ora quella di utilizzare il medesimo ragionamento applicato al gruppo

conforme. Il sottogruppo che lascia invariata l’origine degli assi coordinati

è formato dalle rotazioni, dalle dilatazioni e dalle trasformazioni conformi

speciali. Se rimuoviamo i generatori delle traslazioni dall’algebra otteniamo

un algebra identica a quella del gruppo di Poincaré, visto il ruolo simile

giocato da P µ e da Kµ. Definiamo con Sµν , ∆̃, kµ i valori dei generatori

Lµν , D,Kµ agenti su campi presi a x = 0. Tali generatori rispettano l’algebra

di gruppo, ossia:

[∆̃, Sµν ] = 0 (2.51)

[∆̃, kµ] = −i kµ (2.52)[kµ, kν ] = 0 (2.53)

[kρ, Sµν ] = i (ηρµ kν − ηρν kµ) (2.54)[Sµν , Sρσ] = i (ηνρSµσ + ηµσSνρ − ηµρSνσ − ηνσSµρ) (2.55)

22mentre Lµν continuerà ad essere il generatore delle rotazioni in generale.23ci riferiremo allo spin di un campo in riferimento alle sue proprietà di variazione sotto

l’azione del gruppo delle rotazioni.

48


Utilizzando la formula di Baker-Haussdorf possiamo arrivare ad una espres-

sione esplicita per i generatori D e Kµ, che si scrivono come:

D φ(x) = (−i xν∂ν + ∆̃) φ(x) (2.56)Kµ φ(x) = (kµ + 2 xµ∆̃ − xνSµν − 2i xµxν∂ν + ix2∂µ)φ(x) (2.57)

Dal momento che richiediamo che il campo φ(x) appartenga ad una rap-

presentazione irriducibile del gruppo di Lorentz, allora grazie al lemma di

Shur 24 ogni matrice che commuta con tutti i generatori del gruppo delle

rotazioni deve essere un multiplo dell’identità. Conseguentemente la matrice

∆̃ è un multiplo dell’identità e l’algebra di gruppo forza tutti i generatori

kµ ad annullarsi. ∆̃ è allora un numero, che scriveremo come −i∆, dove ∆é una quantità detta dimensione di scaling del campo,25 che compare nella

versione “esponenziata” della (2.56):

φ′(x′) = λ−∆ φ(x) (2.58)

dove λ è il parametro associato alla dilatazione delle coordinate x −→ λx.Concludiamo qusta sezione dando la legge di trasformazione per un campo

classico spinless (Sµν = 0) sotto una arbitraria trasformazione conforme:26

φ(x) −→ φ′(x′) =∣

∣

∣

∣

∂x′

∂x

∣

∣

∣

∣

−∆d

φ(x) (2.59)

dove con ∂x′

∂xintendiamo lo jacobiano della trasformazione di coordinate, che

si lega al fattore di scala Λ nel modo seguente:

∣

∣

∣

∣

∂x′

∂x

∣

∣

∣

∣

= Λ−d2 (2.60)

Un campo che si trasforma in questo modo sotto le trasformazioni del gruppo

conforme globale è detto “quasi primario”.

24il lemma di Shur afferma che ogni operatore definito su uno spazio vettoriale V com-

mutante con una famiglia di operatori (A)n che a sua volta agisce irriducibilmente su V èun multiplo dell’identità.

25queste quntità giocano un ruolo chiave, in quanto sono intimamente connesse con gli

autovalori del gruppo di rinormalizzazione, che a loro volta danno immediatamente alcune

proprietà fisiche del modello.26di principio deducibile esponenziando le relazioni infinitesime.

49

2.4 Il tensore energia-impulso

2.4 Il tensore energia-impulso

Sotto una arbitraria trasformazione delle coordinate del tipo xµ → xµ + ǫµl’azione di una generica teoria di campo subisce la seguente variazione:

δS =

∫

ddx T µν∂µǫν (2.61)

dove T µν è il tensore energia-impulso della teoria, definito da:27

T µν = −L δµν + i ∂L∂[∂µφ]

P νφ (2.62)

È noto che in teorie di campo che godono di invarianza sotto il gruppo di Lo-

rentz tale tensore possa essere posto in forma simmetrica - senza modificare

le equazioni delle correnti conservate e delle cariche associate - mediante una

procedura detta di Belinfante [23]. Ció ci consente di riscrivere la variazione

dell’azione come:

δS =1

2

∫

ddx T µν (∂µǫν + ∂νǫµ) (2.63)

La quantità entro parentesi nella funzione integranda per una trasformazione

conforme é legata alla traccia di ǫ, grazie a (2.6) e (2.7) si ha:

δS =1

d

∫

ddx T µµ∂ρǫρ (2.64)

Da quest’ultima equazione deduciamo che se la teoria possiede un tensore

energia-impulso a traccia nulla, la teoria stessa è automaticamente invarian-

te sotto l’azione di tutto il gruppo conforme. L’inverso ovviamente non è

vero, poichè ∂ρǫρ non è una funzione arbitraria.

Risulta che sotto certe condizioni 28 il tensore T µν di una teoria di campo che

gode di invarianza di scala può essere reso a traccia nulla, con un metodo si-

mile a quello impiegato per rendere simmetrico il tensore di una teoria dotata

di invarianza Lorentziana. Quando questo è possibile allora automaticamente

la teoria risulta invariante sotto il più ampio gruppo conforme. Di fatto non

è difficile convincersi che per una vasta classe di teorie di campo invarianti

27è una conseguenza del teorema di Noethër, il quale afferma che a ogni simmetria

classica dell’azione corrisponde una quantità classicamente conservata.28quali siano queste condizioni risulta da una analisi dei dettagli tecnici della procedura

per i quali si rimanda a [23].

50


sotto rotazioni e dilatazioni ciò è sicuramente vero, almeno quando d > 3.29

In dimensione d = 2 la procedura generale valida alle altre dimensioni non è

più applicabile, ma il risultato è ancora valido. 30

2.5 Invarianza conforme e teoria dei campi

quantistici

L’oggetto base della teoria dei campi quatistici sono i correlatori dei campi

della teoria, definibili in modo equivalente come valori di aspettazione sul

vuoto di stringhe di operatori ordinati temporalmente, oppure attraverso la

formulazione mediante integrali sui percorsi: 31

〈φ1(x1) . . . φn(xn)〉 =1

Z

∫

[dφ]φ1(x1) . . . φn(xn) exp{−S[φ]} (2.65)

dove φ1(x1) . . . φn(xn) sono campi quasi primari della teoria, x1 . . . xn so-

no generiche coordinate spazio-temporali, 32 e Z è il funzionale generato-

re 33,definito da:∫

[dφ] exp{−S[φ]} (2.66)

La misura entro parentesi quadre nell’integrale precedente è una misura di

tipo funzionale, per una introduzione della quale si veda per esempio [23],

[47], [54]. In questa sezione analizzeremo le conseguenze a livello quantistico

dell’invarianza conforme, in particolare concentrandoci sui vincoli che ciò

impone sui correlatori a due, tre e quattro punti. Scopriremo che la simmetria

conforme è da sola in grado di fissare 34 la forma funzionale dei correlatori a

due e tre punti. Risultato chiave per questi scopi saranno le cosidette identità

di Ward, che come vedremo possono essere citate come l’analogo quantistico

del teorema di Nöether, che invece involve solo quantità classiche.

29vedi per esempio [23].30per un approfondimento su questo punto si può consultare [34].31che sarà quella più usata all’interno di questo elaborato.32da ora in poi rilascieremo la notazione grassettata per indicare un oggetto multi-

componente.33più precisamente Z qui definito è il funzionale di vuoto, ossia il funzionale generatore

calcolato mettendo a zero le correnti j(x).34a meno di costante moltiplicativa.

51

2.5 Invarianza conforme e teoria dei campi quantistici

2.5.1 Identità di Ward

Consideriamo l’equazione (2.65) che definisce un generico correlatore a n pun-

ti, e analizziamo le conseguenze che l’invarianza classica dell’azione comporta

in termini di correlatori quantistici. In particolare vale la seguente identità:

〈φ1(x′1) . . . φn(x′n)〉 = 〈F(φ1(x1)) . . .F(φn(xn))〉 (2.67)

dove F descrive il cambiamento funzionale del campo sotto trasformazioneconforme, come descritto nell’equazione (2.29). La prova di quest’ultima

identità è diretta:

〈φ1(x′1) . . . φn(x′n)〉 = 1Z∫

[dφ]φ1(x′1) . . . φn(x

′n) exp{−S[φ]}

= 1Z

∫

[dφ′]φ′1(x′1) . . . φ

′n(x

′n) exp{−S[φ′]}

= 1Z

∫

[dφ]F(φ1(x1)) . . .F(φn(xn)) exp{−S[φ]}

= 〈F(φ1(x1)) . . .F(φn(xn))〉

(2.68)

Alcuni commenti sono però necessari: tra il primo e il secondo passaggio

abbiamo solo cambiato nome alla variabile di integrazione φ, mentre dalla

seconda alla terza riga abbiamo espresso φ′ in funzione di φ, usando la legge di

trasformazione dei campi. Nel fare ciò abbiamo usato l’invarianza dell’azione

classica e “supposto” che la misura funzionale non vari nel fare ciò.35

Per esempio l’invarianza della teoria sotto traslazioni x′ = x + a ha la

seguente conseguenza sui correlatori:

〈φ1(x1 + a) . . . φn(xn + a)〉 = 〈φ1(x1) . . . φn(xn)〉 (2.69)

che esprime il fatto che solo le posizioni relative sono importanti all’interno

dei correlatori. In modo analogo, l’invarianza di Lorentz pone il seguente

vincolo sui correlatori di un campo scalare:

〈φ1(Λµνxν1) . . . φn(Λµνxνn)〉 = 〈φ1(xµ1) . . . φn(xµn)〉 (2.70)35tale ipotesi puó sembrare arbitraria, e di fatto rappresenta uno dei principali ostacoli

nell’implementare a livello quantistico la simmetria conforme. Nonostante ciò sarà sempre

assunta.

52


Ed infine, l’invarianza sotto una trasformazione di scala espressa da:

x′ = λ x

φ′(λx) = λ−∆ φ(x)(2.71)

nel linguaggio dei correlatori si traduce in:

〈φ1(λx1) . . . φn(λxn)〉 = λ−∆1 . . . λ−∆n〈φ1(x1) . . . φn(xn)〉 (2.72)

Veniamo ora alle identità di Ward vere e proprie, che rappresentano in qual-

che modo una versione infinitesima delle uguaglianze sopra scritte. Sappiamo

che una trasformazione infinitesima generica sui campi può essere scritta in

termini di generatori come:

φ′(x) = φ(x) − i ωaGaφ(x) (2.73)

dove ωa rappresenta una collezione di parametri costanti. Effettuiamo una

variazione come questa nel correlatore (2.65) con le ωa funzioni di x. L’azione

non sarà più invariante sotto questa nuova trasformazione puntuale, e la sua

variazione sarà data da:36

δ S =

∫

ddx ∂µjµaωa (2.74)

dove le jµa sono le correnti classiche associate alle simmetrie, date da:37

jµa =

{

∂L∂(∂µφ)

∂νφ − δµνL}

− ∂L∂(∂µφ)

δFδωa

(2.75)

Ora denotando con X la collezione di campi φ1(x1) . . . φn(xn) all’interno del

correlatore, e con δωX la sua variazione infinitesima sotto la trasformazione,

possiamo scrivere:

〈X〉 = 1Z

∫

[dφ′](X + δX) exp

{

−S[φ] +∫

dx∂µjµaωa(x)

}

(2.76)

e di nuovo assumeremo che la misura funzionale sia invariante sotto trasfor-

mazione locale ([dφ′] = [dφ]). Espandendo al primo ordine in ωa otteniamo:

〈δX〉 =∫

dx ∂µ〈jµa (x)X〉ωa (2.77)

36vedi per esempio [23], capitolo due.37se i campi sono soluzioni delle equazioni di Euler-Lagrange le correnti di Nöether

soddisfano l’equazione di continuità ∂µjµa = 0.

53


La variazione δX è esplicitamente data da:

δX = −i ∑ni=1(φ(x1) . . . Gaφ(xi) . . . φ(xn))ωa(xi)

= −i∫

dx ωa(x)∑n

i=1 {φ(x1) . . . Gaφ(xi) . . . φ(xn)} δ(x− xi)

(2.78)

ora relazionandola con (2.79) otteniamo:

∂µ〈jµa (x)φ(x1) . . . φ(xn))〉 = −in∑

i=1

{φ(x1) . . . Gaφ(xi) . . . φ(xn)} δ(x− xi)

(2.79)

Queste sono le identità di Ward per le correnti jµa . Integriamo ambo i membri

dell’equazione (2.79) in una regione dello spazio-tempo che includa tutti i

punti xi. Dal membro sinistro otteniamo, dopo una integrazione per parti, il

seguente integrale di superficie:∫

Σ

dsµ〈jµa (x)φ(x1) . . . φ(xn))〉 (2.80)

Ora mandiamo Σ all’infinito, e richiedendo che i campi si annullino con suffi-

ciente rapidità per x→ ∞, l’integrale di superficie si annulla.38 Dal membrodestro invece abbiamo:

δω〈φ(x1) . . . φ(xn))〉 ≡ −i ωan∑

i=1

{φ(x1) . . . Gaφ(xi) . . . φ(xn)} = 0 (2.81)

In altre parole la variazione infinitesima del correlatore è nulla. Come esempi

notevoli cosideriamo le identità di Ward associate all’invarianza traslazionale,

rotazionale e di scala.

Le identità associate all’invarianza traslazionale sono quindi:

∂µ〈T µν X〉 = −∑

i

δ(x− xi)∂

∂xνi〈X〉 (2.82)

Consideriamo adesso le identità associate con l’invarianza di Lorentz (rota-

zionale in uno spazio-tempo euclideo). Supponiamo di avere già messo in

forma simmetrica il tensore energia-impulso, quindi la corrente di Nöether

relativa avrà la seguente forma:

Mµνρ = T µνxρ − T µρxν (2.83)38mandare Σ all’infinito non modifica il valore dell’integrale, in quanto la funzione

integranda è nulla ovunque al di fuori dei punti xi.

54


e le identità di Ward corrispondenti saranno:

〈(T ρν − T νρ)X〉 = −i∑

i

Sνρi 〈X〉δ(x− xi) (2.84)

dove Si rappresenta l’operatore di spin del campo i− esimo. Infine conside-riamo le identità di Ward associate all’invarianza di scala. Anche in questo

caso supponiamo che il tensore energia-impulso della teoria sia già stato po-

sto a traccia nulla. La corrente di Nöether relativa a questa simmetria si

scriverà allora come:

JµD = Tµνx

ν (2.85)

Dal momento che l’operatore che genera le dilatazioni è D = −i xν∂ν − i ∆le identità in questo caso si scrivono come:

〈T µµX〉 = −∑

i

δ(x− xi)∆i〈X〉 (2.86)

Le equazioni (2.82) (2.84) (2.86) sono le tre identità di Ward associate all’in-

varianza conforme.

2.5.2 Correlatori in teorie conformi

Avendo ora a disposizione il potente strumento delle identità di Ward pos-

siamo ora analizzare in dettaglio le conseguenze dell’invarianza conforme sui

correlatori a due e tre punti.39 Considerando l’identità (2.67) e l’equazione

(2.59) abbiamo allora che per campi spinless vale:

〈φ1(x1)φ2(x2)〉 =∣

∣

∣

∣

∂x′

∂x

∣

∣

∣

∣

∆1d

x=x1

∣

∣

∣

∣

∂x′

∂x

∣

∣

∣

∣

∆2d

x=x2

〈φ1(x′1)φ2(x′2)〉 (2.87)

Specializziamoci al caso di una trasformazione di scala x → λx, ottenendo:

〈φ1(x1)φ2(x2)〉 = λ∆1+∆2〈φ1(λx1)φ2(λx2)〉 (2.88)

L’invarianza traslazionale e rotazionale richiedono che:

〈φ1(x1)φ2(x2)〉 = f(|x1 − x2|) (2.89)39questo importante risultato è stato ottenuto per la prima volta da Polyakov [49].

55


dove si deve avere:

f(x) = λ∆1+∆2f(λx) (2.90)

in virtù dell’espressione precedente. In altre parole

〈φ1(x1)φ2(x2)〉 =C12

|x1 − x2|∆1+∆2(2.91)

dove C12 è un coefficiente arbitrario indeterminato. Ora rimane da imporre

l’invarianza sotto trasformazioni conformi speciali, per le quali si ha:∣

∣

∣

∣

∂x′

∂x

∣

∣

∣

∣

=1

(1 − 2 (b · x) + b2x2)d (2.92)

Data la seguente legge di trasformazione per il modulo della distanza |x1 − x2|:

|x′1 − x′2| =|x1 − x2|γ

1

2

1 γ1

2

2

(2.93)

dove γi = 1 − 2 (b · xi) + b2x2i , la covarianza dei correlatori implica:

C12

|x1 − x2|∆1+∆2=

C12(γ1γ2)∆1+∆2

2

γ ∆11 γ∆2

2 |x1 − x2|∆1+∆2(2.94)

Il vincolo appena imposto risulta identicamente soddosfatto se e solo se:

∆1 = ∆2

In altre parole due campi quantistici “quasi primari” hanno correlatore non

nullo se e solo se possiedono le medesime dimensioni di scaling. 40 Riassu-

miamo il tutto scrivendo:

〈φ1(x1)φ2(x2)〉 ={

C12|x1−x2|2∆1

se ∆1 = ∆2

0 se ∆1 6= ∆2(2.95)

Dall’equazione precedente deduciamo come sono legate le dimensioni di scaling

di un campo con la sua dimensione anomala η:41

η = 2 − d+ 2∆ (2.96)40questa peculiarità è frutto dell’invarinza sotto trasformazioni conformi speciali, e non

è presente nelle teorie che godono della sola invarianza di scala.41η è normalmente definita a partire dal correlatore a due punti come segue:

〈φ1(x1)φ2(x2)〉 ∼ 1|x1−x2|d−2+η .

56


Una analisi del tutto simile può essere effettuata sulle funzioni di correlazioni

a tre punti. La covarianza rispetto alle rotazioni, traslazioni, e dilatazioni

blocca tali correlatori ad avere la seguente forma:

〈φ1(x1)φ2(x2)φ3(x3)〉 =Cabc123

xa12xb23x

c13

(2.97)

dove xij = |xi − xj| e a, b, c devono soddisfare:42

a+ b+ c = ∆1 + ∆2 + ∆3 (2.98)

Nuovamente l’ulteriore richiesta che il correlatore sia covariante anche sotto

trasformazioni conformi speciali porta alla seguente forma funzionale: 43

〈φ1(x1)φ2(x2)φ3(x3)〉 =C123

x∆1+∆2−∆312 x∆2+∆3−∆123 x

∆3+∆1−∆213

(2.99)

Purtroppo oltre i tre punti l’invarianza conforme non è più in grado di de-

terminare la forma funzionale dei correlatori 44,infatti dai quattro punti in

su si ha la possibilità di costruire rapporti anarmonici, e conseguentemente

ogni funzione di tali rapporti risulta covariante. Una possibile forma per il

correlatore a quattro punti è la seguente:

〈φ1(x1)φ2(x2)φ3(x3)φ4(x4)〉 = f(

x12x34x13x24

,x12x34x14x23

) 4∏

i


58

Capitolo 3

Invarianza conforme in due

dimensioni

L’invarianza conforme in due dimensioni assume un nuovo significato. Co-

me è già emerso nel capitolo precedente il caso bidimensionale richiede una

attenzione particolare. Infatti, come scopriremo, in due dimensioni esistono

una infinità di trasformazioni conformi, che seppure non definite ovunque so-

no localmente conformi. Tali trasformazioni sono tutte le mappe analitiche

dal piano complesso in stesso. All’interno di questa infinità di trasformazioni

si trova un gruppo di trasformazioni definite ovunque ed invertibili che costi-

tuisce il gruppo conforme globale in due dimensioni. 1 L’analisi del capitolo

precedente continua a valere solo quando ci si riferisce a queste ultime tra-

formazioni. L’invarianza conforme locale consente la soluzione esatta delle

teorie conformi bidimensionali. 2

3.1 Il guppo conforme in due dimensioni

Consideriamo le coordinate (z0, z1) del piano, con zi ∈ R, i = 0, 1. Se ef-fettuiamo una trasformazione delle coordinate del tipo zµ → wµ il tensoremetrico controvariante trasforma come:

g µν −→ ∂wµ

∂zα∂w ν

∂zβg αβ (3.1)

1tale gruppo in due dimensioni è un gruppo di Lie a sei parametri.2per soluzione esatta di una teoria di campo conforme bidimensionale intendiamo la

possibilità di calcolare i correlatori con numero di campi arbitrario in modo esatto.

59

3.1 Il guppo conforme in due dimensioni

La condizione che definiva una trasformazione conforme era:

g′µν(w) ∝ g µν(z) (3.2)

o più esplicitamente:3

(

∂w0

∂z0

)2

+(

∂w0

∂z1

)2

=(

∂w1

∂z0

)2

+(

∂w1

∂z1

)2

∂w0

∂z0∂w1

∂z0+ ∂w

0

∂z1∂w1

∂z1= 0

(3.3)

Questa due condizioni sono equivalenti a

∂w1

∂z0=∂w0

∂z1e

∂w0

∂z0= −∂w

1

∂z1(3.4)

oppure a∂w1

∂z0= −∂w

0

∂z1e

∂w0

∂z0=∂w1

∂z1(3.5)

La prima si riconosce essere equivalente alla condizione di Cauchy−Riemannper funzioni antiolomorfe, mentre la seconda definisce le funzioni olomorfe. 4

Questa osservazione motiva l’uso delle coordinate complesse (z, z̄) con le

seguenti regole di trasformazione:

z = z0 + iz1 z0 = 12(z + z̄)

z̄ = z0 − iz1 z1 = 12i

(z − z̄)∂z =

12∂0 − i∂1 ∂0 = (∂z + ∂z̄)

∂z̄ =12∂0 + i∂1 ∂1 = i(∂z − ∂z̄)

(3.6)

Noteremo le derivazioni rispetto alle variabili complesse z e z̄ come ∂ = ∂ze ∂̄ = ∂z̄ rispettivamente. Da osservare che z e z̄ sono da considerarsi due

variabili complesse distinte, e non l’una la complessa coniugata dell’altra.

Quando ciò verrà richiesto si parlerà di ripristino della condizione di realtà.

3stiamo sempre assumendo che la trasformazione conforme sia una deformazione della

metrica standard euclidea ηµν = diag(1, 1).4per funzione olomorfa intendiamo una funzione della variabile z ∈ C che sia derivabile

in senso complesso. Spesso tale termine viene impiegato come sinonimo di funzione anali-

tica, anche se quest’ultimo termine si riferisce al fatto che una funzione sia espandibile in

serie di potenze in una qualche regione del piano di Gauss.

60

Invarianza conforme in due dimensioni

In termini delle coordinate z e z̄ il tensore metrico covariante diviene:

gµν =

(

0 12

12

0

)

(3.7)

mentre il tensore controvariante gµν si ottiene invertendo la precedente ma-

trice, ottenendo:

gµν =

(

0 2

2 0

)

(3.8)

Tali oggetti ci permettono di trasformare un indice covariante olomorfo in un

controvariante antiolomorfo e viceversa. Valgono inoltre le seguenti formule

per il tensore di Levi− Civita: 5

εµν =

(

0 12i

−12i 0

)

εµν =

(

0 −2i2i 0

)

(3.9)

In questo linguaggio lo condizione di Cauchy−Rieman nel caso olomorfo siscrive come:

∂z̄w(z, z̄) = 0

le cui soluzioni sono le mappe olomorfe:

z −→ w(z) (3.10)

È un risultato noto dalla teoria delle funzioni analitiche che le mappe anali-

tiche del piano complesso su se stesso sono trasformazioni conformi.

Il gruppo conforme in due dimensioni è quindi formato dall’insieme di tutte

le mappe analitiche, e l’operazione di composizione di gruppo risulta essere

la composizione fra mappe.

Questo insieme è ovviamente infinito dimensionale, dal momento che una in-

finità di parametri (i coefficienti della serie di Laurent) devono essere specifi-

cati per definire una trasformazione analitica in una qualche regione del piano

complesso. È p

ENTROPIA DI ENTANGLEMENT E TEORIA DEI CAMPI ......Stefano Evangelisti Tesi di laurea in Teoria...

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