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Energia • Lavoro • Energia Cine-ca e Potenziale • Conservazione della Energia • Potenza • Il sistema massamolla 1
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Energia
• Lavoro • Energia Cine-ca e Potenziale • Conservazione della Energia • Potenza • Il sistema massa-‐molla
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Lavoro di una Forza • Forza costante applicata • Se provoca uno spostamento ⇒ compie un “lavoro” • Lavoro fa@o su un pto materiale:
• Eq. dim: [W]=[FL]=[ML2T-‐2] • SI: N·∙m = Joule • cgs: dyne·∙cm = erg • 1erg=10-‐5N·∙10-‐2m=10-‐7J 2
scalare
F Δx
W>0
F Δx W=MAX
F Δx
W<0 F
Δx
W=0
W = F·∙∆r = |F|·∙cosθ ·∙∆x
v1 B
A Bcosθ θ
A·∙B = |A|·∙BA = A·∙B cosθ
Il lavoro • Non fornisce informazioni su:
o tempo impiegato, v, a
• Non c’è lavoro senza spostamento (anche se F>0) • W>0 se F e ∆r hanno lo stesso verso (segno dato da cosθ) o se hanno verso opposto ⇒ W<0 o se F ⊥ ∆r ⇒ W = 0
• sollevamento di una massa: o W di Fext > 0 (F stesso verso di Δx) o W di Fg < 0 (F=-‐mg verso opposto a Δr)
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Fg Fext Δr
y>0
Lavoro di una F variabile
• Cosa succede se F varia lungo Δr ? o divido Δr in spostamen- molto piccoli Δx tali che F=cost entro Δx ⇒ W=Fx·∙∆x o sommo su tud i ∆x: ∑Fx∆x
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∆x F
limΔx→0
FxΔx∑ = Fx dxA
B
∫
A B
Lavoro della F di a7rito
• W di Fg = 0 (Fg⊥∆r) • W di FN = 0 (FN⊥∆r) • W di Fp = Fp·∙x·∙cosθ • W di Fa7r = Fa@r·∙x·∙cos(180°) = -‐|Fa@r|·∙x Fa7r è sempre opposta al moto ⇒ compie sempre lavoro < 0
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Lavoro della Forza-‐peso
Lavoro fa@o sullo zaino (solo y): • dal portatore:
o W = |F| d·∙cosθ = mgh
• dalla gravità: o W = Fg d·∙cosθ = -‐mgh
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-‐mg
h= yf-‐yi F =verso di Δy
h= yf-‐yi
+mg F ∆y
y=0
y>0
Fg = verso opposto a Δy NB: W della F-‐peso
dipende solo da ∆h, non dalla traie@oria
Esempio (*)
• Lavoro compiuto dalla terra sulla luna o Fg sempre centripeta verso la terra
o lo spostamento in ogni istante è lungo v della luna ⇒ Fg ⊥ ∆r ⇒ W = 0 o il lavoro su un percorso chiuso è sempre nullo (F conserva-ve)
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• Applichiamo una F costante ∥v (moto unif. acc.) • a = costante!vf2 = vi
2 + 2a ⋅ Δx ⇒ a =(vf
2 − vi2 )
2 ⋅ Δx
L’Energia cineDca
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W = F ⋅ Δx =maΔx =mvf2 − vi
2
2Δx
$
%&&
'
())Δx = 1
2mvf2 − 1
2mvi2
½mv2 = K, si chiama “energia cine-ca”
Teorema della energia cine-ca:
W = Kf – Ki definizi
one
!
• Se compio W>0 su m ⇒ Km aumenta • Se compio W<0 su m ⇒ Km diminuisce
o cioè una F opposta al moto diminuisce la sua velocità • Se W=0 ⇒ Km = costante
• Dimensioni: [E] =[MV2]=[W]=[FL]=[ML2T-‐2] • Stessa u.dm. del lavoro: SI: Joule
o cgs: 1cm·∙1dyna = 1erg =10-‐2·∙10-‐5 = 10-‐7 J o caloria: 1cal = 4.186 J
L’Energia cineDca
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K scalare
W con forze non costanD (*)
• Stesso risultato anche per casi di F non costante:
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W = F dx = m dvdtdx = m dv
dxdxdtdx = mvdv
A
B
∫A
B
∫A
B
∫A
B
∫ =
= 12mv
2"# $%AB= 1
2mvB2 − 1
2mvA2
v
Esempio (*) • Alzo una massa m da A→B • vA=0, vB>0 • lavoro compiuto su m: W = +mgh = KB -‐ KA mgh = ½mvB2 -‐ ½mvA2
gh = ½(vB2 -‐ vA2) vB2 = vA2+2gh • trovato un risultato noto (vf2 = vi2+2gh) in altro modo • se conosco h posso calcolare vf = √(2W/m) ma o@engo una |v| (v scalare !) non o@engo direzione e verso
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Fext Δr
A
B
vi=0
vf>0
y>0
Bilancio dei lavori
• Sollevo una massa e mi fermo o vA = vB = 0 o W fa@o da me = +mgh o W fa@o da Fg = -‐mgh (Fg opposta ∆r)
• Abbasso m: Wext<0 o W fa@o da me = -‐mgh o W fa@o da Fg = +mgh
• dopo mol- su e giù: o +mgh -‐ mgh = 0 ⇒ Wext su m = 0
o NB: ho speso energia muscolare
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Fext Δr
A
B
vA=0
vB=0
Fg
Lavoro muscolare
• Tenere una massa sollevata : W = 0 • Ma il meccanismo fisiologico per tenere sollevato un peso richiede energia 1. Muscoli stria- (volontari): impulsi nervosi arrivano con-nuamente al muscolo o Il sostegno è dato da contrazioni/rilassamen- con-nui di fibre diverse
à c’è lavoro fisiologico: W > 0 2. Muscoli lisci (involontari): le cellule mantengono la posizione senza consumare energia perchè le molecole rimangono “serrate” à W = 0
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Great pay for no work !
Forze conservaDve
• Il lavoro fa@o per alzare m non dipende dal percorso fa@o ma dalla h raggiunta o infad in W entra solo il termine h=d·∙cosθ che rimane sempre uguale (varia θ)
• Sposto m di ∆x da A → B su un piano con a-rito
o Fa@r sempre opposta ∆x (θ=180°) o percorso lineare: Wa@r=Fa@r·∙∆x o percorso circolare: Wa@r=Fa@r·∙π∆x o parte di W va in “energia interna”
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h θ
h θ
A B
Se W dipende solo dalle posizioni i, f ⇒ F “conserva-va”
Forze conservaDve e non
• NON conserva-ve o a@rito o magne-ca o in generale tu@e quelle che dipendono dal tempo, anche implicitamente a@raverso una dipendenza da v
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• Conserva-ve u F peso u elas-ca u ele@rosta-ca u ... u in generale tu@e quelle costan-
F conserva-va lungo un percorso chiuso ⇒ W = 0
La gravità è conservaDva
W compiuto dalla gravità per alzare m: dipende solo dalla quota raggiunta
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A
B D
C
W = mgxcosθ = -‐mgh
W = = WAC+WCB= = 0 -‐ mgh
W = = WAD+WDB= = -‐ mgh + 0
F⊥r
F⊥r
Forme di Energia
• cine-ca • potenziale • termica • elas-ca • ele@rica • chimica • nucleare • radiante • massa • ...etc...
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“sistema” = modello di una piccola regione dell’universo che ignora i de@agli di ciò che gli è esterno In meccanica l’energia può essere definita come la capacità di un sistema di compiere un lavoro (non vale ∀ sistema, es per scambi termici)
• Se m AàB • Fg compie su m un lavoro: Wg = mgh = mg(yA – yB)
§ Fg↓(<0) ∆r↓(<0) ⇒ W>0 § m acquista |v|2=2gh ⇒ KACQUISITA = ½mv2 = ½m(2gh) = mgh
• Per il Teor. della E cine-ca: Wsu m = Kf – Ki • mgyA – mgyB=½mvB2 -‐ ½mvA2 Energia Potenziale (U) Ha la potenzialità di trasformarsi in energia cine-ca
Energia Potenziale
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Fg
Δr
B(f)
A(i)
vB>0
vA=0
y>0
Se F è conserva3va posso introdurre una funzione U(x) tale che: WF = U(i) – U(f). WF = lavoro fa@o dalla F
U(0) è posto ad un y arbitrario.
m
½mvB2 -‐ ½mvA2 = mgyA – mgyB
mgyi + 12mvi
2 =mgyf + 12mvf
2
Energia Potenziale e Meccanica
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Fg
Δr
B(f)
A(i)
vA>0
vB=0
U+K = costante la ∑ delle energie cine-ca+potenziale si conserva nel tempo ⇒ U+K=cost.
y>0
-‐(Uf – Ui) = -‐∆U Kf – Ki = ∆K
In presenza di a@ri- o altre forze dissipa-ve, una parte della energia meccanica si trasforma in “energia interna” del sistema (calore) ⇒ U + K + EINTERNA = costante
=
l’Energia potenziale
• U dipende solo dal ∆h rispe@o ad una quota di riferimento ma non esiste una scala assoluta o U di una massa sul tavolo può essere calcolata rispe@o al tavolo, rispe@o a terra... etc
o solo ∆U ha un significato fisico
• ∆U tra due pun- non dipende dalla scala (y=0): UB-‐UA=-‐mg∆h
• U definibile per tu-e le F conserva-ve (non solo Fg) o per F non conserva-ve ⇒ U dipenderebbe dal percorso
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B
A UA=mgy
UB=0 y=0
y>0
B
A UA=0
UB=mgy [y<0] y<0
y=0
Trasformazioni di Energia • Se le F sono conserva3ve posso sempre trasformare K ⇔ U
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K=0 UB=mgyB
K=max UC=0
∆K=KC-‐KB >0 ∆U=UC-‐UB <0
B(y=h)
C(y=0) A(y=0)
K=max UA=0
∆K=KB-‐KA <0 ∆U=UB-‐UA >0
y>0
Esempio
(A) energia = tu@a U (v=0) (B) energia = tu@a K (U=0 se y=0 in B) (C) energia = tu@a U (v=0) • In assenza di a@ri- la quota massima raggiunta a dx = quota di partenza a sx
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(A)!
(B)!
(C)!
Il “campo di forza” terrestre (*) Pensiamo alla massa della terra come qualcosa che crea nello spazio circostante una proprietà ve@oriale per cui su ogni massa m nello spazio subisce una certa forza F di a@razione.
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F F
Campo gravitazionale della terra a lunga distanza
Campo gravitazionale della terra sulla superficie
Energia potenziale terrestre (*)
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F ⋅ Δx = −ΔU
F = −ΔUΔx
→−dUdx
⇒U(x) = − F ⋅dxxi
x f
∫
Dato un campo di F conserva-va si può sempre calcolare la funzione U(x) della energia potenziale
Sulla superficie terrestre il campo gravitazionale vale F = -‐mg
Fg = −mg
Uf = − −mg ⋅dy =mg[yf − yi ]i
f
∫ =mgh
L’Energia
Legge che governa tud i fenomeni naturali: <<∃ una quan-tà che può cambiare forma ma il cui totale si conserva sempre nei vari mutamen- subi-. Si chiama “energia”>>.
o non ha ecezioni o esa@a al limite delle conoscenze a@uali
• Non vediamo l’energia ma solo le sue forme • Possiamo calcolare l’energia e o@eniamo sempre lo stesso valore • In un sistema isolato la ∑ di tu@e le forme di energia rimane costante nel tempo: K+U+Einterna+...+...+...=costante 25
Chi arriva prima ? Per entrambi si ha:
o Ui = mkg, Ki = 0 o Uf = 0 Kf = ½mvf2
⇒ Ui+Ki = Uf+Kf mgh = ½mvf2
vf = √(2gh)
1. Ka-a converte subito molta energia U→K, quindi acquista v prima di Paolo 2. In assenza di a@rito, per inerzia Ka-a man-ene la v acquisita (non rallenta mai) 3. In basso Paolo converte anche lui molta U→K fino a raggiungere la stessa v 4. Ma Ka-a è stata + veloce fin dalla partenza
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Ka-a arriva prima !
UrD elasDci
• Ur- in cui si conserva la energia cine-ca K totale • Es: nell’urto tra 2 palle da biliardo, in assenza di a@ri- e se non c’è dispersione in energia interna: ∑Ki = ∑Kf • Note m1,m2,vA,vB possiamo calcolare entrambe le v finali (vA’,vB’) imponendo:
∑pi = cost.
∑Ki = cost 27
12mAvA
2 + 12mBvB
2 = 12mAvA
22 '+ 12mBvB
2 'mAvA +mBvB =mAvA '+mBvB '
Newton’s cradle
• Se parte una pallina da un lato NON è possibile avere 2 palline dall’altro (anche con v rido@a) perchè non si conserverebbero conemporaneamente energia ed impulso.
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La Potenza
P = rapidità con la quale E viene trasferita o Nei sistemi meccanici E viene trasferita dal lavoro, ma la def. vale ∀ metodo di trasporto
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P(istantanea)=limΔt→0WΔt
=dWdt
P(media) =WΔt
=lavorotempo
Eq. dimensionale: [P]=[ET-‐1]=[ML2T-‐3] SI: 1Joule/1s = 1Wa@ Altre: Cavallo-‐vapore 1CV=746 W
P in funzione di F: W = F·∙dcosθ P = W/Δt = F(d/Δt)cosθ =F·∙|v|·∙cosθ
scalare
Esempio
• La capacità di compiere lavoro non dipende solo dalla E richiesta ma anche dalla Potenza
• Salita θ=10∘, v=80Km/h, M=1400Kg, Fa@rito=700 N
Fnecessaria = Fa@rito+Fg(componente//strada) Fnecessaria = Fa@r+Fgsinθ Fnecessaria= 700N+1400[Kg]·∙9.8[m/s2]·∙sin(10°) = 3082 N Pnecessaria = Fnecessaria·∙|v| Pnecessaria = 3082[N]·∙80[km/h](1000/3600)=64.5 kW (92 CV) ⇒ se la pendenza >10o, o si cambia auto o si va + piano
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Il kilowa7ora
• È una unità di energia (non di potenza) • 1kWh = 1E3W·∙3600s = 3.6E6 Joule • 1kWh = energia trasferita in 1 ora
• Una lampadina da 100 W (potenza) in 1h trasferisce 100[W] ·∙ 3600[s] = 360·∙105 [J] di energia ele@rica in energia radiante (luce)
• La bolle@a ele@rica di casa è in kWh ⇒ paghiamo l’energia, non la potenza
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Lavoro sulla molla (allungamento)
• Fel = +kx ⇒ non costante • Per calcolare W non posso usare W=Fdcosθ • MA: variazione di F è lineare in x ⇒ posso usare la F media • Lavoro fa@o sulla molla per ∆x arbitrario: W = Fmedia·∙∆x·∙cosθ= = ½k(xi+xf)·∙(xf-‐xi) = = ½kxf2 -‐ ½kxi2 = -‐∆U ⇒ Energia pot. U associata alla molla = +½kx2
• la molla immagazzina energia ogni volta che la muovo dalla posizione di equilibrio (x=0), sia comprimendo sia allungando
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W sulla molla: F stesso verso ∆x ⇒ cosθ=+1
x>0
F=kx>0
se Ui=0 ⇒ Uf<0 per chi compie W
Lavoro della molla 1. Molla da x<0 verso x=0: W=Fmedia·∙∆x = ½(-‐kxi-‐kxf)·∙(xf-‐xi) = -‐½k(xf2-‐xi2) = ½kxi2 (xf=0) W>0: la molla ha speso W in favore di K
2. Molla da x=0 verso x>0: W=Fmedia·∙∆x = ½(-‐kxi-‐kxf)·∙(xf-‐xi) = -‐½k(xf2-‐xi2) = -‐½kxf2 (xi=0) W<0 perchè F opposta ∆x
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W totale della molla = 0 tra 2 posizioni simmetriche
a@orno all’equilibrio
x>0
F
F ⇒ ∆x ⇒
F ⇐ ∆x ⇒
Energia potenziale della molla Il grafico della U della molla è parabolico: U(x) = ½kx2
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U
elongazione
U(x)
Il sistema è in equilibrio quando dU/dx = 0 Equilibrio stabile quando U = minima
-‐A à 0 W = ½kx2 W > 0 ⇒ ∆U < 0 Pongo U=0 in x=0 ⇒ ∆U=Uf-‐Ui= -‐Ui
-‐∆U = W ⇒ Ui = ½kA2
0 à +A W = -‐½kx2 W < 0 ⇒ ∆U > 0 Pongo U=0 in x=0 ⇒ ∆U=Uf-‐Ui= Uf
-‐∆U = W ⇒ Uf = ½kA2
Ui Uf
xmax=A
Vale per ogni sistema con forze conserva-ve
E del sistema massa-‐molla In assenza di a@ri-, il moto di una massa a@accata ad una molla oscilla senza fine (W=0) tra due estremità ±A (A=ampiezza del moto)
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Compressa: K=0, U=½kA2
F verso dx, K aumenta U diminuisce
All’equilibrio: U=0, K=½mv2 Per inerzia prosegue verso dx K diminuisce U aumenta
Allungata: K=0 U=½kA2
F verso sx, v=0 e poi ricomincia
Per x intermedi U>0 e anche K>0
Energia del sistema massa-‐molla
• Il moto si ripete sullo stesso percorso con le stesse modalità (“moto armonico semplice”) • E totale uguale in ogni istante Etot = K+U = ½mv2 + ½kx2 • Quando il moto raggiunge x=±A
o v=0 o E totale = U = ½kA2
• Nella posizione di equilibrio x=0 o U = 0 o E totale = K = ½mv2
⇒ la E totale dei mo- armonici dipende dalla ampiezza del moto A2 oppure da v2 al pto di equilibrio
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Energia oscillatore armonico
• Umax = ½kA2 quando v=0 (K=0)
• Kmax = ½mv2max quando U=0 • con v=Aω e ω=√(k/m) : à K= ½mv2max
= ½mA2ω2 = ½mA2(k/m) = ½kA2 ⇒ Kmax
= Umax = ½kA2
• In qualunque punto x (o tempo t) del percorso K+U=cost à Etot = ½kA2 sempre • l’energia di un oscillatore armonico è una costante del moto (non dipende da t) ed è proporzionale ad A2 (ampiezza max)
