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Il P

roble

m S

olv

ing

I LINCEI PER UNA NUOVA DIDATTICA NELLA SCUOLA: UNA RETE NAZIONALE

Dott. Giuseppe Guarino Dott.ssa Rossella Albano

Associazione

pariMpari ONLUS

INCONTRO DI FORMAZIONE Università degli Studi della Basilicata

Potenza - 16 gennaio 2019

2

Il P

roble

m S

olv

ing

CAPACITA’ DI RISOLVERE

PROBLEMI

3

Il P

roble

m S

olv

ing

Ho 4 gettoni a due facce ognuna riportante una lettera

dell’alfabeto. Le lettere non si ripetono. Quelle in gioco sono

A, E, I, O, P, R, S, V

Ho tirato 4 volte i gettoni e combinando le lettere sulle facce

superiori, ho ottenuto le 4 parole scritte sopra.

Ricostruire

i lati di

ciascun

gettone

4

Il P

roble

m S

olv

ing

Ricostruire

i lati di

ciascun

gettone

Ho 4 gettoni a due facce ognuna riportante una lettera

dell’alfabeto. Le lettere non si ripetono. Quelle in gioco sono

A, E, I, O, P, R, S, V



5

Il P

roble

m S

olv

ing

Ricostruire

i lati di

ciascun

gettone

SOLUZIONE

I - O

A – E

P – S

R – V

Ho 4 gettoni e in ciascuna delle 2 facce di ognuno è impressa

una diversa lettera: sono in gioco A, E, I, O, P, R, S, V



6

Il P

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m S

olv

ing

Ricostruire

i lati di

ciascun

gettone


una diversa lettera



7

Il P

roble

m S

olv

ing

Ricostruire

i lati di

ciascun

gettone

SOLUZIONE

A - U

E - O

M - P

R - S


una diversa lettera



8

Il P

roble

m S

olv

ing

Il Gelataio

Un gelataio ambulante vende solo due tipi di coni gelato: da

1 euro e da 1,5 euro.

Un signore si avvicina e senza aggiungere una parola

consegna 2 euro senza dire una parola.

Il gelataio pur non avendo mai

visto prima il signore, capisce

che il signore desidera il cono

da 1 euro e 50.

Perchè?.

Quesiti di Ennio Peres

9

Il P

roble

m S

olv

ing

Il Gelataio

Un gelataio ambulante vende solo due tipi di coni gelato: da

1 euro e da 1,5 euro.

Un signore si avvicina e senza aggiungere una parola

consegna 2 euro senza dire una parola.

Il gelataio pur non avendo mai

visto prima il signore, capisce

che il signore desidera il cono

da 1 euro e 50.

Perchè?.

Probabilmente

ha pagato con

due monete da

1 EURO

10

Il P

roble

m S

olv

ing

L’età del nonno nell’anno 2000

Sapreste dire quanti anni aveva il

nonno nel 2000 sapendo che:

1) è nato nel 20° secolo

2) sommando le cifre del suo anno di nascita si

ottiene un numero divisibile per 4

3) la moglie ha un anno in meno di lui,

sommando le cifre del anno di nascita della

nonna si ottiene un numero divisibile per 4

4) sommando l’età della nonna e quella del

nonno si ottiene un numero maggiore di 100.

11

Il P

roble

m S

olv

ing












L’ultima cifra non dovrà solo

cambiare, ma per essere la

somma delle cifre di entrambi

gli anni di nascita divisibile per

4 l’ultima dovrà anche….?

12

Il P

roble

m S

olv

ing












…….necessariamente

essere ZERO

13

Il P

roble

m S

olv

ing












14

Il P

roble

m S

olv

ing

Etichette sbagliate

Abbiamo tre contenitori, in uno ci sono solo

arance, in uno solo mele e nell’altro arance e

mele (misto).

Il fruttivendolo ha sicuramente sbagliato a

scrivere le etichette su tutti e tre i contenitori.

Siamo in grado di poter rettificare le etichette

prendendo un solo frutto da uno solo dei

contenitori a nostra scelta?

MELE ARANCE MISTO

15

Il P

roble

m S

olv

ing

Etichette sbagliate

Rappresentiamo le possibili situazioni prelevando un

solo frutto da uno solo dei contenitori on un grafo

arancia

mela

arancia

misto

mela

arancia

mela

misto

ARANCE

misto misto

mela

arancia

mela

arancia

MISTO MELE

16

Il P

roble

m S

olv

ing

Etichette sbagliate

Rappresentiamo le possibili situazioni prelevando un

solo frutto da uno solo dei contenitori on un grafo

arancia

mela

arancia

misto

mela

arancia

mela

misto

ARANCE

misto misto

mela

arancia

mela

arancia

MISTO MELE

17

Il P

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m S

olv

ing Giochi Matematici

18

Il P

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m S

olv

ing

Quesito di Vincenzo Nardozza

Nello spogliatoio di un centro sportivo ci sono 100

armadietti, tutti chiusi; i 100 ragazzi che lo frequentano

fanno un gioco: il primo apre tutti gli

armadietti, il secondo richiude gli armadietti 2,4,6 etc, il

terzo opera sugli armadietti 3,6,9,. . . chiudendo quelli

aperti e aprendo quelli chiusi, il quarto sugli armadietti

4,8,12,. . . allo stesso modo e così via.

Dopo che ha agito il 100mo ragazzo, quali

armadietti sono rimasti aperti?

19

Il P

roble

m S

olv

ing

Quesito di Vincenzo Nardozza

RICORDIAMO LA FORMULA CHE

ESPRIME IL NUMERO DEI

DIVISORI DI UN DATO NUMERO:

Esempio: 28 è divisibile per 1, 2, 4, 7, 14, 28

Infatti esso si scrive come 2^2 * 7^1 da cui si

ricava: d(28) = (2+1)*(1+1) = 6

20

Il P

roble

m S

olv

ing

Esempio: 28 è divisibile per 1, 2, 4, 7, 14, 28

Infatti esso si scrive come 2^2 * 7^1 da cui si

ricava: d(28) = (2+1)*(1+1) = 6

RICORDIAMO LA FORMULA CHE

ESPRIME IL NUMERO DEI

DIVISORI DI UN DATO NUMERO:

L’armadietto n.28 rimarrà

chiuso, perché l’alunno n.1

apre, il n.2 chiude, ……,

l’alunno n.28 chiude….quindi?

21

Il P

roble

m S

olv

ing

Il numero d(N) deve essere necessariamente

dispari pertanto ogni esponente “ei” deve

essere pari e quindi

il numero N deve essere un quadrato

Esempio: armadietto 36 = 2^2*3^2 da

cui d(36)=9 infatti esso è divisibile per

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. L’alunno

n.36 riaprirà l’armadietto

22

Il P

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m S

olv

ing

Il Gioco del peperoncino piccante

Inseriamo nel contenitore 12 caramelle e un

peperoncino. Nel nostro caso utilizzeremo 12

quadratini con due colori.

In un contenitore sono vi sono

un certo numero di caramelle (o

cioccolate) e un peperoncino.

A turno due giocatori pescano

dal contenitore 1 o 2 o 3

caramelle. L’ultimo che pesca il

peperoncino ha perso.

23

Il P

roble

m S

olv

ing




quadratini con due colori.

SE SI CONOSCE LA

STRATEGIA DI GIOCO,

COLUI CHE INIZIA

HA PERSO

24

Il P

roble

m S

olv

ing


SE SI CONOSCE LA STRATEGIA DI GIOCO,

COLUI CHE INIZIA HA PERSO

Proviamo a disporre le pedine in modo differente e

vediamo se la strategia di gioco è più chiara

25

Il P

roble

m S

olv

ing

Il Gioco del

peperoncino piccante

26

Il P

roble

m S

olv

ing

Il Gioco del

peperoncino piccante

STARTEGIA VINCENTE

Se il giocatore 2 prenderà un

certo numero x di tessere, allora

i giocatore 1 prenderà un

numero di tessere pari al

complementare di x rispetto a 4

27

Il P

roble

m S

olv

ing




quadratini di legno bicolore.

In un contenitore sono vi sono un certo numero di

caramelle (o cioccolate) e un peperoncino.

A turno due giocatori pescano dal contenitore 1 o 2 o

3 caramelle. L’ultimo che pesca il peperoncino ha

perso.

E SE

CONSIDERIAMO 13

CARAMELLE e UN

PEPERONCINO?

28

Il P

roble

m S

olv

ing



COLUI CHE INIZIA HA VINTO



Qual è la mossa vincente del

primo giocatore?

Il P

roble

m S

olv

ing






E SE NE

CONSIDERIAMO

14, 15, 16 …

QUAL’E’ LA REGOLA

GENERALE?

30

Il P

roble

m S

olv

ing






VALE LA REGOLA:

31

Il P

roble

m S

olv

ing


Chi propone il gioco non inizia per primo:

Chi propone il gioco inizia per primo:

32

Il P

roble

m S

olv

ing Saltelli numerici

Ideato dall’associazione pariMpari

33

Il P

roble

m S

olv

ing

SALTELLI NUMERICI

34

Il P

roble

m S

olv

ing

SALTELLI NUMERICI

Griglia con riferimenti cartesiani Regole:

•Scegliere una riga su cui giocare

•Disporre le tessere in ordine decrescente lasciando una

cella vuota sulla destra

•Spostare e/o saltare le tessere in modo da ottenere un

ordinamento crescente

•Si può saltare solo una tessera alla volta

35

Il P

roble

m S

olv

ing

SALTELLI NUMERICI

1 2 3 4 1 3 4 2

ESEMPIO

Posizioniamoci su riga 4

SI

1 2 3 4 NO

1 3 4 2 1 3 4 2 SI

1 3 4 2 SI 1 3 4 2

1 3 4 2 1 2 3 4 SI

36

Il P

roble

m S

olv

ing

SALTELLI NUMERICI

3 4 5 6 2

ESEMPIO

Posizioniamoci su riga 6

1 6

4 3 2 1 5 6 6

Effettuando dei saltelli o

degli spostamenti nel

rispetto delle regole viste in

precedenza, bisogna

raggiungere lo scopo

37

Il P

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m S

olv

ing

1 2 SALTELLI NUMERICI

-- - - - NUMERO PARI DI TESSERE

38

Il P

roble

m S

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ing

3 MOSSE

1 2 SALTELLI NUMERICI -- - - -

NUMERO PARI DI TESSERE

39

Il P

roble

m S

olv

ing

1 2 3 4

SALTELLI NUMERICI -- - - -


40

Il P

roble

m S

olv

ing

1 2 3 4

10 MOSSE



41

Il P

roble

m S

olv

ing

1 2 3 4 5 6



42

Il P

roble

m S

olv

ing

21 MOSSE

5 6 1 2 3 4



43

Il P

roble

m S

olv

ing



Numero

Tessere Numero

MOSSE gap gap

2 3

4 10 7

6 21 11 4

8 36 15 4

10 55 19 4

12 78 23 4

14 105 27 4

16 136 31 4

18 171 35 4

20 210 39 4

22 253 43 4

Nella Tabella

notiamo una certa

struttura ricorsiva

44

Il P

roble

m S

olv

ing

SALTELLI NUMERICI

TOT 21 MOSSE

Ricerca di un

metodo risolutivo

ottimale

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

3 mosse

4 mosse

1 2 3 4 5 6 3 mosse

1 2 3 4 5 6 4 mosse

45

Il P

roble

m S

olv

ing

SALTELLI NUMERICI

3 mosse

4 mosse

1 2 3 4 5 6 Tot 21 mosse

1 2 3 5 6 4

1 2 3 5 6 4

Analizziamo le mosse in relazione al numero di pezzi = n

Blocco 2 (n+1) mosse

46

Il P

roble

m S

olv

ing

SALTELLI NUMERICI

TOT 21 MOSSE

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6


Osservazione: in ogni blocco il numero 1 avanza di 2 posizioni

47

Il P

roble

m S

olv

ing

SALTELLI NUMERICI

1 2 3 4 5 6

1 2 3 5 6 4

1 2 3 5 6 4

I blocchi sono 3 cioè n/2 Ogni blocco ha n+1 mosse


TOTALE MOSSE

n(n+1)/2

MOSSE TOTALI

48

Il P

roble

m S

olv

ing

3


NUMERO DISPARI DI TESSERE 1 2

49

Il P

roble

m S

olv

ing

3


NUMERO DISPARI DI TESSERE 1 2

5 MOSSE

50

Il P

roble

m S

olv

ing

3


NUMERO DISPARI DI TESSERE

1 2 5 4

51

Il P

roble

m S

olv

ing

3



1 2 5 4 16 MOSSE

52

Il P

roble

m S

olv

ing


NUMERO DISPARI DI TESSERE Numero

Tessere Numero

MOSSE gap gap

3 5

5 16 11

7 31 15 4

9 50 19 4

11 73 23 4

13 100 27 4

15 131 31 4

17 166 35 4

19 205 39 4

21 248 43 4

23 295 47 4

Nella Tabella

notiamo una certa

struttura ricorsiva

53

Il P

roble

m S

olv

ing

SALTELLI NUMERICI

TOT 16 MOSSE

Ricerca di un metodo

risolutivo ottimale

1 2 3 4 5 3 mosse

3 mosse

3 mosse

2 mosse

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

Appena il numero 1 si colloca in testa, l’ultima tessera resta fissa, perché dopo con un salto si troverà in posizione.

54

Il P

roble

m S

olv

ing

SALTELLI NUMERICI

TOT 16 MOSSE

1 2 3 4 5 3 mosse

2 mosse 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

I numeri DISPARI

vanno in posizione

I numeri PARI

vanno in posizione

Analizziamo le mosse in relazione al numero di pezzi = n

FASE FINALE

55

Il P

roble

m S

olv

ing

SALTELLI NUMERICI

TOT 16 MOSSE

Ricerca di un metodo

risolutivo ottimale

1 2 3 4 5

Blocco 1 Totale (n+1) mosse

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

Blocco 2 Totale (n+1) -1 mosse

In definitiva per portare l’1 in posizione occorrono (n-1)(n+1)/2 - 1 mosse

I blocchi sono 2 cioè (n-1)/2

56

Il P

roble

m S

olv

ing

SALTELLI NUMERICI

MOSSE TOTALI

1 2 3 4 5 n-2 si muovono.

Testa e coda restano fissi

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

In definitiva: (n-1)(n+1)/2 - 1 + (n-2) + (n-1)/2 =

n(n+1)/2 + (n–4)

FASE FINALE

(n-1)/2 numeri pari saltano.

La

Pal

est

ra d

i Arc

him

ede

Le relazioni ricorsive sono un valido strumento per lo studio di una

serie di problemi diversi e sono presenti in diversi giochi.

Esempio:

Supponiamo che un operaio guadagni 10 euro al giorno.

Quanti euro possiederà l’operaio dopo 20 giorni?

Se an è la quantità di euro in possesso al giorno n si avrà:

an = an-1 +10 dove 10 è la costante c.

Si otterrà che per ogni n intero positivo: an = a0 +10n dove an è la

quota in possesso nel giorno in cui si inizia l’osservazione.

La

Pal

est

ra d

i Arc

him

ede

Carl Friedrich Gauss, uno dei più grandi matematici della storia, all'età di

otto anni risolse questo problema che gli sottopose il maestro per tenerlo

occupato , per i numero fino a 100.

In pochi secondi diede la soluzione = 5050. Gauss notò che:

1 2 3 4 ... 50 51 ... 99 100 +

100 99 98 97 ... 51 52 ... 2 1

------------------------------------------------- =

101 101 101 101 101 101 101 101

Quindi la somma delle 100 coppie vale 100101 = 10100

Dividendo per due abbiamo la somma cercata.

La somma dei primi 100 numeri è 100101/2.

𝑖 = 1 + 2 + 3 + 4… .+𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)

2

𝑛

𝑖=1

S(n) = S(n-1)+n e S(n) = n(n+1)/2 = è la formula chiusa

S(n) = n(n+1)/2

La

Pal

est

ra d

i Arc

him

ede

S(n) = 2+4+6+……+2n =

= 2(1+2+3+…+n)=2(n(n+1))/2 = n(n+1)

2𝑖 = 2 + 4 + 6 + ⋯+ 2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)

𝑛

𝑖=1

S(n) = 1+3+5+……+(2n-1) =

=(2-1)+(4-1)+(6-1)+…+(2n-1)=(2+4+6..+2n)-1(n)=

= n(n+1)-n = 𝑛2+n-n = 𝑛2

2𝑖 − 1 = 1 + 3 + 5 +⋯+ (2𝑛 − 1) = 𝑛2𝑛

𝑖=1

Il P

roble

m S

olv

ing

SALTELLI NUMERICI Formule Ricorsive


Num

Tess Num

Mosse gap gap

a1 2 3

a2 4 10 7

a3 6 21 11 4

a4 8 36 15 4

a5 10 55 19 4

a6 12 78 23 4

a7 14 105 27 4

a8 16 136 31 4

a9 18 171 35 4

a10 20 210 39 4

a11 22 253 43 4

60

Formula Attesa

n(n+1)/2

Il P

roble

m S

olv

ing

SALTELLI NUMERICI Formule Ricorsive


Num

Tess Num

Mosse gap gap

a1 3 5

a2 5 16 11

a3 7 31 15 4

a4 9 50 19 4

a5 11 73 23 4

a6 13 100 27 4

a7 15 131 31 4

a8 17 166 35 4

a9 19 205 39 4

a10 21 248 43 4

a11 23 295 47 4

61

Formula Attesa

n(n+1)/2+(n-4)

La

Pal

est

ra d

i Arc

him

ede

Molti insegnanti sprecano il loro tempo facendo domande che mirano a scoprire ciò che lo studente non sa mentre la vera arte dell'interrogare è quella di scoprire ciò che lo studente sa, o è in grado di imparare. Albert Einstein

62

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