Corso di COMUNICAZIONI ELETTRICHE

Docente : Prof. Roberto Gaudino Tutore : Prof. Vito De Feo

Esercitazione n° 6

Trasmissione di Simboli Isolati

Anno Accademico 2007-2008

Esercizio 1 Quale delle forme d'onda h(t) in fig.1 e la risposta all'impulso del filtro adattato al segnale s(t)?

Soluzione

Considerando che la risposta all’impulso di un filtro adattato è il complesso coniugato del segnale s(t) in (-t):

( ) ( )tsth −= *

Nel caso proposto il segnale s(t) non ha parte immaginaria, quindi è sufficiente leggere al contrario sull’asse dei tempi il segnale stesso, trovando che la risposta cercata è il segnale h2(t):

Esercizio 2 Qual e il valore della distanza minima d per la costellazione di fig. 2?

Soluzione

Premessa: Considerando che la figura descritta dai punti s1, s2, s3, s4, è un quadrato, la diagonale s1, s3, è uguale a L 2 ; sottraendo la distanza s5, s6,e dividendo per due otteniamo il secondo cateto del triangolo formato da s1, s5 con la diagonale s1, s3. La soluzione algebrica è:

22

15 222

2),( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

DLDssd

Sapendo che DL

231+

= otteniamo

( ) DDDDDDDDDD=+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

43

423

4222312

2

222222

quindi la distanza s5, s6 è uguale alla distanza s1, s5 che la distanza minima ed è pari a D.

Esercizio 3 In un sistema di trasmissione numerica si usano due segnali che, rispetto ad una base ψ1(t) e ψ2(t) hanno componenti:

[ 1,11 −=s ] [ ]1,12 −=s

Il ricevitore proietta il segnale ricevuto r(t) lungo ψ1(t) e lungo ψ2(t) ottenendo le due componenti r1 e r2, rispettivamente. Quale relazione deve intercorrere tra r1 e r2 affinché il decisore ottimo decida che più probabilmente è stato trasmesso il segnale s1(t)?

Soluzione

Affinché il decisore decida che più probabilmente sia stato trasmesso il segnale s1(t) deve trovarsi nella parte superiore della bisettrice della base; questo si verifica per

12 rr ⟩

Esercizio 4 Calcolare l'energia media E della costellazione di 8 segnali indicata in fig. 3

Soluzione

L'energia media si calcola sommando l'energia di ogni simbolo intesa come distanza al quadrato dall'origine degli assi. Data la formule generale:

∑=

=M

iimedia d

ME

1

21 (1.1)

Per la costellazione in figura 3 vale:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 222225,59424

813424

81 dddddEmedia =+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +=

E le grandezze caratteristiche sono:

dd 2min = 2min 2dE = 2

max 9dE = Esercizio 5

Calcolare l'energia media E della costellazione di 8 segnali indicata in fig. 4

Soluzione

Applicando la formula 1.1

22

2

2

2 5,94

94481

22344

81 dddddEmedia =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

E le grandezze caratteristiche sono:

dd 2min = 2min dE =

2max 18dE =

Esercizio 6

Calcolare l'energia media E della costellazione di 8 segnali indicata in fig. 5

Soluzione

Applicando la formula 1.1

( )[ ] [ ] 22222 5,216481244

81 dddddEmedia =+=+=

E le grandezze caratteristiche sono:

dd =min 2min dE =

2max 4dE =

Esercizio 7

Calcolare l'energia media E della costellazione di 8 segnali indicata in fig. 6

Soluzione

Applicando la formula 1.1

( ) ( ) [ ] 222225328

8122424

81 dddddEmedia =+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +=

E le grandezze caratteristiche sono:

dd 2min = 2min 2dE =

2max 8dE =

Esercizio 8 Si deve trasmettere un segnale 4-PSK su un canale di banda BT = 1 kHz. Qual e la massima velocità di trasmissione dei bit, se si usa un filtro a coseno rialzato con roll-off 0.5?

Soluzione Un segnale 4-PSK significa che trasmette con 4 simboli, quindi su 2 bit. Date le relazioni:

T

S BrolloffT2

1+= (1.2)

S

s TR 1

= (1.3)

sb nRR = (1.4) si calcola:

msTS 75,0102

5,013 =×

+=

sksimboliRs /33,1=

skbitnRR sb /66,233,12 =×==

Esercizio 9 Si deve trasmettere un segnale 8-PSK su un canale di banda BT = 1 kHz. Qual e la massima velocità di trasmissione dei bit, se si usa un filtro a coseno rialzato con roll-off 0.5?

Soluzione

Un segnale 8-PSK significa che trasmette con 8 simboli, quindi su 3 bit. Utilizzando le formule (1.2), (1.3) ed (1.4) otteniamo una velocità di trasmissione pari a:

skbitnRR sb /9,333,13 =×==

Esercizio 10 Si deve trasmettere un segnale 16-QAM su un canale di banda BT = 1 kHz. Qual e la massima velocità di trasmissione dei bit, se si usa un filtro a coseno rialzato con roll-off 0.5?

Soluzione

Un segnale 16-QAM significa che trasmette con 16 simboli, quindi su 4 bit. Utilizzando le formule (1.2), (1.3) ed (1.4) otteniamo una velocità di trasmissione pari a:

skbitnRR sb /32,533,14 =×== Esercizio 11 In un sistema di trasmissione numerica si usano 4 segnali, cui corrispondono i vettori

[ ]0,11 Es = [ ]1,02 Es = [ ]0,13 −= Es [ ]1,04 −= Es Qual è la regione di decisione per il segnale s1=?

Soluzione:

Supponendo di aver trasmesso un certo segnale, corrispondente a un dato punto p dello spazio, la regione di decisione è costituita da un poliedro a ν dimensioni contenente al suo interno il punto p e le cui facce sono gli iperpiani luoghi dei punti a egual distanza da p e dai punti ad esso vicini. Indichiamo con r la distanza fra p e il punto più vicino. Consideriamo ora un’ipersfera a ν dimensioni di raggio r/2, centrata su p. Tale sfera sta sicuramente tutta all'interno del poliedro a ν dimensioni che rappresenta la regione di decisione associata a quel punto, e pertanto la probabilità di errore condizionata alla trasmissione del punto p è sicuramente maggiorata dalla probabilità che,per effetto del rumore, il punto ricevuto sia al di fuori di tale sfera.

In base a queste considerazioni possiamo concludere che la regione di decisone per la costellazione in figura è il luogo dei punti ove vale la relazione:

21 rr ⟩

Esercizio 12

In un sistema di trasmissione numerica si usano 4 segnali, cui corrispondono i vettori

[ ]0,11 Es = [ ]1,02 Es = [ ]0,13 −= Es [ ]1,04 −= Es Qual è la regione di decisione per il segnale s2=?

Soluzione:

In base alle considerazioni dell’esercizio 11possiamo concludere che la regione di decisone per la costellazione in figura è il luogo dei punti ove vale la relazione:

12 rr ⟩

Esercizio 13: In un sistema di trasmissione numerica si usano 4 segnali, cui corrispondono i vettori

[ ]0,11 Es = [ ]1,02 Es = [ ]0,13 −= Es [ ]1,04 −= Es Qual è la regione di decisione per il segnale s3=?

Soluzione:

In base alle considerazioni dell’esercizio 11possiamo concludere che la regione di decisone per la costellazione in figura è il luogo dei punti ove vale la relazione:

21 rr ⟩−

Esercizio 14 Stimare la probabilità d'errore sul simbolo per la costellazione di 8 segnali indicata in figura 7, usando la formula "union bound".

Soluzione: Premessa: Considerando strutture di segnali di tipo multidimensionale in generale non è possibile trovare espressioni in forma chiusa per la probabilità di errore. Si può invece ricavare un limite superiore. Tale limite superiore è detto “Union Bound”, in quanto ottenuto utilizzando le proprietà della probabilità di un evento definito come unione di altri eventi. La probabilità di errore sul simbolo P(E) e tenendo conto del numero n di bit per simbolo è:

( ) [ ] ( )enPeP=EP n ≈−− )(11 passando alla probabilità di errore equivalente sul bit P(e), si ottiene:

( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

0

min

22n12

Nderfc=eP

n

(1.5)

Nel nostro caso, tenendo conto che bisogna stimare la probabilità di errore per costellazioni formate tutte da 8 simboli, abbiamo un numero costante di bit (n=3), quindi l'unico parametro che influisce è la distanza minima tra i simboli.

Quindi per questa costellazione otteniamo:

dd 2min = e la probabilità di errore, applicando la formula (1.5), diventa:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

067

Nderfc=eP

Esercizio 15 Stimare la probabilità d'errore sul simbolo per la costellazione di 8 segnali indicata in figura 8, usando la formula "union bound".

Soluzione:

In base alle considerazioni fatte nell’esercizio 14, per questa costellazione otteniamo:

dd 2min = e la probabilità di errore, applicando la formula (1.5), diventa:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

022

67

Nderfc=eP

Esercizio 16 Stimare la probabilità d'errore sul simbolo per la costellazione di 8 segnali indicata in figura 9, usando la formula "union bound".

Soluzione:

In base alle considerazioni fatte nell’esercizio 14, per questa costellazione otteniamo:

dd =min e la probabilità di errore, applicando la formula (1.5), diventa:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0267

Nderfc=eP

Esercizio 17 Stimare la probabilità d'errore sul simbolo per la costellazione di 8 segnali indicata in figura 10, usando la formula "union bound".

Soluzione:

In base alle considerazioni fatte nell’esercizio 14, per questa costellazione otteniamo:

dd 2min = e la probabilità di errore, applicando la formula (1.5), diventa:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

022

67

Nderfc=eP

Osservando che la probabiltà di errore, utilizzando la formula di 'union bound', risulta inversamente proporzionale alla distanza tra i vari simboli, possiamo concludere che la costellazione di Fig. 7 ha una probabilità di errore miniore rispetto alle altre costellazioni perché ha la distanza minima maggiore.

Esercizio 18 In un sistema di trasmissione numerica si usano 4 segnali che, rappresentati su un'opportuna base, corrispondono ai seguenti 4 vettori:

[ ]2,0,11 =s [ ]2,1,12 −=s [ ]2,3,13 −=s [ ]0,0,04 =s

Il segnale ricevuto, proiettato sulla stessa base fornisce il vettore:

[ ]2,1,2,0,5,0=r

Qual e il segnale che più probabilmente è stato trasmesso?

Soluzione: Per valutare il segnale che più probabilmente è stato trasmesso bisogna calcolare la distanza tra r ed i segnali si, applicando la seguende formula:

( ) ( ) ( )222),( izziyyixxi srsrsrsrd −+−+−= (1.6)

E per i segnali si otteniamo i seguenti risultati:

964,0),( 1 =srd

711,1),( 2 =srd

281,4),( 3 =srd

315,1),( 4 =srd Dato che d(r,s1) risulta essere la distanza minore, ed ha una grande differenza rispetto agli altri, possiamo concludere che il segnale trasmesso è sicuramente s1. Esercizio 19 Calcolare la probabilità d'errore sul simbolo esatta per la costellazione indicata in fig. 11.

Soluzione:

Dalla visione della figura, per questa costellazione otteniamo

4min == dd Ed una trasmissione di 8 simboli, che corrisponde ad un numero di bit pari a

3=n

Utilizzando la formula 1.5, la probabilità di errore diventa:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0

267

Nerfc=eP

Esercizio 20 In un sistema di trasmissione numerico si usano 4 segnali, cui corrispondono i seguenti 4 vettori in uno spazio a 4 dimensioni:

[ ]0,0,0,11 =s

[ ]0,0,1,02 −=s

[ ]0,1,0,03 =s

[ ]1,0,0,04 =s

Calcolare la probabilità d'errore sul simbolo usando l'approssimazione "union bound".

Soluzione: Esaminando i 4 segnali si possiamo affermare che formano una base in R4, dato che sono linearmente indipendenti fra loro, infatti il loro prodotto scalare è nullo a due a due. Con riferimento alla formula 1.6, si calcolano le distanze tra i segnali presi a due a due, e troviamo che la distanza è uguale per tutti ed è pari a

2min =d Per una costellazione di 4 simboli otteniamo un numero di bit pari a

2=n

Utilizzando la formula 1.5, la probabilità di errore diventa:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

022

43

Nerfc=eP

Esercizio 21 In un sistema di trasmissione numerico si usa la costellazione indicata in fig. 12 (quattro segnali in uno spazio monodimensionale).

Il segnale ricevuto r(t) viene proiettato sul versore ψ1(t) e si ottiene il valore r1 = -0.5. Quale segnale è stato più probabilmente trasmesso?

Soluzione:

Analizzando la Fig. 12 possiamo vedere che il segnale trasmesso è sicuramente s0, dato che è il più vicino a r1.

Esercizio 22 Occorre trasferire dei dati binari da un calcolatore ad un altro utilizzando una modulazione numerica. Si decide di prendere i bit a gruppi di otto (1 byte) e di trasmettere un segnale per ogni byte. Quanti segnali diversi devono essere presenti nella costellazione?

Soluzione: Considerando che in una costellazione sono presenti tutte le possibili combinazioni associabili ai bit d’informazione, la formula che determina il numero di simboli presenti è:

nsimbolidinumero 2= dove n rappresenta il numero di bit. Nel caso dell’esercizio si vogliono trasmettere 8bit (1 byte), di conseguenza il numero di simboli sarà pari a:

25628 ==simbolidinumero

Esercizio 23 Disegnare le regioni di decisione per la costellazione di punti indicata in fig. 13.

Soluzione:

Le linee tratteggiate rappresentano le regioni di decisione.

Esercizio 24 Disegnare le regioni di decisione per la costellazione di punti indicata in fig. 14.

Soluzione:

Le linee tratteggiate rappresentano le regioni di decisione. Esercizio 25 Si calcoli la probabilità d'errore per la modulazione OOK (on-off keying) caratterizzata dalla trasmissione di due segnali equiprobabili di coordinate

[ ]01 =s [ ]As =2 ed esprimerla in funzione dell'energia media E trasmessa dal modulatore in un intervallo T. Esercizio 26 Si supponga di trasmettere una modulazione binaria con i due segnali:

TuTtts )/2sin()(1 π= TuTtts )/2cos()(2 π=

•trovare la base dei segnali che consente di rappresentare s1(t) e s2(t) •disegnare la costellazione e le regioni di decisione ottime •progettare il demodulatore a filtri adattati •calcolare la probabilita d'errore