Elettrostatica(V04)

F.BloisiFisica II

UNIVERSITÀ DI NAPOLI “FEDERICO II”FACOLTÀ DI INGEGNERIA

Corso di Laurea inINGEGNERIA ELETTRONICA

Modulo (6 CFU)di

FISICA GENERALE IIDocente: F. Bloisi

a.a. 04/05

Rev. 1.2

--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---

F.BloisiFisica IIFISICA GENERALE II

Premessa a.a. 04/05

Rev. 1.2

Napoli, febbraio 2005Il docente del corso

F.Bloisihttp://people.na.infn.it/~bloisi

Questi appunti non vogliono né potrebbero esseresostitutivi né delle lezioni né di un libro di testo. Sonosemplicemente copie delle trasparenze usate durantele lezioni, ed hanno esclusivamente lo scopo dipermettere agli studenti di seguire con maggioreprofitto la lezione.

Anche se ho posto una certa cura nel rivedere letrasparenze, sarò grato a chiunque mi segnalieventuali errori o imprecisioni.



Sommario del Corso

INTRODUZIONE E RICHIAMIELETTROSTATICACORRENTE ELETTRICAed elementi diCIRCUITI ELETTRICIMAGNETOSTATICAELETTROMAGNETISMOed elementi diONDE ELETTROMAGNETICHE

a.a. 04/05

Rev. 1.2



Testi a.a. 04/05

Rev. 1.2

P. Mazzoldi, M. Nigro, C. VociElementi di Fisica, Vol.2 (Elettromagnetismo - Onde) - EdiSES(citato come MNV2 nei riepiloghi delle lezioni)

S. Bobbio, E. GattiElementi di elettromagnetismo- BoringhieriC. Mencuccini, V. SilvestriniFisica II - Elettromagnetismo,Ottica - Liguori

Per un maggiore approfondimento,che comporta un notevole uso dellamatematica:

P. M. Fishbane, S. Gasiorowicz,S. T. ThorntonFisica per scienze ed ingegneria,Vol.2 - EdiSESR. Serway, BeichnerFisica per scienze ed ingegneria,Vol.2 - EdiSES

Per una lettura più scorrevole, dovutaad un approccio “fenomenologico” ead un ridotto uso della matematica:



INTRODUZIONE E RICHIAMI


F.BloisiFisica II


F.BloisiFisica II

IN

Introduzione e richiamiMetodi e campi di indagine della Fisica

Meccanica classicaStudio del moto di punti materiali,sistemi rigidi, fluidi

Studio delle onde elastiche (acustica)

Termodinamica classicaStudio dei fenomeni connessi conla temperatura ed il calore

ElettromagnetismoStudio dei fenomeni connesi conle cariche elettriche

Studio delle onde elettromagnetiche(onde radio, luce, microonde, etc.)

Fisica “moderna”Meccanica quantisticaRelatiità…

FisicaStudio dei fenomeni naturali conmetodo scientifico (o sperimentale)

Metodo sperimentaleOsservazione (esperimento)Deduzione (legge fisica)Induzione (teoria fisica / modellomatematico)Verifica (esperimento)

Teoria fisicaDefinizioni operative, ripetibili daqualunque osservatoreSchematizzazione / astrazioneLimiti di validità / falsificabilità

1.1Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

IN

Introduzione e richiamiUnità di misura nel Sistema Internazionale

Laser HeNe stabilizzato in frequenza sulla linea diassorbimento saturo dello 127I. Campione dilunghezza d'onda, usato per definire l’unità dilunghezza (metro) [Istituto di Metrologia “G.Colonnetti” di Torino].

1.2

Prototipo (copia n. 62) dell’unitàdi massa (kilogrammo) [Istitutodi Metrologia “G. Colonnetti” diTorino].

Rev. 1.1

Unità di misura fondamentalilunghezza m metromassa kg kilogrammotempo s secondo

temperatura K kelvinquantità di materia mol mole

corrente elettrica A ampereintensità luminosa cd candela

Unità di misura accessorieangolo piano rad radianteangolo solido sr steradiante


F.BloisiFisica II

IN

Introduzione e richiamiOrdine di grandezza, analisi dimensionale

Il triangolo ha n = 3 lati. (“3” è un numero)

Il lato del triangolo è l = 3 m.

Il lato del triangolo è l = 3 mm.

(“3” è la misura del la lunghezza)

L’area del triangolo è A = 3 m2.

(“3” è la misura del l’area)

Se un numero rappresenta la misura diuna grandezza fisica, deve essreaccompagnato dall’indicazione dell’unitàdi misura utilizzata.

Analisi dimensionaleverificare dimensionalmente l’equazione che da’ il periodo di oscillazione di un pendolo

semplice: [T]=[ T ] T in s[h]=[ L ] h in m[g]=[ L T-2 ] T in m⋅⋅s-2

T h g= 2π

Ordine di grandezza di una quantità è la potenza di 10 immediatamente inferiore al suo valore(ossia il valore numerico espreso con una sola o addirittura con nessuna cifra significativa)

Esempio: calcolare, in secondi, la durata di un anno1 anno = 365 d = 365 d × 24 h/d = 8·760 h = ...= 31·536·000 s1 anno = 3.1536000·107 s (valore esatto) 1 anno ≈ 3·107 s ≈ 107 s (ordine di grandezza)

1.3Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

IN

Introduzione e richiamiCifre decimali/significative, arrotondamento

Cifre decimali, cifre significatived=3.5 mm 3.45 mm≤d<3.55 mm 3.5 ± 0.05 mm 1 c.d., 2 c.s. 2.9%

d=3.50 mm 3.495 mm≤d<3.505 mm 3.50 ± 0,005 mm 2 c.d., 3 c.s. 0.3%

Errore (o imprecisione) di misura0.1/3.5 = 0.02857 = 2.9% 0.01/3.50 = 0.002857 = 0.3%

Esempi4.25 m 2 c.d., 3 c.s., 0.2% 0.327 kg 3 c.d., 3 c.s., 0.3%

3.5 s 1 c.d., 2 c.s., 2.9% 0.035 s 3 c.d., 2 c.s., 2.9%

312.43 km 2 c.d., 5 c.s., 0.003%

Somma/DifferenzaCifre decimali: pari a quelle dell’addendocon il minor numero di c.d.

4.25 m + 2 c.d.

0.327 m + 3 c.d.

5.40 m = 2 c.d.

12.977 m12.98 m 2 c.d.

Prodotto/QuozienteCifre significative: pari a quelle del fattorecon il minor numero di c.s.

9.21 m × 3 c.s.

1.153 m = 4 c.s.

11.61913 m2

11.6 m2 3 c.s.

1.4Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

IN

Introduzione e richiamiPrincipi e leggi fondamentali della dinamica 1.5

Rev. 1.1

Principi della dinamicaI principio della dinamica(definizione di sistema inerziale)II secondo principio della dinamica

III terzo principio della dinamica

I equazione cardinale della dinamica(polo Ω: un punto fisso o il centro di massa)

II equazione cardinale della dinamica(u: asse di rotazione)

r r r rf p f a= =dd t

moppure

rr

r rF P F a( ) ( )dd

e ecmt

M= =oppure

( ) ( )r r

τ τ αΩe

ue

u utI= =d

dL

oppure

( )r r rf f F12 12 0= − =oppure i

Leggi di conservazionequantità di motose è nulla la somma delle forze esterne cheagiscono su di un sistema allora laquantità di moto del sistema resta costante

momento della quantità di motose è nulla la somma dei momenti delleforze esterne che agiscono su di unsistema allora il momento della quantità dimoto del sistema resta costante

energiase le forze esterne che agiscono su di unsistema sono conservative allora l’energiameccanica totale del sistema resta costante


F.BloisiFisica II

IN

Introduzione e richiami Leggi fondamentali dell’elettromagnetismo 1.6

Rev. 1.1

∂ρ∂

liblibt

+ =divrJ 0

Equazione di continuità

( )d dr r r rF E J B= + ×ρ V

Forza di Lorentz

divrB = 0

Equazioni di Maxwelldiv

rD = ρlib

rotr

r

E B+ =∂∂ t

0

rotr

rr

H D J− =∂∂ t lib

( )r r rJ r vlib cond, t = ρ

Densità di corrente

Caratteristiche del mezzor r rD E P= +ε0

( )r r rH B M= −µ0

( )r r rP P E=

( )r r rM M B=

volume (m3)forza (N)

velocità (m/s)rvV

rF

( )r rE r, t

( )r rD r, t

( )r rB r, t

( )r rH r,t

campo elettrico (V/m)campo spostamento elettrico (C/m2)

campo di induzione magnetica (T)campo magnetico (A/m)

densità di polarizzazione (C/m2)

densità di magnetizzazione (A/m)

( )r rP r, t

( )r rM r, t

costante dielettrica del vuoto (F/m)permeabilità magnetica del vuoto (H/m)velocità della luce nel vuoto (m/s)

ε0

µ0

c

densità di corrente (A/m2)densità di carica (C/m3)( )ρ rr, t

( )r rJ r, t

c = 2 9979. m / sµ π0

74 10= − H / mε µ0

20= c


F.BloisiFisica II

ES

FISICA GENERALE II

ELETTROSTATICA


F.BloisiFisica II

ES

Le basi dell’elettrostaticaIl campo elettricoIl Teorema di GaussIl potenziale elettrostaticoIl dipolo elettricoCaratteristiche dei conduttoriCapacità elettricaI dielettriciEnergia e campo elettricoRiepilogo

Rev. 1.1

FISICA GENERALE IIELETTROSTATICA


F.BloisiFisica II

ES

ELETTROSTATICALe basi dell’elettrostatica

I primi esperimenti di elettrostaticaIsolanti e conduttoriStrumenti di misura in elettrostaticaLa carica elettricaLe leggi fondamentali dell’elettrostaticaLa legge di CoulombEsempi ed applicazioni

Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

ES

Le basi dell’elettrostaticaRiepilogo

DefinizioniCarica elettricaCarica elettrica puntiformeDensità di carica elettrica di lineaDensità di carica elettrica di superficieDensità di carica elettrica di volume

Unità di misuraCoulomb

Classificazione dei materialiConduttoriIsolanti (o dielettrici)Semiconduttori, superconduttori

Leggi fondamentali dell’elettrostaticaLegge di CoulombPrincipio di sovrapposizioneConservazione della carica

Quantizzazione della carica elettricaCarica elementare: e

EserciziForza tra cariche elettriche puntiformiLavoro per spostare una carica elettricapuntiforme in presenza di altre caricheelettriche puntiformi

Grandezze già definite in MeccanicaForzaForze esterne e forze interne ad un sistemaLavoro compiuto da una forzaTerzo principio delle dinamica (Principio diazione e reazione)

MNV2 Cap.1:Forza elettrostatica. Campo elettrostatico.Par.1.1: Cariche elettriche. Isolanti e conduttori.Par.1.2: Struttura elettrica della materia.Par.1.3: La legge di Coulomb.Par.1.8: Dererminazione della carica elementare.

Esperienza di Millikan.

1.0Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

ES

Le basi dell’elettrostaticaI primi esperimenti di elettrostatica

Una barretta di vetro (o di plastica etc.) “elettrizzata” (ossiastrofinata con un panno di lana) attira dei pezzetti di paglia (odi carta, etc.). [isolanti o dielettrici]Tale fenomeno non si osserva se si utilizza una barretta dialluminio (o di rame, etc,). [conduttori]Due barrette identiche (dello stesso materiale ed elettrizzate allostesso modo) si respingono.Due barrette di materiali diversi, entrambe elettrizzate siattraggono o si respingono, a seconda della coppia di materialiutilizzati.E` possibile dividere i materiali che si elettrizzano in duecategorie:

vetro e tutti i materiali che si comportano come il vetro(elettricità “vetrosa” o “positiva”)

ambra e tutti imateriali che si comportano come l’ambra(elettricità “resinosa” o “negativa”)

Il panno utilizzato per elettrizzare le barrette risulta anch’essoelettrizzato, ma con elettricità di tipo opposto.

Nota storica:Fin dal 600 a.C. i grecisapevano che strofinandoun pezzo di ambra (ingreco ελεκτρον) essoattrae dei pezzetti dipaglia.

1.1Rev. 1.2


F.BloisiFisica II

ES

Le basi dell’elettrostaticaIsolanti e conduttori 1.2

Nota: I semiconduttori ed i superconduttori sono materiali che, in determinate situazioni, hanno uncomportano notevolmente diverso tanto dai conduttori quanto dagli isolanti.

Interpretazione microscopica:Ciascun atomo o molecolapossiede sia cariche elettrichepositive (protoni) che caricheelettriche negative (elettroni) diugual valore asoluto, anche sedi solito la carica totale è nulla(elettricamente neutro).Nei conduttori una parte dellecariche presenti (gli elettroni diconduzione) sono libere dimuoversi all’interno delmateriale.Negli isolanti le caricheelettriche non possonomuoversi dal punto in cui sonostate prodotte.

rame, ferro, etc.(conduttori)

plastica, legno, etc.(isolanti o dielettrici)

Rev. 1.2


F.BloisiFisica II

ES

Le basi dell’elettrostaticaStrumenti di misura in elettrostatica 1.3

Elettroscopio di M. Melloni (1798-1854) [Museo del Dipartimento diScienze Fisiche Università“Federico II” di Napoli]

Elettroscopio a foglie, elettroforo diVolta, bottiglie di Leyda [Museo

del Dipartimento di Scienze FisicheUniversità “Federico II” di Napoli]

Rev. 1.2

Principio di funzionamentodell’elettroscopio a foglie

forza

elettrostatica

forza peso

forza

elettrostaticaϑ

Schematizzazionecon cariche puntiformi

Fe21

Fp1

Fe12ϑ

Fp2

q/2 q/2

m m

L L

Noti L ed m, determinare la relazione che lega q a ϑ.Considerare poi il caso di ϑ piccoli.


F.BloisiFisica II

ES

Le basi dell’elettrostaticaLa carica elettrica

Misure quantitative effettuate con l’ausilio di strumenti quali l’elettroscopio, la bilancia ditorsione di Coulomb, l’apparato per l’esperimento di Millican della goccia d’oliopermettono di definire una nuova grandezza fisica:Carica elettrica:

Unità di misura (S.I.):nome: coulomb = ampere per secondosimbolo: C = A·sdimensioni: [ T I ] = tempo per corrente elettrica

Vi sono due tipi di cariche:positiva (“+” o “vetrosa”)negativa (“−” o “resinosa”)

La carica elettrica è quantizzata

il quanto di carica vale e = 1.60·10-19 CDensità di carica elettrica:

di linea λ = dq/dl C·m-1 [ L-1 T I ]di superficie σ = dq/ds C·m-2 [ L-2 T I ]di volume ρ = dq/dτ C·m-3 [ L-3 T I ]

1.4

Nota: Come si vedrà nel seguito l’ampere, coulomb al secondo [C/s], è l’unità di misura dellacorrente elettrica.


F.BloisiFisica II

ES

Legge di CoulombLa forza elettrostatica esercitata sulla carica puntiforme q1 dalla carica puntiformeq2 vale:

ke = (4πε0)-1 = 8.987·109 m/F (m/F=Nm2/C2)

ε0 = 8.854·10-12 F/m [ε0] = [ L-3 M-1 T4 I2 ]r21 è il vettore che va dal punto in cui si trova la carica q2 (sorgente) al punto in cui sitrova la carica q1

ke = (4πε0)-1 è una costante (Nota: ε0 è detta costante dielettrica del vuoto)

Principio di sovrapposizione

cariche, pertanto la forza esercitata sulla carica q1 dalle cariche q2 ... qN è:

(somma vettoriale!)

Conservazione della caricaIn un sistema isolato la carica totale (somma algebrica) resta costante.

Le basi dell’elettrostaticaLe leggi fondamentali dell’elettrostatica 1.5

rrFr

r121 2

2= k q qe

21

21$

r r rL

rF F F F1 12 13 1= + + + N

Nota: Come si vedrà nel seguito (applicando il teorema di Gauss) una sfera uniformementecarica si comporta, al suo esterno, come una carica puntiforme.

(elettrostatica ⇒ cariche ferme)


F.BloisiFisica II

ES

Le basi dell’elettrostaticaLa legge di Coulomb 1.6

Legge di Coulomb(senza utilizzanre la notazione vettoriale)

La forza elettrostatica che si esercita trale cariche puntiformi q1e q2, ferme, postea distanza r tra loro, ha modulo

dove

Le due forze costituiscono una coppia, dibraccio nullo, e sono dirette lungo la rettacongiungente le due cariche.

Se le due cariche sono del medesimo tipo(+,+ o −,−) le forze sono repulsive, ossiatendono ad allontanare le due cariche; sele due cariche sono di tipo diverso (+,− o−,+) le forze sono attrattive, ossiatendono ad avvicinare le due cariche.

F kq q

re= 1 22

ke = = ⋅14

8 987 100

9

πε. Nm C2 -2

Legge di Coulomb(in notazione vettoriale)

La forza che agisce sulla carica q1 postanel punto individuato dal vettore r 1,prodotta dalla carica q2 posta nel puntoindividuato dal vettore r2 , è data da:

dove

rF r12

1 2

212

= k q qre $21

r r rr r r21 2= − 1

ke = = ⋅14

8 987 100

9

πε. Nm C2 -2

Altre espressioni della legge di Coulombr

rr

rr

r r r r

r r

Fr

r F r

Fr

r F r rr r

121 2

2 120

1 2

212

120

1 23 12

1 2

03

14

14 4

= =

= = −−

k q q q qr

q q q q

e21

21 21

21

212 1

2 1

$ $πε

πε πε

Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniForza tra cariche puntiformi (1/2)

Date tre cariche puntiformi identiche (+Q) poste ai vertici di un triangolo equilatero di lato Ldeterminare la forza elettrica che agisce su ciascuna carica, esprimendo il risultato incoordinate cartesiane.

O

+Q

y

L

L/2

α

F31

+Q

P3F32

F3

h

P2

P1

+Q

L

αα

L/2x

1.7

Iniziamo con il calcolare la forza su P3 .

( )F QL

F

x

y

30

2

2

3

1

43

0

=

=

πε in coordinate cartesiane

( )F F F FF F F

x x x x

y y y

3 31 32 32

3 31 32

2= + == +

principio di sovrapposizione

( )F QL3

0

2

2

3

14

3

0

=

=

πε

ϑin coordinate polari

( )F F Q

LQL

F F

x x

y y

32 310

2

20

2

2

32 31

14

14

32

= = =

= − =

πε

απε

cos

non necassario

scomposizione

in componenti

r rF F32 31

0

2

2

1

4= =

πεQL

modulo della Forza di Coulomb,

per direzione e verso vedi disegno

pertanto

o, equivalentemente,

Rev. 1.2

da considerazioni geometriche

( )h L L LhLLL

= + =

= =

= =

2 12

2 32

32

2 12

cos

sin

α

α


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniForza tra cariche puntiformi (2/2)

1.8

r

r

r

F i

F i j

F i j

30

2

2

20

2

20

2

2

10

2

20

2

2

1

43

14

32

14

32

14

32

14

32

=

= − +

= − −

πε

πε πε

πε πε

QL

QL

QL

QL

QL

$

$ $

$ $

O

+Q

y

L

L/2

+Q

P3

F2

h

P2

P1

+Q

L

α

L/2x

F1

ϑ1

ϑ2

Per simmetria (rotazione di ±2π/3=±120° intornoal centro del triangolo):

per passare alle coordinate cartesiane

F QL

F QL

x

y

2 2 20

2

2

2 2 20

2

2

1

4

3

21

4

3

2

= = −

= =

r

r

F

F

cos

sin

ϑπε

ϑπε

F F QL

F F QL

x x

y y

1 20

2

2

1 10

2

2

1

4

3

21

4

3

2

= = −

= − = −

πε

πε

per simmetria rispetto all’asse x

r r rF F F1 2 3

0

2

2

3 2 1

1

43

0 120 120

= = =

= ° = + ° = − °πε

ϑ ϑ ϑ

QL

da considerazioni trigonometrichecos cos cos sin

sin sin sin cos

ϑ

ϑ2

12

23

2

120 60 30

120 60 30

= ° = − ° = − ° = −

= ° = ° = °=

Rev. 1.2


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniLavoro per spostare una carica (1/4)

Date tre cariche puntiformi positive, +Q, poste ai vertici di un triangolo equilatero di lato Ldeterminare il lavoro per portare una delle cariche al centro del triangolo.

CO

+Q

y

L

L/2

+Q

P3

P2

P1

+Q

L

L/2x

1.9

• Legge di Coulomb• Principio di Sovrapposizione

• Forza elettrostatica che agisce sulla carica• Forza da applicare alla carica

( ) ( )rF ie x Q x L x= − +

−1

42

0

2 14

2 2 3 2

πε$

• Definizione di lavoro compiuto da una forza• Lavoro compiuto dalla forza

( )L Q x L x xex L

x L

= +−

=

=

∫1

42

0

2 14

2 2 3 2

36

32

πεd

Proc

edim

ento

Ris

ulta

to

Dat

i Q = 15.0 µµCL = 120 cm L

LQe = − =1

42

3 12 47

0

2

πε. J


F.BloisiFisica II

ES


O

+Q

y

r

L/2

+Q

Fe

P2

P1

+Q

r

L/2xF3x

P

F31

F32

α

cosα = = +xr

r L x14

2 2

( ) ( )rF ie x Q x L x= − +

−1

42

0

2 14

2 2 3 2

πε$

r r

r

F F

F

31 320

2

2

31 32 310

2

3

32 31

3 31 320

2

3

3 31 32

30

2

3

3

14

14

21

40

21

40

= =

= = = +

= −

= + = +

= + =

= − = −

= − =

πε

απε

πε

πε

Qr

F F Qr

x

F F

F F F Qr

x

F F F

F F Qr

x

F F

x x

y y

x x x

y y y

ex x

ey y

cos

I) Calcolo della forza esterna da applicare alla carica

1.10


F.BloisiFisica II

ES


CO

y

PFe

+Q x

P3x l

h

dl

( ) ( )rF ie x Q x L x= − +

−1

42

0

2 14

2 2 3 2

πε$

l h x l x

h L

h L h L

= − ⇒ = −

= =

= = = =

d d

OP

OC CP

33

2

13

36 3

23

33

( )L Q x L x xe

x L

x L

= +−

=

=

∫1

42

0

2 14

2 2 3 2

36

32

πεd

( )

( ) ( )

( )

d d d

d d

d

d

P

C

P

C

P

C

C

P

L d l l

L l Q x L x l

Q x L x x

Q x L x x

e e e e

e e

= ⋅ = =

= = +

= + −

= +

∫ ∫

∫

∫

−

−

−

r r r r

r

F l F F

F

cos0

14

2

14

2

14

2

3 3

3

3

0

2 14

2 2 3 2

0

2 14

2 2 3 2

0

2 14

2 2 3 2

πε

πε

πε

II) Calcolo del lavoro compiuto dalla forza esterna

1.11


F.BloisiFisica II

ES


( )L Q x L x xex L

x L

= +−

=

=

∫1

42

0

2 14

2 2 3 2

36

32

πεd

L QLe = −1

42

3 1

0

2

πε

( )x L x x

u u

u u L L

L

x L

x L

u L

u L

u L

u L

u L

u L

14

2 2 3 2

3 2

36

32

13

2

2

13

2

2

2

13

2

12

2 1 3 1

3 1

+

=

= −

=

= −

= −

−

=

=

−

=

=

=

=

=

=

∫

∫

d

d

u L xu x x

x L u Lx L u L

= + ⇒=

= ⇔ == ⇔ =

14

2 2 36

13

2

32

2

2d d

( )u u u

aa

a

a

d≠−

+

∫ =+

1

1

1

1.12

III) Calcolo dell’integrale

Risultato IV) Verifica dimens. e calcoli numerici Risultato numerico

Le = 2 47. J( )Le = ⋅ ⋅ ⋅ −

= ⋅ ⋅ =

−

−

8 987 10 2 150 103 1

120

2467 10 2 467

9 6 2

3

. ..

.

N mC

Cm

N m J

2

2


F.BloisiFisica II

ES

ELETTROSTATICAIl campo elettrico

DefinizioneCariche puntiformiDistribuzioni arbitrarie di caricheLinee di campoForza su di una carica puntiformeForza su di una distribuzione di caricheEsempi ed applicazioni

Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

ES

Il campo elettricoRiepilogo

DefinizioniCampo elettricoLinee di campo (o linee di forza)

Campo elettrico prodotto dauna carica puntiformeuna distribuzione discreta di caricheuna distribuzione continua di cariche

Forza prodotta dal campo elettricouna carica puntiformeuna distribuzione di cariche

EserciziDue cariche puntiformi opposteFilo rettilineo infinito caricoAnello caricoForza tra una carica puntiforme ed un anelloMoto di una carica in campo uniforme

Grandezze già definite in MeccanicaForze interne ed esterneTerzo principio della dinamicaForza risultante e momento risultante

MNV2 Cap.1:Forza elettrostatica. Campo elettrostatico.Par.1.4: Campo elettrostatico.Par.1.5: Campo elettrostatico prodotto da una

distribuzione continua di cariche.Par.1.6: Linee di forza del campo elettrottico.Par.1.7: Moto di una carica in un campo

elettrostatico.

2.0Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

ES

Il campo elettricoDefinizione 2.1

• Definizione

• Dimensioni Unità di misura[ L1 M1 T-3 I1 ] N/C = V/m

• Principio di sovrapposizione

( )r

r

EF

Q q

q

qP =

→lim

0

( ) ( ) ( ) ( )r r r

Lr

E E E EP P P P= + + +1 1 N

interazione a distanza:carica Q ↔ carica q

La forza è un vettore applicatonel punto in cui si trova la carica

rrFr

rqQ q Q

q=

1

4 02πε

P

P

dipende da

dipende da$

carica Q ↔ campo elettrico ↔ carica q

Il campo elettrico è una funzione vettoriale definita,salvo poche eccezioni, in tutti i punti dello spazio

( )

( )

rr

r r

EF

F E

Qq

q Q

qQ

q

q

Pdipende da

non dipende da

P

=

=

rFq

Q

rrP

Pq

( )rEQ P

Nota: la “carica di prova” q non deve alterarela distribuzione delle cariche che generano ilcampo elettrico che si vuol misurare.

campo elettrico• elettrostatico• elettromotore

Rev. 1.2


F.BloisiFisica II

ES

Il campo elettricoCariche puntiformi 2.2

Una carica puntiforme nell’origine

q

rr

P( )r r

r

rr

E rr

r

rr

=

=

14

14

02

03

πε

πε

q

q

$

Distribuzione arbitrariadi cariche puntiformi

qi

r rr r− i

rr

rri

P

( )r r

r r

r rE r r rr r

= −−=

∑14 0

31πεqi

i

ii

N

Una carica puntiforme nel puntoindividuato dal vettore ( )r′ ≡ ′ ′ ′r x y z, ,

( )r r

r r

r rE r r rr r

= − ′− ′

1

4 03πε

q qrr

r′r

P r rr r− ′


F.BloisiFisica II

ES

Il campo elettricoDistribuzioni arbitrarie di cariche 2.3

dτ’

r rr r− ′rr

r′r

P

Vcariche

( ) ( )( )( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( )( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( )( ) ( ) ( )[ ]

E x y zx y z x x

x x y y z zx y z

E x y zx y z y y

x x y y z zx y z

E x y zx y z z z

x x y y z zx y z

xV

yV

zV

cariche

cariche

cariche

, ,, ,

d d d

, ,, ,

d d d

, ,, ,

d d d

=′ ′ ′ − ′

− ′ + − ′ + − ′′ ′ ′

=′ ′ ′ − ′

− ′ + − ′ + − ′′ ′ ′

=′ ′ ′ − ′

− ′ + − ′ + − ′′ ′ ′

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

14

14

14

0 2 2 23

2

0 2 2 23

2

0 2 2 23

2

περ

περ

περ

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

r rr r

r rr

r rr r

r rr

r rr r

r rr

E r r rr r

r

E r r rr r

r

E r r rr r

r

= − ′− ′

′ ′

= − ′− ′

′ ′

= − ′− ′

′ ′

∫

∫∫

∫∫∫

14

14

14

03

03

03

πελ

πεσ σ

περ τ

d

d

d

lC

S

V

cariche

cariche

cariche


F.BloisiFisica II

ES

Il campo elettricoLinee di campo 2.4

Linee di campo di due cariche elettriche puntiformi dello stesso segno o di segno opposto.

Le “linee di campo” (o “linee di forza”):

sono in ogni punto tangenti al vettore campo elettrico

si disegnano in modo che la loro densità sia proporzionale al modulo del campo elettrico


F.BloisiFisica II

ES

Il campo elettricoForza su di una carica puntiforme 2.5

( )

( )

rr r

r r

r rL

r

r rr r

Fr r

r r

F F F

r rr r

qii

ii

q q qN

i

ii

N

q Q

q Q

i

=−

−

= + +

=−

−=∑

14

4 1

03

1

03

πε

πε

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

rr r

r r

r rL

r

r rr r

r r

r rr r

Er r

r r

E E E

r rr r

F E

r rr r

ii

ii

N

i

ii

N

q

i

ii

N

Q

Q

i

q

q Q

i

P

P P P

P

=−

−

= + +

=−

−=

=

=−

−=

∑

∑

14

14 1

4 1

03

1

03

03

πε

πε

πε

q

rrq

rFq

P( )rE P

Nota:E è definito in tutto lo spazio

Qi

q

rri

sorgentirrq

rFq r rr rq i−

Qi

P

rri

sorgentirr

( )rE P r rr rq i−


F.BloisiFisica II

ES

Il campo elettrico Forza su di una distribuzione di cariche 2.6

Qi

q

rri

sorgente

rrq rFi

r rr ri q−

( )

( )

rr r

r r

r rL

r

r rr r

Fr r

r r

F F F

r rr r

ii

i qi q

q N

i

i q

i q

N

q Q

q Q

i

=−

−

= + +

=−

−=∑

14

4 1

03

1

03

πε

πε

Pi

q

rri

sorgente

rrq

r rr ri q−

( )rE Pi

Pi

rri

( )rE Pi

rFi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

rr r

r r

M

rr r

r r

r rr r

r r

r rL

r

r rr r

Er r

r r

Er r

r r

F Er r

r r

F F F

r rr r

P

P

P

10 1

3 1

03

03

1

03

14

14

14

4 1

=−

−

=−

−

= =−

−

= + +

=−

−=∑

πε

πε

πε

πε

q

q

Q q Q

q Q

i

q

q

NN q

N q

i i ii

i qi q

q N

i

i q

i q

N


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniDue cariche puntiformi opposte

Date due cariche puntiformi opposte: +q in (0,0,a/2) e -q in (0,0,-a/2)determinare il campo elettrico in un punto P≡(x,0,0) dell’asse x.

Per ragioni di simmetria nei punti dell’asse xil campo E è parallelo all’asse z

O

-q

z

ra/2

α

E1E1x

E1z

+q

P x

E2E2x

E2z

E

x αα

( )

( )

r rE E1 2

02

2 1

2 10

20

3

02 1

42 3 2

14

14

14

14 2

= =

= − =

= = − = −

= −+

πε

πεα

πε

πε

qr

E E

E Eqr

q ar

q a

x a

x x

z z

non necassario

sin

sinα =

= +

ar

r x a

2

2 14

2

( )( )

rE kx q a

x a= −

+

14 0

2 14

2 3 2πε$

2.7


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniFilo rettilineo infinito carico

Data una distribuzione di cariche lineare uniforme λ su di un filo infinito (L >> r; L >> zP)determinare il campo elettrico in un punto P posto a distanza r dal filo.

( )r rE r r= 1

2 0πελr$

Per ragioni di simmetriail campo E è radiale

O

dq=λdz

z

r

l

α

dE

dE⊥

dE||

dq=λdz

P

( )

dd

d

dd

cos cos d

||

r

r

r

E

E

E

=

=

= =⊥

14

14

14

02

02

0

πελ

πελ

απε

λα α

zl

zl r

non necassario

l r

z r z r d

=

= ⇒ =

cos

tg dcos

α

α αα2

r rE E= = =⊥

= −

=

−∫ ∫d cos d

α π

α π

π

π

πελ α α

πελ

2

2

0 2

2

0

1

4

1

42

r r

2.8


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniAnello carico

Data una distribuzione di cariche lineare uniforme λ su di un anello di raggio Rdeterminare il campo elettrico in un punto P posto sull’asse a distanza z dal centro.

Per ragioni di simmetria, nei punti dell’asse zil campo E è parallelo all’asse z medesimo

x

y

z

λO

P

z

Rdq= λdl

dEdEz

α

ϑ

( )

dd

d d cosd

d

r

r

E

E

=

= =

=+

14

14

14

02

02

02 2 3 2

πε

απε

πελ

qr

E qr

zr

z

z Rl

z

( )( )

rE kz Rz

z R=

+

12 0

2 2 3 2ελ $

2.9


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniForza tra una carica puntiforme ed un anello (1/2)

Si determini la forza che si esercita tra una carica q distribuzita in maniera uniforme su diun anello di raggio R ed una carica puntiforme q posta sull’asse a distanza R dal centro.

a) Calcoliamo la forza che l’anello esercita sulla carica puntiforme

2.10

vF kcarica

puntif.= 1

4 2 20

2

2πεq

R$

( )( ) ( )

( )( )

( )

λπ

ελ

πε

πε πε

=

=+

=+

=+

=

=

qR

z Rz

z R

qz

z R

R qR

R R

qR

q R

2

12

14

14

14 2 2

02 2 3 2

02 2 3 2

02 2 3 2

02

r

r

r r

E k k

E k k

F E

$ $

$ $

caricapuntif.

Utilizziamo l’espressione del campo elettricoricavata nel precedente esempio

x

y

z

λO

q

R

R

α

ϑ

rFcarica

puntif.( )rE R


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniForza tra una carica puntiforme ed un anello (2/2)

Si determini la forza che si esercita tra una carica q distribuzita in maniera uniforme su diun anello di raggio R ed una carica puntiforme q posta sull’asse a distanza R dal centro.

b) Calcoliamo la forza che la carica puntiforme esercita sull’anello

2.11

Per ragioni di simmetria Fanello ha la direzione dell’asse z

x

y

z

O

q

R

R

α

ϑ dq= λdl

drF

rFanello

vF kanello = − 1

4 2 20

2

2πεq

R$ v v

F Fanello caricapuntif.

= −Nota:

r R= 2

rE

λπ

= qR2

( )( )

( )( )

r

r

E

E

= = = =

==

= − = −

==

= = −

==

= ==

∫

k qr

k qR

q l qR

R

EE

E k qR

FF

F q E k qR

FF

F F

e e

x

y

z e

x

y

z z e

x

y

z z

2 2

2

2

2

2 2

2 2 4 2

0

0

02

d d d

cos

d

d

d d d

d

λπ

ϑ

απ

ϑ

ϑϑ π

non necassario

non necassario

non necassario

non necassario


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniMoto di una carica in campo uniforme

Descrivere il moto di un punto materiale (carica elettrica −q, massa m),lanciata dall’origine con velocita’ v0≡ (v0x,v0y,0),in una regione di spazio in cui è presente un campo elettrostatico uniforme E≡ (0,0,E).

O

z

-qx

v0

F

Ev

r r r rF E F v= − ⇒

=== −

= ⇒

=

=

=

qFFF qE

mt

F mvt

F mvt

F m vt

x

y

z

xx

xy

xz

0

0d

d

d

dd

dd

d

( ) ( )

( )

rr i k

i k k

t v t v t qEm

t

v v t qEm

t

x z

x z

= + −

= + + −

0 02

0 02

2

2

$ $

$ $ $

( )

( )

( )

( )

( )

( )

m vt

mvt

m vt

qE

v t v

v t

v t v qEm

t

x t v t

y t

z t v t qEm

t

x

y

z

x x

y

z z

x

z

dd

d

ddd

=

=

= −

⇒

=

=

= −

⇒

=

=

= −

0

0 0 0

2

0

0

0

02

( )r r rr v Et t q

mt= −0

2

2

2.12


F.BloisiFisica II

ES

ELETTROSTATICAIl Teorema di Gauss

EnunciatoDimostrazioneFormulazione integrale e differenzialeAlcune considerazioniEsempi ed applicazioni

Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

ES

Il Teorema di GaussRiepilogo

DefinizioniArea (vettore)Flusso di un campo vettoriale

Enunciato e DimostrazioneTeorema di Gauss

in forma integrale in forma differenziale

(I equazione di Maxwell)

Importanti conseguenzeCampo elettrico all’esterno di unadistribuzione di cariche elettriche asimmetria sfericaCampo elettrico allinterno di un gusciosferico uniformemente carico

EserciziCarica puntiformeFilo rettilineo infinito caricoStrato piano caricoSfera uniformemente caricaGuscio sferico caricoDoppio strato piano carico

MNV2 Cap.3:La legge di Gaus.Par.3.1: Flusso del campo elettrostatico.

Legge di Gauss.Par.3.2: Dimostrazione della legge di Gauss.Par.3.3: Alcune appplicazioni e conseguenze

della legge di Gauss.Par.3.4: La divergenza del campo elettrostatico.

3.0Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

ES

Il Teorema di GaussEnunciato

Def.: Area (vettore)modulo:

area della superficie (ds)direzione:

ortogonale alla superficieverso:

superficie chiusa:uscente

superficie aperta:determinato dal verso del bordo

d $ drs n= s

Teorema di Gauss Il flusso del campo elettricoattraverso una superficie chiusa èuguale alla carica totale contenutaall’interno della superficie divisa perla costante dielettrica del vuoto ε0.

Φ E = Qint ε 0

3.1

Teor. di Gauss in forma differenziale(I equazione di Maxwell):

divrE = ρ ε0

Teor. di Gauss in forma integrale:

[ ]

rE n⋅ =

=∫∫ ∫∫∫$ d ds

S V V∂ ερ τ1

0

Def.: flusso di un vettore

θ vds

d d

$ d

d cos

d $ d

Φ

Φ Φ

= ⋅= ⋅=

= = ⋅∫∫ ∫∫

r r

r

r

v sv n

v n

sv s

sS S

ϑ


F.BloisiFisica II

ES

Il Teorema di GaussDimostrazione (1/2)

Il flusso d ΦΕ del campo elettricodi una carica puntiforme q,attraverso un elemento di superficiesottesa dall’angolo solido dΩ, è datoda

d d

$ $

Φ ΩE04

angolo tra ed segno

< 2 (acuto)

> 2 (ottuso)

= ±

+−

qπε

ππ

n r

Note:• dΦΕ non dipende né da r né da ds• il segno di dΦΕ dipende anche dal

segno di q

d d $ $

cos

d d

Φ

Ω Ω

E0

0 0

0 0

1

4d

1

4d

1

4d

=1

4 4

= ⋅ = ⋅ =

= ± = ± ′

± = ±

r rE s r nπε

πεϑ

πε

πε πε

qr

s

qr

s qr

s

qr

r q

2

2 2

22

d $

d $

d

r

r

s n

s r

=

′ = ′

= ′

d

d

d

s

s

sr

Ω2

r

$n $r

qsup. sferica

angolo solido

Premessa

3.2Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

ES

Il Teorema di GaussDimostrazione (2/2)

Carica puntiforme esterna

d Ω = ′

= ′

d

d

sr

sr

1

12

2

22

r2

$n1

$r1

q

$r2

$n2

d d d

d d d

d

Φ Ω

Φ Ω

Φ ΦΩ

1 1 1

2 2 2

0

= ⋅ = −

= ⋅ = +

= =∫∫

r r

r r

E s

E s

q

q

4

4

(carica esterna)

0

0

E

tot

πε

πε

Carica puntiforme interna

d d d

d d

Φ Ω

Φ Φ ΩΩ Ω

E0

E0 0

0

4

4 4

(carica interna)

tot tot

= ⋅ = +

= = =

=

∫∫ ∫∫

r rE s q

q q

q

πε

πε πεπ

ε

4

r

$n$r

q

3.3Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

ES

Il Teorema di GaussFormulazione integrale e differenziale 3.4

Cariche interne ed esterne

q3

q6q4 q5

q2q1

App

rofo

ndim

ento

Rev. 1.2

Φ Φ

Φ

Φ

Ecaricheinterne

caricheesterne

Ecaricheinterne

E

volumeinterno

(cariche puntiformi)

= (distribuzione continua)

= = + =

=

=∑ ∑ ∑

∑

∫∫∫

ii

Ni

i

q Q

q

1 0 0

0

0

0

1

1

ε ε

ε

ερ τ

int

d

Teorema di Gauss in forma integrale

ΦE = Qint

ε0

r rE s⋅ =∫∫ ∫∫∫d dsup. chiusa volume

interno a Σ Σ

1

0ερ τ

divrE = ρ

ε0

∂∂

∂∂

∂∂

ρε

Ex

Ey

Ez

x y z+ + =0

Teorema di Gauss in forma differenziale(I Equazione di Maxwell)

Dalla formulazione integralea quella differenziale

Teor. della divergenza

Per l’arbitrarietà del volume

divrE ≡ + +∂

∂∂∂

∂∂

Ex

Ey

Ez

x y z

r r

r

r

E s

E

E

⋅ =

=

=

∫∫ ∫∫∫

∫∫∫ ∫∫∫

d d

div d d

div

sup. chiusa volumeinterno a

volumeinterno a

volumeinterno a

Σ Σ

Σ Σ

1

1

1

0

0

0

ερ τ

τε

ρ τ

ερ


F.BloisiFisica II

ES

Il Teorema di GaussAlcune considerazioni (1/2)

3.5

Una superficie chiusa è tale da dividere lo spazio indue parti: “esterno” (che si estende fino all’infinito) ed“interno”.

La superficie chiusa cui applicare il teorema di Gauss,detta anche “superficie gaussiana”, può essere sia lasuperficie di un oggetto fisico che una superficiegeometrica.

Il teorema di Gauss può essere applicato a qualunquesuperficie chiusa.

[ ]ΦE = ⋅

=∫∫rE n$ d s

S V∂

Q Q

Q

iint

int d

=

=

∑

∫∫∫

caricheinterne

alla superficie

volumeracchiuso

dalla superficie

M

ρ τ

ΦE = Qint ε0

Il teorema di Gauss fornisce solo il valore del flusso del campo elettrico (ossia diun integrale). Solo se la superficie è scelta opportunamente e si dispone di altreinformazioni (solitamente considerazioni di simmetria) è possibile ricavare ilvalore del campo elettrico.

Rev. 1.2


F.BloisiFisica II

ES

Il Teorema di GaussAlcune considerazioni (2/2)

3.6

Applicando la legge di Coulomb, la definizione di campo elettrico ed utilizzandoil principio di sovrapposizione è possibile calcolare il campo elettrico generato daqualunque distribuzione di cariche.

Applicando il teorema di Gauss ed utilizzando alcune considerazioni di simmetriaè possibile calcolare il campo elettrico generato da alcune distribuzione di cariche.

Il teorema di Gauss, da solo, non è equivalente alla legge di Coulomb.

Campo elettrico

Legge di CoulombDef. campo elettrico

Principio disovrapposizione

Teorema di GaussConsiderazioni

di simmetria

sempre

talvolta

Rev. 1.2


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniCarica puntiforme

Determinare, sfruttando il teorema di Gauss, il campo elettrico prodotto dauna carica puntiforme q.

Per ragioni di simmetria il campo è:• radiale• funzione della sola r ( ) ( )

rE rr E rr, , $ϑ ϕ =

( )

( ) ( )

( )

ΦE = ⋅

= =

=

=

∫∫

∫∫ ∫∫

E r s

E r s E r s

E r r

Q q

rsfera

rsfera

rsfera

r

$ $ d

d d

int

r n

4 2π

( ) ( )E r r q E r qrr r4

1

42

0 02π

ε πε= ⇒ = ( )

r rE r r= 1

4 02πε

qr

$

ΦE = Qint

ε 0

rP

$nqrE r= Er $

3.7


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniFilo rettilineo infinito carico

Determinare, sfruttando il teorema di Gauss, il campo elettrico prodotto dauna distribuzione uniforme di cariche λ su di un filo rettilineo infinito (L >> r).

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

Φ E

base sup. base inf. sup. lat.

sup. lat. sup. lat. sup. lat.

= ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ = =

=

=

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

E r s E r s E r

E r s E r s E r s

E r rh

Q h

r r r

r r r

r

$ $ d $ $ d $ $ d

$ $ d d d

int

r n r n r n

r n

2π

λ

( )r rE r r= 1

2 0πελr$


rE rr z E rr, , $ϕ =

ΦE = Qint

ε 0

( ) ( )E r rh h E rrr r2

1

20 0

π λε πε

λ= ⇒ =

3.8

r

P

$n

$n

$n

rE r= Er $

λ


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniStrato piano carico

Determinare, sfruttando il teorema di Gauss, il campo elettrico prodotto dauna distribuzione uniforme di cariche σ su di un piano infinito (L1, L2, >> r).

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

Φ E

base 1 base 2 sup. lat.

base base base

= ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ = =

=

=

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

E x s E x s E x

E x s E x s E x s

E x r

Q r

x x x

x x x

x

$ $ d $ $ d $ $

$ $ d d d

int

i n i n i n

i n2 2 2

2 2

2

π

σπ

Per ragioni di simmetria il campo è:• ortogonale al piano• funzione della sola |x| ( ) ( )r

E ix y z E xx, , $= ±ΦE = Qint

ε 0

( ) ( )E x r r E xx x22

22

0 0

π σπε

σε

= ⇒ = ( )r rE r i= ± σ

ε2 0

$

PrE i= Ex

$

σ

3.9


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniSfera uniformemente carica

Determinare, sfruttando il teorema di Gauss, il campo elettrico prodotto dauna carica q distribuita uniformemente in una sfera di raggio R

( ) ( ) ( ) ( )Φ E = ⋅ = = =∫∫ ∫∫ ∫∫E r s E r s E r s E r rrsfera

rsfera

rsfera

r$ $ d d dr n 4 2π



( )r rE r

r

r=

>

<

qr

r R

q rR

r R

41

4

02

03

πε

πε

$

$

( ) ( )

( ) ( )

r R Q q E r r q E r qr

r R Q q rR

E r r q rR

E r q rR

r r

r r

> = ⇒ = ⇒ =

< = ⇒ = ⇒ =

:

:

int

int

44

1

44

2

0 02

3

32

0

3

30

3

πε πε

πε πε

ΦE = Qint

ε 0

rP

$nrE r= Er $

ρ

P$nrrE r= Er $

ρ

3.10

Il campo elettrico all’esternodi una distribuzione sferica dicariche elettriche è lo stessoche si avrebbe se tutta la caricafosse posta, come una caricapuntiforme, al centro delladistribuzione stessa.


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniGuscio sferico carico

ΦE = Qint

ε 0

Determinare, sfruttando il teorema di Gauss, il campo elettrico prodotto dauna carica q distribuita uniformemente in un guscio sferico di raggio R

( ) ( ) ( ) ( )Φ E = ⋅ = = =∫∫ ∫∫ ∫∫E r s E r s E r s E r rrsfera

rsfera

rsfera

r$ $ d d dr n 4 2π



( )r rE r

r=

>

<

qr

r R

r R

41

0

02πε$

( ) ( )

( ) ( )

r R Q q E r r q E r qr

r R Q E r r E r

r r

r r

> = ⇒ = ⇒ =

< = ⇒ = ⇒ =

:

:

int

int

44

1

0 4 0 0

2

0 02

2

πε πε

π

rP

$nrE r= Er $

σ

P$nrrE r= Er $

σ

3.11

Il campo elettrico all’interno diun guscio sferico caricouniformemente è nullo.


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniDoppio strato piano carico 3.12

Determinare il campo elettrico prodotto dalla seguente distribuzione di cariche:una densità di carica di superficie uniforme +σ sul piano x=−d/2,una densità di carica di superficie uniforme −σ sul piano x=+d/2.

Per ragioni di simmetria il campo è:• ortogonale al piano• funzione della sola x ( ) ( )

rE ix y z E xx, , $= ± Utilizzando i risultati di un

esercizio precedente, edapplicando il principio disovrapposizione:

−σ

+σ

x

yrE i+ = − +σ

ε2 0

$

rE i− = − −σ

ε2 0

$

rE i+ = + +σ

ε2 0

$

rE i− = − −σ

ε2 0

$

rE i+ = + +σ

ε2 0

$

rE i− = + −σ

ε2 0

$

rE i= σ ε0

$ rE = 0

rE = 0

( ) ( ) ( )r r rE E Ex x x= ++ −

( )rE ix

x d

d x d

x d

=

< −

− < < +

> +

02

2 2

02

0

per

per

per

σ ε $


F.BloisiFisica II

ES

ELETTROSTATICAIl potenziale elettrostatico

Conservatività del campo elettrostaticoDefinizione di potenzialeDistribuzione arbitraria di caricheCampo elettrostatico dal potenzialeSuperfici equipotenzialiProprietà in forma localeEsempi ed applicazioni

Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

ES

Il potenziale elettrostaticoRiepilogo

DefinizioniPotenziale elettrostaticoSuperfici equipotenziali

DimostrazioniIl campo elettrostatico è conservativoCampo elettrico dal potenziale

Importanti conseguenzeCampo elettrico all’esterno di unadistribuzione di cariche elettriche asimmetria sfericaCampo elettrico allinterno di un gusciosferico uniformemente carico

EserciziSfera uniformemente caricaAnello caricoBarretta carica uniformementeLavoro per spostare una caricaCarica attratta da un anello

Concetti già definiti in meccanicaForza conservativaEnergia potenzialeConservazione dell’energia

MNV2 Cap.2:Lavoro elettrico. Potenziale elettrostatico.Par.2.1: Lavoro della forza elettrica.

Tensione, potenziale.Par.2.2: Calcolo del potenziale elettrostatico.Par.2.4: Il campo come gradiente del potenziale.Par.2.5: Superfici equipotenziali.Par.2.6: Il rotore del campo elettrostatico.

4.0Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

ES

Il potenziale elettrostaticoConservatività del campo elettrostatico 4.1

A

B

Q

rE

r′r

drl

d r

q

rr

una caricapuntiforme

( )

d d d

cos

d

L q

q E l q E r

L L q E r r qQ rr

qQr r

r

r

= ⋅ = ⋅ =

= =

= =

= −

∫ ∫ ∫

r r r rF l E l

d d

= dd

AB

A

B

A

B

A B

A

B

ϑ

πε

πε

4

41 1

02

0

r r r′ − =

′ − =

r r ld

dr r r

il campo elettrostatico è conservativo ⇒⇒ è possibile definire l’energia potenziale

La forza di Coulomb è conservativapoiché il lavoro per portare una carica qda un punto A ad un punto B dipendedalle posizioni di A e di B ma non dallatraiettoria seguita.

Se A e B coincidono L=0, quindi lacircuitazione del campo elettrostatico ènulla

Si dimostra che, in conseguenza di ciò(II equazione di Maxwell):

r rE l⋅ =∫ d 0

rotrE =

− = − = − =

0

0∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Ey

Ez

Ez

Ex

Ex

Ey

z y x z y x


F.BloisiFisica II

ES

Il potenziale elettrostaticoDefinizione di potenziale 4.2

Note:• il potenziale (come l’energia potenziale) è definito a meno di una costante additiva a causa

dell’arbitrarietà nella scelta del punto di riferimento Ω (punto in cui il potenziale è nullo)• la d.d.p. tra due punti, ∆VAB=V(B)-V(A), è indipendente dalla scelta del punto Ω• per il potenziale, come per il campo, vale il principio di sovrapposizione• il lavoro fatto dalle forze esterne è opposto al lavoro fatto dalle forze del campo

Energia potenziale

( )

( ) ( )

U P L q

L

U U U

L U

= − = − ⋅ = − ⋅

= ⋅ = ⋅ + ⋅

= − = −

= − ⋅ = ⋅ =

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

ΩΩ Ω

Ω

Ω

∆

∆

P

P P

AB

A

B

A

B

AB

AB(e)

A

B

B

A

AB

A B

r r r r

r r r r r r

r r r r

F l E l

F l F l F l

F l F l

d d

d d d

d d

J == == N·m [ L2 M1 T-2 ] joule

Potenziale

V == == J/C [ L2 M1 T-3 I-1 ] volt

( ) ( )

( ) ( )[ ]

V P Lq q

U Pq

L q q

q V V q V

L q q q V

= − = − ⋅ = − ⋅ =

= ⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅

= − = −

= − ⋅ = ⋅ =

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

Ω

Ω Ω

Ω

Ω

∆

∆

PP P

AB

A

B

A

B

A

B

AB

AB(e)

A

B

B

A

AB

A B

1 r r r r

r r r r r r r r

r r r r

F l E l

F l E l E l E l

E l E l

d d

d d d d

d d

Rev. 1.2


F.BloisiFisica II

ES

Il potenziale elettrostaticoDistribuzione arbitraria di cariche

dτ’

r rr r− ′rr

r′r

P

Vcariche

Carica puntiforme in r’

Ω all’infinito( )V Qrr rrr r

=− ′4

1

0πε

4.3

Carica puntiforme nell’origine

Ω all’infinito

Ω in rΩ

( )V Qr

rr =4

1

0πε

( )V Lq

Qr r

P P

P

= − = −

Ω

Ω4

1 1

0πε

Distribuzione arbitraria di cariche

Ω all’infinito

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

V Q

i

V l

V s

V

i

i

N

C

S

V

rr r

rr

r r

rr

r r

rr

r r

rr r

rr

r r

rr

r r

rr

r r

=−=

=′

− ′

=′

− ′

=′

− ′′

∑

∫

∫∫

∫∫∫

14 1

14

14

14

0

0

0

0

πε

πελ

πεσ

περ

τ

d

d

d

cariche

cariche

cariche


F.BloisiFisica II

ES

Il potenziale elettrostaticoCampo elettrostatico dal potenziale

P

P’

rE

drl

( )( )

r

r

E

l

≡

≡

E E E

l l l

x y z

x y z

, ,

d d , d , d

4.4

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

d d , ,d d

d d , , , ,

d , , , ,

d

d , d ,

d , , d

r

rL

rL

l

l

l

≡ ⇒= −= + −

⇒ = −+ −

⇒ = −

≡ ⇒ ⇒ = −

≡ ⇒ ⇒ = −

xV E xV V x x y z V x y z

EV x x y z V x y z

xE V

x

y E Vy

z E Vz

x

x x

y

z

0 0

0 0

0 0

∂∂

∂∂

∂∂

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

∆V V

V E l E l E l

V V V V V V

V V x x y y z z V x y z

x x y y z z

AB

A

B

P P

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

⇒ = − − −

= ′ − ⇒ = + − ⇒

⇒ = + + + −

∫r r r r

r r r

E l E l

r l r

d d d

d d d d

d d d

d d , d , d , ,

E Vx

E Vy

E Vz

Vx

Vy

Vz

Vx

Vy

Vz

x y z= − = − = −

= − − −

≡ − − −

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

, , ,

$ $ $

, ,

r

r

E i j k

E


F.BloisiFisica II

ES

Il potenziale elettrostaticoSuperfici equipotenziali

Due cariche puntiformidi segno opposto:

linee di campo (continue) esuperfici equipotenziali

(tratteggiate).

4.5

Superfici equipotenziali:luogo dei punti in cui il potenziale ha lo stesso valore

Nota: in alcune situazioni il potenziale puo’ esserecostante all’interno di un certo volume (es.: conduttori,guscio sferico uniformemente carico)

Osservazione:in ogni punto le linee di campo sono perpendicolarialle superfici equipotenziali

d

d d d cos

VV E l

== − ⋅ = −

⇒ = °0

90r rE l α

α


F.BloisiFisica II

ES

Il potenziale elettrostaticoProprietà in forma locale 4.6

App

rofo

ndim

ento

rot $ d d rotr r r rE n E l E⋅ = ⋅ = ⇒ = ⇒

− =

− =

− =

⇒

=

=

=

∫∫ ∫s

Ey

Ez

Ez

Ex

Ex

Ey

Ey

Ez

Ez

Ex

Ex

Ey

z y

x z

y x

z y

x z

y x

Σ γ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

0 0

0

0

0

teorema di Stokes

il campo elettrostaticoè conservativo

def. di rotore

il campo elettrostatico èirrotazionale (II eq. di Maxwell)

le derivate incrociatesono uguali

E Vx

E Vy

E Vz

Vx

Vy

Vz

V

x y z= − = − = −

≡ − − −

⇓

= −

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

, , ,

, ,

grad

r

r

E

E

def. digradiente

Equazione di Poisson(eq. di Laplace se ρ=0)

Teoremadi Gauss

( )

div

div grad

rE =

⇓

− =

⇓

∇ = −

ρ ε

ρ ε

ρε

0

0

2

0

V

V ∂∂

∂∂

∂∂

ρε

2

2

2

2

2

20

Vx

Vy

Vz

+ + = −


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniSfera uniformemente carica

( )r rE r

r

r=

>

<

qr

r R

q rR

r R

41

4

02

03

πε

πε

$

$

Sfera uniformemente carica

Ω nell’origine

( )V

QR r

r R

Q rR

r RP P

P

=− −

>

− <

43

21

4 2

0

0

2

3

πε

πε

Ω all’infinito

( )V

Qr

r R

Q R rR

r RP P

P2=

>

− <

41

43

2

0

0

2

3

πε

πε( )

( )

r R

V P qr

r qr

qr

r R

V P qr

r q rR

r

qr

qR

r qR

qR

r R

q R rR

r r

R

rR

R

R

r

>

= − ⋅ = − =

=

<

= − ⋅ = − −

=

−

= − −

= −

∫ ∫

∫ ∫∫

∞ ∞

∞

∞

, posto all' infinito:

, posto all' infinito:

P

P

P

P2

P2

P P

P

P

Ω

Ω

Ω

Ω

r r

r r

E l

E l

d d

d d d

41

41

41

41

4

41

41

2 41

41

2

43

2

02

0 0

02

03

0 03

2

0 03

2

0

2

3

πε πε πε

πε πε

πε πε πε πε

πε

4.7


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniAnello carico (1/2)

Data una distribuzione di cariche lineare uniforme λ su di un anello di raggio Rdeterminare il potenziale elettrostatico ed il campo elettrico in un generico punto Pposto sull’asse (a distanza z dal centro).

Per ragioni di simmetria, nei punti dell’asse zil campo E è parallelo all’asse z medesimo

x

y

z

λO

P

z

Rdq= λdl

dV(z)

α

ϑ

dd dV qr

lz R

= =+

1

4

1

40 02 2πε πελ ( )V z R

z R=

+1

2 02 2ελ

( )( )

rE kz Rz

z R=

+

12 0

2 2 3 2ελ $

( )

( )

( )

E Vz

Rz

z R

R z z R

Rz

z R

z = − = − +

= − −

+

=+

−

−

∂∂ ε

λ

ελ

ελ

12

12

12

2

12

0

2 2 1 2

0

2 2 3 2

02 2 3 2

dd

4.8


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniAnello carico (2/2)

Data una distribuzione di cariche lineare uniforme λ su di un anello di raggio R

generico punto P posto sull’asse (a distanza z dal centro).

Assumendo lo zero del potenziale all’infinito:

x

y

z

λO

P

z

Rdq= λdl

E

α

ϑ

( )V z Rz R

=+

1

2 02 2ελ

( )( )

rE kz Rz

z R=

+

12 0

2 2 3 2ελ $

4.9

( )( ) ( )

( )

V Rz

z Rz

R z z

z R

R u u

R u

z z R

z R

PP

P

P P2

P2

= − ⋅ =+

⋅

=+

= =

=−

∫ ∫

∫ ∫∞

−

+

∞

−

+

∞

r rE l k kd $ d $

dd

Ω

Ω 12

2 2

2 1 2

02 2 3 2

02 2 3 2

0

12

3 2

0

1 2

2

2

ελ

λε

λε

λε


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniBarretta carica uniformemente

Determinare il potenziale elettrostatico V(P) prodotto da una barretta di lunghezza L,uniformemente carica con densità lineare di carica λ, in un punto P posto a distanza Ldall’estremità della barretta stessa.Nota: Si assuma lo zero del potenziale all’infinito.

4.10

( )V P = λπε4

20

ln

A

dq=λdr

r

P

B

L

L

( )

( )

( )

dd d

d

ln ln ln

V qr

rr

V dV rr

r L L

r L

r L

r L

r L

P

PA

B

= =

= =

=

= −

∫ ∫=

=

=

=

14

14

14

4 42

0 0

0

2

0

2

0

πε πελ

πελ

λπε

λπε

Applicando il principio di sovrapposizione per il potenziale:


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniLavoro per spostare una carica


LL

Qe = −1

42

3 1

0

2

πε

C

+Q

L/√3

+Q

P3

P2

P1

+QL/√3

L

configurazione finale

( )

( )

( )

V QL

V QL

V QL

10

20

0

14 3

14 3

14

2 3

C

C

C

=

=

=

πε

πε

πε

C

+Q

L

+Q

P3

P2

P1

+Q

L

L

configurazione iniziale

( )

( )

( )

V QL

V QL

V QL

1 30

2 30

30

14

14

14

2

P

P

P

=

=

=

πε

πε

πε

( ) ( )( )L Q V V Q QL

QLe = − = −

C P3

0

14

2 3 2πε

4.11


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniCarica attratta da un anello

Sono dati una distribuzione di cariche lineare uniforme +λ su di un anello di raggio R edun punto materiale avente massa m e carica −Q inizialmente fermo in P (sull’assedell’anello, a distanza R dal centro): Si determini la velocità con cui la carica puntiforme,lasciata libera di muoversi, raggiunge il centro O dell’anello.

Assumendo lo zero del potenziale all’infinito:

4.12

x

y

z

λO

P

R

R

− Q

α

ϑ

r

d d dq R l R

r R R R

= =

= + =

λ λ ϑ

2 2 2

( )

( )( ) ( )

V Rz R

V Rz R

V VP

OO P

=+

=

=+

=

⇒ − = −1

21

22

21

21

2

12

2 22

02 2

0

02 2

0

0

ελ

ελ

ελ

ελ ε

λ

v Qm

= −2 2

2 0ελ

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )[ ]

U K U K

QV QV mv

v Qm

V V

P O

P O

O P

P O+ = +

− = − +

= −

12

2

2

Applicando il principio di conservazione dell’energia:


F.BloisiFisica II

ES

ELETTROSTATICAIl dipolo elettrico

Due cariche puntiformi opposteApprossimazione di dipoloSviluppo in multipoliDistribuzioni a carica totale nullaDipolo in un campo esterno: energia, momentoDipolo in un campo esterno: forzaEsempi ed applicazioni

Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

ES

Il campo elettricoRiepilogo

DefinizioniDipolo elettrico (cariche puntiformi)Dipolo elettrico (distribuzioni a caricatotale nulla)Momento di dipolo

Effetti prodotti dal dipolopotenziale elettrostaticocampo elettrico

Azioni su di un dipoloenergia potenzialemomento meccanicoforza

EserciziCariche puntiformiPotenziale di dipoloApprossimazione di dipoloDistribuzioni misteLavoro per spostare un dipolo

MNV2 Cap.2:Lavoro elettrico. Potenziale elettrostatico.Par.2.7: Il dipolo elettrico.Par.2.8: La forza su un dipolo elettrico.

5.0Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

ES

Il dipolo elettricoDue cariche puntiformi opposte

P

θ rr−

rr+

+q

-q

rδ

r rδ << r

5.1

Def.: Dipoloa) due cariche puntiformi di segno opposto, uguali in modulo,

poste a distanza piccola rispetto rispetto alle altre distanze.

Def.: Momento di dipoloa) r r

p = qδ

( )Vq

r

q

r

q r r

r rP = + + − = −

+ −

− +

− +

14

14 40 0 0πε πε πε

r rδδ θ

<< ⇒≅

− ≅

− +

− +

rr r r

r r

2

cos

( )Vp

r rr

rr p r≅ = ⋅1

4

1

402

02πε

θπε

cos $

approssimazionedi dipolo

Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

ES

Il dipolo elettricoApprossimazione di dipolo

Linee di forza di due cariche −q e +q Linee di forza di un dipolo

5.2


F.BloisiFisica II

ES

Il dipolo elettricoSviluppo in multipoli

dτ’r rr r− ′

rrr′r

P

Vcariche r r′ <<r r

5.3

Nota: Si può dimostrare che se Q=0 allora ilvettore p non dipende dalla scelta dell’origine.

( ) ( )V

Vcariche

rr

r rrr

r r=

′− ′

′∫∫∫14 0πε

ρτd

r rr r

rL′ << ⇒

− ′= + ⋅ ′ +r r

r rr r1 1

2r r

$

( ) ( ) ( )Vr r

V Vcariche cariche

r r r rLr r r r r= ′ ′ + ⋅ ′ ′ ′ +

∫∫∫ ∫∫∫

14

1 1

02πε

ρ τ ρ τd $ d

App

rofo

ndim

ento

( )r r rp r r= ′ ′ ′∫∫∫ρ τdVcariche

( )QVcariche

= ′ ′∫∫∫ρ τrr d

Momentodi dipolo

Caricatotale

( ) ( )r rr r

LE r r p r r p= +

⋅ −+

1

4

3

02 3πε

Q

r r

$ $ $

( )VQ

r rr

rLr r p= + ⋅ +

1

4 02πε

$

rE i j k= − = − − −grad $ $ $V

V

x

V

y

V

z

∂∂

∂∂

∂∂


F.BloisiFisica II

ES

Il dipolo elettricoDistribuzione a carica totale nulla 5.4

( )

( ) ( )

Vp

r r

r

rr

r rr r

r p r

E rp r r p

≅ = ⋅

≅⋅ −

1

4

1

4

1

4

3

02

02

03

πεθ

πε

πε

cos $

$ $

Def.: Dipolob) una distribuzione di cariche avente carica totale nulla,

contenuta in un volume le cui dimensioni lineari sono piccolerispetto alle altre distanze.

Def.: Momento di dipolo

b) ( )r r r r rp r p r r= =∑ ∫∫∫i ii V

qcariche

ρ τd

Si dimostra che:Se Q=0 allora p non dipende dalla scelta dell’origine.Si può calcolare p con il metodo dei “baricentri” Q+ eQ- delle cariche positive e negative.Il potenziale, in punti “lontani” dal dipolo, ha la stessaespressione calcolata per la coppia di cariche (+q, −q).Lo stesso vale per il campo elettrico, calcolato tramitela relazione

dτ’

r rr r− ′rr

r′r

P

Vcariche

r r′ <<r r

App

rofo

ndim

ento

rE i j k= − = − − −grad $ $ $V

V

x

V

y

V

z

∂∂

∂∂

∂∂


F.BloisiFisica II

ES

Il dipolo elettricoDipolo in un campo esterno: energia, momento

rE

rp+q

-q

rδ

rr−

rr+

5.5

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]( )

Ep q V q V

q V V

q

= − + +

= + −

= − ⋅

= − ⋅

− +

− −

r r

r r r

r r

r r

r r

r r

E

E p

δ

δ

Ep = − ⋅r rE p

Campo uniforme

rE

rp

+q

-q

rF+

rF−

rr−

rr+ Ω

energia momento

( )

( ) ( )

( )

r r r r r

r r r r

r r r

r r r r r

MM

MM

p

p

q q

q

q

= × + ×

= × − + × +

= − ×

= × = ×

− − + +

− +

+ −

r F r F

r E r E

r r E

E p E

polo nell' origine

δ


F.BloisiFisica II

ES

Il dipolo elettricoDipolo in un campo esterno: forza

Nota: Fp=0 se E=cost

5.6

App

rofo

ndim

ento

( )r r rF E pp = ⋅grad

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

E

y

E

z

E

x

E

y

z y

y x

=

=

M

p q

p q

p q

x x

y y

z z

===

δδδ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]

r r r r r

r r r r r

r r r

r r r

L L

L L

r r

F E r E r

E r E r

E E E

E E E

i j k

i j k

E p

p

x y z

x y z

xx

yx

zx

xx

yy

zz

q q

q

qx y y

px

py

py

pE

xp

E

yp

E

z

pEx

pE

xp

Ex

x

= − + +

= + −

= + +

= + +

= + +

+ +

= + +

+ +

= ⋅

− +

− −δ

∂∂

δ ∂∂

δ ∂∂

δ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

$ $ $

$ $ $

+ ⋅

+ ⋅

$ $ $i E p j E p k∂

∂∂

∂

r r r r

y z

Campo non uniforme

rE− rp

+q

-q

rF+

rF−

rE+

rr+

rr−

( )

( )

r r r

r rr r r

E r

E r E E E

−

−

+ =

= + + +

δ

∂∂

δ ∂∂

δ ∂∂

δx y yx y z


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniCariche puntiformi (1/2)

5.7

Determinare il momento di dipolo p di una distribuzione costituita dalle seguenti cariche puntiformi: −Q in P1≡(−L/2,−L/2), +2Q in P2≡( −L/2,+L/2) e −Q in P3≡( +L/2,+L/2).

y

x

L/2P2

P1

−Q

P3

+2Q

−Q

L/2

L/2

L/2 r1

r2 r3

rp i j= − +QL QL$ $

Metodo 1: (definizione di dipolo)

Metodo 2: (scomposizione in coppie di cariche puntiformi)r r

r r

r r r

p j

p i

p p p i j

1 1

2 2

1 2

= =

= = −

= + = − +

Q QL

Q QL

QL QL

δ

δ

$

$

$ $

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

r rp r i j k= =

+

+

= − −

+ + −

+ − +

= −

= − −

+ + +

+ − +

= +

= = = =∑ ∑ ∑ ∑q q x q y q z

p QL

QL

QL

QL

p QL

QL

QL

QL

i ii

i ii

i ii

i ii

x

y

1

3

1

3

1

3

1

3

22

2 2

22

2 2

$ $ $

y

x

+Q−Q+Q

−Q

rδ1

rδ2


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniCariche puntiformi (2/2)

5.8

Determinare il momento di dipolo p di una distribuzione costituita dalle seguenti cariche puntiformi: −Q in P1≡(−L/2,−L/2), +2Q in P2≡( −L/2,+L/2) e −Q in P3≡( +L/2,+L/2).

y

x

L/2P2

P1

−Q

P3

+2Q

−Q

L/2

L/2

L/2 r1

r2 r3

rp i j= − +QL QL$ $

Metodo 3: (“baricentri” delle cariche positive e negative)

y

x

Q−= −2Q

Q+= +2Qrδ

( )( )

Q Q L L

Q Q

QL

QL

Q Q QL

QL

QL QL

+

−

+

= + − +

= −

= − +

= = + − +

= − +

2 2 2

2 0 0

2 2

22 2

in

in

r

r r

δ

δ

$ $

$ $ $ $

i j

p i j i j


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniPotenziale di un dipolo

Date due cariche puntiformi opposte: +q in (+a,0,+a) e −q in (−a,0,−a) determinare ilvalore del potenziale elettrico nel punto P≡ (10a,0,0).

5.9

O

−q

z

+q

P x10a

rp

aa

a

a

ϑ

Poiché r=10a>>a possiamo considerare lacoppia di cariche come un dipolo

posto nell’origine.

rp i k= + ⇔ = =2 2 2 2 4aq aq p aq$ $ , ϑ π

( )Vqa

P ≅ 14 500πε

( )

( )( )

Vr

p

r

aq

a

aq

a

q

a

P ≅ ⋅ =

=

=

=

14

14

14

2 2

104

14

2 2

100

22

14 50

02

02

02

02

0

πε πεθ

πεπ

πε

πε

rp r$ cos

cos


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniApprossimazione di dipolo

Date due cariche puntiformi opposte: +q in (+a,0,+a) e −q in (−a,0,−a). Valutare l’errorerelativo che si commette utilizzando l’approssimazione di dipolo per calcolare il valoredel potenziale elettrico nel punto P≡ (r,0,0) con r = 10a.

5.10

O

−q

z

+q

P x10aaa

a

a

rr2

rr1 ke = 1

4 0πε

r a

V k q a

V k q a

V V

d e

e

=

=

=

= =

2

0 500000

0 390879

0 2792 27 9%

.

.

. .∆

r a

V k q a

V k q a

V V

d e

e

=

=

=

=

100

0 000200000

0 000199990

.

.

∆ 0.000050 = 0.005%

Con l’approssimazione didipolo (v. esercizio prec.): ( )V k

q

ak

q

ad e eP ≅ =50

0 020000.

( )

( )

( )

r a a a a

r a a a a

V kq

rk

q

rk

r r

q

a

kq

ak

q

a

e e e

e e

12 2

22 2

1 2 2 1

10 122

10 82

1 1

1

82

1

122

= + + =

= − + =

= − + + −

= −

P =

= 0.019896

∆V V = 0 5%.∆V

V

V V

Vd= − = 0 005204.


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniDistribuzioni miste

O

−Q

y

+2Q

x

L

L

−Q

O

−Q

y

+2Q

x

L/2

L/2−Q

L

Una distribuzione di cariche è costituita da una carica puntiforme positiva +2q in (L/2,L)e due cariche negative −q distribuite uniformemente su due barrette di lunghezza L,disposte come in figura.Determinare il momento di dipolo p della distribuzione di cariche.

5.11

L/2 O

−2Q

y

+2Q

x

L/2

L

L/4

L/4

rδ

( )( )

r

r r

δ

δ

≡

= ≡

14

34

14

342 2 2

L L

Q Q L Q L

,

,p( )rp ≡ 1

232QL QL,

O

y

x

rp


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniLavoro per spostare un dipolo 5.12

Determinare il lavoro che è necessario compiere per spostare, senza ruotare, il dipolo p, in presenza della carica Q, lungo il percorso AB indicato in figura.

y

x

p

B

A

+QR

r

r

rE

E

EA

A A

A A

== ° =

= ° =

14

451

42

2

451

42

20

20

2

02

πεπε

πε

Q

R

EQ

R

EQ

R

x

y

cos

sin

( )rp ≡ 0 , p

r

r

rE

E

EB

B B

B B

== − ° = −

= − ° = −

14

451

42

2

451

42

20

20

2

02

πεπε

πε

Q

R

EQ

R

EQ

R

x

y

cos

sin

( )

( )

E

E

p x x y y

p x x y y

E p E pQ

Rp

E p E pQ

Rp

A A A A

B B B B

= − ⋅ = − + = −

= − ⋅ = − + =

r r

r r

E p

E p

14

22

14

22

02

02

πε

πε

LQ

Rp= 1

42

02πε

L p p= −E EB A


F.BloisiFisica II

ES

ELETTROSTATICACaratteristiche dei conduttori

Definizione e proprietàCampo in prossimità della superficieConduttore in presenza di caricheConduttore cavo, schermo elettrostaticoInduzione elettrostatica, induzione completaPressione elettrostaticaEsempi ed applicazioni

Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

ES

Caratteristiche dei conduttoriRiepilogo

DefinizioniConduttore (elettrico)Induzione elettrostaticaInduzione completaPressione elettrostatica

Proprietà dei conduttori(in condizioni di equilibrio elettrico)

campo e potenziale all’internocampo in prossimità della superficiepressione elettrostaticaschermo elettrostatico

EserciziForza su di un elettroneSfera metallica caricaSfera metallica caricata con una d.d.p.La Terra come conduttoreConduttori collegati“Messa a Terra”

MNV2 Cap.4:Conduttori. Dielettrici.Energia elettrotatica.Par.4.1: Conduttori in equilibrio.Par.4.2: Conduttore cavo. Schermo elettrostatico.

6.0Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

ES

Caratteristiche dei conduttori Definizione e proprietà

In condizioni di equilibrio elettrostatico:in tutti i punti all’interno di un conduttore:

il potenziale elettrostatico assume lo stessovalore (è uniforme all’interno del conduttore)

il campo elettrico è nullo

la densità di carica (macroscopica) è nulla

ne segue che:

vi possono essere cariche solo sulle superficidei conduttori

è possibile fissare solo la carica totale di unconduttore, non il modo in cui le cariche sidistribuiscono sulla sua superfie

Conduttore: un materiale al cui interno le cariche elettriche possono muoversiliberamente.

Vi sono, all’interno di un conduttore, un certo numero di cariche ( elettroni di conduzione) che,finché restano all’interno del conduttore, possono considerarsi soggette alle sole forze elettriche.

6.1

conduttori (rame, ferro, etc.)

alcuni fatti sperimentali


F.BloisiFisica II

ES

Caratteristiche dei conduttoriCampo in prossimità della superficie

E=0

$n

$t

6.2

Se fosse Et ≠ 0 le cariche(elettroni di conduzione) simuoverebbero sullasuperficie del conduttore.

Anche se En ≠ 0 le cariche(elettroni di conduzione)non possono “attraversare”la superficie delconduttore.

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

r

r r

r

E t

E t E t

E t

⋅ =

⋅ + ⋅ =

⋅ =

∫ $d

$ $

$

l

l

E

i i e e

e et

γ

0

0

0

∆

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

r

r r

r

E n

E n E n

E n

⋅ =

⋅ + ⋅ =

⋅ = =

∫∫ ∫∫∫$ dd

$ $

$

s

ss

E

V

i i e e

e en

Σ

∆

ρ τε

σ∆ε

σε

σε

0

0

0 0

In prossimità della superficie di unconduttore il campo elettrostatico vale:

rE n= σ

ε0

$

Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

ES

Caratteristiche dei conduttoriConduttore in presenza di cariche

Conduttore in presenza di caricheIl campo all’interno del conduttore deve esserenullo ⇒⇒⇒⇒ la presenza di cariche esterne alconduttore altera la distribuzione di cariche sullasua superficieLa carica si conserva ⇒⇒⇒⇒ la presenza di caricheesterne al conduttore non può alterare la caricatotale presente sulla superficie del conduttore

6.3

In condizioni di equilibrio elettrostatico:cariche elettriche poste all’esterno di unconduttore alterano la distribuzione dellecariche sulla sua superficie senza modificare ilvalore della carica totaleè possibile fissare la carica totale presente su diun conduttore, non la sua distribuzione, che èdeterminata anche dalla presenza di caricheall’esterno del conduttore

Σe Ωe

−q+q

−σ+σ

E=0

Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

ES

Caratteristiche dei conduttoriConduttore cavo, schermo elettrostatico

In condizioni di equilibrio elettrostatico:lo “spazio interno” non è influenzato dallecariche presenti nello “spazio esterno”lo “spazio esterno” risente solo della caricatotale posta all’interno della cavità

6.4

Conduttore cavo, senza cariche nella cavitàTeorema di Gauss ⇒⇒⇒⇒ la carica totale sullasuperficie “interna” Σi deve essre nullaIl campo elettrostatico è conservativo ⇒⇒⇒⇒ ladensità di carica deve essere ovunque nulla sullasuperficie “interna” Σi

Conduttore cavo, con cariche nella cavitàTeorema di Gauss ⇒⇒⇒⇒ la carica che si distribuiscesulla superficie “interna” Σi è esattamenteopposta alla carica contenuta nella cavitàLa carica si conserva ⇒⇒⇒⇒ la carica posta all’internodella cavità si aggiunge alla carica posta sullasuperficie esterna

Σe

Σi

Ωe

Ωi

−q+q

−σ+σ

Q+qΣe

Σi

Ωe

Ωi

q

-q

q3

q2

q1


F.BloisiFisica II

ES

Caratteristiche dei conduttoriInduzione elettrostatica, induzione completa 6.5

Induzione completa: tutte le linee di forza chepartono da un conduttore terminano sull’altro.

un conduttore è contenuto all’interno dell’altroi due conduttori sono a distanza molto piccola

Le cariche presenti sulle superfici affacciate deidue conduttori sono uguali in modulo e di segnoopposto

Teorema di Gauss ⇒⇒⇒⇒le distribuzioni di carica sullesuperfici dei due conduttori siinfluenzano reciprocamentein particolare le quantità di caricasulle superfici alle estremità di unostesso tubo di flusso devono essereuguali in valore assoluto e disegno opposto

−q+q

Σ1

Σ2


F.BloisiFisica II

ES

Caratteristiche dei conduttoriPressione elettrostatica

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

r r r

r r r

r r

r r

r

E E E

E E E n

E E

E E n

E n

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

∆

Qi

Q Qi

Qe

Q Qe

Qi

Qe

Q Q Qe

Qi

+ = =

+ = =

= −

⇒= =

= −

−

−

−0

2

2

0

0

0

σε

σε

σε

$

$

$

∆ ∆ ∆ ∆

∆∆

∆

r r

r

F E n n

F n

= = =

= ⋅ =

−Q S S

p S

Q Q

es

σ σε

σε

σε

2 2

2

0

2

0

2

0

$ $

$

( )rE∆Q

i

( )rE∆Q

erEQ Q−∆

$n

Le cariche sullla superficie di unconduttore sono sottoposte allapressione elettrostatica

pes = σε

2

02

6.6

App

rofo

ndim

ento

Calcoliamo la forza elettrostatica cui sonosottoposte le cariche elettriche presenti sullasuperficie di un conduttore.


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniForza su di un elettrone 6.7

Un conduttore sferico di raggio R ha una carica negativa −Q. Determinare la forza elettrica che agisce su ciascun elettrone di conduzione in eccesso.

Per ragioni di simmetria la forza èortogonale alla superficie:

rF ne eF= $

rF ne

eQ

R= 1

4 202πε$

p

pF N

SF n F

e

Fe e Q

R

es

ese e

e e e

e

=

= = =

⇒ = =

σε

σσε ε π

2

0

0 02

22 2 4

∆

nee = σ σ

π= Q

R4 2

R

−σ−Q

rFe

rF ne eF= $

−Q−e

R√2

RNota: la forza è quella che siavrebbe tra due carichepuntiformi −Q e −e poste adistanza R√2>R


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioni Sfera metallica carica 6.8

Una sfera metallica di raggio R = 5.00 cm, sorretta da un supporto isolante, viene caricatacon una carica elettrica Q = 1.00 nC. Si determini il campo elettrico in prossimità dellasuperficie della sfera.

rE R= 1

4 02πε

Q

R$

• la carica Q si distribuisce sulla superficie della sfera• non essendoci altre cariche (si trascura l’effetto delsupporto) la distribuzione sarà uniforme:

• in prossimità della superficie (all’esterno della sfera) ilcampo elettrico vale

dove il versore va’ dal centro verso la superficie.

σπ

= Q

R4 2

rE n R= = =σ

εσ

πε0 024

$ $Q

R

$R

R

σQ r

E

Nota: allo stesso risultato si sarebbe giunti considerando cheall’esterno della sfera (r > R) la distribuzione di cariche, essendo asimmetria sferica, produce lo stesso campo elettrico di una caricapuntiforme Q posta al centro della sfera.

= 3.60 kV/m


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniSfera metallica caricata con una d.d.p. 6.9

Una sfera metallica di raggio R = 5.00 cm, sorretta da un supporto isolante, viene caricataad una differenza di potenziale V0 = 500 V, assumendo il potenziale nullo all’infinito).Si determini la carica elettrica che è stato necessario fornire alla sfera.

• la carica elettrica Q fornita alla sfera si distribuisce inmaniera uniforme sulla superficie, non essendoci altrecariche (si trascura l’effetto del supporto)

• essendo la distribuzione a simmetria sferica, il campo, equindi il potenziale, al suo esterno (r > R) sono uguali aquelli di una carica puntiforme Q posta al centro della sfera.

• in particolare il potenziale sulla superficie, ed all’internodella sfera, vale

ponendo V = V0 si ricava il vaolre della carica.

VQ

R= 1

4 0πε

Nota: il rapporto tra carica e potenziale dipendesolo da caratteristiche geometriche.

R

QV0

Q V R= =4 2 780 0πε . nC


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniLa Terra come conduttore 6.10

Determinare quali sarebbero il potenziale VT ed il campo elettrico ET in prossimità dellasuperficie della Terra se sulla sua superficie fosse distribuita una carica di un elettrone almetro quadro (σ = −1.60 10-19 C/m2).(Si consideri la Terra come una sfera conduttrice di raggio RT = 6.37 106 m e si assumanullo il potenziale all’infinito)

Q S R

VQ

R

R

R

R

T T

T

T

T

T

= =

= = =

σ σ π

πε πεσ π σ

ε

4

14

14

4

2

0 0

2

0

rE nT = σ

ε0

$

( )

VR

TT

T

= = −

= = −

σε

σε

0

0

115

181

mV

nV / mrE n n$ . $

Per calcolare il potenziale consideriamo, al posto della sfera,una carica puntiforme al suo centro

Il campo in prossimità di un conduttorevale:


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniConduttori collegati 6.11

R1

σ1

Q1

R2

σ2Q2

Due sfere (raggi R1 = 7.00 cm ed R2 = 3.00 cm rispettivamente) di materiale conduttoresono collegate tramite un filo conduttore molto lungo e di spessore trascurabile. Una caricaQ = 5.00 nC viene fornita al sistema. Determinate le cariche (Q1, Q2) e le densità di carica(σ1, σ2) sulle due sfere.

Conservazione della carica:Q1+Q2=Q

Conduttori:V1=V2

VQ

RV

Q

R10

1

12

0

2

2

1

4

1

4= =

πε πε Q Q Q

V V

Q Q Q

Q R Q R

= +=

⇒= +

=

1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

Nota: se R1>R2 si ha Q1>Q2 ma σ1<σ2

( )

( )

Q QR

R R

Q

R R R

Q QR

R R

Q

R R R

11

1 21

1 1 2

22

1 22

2 1 2

3504

1568

1504

1133

=+

= =+

=

=+

= =+

=

. .

.

nC nC / m

nC nC / m

2

2

σπ

σπ

Nota: con R1=RT= 6.37 106 m(raggio della Terra) avremmo

Q1 = 5.00 10-9 C Q2 = 23.5 10-18 C(e = 1.60 10-19 C)


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioni“Messa a Terra” 6.12

Determinare la carica elettrica ∆Q che occorre fornire alla Terra per aumentare il suopotenziale di ∆V = 1.00 mV.(Si consideri la Terra come una sfera conduttrice di raggio RT = 6.37 106 m e si assumanullo il potenziale all’infinito)

∆ ∆Q VRT= =4 7080πε nC

Q VQ

R

Q Q Q VQ Q

R

V V VQ

RQ V R

T

T

TT

⇒ =

↓ ↓

′ = + ⇒ ′ = +

⇒ = ′ − = ⇒ =

14

14

14

40

0

00

πε

πε

πεπε

∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆

Nota: La medesima quantità di carica ∆Q produrrebbe,su di una sfera metallica di raggio RS = 1.00 m unavariazione di potenziale

∆ ∆ ∆ ∆V

Q

R

V R

R

V R

RSS

T

S

T

S

= = = =14

14

46 37

0 0

0

πε πεπε

. kV


F.BloisiFisica II

ES

ELETTROSTATICACapacità elettrica

Conduttore isolatoCondensatoreMatrice delle capacitàDefinizione di capacità equivalenteCondensatori in parallelo o in serieCalcolo della capacità equivalenteEsempi ed applicazioni

Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

ES

Capacità elettricaRiepilogo

DefinizioniCapacità elettricaCondensatoreCapacità equivalenteCondensatori in serieCondensatori in parallelo

RicaveremoCapacità equivalente di più condensatori

in paralleloin serie

Capacità di un condensatorepianocilindricosferico

EserciziCondensatore pianoCondensatore sfericoCondensatore cilindricoCapacità equivalenteLavoro per allontanare le armature

MNV2 Cap.4:Conduttori. Dielettrici.Energia elettrotatica.Par.4.3: Condensatori.Par.4.4: Collegamento di condensatori.

7.0Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

ES

Capacità elettricaConduttore isolato

Q

V

σ

V(x,y,z)

αQ

αV

ασ

αV(x,y,z)

Il rapporto Q/V, che non dipende né dalla caricané dal potenziale (misurato rispetto all’infinito), masolo dalle cartteristiche geometriche del conduttore èdetto capacità elettrica del conduttore.

CQV=

L’unità di misura è il

Farad = Coulomb/Volt

[F] = [C/V]

le dimensioni sono

[F] = [L-2 M-1 T+4 I+2]

7.1


F.BloisiFisica II

ES

Capacità elettricaCondensatore

Condensatore

Chiamiamo condensatore elettricoun dispositivo costituito da dueconduttori (detti armature) tra cui vi èinduzione completa.

Chiamiamo capacità delcondensatore il rapporto tra il valoreassoluto della carica presente sullearmature e la d.d.p. tra le armature

CQV

= ∆

La capacità di un condensatoredipende solo dalla configurazionegeometrica mentre non dipende nédalla d.d.p. né dalla carica presentesulle armature.

( )

Capacità

Cond. piano

Cond. cilindrico

Cond. sferico

CS

d

CL

R R

CR R

R R

e i

i e

e i

=

=

=−

ε

πε

πε

0

0

0

2

4

ln

7.2


F.BloisiFisica II

ES

Capacità elettricaMatrice delle capacità

Il concetto di capacità si può estendere al caso in cuitra i due conduttori non vi sia induzione completa ed alcaso in cui siano presenti più di due conduttori.

C =C C

C C

n

n nn

11 1

1

LM M

K

In tal caso si definisce la matrice delle capacità

tale che, detti Qi e Vi rispettivamente la carica ed ilpotenziale (rispetto all’infinito) del conduttore i-mo,risulta Q C Vi i j j

j= ∑

Si può dimostrare che:I coefficienti Cij dipendono solo dalla geometria

del sistema di conduttoriLa matrice C è simmetrica (Cij=Cji)

Q C V C V

Q C V C V1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

= += +

C = C CC C

11 12

21 22

12

se

posto

Q Q Q

V V V

QV

C C C CC C C C C

2 1

2 1

11 22 12 21

11 22 12 21

= − == −

=−

+ + + =

∆

∆

CQV C

QV

V V11

1

1 012

1

2 02 1

= == =

L

7.3A

ppro

fond

imen

to


F.BloisiFisica II

ES

Capacità elettricaDefinizione di capacità equivalente

Un condensatore Ceq si dice di capacità equivalente a quella di un insieme dicondensatori C1... CN se, per ottenere la medesima differenza di potenziale(∆V = ∆V’) è necssario fornire la medesima quantità di carica (Q = Q’)

Ceq = Q’/∆V’

∆V’ = ∆VQ’ = Q

Capacità equivalente, tra i nodi A e B, di uninsieme di condensatori:

Ceq = Q/∆V

∆V = VB-VA

A B

Q

A’ B’

Q’

∆V’ = VB’-VA’

7.4


F.BloisiFisica II

ES

Capacità elettricaCondensatori in parallelo o in serie

Condensatori in parallelo sela differenza di potenziale tra learmature è la stessa per entrambi

7.5

Condensatori in serie sela carica sulle arrmature è lastessa per entrambi

V V V

Q Q Qp

p

1 2

1 2

= =+ =

C Q V

Q C V

C Q V

Q C V

1 1 1

1 1 1

2 2 2

2 2 2

=⇒ =

=⇒ =

( )Q C V C V

C C V

CQ

VC C

p

p

pp

p

= += +

= = +

1 1 2 2

1 2

1 2

Q Q Q

V V Vs

s

1 2

1 2

= =+ =

C Q V

V Q C

C Q V

V Q C

1 1 1

1 1 11

2 2 2

2 2 2

=⇒ =

=⇒ =

( )V Q C Q C

C C Q

C

V

Q C C

s

s

s

s

s

= += +

= = +

1 1 2 2

1 2

1 2

1 1

1 1 1

C Cp ii

= ∑Capacità equiv. (parallelo): Capacità equiv. (serie): 1 1

C Cs ii

= ∑


F.BloisiFisica II

ES

Capacità elettricaCalcolo della capacità equivalente

capacità equivalente tra due punti del circuitospesso si può procedere per riduzioni successive sostituendo duecondensatori in serie (parallelo) con uno di capacità equivalente.

Note:la capacità equivalente dipende dai due nodipresi in considerazionesi possono avere situazioni in cui duecondensatori non sono né in serie né inparallelo

A

B

C1AB

C

A

C3

C4

C2

B

Cp1A BC

AC4

C2

B

Cp1=C1+C3

Cs1A B

AC4

B

1/Cs2=1/Cp1+1/C2

Cp2

A B

Cp3=Cs2+C4

7.6


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniCondensatore piano

++++σ−−−−σ

++++σ

−−−−σ

E

• Se si trascurano gli effetti di bordo,per simmetria le distribuzioni dicarica +σ e −σ devono essereuniformi.

• Per uno strato caricorE n=

σε2 0

$

• Ne segue che all’interno di uncondensatore piano il campo elettricoha:

modulo

direzione perpendicolare alle armature

verso. dall'armatura positiva a quella negativa

.

.

E =σ ε0

∆

∆

V E d d

Q SC

QV

Sd

= =

=

⇒ = =

σε

σ

ε00

• Quindi, per un condensatore piano:Nota:Al di fuori delcondensatore ilcampo è nullo.

7.7

Determinare la capacità di un condensatore piano.


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniCondensatore sferico

++++σ1

−−−−σ2• Per simmetria il campo all’interno del condensatore sfericodeve essere radiale diretto dall’armatura positiva a quellanegativa.

∆ ∆V E rQ r

rQ

R RC

QV

R RR R

R

R

Ri

R

i e

i e

e ii

e e

= = = −

⇒ = = −∫ ∫d d

4 41 1 4

02

00πε πε πε

• Quindi, per un condensatore sferico:

• Applicando il teorema di Gauss

ΦE r E

Q QE

Qr

=

=

⇒ =

4

4

2

02

π

πεint

7.8

Determinare la capacità di un condensatore sferico.

Nota:Al di fuori del condensatore il campo è nullo.


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniCondensatore cilindrico

• Se si trascurano gli effetti di bordo, per simmetria il campoall’interno del condensatore cilindrico deve essere radialediretto dall’armatura positiva a quella negativa.

( )

∆

∆

V E rR r

rR R

R

Q R LC

QV

L

R R

R

Ri

Ri

Ri e

i

ie i

i

e e

= = =

=

⇒ = =

∫ ∫dd

ln

ln

σε

σε

π σπε

0 0

0

22

• Quindi, per un condensatore sferico:

• Applicando il teorema di Gauss

ΦE

i

irhE

Q R hE

Rr

=

=

⇒ =

2

2 0

π

π σ

σε

int

Nota:Al di fuori del condensatore il campo è nullo.

−−−−σ2++++σ1

7.9

Determinare la capacità di un condensatore cilindrico.


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniCapacità equivalente 7.10

Determinare le cariche Q2 e Q4 presenti rispettivamente sui condensatori C2 e C4 quandotra i punti A e B vi è la differenza di potenziale VAB.

C1

ABC3

C4

C2

Cp

AB

C4

C2

Cp=C1+C3Qp=Qp+Qp

∆ ∆ ∆∆∆

∆

V V V

C Q V

C Q V

Q C V

p

p p

AB

AB

= +==

=

2

2

2 2 2

4 4

∆ ∆ ∆∆ ∆

∆∆∆

V V V

V V

Q Q

C Q V

C Q V

C Q V

p

p

p p p

AB

AB

= +=====

2

4

2

2 2 2

4 4 4

( )( )

∆ ∆ ∆V V VQ

C

Q

CQ

C C

QC C

C CQ

C C C

C C C

pp p

p

p

AB = + = + = +

=

=+

=+ ++

22 2

22

2

22

22

1 3 2

1 3 2

1 1

( )Q

C C C

C C CV

Q C V

21 3 2

1 2 3

4 4

=+

+ +

=

∆

∆

AB

AB


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniLavoro per allontanare le armature (1/2)

7.11

Dato un condensatore piano (area delle armature: A = 0.500 m2, distanza tra le armature h= 100 µm) carico (Q = 2.50 nC), determinare il lavoro Le che è necessario compiere perraddoppiare la distanza tra le armaturea) se il condensatore è isolato (la carica resta costantea)b) se il condensatore è collegato ad un generatore di d.d.p. (la d.d.p. resta costante).

++++σ

−−−−σ

E1dF21

( )

r

r r

r

r r

E

F E

F

F h

10 0

21 10

2

20

21

2

0

21

2

0

2

0

2

=+

=

= = =

=

= − = − ⋅ =

= −

σε ε

σε ε

ε

ε

ε

Q

A

Q AQ

A

Q

AA

Q

A

L LQ

Ah

LQ

Ah h

e

e

d d d d

d d d d

LQ h

Ae = =2

0

141ε

nJ

a)


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniLavoro per allontanare le armature (2/2)

7.12

b) CQ

V

CA

h

QA

hV

=

=

⇒ =∆ ∆εε

0

0

CQ

V

CA

h

Vh

AQ

=

=

⇒ =∆ ∆ε ε0 0

r

r r

r

r r

E

F E

F

F h

10 0

21 10

2

20

21

2

0

02

0

02

2

210

2

2

02

2

2

02

2

02

00

2 2

0

1

1 12

12

12

=+

=

= = =

= =

=

= − = − ⋅ =

= = −

=

=

=

∫

σε ε

σε ε

εε

εε

ε

ε ε ε

εε ε

Q

A

Q AQ

A

Q

AA

Q

A

A

hV

A

A V

h

L LA V

hh

L A Vh

hA V

hA V

h

AhA

Qh

hQA

e

e

h

h

h

h

d d d d

d d d d

d

∆ ∆

∆

∆ ∆ ∆

LQ h

Ae = =12

70 62

0ε. nJ


F.BloisiFisica II

ES

ELETTROSTATICAI dielettrici

Alcuni fatti sperimentaliModalità di polarizzazioneDescrizione microscopica e macroscopicaCondensatore riempito di dielettricoDielettrici omogenei ed isotropiEsempi ed applicazioni

Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

ES

I dielettriciRiepilogo

DefinizioniVettore densità di polarizzazionedensità di cariche di polarizzazione

di superficiedi volume

Suscettività elettricaCostante dielettrica relativaRigidità dielettricaVettore spostamento elettrico

Modalità di polarizzazionePer deformazionePer riorientamento

Elettrostatica nei dielettriciTeorema di Gauss nei dielettrici

EserciziForza tra cariche elettriche puntiformi in undielettricoRigidità dielettricaCondensatore isolato riempito di dielettricoCondensatore riempito di dielettricoCondensatore in parte riempito didielettrico (a)

Condensatore in parte riempito didielettrico (b)

MNV2 Cap.4:Conduttori. Dielettrici.Energia elettrotatica.Par.4.6: Dielettrici. La costante dielettrica.Par.4.7: Polarizzazione dei dielettrici.Par.4.8: Equazioni generali dell’elettrostatica

in presenza di dielettrici.

8.0Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

ES

I dielettriciAlcuni fatti sperimentali

condensatorenel vuoto

• Capacità: C0

condensatoreriempito di dielettrico

• Capacità: C > C0

• a parità di d.d.p.(∆V = ∆V0)

• Q > Q0

• a parità di carica(Q = Q0)

• ∆V < ∆V0

• in ogni caso• C > C0

8.1

dielettrici


F.BloisiFisica II

ES

I dielettriciModalità di polarizzazione 8.2

E = 0

Dielettriconon polarizzato

Dielettricopolarizzato

E

−σp +σp

P

Polarizzazione per riorientamento

E = 0

p = 0

E

pPolarizzazione per

deformazione

E

p

E = 0

p = 0

Un dielettrico polarizzato può essere descrittotramite il vettore densità di polarizzazione

dimensioni: [ L-2 T I ]unità S.I.: C/m2

r r r

Pp p

= =→ →

∑lim lim∆τ ∆τ∆τ ∆τ0 0

iiN

Densità di carichedi polarizzzione

σρ

p

p

= ⋅= −

r

rP n

P$

div


F.BloisiFisica II

ES

I dielettriciDescrizione microscopica e macroscopica 8.3

carichelibere

conduttore

conduttore

cariche dipolarizzazione

dielettrico

dielettrico

ciascun atomo èelettricamente neutro

ciascuno spezzone restaelettricamente neutro

si ha un movimento macroscopicodegli elettroni di conduzione

uno spezzone ha un eccesso di elettroni,l’altro una carenza di elettroni


F.BloisiFisica II

ES

I dielettriciCondensatore riempito di dielettrico (1/2)

8.4

La presenza delle cariche di polarizzazionefa’ sì che, a parità di cariche libere,

∆V è minore di ∆V0C è maggiore di C0

E0 = σ/ε0∆V0 = E0 dC0 = Q/∆V0

E = (σ− σp)/ε0 < E0∆V = E d < ∆V0C = Q/∆V > C0

+++++++++++

−−−−−−−−−−−

+σ,−σp +σp ,−σ

+++++

−−−−−

Superfici gaussiane

+++++++++++

−−−−−−−−−−−

+σ −σCosideriamo due condensatori aventi lestesse caratteristiche geometriche:

C0 “vuoto”C riempito con un dielettrico

omogeneo ed isotropoe carichiamoli con la stessa carica libera


F.BloisiFisica II

ES

I dielettriciCondensatore riempito di dielettrico (2/2)

8.5

In genere: se tutto lo spazio in cuivi è campo elettrico è riempito conun dielettrico omogeneo ed isotropo

r rE E= 0 εr

r rP E= ε χ0 e

dielettricoomogeneo ed isotropo

(χe: suscettivita elettrica)

campo ortogonale allasuperficie del dielettrico

r rE n E⋅ =$

rE0

0

= σε

σ p = ⋅rP n$

densità di carichedi polarizzazione

di superficie

∆V d0 0=rE

CQ

V00

=∆

εr: costante dielettricareativa

ε χr e= + 1

σ ε χ ε χ

σ σε

σε

χ

χ ε

ε ε

ε ε

p e e

p pe

e r

r r

r r

V d dV

CQ

V

Q

VC

= ⋅ = ⋅ =

=−

= − = −

=+

=

= = =

= = =

r r r

r r r r

rr r

rr

P n E n E

E E E E

EE E

EE

$ $0 0

00

00

0 0

0 0

00

1

∆ ∆

∆ ∆

χe ed εr sono adimensionalii valori dipendono dal dielettrico,ma è sempre: χe > 0 εr > 1


F.BloisiFisica II

ES

I dielettriciDielettrici omogenei ed isotropi 8.6

Se tutto lo spazio in cui vi è campo elettrico è riempito con un dielettrico omogeneo edisotropo, il campo elettrico è dato da dove E0 è il campo che si avrebbe nelvuoto, con la stessa distribuzione di cariche.Attenzione: e’ possibile che la presenza del dielettrico alteri la distribuzione di cariche(in un condensatore riempito di dielettrico a d.d.p. costante il generatore di d.d.p. deve

r rE E= 0 ε r

(Def.) Rigidità dielettrica (ER):valore massimo del campo elettricoche può essere applicato ad undielettrico senza danneggiarlo.

aria 1.00054 3carta 3.5 16mica 5.4 160olio 4.5 12polistirolo 2.6 24vetro pyrex 4.7 14acqua 80.4(vuoto) 1

Dielettrico εr (adim.) ER (kV/mm)

Se si vuole applicare il teorema di Gauss• o si tiene conto sia delle “cariche libere” chedelle “cariche di polarizzazione”

• o si utilizza il vettore “spostamento elettrico”

che “vede” solo le “cariche libere”

( ) ( )ΦE = + ⇔ = +Q Ql p l p,int ,int divε ρ ρ ε0 0

rE

ΦD = ⇔ =Ql l,int divrD ρ

r r r rD E P E= + =

defε ε ε0 0 r

Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioni

Date tre cariche puntiformi identiche (+Q) immerse in olio (costante dielettrca relativa εr)poste ai vertici di un triangolo equilatero di lato L determinare la forza elettrica che agisce suciascuna carica.

8.7

( )h L L L hL= + = = =2 1

2

2 32

32cosα

( )

r r

r r r

r r

E E

E E E

F E

1 20

2

1 20

20

2

1 2

1 2

1 20

2

1 2

0

2

2

14

14

14

32

14

3

0

14

3

0

= =

= = =

= − =

= +

= + =

= + =

=

=

=

πε ε

πε εα

πε ε

πε ε

πε ε

r

x xr r

y y

x x xr

y y y

xr

x

Q

L

E EQ

L

Q

LE E

E E EQ

LE E E

Q

EQ

LE

cos

non necassario

rE i= 1

43

0

2

2πε εr

Q

L$

O

+Q

y

L

L/2

α

E1

+Q

P3E2

Eh

P2

P1

+Q

L

αα

L/2x

εr


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniRigidità dielettrica

Una sfera metallica carica è immersa in un dielettrico (costante dielettrica relativa εr, rigiditàdielettrica ER). Determinare il valore massimo Qmax che può avere la carica.

8.8

Q R Er Rmax = 4 02πε ε

σπ

σε πε

πε ε

πε επε ε

=

= =

=

<

< ⇒ <

Q

R

EQ

R

EQ

R

E E

Q

RE Q R E

r

R

rR r R

4

4

4

44

2

00 0

2

02

02 0

2

εr

QR


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniCondensatore isolato riempito di dielettrico 8.9

Un condensatore piano (armature di area A a distanza h) è caricato alla d.d.p. ∆V0. Dopoaver staccato il generatore, il condensatore viene riempito di dielettrico (costante dielettricarelativa εr). Determinare le cariche di polarizzazione σp.

Nota: la carica resta la stessa.

r

r

E

E

00

00

0 0

=

=

⇒ =

∆∆

V

h V

hσε

σ εlib

lib

r rP E= ε χ0 e

ε χr e= + 1

r

r

E

P n

=−

= ⋅ = =

⇒ = = −σ σ

εσ ε χ

σ σ χε

σ εε

lib

lib lib

p

p e

pe

r

r

rP E0

0

1

$

σ εε

εp

r

r

V

h= −1 0 0∆


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioniCondensatore riempito di dielettrico 8.10

Un condensatore piano (armature di area A a distanza h) è caricato alla d.d.p. ∆V0. Senzastaccare il generatore, il condensatore viene riempito di dielettrico (costante dielettricarelativa εr). Determinare le cariche di polarizzazione σp.

Nota: la d.d.p. resta la stessa.

( )σ ε εp r

V

h= − 1 0 0∆

∆V0 ∆V0

r rP E= ε χ0 e ε χr e= + 1

( )r

rE

P n

=

= ⋅ = =

⇒ = = −

∆∆ ∆

V

hP E

V

h

V

hp e

p e r

0

0

00

001

σ ε χσ ε χ ε ε

$


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioni Condensatore in parte riempito di dielettrico (a)

8.11

Determinare le capacità elettrica C di un condensatore piano (armature di area A a distanzah) riempito di dielettrico (costante dielettrica relativa εr) per metà spessore.

Nota:

Q1 = Q2 = QE1 ≠ E2

1 1 1 2 2

2

11

2

1

1 2 0 0 0 0C C C

h

A

h

A

h

A

h

Ar r

r

r

= + = + = +

= +

ε ε ε ε ε εε

ε

CA

hr

r

=+

εε

ε1

2 0


F.BloisiFisica II

ES

Esempi ed applicazioni Condensatore in parte riempito di dielettrico (b)

8.12

Determinare le capacità elettrica C di un condensatore piano (armature di area A a distanzah) riempito di dielettrico (costante dielettrica relativa εr) in corrispondenza di metà area.

Nota:

E1 = E2

Q1 ≠ Q2

( )C C CA

h

A

h

A

hr

r= + = + = +1 20 0 02 2

21

ε ε ε ε ε

( )C

A

hr=

+ε ε0 1

2


F.BloisiFisica II

ES

ELETTROSTATICAEnergia e campo elettrico

Energia di una distribuzione di caricheEnergia e capacitàDensità di energiaDensità di energia in un dielettricoEsempi ed applicazioni

Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

ES

Energia e campo elettricoRiepilogo

DefinizioniEnergia di una distribuzione

puntiformicontinue

Energia immagazzinata in un condensatoreDensità di energia associata

al campo elettrico nel vuotoal campo elettrico in un dielettrico

EserciziQuattro cariche puntiformiLavoro per spostare una caricaDoppio guscio sfericoCondensatore riempito con due dielettrici

MNV2 Cap.2:Lavoro elettrco. Potenziale elettrotatico.Par.2.3: Energia potenziale elettrostatica.

MNV2 Cap.4:Conduttori. Dielettrici.Energia elettrotatica.Par.4.5: Energia del campo elettrostatico.

9.0Rev. 1.1


F.BloisiFisica II

ESES

Energia e campo elettricoEnergia di una distribuzione di cariche (1/2)

9.1

Def.:poste tutte a distanza infinita l’una dall’altra.

Il lavoro fatto dalle forze esterne èLAB = q (VB - VA)

( )

( ) ( ) ( )[ ]

E

E

E

e

e

e

= =

= + + = + +

=

≠

∑

q Vq q

r

q V q V Vq q

r

q q

r

q q

r

q q

ri j

iji ji j

2 1 21 2

0 12

2 1 2 3 1 3 2 31 2

0 12

1 3

0 13

2 3

0 23

0

4

4 4 4

12 4

r

r r r

r

r r r

πε

πε πε πε

πε,

2 cariche:

3 cariche:

N cariche:

Energia di una distribuzionedi cariche puntiformi

Ee =

≠

∑12 4 0

q q

ri j

iji ji j

πε,


F.BloisiFisica II

ESES

Energia e campo elettricoEnergia di una distribuzione di cariche (2/2)

9.2

Potenziale nel punto Piprodotto da tutte le cariche,

esclusa la carica qi

Potenziale nel punto Piprodotto dalla carica qj

N carichepuntiformi:

distribuzionecontinua:

( )

E

E

e

e

=

= =

=

≠

≠

∗

∑

∑∑ ∑

∫∫∫

12 4

12 4

12

12

0

0

q q

r

qq

rq V

V

i j

iji ji j

ij

ijj iii i

i

Vcariche

πε

πε

ρ τ

,

d

rr

Energia di una distribuzionecontinua di cariche

Ee = ∫∫∫12

ρ τVVcariche

d


F.BloisiFisica II

ESES

Energia e campo elettricoEnergia e capacità

Calcoliamo il lavoro necessatio per caricare un condensatore:

carica finale: Qd.d.p. finale: V = Q/Cdurante la carica: V(q) = q/C

( )d d d

d d

L V q qqC q

L LqC q C

Q

q

q Q Q

= =

= = ==

=

∫ ∫0 0

212

L’energia immagazzinata in un condensatore è

EC CVQ

CQV= = =1

2

1

2

1

22

2

9.3

Nota:Poiché la capacità di un condensatore aumenta se ilcondensatore è riempito di dielettrico anche l’energiaimmagazzinata, a parità di d.d.p. aumenta.


F.BloisiFisica II

ESES

Energia e campo elettricoDensità di energia (1/2)

9.4

Ee = =∞ ∞

∫∫∫ ∫∫∫w EE

V V

d dτ ε τ12 0

2

Si può dimostrare che l’espressione trovataper la densità di energia ha validità generale:

densità di energia associata(nel vuoto) al campo elettrico

( ) ( )w EEr rr r= 1

2 02ε

( )E

E

C

CE

CVS

dEd E Sd

Sdw

= = =

= =

1

2

1

2

1

2

12

2 0 20

2ε ε

ε02E

Per un condensatore piano (nel vuoto) CS

d=

ε0


F.BloisiFisica II

ESES

Energia e campo elettricoDensità di energia (2/2)

Se V è un volume che contiene tutte le cariche:

cresceper V→ V∞

tende a zeroper V→ V∞

non cambiaper V→ V∞

Teor. Gauss

Teor. Divergenza

Propr. vettoriVcariche

V

9.5

( )[ ]

( )[ ] [ ] ( )( )

Ee = = = − ⋅

= + ⋅ = ⋅ +

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫∫∫=

12

12

12

12

12

12

12

0 0

0 0 0 02

ρ τ ε τ ε τ

ε τ ε τ ε ε τ∂

V V V V

V V s E

V V V

V V VV

d div d div grad d

div d d $ d d

r r r

r r r r

E E E

E E E E nΣ

Ee = = =∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫∞ ∞

1

2

1

2 02ρ τ ε τ τV E w

V V

E

Vcariche

d d d

( ) ( )w EEr rr r= 1

2 02ε

densità di energia associata(nel vuoto) al campo elettrico

App

rofo

ndim

ento


F.BloisiFisica II

ESES

Energia e campo elettricoDensità di energia in un dielettrico 9.6

densità di energia (in un dielettrico)associata al campo elettrico

Per un condensatore piano riempito di dielettrico C CS

drr= =

ε ε ε

00

( )E

E

Cr

r

Cr E

CVS

dEd E Sd

Sdw

= = =

= =

1

2

1

2

1

2

12

2 0 20

2ε ε ε ε

ε ε02E

( ) ( )w EE rr rr r= 1

2 02ε ε

( ) ( ) ( )wEr r r r rr D r E r= ⋅1

2 0εPiù in generale si trova che,

in un dielettrico,la densità di energia vale:


F.BloisiFisica II

ESES

Esempi ed applicazioniQuattro cariche puntiformi

Determinare l’energia elettrostatica di una distribuzione costituita da quattro cariche puntiformi, due positive (+Q) e due negative (−Q), poste ai vertici di un qudrato di lato L.

LP2

P1

−Q

L

L

P4

P3

+Q

+Q

−Q

LL√2

Ee = − 1

4

2

0

2

πεQ

L

E

E

e

e

=

= + + + + +

= + + − + − + − + − + +

= −

≠

∑14

12

14

14 2 2

14

22

0

0

1 2

12

1 3

13

1 4

14

2 3

23

2 4

24

3 4

34

0

2 2 2 2 2 2

0

2

πε

πε

πε

πε

q q

r

q qr

q qr

q qr

q qr

q qr

q qr

Q

L

Q

L

Q

L

Q

L

Q

L

Q

L

Q

L

i j

iji ji j,

9.7


F.BloisiFisica II

ESES

Esempi ed applicazioniLavoro per spostare una carica


LL

Qe = −1

42

3 1

0

2

πε

C

+Q

L/√3

+Q

P3

P2

P1

+Q

L/√3

L

configurazione finale

( )

Ee f = + +

= +

14 3 3

14

1 2 3

0

2 2 2

0

2

πε

πε

Q

L

Q

L

Q

L

Q

L

C

+Q

L

+Q

P3

P2

P1

+Q

L

L

configurazione iniziale

Ee i = + +

=

14

14

3

0

2 2 2

0

2

πε

πε

Q

L

Q

L

Q

L

Q

L

( )

L

Q

L

e = −

= + −

E Ee ef i

14

1 2 3 30

2

πε

9.8


F.BloisiFisica II

ESES

Esempi ed applicazioniDoppio guscio sferico (1/2)

Ri

+Q Re

−Q

( )

( )

r r

r r

E rr

E rr

10

2

20

2

41

0

41

0

=>

<

=

− >

<

Q

rr R

r R

Q

rr R

r R

i

i

e

e

πε

πε

$

$

Determinare l’energia elettrostatica di una distribuzione costituita da due gusci sferici concentrici (raggi Ri<Re) su cui sono distribuite uniformemente cariche opposte (+Q e −Q).

( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r r r r r r rE r E r E r r r r= + =

<

< <

>

⇒ = =

<

< <

>

1 20

2 02

2

20

4

0

41

0

12

0

32

1

0

r R

Q

rR r R

r R

w E

r R

Q

rR r R

r R

i

i e

e

E

i

i e

e

πεε

π ε$

9.9


F.BloisiFisica II

ESES

Esempi ed applicazioniDoppio guscio sferico (2/2)

( )w r

r R

Q

rR r R

r R

E

i

i e

e

=

<

< <

>

0

32

1

0

2

20

4π ε

Ee = −Q R R

R Re i

e i

2

08πε

( )

( ) ( ) ( )

Ee = =

= + +

=

= = −

= −

∞

∫∫∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

∫

=

=∞

=∞

w w r r r

w r r r w r r r w r r r

Q

rr r

Q r

r

Q

r

Q

R R

E

V

E

r

r

E

R

E

R

R

E

R

r

R

R

R

R

R

R

i e

i

i

e

e

i

e

i

e

i

e

d d

d d d

d

d

τ π

π π π

π επ

πε πε πε

4

4 4 4

321

4

8 81

81 1

2

0

2

0

2 2

2

20

42

2

02

2

0

2

0

Nota:L’energia elettrostatica è presentesolo nell’intercapedine tra i duegusci sferici

9.10


F.BloisiFisica II

ESES

Esempi ed applicazioni Condensatore riempito con due dielettrici (1/2)

9.11

Determinare l’energia immagazzinata in un condensatore piano (armature di area A adistanza h) riempito con due dielettrici (costanti dielettriche relative εr1 e εr2rispettivamente).

Metodo 1: densità di energia

( )

( )

E E V h

w EV

h

w EV

h

U w A hV A

h

U w A hV A

h

U U UV A

h

V A

h

E r r

E r r

E r

E r

r r

1 2

1 0 12

0 1

2

2

2 0 22

0 2

2

2

1 1 0 1

2

2 2 0 2

2

1 2 0 1

2

0 2

2

12

12

12

12

24

24

4 4

= =

= =

= =

= =

= =

= + = +

∆

∆

∆

∆

∆

∆ ∆

ε ε ε ε

ε ε ε ε

ε ε

ε ε

ε ε ε ε

( )UV A

hr r= +ε ε ε0 1 2

2

4

∆


F.BloisiFisica II

ESES

Esempi ed applicazioni Condensatore riempito con due dielettrici (2/2)

9.12

Metodo 2: capacità equivalente

( )

( )

CA

h

CA

h

C C CA

h

A

h

A

h

U C VA

hV

r

r

r r

r r

r r

1 0 1

2 0 2

1 2 0 1 0 2

0 1 2

20 1 2

2

2

2

2 2

2

12

12 2

=

=

= + = +

= +

= = +

ε ε

ε ε

ε ε ε ε

ε ε ε

ε ε ε∆ ∆

( )UV A

hr r= +ε ε ε0 1 2

2

4

∆


F.BloisiFisica II

ES

ElettrostaticaRiepilogo (1/6)

R.1

PotenzialerFq q V= − grad

Campor rF Eq q=

V l

V

= − ⋅

= −

∫r

r

E t

E

$d

grad

( ) ( )r r r

r r

r r

r

E r r r rr r

E

= ′ − ′− ′

′

=

∫∫∫ke ρ τ

ρ ε

3

0

d

div

cariche ( )

ρ ε

ρτ

= − ∇

=′

− ′′∫∫∫

02V

V ke

r

r rr

r rd

cariche

Cariche

( )r r

r r

r rF r r rr rq e

V

k qcariche

= ′− ′− ′

′∫∫∫ ρ τ3 d

Equazionedi Poisson

∇ = −20V ρ εdiv

rot

r

rE

E=

=

ρ ε0

0

Equazionidi Maxwell

rr

EF

=→

deflim

q qq

0( )V lP

def P

= − ⋅∫rE t$d

Ω


F.BloisiFisica II

ES


R.2

Forza su di una caricaLegge di Coulomb

Principio di sovrapposizione

Forza su di una carica

. $

.

.

r

r r

r r

F r

F F

F E

210

1 2

122 12

14

=

=

=

≠∑

πεq q

r

q

i ijj i

q

Campo elettrostatico

( ) ( )

[ ]

Campo elettrico (Def).

Campo elettrico

Teorema di Gauss

Cons. del campo elettrostatico

E

rr

r

r rr r

r rr

r r

r r

r r

r r

EF

E

E r r rr r

r r rr r

E n E

E t E

=→

= −

= −−

= ′ − ′− ′

′

= ⋅ = =

⋅ = =

∑ ∫∫∫

∫∫ ∫∫∫

∫

=

lim grad

. d

. $ dd

div

. $d rot

int

q qV

q

Qs

l

q

ii

ii V

V V

cariche

0

14

14

0 0

03

03

0 0 0

πε περ τ

ερ τε

ρε∂

ΦΣ

Equazioni di Maxwell(elettrostatica nel vuoto)

div

rot

r

rE

E=

=

ρ ε0

0


F.BloisiFisica II

ES


R.3

PotenzialeLavoro

( )

( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )

Potenziale elettrostatico (Def.). P

Energia potenziale (Def. meccanica). P P

Lavoro per spostare una carica. B A B A

Potenziale elettrostatico

Equazione di Poisson

PP

P

AB ABe

VL

ql

U L qV

L q V V L q V V

Vq

V

V

e

i

iicariche

= − = − ⋅

= − =

= − − = −

=−

=′

− ′′

∇ = −

∫

∑ ∫∫∫

Ω

Ω

Ω

r

rr r

r

r r

E t

rr r

rr r

$d

. d

.

14

140 0

2

0

πε περ

τ

ρε

Energiaelettrostatica

( )

Energia elettrostatica

Densità di energia E02

.,

d d

.

Eei j

ij V

E

V

E

q q

ri ji j

V w

w

cariche

=

≠

= =

=

∑ ∫∫∫ ∫∫∫∞

18

12

12

12

0περ τ τ

εrr


F.BloisiFisica II

ES


R.4

Dipolo elettrostatico inun campo esterno

( )Energia di un dipolo

Forza su un dipolo

Momento meccanico su un dipolo

.

. grad

.

Ep

p

p

= − ⋅

= ⋅

= ×

r r

r r r

r r r

p E

F p E

p EMM

Dipolo elettrostatico ( )

( )

( ) ( )

Momento di dipolo (Def.).

Potenziale di dipolo

Campo di dipolo

r r r r

rr

r

r rr r

p r r

r p r p

E rp r r p

= =

= ⋅ = − ⋅

=⋅ −

∫∫∫q

Vr r

r

Vcariche

δ ρ τ

πε πε

πε

d

.$

grad

.$ $

14

14

1

14

3

02

0

03


F.BloisiFisica II

ES


Capacità, condensatori

R.5

( )

Conduttore isolato. Condensatore

Energia immagazzinata

Capacità equivalente (serie)

Capacità equivalente (parallelo)

CQ

VC

Q

V

CVQ

CQV

C C

C C

s ii

p ii

= =

= = =

=

=

−−

∑

∑

∆

.

.

.

E 12

12

12

22

11

Conduttori in equilibrio elettrostatico

Alla superficie

Distribuzione di cariche

Campo

Pressione elettrostatica

.

. $

.

σ ε ∂∂

σε

σε

= −

=

=

0

0

2

02

V

n

pes

rE nAll’internoPotenziale

Campo

Densità di carica

. cost

.

.

V =

=

=

rE 0

0ρ

Alcuni tipi di condensatori

( )

piano

sferico

cilindrico

.

.

.ln

CS

d

CR R

R R

CL

R R

=

=−

=

ε

πε

πε

0

01 2

2 1

02 1

4

2


F.BloisiFisica II

ES


R.6

Dielettricir

r

r

r

Pp

P n

P

=

= ⋅

= −

→

∑lim

$

div

∆τ ∆τ0

i

p

p

iN

σ

ρ

( ) ( ) ( )V s

s

d d

p

d

p

d

rr

r r

r

r r

r r r r

rP r n

r rP r

r r

r r r r

=′ ⋅−

′ +− ′

−′

=−

′ +−

′

∫ ∫

∫ ∫

14

14

14

14

0 0

0 0

πε πετ

τ

πεσ

περ

ττ

$ $ div $d d

d d

Σ

Σ

Condizioni diraccordo

Equazioni di Maxwell(elettrostatica nei dielettrici)

( )

div

rot

$ $

$ $

v

r

r r r

r r r

r r

r r

D

E

P P E

D E P

E t E t

D n D n

=

=

=

= +

⋅ = ⋅

⋅ = ⋅

ρ

ε

lib

0

0

1 2

1 2

Densitàdi energia

elettrostatica

wE = ⋅1

2 0εr rD E

Dielettricilineari ed isotropi( )

r r

r

r r

P EE

D E

== −=

=

ε χε εε ε

ε ε

0

0

0

02

1

12

e

r

r

E rw E


Elettrostatica(V04)

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