04/03/01 1.1

1. Aspetti fenomenologici

Introduzione all’elettromagnetismo

Tutti i fenomeni della realtà quotidiana sono di naturaelettromagnetica

L’interazione elettromagnetica è molto più intensa di quellagravitazionale:

Rapporto tra la forza elettrica e gravitazionale tra dueprotoni:

|Fe|/|Fg| = 1036

La materia è stabile grazie alla sostanziale neutralitàelettrica

Differenza tra Meccanica ed Elettromagnetismo

Meccanica: la forza è dominante

Elettromagnetismo i campi sono dominanti

Cenni storici

L’esistenza di fenomeni elettrici è nota dall’antichità

Elektron = ambra in greco

Studio sistematico dalla II metà del 700

Coulomb, Faraday, Maxwell

04/03/01 1.2

Elettrizzazione per strofinio

Se strofiniamo una bacchetta di ambra (plastica) o vetrocon un panno questa attrae piccoli pezzi di carta

Una bacchetta di ambra attrae una bacchetta di vetrosospesa ad un filo e respinge una bacchetta di ambra

Esistono cariche di 2 tipi che chiamiamo + e –

Alcuni materiali non si caricano per strofinio

Questo avviene perché le cariche si disperdono (conduttori)

Se consideriamo un conduttore con un manico isolantequesto si carica per strofinio

Isolanti e conduttori (struttura microscopica)

La materia è costituita da atomi:

Nucleo con protoni e neutroni (mp=mn=10-27kg, carica +)

Elettroni (me = 10-30 kg, carica -)

A = numero di massa, Z = numero atomico

Le proprietà della materia sono determinate dagli elettroni

Negli isolanti gli elettroni sono “legati” agli atomi o allemolecole

Nei conduttori gli elettroni degli “orbitali esterni” sono liberidi muoversi in tutto il materiale

Conservazione della carica

Nell’elettrizzazione per strofinio la carica viene ridistribuita

04/03/01 1.3

Alcuni elettroni (ad esempio 106) si trasferiscono dal vetro alpanno (carica -) o dal panno all’ambra (carica +)

La carica NON si crea ma si ridistribuisce

Quando si generano delle particelle a partire da energia(creazione di coppie e+ e-) la carica si conserva (qtot = 0)

La conservazione della carica deriva da una simmetria dellanatura

Quantizzazione della carica

Da raffinati esperimenti si è osservato che le cariche liberesono multiple della carica fondamentale (carica edell’elettrone e del protone)

e = 1.6 10-19 C

Questa carica è così piccola che negli esperimenti usuali lacarica può essere considerata continua

Esperimento di Millikan → misura della carica dell’elettrone

L’elettroscopio a foglie

L’elettroscopio a foglie mette in evidenza la presenza dicariche su un materiale (isolante o conduttore)

Funziona anche senza contatto. Come e’ possibile ?

Induzione elettrostatica

L’induzione elettrostatica permette di caricare unconduttore senza contatto

04/03/01 1.4

La carica elettrica come grandezza fisica

Definizione: Un insieme di enti costituisce una classe digrandezze fisiche quando tra gli enti è possibile stabilire relazionidi confronto (uguale, maggiore e minore) ed effettuare leoperazioni di somma e differenza (e quindi di prodotto per unnumero e di rapporto)

L’elettroscopio consente di effettuare operazioni diconfronto tra le cariche possedute da due corpi

Possiamo sommare le cariche o meglio dividerle per unfattore arbitrario (mediante ridistribuzione su conduttoriuguali)

⇒ La carica e’ una grandezza fisica

Per misurarla usiamo un procedimento indirettoconsiderando la forza che si esercita tra due corpi carichi(forza di Coulomb)

In questo modo sarebbe possibile definire la carica elettricacome grandezza derivata

È preferibile definire la carica come grandezzafondamentale

In realtà si definisce come grandezza fondam. la carica perunità di tempo (intensità di corrente)

04/03/01 2.5

2. Il campo elettrostatico

Legge di Coulomb

Per studiare la legge di Coulomb usiamo una bilancia ditorsione

r221

r

qqk uF =

ATTENZIONE: La forza agente su una carica elettrica èdata da questa espressione solo se la carica è ferma(elettrostatica)

Si noti la dipendenza della forza elettrica dall’inverso delquadrato della distanza. Verifica indiretta (Th. di Gauss)

La forza è centrale come la forza gravitazionale

La forza è attrattiva o repulsiva a seconda del “segno” dellecariche

Diverse espressioni della costante k

Sistema c.g.s. k = 1 ⇒ carica = unità derivata

Sistema Internazionale k = 1/(4πε0) ⇒ Carica unitàfondamentale (coulomb)

In realtà come unità fondamentale si definisce l’ampere (A)= 1 coulomb/1 secondo

ε0 = 8.85 10-12 C2 kg-1m-3s2 [oppure più usualmente Farad/m]

12

122

12

21

0r2

12

21

0 rr

qq4

1

r

qq4

112

ruF

πε=

πε=

04/03/01 2.6

La forza tra due cariche di 1 C ad un metro è di 109 N !!

Il coulomb è una unità molto grande

In un sistema di riferimento cartesiano:

( ) ( ) ( )[ ] 23221

221

221

21

0

21x

zzyyxx

xx4

qqF

−+−+−

−πε

=

...F

...F

z

y

=

=

Il principio di sovrapposizione

Il legame tra forze e carica è lineare ⇒

Vale il principio di sovrapposizione

Legge di composizione vettoriale per la forza agente tra piùcariche

∑πε=

i i

i2

i

i

0 rr

qq4

1 rF

Il campo elettrostatico

Nella legge di Coulomb possiamo pensare che una caricaelettrica generi una perturbazione nello spazio (campoelettrico) e che l’altra carica ne risenta gli effetti

Per definire il campo elettrico dividiamo la forza per unacarica sonda q0 che deve essere molto piccola

04/03/01 2.7

r20

r20

00 r

q4

1

r

qq4

1q

)z,y,x()z,y,x( uu

FE

πε=

πε==

Scomposizione nelle componenti cartesiane:

( ) ( ) ( )[ ] 2321

21

21

1

0x

zzyyxx

xx4

q)z,y,x(E

−+−+−

−πε

=

...)z,y,x(E

...)z,y,x(E

z

y

=

=

Unità di misura: newton/coulomb (N/C) = kg m s-2 C-1

Piu’ usualmente: volt/metro (V/m)

Ovviamente F = q0 E

Anche per il campo E vale il principio di sovrapposizione

Distribuzione di cariche puntiformi:

∑πε=

i i

i2

i

i

0 rr

q4

1 rE

Distribuzione continua di cariche (volume):

ρ = coulomb/metro3

r20 r

zdydxd)z,y,x(4

1)z,y,x( uE ∫

τ

′′′′′′ρπε

=

Distribuzione continua di cariche (superficie):

σ = coulomb/metro2

04/03/01 2.8

r20 r

dS)z,y,x(4

1)z,y,x( uE ∫

Σ

′′′σπε

=

Distribuzione lineare di cariche:

λ = coulomb/metro

rL

20 r

dL)z,y,x(4

1)z,y,x( uE ∫

′′′λπε

=

Il campo elettrico si rappresenta con le linee di forza e,come vedremo con le superfici equipotenziali

Le linee di forze escono dalle cariche positive ed entranoin quelle negative

Le linee di forze si incontrano solo in corrispondenza dellesorgenti e si chiudono all’infinito

Esempi di campi elettrici:

Carica puntiforme, 2 cariche uguali, 2 cariche diverse,strato di cariche con distribuzione uniforme

Il lavoro della forza elettrica

La forze elettrica è centrale ⇒ il campo elettrostatico èconservativo

Consideriamo una carica q0 che si muove nel campo Egenerato da una carica q. Il lavoro della forza elettrica è:

drr4

qqcosdsq

rd

qdqddL2

0

0000 πε

=ϑ=⋅=⋅=⋅= Esr

EsEsF

04/03/01 2.9

−πε

=πε

=⋅= ∫∫→BA0

0B

A 20

0B

ABA r1

r1

4qq

r

dr4qq

dL sF

Se il punto B è all’∞:

r1

4qq

L0

0p πε

=∞→

Definiamo potenziale elettrostatico V in un punto P delcampo generato da una carica puntiforme il lavoro che laforza del campo compie quando la carica + unitaria sisposta da P al riferimento (∞)

r1

4q

)p(V0πε

=

Differenza di potenziale tra 2 punti del campo:

∫ ⋅−=−=∆B

AAB dVVV sE

Lavoro che la forza elettrica compie quando una carica q0 sisposta dal punto A al punto B:

( ) UVVqVqL BA00BA ∆−=−=∆−=→

Il segno (-) che compare nella formula precedente dipendedal fatto che ad un lavoro positivo della forza del campocorrisponde una diminuzione di energia potenziale

In un punto generico del campo: U(p) = q0 V(p)

Se il campo è generato da più cariche puntiformi o da unadistribuzione continua di cariche il potenziale si calcola conil principio di sovrapposizione

04/03/01 2.10

∑πε=

i i

i

0 rq

41

V ∫τ

′−′′′′′′ρ

πε=

rrzdydxd)z,y,x(

41

V0

La circuitazione del campo elettrostatico lungo un percorsochiuso è sempre nulla:

∫ =⋅ 0dsE

Si può dimostrare facilmente dividendo in 2 tratti unqualsiasi percorso chiuso

Il campo elettrostatico è conservativo

Questa circostanza più che un vantaggio è un limite perchéuna carica in moto lungo un circuito chiuso non compirebbelavoro

Non funzionerebbe nessuna macchina elettrica

In condizioni non statiche il campo elettrico non èconservativo

Legame tra potenziale e campo elettrostatico:

Per la definizione di potenziale

( )dzEdyEdxEddV zyx ++−=⋅−= rE

V deve essere una funzione continua e derivabile ⇒

dzzV

dyyV

dxxV

dV∂∂+

∂∂+

∂∂=

Quindi

dzzV

EdyyV

EdxxV

E zyx ∂∂−=

∂∂−=

∂∂−=

04/03/01 2.11

VVgrad −∇=−= EE

Interpretazione geometrica del gradiente:Il gradiente fornisce la direzione di massimo incremento diuna funzione scalare, il verso dell’incremento positivo ed iltasso di incremento

nV

V∂∂=∇ derivata normale

Teorema del gradiente:

sssE dVdgradVddV ⋅∇=⋅=⋅−=

∫ ⋅∇=−=∆B

AAB dVVVV s

Operatore ∇:

zyx zyxuuu

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

Può essere scritto anche in altri sistemi di coordinate.Formalmente si presenta come un vettore che deve essereapplicato ad uno scalare o moltiplicato per un altro vettore

In coordinate sferiche:

φϑ φ∂∂

ϑ+

ϑ∂∂+

∂∂=∇ uuu

sinr1

r1

r r

La relazione tra potenziale V e campo E è utile percalcolare il campo

Si calcolano gli integrali di sovrapposizione di una funzionescalare (V) e si ottenere il vettore E tramite la relazione:

04/03/01 2.12

E=-gradV

Rappresentazione di un campo mediante le superficiequipotenziali

Ortogonalità delle linee di forze e delle superfici equipot.

Esempi illustrativi di sup. equipotenziali

Il teorema di Gauss

Definiamo una quantità che deriva da un paralleloidrodinamico e prende il nome di flusso di un vettoreattraverso una superficie

Dato un campo vettoriale v si definisce flusso elementaredel vettore v attraverso la supeficie infinitesima dS ilprodotto:

dSd Nuvv ⋅=ϕ

uN normale alla superficie dS

dScosd ϑ= vv

Il flusso attraverso una superficie estesa S e' datodall'integrale

∫ ⋅=S NdSuvv

Data una superficie chiusa S, si dice flusso uscente delvettore v l’integrale esteso alla superficie chiusa

∫ ⋅=S NdSuvv uN normale uscente

ϑun

v

dS

04/03/01 2.13

Consideriamo una carica puntiforme q ed una superficiesferica con centro in q e raggio R

Il flusso uscente del vettore E attraverso la superficie vale:

( )0

22

0SS NE

qR4

R

q4

1dSdS

ε=π

πε==⋅=ϕ ∫∫ EuE

Il flusso non dipende da R, ma solo dallacarica contenuta entro la superficie

Il risultato ottenuto vale in generale perqualunque superficie chiusa

Consideriamo una generica superficie chiusa S checontenga una carica puntiforme m e calcoliamo il flusso diE

dΩ = angolo solido sotto il quale lasuperficie infinitesima dS e’ vista dalpunto P

r = distanza dell’elemento disuperficie dS da P

l’elemento di superficie dS può essere scritto come

2r

cosdSd

ϑ=Ω ϑΩ=

cosdr

dS2

Integriamo lungo la superficie chiusa S

∫∫ ϑπε

=⋅=φS 2

0S N dScos

r4

qdSuE

M

R G

G

G

M

dsdωur

un ϑ

04/03/01 2.14

04

0S

2

20

qd

4q

cosdr

cosr4

qε

=Ωπε

=ϑΩϑ

πε=φ ∫∫ π

Il teorema di Gauss può essere applicato anche a carichedistribuite con densità ρil flusso del campo E attraverso una superficie chiusa e'pari all'integrale della densità di carica esteso al volumeracchiuso dalla superficie

∫ ρε

=ϕVol

0

d)(1

rr

Il teorema di Gauss consente di calcolare E in tutti i casi incui il sistema presenta particolari simmetrie

Campo elettrico di una sfera con densità di carica ρomogenea e raggio R

Le linee di forza del campo sono radiali per simmetria

il campo E è lo stesso in tutti i punti di una qualunque sup.sferica concentrica con m

Applichiamo il teorema di Gauss ad una generica superficiesferica di raggio r

Per r<R si ha

∫τ ρε

=φ rr d)(1

0

ρ

π

ε=π 3

0

2 r341

r4 E

04/03/01 2.15

03r

ερ=E

Per r>R

0

2 qr4

ε=π E

20 r

q4

1πε

=E

Il campo gravitazionale generato da una distribuzionesferica di carica m è uguale al campo che la stessa caricagenererebbe se fosse tutta nel centro

Strato di caricaCampo nell’intorno di uno strato sup. di carica

0dsEdsEdd21 tt2211 =−=⋅+⋅ sEsE

21 tt EE =

( ) dSdSEEdSdS0

nn2211 12 εσ=−=⋅+⋅ uEuE

0nn 12

EEεσ=−

In definitiva:

n0

12 uEEεσ=−

E r( )

r

V r( )

rR

∝ 1r∝

1r2

∝ r ∝ r2

++++++++++

++++++++++

E1E2

04/03/01 2.16

Le proprietà del campo elettrico in forma locale

Teorema di GaussFlusso attraverso un parallelepipedo infinitesimo

...dydzdxx

dydzd xx +⋅

∂∂++⋅−=φ uA

AuA

...dxdydzx

Ad x +

∂∂=φ

dxdydzz

Ay

A

xA

d zyx

∂

∂+∂

∂+

∂∂=φ

τ⋅∇=τ=φ dddivd AA

Avendo posto:

∂

∂+∂

∂+

∂∂=

zA

y

A

xA

div zyxA

La divergenza di un vettore A in un punto P rappresenta il flussodel vettore A attraverso la sup. che racchiude un elemento divolume dτ nell’intorno di P diviso il volume dτPer un volume esteso:

Il flusso che attraversa elementi di volume adiacenti si elide⇒ resta solo il flusso attraverso la superficie laterale

∫∫ τΣτ⋅∇=⋅=φ ddS)( n AuAA (Th della divergenza)

04/03/01 2.17

Il flusso di un vettore A attraverso una superficie chiusa Σ èpari all’integrale della div A nel volume racchiuso dallasuperficie Σ

Per il campo elettrico:

∫∫∫ ττΣτ

ερ=τ⋅∇=⋅=φ dddS)(0

n EuEE

Quindi: 0ε

ρ=⋅∇ E

Nel vuoto:

0=⋅∇ E

Conservatività del campo elettrico

Rotore di un campo vettoriale

Circuitazione lungo un percorso rettangolare element. ⊥ z

[ ] [ ]dydx

x

Adydx

yA

dy)y,x(Ady)y,dxx(Adx)dyy,x(A)y,x(A

dy)y,x(Adx)dyy,x(Ady)y,dxx(Adx)y,x(AdC

yx

yyxx

yxyxz

∂∂

+∂

∂−=

=−+++−=

=−+−++=

dxdyy

Ax

AdC xy

z

∂

∂−∂

∂=

Componente secondo z del vettore rot A

04/03/01 2.18

zyx

zyx

AAAzyx

rot∂∂

∂∂

∂∂=×∇=

uuu

AA

Componenti del rotore:

zy

yzx

xyz

yAx

x

A

xA

zA

z

A

yA

uuuA

∂

∂−∂

∂+

∂∂−

∂∂+

∂

∂−

∂∂=×∇

dSrotdSddC nAnAlA ⋅=⋅×∇=⋅=

La circuitazione di un vettore A lungo una linea checontorna una superficie infinitesima è data dal flusso delrotore del vettore A attraverso la superficie

La componente del rot A lungo una certa direzione è datadal rapporto della circuitazione di A lungo il contorno di unasuperficie infinitesima ortogonale alla direzione e l’areadella superficie

Viceversa il rotore di un campo indica la direzione lungo laquale deve essere presa la normale ad una superficieinfinitesima per ottenere la massima circuitazione lungouna linea che la contorna

Teorema di Stokes:

Cconaconcatenat

C

ddSrot Σ∀⋅=⋅∫ ∫Σ

lAnA

La circuitazione di un campo vettoriale lungo una lineachiusa C è uguale al flusso del rotore del campo attraversoqualsiasi superficie Σ concatenata con la linea C

04/03/01 2.19

Nel caso del campo elettrico, poiché la circuitazione èsempre nulla si ha anche:

00rot =×∇= EE

Identità vettoriale:

0V0)Vgrad(rotrot =∇×∇=×∇≡= EE