elettromagnetismo 2 (2019-2020);2ragusa/2019-2020/elettromagnetismo... · e scriviamo le leggi di...

Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano

Anno Accademico 2019/2020

Elettromagnetismo

Quadrivettori e trasformazioni di LorentzCinematica e dinamica relativistiche

Forza magnetica e relatività

Lezione n. 28 – 7.04.2020

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 181

Trasformazioni di Lorentz• Abbiamo visto che in una trasformazione di Lorentz lungo l’asse x le componenti del quadri-vettore tempo-posizione si trasformano secondo la legge

• Il prodotto matriciale indicato si può esprimere in forma tensoriale

• Notare le posizioni degli indici μ e ν e i segni degli elementi della matrice che corrisponde a questa disposizione degli indici• Altre forme della matrice

0 0

1 1

2 2

3 3

0 00 0

0 0 1 00 0 0 1

x xx xx xx x

γ γβγβ γ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ −⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟′ ⎜−⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟= ⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟′ ⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎟ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎜⎜⎝ ⎠′ ⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎟ ⎟

x xμ μ νν′ = Λ sottointesa la somma dell’indice contratto ν

g αμν μα νΛ = Λ0 0 0 00 1 2 31 1 1 10 1 2 32 2 2 20 1 2 33 3 3 30 1 2 3

⎛ ⎞Λ Λ Λ Λ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−Λ −Λ −Λ −Λ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−Λ −Λ −Λ −Λ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−Λ −Λ −Λ −Λ ⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

gμν αν μαΛ = Λ0 0 0 00 1 2 31 1 1 10 1 2 32 2 2 20 1 2 33 3 3 30 1 2 3

⎛ ⎞Λ −Λ −Λ −Λ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Λ −Λ −Λ −Λ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Λ −Λ −Λ −Λ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Λ −Λ −Λ −Λ ⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

0 0 0 00 1 2 31 1 1 10 1 2 32 2 2 20 1 2 33 3 3 30 1 2 3

⎛ ⎞Λ −Λ −Λ −Λ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−Λ Λ Λ Λ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−Λ Λ Λ Λ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−Λ Λ Λ Λ ⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

g gν νβ αμ μα βΛ = Λ

x

y

z

S x′

y′

z′

S′

0 0 0 00 1 2 31 1 1 10 1 2 32 2 2 20 1 2 33 3 3 30 1 2 3

⎛ ⎞Λ Λ Λ Λ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Λ Λ Λ Λ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Λ Λ Λ Λ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Λ Λ Λ Λ ⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟


Trasformazioni di Lorentz• L’invarianza del prodotto scalare ci permette di trovare alcune proprietà che caratterizzano una trasformazione di Lorentz

• Introducendo le coordinate nel sistema S'

• Si ottiene

• In conclusione

• Moltiplicando ambo i membri per g βσ si ottiene

• Esercizio: verificare che

x y x y g x y x y x y g x yμ μ ν μ μ νμ μν μ μν′ ′ ′ ′ ′ ′⋅ = = = ⋅ = =

x xμ μ νν′ = Λ y yμ μ νν′ = Λ

x y g x yμ μ νμ μν′ ′ ′ ′= g x yμ α ν βμν α β= Λ Λ ( )g x yμ ν α βμν α β= Λ Λ g x yα βαβ=

g gμ νμν α β αβΛ Λ =

g g g gμ ν βσ βσ σμν α β αβ αδΛ Λ = = μ σ σα μ αδΛ Λ =g gμ σ σα μ αδΛ Λ =ββνν

Λ 1−Λ I=

0 0 0 00 1 2 31 1 1 10 1 2 32 2 2 20 1 2 33 3 3 30 1 2 3

μα

⎛ ⎞Λ Λ Λ Λ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Λ Λ Λ Λ⎜ ⎟⎜ ⎟Λ = ⎜ ⎟Λ Λ Λ Λ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Λ Λ Λ Λ ⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

0 0 0 00 1 2 31 1 1 10 1 2 32 2 2 20 1 2 33 3 3 30 1 2 3

σμ

⎛ ⎞Λ −Λ −Λ −Λ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−Λ Λ Λ Λ⎜ ⎟⎜ ⎟Λ = ⎜ ⎟−Λ Λ Λ Λ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−Λ Λ Λ Λ ⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

( )1 σ σμμ−Λ = Λ

0 0 0 00 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 1

I

γ γβ γ γβγβ γ γβ γ

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜− ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟ =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠

TG GΛ Λ =in forma matriciale


Tempo proprio• Dal momento che le trasformazioni di Lorentz sono lineari è evidente che• Se xμ e yμ sono quadri-vettori anche la loro somma xμ + yμ

o la loro differenza xμ yμ è un quadrivettore• Se xμ è un quadri-vettore e a uno scalare allora axμ è anch’esso un

quadrivettore• Il termine scalare si riferisce a grandezze che non cambiano in una trasformazione di Lorentz• Ad esempio c, la carica, la lunghezza a riposo, la massa a riposo …

• Le considerazioni precedenti ci permettono di definire, a partire da xμl’importante quadri-vettore dxμ quadri-vettore che è la differenza di due punti infinitamente vicini dello spazio-tempo• È di particolare importanza il modulo di dxμ

• Lo scalare dτ è chiamato tempo proprio• Coincide con il tempo ordinario nel sistema di riposo della particella (β = 0)• È opportuno sottolineare che dτ è invariante• È lo stesso in tutti i sistemi di riferimento

2d dx dxμ μτ =2 2 2 2 2c dt dx dy dz= − − − 2 2 2c dt d= − r

2

2 21d

d cdtc dt

τ = −r

21d cdtτ β= −


Trasformazione della velocità• Sappiamo che la velocità della luce è invariante per trasformazioni di Lorentz (secondo postulato di Einstein)• Ovviamente questo vale solo per c• Come cambia la velocità di un punto P cambiando sistema di riferimento ?• Consideriamo i soliti sistemi S e S' (in moto con velocità v) e scriviamo le leggi di trasformazione del differenziale dxμ• Il vettore xμ descrive il moto del punto

• La velocità di P in S è (ricordiamo che dx0 = cdt)

• La velocità v è in direzione dell’asse x ( x1 )• In forma vettoriale la relazione trovata diventa

( )0 0 1v vdx dx dxγ β′ ′= +( )1 0 1v vdx dx dxγ β ′ ′= +

2 2dx dx ′=

3 3dx dx ′= vvc

β =

11

0dx

u cdx

=

10

0

10

01

v

v

dxdx

dxc

dxdx

dx

β

β

⎛ ⎞′ ⎟⎜ ⎟′ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ′⎝ ⎠=

⎛ ⎞′ ⎟⎜ ⎟′ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ′⎝ ⎠

( )( )

0 1

0 1v v

v v

dx dxc

dx dx

γ β

γ β

′ ′+=

′ ′+

1

1

21

u v

u v

c

′ +=

′+

21 /

u v

c

′ +=

′+ ⋅u

u v

2

1

1v

v

γβ

=−

1 1

0

dx ucdx

′ ′=

′

0 0 1

1 0 1

2 2

3 3

x x xx x xx xx x

γ γβγβ γ

′ ′= +′ ′= +

′=′=


Trasformazione della velocità• Un calcolo analogo per le altre componenti

• In forma vettoriale• Osservazioni• La leggi di trasformazione della velocità sono molto diverse da quelle di xμ• In particolare osserviamo che cambia anche la componente perpendicolare a v

• È facile verificare che se |u'| = c anche |u| = c• La velocità della luce è la stessa nei due sistemi• È facile verificare che se in un urto la quantità di moto (non relativistica) è

conservata nel sistema S non lo è nel sistema S'• R. Resnick – Introduction to special relativity p. 111

22

0dx

u cdx

=2

10

01v v

dxc

dxdx

dxγ β

′=

⎛ ⎞′ ⎟⎜′ + ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ′⎝ ⎠2

1

21v

uvuc

γ

′=

⎛ ⎞′ ⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

33

1

21v

uu

vuc

γ

′=

⎛ ⎞′ ⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

( )21 /v cγ⊥

⊥′

=′+ ⋅

uu

u v

2

0

1

21v

dxcdxvuc

γ

′′=

⎛ ⎞′ ⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

( )2

0 1v v

dxc

dx dxγ β′

=′ ′+

E per la terza componente


Quadri-velocità• Le considerazioni precedenti implicano che la velocità non è parte di un quadri-vettore• Vorremmo un quadri-vettore che contenesse le informazioni della velocità• Ricordiamo che xνdescrive il moto di un punto ed è un quadri-vettore• Anche il differenziale dxν è un quadri-vettore• Il differenziale dτ è un invariante (è uno scalare)• Pertanto è un quadri-vettore anche la grandezza

• Ricordiamo l’espressione che abbiamo trovato per dτ• Esaminiamo le componenti di ην

• Vediamo che la velocità ordinaria compare nella parte spaziale del quadrivettore ed è moltiplicata per il fattore relativistico γ

• Calcoliamo il modulo della quadri-velocità

dxd

ννη

τ=

21d cdtτ β= −

00

21

dx

cdtη

β=

−γ=

21

kk dx

cdtη

β=

−

kvc

γ= kγβ= ,c

νη γ γ⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

v

( )22 2 22

v

cν

νη η η γ γ= = − ( )2 21γ β= − 1=


Quadri-momento• La quadri-velocità ην può essere utilizzata per costruire un quadrivettore di importanza centrale nella teoria relativistica• Moltiplichiamo la quadri-velocità ην per lo scalare moc2• La grandezza mo è la massa della particella quando questa è a riposo• Otteniamo un quadrivettore

• Utilizzando l’espressione esplicita per le componenti di ην = (γ, γv/c)

• Osserviamo che le dimensioni di p0 e di pk sono le stesse• In particolare hanno le dimensioni di un’energia• Una definizione della parte spaziale che mantiene le dimensioni della meccanica classica è

• Si verifica sperimentalmente che il quadrivettore appena definito ha le proprietà della quantità di moto e dell’energia• Il quadri-momento totale di un sistema di particelle isolate si conserva• Infine, calcoliamo il modulo di pν

2 2o o

dxp m c m c

d

νν νη

τ= =

0 2op m c γ= 2

kk

ov

p m cc

γ= ( )2 ,o op m c m cν γ γ= v

om γ=p v

( ) ( )2 22 2o op p p m c m cν ν γ γ≡ = − v ( )2 4 2 21om c γ β= − 2 4om c=


Leggi di Newton e forza• La prima legge di Newton coincide con il primo postulato di Einstein• Tutte le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi inerziali. Non

esiste un sistema di riferimento privilegiato• Questo postulato è simile a quello Galileiano• Einstein lo rafforza assumendo che valga per TUTTE le leggi fisiche• Vale anche per l'elettromagnetismo

• La seconda legge di Newton è valida anche in relatività ristretta purché espressa in funzione della derivata della quantità di moto• Inoltre la quantità di moto deve essere quella relativistica

• A differenza delle prime due la terza legge di Newton non vale nella formulazione relativistica• Nella meccanica classica le forze di azione e

reazione sono simultanee: F1(t) = −F2(t)• In relatività ristretta due punti nello spazio tempo

x1 e x2, separati spazialmente, possono essere • Simultanei in un sistema di riferimento (t1 = t2)• Non simultanei in un altro sistema di riferimento

ddt

=p

F om γ=p v

( )1 1 1,x ct r

( )2 2 2,x ct r

( )1 1tF ( )2 2tF


Esempio• Una particella è soggetta ad una forza costante F. Calcolare la sua posizione in funzione del tempo. (Griffiths esempio 12.10)• L’equazione del moto è

• Ricordando la definizione di momento relativistico• Risolvendo per β

• La posizione si trova integrando

0

21

m cp

β

β=

−

dpF

dt= ( )0 0 0p k= → =

Ft=

2 2 22 20

21

m cF t

β

β=

−2 2 2 2 2 2 2 20m c F t F tβ β= − ( )2 2 2 2 2 2 20m c F t F tβ+ =

2 2 2 20

Ftv c c

m c F tβ= =

+Per Ft m0c

( )2 2 2 20

oFt

x t x c dtm c F t

= ++∫

( )2 2 2

02 20

1 1om c F t

x t xF m c

⎡ ⎤⎢ ⎥= + + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( )p t Ft k= +

( )2 2

202

00

1 11 12 2

m F t Fx t t

F mm

⎡ ⎤⎢ ⎥≈ + + − =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Per Ft m0

Per t 1β →0

Fv tm

≈ Limite classico

Limite relativistico


Teorema dell'energia cinetica• Vediamo come si trasforma il teorema dell'energia cinetica• Il lavoro fatto è uguale alla variazione dell'energia cinetica

• u è la velocità del corpo a cui è applicata la forza• Calcoliamo l'integrando

• Inseriamo nella formula del lavoro

• Si definisce l'energia cinetica

W d= ⋅∫ F ldd

dt= ⋅∫

pl

d ddt

dt dt= ⋅∫

p l ddt

dt= ⋅∫

pu

ddt

⋅p

u 02 21

mddt u c

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎟⎜⎝ ⎠

uu

( )2

0 032 22 2 2

1

1 1

u dud dtcm mdtu c u c

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= + ⋅⎢ ⎥

−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

uu u

( )03

2 2 2

1

1

dum udtu c

=− ( )

20

12 2 21

m cddt u c

=−

dEdt

=20

dm c

dtγ=

0

t dW d

dα

α= ⋅∫ p u

0

t dEd

dα

α= ∫

0

t

dE= ∫ 0tE E= − 2 20 0m c m cγ= −2 2

0 0K m c m cγ= −

d dEdt dt

⋅ =p

u

du dudt dt

= ⋅u

u


Trasformazione della forza• Vogliamo trovare le leggi di trasformazione della forza• Calcoliamo la forza F′ nel sistema S′• Consideriamo una componente trasversale a v

• u è la velocità, in S, del corpo a cui è applicata la forza • Si trova una formula analoga per Fz• La componente Fx, parallela a v, è più complicata

• Otteniamo infine

• Sottolineiamo che u è la velocita del corpo NEL SISTEMA S

x

z

O

S

z'

x'O'

S'

v

ct ct x

x ct x

y y

z z

γ γβγβ γ

′ = −′ = − +′ =′ =

x

x x

y y

z z

E c E c p

p E c p

p p

p p

γ γβγβ γ

′ = −′ = − +′ =′ =

yy

dpF

dt

′′ =

′ydp

dt cdxγ γ β=

−ydp dt

cdx dtγ γ β=

−11

y

x

F

u cγ β=

−

xxdp

Fdt

′′ =

′xcdE dp

dt cdx

γ β γ

γ γ β

− +=

−

1x

x

F cdE dt

cu

β

β

−=

−

1xdp dt cdE dt

cdx dt

β

β

−=

−

ricordiamo dE ddt dt

= ⋅ = ⋅p

u F u

( )

1x

xx

F cF

u c

β

β

− ⋅′ =

−

F u 11

yy

x

FF

u cγ β′ =

−11

zz

x

FF

u cγ β′ =

−


Trasformazione della forza• La legge di trasformazione della forza che abbiamo trovato è piuttosto complicata• Acquista una forma più semplice nel caso in cui il corpo su cui agisce la forza

si trovi a riposo nel sistema S: u = 0• In questo caso si ottiene

• In forma vettoriale

• Come per la quadri-velocità si può definire una forza quadri-dimensionale• La forza di Minkowski (u è la velocità del corpo in S)

• Vale la pena osservare che la forza di Lorentz è una forza ordinaria e non una forza di Minkowski• Non svilupperemo ulteriormente la dinamica relativistica

( )

1x

x xx

F cF F

u c

β

β

− ⋅′ = →

−

F u 11

y yy

x

F FF

u cγ β γ′ = →

−11

z zz

x

F FF

u cγ β γ′ = →

−

′ =F F1γ⊥ ⊥

′ =F F

dpf

d

μμ

τ= 0

1dEf

c dτ=

2

1

1 ( )u c=

−f F


Forza su una carica in moto• Fino ad ora abbiamo esaminato il caso della forza esercitata su una carica ferma • Abbiamo calcolato il campo elettrico generato da una carica in moto• D'altro canto sappiamo che quando una particella è in movimento su di essa agiscono forze magnetiche• Dovremmo pertanto calcolare anche le leggi di trasformazione dei campi

magnetici• Lo faremo in seguito

• Per la nostra discussione quindi esamineremo il problema nel sistema in cui la carica è a riposo• Eventuali campi magnetici non hanno effetto su cariche ferme• È sufficiente calcolare solo gli effetti dei campi elettrici

• Naturalmente una carica soggetta a forza viene accelerata• Esamineremo pertanto il problema in un sistema in cui la carica è

istantaneamente a riposo• Abbiamo appena trovato la legge che trasforma la forza su un corpo fermo

fra due sistemi inerziali in moto relativo con velocità v (γ, β)

d d

dt dt

′′= = =

′p p

F F1 1d d

dt dtγ γ⊥ ⊥

⊥ ⊥

′′= = =

p pF F


Forza su una carica in movimento• Abbiamo visto che un filo percorso da corrente genera un campo magnetico• Abbiamo visto inoltre che su una carica

q > 0 in movimento si esercita una forza

• Possiamo tuttavia analizzare il fenomeno in un sistema di riferimento S′ in cui la carica q è a riposo• Ad esempio un sistema che si muove con la stessa velocità v della carica q• In questo sistema la velocità è nulla e anche la forza magnetica su q è nulla• D'altro canto la forza non può scomparire passando da un sistema inerziale S ad un altro sistema inerziale S′• Chi esercita la forza sulla carica q nel sistema inerziale S′?

• Analizziamo il filo nel sistema S• Per semplificare supponiamo che la corrente sia dovuta ai portatori positivi• Supponiamo che il filo sia neutro• Le cariche hanno densità lineare

• Osserviamo che il filo non genera alcun campo elettrico: λ+ + λ− = 0• Per semplificare ulteriormente il calcolo supponiamo che v = u• Utilizzando λ, a, u la forza sulla carica q in moto è

q= ×F v B

y

z

B

i

x

a

u

λ λ+ = + λ λ− = − i uλ=

0

2i

Ba

μπ

=v

F

0

2u

F qua

μ λπ

=

q


Forza su una carica in movimento• Analizziamo adesso il filo nel sistema S′ in cui la carica q è ferma• Le cariche positive sono adesso ferme• Le cariche negative si muovono verso sinistra

con velocità −u• Le cariche negative (che si muovono) generano un campo magnetico• Tuttavia la carica q è adesso ferma • Non ci sono effetti magnetici dovuti al moto delle cariche negative

• Tuttavia le densità di carica cambiano: λ→ γλ• La densità degli elettroni è adesso

• Le cariche positive sono adesso a riposo e hanno una densità λ0• La densità λ che avevano nel sistema di partenza teneva conto del fatto che erano in movimento

• Il filo è adesso carico!

−u

y'

x'S'

u

2 21 /u c

λλ−

−=

−

2 21 /

o

u c

λλ+ =

−2 2

0 1 /u cλ λ+= − 2 21 /u cλ= + −

q ′v = 0


Forza su una carica in movimento• Calcoliamo la densità di carica del filo

• Sommando

• Il filo ha una densità di carica negativa• Genera un campo elettrico• Il modulo del campo elettrico è

• La carica q positiva e a riposo è attratta verso il filo

2 21 /u c

λλ−

−=

−2 21 /u cλ λ+ = + −

totλ λ λ+ −= + 2 2

2 21 /

1 /u c

u c

λλ= − −

−( )2 2

2 21 1 /

1 /u c

u c

λ− ⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦−

2

tot 22 21 /

u

cu c

λλ = −

−

y

z

x

a

tot

0

12

Ea

λπε

=

q


Forza su una carica in movimento• Calcoliamo il modulo della forza

• Confrontiamo con la forza magnetica che avevamo calcolato nel sistema di riferimento iniziale

• Facciamo le seguenti identificazioni

• A parte il fattore evidenziato in rosso le due espressioni coincidono• Il fattore in rosso deriva dalla trasformazione relativistica della forza (vedi diapositiva )• La forza non è parte di un quadrivettore • Abbiamo dimostrato che la forza magnetica è un effetto relativistico

della forza di Coulomb

F qE= tot0

12q

a

λπε

= 2tot 22 21 /

u

cu c

λλ = −

−2

22 20

1 12 1 /

uF q

acu c

λπε

=−

0

2u

F qua

μ λπ

=

u iλ = 020

1

cμ

ε=

2 2

01

1 / 2u

F qu

uc a

μ λπ

=−

1206192


Trasformazione dei campi E e B• Per trovare le leggi di trasformazioni di B procediamo in modo analogo a quanto fatto per il campo elettrico• Consideriamo due piani infiniti di carica paralleli

al piano z−x• I piani si muovono con velocità u lungo

l'asse x nel sistema S• Nel sistema S la loro densità di carica è ±σ• Nel sistema in cui i piani sono a riposo la lorodensità di carica è minore ed è σ0 = σ/γu

• Calcoliamo il campo elettrico E e il campo di induzione magnetica B nel sistema S• Il campo elettrico fra i piani è (ricordiamo che all'esterno è nullo)

• I piani costituiscono due densità di corrente superficiale K = ±σu • La densità di corrente genera un campo di induzione magnetica B fra i piani (all'esterno è nullo)

σ+x

y

z

σ−

0

ˆyσε

=E e

0 ˆzuμ σ=B e

E

B

uu


Trasformazione dei campi E e B• Consideriamo adesso un sistema S′ che si muove rispetto a S con velocità v lungo l'asse x• Per calcolare i campi E′ e B′ nel sistema S′ vediamo

innanzitutto come si sono trasformate le sorgenti• Calcoliamo la velocità u′ dei piani di carica in S′• Usiamo la formula della diapositiva • Scambiamo il ruolo di S e S′ e cambiamo il segno di v

• In S′ piani di carica si muovono con velocità u′ (sempre lungo x)• Calcoliamo

• La densità di carica diventa• E infine la densità di corrente

σ′+x ′

y ′

z ′

σ′−

′E

′B

′u′u21

xx

x

u vu

u v c−′ =

−21 /u v

c

−′ =

− ⋅u

u v

1198184

1u

u

cβ β

β β−

=−

0 uσ σ γ′ ′=u

u

σγγ′

=

2

1

1 ( )u

u cγ ′ =

′−( )1u uγ γ β β= −

( )1 uσγ β β= −

σ′ ′ ′=K u ( ) ˆ11u

u xu

cβ β

σγ β ββ β ′−

= −−

e ( )ˆu xcσγ β β ′= − e

SS ′

xx ′

zz ′

v

uγ ′


Trasformazione dei campi E e B• Riassumendo

• Troviamo infine il campo elettrico E′ e il campo di induzione magnetica B′

• Inserendo nella formula per E′

• Analogamente per B′

• Inserendo nella formula per B′

( )ˆu xcσγ β β ′′ = −K e( )1 uσ σγ β β′ = −

0

ˆyσε ′′

′ =E e ( )0

ˆ1 u yσγ β β

ε= − e

0 ˆzKμ ′′ ′=B e ( )0 ˆu zcμ σγ β β= − e

0yE

σγ γ

ε=

20 0

u uvcσ σγβ β γ

ε ε= 0 uvμ σγ= zvBγ=

( )y y zE E vBγ′ = −

020

1c

με

=

0 0uc uμ σγ β μ γσ= zBγ=

0 20

1c c

cμ σγ β σγ β

ε=

2

yE vc

γ=

2z z y

vB B E

cγ⎛ ⎞⎟⎜′ = − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

0 zu Bμ σ =


Trasformazione dei campi E e B

• Un modo alternativo di scrivere le formule precedenti è

• È evidente la somiglianza con

• Disponiamo i piani di carica paralleli al piano x−y• Con un calcolo analogo al precedente otteniamo

• Notare il segni di Ez e By rispetto a Ey e Bz• Rimane da determinare il comportamento dellecomponenti dei campi lungo la direzione della velocità• Per il campo E sappiamo che la componente parallela non cambia

• Dimostriamo che anche per il campo B si ottiene lo stesso risultato

y y zE E vBγ γ′ = − 2z z yv

B B Ec

γ γ′ = −

( )y z yE cB Eγβ γ′ = − +( ) ( )z z ycB cB Eγ γβ′ = −

( ) ( )ct ct xγ γβ′ = − ( )x ct xγβ γ′ = − + z

σ+x

y

σ−

′E′B

′u

′u( )z y zE cB Eγβ γ′ = +

x xE E′ =

x xB B′ =

( ) ( )y y zcB cB Eγ γβ′ = +


Trasformazione dei campi E e B• Per dimostrare l'ultima legge di trasformazione consideriamo un solenoide a riposo nel sistema S• L'asse del solenoide è diretto lungo l'asse x• Sappiamo che il campo B è diretto lungo x e vale

• Consideriamo adesso il sistema S′ che si muove versosinistra con velocità v• Nel sistema S′ il solenoide è in moto• Il campo B è comunque diretto lungo x′

• Nel sistema S′ le lunghezze sono contratte

• Nel sistema S′ i tempi sono dilatati • Otteniamo pertanto

• Riassumendo, le leggi di trasformazione di E e B sono

0xB n Iμ=

x

z

O

S

z'

x'O'

S'

v

0xB n Iμ′ ′ ′=

0xB n Iμ′ ′ ′= 0I

nγ μγ

= 0n Iμ= xB=

2 2

( ) ( )

( ( ) ) ( ( ) )x x y y z z z y

x x y y z z z y

E E E E vB E E vB

B B B B v c E B B v c E

γ γ

γ γ

′ ′ ′= = − = +

′ ′ ′= = + = −

dqI

dt′ =

′dqdtγ

=Iγ

=

n nγ′ =


Trasformazione dei campi E e B• È spesso utile una forma vettoriale delle leggi di trasformazione• Per una velocità in direzione arbitraria• Scomponiamo i campi in una componente parallela e in una perpendicolare a v• v è la velocità del sistema S′ rispetto al sistema S

• I campi nel sistema S′ sono

• I casi che abbiamo studiato possono facilmente essere verificati ponendo

• Osserviamo che le trasformazioni dei campi mescolano le componenti di E e B• Analogamente a quanto visto per t e r (o per E e p) E e B devono essere le

componenti di un'unica grandezza fisica. Lo vedremo fra poco

⊥ ⊥

⊥ ⊥

′ ′ ′= + = +

′ ′ ′= + = +

E E E E E E

B B B B B B

2

( )

1( )

c

γ

γ

⊥ ⊥ ⊥

⊥ ⊥ ⊥

′ ′= = + ×

′ ′= = − ×

E E E E v B

B B B B v E

ˆxv=v e0=E 0=B0

ˆyσε⊥

=E e0 ˆzuμ σ⊥ =B e

2

0 0

1c

ε μ=


Trasformazione dei campi E e B• Le relazioni che abbiamo trovato permettono di calcolare la relazione fra campo elettrico e magnetico in alcuni casi semplici ma importanti• Consideriamo il caso in cui B sia nullo nel sistema di riferimento S• Ad es. il caso che abbiamo visto della carico in moto rettilineo uniforme

• Dato che B′|| = 0 possiamo dire che B′ = B′⊥• Inoltre dato che per definizione v×E|| = 0• Pertanto nel sistema S′ i campi sono

• Analogamente se E è nullo in S

• Pertanto i campi in S′ sono

2

( )1

( )c

γ

γ⊥ ⊥ ⊥

⊥ ⊥ ⊥

′ ′= = + ×′ ′= = − ×

E E E E v B

B B B B v E2

10

c

γ

γ

⊥ ⊥

⊥ ⊥

′ ′= =

′ ′= = − ×

E E E E

B B v E

γ ⊥ ⊥′× = ×v E v E

′ =E E γ⊥ ⊥′ =E E 21c

′ ′= − ×B v E

′= ×v E

0 γγ

⊥ ⊥

⊥ ⊥

′ ′= = ×′ ′= =

E E v BB B B B

′ =B B γ⊥ ⊥′ =B B γ′ ′= ×E v B

0=B

0=E

Notare che

EꞏB = E'ꞏB' = 0


Carica in moto rettilineo uniforme

• Possiamo utilizzare questo risultato per completare il calcolo dei campi per una carica in moto rettilineo uniforme

• Le linee di campo di B′ sono delle circonferenze centrate sulla traiettoria

• Infine calcoliamo il limite per β 1 di B′

′ =E E γ⊥ ⊥′ =E E 0=B21c

′ ′= − ×B v E

( )32

2

2 2 20

1 1ˆ

4 1 sin

qr

βπε β θ

−′ ′=′ ′−

E r( )

32

2

2 22 20

1 1 1ˆ

4 1 sin

qr c

βπε β θ

−′ ′= − ×′ ′−

B v r

x ′v

′E

x ′v

′B

( )32

2

2 2

11

1 sin

β

β θ

−→

′−

2 20

1ˆ

4q

c rπε′ ′→ − ×

′B v r 0

2ˆ

4qr

μπ

′= ×′

v r Confrontare con la legge di Biot-Savartq id=v l 20 01 cε μ=



• Le formule di trasformazione trovate mostrano che né E né B possono essere visti come la componente spaziale di quadri-vettore• Le leggi di trasformazione mescolano le componenti di E e B• Nel caso dei quadri-vettori avevamo 4 componenti che nel passaggio da un sistema S a un sistema S′ si trasformano con la legge

• Esistono altre grandezze matematiche con un numero maggiore di componenti• Ad esempio i tensori• Sia tri-dimensionali che quadri-dimensionali

• Un tensore quadri-dimensionale è una grandezza che ha 4×4 = 16 componenti• Organizzate con due indici di Lorentz

• La legge di trasformazione di un tensore è

2 2

( ) ( )

( ( ) ) ( ( ) )x x y y z z z y

x x y y z z z y

E E E E vB E E vB

B B B B v c E B B v c E

γ γ

γ γ

′ ′ ′= = − = +

′ ′ ′= = + = −

x xμ μ νν′ = Λ

, 0,1, 2, 3T μν μ ν =

T Tμν μ ν αβα β′ = Λ Λ


Trasformazione dei campi E e B• I tensori possono avere due importanti proprietà• Essere simmetrici: Tμν = Tνμ• Le componenti indipendenti sono n = (16 – 4)/2 + 4 = 10• Essere antisimmetrici: Tμν = −Tνμ• Le componenti con indici uguali sono nulle: Tμμ = 0• Le componenti indipendenti sono n = (16 – 4)/2 = 6

• Le componenti del campo Elettrico e del campo di Induzione Magnetica sono 6• Costituiscono le componenti di un tensore antisimmetrico

• Verifichiamo la legge di trasformazione di E′x

00

00

x y z

x z y

y z x

z y x

E c E c E cE c B B

FE c B BE c B B

μν

⎛ ⎞− − − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ − ⎟⎜⎝ ⎠

F Fμν μ ν αβα β′ = Λ Λ

10xE c F′ ′=

0 00 0

0 0 1 00 0 0 1

μν

γ γβγβ γ

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜− ⎟⎜ ⎟Λ = ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

0βΛ1αΛ

1 0 00 1 0 10 1 0 01 1 0 110 0 1 0 0 1 1 1F F F F= Λ Λ + Λ Λ + Λ Λ + Λ Λ

( ) ( )( )( )x xE c E cγγ γβ γβ= + − − − ( )2 2 2xE c γ γ β= − xE c=

1 0 F αβα β= Λ Λ



• Calcoliamo adesso la componente E′y

• La formula tensoriale riproduce le leggi di trasformazione che avevamo trovato

00

00

x y z

x z y

y z x

z y x

E c E c E cE c B B

FE c B BE c B B

μν

⎛ ⎞− − − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ − ⎟⎜⎝ ⎠

F Fμν μ ν αβα β′ = Λ Λ

0 00 0

0 0 1 00 0 0 1

μν

γ γβγβ γ

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜− ⎟⎜ ⎟Λ = ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

0βΛ

2αΛ

20yE c F′ ′=

2 0 F αβα β= Λ Λ2 0 22 F

ββ= Λ Λ

2 0 20 2 0 212 0 2 1F F= Λ Λ + Λ Λ

y zE c Bγ γβ= −

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