Controlli automatici

Elementi di robotica industriale

Prof. Paolo Rocco (paolo.rocco@polimi.it)Politecnico di MilanoDipartimento di Elettronica, Informazione e Bioinge gneria

Che cos’è un robot?Il robot è un manipolatore multifunzionale riprogrammabile, progettato per muovere materiali, parti, attrezzi o dispositivi specialistici attraverso vari movimenti programmati, per l’esecuzione di diversi compiti.

(Robot Institute of America, 1980)

Il robot non è solo un dispositivo meccanico…

COMAU SMART NH3

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Un robot e la sua unità di controlloStruttura meccanica con attuatori e sensori

COMAU SMART NH3

Unità di controllo

COMAU C4G

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Il sistema meccanicoIl manipolatore è costituito da una serie di corpi rigidi (link) connessi da giunti

Un’estremità della catena è costituita dalla BASE, di norma fissata terra.

All’altra estremità è presente l’END EFFECTOR(pinza, strumento di lavoro).

Di norma I manipolatori hanno sei link:� I primi tre realizzano il posizionamento� gli ultimi tre (POLSO) danno l’orientamento

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Unità di controllo

Unità di controllo:� MMI� Elettronica di potenza� Pianificazione del moto� Controllo� Supervisione

Teach pendant (o flex pendant):� Interfaccia di programmazione� Anche wireless

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Alcuni robot industrialiTaglia piccola (carico massimo inferiore a 6 Kg):

COMAU SMART Six

(disponibile in laboratorio!)

ABB IRB 140

(disponibile in laboratorio!)

KUKA KR 6

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Alcuni robot industrialiTaglia media (carico massimo di circa 100 Kg):

COMAU SMART NJ 130ABB IRB 4400 KUKA KR 140

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Alcuni robot industriali

COMAU SMART NX2

(800 Kg max.)

ABB IRB 7600

(630 Kg max.)

KUKA KR 1000

(1000 Kg max.)

Taglia grande (carico massimo superiore a 100 Kg):

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Applicazioni tipiche (COMAU SpA)

Saldatura a Punti

Saldatura ad arco

Assemblaggio

Movimentazione

Carico – Scarico Macchine

Sigillatura - Siliconatura

Automazione Linee Interpresse

Lavorazione

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Vendite di robot industriali per anno

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Vendite di robot ind . per applicazione

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Vendite di robot industriali per area

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Video: assemblaggio

FANUC Robotics

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Video: carico, scarico, pallettizzazione

FANUC Robotics

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Video: saldatura

FANUC Robotics

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Video: lavorazioni

FANUC Robotics

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Video: verniciatura, incollaggio

FANUC Robotics

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Video: altri robot

ABB Flexpicker ADEPT Quattro s650

Macchine a cinematica parallela: estremamente veloci

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Nuovi robot: ridondanti

KUKA LWR

MOTOMAN SIA10D

I sette giunti migliorano la destrezza

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Nuovi robot: a due bracci

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Problemi legati al controllo del motoNella robotica industriale si affrontano vari problemi connessi ad argomenti studiati in questo corso.

� Modellistica matematica� cinematica� dinamica

� Pianificazione del moto� nello spazio dei giunti� nello spazio Cartesiano

� Controllo in anello chiuso� decentralizzato� centralizzato

Nel seguito vedremo alcuni cenni su ciascuno di questi argomenti.

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Cinematica direttaIl problema cinematico diretto consiste nel determinare la posizione e l’orientamento dell’end effector del manipolatore, a partire dalle coordinate di giunto:

?�

��

Si utilizzano appositi formalismi (matrici di trasformazione omogenea) per descrivere in modo sistematico la cinematica del manipolatore.

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Cinematica inversaIl problema cinematico inverso consiste nel determinare le coordinate di giunto corrispondenti ad una data posizione e ad un dato orientamento dell’end effector del manipolatore:

?

�

?

?

Il problema, più complesso di quello della cinematica diretta, viene risolto con algoritmi ad-hoc o con metodi approssimati.

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Cinematica differenzialeSi mettono in relazione le velocità dei giunti con le velocità Cartesiane dell’end-effector:

Per una data configurazione del robot, il legame tra velocità di giunto e velocità dell’end-effector è lineare, espresso da una matrice (Jacobiano).

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Cinematica: esempio

Cinematica diretta

12211

12211

sasap

cacap

y

x

+=

+=

Cinematica inversa

( )222222

21

22

21

22

2 ,2Atan

1

2 cs

cs

aa

aappc yx

=ϑ⇒

−±=

−−+=

Manipolatore a due gradi di libertà

( )

( ) ( )111

2222221

1

2222221

1

,2Atan cs

pp

psapcaas

pp

psapcaac

yx

xy

yx

yx

=ϑ⇒

+

−+=

+

++=

Cinematica differenziale

+−−−

=12212211

12212211

cacaca

sasasaJ

( )qqJp && =

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DinamicaIl modello dinamico del manipolatore mette in relazione le coppie applicate ai giunti ed il moto (posizioni e velocità) delle coordinate di giunto.

u(t)

q(t)

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DinamicaPer ottenere il modello dinamico del manipolatore si possono seguire due strade.

Formulazione di Eulero-Lagrange

� Si descrive il manipolatore come un insieme di corpi rigidi soggetti a vincoli olonomi nel movimento

� Si individua un insieme di coordinate generalizzate (coordinate di giunto)

� Si scrivono le equazioni di Lagrange per ciascuna coordinata

niqL

qL

dtd

iii

,,1, K

&

=ξ=∂∂−

∂∂

Formulazione di Newton-Eulero

� Si scrivono i bilanci di forze e momenti sul singolo link, dovute alle interazioni con i link adiacenti

� Si ottiene un sistema di equazioni che può essere impostato in modo ricorsivo, efficiente computazionalmente

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DinamicaIl modello dinamico è descritto da n (quanti sono i giunti) equazioni differenziali del secondo ordine.In forma compatta vettoriale, detto q il vettore delle variabili di giunto:

( ) ( ) ( ) τ=++ qgqqqCqqB &&&& ,

Termini gravitazionali

Termini centrifughi e di Coriolis

Termini inerziali: B(q) matrice di inerzia, simmetrica e definita positiva ∀ q

Coppie ai giunti

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Manipolatore planare a due bracci

m1, I1

m2, I2

a1

a2

ϑ1

ϑ2

l1

l2

x0

y0

( )

τ

τ=

+++

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ−ϑ−

+

ϑ

ϑ

+++

+++++++

2

1

1222

122211211

2

1

12212

2221222212

2

1

222222212

222

2221222222212

222

2121

211

0

2

2

cglm

cglmgcamlm

slam

slamslam

IlmIclamlm

IclamlmIclamlmamIlm

&

&

&

&&

&&

&&

( )qB

( )qqC &, ( )qg

Consideriamo un manipolatore planare a due bracci, caratterizzati da:� masse: m1 e m2� lunghezze: a1 e a2� distanze dei baricentri dagli assi dei giunti: l1 e l2� momenti di inerzia baricentrali intorno a z0: I1 e I2

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Dinamica diretta e inversa

Dinamica direttaAssegnate le coppie ai giunti τ(t), determinare le accelerazioni ai giunti q(t) e, se sono date posizioni iniziali q(t0) e velocità iniziali q(t0), le posizioni q(t) e le velocità q(t).

( ) ( ) ( ) ( ) τ=++++ qqfqFqgqqqCqqB &&&&&& ,, sv

Dinamica inversaDate le accelerazioni q(t), le velocità q(t) e le posizioni q(t) determinare le coppie ai giunti τ(t) necessarie per la generazione del moto.

...

.

...

� Problema la cui soluzione è utile per la simulazione numerica della dinamica� È risolubile sia con l’approccio di Lagrange sia con l’approccio di Newton-

Eulero

� Problema la cui soluzione è utile per la pianificazione della traiettoria e per il controllo basato sul modello.

� Si può risolvere efficientemente con l’approccio di Newton-Eulero

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Pianificazione del moto

Nella robotica (e in generale nei sistemi articolati) occorre fare attenzione alla terminologia che si adotta con riferimento alla pianificazione del moto:

� Percorso (path): è un concetto geometrico e si riferisce a una linea in un certo spazio (lo spazio delle posizioni Cartesiane, lo spazio degli orientamenti, lo spazio delle coordinate di giunto, …) che deve essere seguito da un oggetto di cui si sta pianificando il moto

� Legge oraria: è la dipendenza temporale con cui vogliamo che evolva il moto del robot lungo il percorso assegnato

� Traiettoria: è un percorso sul quale sia stata assegnata una legge oraria

Il risultato finale della pianificazione del moto è quindi una traiettoria che servirà come ingresso ai controllori di posizione/velocità in tempo reale.

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Spazio dei giunti e spazio operativoTraiettorie nello spazio operativo: si definisce il percorso (posizione e orientamento) dell’organo terminale del manipolatore nel comune spazio cartesiano.

� la descrizione del compito è naturale� sono facilmente descrivibili i vincoli sul percorso� punti di singolarità o gradi di mobilità ridondanti generano problemi� occorre calcolare online l’inversione cinematica

Traiettorie nello spazio dei giunti: si specificano direttamente le coordinate di giunto

� consente di risolvere direttamente problemi relativi a singolarità cinematiche� è una modalità di interesse quando i giunti non danno luogo ad un moto

coordinato oppure quando interessa solo che gli assi si portino da una posizione iniziale ad una finale (e non ha interesse il movimento risultante nello spazio operativo)

� non occorre calcolare online l’inversione cinematica

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Traiettorie nello spazio dei giuntiQuando pianifichiamo il moto nello spazio dei giunti intendiamo generare una funzione q(t) che interpola I valori assegnati per le variabili di giunto nei punti iniziale e finale.

È sufficiente operare componente per componente (cioè considerando di volta in volta una singola variabile qi(t)): tutto quanto abbiamo visto per la pianificazione di una singola coordinata è quindi utilizzabile (moto punto a punto, moto su percorso assegnato, scalature …).

In particolare assume rilievo il problema della scalatura dinamica della traiettoria, per cui, dato il modello dinamico del manipolatore:

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occorre fare in modo che la traiettoria pianificata non richieda coppie ai giunti superiori a dei limiti assegnati.Come per la scalatura cinematica, si procede mediante parametrizzazione della traiettoria e normalizzazione della scala dei tempi, ma il problema è più complesso perché coinvolge l’intero modello dinamico del manipolatore

( ) ( ) ( ) τ=++ qgqqqCqqB &&&& ,

Percorso nello spazio operativoLa pianificazione delle traiettorie nello spazio operativo prevede la specificazione preliminare del percorso geometrico che l’end effector dovrà seguire nello spazio Cartesiano.Per la posizione si fa riferimento a una rappresentazione parametrica della curva che costituisce il percorso, in termini dell’ascissa curvilinea s: p = p(s)

x

y

z

t

nb

ppi pf

( )

( )( )

ntb

p

pn

pt

×=

=

=

22

22

dssd

dssd

dssd

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Percorso nello spazio operativoCome esempio di parametrizzazione di un percorso possiamo considerare un segmento nello spazio (percorso Cartesiano lineare):

( ) ( )

( )

0=

−−

=

−−

+=

2

2

1

ds

d

dsd

ss

ifif

ifif

i

p

pppp

p

pppp

pp

Il percorso è completamente caratterizzato dando due punti nello spazio Cartesiano.

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Concatenazione di percorsi lineari� I percorsi lineari possono essere

concatenati per ottenere percorsi più elaborati.

� Il punto intermedio tra due segmenti consecutivi può essere considerato un punto di via, per cui non è necessario passare dal punto e fermarsi.

� Si realizza quindi un cosiddetto over-fly (passaggio al volo)

� È anche possibile specificare dei percorsi costituiti da archi di circonferenza

A

B

C

over-fly

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Pianificazione della traiettoriaPer la pianificazione della posizione, tenendo conto della parametrizzazione rispetto all’ascissa curvilinea p = p(s), si può attribuire la legge oraria alla variabile s(t).

Per la determinazione di s(t) vale quanto detto precedentemente circa la pianificazione della traiettoria per variabili scalari (traiettorie polinomiali, armoniche, cicloidali, a profilo di velocità trapezoidale, ecc.).Si noti inoltre che:

tt0

ss0

px=px(s)py=py(s)pz=pz(s)

In modo concettualmente analogo si procede anche per la pianificazione dell’orientamento, anche se la specificazione della traiettoria in termini di orientamento dell’end effector è complessa.

tp

p sdsd

s &&& == |s| è quindi la norma della velocità.

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Programmazione

I robot vengono di norma programmati mediante i linguaggi di programmazione propri dei costruttori di robot (PDL2 per COMAU, RAPID per ABB ecc.).Spesso sono anche disponibili ambienti software evoluti per la definizione e il testingdei programmi (come RobotStudio di ABB).

In alternativa, l’operatore può muovere il robot con il teachpendant lungo un percorso desiderato. I trasduttori di posizione memorizzano le posizioni che il robot deve raggiungere, che saranno poi raccordate da un software di generazione della traiettoria.Il robot sarà quindi in grado di ripetere autonomamente il movimento insegnato con apprendimento sul campo (modalità teaching-by-showing). COMAU SpA

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Esempio di programmaIl seguente programma sposta dei pezzi da un nastro trasportatore a un tavolo o a un contenitore di scarto, in dipendenza da segnali digitali in ingresso:

PROGRAM packVAR

home, feeder, table, discard : POSITIONBEGIN CYCLE

MOVE TO homeOPEN HAND 1WAIT FOR $DIN[1] = ON

-- signals feeder readyMOVE TO feederCLOSE HAND 1IF $DIN[2] = OFF THEN

-- determines if good partMOVE TO table

ELSEMOVE TO discard

ENDIFOPEN HAND 1

-- drop part on table or in binEND pack

1. Feeder2. Robot3. Discard Bin4. Table

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Controllo del motoSi adottano leggi di controllo in anello chiuso per controllare il movimento del manipolatore.Il controllo viene di norma eseguito nello spazio dei giunti (le variabili controllate sono le coordinate di giunto), anche se esistono studi sul controllo eseguito direttamente nello spazio Cartesiano (spazio operativo).

Si adotta un’architettura costituita da tre moduli:

Inversione cinematica

Controllo d'asseGenerazione della

traiettoria

xd qd

q

τ

Generazione della traiettoria e inversione cinematica possono essere eseguite fuori linea, o in linea con frequenza di campionamento ridotta (100 Hz). Il controllo d’asse va eseguito in linea (in tempo reale) con frequenze elevate (≥1 KHz).

Controlli automatici – Elementi di robotica industri ale − P. Rocco [40]

Modello decentralizzatoIncludendo nel modello dinamico del robot gli effetti dinamici dei motori, è possibile riformulare le equazioni del sistemi complessivo mettendo in evidenza un sottosistema nominale lineare e disaccoppiato, soggetto a un disturbo esercitato da una parte non lineare accoppiante:

Controlli automatici – Elementi di robotica industri ale − P. Rocco [41]

+(Jm+Br)−1 qm

−−

N−1∆B(.)N−1

N−1C(.,.)N−1

N−1g(.)

∫ ∫

Dm

τm qm qm

...

d

++

+

+−

NON LINEARE

ACCOPPIATO

LINEARE

DISACCOPPIATO

Più elevati sono i rapporti di trasmissione, minore è la rilevanza del termine di disturbo.

{ }{ }

{ }

( ) ( )qBBqB

NBNB

N

D

J

∆+=

=

===

−− 11r

i

mim

mim

ndiag

Ddiag

Jdiag

Controllo del moto e robotica industriale - Controllo decentralizzato - P. Rocco [42]

Controllo indipendente dei giunti� Il modello decentralizzato della

dinamica del robot è alla base del controllo indipendente dei giunti, soluzione largamente adottata nei controllori robotici industriali

� Lo schema è articolato in n anelli di controllo SISO, ignorando gli effetti di accoppiamento dinamico indotti dalla meccanica del robot, che vengono trattati come disturbi

� I singoli problemi di controllo sono assimilabili a quelli del controllo di servomeccanismi

� Il metodo si affida pesantemente all’effetto disaccoppiante degli alti rapporti di riduzione delle trasmissioni adottate nella robotica

τ2

τn

R1

τ1qmd1

R2

Rn

qmd2

qmdn

qm1

qm2

qmn

motore

trasmissione

carico

Controllo del moto e robotica industriale - Controllo centralizzato - P. Rocco [43]

Compensazione a coppia precalcolataIn questo schema, il controllore decentralizzato in anello chiuso viene affiancato da un controllore che opera in anello aperto, calcolando le coppie di disturbo sulla base del riferimento di posizione, velocità ed accelerazione.

� La compensazione delle non linearità può essere solo parziale (per esempio solo i termini gravitazionali ed i termini diagonali della matrice di inerzia)

� I termini di compensazione possono essere calcolati anche fuori linea, nel caso di traiettorie ripetute più volte.

+

MANIPOLATORE

CONTROLLORE

DECENTRALIZZATO

+ +

−qmd

−

AZIONE IN AVANTI

CENTRALIZZATA

SISTEMA LINEARE

DISACCOPPIATO

qmd

qmd.

..

qm

d

dd

+

PD + compensazione di gravitàL’azione integrale del regolatore PID può dare problemi di stabilità in anello chiuso. Un’alternativa al controllo di tipo PID consiste nell’utilizzare un controllo PD decentralizzato corredato da un termine che compensa gli effetti gravitazionali.

g(.)

τ+MANIPOLATORE

KD

KP q

q.

+ +

− +

qd −

Si può dimostrare che con questo schema di controllo applicato ad un manipolatore rigido, se la stima del termine gravitazionale è perfetta, si ottiene un sistema in anello chiuso il cui punto di equilibrio (caratterizzato da errore nullo) è globalmente asintoticamente stabile.

KP e KD diagonali

Controlli automatici – Elementi di robotica industri ale − P. Rocco [44]

Controllo a dinamica inversaSi può utilizzare il modello dinamico del manipolatore in uno schema di controllo centralizzato che idealmente compensa tutti gli effetti non lineari di accoppiamento meccanico tra i giunti:

η(q,q)

τ

+

MANIPOLATORE

KP

q

q.

−qd

.

KD

B(q)

qd

qd

.

..

+

++ + +

+

−v

( ) ( ) ( )qgqqqCqq += &&& ,,η

Controlli automatici – Elementi di robotica industri ale − P. Rocco [45]

Controllo a dinamica inversaLe equazioni del sistema controllato sono:

Il controllore PD “vede” un sistema completamente disaccoppiato costituito da doppi integratori, per i quali si può assegnare arbitrariamente la dinamica in anello chiuso.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )qqKqqKqv

qqvqB

qqqqB

−+−+=+=

=+

dPdDd&&&&

&

&&&

,

,

ηττη

Se la conoscenza del modello matematico è perfetta si ha:

vq =&&

e quindi, detto e = qd−q,

0=++ eKeKe PD&&&

η(q,q)

τ

+

MANIPOLATORE

KP

q

q.

−qd

.

KD

B(q)

qd

qd

.

..

+

++ + +

+

−v

Controlli automatici – Elementi di robotica industri ale − P. Rocco [46]

q1v11/s2

1/s2vn qn

.

.

.