Elementi Di Piastra

7/21/2019 Elementi Di Piastra

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070Elementi_di_Piastra.DOC ELEMENTI PIANI DI PIASTRA (23/12/2003 16.46)

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PIASTRE PIANE

Introduzione

La piastra un elemento strutturale bidimensionale descrivibile geometricamente mediante la sua superficiemedia; essa capace di sopportare carichi trasversali e momenti (flettenti e torcenti agenti nel piano)

applicati al suo contorno.

Il modello di piastra introduce, nella descrizione del problema, alcune semplificazioni atte a ridurre ilproblema da tre dimensioni a due soltanto.In questo senso la soluzione esatta della teoria delle piastre, come quella delle travi, valida solo se sonorispettate le ipotesi dell'approccio; queste si possono condensare nell'assunzione di spessore piccolo inrapporto alle dimensioni trasversali della piastra e di spostamento trasversale piccolo nei confronti dellospessore.

Per la definizione del comportamento cinematica di una piastra si faccia riferimento alla parte introduttivadel corso.

Nelle ipotesi per la formulazione classica della piastra, un punto della superficie media traslaesclusivamente lungo la direzione normale z e ruota cosicch lo stato di deformazione di un elemento

soggetto a soli carichi trasversali completamente descrivibile attraverso una unica grandezza, che lospostamento trasversale del piano medio della piastra stessa, e le sue derivate spaziali nel pianodell'elemento stesso. La piastra pu essere vista come una estensione al caso bidimensionale del modello ditrave snella soggetta a flessione.La modalit di deformazione secondo cui si esplica la cedevolezza della piastra sottile implica, in analogiacon la trave snella, la curvatura della superficie media, cio la derivata seconda dello spostamento; quindi,una volta reso bidimensionale l'elemento, in base alle considerazioni sulla continuit degli spostamentilungo lo spessore della piastra occorrer che oltre a quella della funzione spostamento sia rispettata anche lacontinuit della sua derivata prima in modo da garantire la continuit dello spostamento attraverso lospessore. Se in corrispondenza della frontiera comune la pendenza calcolata in due elementi adiacenti fossediversa, si avrebbe una discontinuit nello spostamento in quanto al di fuori del piano medio le due facce

non risulterebbero pi continue: da un lato ci sarebbe interferenza mentre dall'altro ci sarebbe una fessura.Dal punto di vista matematico viene richiesta la continuit per la funzione e le sue derivate sino all'ordine diderivazione ridotto di una unit rispetto all'ordine di massima derivazione della funzione che compare nellegame costitutivo; poich, come vedremo, nelle funzioni integrali compare la derivata seconda dellospostamento trasversale ne consegue la necessit di una continuit di primo grado, cio di tipo C1.Il modello di piastra riduce il problema elastico ad un caso bidimensionale, per ottenere la soluzione necessario determinare funzioni di forma in grado di soddisfare tre condizioni di continuit, spostamentotrasversale e rotazioni attorno ai due assi coordinati sul contorno. La loro determinazione rappresenta unproblema piuttosto complesso, tanto che le difficolt matematiche e di calcolo spesso raggiungono livellitali da sconsigliarne l'implementazione per semplici scopi didattici. per questo che in alcuni casi lecondizioni di continuit vengono rilassate: si impongono cio completamente le condizioni di continuitdello spostamento e delle sue derivate in corrispondenza dei nodi, mentre ci si accontenta del

soddisfacimento di quella sul solo spostamento lungo il contorno dell'elemento; la determinazione dellefunzioni di forma risulta, in queste condizioni, decisamente pi semplice. stato verificato che ilrilassamento delle condizioni di continuit al contorno non compromette il funzionamento di un elemento


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di questo tipo che risulta ancora in grado di garantire la convergenza se capace di descrivere uno stato dideformazione costante, e quindi di soddisfare la verifica costituita dal "Patch Test".

Gli elementi di piastra che verranno presentati si limitano alla trattazione dei termini di deformazioneassociati alla flessione; esattamente come nel caso della trave in cui si sono trattate separatamente lecaratteristiche di rigidezza per carichi trasversali ed assiali. possibile assemblare i due modelli perrealizzare un elemento che presenti la capacit di opporsi a carichi nel piano (membranali) ed a carichitrasversali (taglio, flessione e torsione).Alla base di questa procedura vi l'ipotesi di separazione del comportamento membranale, descritto intermini di deformazione nel piano della superficie media, da quello flessionale caratterizzato da unadeformazione trasversale della piastra, la qual cosa risulta essere vera se la superficie di riferimento sceltaper la direzione trasversale coincide con il piano neutro della piastra. Questa scelta semplice se l'elementostrutturale omogeneo ed isotropo, in caso contrario, per esempio con i materiali compositi, sarebberichiesta una opportuna analisi preliminare che viene evitata abbandonando l'ipotesi di disaccoppiamento.In queste condizioni il campo cinematico di flessione disaccoppiato da quello membranale. Questasituazione rimane valida fintanto che le deformazioni sono infinitesime, o gli spostamenti piccoli rispettoalle dimensioni trasversali della piastra; in caso contrario il comportamento membranale potrebbe

accoppiarsi con quello flessionale a causa degli effetti non lineari, per esempio l'allungamento del continuo;questo provocherebbe dei sensibili cambiamenti della rigidezza dell'elemento richiedendo una proceduraiterativa per la soluzione del problema.

Sono gi stati analizzati i due modelli pi diffusi nellaformulazione degli elementi di piastra; opportunoesaminare come alcune delle grandezze precedentementeintrodotte sono state definite nellapproccio classico. Peruna piastra omogenea, con riferimento alla figura ( ), sioperano le seguenti assunzioni per quanto riguarda lecomponenti di sforzo:- x, ye xyvarino linearmente attraverso lo spessore,

abbiano cio valore nullo in corrispondenza del pianomedio della piastra e valore massimo in corrispondenzadelle superfici inferiore e superiore;

- siano caratterizzate da un andamento parabolico lecomponenti zx e yz ; queste componenti di sforzodevono essere nulle sulle superfici inferiore e

superiore, pertanto la distribuzione pi semplice, cio di ordine inferiore, che soddisfi questo requisitoammettendo valori non nulli all'interno e' quella quadratica. Per questo motivo potremo ritenere chenelle piastre sottili il loro contributo al lavoro di deformazione sia trascurabile rispetto a quello dellealtre componenti di sforzo.

- nulla, o trascurabile rispetto alle altre, la componente z.

- si considerino soltanto carichi esterni applicati normalmente al piano medio

Definizione delle azioni interneL'integrale sullo spessore delle diverse componenti di sforzo ci permette di definire le forze di taglio Qx,Qy,i momenti flettentiMx,Mye un momento torcente Mxyche risulteranno essere forze per unit di lunghezzaapplicate al contorno dell'elemento. Le loro espressioni sono date dalle seguenti relazioni:

t t t2 2 2

t t t2 2 2

x x y y xy xyM z dz M z dz M zdz = = =

t t2 2

t t2 2

x zx y yzQ dz Q dz = =

Mxin particolare il momento per unit di lunghezza che flette l'asse uscente dal bordo parallelo all'asse x,o che fa ruotare la faccia, alla quale e' applicato, attorno ad un asse parallelo all'assey. Allo stesso modo Qx

dx

dy

xy

z

t

zxx xy

xy

y

yz


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la forza di taglio per unit di lunghezza diretta secondo l'asse z e applicata alla faccia di normale uscentex.

Con queste definizioni abbiamo implicitamente assunto le convenzioni riportate in figura per quantoriguarda i versi positivi di forze e momenti; si noti che la convenzione non coerente con la classica regoladella mano destra.

xy

z

Mx dy

Mxy dy

Qx dy

Qx dy

My dx

Mxy dx

x

y

z

Mx dyMxy dy

Qx dy

Qx dy

My dx Mxy dx

La scelta dettata dalla semplicit degli sviluppi della formulazione che ne consegue: in questo modo tutti itermini di forza e momento sono positivi. Quindi i risultati cui si perverr sono da modificare per tenereconto di questa situazione in relazione alle usuali definizioni di forze e momenti secondo i diversi assi. Latrasformazione che si rende necessaria costituita dal cambio di segno dei momentiMyedMxysoltanto.Dagli andamenti ipotizzati per le diverse componenti di sforzo possiamo derivare i valori massimi: lecomponenti x, ye xy sono tutte caratterizzate da andamento lineare lungo lo spessore e sono nulle sulpiano medio; consideriamo la sola componente x che in un generico punto dello spessore avr valore

zx max t / 2

=

dall'espressione del momento Mxt2

t2

zx max t / 2

M z dz

=

possiamo ricavare il valore massimo dello sforzo

26Mx

max t =

Procedendo allo stesso modo per le componenti di taglio zxe yz utilizzando espressioni paraboliche eimponendo valore nullo alle estremit dello spessore, si perviene alla seguente espressione:

2

max 2

z1

(t/2)

=

Integrando lungo lo spessore lo sforzo massimo e' messo in relazione con il carico trasversale dicompetenza:

1.5 Qmax t

=

Analizziamo ora i due modelli di piastra pi diffusi: Kirchhoff (1850)

adatto per lo studio di piastre sottili nelle quali si pu ritenere nulla la deformazione perscorrimento nel piano verticale Mindlin (1951)

adatto per lo studio di piastre spesse nelle quali risulta non trascurabile la deformazione perscorrimento nel piano verticale


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ELEMENTI FINITI DI PIASTRA

Passiamo ora allesame degli elementi fondamentali relativi allo sviluppo di elementi finiti di piastra.

PIASTRA DI MINDLIN

Abbiamo visto come il lavoro di deformazione pu essere riscritto in funzione delle componenti dideformazione generalizzata:

T T T TD M

V A t A A

L { } { } dV { } { }dz dA { k} {M} dA { k} [D ]{k} dA = = = =

avendo operato la ridefinizione delle componenti di deformazione e sforzo elementari

x x

y y(1 )

xy xy 22(1 )

xz xz 2(1 )

yz yz 2

{ } [C]{ }

1 0 0 0

1 0 0 0E 0 0 0 0{ } ;{ } ;[C]

10 0 0 0

0 0 0 0

+

+

+

=

= = =

in funzione di deformazioni generalizzate ed azioni interna:M

x / xx

y / yy(1 )

x / y y / xxy 2

y / yy yz

x / xx zx

0

{M} [D ]{k}

E E 0 0 0ME E 0 0 0M

( )M 0 E 0 0wQ 0 0 0 G t 0wQ 0 0 0 0 G t

=

= +

Elemento rettangolareIl modello di Mindlin per la formulazione di un elemento di piastra spessa risulta essere di implementazioneabbastanza semplice, in quanto, essendo le incognite nodali di spostamento w e rotazione x,yindipendenti tra loro, possibile utilizzare funzioni di interpolazione caratterizzate da continuit di tipo C0ed utilizzare le stesse funzioni per tutti i gradi di libert nodali.

i i x i xi y i yiw N w N N= = = Data la sua struttura l'elemento di piastra di Mindlin facilmente implementabile utilizzando lo schemaisoparametrico che ci permette di trattare con lo stesso schema elementi rettangolari o genericamentequadrangolari, lineari o di ordine superiore.

2

1

34

2

6

37

4

8

5

1

x

y

x

y

z

w

Assumiamo l'organizzazione degli spostamenti nodali definita dall'unione dei termini relativi a ciascunnodo

T

1 x1 y1 2 x2 y2 4 x4 y4{d} [w w w ]=

il vettore di spostamenti


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5

x

y

w

{u}

=

in un generico punto della piastra viene definito dalla usuale forma di interpolazione isoparametrica delle

grandezze relative agli N nodi dell'elemento:3x1 3x3N 3Nx1

{ u } [ N ]{ d }=

dove sono state esplicitamente indicate le dimensioni degli operatori e nella quale la matrice [N] assume laforma:

1 2 N

1 2 N

1 2 N

N 0 0 N 0 0 N 0 0

[N] 0 N 0 0 N 0 0 N 0

0 0 N 0 0 N 0 0 N

=

Definiamo ora il legame tra lo spostamento cos espresso ed il vettore di deformazioni caratteristico delmodello di piastra in termini di operatore differenziale lineare;{k} [ ]{d}=

essendo le deformazioni generalizzate della piastra esprimibili comex / x

y / y

x / y y / x

x / x

y / y

( )

w

w

+

possiamo facilmente ricavare la struttura dell'operatore differenziale []0 (.) / x 0

0 0 (.) / y

[ ] 0 (.) / y (.) / x(.) / x 0 1

(.) / y 1 0

=

Arrivati a questo punto non ci resta che da determinare l'espressione della matrice [B] come[B] [ ][N]= che porta a

1/ x n / x

1/ y n / y

1/ y 1/ x n / y n / x

1/ y 1 n / x n

1/ x 1 n / y n

0 N 0 0 N 0

0 0 N 0 0 N

0 N N 0 N N[B]

N 0 N N 0 N

N N 0 N N 0

=

ora possibile eseguire con le solite tecniche l'integrazione necessaria per determinare la matrice dirigidezza della piastra (si ricordi che l'integrazione lungo lo spessore gi stata effettuata a livello delladefinizione del legame curvature-momenti applicati ed contenuta nella matrice [DM])

TM

A

[k] [B] [D ][B]dA=

Se la piastra rettangolare l'integrazione sar diretta mentre se si tratta di un elemento distorto o a lati curvi,essendo le funzioni di forma espresse nel riferimento locale ,, l'elemento di area assumer l'espressionedA=J dde nell'espressione della matrice [B] occorrer tenere conto, sempre mediante lo Jacobiano, delladiversa metrica dei due riferimenti.Dato che tengono conto della deformabilit a taglio, gli elementi di questo tipo sono convenientementeutilizzabili per la modellazione di piastre spesse; possono essere impiegati anche per l'analisi di piastresottili tenendo presente che, normalmente, un elemento siffatto, se utilizzato in questa specificaapplicazione, funziona meno bene di un elemento formulato secondo il modello di Kirchhoff.


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Esempi di programmazione

Elemento bilineareSoluzione rispetto al rapporto L/tElemento triangolare

Considerazioni

Ricordando che la matrice elastica della piastra [DM] presenta un disaccoppiamento tra i termini diflessione e quelli di taglio

KM

D 0[D ]

0 G

=

possibile separare i contributi dovuti a questi termini e vedere la matrice di rigidezza dell'elemento comela somma di due matrici calcolate indipendentemente e relative appunto a queste modalit di deformazione.La matrice legame spostamenti/deformazioni pu essere formalmente partizionata nei termini associati alcomportamento flessionale e quelli legati alla deformaziona nel piano verticale.

F T[B] [B B ]=

Tenendo conto della stessa partizione della matrice elastica e della nullit delle matrice di accoppiamento diquesti termini si ottiene:T T

F K F T T F TA A

[k] [B ] [D ][B ]dA [B ] [G][B ]dA [k ] [k ]= + = +

La separazione dei due contributi ha lo scopo di evitare che l'utilizzo di formule per la corretta integrazionedi uno dei due termini possa compromettere in qualche modo l'ottenimento di risultati altrettantosoddisfacenti per l'altro: l'utilizzo di troppi punti di integrazione pu infatti introdurre un effetto diirrigidimento del modello (indicato nella letteratura anglosassone come "locking") dovuto all'eccessivovincolo esercitato sui termini di deformazione normale zxe yz. Questo fenomeno numerico si presentaquando gli elementi sono stirati e lo spessore molto piccolo, in rapporto alle dimensioni trasversali. Inquesta situazione la condizione di scorrimento trasversale nullo tende a presentarsi naturalmente e questocomporta che i termini B

Tassociati a tale fenomeno tendono a crescere per forzare numericamente questa

condizione. Poich questi termini sono accoppiati a quelli di deformazione trasversale, l'irrigidimento chene consegue e' tale da bloccare anche questi gradi di libert, con conseguente blocco anche della flessionedell'elemento.Un trucco per porre rimedio a questo problema e' ancora una volta costituito dal rilassamentodell'integrazione, in particolare da un rilassamento selettivo. Infatti l'unica possibilit e' di sottovalutarel'irrigidimento commettendo intenzionalmente un errore di integrazione che consenta di avere un elementosufficientemente rigido da soddisfare il requisito di Kirchhoff ma non tanto da impedire la flessione.L'errore nel calcolo del lavoro dovuto al taglio trasversale pu anche essere rilevante ma non pudeterminare il degrado della precisione del risultato in quanto trascurabile rispetto a quello di flessione: lapiastra infatti troppo sottile per essere correttamente modellata con Mindlin, quindi il contributo del taglio trascurabile e stimarlo in maniera sbagliata non comporta problemi; l'unico requisito quello di rimuovere

il locking.Utilizzando la classica formula di Gauss-Legendre per effettuare l'integrazione, possibile effettuare unaintegrazione rilassata o completa di entrambi i termini oppure impiegare ordini di integrazioni differentiper i due contributi, in particolare, riducendo di un ordine la formula utilizzata per il taglio.A titolo di esempio si riportano i punti di integrazioni relativi all'elemento a 4 nodi:

Integrazione Flessione TaglioRilassata 1x1 1x1Selettiva 2x2 1x1Completa 2x2 2x2

Si noti che il rilassamento dell'integrazione pu introdurre anche in questo caso dei meccanismi che sipossono trasformare in labilit globali se il modello non sufficientemente vincolato impedendo cos lapropagazione dagli elementi che lo manifestano. Mentre negli elementi piani isoparametrici membranaliquesto fenomeno direttamente associato alle componenti di spostamento, nelle piastre esso da ricondursi


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a quelle di rotazione e di scorrimento al taglio normale; in figura possiamo osservare i meccanismi dideformazione a sforzo nullo possibili in una piastra con ordine di integrazione ridotto ad 1:

Esempi di applicazioni

Schemi di implementazione

Rifare diagrammi del Cook sull'utilizzo delle diverse FF e ordine di integrazione

PIASTRA DI KIRCHHOFFAnche nel caso della piastra sottile si riscrive il lavoro di deformazione in funzione delle componenti dideformazione generalizzata:

T T T TD K

V A t A A

L { } { } dV { } { }dz dA { k} {M} dA { k} [D ]{k} dA = = = =

avendo operato la ridefinizione delle componenti di deformazione e sforzo elementari

x x

y y 2(1 )

xy xy2

{ } [C]{ }

1 0E

{ } ; { } ; [C] 1 01

0 0

+

=

= = =

in funzione di deformazioni generalizzate ed azioni interna:

K

x / xx

y / yy

(1 )xy / xy

2

{M} [D ]{k}

M E E 0 w

M E E 0 w

M 2w0 0 E

=

=

Vista la semplicit dello sviluppo dell'elemento di piastra per il modello di Mindlin, si potrebbe essereindotti a credere che lo sviluppo per quello di Kirchhoff dovrebbe risultare pi agevole visto che il modelloteorico su cui si basa pi semplice.Purtroppo non affatto cos.La formulazione di un efficiente ed efficace elemento finito di piastra di forma generica piuttostocomplessa e la vasta letteratura reperibile in merito significativa dell'importanza e della difficolt checaratterizzano l'argomento.Cerchiamo di analizzare le procedure fondamentali per la formulazione di piastre secondo i modelliprecedentemente esaminati e per capire quali siano le principali difficolt che ne rendono problematico losviluppo.

Elemento rettangolareCerchiamo di impostare un elemento di piastra lineare, piano, rettangolare e a spessore costante. L'utilit

pratica di un simile elemento limitata, in particolar modo per il vincolo di pianta rettangolare: come altrevolte il suo utilizzo volto ad uno sviluppo completo dell'elemento che evidenzi i problemi connessi allasua generalizzazione.Le caratteristiche dell'elemento sono rappresentate in figura:


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8

aa

b

b

1 2

34

x

y

z

x

y

w

La matrice dell'elemento pu essere fatta derivare, per esempio, dalla scrittura del lavoro virtuale dideformazione:

e

* * T * T Td e K e e e e Ke e e e

A A

L { k } [D ]{k }dA { k } [B ] [D ][B ]dA {k }

= =

dove {ue} costituisce il vettore degli spostamenti nodali associati alla modalit di deformazionedell'elemento; tale vettore, per le ipotesi precedentemente fatte di separazione tra carichi membranali e diflessione, composto dagli spostamenti trasversali w e dalle sue derivate rispetto a x ed y ai nodidell'elemento

T1 1/ x 1/ y 2 2 / x 2 / y 4 4 / x 4 / y{d} [w w w w w w w w w ]=

L'espressione della matrice [Be] che condensa i legami spostamento nodali / spostamento / deformazione :

e e[B ] [D][N ]= Per quanto riguarda la struttura dell'operatore lineare differenziale [D] avremo:

/ xx

/ yy / x

/ xy / y

w 0 / x 0 w

{ } [D]{s} e quindi w 0 0 / y w

2w 0 / y / x w

= =

Si pu notare che la deformazione non viene a dipendere direttamente dallo spostamento trasversale, ma

solo dalle sue derivate spaziali.Utilizziamo la procedura di Ritz, o in Base a, per la definizione delle funzioni di forma: avendo adisposizione 12 condizioni al contorno, costituite dai valori nodali delle 3 componenti di spostamentogeneralizzato, potremo ricorrere ad un polinomio di 12 termini:

2 2 3 2 2 3 3 3w [1, x , y , x , xy , y , x , x y , xy , y , x y , x y ]{a}=

ottenuto scartando i termini x4,x2y2e y4della quinta riga del triangolo di PASCAL e dove il vettore {a}contiene le dodici incognite generalizzate ai.Possiamo esprimere anche le derivate dello spostamento in funzione dei parametri derivando la ( ) relazionedi interpolazione dello spostamento:

2 2 2 3

2 2 3 2

w[0 ,1, 0 , 2x , y , 0 , 3x , 2xy , y , 0 ,3x y , y ]{a}

xw

[0 , 0 ,1, 0 , x , 2y , 0 , x , 2xy , 3y , x , 3x y ]{a}y

=

=

Siamo quindi in grado di esprimere le 12 condizioni al contorno sui valori che la funzione w e le suederivate devono assumere in corrispondenza dei nodi e che per il primo di essi si esprimono come:

2 2 3 2 2 3 3 31 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 3/ x 1 x1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 3 2/ y 1 y1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

w [1, x , y , x , x y , y , x , x y , x y , y , x y , x y ]{a}

(w ) [0 ,1, 0 , 2x , y , 0 , 3x , 2x y , y , 0 ,3x y , y ]{a}

(w ) [0 , 0 ,1, 0 , x , 2y , 0 , x , 2x y , 3y ,x , 3x y ]{a}

=

= =

= =

la scrittura di queste 3 equazioni per i 4 nodi porta ad un sistema di 12 equazioni lineari{d} [A]{a}= risolvibile esplicitamente e dove il vettore dei parametri nodali pu, per esempio, essere organizzato come:


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9

T1 x1 y1 2 x2 y2 3 x3 y3 4 x4 y4{d} [w w w w ]=

La soluzione del sistema ( ) richiede ovviamente che la matrice [A] sia invertibile cosa che avviene semprese l'elemento triangolare non degenera, come dimostrabile mediante un'inversione algebrica.Ci resta da costruire la matrice [B], che definisce il legame tra le incognite generalizzate e le deformazioni,derivando la ( ):

2

2

2

2

22 2

w [ 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 0 , 6 x , 2 y , 0 , 0 , 6 x y , 0 ] { a }x

w[ 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 0 , 2 x , 6 y , 0 , 6 x y ] { a }

y

w2 [0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 0 , 4x , 4y ,0 , 6x , 6y ]{a}

x y

=

=

=

2

2

2

22 2

2

w

x0 0 0 2 0 0 6x 2x 0 0 6xy 0

w

0 0 0 0 0 2 0 0 2y 6y 0 6xy {a}y0 0 0 0 2 0 0 4x 4y 0 6x 6y

w2

x y

=

quindi poich1

1

{ } [DX]{ } [DX][A] {d} [B]{d}

[B] [DX][A]

= = =

=

abbiamo a disposizione tutti i termini necessari per procedere con la determinazione delle matrici dirigidezza, di massa e dei eventuali vettori di carico consistenti.

La matrice e' integrabile in forma esplicita data la semplicit dei termini che la compongono (polinomi digrado limitato) (vedi Zienkiewicz)L'impostazione segue la procedura canonica per lo sviluppo di un elemento; possiamo ora verificare seun'interpolazione cosiffatta in grado di garantire la continuit inter-elementare dello spostamento e dellesue derivate. Per operare questa verifica sufficiente dimostrare che i coefficienti dell'interpolazione su diun lato dipendono solo dagli spostamenti nodali dei nodi che vi appartengono.Prendiamo per esempio il lato 1-2 a coordinata y costante (y=-a), su di esso l'interpolazione definisce unaequazione di terzo grado:

2 31 2 3 4w c c x c x c x= + + +

i cui coefficienti possono essere determinati con le 4 condizioni al contorno costituite dall'imposizione delvalore dello spostamento e della sua derivata rispetto alla coordinata x ai nodi 1 e 2. Ovviamente non possibile imporre vincoli sulle derivate rispetto ad y in quanto siamo su di una linea ad y costante.Quindi due elementi affacciati sono in grado di esprimere in maniera coerente queste componenti dispostamento e quindi di garantire la continuit attraverso la frontiera comune dello spostamento trasversalee della rotazione normale.Quello che possiamo per rilevare che su di una linea ad x costante non possibile imporre condizionisulle derivate rispetto ad y e questo porta all'impossibilit di definire l'interpolazione unicamente infunzione delle grandezze nodali di un lato: il polinomio che definisce l'interpolazione della seconda derivatasul lato e' sempre di terzo ordine ma disponiamo solo di due condizioni nodali. Quindi la definizione deicoefficienti dell'interpolazione sfrutta gli spostamenti di tutti i nodi, nel punto di coordinata x=L cheappartiene anche al lato 2-3 la derivata rispetto ad x assume un valore che viene a dipendere dai parametridel nodo 1, quindi da incognite nodali non pertinenti al lato in questione. Essendo quindi il valore dello

spostamento, o delle sue derivate, determinato anche in funzione di grandezze nodali non appartenenti allato, due elementi affacciati esibiranno in generale un comportamento differente sul lato in comune: lefunzioni di interpolazione sono allora non-conformi e l'elemento risulta essere incompatibile per quanto


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riguarda rotazione normale ad un lato. L'elemento comunque in grado di raggiungere la convergenza conil raffinamento del modello ma questa non sar caratterizzata da un andamento di tipo monotono.Analizziamo ora se l'elemento in grado di descrivere uno stato di deformazione costante, cio di curvaturacostante: esaminando la struttura della matrice che lega gli spostamenti alle deformazioni notiamo che se icoefficienti dello sviluppo polinomiale relativi a termini di ordine superiore a quello lineare (a7-a12) sononulli la deformazione nell'elemento risulta essere costante in quanto rimangono in gioco soltanto i terminicostanti non nulli della matrice. Essendo dotato di questa capacit possiamo concludere che l'elemento dipiastra rettangolare possiede i requisiti necessari per la convergenza della soluzione.

Generalizzazione dell'elemento rettangolare

La generalizzazione dell'elemento rettangolare ad una forma quadrangolare generica, per esempio medianteuna trasformazione delle coordinate con una formulazione isoparametrica, porta normalmente ad elementinon in grado di descrivere uno stato di deformazione costante; tuttavia, nonostante per questo motivo il lorocomportamento non sia dei migliori, questi elementi riescono comunque a superare i test di convergenza eda fornire risultati soddisfacenti.Un caso particolare di quadrangolo costituito dal parallelogramma. Non si tratta di una generalizzazionecompleta ma pu risultare utile in quanto dimostrabile che la continua suddivisione di un quadrangolo

qualsivoglia, realizzata per dimezzamento dei lati,porta ad elementi appunto di parallelogramma. Inoltrel'elemento cos formulato in grado di descrivere lostato di deformazione costante.La trasformazione tra le coordinate globali e quellelocali espressa dalle relazioni:

(x y cot an( )) /a

(y cosec( )) / b

=

=

Elemento triangolareDati i problemi che si incontrano nel formulare un elemento quadrangolare naturale pensare di sviluppare,usando la stessa procedura, un elemento triangolare lineare; questo permetterebbe un impiego pi praticodella piastra che pu essere utilizzata per modellare ogni tipo di superficie.Con 3 nodi si possono definire 9 condizioni nodali e questo costituisce un serio problema in quanto ilpolinomio completo di grado pi basso composto da 10 termini:

2 2 3 2 2 3w [1, x , y , x , xy , y , x , x y , xy , y ]{a}= per cui necessario definire una relazione di interpolazione basata su 9 coefficienti introducendoarbitrariamente o l'eliminazione di un termine, e in questo caso si pu, per esempio, eliminare il teminequadratico xy

2 2 3 2 2 3w [1, x , y , x , y , x , x y , xy , y ]{a}= o forzare una relazione tra alcuni di essi, per esempio utilizzando lo stesso coefficiente per i termini cubicimisti:

2 2 3 2 2 3w [1, x , y , x , xy , y , x , (x y xy ) , y ]{a}= + In entrambi i casi si hanno per dei problemi.Nel primo l'assenza del termine xy comporta l'impossibilit di rappresentazione di una torsione costantenell'elemento, di fatto ci lo rende inaccettabile non essendo soddisfatta una delle condizioni basilari pergarantire la convergenza:partendo dallo sviluppo dello spostamento determiniamo la derivata seconda mista

2 2

/ xw [0 ,1, 0 , 2x, 0 ,3x , 2xy , y , 0]{a}= / xyw [0 , 0 , 0 , 0, 0 , 0 , 2x , 2y , 0]{a}=

aa

b

b

1 2

34

x,

x


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11

risulta evidente dall'analisi di quest'ultima espressione che non esiste la possibilit di ottenere un terminecostante non nullo.Nel secondo si ha una marcata mancanza di isotropia geometrica nel comportamento dell'elemento; inoltrela matrice [A] pu risultare singolare in alcuni casi caratterizzati da un'orientazione particolari dei lati, peresempio due lati contemporaneamente paralleli agli assi x ed y.

Una tecnica di implementazione che a prima vista permetterebbe di superare i problemi ora visti quellache consiste nel realizzare l'elemento triangolare utilizzando un quarto nodo interno all'elemento, posto peresempio in corrispondenza del centroide.La formulazione, data la struttura polinomiale dell'interpolazione, pu procedere esattamente nel modoprima visto con l'unica accortezza di eliminare i gradi di libert del nodo aggiunto mediante unacondensazione statica.Purtroppo questo elemento non converge.

Triangolo di Kirchhoff discretoLe possibilit di arrivare alla formulazione di un efficiente elemento di piastra sottile triangolare secondo ilmodello di Kirchhoff passa attraverso un parziale abbandono della formulazione originale: poich

l'imposizione delle condizioni di deformazione a taglio nulla in tutto il volume dell'elemento pone problemiparticolarmente difficili da risolvere, nella determinazione di convenienti funzioni di interpolazione siaccetta che esse vengano imposte soltanto in un certo numero di punti; in questo modo risulta pi semplicerisolvere il problema della determinazione di adeguate funzioni di forma.Gli elementi che derivano da un simile approccio vanno sotto il nome di elementi triangolari di Kirchhoffdiscreti.Esaminiamo per sommi capi i passaggi di uno dei possibili sviluppi per un elemento di questo tipo. L'ideaportante e' quella di costruire un elemento con pi gradi di libert di quelli strettamente necessari per unelemento di Krichhoff a tre nodi, e di sfruttare questa ridondanza per imporre opportune relazioni di vincoloche permettono di imporre le condizioni di scorrimento trasversale nullo. Queste relazioni si tradurranno inmatrici di trasformazione delle componenti di spostamento da applicare alla matrice di rigidezzadell'elemento di partenza.

Consideriamo come punto di partenza della formulazione un elemento triangolare a lati diritti con 6 nodi, 3di vertice e 3 nei punti medi dei lati.

1

2

3

4

5

6

x,u

y,v

z,w

s

Assumiamo che le rotazioni della superficie media x,y siano interpolate a partire dai valori nodali diqueste ultime xi,yi mediante uno sviluppo quadratico polinomiale come se stessimo sviluppando unelemento con il modello di Mindlin:

x i xi

y i yi

N

N

=

=

Le funzioni di interpolazione Nipossono essere le note funzioni di interpolazione paraboliche in coordinatedi area:

1 1 1 2 2 2 3 3 3

4 1 2 5 3 2 6 1 3

N (2 1) N (2 1) N (2 1)

N 4 N 4 N 4

= = =

= = =

Per la realizzazione dell'elemento si applicano le relazioni spostamento/deformazione proprie dellaformulazione di Mindlin tralasciando i termini di taglio trasversale, che possiamo ritenere trascurabili in


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12

quanto l'elemento strutturale al quale applicare questa formulazione e' sottile. Le deformazioni si riduconoquindi a:

x x / x

y y / y

xy x / y y / x

uz

xv

zyu v

z( )y x

= =

= =

= + = +

Queste equazioni sono al solito esprimibili in forma matriciale come{}=-z[]{}avendo definiti il vettore di rotazioni nodali come {}=[x,y]T e l'operatore differenziale lineare come:

/ x 0

[ ] 0 / y

/ y / x

=

Per cui ora possibile determinare la matrice di rigidezza dell'elemento a 6 nodi come:T

KA

[k ] [B ] [D ][B ]dA =

che per le ipotesi di lavoro fa riferimento alle incognite nodali di rotazione indipendenti del modello diMindlin

x1 y1 x2 y6

L'obiettivo per un elemento di Kirchhoff a tre nodi; dobbiamo allora determinare una trasformazione dicoordinate che permetta di definire il legame elastico nei termini caratteristici del modello di Kirchhoff

1 / x1 / y1 / y3w w w w

quindi le rotazioni nodali xi, yidevono essere espresse in funzione degli spostamenti nodali w,w/xi,w/yidei soli nodi di vertice di un triangolo a tre nodi:

x1 y1 x2 y6 1 / x1 / y1 / y312x9

[ T ] w w w w =

Questa relazione ci permette di trasformare la matrice di rigidezza [k] dell'elemento a 6 nodi (e quindi consviluppo parabolico dello spostamento) in quella relativa ad un elemento a 3 nodi, caratterizzato daspostamento lineare, con l'usuale tecnica:

T

9x9 9x12 12x912x12[ k ] [ T ] [ K ][ T ]=

Risulta ora evidente perch si partiti da un triangolo di ordine superiore: i gradi di libert in esuberovengono utilizzati per imporre delle condizioni di vincolo, contenute nella matrice di trasformazione tali daripristinare le condizioni di Kirchhoff. In ultima analisi con questa tecnica possibile trasformarel'elemento originale a 6 nodi e 12 gradi di libert in uno a 3 nodi e 9 gradi di libert, definiti comespostamento trasversale della piastra e sue derivate rispetto alle coordinate x,y, in corrispondenza dei nodi.

1

2

3

4

5

6

1

2

3

x y w, w , w/x /y

Per definire questa trasformazione occorre fare riferimento agli spostamenti nodali tipici di un elemento di

Kirchhoff che sono lo spostamento trasversale e le sue derivate. Assumiamo per lo spostamento trasversalewun andamento cubico lungo ciascuno dei lati del triangolo:

2 3w(s)=a+bs+cs +ds


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Imponiamo le condizioni al contorno, per esempio per il primo lato di lunghezza L1 i cui nodi sonoidentificati come 1 e 2, scriveremo il sistema di equazioni:

1

s1

2 31 2 1 1 1

21 s2 1 1

w(0)=w =a

w'(0)=w =b

w(L )=w =a+bL +cL +dL

w'(L )=w =b+2cL +3dL

Risolvendo il quale si ricavano i valori delle costanti

21

31

1

s1

12 1 1 s1 1 s2L

11 2 1 s1 1 s2L

a w

b w

c (3w 3w 2L w 2L w )

d (2w 2w L w L w )

=

=

=

= + +

Con questa funzione possibile descrivere la rotazione del lato come il vettore rotazione normale al latostesso in funzione dei valori nodali dello spostamento e delle sue derivate; sul lato avremo pertanto:

21

31

211 s1 2 1 1 s1 1 s2L

311 2 1 s1 1 s2L

w (s) w w s (3w 3w 2L w 2L w )s

(2w 2w L w L w )s

= + + +

+ +

Avendo completamente definita la forma interpolatoria, si arriva a definire la rotazione normale nel puntomedio del lato 1-2 come:

12 12

3 3 1 1s4 1 2 s1 s22L 2L 4 4

w ( w w w w ) = +

ed analogamente per i lati 2-3 e 3-1

23 23

32 32

3 3 1 1s5 2 3 s2 s32L 2L 4 4

3 3 1 1s6 3 1 s3 s12L 2L 4 4

w ( w w w w )

w ( w w w w )

= +

= +

I gradi di libert di rotazione tangenti, ws, sono in relazione alle rotazioni coordinate (w/x,w/y) medianteuna combinazione dipendente dall'orientazione del lato al quale si riferiscono:

/ x/ n

/ y/ s

ww[T]

ww

=

Per arrivare a definire il triangolo in funzione di soli termini di spostamento w e delle sue derivate occorreeliminare le rotazioni nodali ricercando 12 relazioni di vincolo.La scelta di queste equazioni non univoca; esaminiamo una possibile opzioni: Imposizione dei deformazione a taglio trasversale xz e yz nulla in corrispondenza dei nodi divertice: 6 equazioni in tutto del tipo

xi=w/xiyi=w/yi

Imposizione dei deformazione a taglio trasversale sznullo in corrispondenza dei nodi centrali deilati: 3 equazioni del tipo

si=w/siche possono essere scritte dopo una trasformazione dei termini coinvolti

Variazione lineare della rotazione normale lungo i lati: 3 equazioni del tipo

412 1 2

512 2 3

612 3 1

n n n

n n n

n n n

w w

w w

w w

= +

= +

= +

( )

( )

( )

/ /

/ /

/ /

Elementi quadrangolari da elementi triangolari


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Nodi da eliminare

Programmazione

Esempi

Confronti Kirchhoff/Mindlin

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1 2 4 8 16

T.Ril

T.Esa

S.Ril

S.Esa

N.Suddiv. Appoggio Incastro Appoggio Incastro1 1.025 1.500 1.076 1.0122 0.999 1.228 1.008 1.0464 1.001 1.069 1.003 1.0198 1.001 1.021 1.001 1.007

Confronto elementi quadrangolari (Cook)


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15


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16

Confronto elementi diversi (Meek)

Piastra quadrata: convergenza punto centrale

Bordo incastrato Bordo appoggiatoCarico distribuito Carico distribuito

Bordo incastrato Bordo appoggiatoCarico concentrato Carico concentrato

Recupero degli sforzi: andamento del momento flettente (Meek)


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ConsiderazioniIl modello di piastra non contempla la rotazione attorno ad un asse normale al piano medio; questo grado dilibert risulta non saturato anche nel caso si associno i modelli di membrana e di piastra.Opzione k6rot di NASTRAN.

Limiti di applicabilitSpessore piccolo rispetto alle dimensioni trasversali:Piastra spessa t < a/10Piastra sottile t < a/30Una delle condizioni di applicabilit del modello rappresentato dallo spostamento trasversale della piastradovuto alla deformazione flessionale piccolo rispetto allo spessore (non lo spostamento in assoluto perchquesto comprenderebbe in generale anche una componente rototraslatoria rigida dell'elemento che non hainfluenza sui termini in discussione).La deformata caratteristica cui assoggettato il piano medio della piastra in seguito all'applicazione dicarichi di flessione non costituisce una superficie sviluppabile, cio una superficie che viene ottenuta senzadeformare quella originale. Questo comporta sempre la nascita di tensioni di accoppiamento tra ilcomportamento membranale e flessionale; se per esse sono contenute si pu comunque ritenere valido il

modello di piastra.In generale potremo ritenere che qualora lo spostamento trasversale superi una frazione del 20-30% dellospessore si abbia la nascita di accoppiamenti significativi; queste tendono ad irrigidire l'elemento con uneffetto non lineare. In presenza di una simile situazione la struttura lineare risulta essere pi cedevole ed glispostamenti cos ottenuti sono generalmente sovrastimati con un errore che pu essere anche del 50%quando la deflessione laterale arriva ad avere ampiezza pari allo spessore.

SANDWICHPer una piastra a sandwich, come quella in figura, lecaratteristiche del legame sforzi deformazioni possonoessere determinate con la seguente procedura:

siano c ed h rispettivamente lo spessore del riempitivo edelle pelli mentre per quanto riguarda le caratteristicheelastiche E e siano il modulo di elasticit ed ilcoefficiente di Poisson delle pelli e G il modulo dielasticit del riempitivo;

In questo modo, riducendo i domini di integrazione alle sole pelli per gli sforzi normali e sul solo riempitivoper quelli a taglio, si ottengono i seguenti coefficienti:

2M12 M21

M11 M22 2

2

M33

2

M44 M55

D D Eh(c h)D D

2(1 )

Eh(c h)D 4(1 )

G(c h)D D

c

+= = = =

+= +

+= =

MATERIALI COMPOSITIMeritano una trattazione a parte in quanto spesso il materiale, oltre che non omogeneo nello spessore non neppure simmetrico rispetto al piano medio.Questo comporta la nascita di forze nel pianoOccorre pertanto utilizzare modelli completi di piastra+membrana per trattare gli accoppiamenti.

L'elemento supposto formato da n strati di materiale le cui caratteristiche Ci sono definite in unappropriato riferimento laminato ed il cui spessore ti. Ciascuna delle matrici Ci, relativa ad uno stato

c

h

h

RiempitivoRiempitivo

Pelli


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piano di sforzo, dovr essere trasformata per allineare correttamente il riferimento laminato con la giaciturache lo stesso deve avere nell'elemento, conformemente con l'orientazione del laminato sulla struttura:C=Tt C TPossiamo definire le quote h corrispondenti all'interfaccia tra una lamina e la successiva ottenendo n+1quote hk che avranno valori da 0 allo spessore totale del laminato, o da -h/2 a +h/2 o ancora tra due valoriarbitrari se la piastra non risulta essere allineata con il piano medio dell'elemento.Il calcolo delle forze generalizzate per unit di lunghezza si esegue semplicemente sommando i terminirelativi a ciascuna lamina.Nelle ipotesi minima di andamento lineare dello spostamento flessionale, l'energia di deformazione

Tt / 2

d 2t / 2

C zC1dU dz

2 zC z C

=

k k

nel caso di laminato sottile, tenendo conto della disomogeneit attraverso lo spessore, porta a

i 1

i

T N h

d 2hi 1

C zC1dU dz

2 zC z C

+

=

=

k k

Tenendo conto della struttura degli operatori si pu dare una definizione esplicita dei coefficienti delle

matrici elastiche di flessione, membranale e di accoppiamento:n(k ) 3 3

K ij k k 1ijk 1

1D c (h h )

3 ==

n(k )

M ij k k 1ijk 1

D c (h h )=

= n

(k ) 2 2A ij k k 1ij

k 1

1D c (h h )

2 ==

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