Elementi di Logica matematica

Prima parte

a cura di Fabio Cipollone

Definizione

Si chiama proposizione o enunciato una frase di tipo dichiarativo per la quale si può stabilire senza ambiguità se essa è vera o è falsa.

La verità o falsità di un enunciato viene detto valore di verità dell’enunciato.

Proposizioni

Sono proposizioni, ad esempio, le seguenti frasi:

“2 è un numero primo”

“7 è multiplo di 3”

“Pescara è un capoluogo di provincia”

“Fuori piove”

“Francesca ha 18 anni”

“Carlo è più alto di Matteo”.

Proposizioni

Le seguenti frasi, invece, non sono proposizioni:

“Che ore sono?”

“Stai zitto!”

“Che bella sorpresa mi hai fatto!”

“Paolo è simpatico”

“L’Inter quest’anno vincerà il campionato”

Proposizioni

Tre principi fondamentali:

1) Il principio di identità:

ogni proposizione ha lo stesso valore di verità di se stessa

2) Il principio di non contraddizione:

una proposizione non può essere contemporaneamente vera e falsa.

Proposizioni

3) Il principio del terzo escluso:

una proposizione o è vera, o è falsa, non esiste una terza possibilità.

Poiché, per il principio del terzo escluso, si hanno solo due possibili valori di verità (vero o falso), si parla di logica binaria.

Proposizioni

Definizione

Una proposizione si dice semplice (o atomica) se contiene un solo predicato.

Proposizioni

Ad esempio, le proposizioni inizialmente considerate:

“2 è un numero primo”

“7 è multiplo di 3”

“Pescara è un capoluogo di provincia”

“Fuori piove”

“Francesca ha 18 anni”

“Carlo è più alto di Matteo”

sono tutte proposizioni semplici.

Proposizioni

Definizione

Una proposizione si dice composta (o molecolare) se è formata da due o più proposizioni semplici, collegate tra loro mediante delle locuzioni dette connettivi logici:

e, o, se… allora, se e solo se.

Proposizioni

Ad esempio:“Luca va a scuola in bici e c’è il sole”

“Se c’è il sole, allora Luca va a scuola in bici”

sono proposizioni composte.

Una proposizione composta si può considerare come il risultato di operazioni tra proposizioni semplici, in cui gli operatori sono i connettivi logici.

Proposizioni

Il problema che si pone è allora il seguente:

come si può stabilire il valore di verità di una proposizione composta, conoscendo il valore di verità delle proposizioni semplici da cui è composta?

Di questo si occupa il calcolo delle proposizioni.

Per svilupparlo si devono definire con precisione le operazioni tra le proposizioni e le regole con le quali si eseguono.

Proposizioni

La congiunzione

Definizione

Si dice congiunzione di due proposizioni p e q, e si indica con (si legge “p e q”),

la proposizione che è vera se p e q sono contemporaneamente vere, falsa in ogni altro caso.

Operazioni logiche

Tavola di verità della congiunzione

Operazioni logiche

p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Esempio 1

Date le due proposizioni

p: “6 è multiplo di 2”,

q: “6 è multiplo di 3”,

entrambe vere, facendo la loro congiunzione si ottiene la proposizione

: “6 è multiplo di 2 e di 3”,

che risulta vera.

Operazioni logiche

Esempio 2

Se consideriamo invece le due proposizioni

r: “15 è divisibile per 3” (vera),

s: “15 è divisibile per 4” (falsa);

facendo la loro congiunzione si ottiene la proposizione

: “15 è divisibile per 3 e per 4”,

che risulta falsa.

Operazioni logiche

La disgiunzione inclusiva

Definizione

Si dice disgiunzione inclusiva di due proposizioni p e q,

e si indica con (si legge “p o q”),

la proposizione che è vera se almeno una delle due proposizioni p e q è vera, è falsa se p e q sono entrambe false.

Operazioni logiche

Tavola di verità della disgiunzione inclusiva

Operazioni logiche

p q

V V V

V F V

F V V

F F F

Esempio 1

Consideriamo le due proposizioni

r: “15 è divisibile per 3” (vera),

s: “15 è divisibile per 4” (falsa);

facendo la loro disgiunzione inclusiva si ottiene la proposizione

: “15 è divisibile per 3 o per 4”,

che risulta vera.

Operazioni logiche

Esempio 2

Date invece le due proposizioni

p: “-5 è maggiore di 2”,

q: “-5 è maggiore di 3”,

entrambe false, facendo la loro disgiunzione inclusiva si ottiene la proposizione

: “-5 è maggiore di 2 o di 3”,

che risulta falsa.

Operazioni logiche

La disgiunzione esclusiva

Definizione

Si dice disgiunzione esclusiva di due proposizioni p e q,

e si indica con (si legge “o p o q”),

la proposizione che è vera se una delle due proposizioni è vera e l’altra è falsa, è falsa se sono entrambe vere o entrambe false.

Operazioni logiche

Tavola di verità della disgiunzione esclusiva

Operazioni logiche

p q

V V F

V F V

F V V

F F F

Esempio

Consideriamo le due proposizioni

a: “fuori piove”;

b: “fuori c’è il sole” .

Facendo la loro disgiunzione esclusiva si ottiene la proposizione

: “o fuori piove o fuori c’è il sole”.

Operazioni logiche

La negazione

Definizione

Si dice negazione di una proposizione p, e si indica con o (si legge “non p”),

la proposizione che è falsa se p è vera ed è vera se p è falsa.

Operazioni logiche

Tavola di verità della negazione

Operazioni logiche

p

V F

F V

Esempio

La negazione dell’enunciato

p: “ è un numero razionale” (falso),

è l’enunciato

: “ non è un numero razionale”,

che ovviamente è vero.

Operazioni logiche

L’implicazione materiale

Definizione

Si dice implicazione materiale di due proposizioni p e q, e si indica con (si legge “se p allora q” oppure “p implica q”), la proposizione che è falsa nel caso che p sia vera e q sia falsa, ed è vera in tutti gli altri casi.

Le proposizioni p e q vengono dette rispettivamente antecedente e conseguente.

Operazioni logiche

Tavola di verità dell’implicazione materiale

Operazioni logiche

Quindi:

se l’antecedente è vera, l’implicazione è vera se e solo se anche la conseguente è vera;

se l’antecedente è falsa, l’implicazione è vera qualunque sia il valore di verità della conseguente.

p q

V V V

V F F

F V V

F F V

Esempio

Un professore di Matematica dice ad un suo allievo:

“Se studi, allora sarai promosso”.

Operazioni logiche

p q

V V V Il professore ha detto il vero: l’allievo ha studiato, ed è stato promosso.

V F F Il professore ha detto il falso: l’allievo ha studiato, ma non è stato promosso.

F V V Il professore ha detto il vero in entrambi i casi: l’allievo non ha studiato, cioè non ha rispettato la condizione posta dal suo professore, quindi ogni conseguenza è possibile, promozione o bocciatura!F F V

Nota bene

L’implicazione materiale non necessariamente indica un rapporto di causa – effetto tra antecedente e conseguente.

Ad esempio possiamo considerare le proposizioni

p: “Pescara è la capitale d’Italia” (falsa),

q: “4 è un numero primo” (falsa),

e la proposizione

: “se Pescara è la capitale d’Italia, allora 4 è un numero primo”,

che paradossalmente risulta vera.

Operazioni logiche

DefinizioniData un’implicazione (detta implicazione diretta):• l’implicazione viene detta implicazione

contraria di ;• l’implicazione viene detta implicazione

inversa di ;• l’implicazione viene detta implicazione

contronominale di .

Operazioni logiche

La coimplicazione materiale

Definizione

Si dice coimplicazione (o doppia implicazione) materiale di due proposizioni p e q, e si indica con (si legge “p se e solo se q” oppure “p coimplica q”), la proposizione che è vera se p e q hanno lo stesso valore di verità e falsa in caso contrario.

Operazioni logiche

Tavola di verità della coimplicazione materiale

Operazioni logiche

p q

V V V

V F F

F V F

F F V

Esempio

Un professore di Matematica dice ad un suo allievo:

“Sarai promosso, se e solo se studi”.

Operazioni logiche

p q

V V V Il professore ha detto il vero: l’allievo è stato promosso, avendo studiato.

V F F Il professore ha detto il falso: l’allievo è stato promosso, pur non avendo studiato.

F V F Il professore ha detto il falso: l’allievo non è stato promosso, pur avendo studiato.

F F V Il professore ha detto il vero: l’allievo non è stato promosso, non avendo studiato.

Definizione

Due proposizioni composte si dicono logicamente equivalenti se assumono lo stesso valore di verità in corrispondenza degli stessi valori di verità assunti dalle proposizioni componenti, se hanno cioè la stessa tavola di verità.

Proposizioni logicamente equivalenti

Osservazione

Un’implicazione materiale e la sua contronominale sono logicamente equivalenti.

Per dimostrarlo basta confrontare le rispettive tavole di verità:

Proposizioni logicamente equivalenti

p q

V V V F F V

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V V

Esempio

Le proposizioni

: “Se fuori c’è il sole, allora esco”,

: “Se non esco, allora fuori non c’è il sole”,

sono logicamente equivalenti.

Proposizioni logicamente equivalenti

In Excel, tra le funzioni logiche, sono implementati i tre connettivi logici fondamentali:• La congiunzione

sintassi: =E(A1;B1)• La disgiunzione inclusiva

sintassi: =O(A1;B1)• La negazione

sintassi: =NON(A1)

dove A1 e B1 sono i nomi di due celle, ciascuna delle quali deve contenere uno dei due possibili valori di verità: VERO / FALSO.

I connettivi logici con Excel

Mediante i tre connettivi logici fondamentali si possono ottenere, per equivalenza logica, i rimanenti:

• è equivalente a

• è equivalente a

• è equivalente a .

Dimostra per esercizio le equivalenze logiche precedenti costruendo le relative tavole di verità.

I connettivi logici con Excel

• L’implicazione materiale si può ottenere anche utilizzando la funzione SE, nel modo seguente:

=SE(A1;B1;VERO)

• La doppia implicazione si può ottenere anche come segue:

=SE(A1=B1;VERO;FALSO)

• La disgiunzione esclusiva si può ottenere anche nel modo seguente:

=SE(A1=B1;FALSO;VERO)

I connettivi logici con Excel

Si può stabilire la seguente corrispondenza tra operazioni logiche ed insiemistiche:

Operazioni logiche ed insiemistiche

Operazione logica Operazione insiemistica

Congiunzione Intersezione

Disgiunzione incl. Unione

Negazione , ͞ Complementare , ͞

Per le operazioni tra proposizioni valgono le stesse proprietà delle corrispondenti operazioni tra insiemi:

• Proprietà di idempotenza della congiunzione e della disgiunzione:

• Proprietà commutativa della congiunzione e della disgiunzione:

• Proprietà di complementarità (o legge della doppia negazione):

• Proprietà associativa della congiunzione e della disgiunzione:

Proprietà delle operazioni logiche

• Proprietà di distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione:

• Proprietà distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione:

• Leggi di De Morgan:

• Leggi di assorbimento:

Proprietà delle operazioni logiche

Definizioni

Una proposizione composta viene detta tautologia se essa è vera qualunque siano i valori di verità delle proposizioni componenti.

Una proposizione composta viene detta contraddizione se essa è falsa qualunque siano i valori di verità delle proposizioni componenti.

Tautologie e contraddizioni

1) Principio d’identità

2) Principio di non contraddizione

3) Principio del terzo escluso

Alcune tautologie notevoli