Elementi di Didattica della Matematica - Istituto Comprensivo Frosinone 2 · 2017-10-02 ·...

Elementi di Didattica della Matematica

Come possono servire in classe alcune idee teoriche

Frosinone, 21 settembre 2017

Giorgio BolondiFreie Universität Bozen- Libera Università di Bolzano

Le parole chiave

• Competenza in matematica• Matematizzazione e modellizzazione• Ostacoli all’apprendimento• Misconcezioni• Contratto didattico

Competenza in matematica

I tradizionali percorsi di insegnamento della matematica sono fortemente

strutturati linearmente, con elenchi di argomenti che si susseguono in base a

relazioni di dipendenza logica o funzionale

Per certi versi, questo è inevitabile Ma l’esperienza- dappertutto- dimostra

che questo porta a risultati insoddisfacenti:

Sia per gli insegnanti Che per i ragazzi

Perché insoddisfacente?

Rifiuto della disciplina Rapidissima perdita delle nozioni acquisite Estrema volatilità degli apprendimenti Incapacità di trasferire l’apprendimento al di fuori

del contesto scolastico Altissimo numero di fallimenti formativi Sentimento di frustrazione da parte degli

insegnanti

Ho capito che ogni insegnante deve costantemente lottare contro la tentazione, che si rinnova continuamente, di essere soddisfatto perché fa lezioni limpide e rigorose, che però

non tengono conto delle conquiste degli allievi, delle loro reazioni e delle loro mancanze di

comprensione.

L’importante è l’attività personale degli allievi: non si impara a fare matematica ascoltando

una lezione purificata, ma manipolando oggetti matematici… noi cediamo sempre al miraggio

dei programmi messi a punto con cura e pensiamo che un corso ben strutturato sia il fine

ultimo della nostra pedagogia.

Il professore prepara coscienziosamente un bel corso, rigoroso e limpido come l’acqua chiara

di sorgente, e si meraviglia, al momento dell’esame, che quest’acqua pura si sia trasformata in un liquido melmoso poco

invitante. Il fatto è che la bellezza della materia insegnata e la chiarezza dell’esposizione non

sono sufficienti, e forse non sono neppure necessarie.

Un lavoro sul curricolo è quindi necessario:

Per riportare al centro gli obiettivi generali (strategici?)

Individuando i nuclei fondantia partire dai quali scegliere (contenuti,

metodi,…) e progettare

In matematica:

Le competenze sono molto complesse e articolate

Così come sono complessi i relativiprocessi di apprendimento

Per molti ragazzi è difficile, spessoimpossibile, riaggregare le tante abilità

apprese in matematica in unacompetenza complessa

Obiettivi di apprendimentoLi

vello

02

Riconoscere, denominare e descrivere figure geometriche.

Live

llo 0

5Descrivere, denominare e classificare figure geometriche, identificando elementi significativi e simmetrie, anche al fine di farle riprodurre da altri.

Live

llo 0

8

Conoscere definizioni e proprietà (angoli, assi di simmetria, diagonali, …) delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).

Continuità e verticalitàQuesto è solo uno dei tanti esempi possibili

Traguardo alla conclusione del primo ciclo:Riconosce e denomina le forme del piano e dello spazio, le loro rappresentazioni e ne

coglie le relazioni tra gli elementi.

Pensare al curricolo in verticale, per la matematica, avendo sempre presenti i traguardi, è una necessità che deriva dalle caratteristiche specifiche dell'apprendimento della matematica

E, alla fin fine, dalle caratteristiche della disciplina stessa

L'apprendimento significativo e stabile della matematica è sempre costruito nel medio-

lungo periodo

Ogni progresso è fondato sui precedentied è in qualche modo ricapitolativo di tutto il

percorso compiuto

Il lavoro deve quindi essere impostato su dinamiche di insegnamento e di apprendimento di ampio respiro

Questo lavoro di ampio respiro deve essere realizzato in un quadro:il quadro di riferimento

Quadro di Riferimento: esplicitazione di- quale matematica- per quali obiettivi- con quali metodi

Ogni insegnante ha un proprio quadro di riferimento per la costruzione

del percorso di insegnamento/apprendimento e per la sua valutazione:

spesso è implicito, ricevuto per osmosi dall'ambiente, adattato dalla propria esperienza,

costruito passo passo nel proprio percorso. Il Quadro di Riferimento delle Indicazioni Nazionali, delle Prove Invalsi, delle valutazioni internazionali

è esplicito e può aiutare a rendere espliciti, quelli dei singoli insegnanti

Quali scelte per la matematica nelle nuove Indicazioni?

Diverse finalità, enunciate nel “cappello” generale

Tre finalità per quest'area:

matematica come strumento per leggere e interpretare il mondo, e intervenire

consapevolmente su di esso

Obiettivi

matematica come mezzo per perfezionare capacità del pensiero razionale e di

comunicazione

Obiettivi

matematica come strumento per leggere la storia anche culturale e interpretare

l'azione dell'uomo

Obiettivi

Obiettivi d'ordine

strumentale

Obiettivi d'ordine culturale

Obiettivi d'ordine

formativo

Quale “competenza”?

«la capacità di un individuo di utilizzare e interpretare la matematica, di darne rappresentazione mediante formule, in

una varietà di contesti. Tale competenza comprende la capacità di ragionare in modo matematico e di utilizzare

concetti, procedure, dati e strumenti di carattere matematico per descrivere, spiegare e prevedere fenomeni. Aiuta gli

individui a riconoscere il ruolo che la matematica gioca nel mondo, a operare valutazioni e a prendere decisioni fondate che consentano loro di essere cittadini impegnati, riflessivi e

con un ruolo costruttivo»

la capacità di un individuo di mobilitare conoscenze, abilità, richiamare esperienze, operare con atteggiamento costruttivo

e positivo, per risolvere problemi in contesti un cui sia coinvolta la matematica

In matematica!

Costruire strumenti che forniscano informazioni sugli apprendimenti in

matematica degli studenti in un'ottica di competenze

Quale matematica hanno appreso?In che misura?

Come è organizzata?Quanto è utilizzabile?

L’individuo

Il contesto

Il problema

Le conoscenze

Le abilitàLe esperienze

Gli atteggiamenti

numeri Spazio e figure Relazioni e funzioni

Misure, dati, previsioni

MATEMATICA

concetti algoritmi problemi comunicazione rappresentazione

Da: M. Fandino-Pinilla, Molteplici aspetti dell’apprendimento della Matematica, Erickson

Apprendimentoconcettuale

Apprendimentoalgoritmico

Apprendimentodi strategie

Gestione delle rappresentazioni

Apprendimentocomunicativo

Le diverse componenti dell’apprendimento in matematica

• APPRENDIMENTO CONCETTUALE :apprendimento che riguarda i concetti: la

conoscenza e la padronanza di determinatenozioni, o di alcune idee portanti.

Es.(seconda primaria)Occorre imparare la moltiplicazione, intendendo con questo costruirsi il concetto che c’è alla base dell’operazione di moltiplicazione tra numeri naturali, conoscere e saper usare più o meno consapevolmente le sue proprietà (ad esempio la commutatività) e conoscerne alcune caratteristicheconcettuali.

(Fandiño Pinilla M. I., 2010)


• APPRENDIMENTO ALGORITMICO :riguarda le procedure e gli algoritmi.

Es.Il bambino impara:-ad eseguire l’algoritmo di moltiplicazione in colonna- la procedura per moltiplicare mentalmente un numero per 9.

Ovviamente, collegati all’apprendimento concettuale (ne dipendono e lo arricchiscono), ma sono in qualche modo distinti; il concetto di moltiplicazione può essere appreso più o meno in modoidentico in tutte le culture, mentre le procedure algoritmiche sono caratteristiche delle singole culture.

Tra le procedure vanno ovviamente incluse anche quelle in àmbito geometrico (costruzioni con riga e compasso) oin altri àmbiti (calcolare la media dei dati di una tabella).



• APPRENDIMENTO di tipo STRATEGICO :Una cosa, poi, è conoscere la moltiplicazione, un’altra è

riconoscere in un contesto problematico che la moltiplicazione è l’operazione necessaria per risolverlo.

Imparare a risolvere i problemi, non coincide con l’imparare adeseguire le operazioni.

Ed infatti, ci sono allievi che sanno eseguire le operazioni ma poi non sanno risolvere i problemi. Si tratta di un apprendimento radicalmente diverso, specifico, che NON si impara ricorrendo ad alcun genere di algoritmi.



• APPRENDIMENTO O GESTIONE DELLE TRASFORMAZIONI SEMIOTICHE :

riguarda le rappresentazioni e coinvolge direttamente la capacità di passare da una forma all’altra, da un registro

all’altro di rappresentazione dello stesso concetto

Es:Saper passare da un grafico a una tabella, o da una espressione algebrica ad una geometrica …



• APPRENDIMENTO COMUNICATIVO:Ci sono infine tutti gli aspetti dell’apprendimento che

riguardano la comunicazione, la capacitàdell’allievo di esplicitare e comunicare quello che ha appreso.

Poiché la matematica ha un suo specifico linguaggio, fatto di tantissimi registri semiotici diversi, dei quali occorre impadronirsi, allora questo aspetto non può essere trascurato.



• APPRENDIMENTO CONCETTUALE

• APPRENDIMENTO ALGORITMICO

• APPRENDIMENTO di tipo STRATEGICO

• APPRENDIMENTO O GESTIONE DELLE TRASFORMAZIONI SEMIOTICHE

• APPRENDIMENTO COMUNICATIVO


Matematizzazione e modellizzazione

Il ciclo della matematizzazione proposto come strumento centrale

nell’indagine OCSE-Pisa è uno schema per concettualizzare il

legame della matematica con la realtà

Esempio: il problema dell’altezza

Esempio: il problema dei camion

In una caserma ci sono 1164 soldati. Occorre trasportarli al campo di addestramento, e ogni

camion può portare 36 soldati.Quanti camion sono necessari, al minimo?

1164:36 = ?

32 col resto di 12

32,3333333.........

1) Formulating: la scelta dell'operazione, che traduce il problema in un problema matematico

(1164:36 = ?)

2) Employing: l'esecuzione dell'operazione, per trovare il risultato matematico(1164:36 = 32 col resto di 12

1164:36 = 32,333333......)

3) Interpreting: la traduzione del risultato matematico in una risposta coerente e sensata al

problema reale di partenza(servono 33 camion)

Item 14-------item:14 (D8)Cases for this item 24815 Discrimination 0.38Item Threshold(s): 0.73 Weighted MNSQ 1.03Item Delta(s): 0.73------------------------------------------------------------------------------Label Count % of tot ------------------------------------------------------------------------------1 35.03 2 7.51 3 41.91 4 13.69

Ostacoli, difficoltà, misconcezioni

La matematica è una disciplina

dai tempi lunghi: possiamo aspettarci «risorgive» di difficoltà

anche a distanza di anni

Come individuarle?

Come prevenirle?

Come superarle?

Quale è l’approccio standard?

• La ripetizione

• Intesa in senso “didattico” e in senso “letterale”

• I risultati, di solito, sono insoddisfacenti

• Ripetizioni in classe

• Lo sportello di Istituto

• Le ripetizioni private

Cause presunte della mancata ricezione

• Non ha studiato• Non è stato attento• Era assente• Non ho spiegato bene• Non ha i prerequisiti• È di dura cervice• Non è tagliato per la matematica• La matematica è comunque difficile

• Tutti questi approcci hanno in comune un presupposto: l’allievo non capisce perché non ha recepito il messaggio che gli ho trasmesso

• Non si può intervenire sulle difficoltà se non ne capiamo la natura e le cause

prevenire

risolvere

interpretare

osservare

Quale indicatore?

• Quale indicatore viene solitamente utilizzato per individuare le difficoltà?

•L’errore

Due momenti di errore

• Mentre si “scopre” la verità

• Mentre si verificano le conoscenze acquisite

• Gli ostacoli, le difficoltà e gli errori durante l’apprendimento sono inevitabili e

necessari

• Ma non dobbiamo confondere la fase di apprendimento (costruzione delle

conoscenze) con la fase della valutazione degli apprendimenti

• Non è difficoltà quella dell’allievo che non capisce la spiegazione, o non sa fare un

esercizio come quello visto in classe

• La difficoltà si ha quando non si riesce a innescare il meccanismo

dell’apprendimento, o quando questo meccanismo non porta a un livello

adeguato (e corretto) di conoscenze

• Il lavoro, talvolta faticoso,… a partire dai primi scostamenti rilevati tra l’immagine e certi fatti evidenti…è marcato da una tensione crescente… fino al momento in cui scoppia, con la scoperta dell’errore e il crollo di una determinata visione delle cose…La scoperta dell’errore è un momento cruciale, un momento creativo al massimo, di ogni lavoro di scoperta.

È ovvio….

• Ma spesso ce ne dimentichiamo

• E soprattutto non riusciamo sempre a capire se questo è davvero il lavoro che riusciamo a stimolare nei nostri ragazzi

La didattica delle 8 E

•Esporre Esempi

•Erogare Esercizi

•Esigerli Eseguiti

•Evidenziare gli Errori

• Se il nostro insegnamento si sviluppa con questa dinamica, avremo poche possibilità di individuare le cause degli errori, e la loro natura, e ancora meno possibilità di porvi rimedio

• Nel momento in cui il ragazzo ci porta l’esercizio eseguito, il suo lavoro si è già compiuto, e noi non abbiamo interagito con esso

• L’individuazione dell’errore si focalizza sul risultato finale del lavoro del ragazzo

Il prodotto finale

• In matematica siamo abituati a riguardare il prodotto finale del lavoro del matematico

• Così sono strutturati i libri di testo, i manuali, gli articoli di ricerca

Ma in didattica…

• Soprattutto quando ci sono difficoltà, quello che bisogna

guardare per capire cosa succede è il processo, e

non solo il prodotto

• Osservare il lavoro dei ragazzi, guardare i ragazzi mentre lavorano, e non solo i compiti che ci consegnano

• Da soli e in gruppo• Facendoli comunicare• Creando situazioni a-didattiche e non-

didattiche

Difficoltà

Errore in rispostaa una consegna

Ripetizione di spiegazione e

consegna RIPETIZIONE

DELL'ERRORE!

Individuarela natura dell'errore

Osservare il processonon solo il prodotto

Individuare la natura

dell'ostacolo

Ostacoloall'apprendimento

La teoria degli ostacoli• Brousseau, 1976 (Bachelard, 1938)

• Ostacolo è qualcosa che si frappone all'apprendimento

• Una difficoltà è spesso un sintomo di un ostacolo

Classificazione degli ostacoli

Gli ostacoli didattici

• Spesso sono legati a misconcezioni degli allievi, talvolta ereditate da misconcezioni degli insegnanti

Gli ostacoliepistemologici

Gli ostacoli genetici

• Nel triangolo di Chevallard, si

riferiscono specificatamente ad

uno dei vertici

sapere

insegnante allievo

Un campionario di esempi

La didattica e le difficoltà in matematica (D'Amore, Fandino, Marazzani, Sbaragli)

Erickson, 2008

Termoli, 6 marzo 2012

Difficoltà derivanti da misconcezioni

Soprattutto in geometria,molte difficoltà dipendono da

MISCONCEZIONI


Misconcezione:Fraintendimento o concezione errata

che ha una sua logica interna


Per individuare la natura della difficoltà occorre individuare la misconcezione che ci

sta dietro, e lavorare sulla sua origine.


Occorre scardinare o modificare la logica che la governa, spesso senza che il ragazzo ne

sia consapevole


Se non ci riusciamo, la misconcezione continuerà a riemergere, a

sopravvivere a tutti i nostri tentativi di “correzione”


Le misconcezioni, in geometria, sono alla radice di errori persistenti,

resistenti e ripetuti,Proprio perché non sono semplici

conoscenze errate:hanno anche una coerenza interna


Misconcezioni legate alla posizione

Possono derivare dall'immagineassociata alla definizione

usata nel libro, o sulla lavagna dall'insegnante


....famosissima....


La posizione di un trapezio


Spesso queste misconcezioni

sono rafforzate da elementi linguistici


Misconcezioni derivanti dal linguaggio

In certi casi, il linguaggio usato è determinante nel creare

misconcezioni


… un altro esempio famoso...

L'uso della parola “base”


1) nel piano

Quale è la base di questo quadrato?


Risposte frequenti:

...non ha nessuna base.......questo quadrato ha come base il vertice in

basso....


È ovvio che questo porta a difficoltà nel momento in cui si tratta di riconoscere

figure in contesto di problema,lavorare sui loro elementi,

individuare costruzioni da fare


Anche la parola “altezza” nasconde insidie

Viene solitamente definita come un particolare segmento

(quello che “parte” da un vertice e “cade” perpendicolarmente al lato opposto)


Curare il linguaggio

L'altezza è una grandezza, una distanza individuata da un segmento (ma anche da

tutti i segmenti congruenti ad esso)


Cosa vuol dire “uguale”?

Se parliamo di frazioni, parti “uguali”significa equiestese; in geometria significa

congruenti


Rettangolo diviso in quattro parti uguali (nel capitolo sulle frazioni)


Attenzione a non generaizzare arbitrariamente

In un triangolo è ovvio quale è il “lato opposto” a un vertice (o il vertice opposto a

un lato)


Ma osa succede per un quadrilatero?

Possiamo parlare facilmente di “altezza di un parallelogrammo” rispetto a un lato (è la

distanza tra un lato e quello opposto)


Ma cosa succede per quadrilateri generali?


2) Cosa è la “base” di un solido nello spazio?


Sono tutte situazioni che noi riusciamo a gestire, ma che creano difficoltà nei

bambini


Sempre nei trapezi...

Quanto è forte l'impatto della parola “lato obliquo”?


Forse questa parola (che ha un significato convenzionale) potrebbe essere usata

dopo l'individuazione delle caratteristiche matematiche che individuano l'oggetto

“trapezio” (essere un quadrilatero e avere due lati paralleli)


E' ben noto che per i ragazzi un rettangolo NON è un trapezio perché non ha lati

obliqui


UN ALTRO ESEMPIO

L'uso della parola laterale in geometria dello spazio


Qaule è la superfice laterale di questo solido?


Un possibile percorso

Geometria senza vincoli spaziali

o sistemi di riferimento (impliciti)

troppo rigidi


il disegno, inteso come costruzione della figura geometrica, … è una specificità della geometria, importante come strumento di apprendimento che catalizza informazioni e abilità (Fulvia Furinghetti)L’attività grafica contribuisce alla costruzione delle conoscenze


-utilizzare fogli senza quadrettature- utilizzare fogli di forme diverse


...altre misconcezioni....

... misconcezioni dovute a incoerenze dei testi utilizzati

… misconcezioni legate a definizioni (ncessariamente) imprecise


Come far emergere una misconcezione?

Una misconcezione spesso riesce a sopravvivere e a resistere a tutti i nostri

tentativi di intervento perché NON ESCE allo scoperto e continua ad essere

accettata grazie alla sua logica interna


Non sempre (quasi mai) servono domande dirette

- il ragazzo, di fronte a una domanda diretta, tende a mettere in atto meccanismi di

controllo in cui ricorre meccanicamente alla conoscenza formale acquisita


Sono più utili questionari in cui una domanda chiave è inserita tra altre domande

Oppure interviste (colloqui) con discussione di casi limite o critici

Contratto didattico

In un triangolo isoscele la somma delle radici quadrate dei lati uguali è pari alla radice

quadrata del terzo lato

In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati dei cateti è pari al quadrato del terzo lato

LICEI2,7 29,1 1,9 26,1 40,2

TECNICI2,2 34,0 1,3 25,0 37,5

Ist. Prof.2,3 47,7 2,5 9,8 37,7

La somma di potenze di ugual base è uguale a una potenza che ha la stessa base

e per esponente il prodotto degli esponenti

Il prodotto di potenze di ugual base è uguale a una potenza che ha la stessa base

e per esponente la somma degli esponenti

Cooo oooo o ooooooooo oo ooooooooo oooooooooo

Gaël è un bambino che frequenta il corrispondente italiano della seconda elementare pur avendo più di 8 anni. La condizione nella quale i ricercatori trovarono Gaël è la

seguente: in luogo di esprimere coscientemente la propria conoscenza, Gaël la esprime sempre e solo in termini che

coinvolgono l’insegnante:

le sue competenze non sono mai sue proprie competenze, ma quel che la maestra gli ha insegnato

le sue capacità strategiche non sono mai sue proprie capacità, ma quel che (e come) la maestra ha detto di fare


Il complesso di interazioni e comportamenti che si instaura tra allievo e insegnante, che deve avere quale prodotto finale l’apprendimento, è formato da una serie di fasi e di momenti che caratterizzano l’attività svolta in classe giornalmente. Il rapporto allievo-insegnante è basato su regole non scritte, su convenzioni sottointese, accettate implicitamente tanto dallo scolare quanto dall’insegnante.

Queste regole, seppur mai dichiarate, sono ben conosciute da entrambe le parti in causa, come se

costituissero una sorta di contratto mai firmato: il contratto didattico.


<<In una situazione d'insegnamento, preparata e realizzata da un insegnante, l'allievo ha generalmente

come compito di risolvere il problema (matematico) che gli e presentato, ma l'accesso a questo compito si fa attraverso un'interpretazione delle domande poste,

delle risposte fornite, degli obblighi imposti che sono costanti nel modo di insegnare del maestro. Queste

abitudini (specifiche) del maestro attese dall’allievo ed i comportamenti dell’allievo attesi dal docente

costituiscono il contratto didattico>> (Brousseau, 1980)


Studi approfonditi sul contratto didattico hanno rivelato che gli allievi di ogni ordine scolastico hanno appunto attese particolari, comportamenti che nulla hanno a che vedere con la matematica ma che dipendono dal contratto instauratosi in classe.


La problematica del contratto didattico è particolarmente rilevante nella didattica della matematica perché la natura delle prestazioni matematiche è molto varia e quindi la scelta del comportamento intellettuale più adatto in ogni circostanza è assai impegnativa, con il rischio inevitabile che l’allievo, soprattutto quello meno sicuro di sé, si interroghi non sul “cosa conviene fare”, ma su “cosa l’insegnante si aspetti che io faccia”.


Costruzione della conoscenza si ottiene con la rottura del contratto didattico, quando l’allievo raggiunge la

DEVOLUZIONE

Per devoluzione si intende il processo o l’attività di responsabilizzazione, attraverso il quale, l’insegnante ottiene che lo studente s’impegni nella risoluzione di un problema, più in generale, in un ‘attività cognitiva, affinché diventi un suo problema.


“L’allievo costruisce la conoscenza solo se si interessa personalmente della

risoluzione del problema.Di quanto gli è stato proposto durante la

situazione didattica: in tal caso si usa dire che si è raggiunta la devoluzione da

parte dell’allievo”. (Brousseau, anni ‘80)

Giorgio BolondiFaculty of Education

[email protected]

www.unibz.it

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