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SORGENTI SISMICHE:RAPPRESENTAZIONE MATEMATICA ED

APPLICAZIONE AL CALCOLO DEGLI SPOSTAMENTI

Flaminia Catalli

Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia, Roma

Indice

Introduzione .......................................................................................................................................... 7

1 Sorgenti sismiche e campo degli spostamenti ................................................................................... 71.1 Meccanica del mezzo continuo ed elementi di elastostatica ....................................................... 71.2 Spostamenti dovuti ad una forza singola, calcolo del tensore di Somigliana ........................... 101.3 Spostamenti dovuti ad una coppia di forze .............................................................................. 121.4 Spostamenti dovuti ad una doppia coppia di forze ................................................................... 141.5 Deformazioni e sforzi ............................................................................................................... 15

2 Rappresentazione di sorgenti sismiche ............................................................................................ 162.1 Teoremi di Unicità e di Reciprocità ........................................................................................... 162.2 Teorema della Rappresentazione ................................................................................................ 18

3 Equivalenza tra forze e dislocazioni ................................................................................................ 193.1 Teorema della Rappresentazione per una superficie interna ..................................................... 193.2 Il tensore Momento Sismico ..................................................................................................... 20

4 I parametri di sorgente e l’energia sismica ..................................................................................... 214.1 Energia sismica rilasciata da una dislocazione e caduta di sforzo ........................................... 224.2 L’energia di deformazione e il momento sismico ................................................................... 23

5 Caso particolare di una sorgente estesa rettangolare piana: simulazioni ........................................ 235.1 Modellazione di una faglia rettangolare ................................................................................... 235.2 Il programma di simulazione ................................................................................................... 245.3 Simulazioni .............................................................................................................................. 255.4 Gli spostamenti ........................................................................................................................ 275.5 Gli sforzi .................................................................................................................................. 31

6 Il problema del semispazio ............................................................................................................ 33

7 Conclusioni e sviluppi ..................................................................................................................... 34

Bibliografia ....................................................................................................................................... 34

Introduzione

Se si vuole trattare fisicamente il fenomenodel terremoto è necessario prima di tutto cono-scere e poter rappresentare la sorgente dell’e-vento stesso e risalire in questo modo alla solu-zione analitica del problema fisico.

Una sorgente sismica può essere identifi-cata con una frattura nel mezzo (una faglia oparte di essa) che sottoposta ad una sollecitazionedi sforzo disloca, ovvero accade che i due lembidella faglia si muovono l’uno rispetto all’altro.Questo tipo di sorgenti è detta di taglio perchè ladislocazione è provocata da sforzi di taglio. Seil movimento relativo dei due lembi di faglia èparallelo rispetto alla linea di rottura allora lafaglia è detta faglia trascorrente; se invece ilmovimento è parallelo alla profondità dellafaglia questa è detta faglia a rigetto verticale.Una dislocazione provoca nel mezzo circostan-te un campo degli spostamenti che può esserestudiato nel contesto della teoria dell’elasticità,come vedremo nel capitolo 1.

In questa breve trattazione vogliamo rap-presentare la sorgente sismica fisicamente eanaliticamente e trattare la teoria principale cheriguarda le sorgenti dei terremoti (capitolo 1,paragrafo 1.1, e capitoli 2 e 3).

Quindi vogliamo poter ricavare la descri-zione esplicita dei campi di spostamento, dideformazione e di sforzo che essa genera nellospazio circostante (sezioni 1 e 1.5).

Nel capitolo 5 le conoscenze acquisiteverranno tradotte in un codice di simulazionedel comportamento di una particolare sorgentesismica. Questo permetterà di visualizzare,attraverso delle mappe, il comportamento delmezzo circostante una faglia che disloca intermini di spostamento, deformazione e sforzo.

La comprensione di come reagisce ilmezzo circostante la sorgente sismica all’avve-nire del terremoto è importante per capire comediverse faglie interagiscono fra loro, favorendoo inibendo vicendevolmente la propria rottura.

È comunemente noto nella letteraturaspecialistica che un terremoto generalmente nefavorisce altri intorno a sé (i suoi aftershocks)ed è questo il cosiddetto fenomeno di trigge-ring; negli ultimi anni si fa più attenzione ancheal fenomeno opposto, ovvero al fatto che un ter-remoto ha anche la capacità di inibire, per unperiodo di tempo, altri fenomeni in una certazona (scaricandone lo sforzo accumulato).Quest’area si verrà a trovare così in un periododi cosiddetta quiescenza. Capire quindi comereagisce il mezzo ad una dislocazione è impor-tante se si vogliono sviluppare modelli di pre-

visione a breve e lungo termine.La struttura della trattazione è pensata

per dare al lettore inizialmente un approcciopiù concettuale di alcuni aspetti del problemaproposto (in particolare della rappresentazionedelle sorgenti), pur portando avanti la sua solu-zione analitica; solo in un secondo momentovengono ripresi ed approfonditi, sia concettual-mente che quantitativamente, alcuni degli argo-menti proposti nella parte iniziale.

Nella prima parte (capitolo 1) ci riferia-mo in particolare al più semplice problema sta-tico per un mezzo isotropo; in un secondomomento proponiamo alcuni teoremi fonda-mentali in una veste più generale, includendoanche la variabile temporale e riferendoci ad unmezzo anisotropo (capitolo 3).

Vogliamo trattare, inoltre, le relazioniche intercorrono tra i principali parametri disorgente e l’energia sismica (capitolo 4).

Infine, come già accennato sopra, cioccupiamo di una specifica sorgente estesa diforma rettangolare di cui calcoliamo e rappre-sentiamo i relativi tre campi di spostamento,sforzo e deformazione su un piano, introdu-cendola in un programma di simulazione(capitolo 5).

1 Sorgenti sismiche e campo degli spostamenti

1.1 Meccanica del mezzo continuo edelementi di elastostatica

L’intera trattazione che segue avviene nelcontesto della meccanica del mezzo continuo[Malvern, 1969]: la supposizione che implicita-mente faremo sempre è che la materia occupi tuttoil volume a sua disposizione, senza lasciare vuotistrutturali; trascuriamo, quindi, non solo le dis-continuità macroscopiche (fratture, pori, cavità...),ma anche le discontinuità tipiche della strutturaatomica e molecolare. Sono due le giustificazionia questa nostra idealizzazione del mezzo: la primasta nel fatto che ci occupiamo di volumi conte-nenti tante particelle che sarebbe impossibile par-lare del movimento di ognuna di queste singolar-mente, tanto più che il concetto di posizione rela-tiva in questo caso perderebbe senso; la seconda,invece, nasce dall’osservazione che, generalmen-te, ci occuperemo di regioni di volume le cuidimensioni sono nettamente inferiori alle lun-ghezze d’onda tipiche delle oscillazioni sismiche.

Consideriamo l’equazione del moto dell’e-lastodinamica, ovvero la legge di Newton appli-cata ad un mezzo continuo:

7

Flaminia Catalli: Sorgenti sismiche: rappresentazione matematica ed applicazione al calcolo degli spostamenti

(1)

con ρ densità del mezzo, u lo spostamento, f unaforza applicata in un punto e σ lo sforzo (ricor-diamo che σij,j sta per ∂σij/∂xj e che l’indice ripe-tuto equivale ad una somma, nel caso specificouna somma su j=1,2,3); osserviamo anche che la1 ha le dimensioni di una forza per unità di volu-me. Sostituendovi l’espressione dello sforzo,data dall’equazione di Hooke per un mezzoomogeneo ed isotropo1:

dove λ e µ sono i moduli d’incompressibilità edi taglio, e l’espressione della deformazione:

si ottiene l’equazione del moto di Cauchy-Navier:

che in forma vettoriale si scrive

Se si considera una densità di forza stati-ca di volume f, applicata in un punto xN dellospazio elastico, il campo degli spostamenti u daessa prodotto può essere ricavato risolvendol’equazione di Cauchy-Navier all’equilibrio,ovvero avendo posto ρü = 02 [Boschi etDragoni, 2000]. In questo senso le forze di volu-me hanno il ruolo di sorgenti del campo di spo-stamento, deformazione e sforzo all’interno delmezzo. Possiamo dire che ciascuna componentedello spostamento è una combinazione linearedelle tre componenti della forza, cioè:

dove Gij rappresenta le componenti del tensoredi Somigliana G che dà la componente i-esimadello spostamento dovuto ad una forza unitariaF, puntiforme e costante nel tempo con direzio-ne j-esima.

Effettuato il calcolo del tensore diSomigliana (che seguiremo dettagliatamente piùavanti) si arriva a conoscere esplicitamente ilcampo degli spostamenti dovuto ad una forzasingola. Nel caso di una distribuzione di forzefj(x1,x2,x3) per unità di volume lo spostamentoè dato da

dove Gij dipende dal punto di applicazione dellaforza xN e dal punto d’osservazione x, condV=dx1’dx2’dx3’. Il tensore di Somigliana è lasoluzione fondamentale per i problemi di elasti-cità statica. Una forza singola, che agisce in unsingolo punto del mezzo, è la sorgente puntifor-me più semplice che si può immaginare, ma apartire da questa si possono derivare numerosealtre soluzioni dell’equazione di equilibrio. Siarriva così a parlare di sorgenti costituite da unacoppia di forze o da una doppia coppia di forze.È utile notare in anticipo che, anche se ci riferia-mo ad una sorgente costituita da una o più cop-pie di forze, noi ipotizziamo sempre che questasia puntiforme, quindi che il braccio che separa idue vettori tenda a zero (tuttavia su di essa deverimanere possibile indicare tutte le direzioni).Vediamo ora come si arriva a costruire il campodegli spostamenti per una coppia di forze e peruna doppia coppia (ci preoccuperemo inizial-mente solo dei passaggi concettuali fondamenta-li e soltanto in un secondo momento approfondi-remo i diversi casi nei paragrafi 1.2, 1.3 e 1.4.Consideriamo una forza F(1) applicata nell’ori-gine delle coordinate in direzione x1 e una forzaF(2) applicata nel punto (0,h,0) in direzioneopposta, come mostrato in figura 1.

Definiamo le due forze in questo modo:

dove M è una costante che ha le dimensioni diun momento. Lo spostamento totale prodottodalle due forze è, per il principio di sovrapposi-zione, la somma degli spostamenti prodotti dallesingole forze:

Poiché, come abbiamo già sottolineato, lasorgente è puntiforme, si deve passare al limiteper h → 0:

ovvero

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1 Qui introduciamo una prima semplificazione del problema ipotizzando che il mezzo elastico studiato sia isotropo.2 Questa è la seconda semplificazione che facciamo, immaginando di riferirci ad un problema puramente statico.

(2)

(3)

(4)

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(10)

(11)

(8)

(9)

In definitiva

dove con Gi1,2 si indica la derivata parziale deltensore di Somigliana rispetto alla direzione delbraccio della coppia di forze (vedremo che levariabili rispetto alle quali si deve derivare sonole coordinate sulla faglia). Se si consideranoforze dirette come gli assi principali esistono seipossibili coppie di forze a momento torcentenon nullo. Ma ricordiamo che in un mezzo ela-stico anche una coppia di forze con momentotorcente nullo, che hanno cioè la stessa linead’azione, producono uno spostamento. In questocaso si parla di dipolo vettoriale. In definitivaesistono nove tipi diversi M j

i=Mij di coppia di

forze rappresentabili come in figura 2.Precisiamo la descrizione appena vista

dello spostamento dovuto ad una coppia osser-vando che, mentre una sorgente costituita da unasingola forza è descritta da un vettore, una sor-gente costituita da una o più coppie di forze èdescritta da un tensore del secondo ordine Mij, iltensore momento sismico, dove l’indice “i” indi-ca la direzione della forza e l’indice “j” la dire-zione del braccio. Quindi, ad ognuna delle novecoppie di forze, corrisponde una diversa compo-nente del tensore.

In maniera più generale e precisa allora,la 13, che definisce il campo degli spostamentidovuto ad una coppia di forze per una sorgentepuntiforme, si scrive:

ricordiamo che due indici ripetuti come in que-sto caso equivalgono alla somma di nove termi-ni, per k = 1,2,3 e l = 1,2,3.

Se trattiamo una sorgente estesa, ovverouna distribuzione di coppie, avremo:

con m densità del tensore momento sismico M(su questo torneremo nel capitolo 5).

Bisogna fare attenzione a dare il giustosegno alla componente del momento torcente eduna regola da seguire è quella che il segno èdeterminato dalla forza con il punto di applica-zione nel verso positivo lungo la direzione delbraccio: se tale forza è diretta nel verso positivodell’asse di riferimento allora il momento èpositivo e viceversa [Boschi et Dragoni, 2000].Il segno definitivo del campo degli spostamentidipenderà anche dal tensore di Somigliana, inparticolare dal punto nello spazio dove voglia-mo calcolare il campo stesso (il punto d’osser-vazione).

Se la sorgente è costituita da una doppiacoppia di forze per ricavare il campo degli spo-stamenti totale non dobbiamo fare altro chesommare i singoli spostamenti dovuti alle duecoppie. Questo è ancora una volta vero per ilprincipio di sovrapposizione. Una doppia cop-pia di forze, o ancor meglio una distribuzione didoppie coppie, è la migliore rappresentazione diuna sorgente sismica di taglio che si possa dare,

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Figura 1 Rappresentazione di una coppia di forze.

(12)

(13)

(14)

(15)

la rappresentazione con maggiore rigore fisico.La doppia coppia di forze garantisce infatti laconservazione del momento angolare totale delsistema. Ricordiamo che la coppia o la doppiacoppia di forze si trovano sempre in un piano per-pendicolare al piano di faglia, intesa a sua voltacome possibile sorgente di un nuovo evento.

È doveroso a questo punto anticipare ladefinizione di faglia ed un importante risultatoche vedremo più avanti, espresso nel Teoremadella Rappresentazione. Una faglia è una super-ficie di frattura sulla quale si trovano i segni diun movimento discontinuo della Terra, ovverole dislocazioni; se la frattura è avvenuta a causadi un movimento di taglio allora la faglia, se sot-toposta ad uno sforzo, può essere soggetta anco-ra a scorrimento orizzontale (faglia trascorrenteo strike-slip) o verticale (faglia verticale o dip-slip) (in proposito si veda Boschi et Dragoni,[2000]).Il Teorema della Rappresentazioneesplicita l’equivalenza che esiste tra un sistemadi forze e un sistema di dislocazioni: in questosenso il concetto di faglia è sovrapponibile conquello di sorgente di un nuovo terremoto.

1.2 Spostamenti dovuti ad una forza singola,calcolo del tensore di Somigliana

Vogliamo determinare ora, in manieraesplicita, il campo di spostamenti u nel caso sta-tico in un generico punto P del mezzo elastico,infinito, omogeneo ed isotropo. Supponiamoche tale spostamento sia dovuto ad una forza

puntiforme applicata in 0 e che a distanze infi-nite dalla sorgente u=0 [Lay et Wallace, 1990].Le caratteristiche del mezzo sono la densità ρ ele costanti elastiche λ e µ.

Introduciamo l’espressione di forza pun-tiforme nell’equazione di Cauchy-Navier all’e-quilibrio (trattiamo in realtà ancora una densitàdi forza f):

che, per la proprietà del prodotto vettorialesecondo cui ∇2u = ∇ . (∇u) − ∇ x (∇ x u), puòanche essere scritta come segue:

Immaginiamo che la forza puntiforme siaapplicata nell’origine degli assi coordinati:

con F l’intensità di una forza, a un vettoreunitario nella direzione della forza lungo un asseprincipale e δ(r) la funzione di Dirac tale che

con r = (x21+x2

2+x23)

1/2 distanza dal centrodelle coordinate.Il teorema di Gauss ci permette di scrivere:

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(17)

(18)

Figura 2 Le nove possibili coppie di forze Mij componenti del tensore momento sismico. Ognuna consi-ste di due forze opposte separate da una distanza infinitesima tali che la forza risultante sia sempre nulla.

(19)

perciò la 18 diventa

L’equazione di Cauchy-Navier all’equilibriodiventa quindi:

Cerchiamo una soluzione del tipo:

dove AP e AS sono due potenziali vettorerispettivamente irrotazionale e solenoidale:

L’idea che la soluzione che cerchiamo abbiaquesta forma si basa sulla conoscenza chequalsiasi campo degli spostamenti puó essererappresentato dalla somma di un campo irrota-zionale e di un campo solenoidale (teorema diHelmotz-Lamè) e i termini ∇(∇.AP) e ∇ x ∇ x ASrispettano questa richiesta. Sostituiamo allora unella 22 e raccogliendo otteniamo:

che è soddisfatta per

Se poniamo3

otteniamo le equazioni di Poisson

di cui conosciamo il risultato ricordandoche ∇2r = 2⁄r:

AP e AS sono potenziali che risolvono leequazioni disomogenee 26.

Per ottenere lo spostamento che cerchia-mo bisogna sostituirli nell’equazione 23 otte-nendo così la componente i-esima dello sposta-mento dovuto ad una forza unitaria nella dire-zione j-esima:

ovvero, esprimendo le operazioni vettoriali conla notazione ad indici, si può anche scrivere informa più compatta:

con

Per i solidi detti poissoniani ricordiamoche λ ≈ µ quindi Γ ≈ 2⁄3. L’equazione 31 rappre-

11


3 Questo passaggio ci è consentito dall’osservazione che se ∇2A = Fî questo significa che (∇2Aî, ∇2A^j, ∇2Ak) = Fîe quindi che ∇2Aî = Fî, ∇2A^j = 0, ∇2A^k = 0, dove i, j, k indicano i versori degli assi coordinati.

(23)

(24)

(25)

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(29)

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(31)

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(20)

(22)

(21)

+

senta proprio il tensore di Somigliana che vole-vamo calcolare avendo posto F=1.

Per una generica forza F le sei possibilidiverse componenti sono le seguenti:

poiché uji = uij, essendo il tensore di Somigliana

simmetrico. Si noti che esiste una dipendenzadalla distanza rispetto alla sorgente del tipo 1/r.

1.3 Spostamenti dovuti ad una coppia diforze

Riprendiamo il discorso sullo spostamen-to dovuto ad una coppia di forze introdotto pre-cedentemente. Abbiamo visto che tale sposta-mento si ottiene derivando le componenti deltensore di Somigliana secondo la 14.

Esplicitiamo ora questa relazione. Perfarlo rivediamo il problema in maniera più spe-cifica immaginando di applicare una forza nel

punto (ξ1, ξ2 + 1⁄2 dξ2, ξ3) e la seconda nel punto(ξ1, ξ2 − 1⁄2 dξ2, ξ3) come mostrato in figura 3[Lay et Wallace, 1990].

Se lo spostamento lo vogliamo in ungenerico punto P(x1 ,x2 ,x3), la distanza r checompare nel tensore di Somigliana va corretta inr = [(x1 − ξ1)

2 + (x2 − ξ2)2 + (x3 − ξ3)

2]1/2.Come abbiamo già visto, lo spostamento

in P è dato dalla somma dei due campi di spo-stamento dovuti alle forze prese singolarmente:

che si può ridurre a:

Poiché r = [(x1 - ξ1)2 + (x2 - ξ2)

2 + (x3 - ξ3)2]1/2, si

ha che ∂r/∂ξi= - ∂r/∂xi, ovvero:

perciò la 35 diventa:

Per ottenere il campo degli spostamenti dovutoad una coppia di forze bisogna, in definitiva,risolvere la 37 tenendo conto che dξ2 → 0 e che

12


4 Con i,j=1,2,3

Figura 3 Coppia di forze agente nel punto (ξ1, ξ2, ξ3) parallela al piano x1 x2.

(34)

(35)

(36)

(37)

(33)

+

a Fdξ2 va sostituito il momento M.Abbiamo calcolato esplicitamente le

diverse componenti di uno spostamento causa-

to da una coppia di forze agenti in ogni possibi-le direzione xi con il braccio lungo xj

4:

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(38)

Si noti subito che, rispetto agli spostamentidovuti ad una forza singola, ora la dipendenzadalla distanza dalla sorgente è del tipo 1/r2.Facciamo qualche altra utile osservazione.Abbiamo riportato solo 18 diverse componentidel campo di spostamenti perchè esistono delleuguaglianze tra i termini dovute alla simmetriaespressa dalla relazione uj

i = uij, che ha come

conseguenza l’uguaglianza uj,ki = ui,k

j. Si osserviancora che la u1,2

1 è uguale alla u3,23 scambiando

x1 con x3: fisicamente significa che i meccanismidi faglia trascorrente e di faglia a scorrimentoverticale, dovuti rispettivamente alle coppie diforze (1,2) e (3,2) se immaginiamo la faglia gia-cente nel piano x1 x3, sono uguali a meno di unarotazione nello spazio delle coordinate.

Questo punto lo approfondiremo nel suc-cessivo paragrafo 1.4 e ci permetterà di dedurredelle generalizzazioni interessanti.

Altre simmetrie riguardano le componentiu1,1

1, u2,22 e u3,3

3 che sono uguali scambiando x1con x2 e poi con x3; la u1,1

2 e la u1,13 che sono

uguali scambiando x2 con x3; la u2,21 e la u2,2

3 chesono uguali scambiando x1 con x3; la u3,3

1 e la u3,32

che sono uguali scambiando x1 con x3; l’ugua-glianza u1,2

3 = u1,32 = u2,3

1; ed infine le u1,21, u1,2

2,u1,3

1, u1,33, u2,3

2 e la u2,33 che sono uguali per scam-

bio degli assi. Un’ultima, ma non meno significativa,

osservazione che possiamo fare riguarda il cal-

colo che ci porta alle espressioni 38: si tratta diuna derivazione degli spostamenti di singolaforza rispetto alle coordinate di sorgente ξi.Questo procedimento è analogo al calcolo delledeformazioni dovute a singola forza nel quale,però, si deriva rispetto alle generiche coordinatexi. Ciò che si sa calcolare in principio è il campodegli spostamenti dovuti ad una singola forzagrazie al tensore di Somigliana. Da questo siarriva al campo degli spostamenti dovuti ad unacoppia di forze immaginando che questo secon-do tipo di sorgente sia una “deformazione” dellasorgente elementare. Anche su questo torneremopiù avanti nella teoria della rappresentazionedella sorgente nel paragrafo 2.

1.4 Spostamenti dovuti ad una doppiacoppia di forze

Come abbiamo già accennato nell’ultimaparte del capitolo 1, il campo degli spostamentidovuto ad una doppia coppia di forze si ricavasommando i singoli spostamenti dovuti a ciascu-na delle due coppie. Abbiamo calcolato esplici-tamente le singole componenti del campo.

Riportiamo per prime le tre componentidello spostamento causato da una doppia coppiadi forze agente nel piano x1 x2, che darebbe luogoad una faglia strike-slip nel piano x1 x3 comenella figura 4; di seguito riportiamo le restanticomponenti.

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(39)

La dipendenza dalla distanza rispetto allasorgente è ancora del tipo 1/r2.

Analogamente a quanto osservato per lacoppia di forze, anche qui possiamo vedere cheper passare dagli spostamenti di una faglia stri-ke-slip, ui

1,2, a quelli di una faglia dip-slip, ui2,3,

(con la faglia immaginata nel piano x1 x3) bastascambiare x1 con x3.

Questo si prova facilmente, per esempio,confrontando la prima equazione con l’ultimadelle 39. Infine, osservando le componenti delcampo degli spostamenti dovuto alla doppiacoppia di forze 39, è immediato (più facile chenel caso della coppia) notare che per passaredalle ui

1,2 alle ui1,3 basta scambiare x2 con x3,

mentre per passare dalle ui2,3 alle ui

1,3 bisognascambiare x1 con x2; si tratta ancora del passag-gio da un movimento trascorrente ad uno verti-cale, nel primo caso immaginando la faglia spo-stata nel piano x2 x3 e nel secondo nel piano x1 x2.

1.5 Deformazioni e sforziIl campo delle deformazioni, per qualsiasi

tipo di sorgente puntiforme sopra citata, si calco-la attraverso la definizione di deformazione.

Le componenti diverse del tensore defor-mazione, calcolate immaginando che la sorgentesia costituita da una doppia coppia nel piano x1 x2,sono (si ricordi che il tensore deformazione èsimmetrico secondo εij = εji):

15


Figura 4 Rappresentazione geometrica di una faglia trascorrente verticale.

(40)

Tutte le altre possibili componenti delcampo di deformazione, dovute ad una doppiacoppia di forze in uno qualunque dei piani princi-pali, si ricavano da quelle date con gli scambidelle xi viste nel paragrafo 2.4. Il campo deglisforzi si ricava invece dalla legge di Hooke perun mezzo omogeneo ed isotropo data dalla 2.

Fino a questo punto abbiamo immaginatoche la nostra sorgente (o equivalentemente lafrattura di taglio considerata) si trovasse su unodei piani principali. Più avanti nella trattazionevedremo come si possono ricavare dalle relazioninote dei tre campi di spostamento, deformazionee sforzo quelle più generali relative ad una fagliaorientata arbitrariamente introducendo un’oppor-tuna dipendenza angolare attraverso il momentosismico scalare (o la forza, se trattiamo con unasorgente rappresentabile da una singola forza)che compare nel tensore di Somigliana.

2 Rappresentazione di sorgenti sismiche

2.1 Teoremi di Unicità e di ReciprocitàÈ interessante a questo punto introdurre il

modo di determinare univocamente il campo deglispostamenti prodotto da una sorgente sismica econoscere le relazioni che intercorrono tra soluzio-ni diverse [Aki et Richards, 1980].

Come abbiamo anticipato, in questo capito-lo torniamo ad un problema più generale in cuiconsideriamo la variabile temporale ed il mezzoanisotropo. Questo per una maggiore precisione,ricordando che i risultati di seguito presentati sonoestendibili ai due casi limite, il caso statico e il casodi un mezzo isotropo. In particolare il caso staticoè un caso limite del problema più generale in cui cioccuperemo di una forza istantanea (rappresentatada una delta di Dirac nel tempo); nel caso staticobasterebbe riferirsi ad una forza a gradino applica-ta a −∞, ovvero costante nel tempo, per riportare ilproblema all’equilibrio e poter trascurare la varia-bile temporale. Si noti che il tensore di Green cheviene presentato in questa sezione non è lo stessocalcolato nella 31 poiché dipende dal tempo e nonfa riferimento alla 2.

Infine notiamo che il concetto di convolu-zione che verrà introdotto nei prossimi paragrafinel caso statico perderebbe senso e verrebbe sosti-tuito da un semplice prodotto.

Attraverso il primo dei teoremi presentativerificheremo che, note le condizioni iniziali, èsufficiente specificare le forze di volume agenti inV e le trazioni (o equivalentemente gli spostamen-ti) sulla superficie S che racchiude V per determi-nare univocamente il campo di spostamenti nellostesso volume V di un mezzo elastico. Il secondo

teorema che affronteremo, invece, mostra il lega-me matematico esistente tra due soluzioni indipen-denti per lo spostamento in un mezzo elastico.

Teorema di unicitàLo spostamento u = u(x, t) in un corpo ela-

stico di volume V e superficie S è univocamentedeterminato, dopo un tempo t ≥ t0, dallecondizioni iniziali dello spostamento e della velo-cità delle particelle al tempo t0 e dai valori al tempot ≥ t0:

i) delle forze di volume f(x, t) all’interno di Vii) delle trazioni τ su S1 ∈ Siii) degli spostamenti su S2 ∈ S tale che

S1+ S2 = S (S1 o S2 possono coincidere con l’intera superficie S)

Prima di riportare la dimostrazione rigorosa delteorema, vediamo brevemente come sia facilecapire, da relazioni che già conosciamo, che ilcampo degli spostamenti è strettamente legato alleforze di volume e alle trazioni sulla superficie.Partiamo dall’equazione del moto dell’elastodina-mica 1 per un mezzo elastico continuo che ci per-mette di mettere in relazione l’accelerazione diuna particella, üi, con le forze di volume, fi, e leforze di contatto con le particelle adiacenti, τi =σij,j (x, t).L’equazione 1 si riferisce a forze infinitesimeagenti su volumi infinitesimi di materia;integrandola, allora, considerando un volume fini-to V di superficie S, otteniamo una relazione fragrandezze finite:

Ricorrendo al teorema della divergenza(o di Gauss) la 41 si può scrivere anche comesegue:

dove νj sono le componenti della normale allasuperficie S nel punto x.

La 42 mette in relazione il moto delleparticelle di un corpo elastico con la distribuzionedelle forze di volume al suo interno e con ladistribuzione delle tensioni sulla sua superficie,proprio come volevamo vedere.

DimostrazioneSupponiamo di conoscere due soluzioni

16


(41)

(42)

qualunque u1 e u2 per il campo degli spostamen-ti in V con superficie S; immaginiamo che u1 eu2 soddisfino le stesse condizioni iniziali e chesiano tali che nei punti i) e iii) troviamo gli stes-si valori. Possiamo definire allora U ≡ u1 - u2 ilcampo degli spostamenti nullo (U = 0) con con-dizioni iniziali nulle, forze di volume nulle e tra-zioni nulle su S1. Quindi non rimane che dimo-strare che U = 0 nel volume per t ≥ t0 per averdimostrato il teorema. Per questo consideriamoil tasso di lavoro meccanico (la potenza) chesegue ad un processo di deformazione del corpodi volume V e superficie S:

il primo passaggio è permesso dal teorema delladivergenza di Gauss applicato all’integrale sullasuperficie; il secondo passaggio deriva da unasemplice sostituzione della 1 dove consideriamosolo le trazioni del tensore dello sforzo σij;infine l’ultimo passaggio è valido sotto il doppiosegno di sommatoria per le simmetrie di σij e εij .

Possiamo integrare tra t0 e t l’ultima equa-zione delle 43 ottenendo per ogni t:

dove nel secondo termine si sono utilizzate ledefinizioni di sforzo e deformazione e dove sisono tenute presente le condizioni al tempoiniziale t0 e il fatto che forze e trazioni sono nulleper ipotesi. Segue dalla 44 che i deve essereuguale a zero per t ≥ t0 poiché l’energia cineticae l’energia potenziale sono entrambe definitepositive; ma Ui = 0 per t = t0 perciò U = 0 in Vper t ≥ t0.

Teorema della reciprocitàSupponiamo che in un mezzo elastico di

volume V agiscano due diversi sistemi di forze fe g ai quali corrispondono rispettivamente i duecampi di spostamento u = u(x, t) e v = v(x, t) chehanno, in generale, diverse condizioni iniziali altempo zero e diverse condizioni al contorno suS. Indicheremo le rispettive trazioni superficialicon T(u) e T(v); ricordiamo che Ti = σijnj.

La prima relazione di reciprocità che sipuò scrivere tra u e v è:

che deriva dall’applicazione ai due campi diforze della 42 dello stesso volume, moltiplicataper il campo degli spostamenti opposto.

Questa relazione è nota come Formula diBetti. Si noti che questa non invoca le condizio-ni iniziali per u e v. Dalla 45 si può passare alla46 facendo dei semplici raccoglimenti:

Integriamo nel tempo la precedente rela-zione; il primo integrale di sinistra della prece-dente relazione può essere considerato nulloipotizzando che le particelle siano ferme all’ini-zio e alla fine del processo.

Infatti, dato che

segue che

Quindi otteniamo:

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(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

e questa relazione è nota come Teorema dellaReciprocità.

2.2 Teorema della RappresentazioneIl più importante obiettivo di questa

sezione è quello di sviluppare una rappresen-tazione analitica dello spostamento (in parti-colare della dislocazione, che è una singolari-tà dello spostamento) tra le più ricorrenti inSismologia.

Questa rappresentazione, come vedre-mo, è una formula che descrive lo sposta-mento, in un generico punto dello spazio e adun certo tempo, in termini delle grandezzeche originano il moto stesso; queste grandez-ze, abbiamo visto dal teorema dell’unicità,sono le forze di volume e le trazioni (o glispostamenti) sulla superficie del corpo inquestione.

Notiamo fin da subito che la semplicitàdella relazione che troveremo (pur avendoquesta una grande importanza) dipende dalfatto che si suppone di avere una sorgentepuntiforme, precisamente localizzata nellospazio e nel tempo e generatrice di un impul-so unidirezionale; ovvero assumiamo valido,per il nostro sviluppo, il modello di sorgentepiù semplice che conosciamo.

Come abbiamo già visto, il campodegli spostamenti generato da una sorgentepuntiforme, in un mezzo omogeneo ed isotro-po, è descritto dal tensore di Somigliana,ovvero da una funzione di Green detta fun-zione di Green dell’elastodinamica che intro-duce il principio di causalità, ovvero il con-cetto della relazione causa-effetto.

Immaginiamo di applicare un impulsounitario nel punto x = ξi al tempo t = τ nelladirezione n; l’intensità per unità di volume diquesta forza sarà data quindi da:

con F0 impulso della forza (unità di forza pertempo), δ(x - ξ) delta di Dirac che indica laposizione della forza, δ(t - τ) che indica l’i-stante di tempo in cui questa vieneapplicata e δin la delta di Kronecker.

Supponiamo di aver determinato nellospazio e nel tempo, attraverso il tensore diSomigliana, gli spostamenti che la forzaimpulsiva gi(ξ, τ) produce nel mezzocircostante e indichiamo con Gin = (x,t; ξ, τ)la componente i - esima di tali spostamentiper un impulso unitario.

Il tensore G rappresenta la funzione di

Green dell’elastodinamica. Sostituendo la 50nella 49 (utilizzando la relazione di Hooketra sforzi e deformazioni) si ottiene:

Quest’ultima equazione può essere sempli-ficata applicando la proprietà della funzione diDirac secondo cui, per qualunque funzioneu(x), vale:

e riportando le tensioni superficiali al posto delledeformazioni nel primo termine dell’integrale disuperficie. Si ottiene quindi che

dove, per una migliore comprensione fisica dellarelazione stessa, è stato già intercambiato x con ξ,e t con τ; questo fa si che (x,t) indichi la posizionee il tempo in cui si calcolano gli spostamenti inte-grando su un volume in cui varia ξ, e il tempo τ.

Questa è la prima forma del Teorema dellaRappresentazione che stabilisce chiaramente cheil campo degli spostamenti u in ungenerico punto è determinato dal contributodella forza f di volume e dai contributi dellatensione τi e dello spostamento stesso sullasuperficie S.

Questa forma, però, non è ancora piena-mente soddisfacente poiché ciascun termineinvoca una funzione di Green in cui la sorgente èin x e il punto d’osservazione è in ξ; si vuoleinvece che x sia il punto d’osservazione così chelo spostamento totale possa essere visto come la

18


(50)

(51)

(52)

(53)

+

+

+

+

somma dei diversi contributi in x di ogni ele-mento di volume e di superficie. Per questo sipuò sfruttare la proprietà direciprocità della funzione di Green secondo cui

valida però solo se G soddisfa condizioni al con-torno su S omogenee.

3 Rappresentazione di sorgenti sismiche:equivalenza tra forze e dislocazioni

Nel capitolo precedente abbiamo immagi-nato di lavorare con sorgenti sismiche esterneallaTerra (la superficie S a cui abbiamo riferitospostamenti e trazioni poteva essere vista come lasuperficie esterna della Terra stessa). Tuttavia èimportante, in questo contesto, poter applicare leproprietà ricavate anche agli effetti provocati dasorgenti interne alla Terra, come le dislocazioni diuna superficie di faglia sepolta e le esplosioni.Mostreremo che esiste un’equivalenza tra unsistema di forze di volume nel mezzo e un siste-ma di dislocazioni sulla superficie della frattura.

3.1 Teorema della Rappresentazione peruna superficie interna

Supponiamo che la superficie esterna S,che racchiude il volume V, contenga due super-fici interne adiacenti Σ+ e Σ− che rappresentanole due facce opposte di una faglia sepolta di super-ficie Σ (Σ è una superficie di discontinuità internaa S). Possiamo pensare di applicare la 53 alledue superfici Σ+ e Σ− perchè su di esse il campodegli spostamenti è continuo, a differenza che suΣ; questa diviene quindi, trascurando i contribu-ti di S 5 (che potrebbe essere la superficie dellaTerra) e imponendo su G condizioni al contornoomogenee su S stessa,:

In questa relazione la nuova variabileintrodotta, η, indica la generica posizione in V,mentre ξ si riferisce a Σ. Le parentesi quadrateinvece hanno il significato della differenza deivalori calcolati su Σ+ e Σ−

6.

In assenza di forze di volume e dato chele trazioni sono continue su Σ (ovvero che[τp(u(ξ, τ),ν] = 0) la 55 diviene:

Si noti che è sufficiente conoscere glispostamenti sulla faglia per conoscerli inqualsiasi punto: questo deriva dal Teoremadi Unicità.

La 56 non invoca direttamente le forze divolume, tuttavia le funzioni di Green che contri-buiscono al calcolo degli spostamenti in (x,t)sono generate da forze di volume: quindi deveesserci una relazione tra una distribuzione didislocazioni (su una superficie di frattura attiva)e un sistema di forze.

Per evidenziare l’equivalenza che esistetra queste due quantità si ricorre ad un’altra pro-prietà della funzione di Dirac secondo cui:

che sostituita nella 56 porta alla:

Poichè la 58 ha la stessa forma del contri-buto dato dalla forza di volume (si confronti conil primo termine a destra della 55) si può dedurrein definitiva che

La 59 può essere interpretata come un’al-tra espressione molto importante del Teoremadella Rappresentazione secondo cui una sorgen-te sismica è ugualmente ben rappresentata sia dauna distribuzione di forze che da un sistema di

19


5 Immaginando che il corpo abbia dimensioni illimitate ci interessiamo ai soli contributi provenienti da Σ.6 I segni degli ultimi due integrali, variati rispetto alla 53 dipendono dalla convenzione scelta per la sottrazione.

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

dislocazioni data la loro equivalenza.

3.2 Il tensore Momento SismicoContinuiamo a trattare le sorgenti sismi-

che all’interno del mezzo elastico costituite dadislocazioni su superfici piane. Reintroduciamoora il concetto di tensore momento sismico M inmodo più approfondito. Questa quantità dipendedall’intensità della sorgente e dall’orientazionedella faglia e caratterizza tutte le informazioni sullasorgente stessa che provengono dall’osservazionedelle onde sismiche che abbiano lunghezzad’onda maggiore delle dimensioni di Σ.

Per sorgenti di dimensioni finite s’intro-duce la densità del tensore momento, m, che hale dimensioni di un momento per unità di area(o di volume). Riscriviamo la 56, che è il nostropunto di partenza per l’analisi delle discontinuitànel campo degli spostamenti, utilizzando laconvoluzione * fra due funzioni7:

Osserviamo che nella 60 compare ancorala derivata di Gnp rispetto alla coordinata disorgente ξ; possiamo pensare che questa indichiuna deformazione della semplice sorgentepuntiforme, ovvero che rappresenti una coppiadi forze con braccio nella direzione q; la sommasu q indica che ogni componente dello spostamentoin x è equivalente all’effetto di una somma dicoppie su Σ. In definitiva, per tre componentidella forza e tre possibili direzioni del braccio,esistono nove tipi di coppie di forze che abbiamogià rappresentato in figura 2.

Poichè [ui] νjcijpq*∂Gnp/∂ξq nella 60 rap-presenta il campo degli spostamenti per unità diarea prodotto in x da una coppia di forze in ξ,segue che [ui]νjcijpq indica l’intensità, sempre perunità di area, della doppia coppia (p,q), quindi defi-niamo una generica componente del tensoredensità momento sismico:

In termini del tensore momento sismicom, la cui simmetria discende da quella di cijpq eche è dipendente dal tempo, il Teorema dellaRappresentazione dello spostamento in x,prodotto dalla generica discontinuità [u(ξ, t)], su Σ,può essere scritto come segue:

La dipendenza dal tempo è un fattore moltoimportante da sottolineare in questo punto: inassenza di una variazione temporale del momentosismico non c’è produzione di onde elastiche!Possiamo riferirci ad un problema statico facendola differenza tra il momento sismico iniziale equello finale. Abbiamo accennato, introducendola funzione di Green, che un(x, t) dipende da ciòche è successo in ξ al tempo τ ma vi dipende conun certo “tempo di ritardo t”.

Per un corpo isotropo il tensore dellecostanti elastiche si può scrivere comecijkl = λδijδkl + µ (δikδjl + δilδjk), quindi la 61diventa:

Se la dislocazione è parallela a Σ in ξallora il prodotto scalare ν[u] è nullo, quindi:

Nel caso in cui la superficie Σ coincidecon il piano ξ3 = 0 e la dislocazione è direttalungo l’asse ξ1, il tensore densità del momentosismico è ben rappresentato dalla matrice chesegue:

Quindi, una dislocazione di puro scorrimento èequivalente a due coppie di forze con momentoopposto; questa rappresentazione di sorgentesismica è nota col nome di doppia coppia. Perun crack tensile, invece, per cui il piano di frat-tura è ξ2 = 0, il tensore momento sismico è rap-presentabile come segue:

20


7 La convoluzione tra due funzioni f(t) e g(t) è definita f(t) * g(t) = ∫ +−

∞∞ f(t - τ)g(τ) e concettualmente indica in

questo caso che la risposta ad un certo tempo t è data dal contributo degli istanti precedenti a t stesso.

(60)

(61)

(62)

(63)

(64)

(65)

(66)

Se volessimo orientare arbitrariamente lasorgente doppia coppia basterebbe ruotare il siste-ma di riferimento, secondo lo schema in figura 5,attraverso una generica matrice di rotazione

Ruotando gli assi le ui, per i=1,2,3, diventano ur,uθ uϕ. Lo stesso vale per una sorgente tensile. Irisultati fin qui ottenuti sono stati sviluppati peruna faglia piana di superficie Σ di dimensionifinite dove agisce una sorgente puntiforme; tut-tavia è più verosimile immaginare che la sor-gente stessa sia estesa. Questi stessi risultatisono applicabili a sorgenti estese per integrazionedei contributi relativi ad elementi infinitesimidΣ. Se l’osservazione del campo di spostamentiè effettuata su onde di periodo sufficientementelungo da poter considerare le dimensioni dellasorgente trascurabili rispetto alla lunghezzad’onda, i contributi dei diversi elementi si pos-sono considerare approssimativamente in fase etutti coerenti tra loro. In questo caso la disloca-zione sull’intera superficie Σ si può considerareequivalente ad un solo sistema di coppie, appli-cato in un punto della superficie, con il tensoredel momento sismico pari all’integrale delladensità del momento su Σ:

dove

Le componenti non nulle del tensore Mequivalgono al momento sismico scalare

dove u è la dislocazione media su Σ e S è l’areadella superficie.

4 I parametri di sorgente e l’energia sismica

L’energia totale rilasciata da un terremotoè la somma dell’energia sismica ES (sotto formadi onde elastiche e deformazione statica) e del-l’energia dissipata anelasticamente in forma dicalore ER:

L’unica parte di E che si è in grado dimisurare è ES, perciò si usa scrivere

dove η è detto coefficiente di efficienza sismicaed ha un valore considerevolmente inferioreall’unità. È utile conoscere le relazioni che lega-no tale energia agli altri parametri in gioco.Esiste infatti una dipendenza tra il valore delladislocazione in un terremoto, le dimensionidella faglia e l’energia di deformazione elasticache viene rilasciata dalla dislocazione stessa. Edesiste anche una relazione che lega l’energia almomento sismico scalare. Vediamo queste duerelazioni in dettaglio.

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Figura 5 Schema delle coordinate polari.

(67)

(68)

(69)

(70)

(71)

(72)

4.1 Energia sismica rilasciata da unadislocazione e caduta di sforzo

Vediamo perchè si parla di energia rila-sciata da una dislocazione ed esplicitiamo la rela-zione che abbiamo accennato poco sopra [Boschiet Dragoni, 2000]. Una dislocazione è causata daun campo di sforzi σij applicato in un mezzo ela-stico; ma essa, a sua volta, poichè comporta unospostamento di una superficie rispetto ad un’al-tra, produce un campo di sforzi σ d

ij. Il campo disforzi iniziale viene quindi modificato dall’ag-giunta del campo dovuto alla dislocazione:

Questa modifica, che una dislocazione porta alcampo degli sforzi e quindi a quello delle defor-mazioni, può essere letta come unavariazione di energia di deformazione elasticaall’interno del mezzo. Chiamiamo W e W’l’energia di deformazione per unità di volumeiniziale e finale e calcoliamo tale variazione dienergia. Si ha

che può anche essere scritta, sfruttando la 73 el’equivalente per la deformazione, come:

dove udi,j=εd

ij è la deformazione dovuta alladislocazione e 1⁄2σij εij = W. Sfruttando la legge diHooke generalizzata la 75 diventa:

Possiamo quindi scrivere la variazionetotale di energia elastica

come

La 78 può ancora essere scritta come:

considerando la legge del moto dell’elastodinamica(1) secondo la quale σij,j= σ'ij,j= 0, essendo que-sti campi statici, e supponendo che non ci sianoforze di volume. Il teorema di Gauss ci permettedi modificare ancora la 79 in:

dove S (pedice dell’integrale) è la supe ficie rac-chiusa dal volume V, che comprende le duefacce del taglio di dislocazione Σ+ e Σ− e nj è ilversore perpendicolare a S8. La 80 si può quindidividere sulle due superfici del taglio:

Le superfici Σ+ e Σ− coincidono, per que-sto le loro normali sono legate dalla seguenterelazione:

in definitiva, ponendo ni− = ni e ∆ui = ui

+− ui, la81 diventa:

Questa equazione è detta relazione diVolterra. Il segno meno indica che, in generale,la dislocazione produce una diminuzionedell’energia elastica di deformazione totale nelmezzo, si tratta cioè di un processo che favorisceuna situazione di maggiore stabilità. Questo,però, non è vero localmente! Infatti, in prossi-mità del bordo di dislocazione, lo sforzo finaleviene accresciuto (anche di molto) dalla disloca-zione e si crea una situazione d’instabilità. Ciòdipende dal fatto che in prossimità della dislo-cazione σ d

ij è positivo, mentre esso è negativoaltrove su Σ. Questo fenomeno è noto come con-centrazione di sforzo ed ha un ruolo importantenel meccanismo dei terremoti.

Dal segno di σdij dipende anche il segno

della caduta di sforzo dovuta alla dislocazione:

Si noti che la caduta di sforzo ha un valore nega-tivo se σd

ij (x) è positivo, ovvero vicino al bordodi dislocazione.

22


(73)

(74)

(75)

(76)

(77)

(78)

(79)

(80)

8 Non ci preoccupiamo della superficie esterna al volume V perchè, nel caso di un mezzo illimitato, assumiamogli sforzi nulli su di essa.

(81)

(82)

(83)

(84)

4.2 L’energia di deformazione e ilmomento sismicoPrestiamo ora attenzione al legame tra

l’energia e il momento sismico scalare [Udìas,1999].

Il momento sismico scalare, dato dalla70, è legato all’energia rilasciata da un terremo-to in quanto è una misura dell’entità di quest’ul-timo. Esso rappresenta infatti l’intensità dellasorgente ed è misurato in Nm. In forma semplificatal’energia rilasciata da una frattura può ancheessere espressa tramite la 83 come segue9:

intendendo con σ lo sforzo di taglio medio cheagisce sulla faglia prima e dopo l’evento, defini-to dalla seguente relazione:

dove σ e σ' sono stati già definiti nel paragrafoprecedente.

Sostituendo nell’espressione dell’energiala 70 si ottiene:

Nel caso in cui la caduta di sforzo siatotale, ovvero se σ' = 0 in assenza di attrito, allo-ra la 84 diventa:

che sostituita nella 87 ci dà l’espressione checercavamo:

5 Caso particolare di una sorgente estesarettangolare piana: simulazioni

In questo capitolo trattiamo un caso parti-colare di sorgente: una sorgente di taglio estesa,rappresentata da una dislocazione arbitraria sulpiano di faglia, di forma rettangolare, posta nelpiano x1 x3 (per la geometria del problema ci sipuò riferire alla figura 4). Sulla sua superficieimmaginiamo una caduta di sforzo ∆σ costantee una distribuzione della funzione di dislocazio-ne ∆u variabile rispetto alle coordinate spazialiinterne alla faglia. Questo modello di sorgente

sismica viene introdotto in un programma disimulazioni creato per poter calcolare numerica-mente i valori di spostamento, deformazione esforzo in un mezzo elastico infinito ed omoge-neo su un piano orientato secondo gli assi prin-cipali. I risultati calcolati dal programma vengo-no graficati attraverso un programma di grafica.

5.1 Modellazione di una faglia rettangolareCome accennato, abbiamo scelto di occu-

parci in particolare di un tipo di sorgente estesadi forma rettangolare sulla cui superficie abbia-mo supposto una caduta di sforzo costante ∆σ eun andamento variabile della funzione di dislo-cazione ∆u. La distribuzione di ∆u deve soddi-sfare l’equazione dell’elastostatica con la condi-zione al contorno di essere nulla sul perimetro difaglia. In letteratura esistono diverse modella-zioni di faglie/sorgenti estese, riguardanti speci-fiche geometrie, che danno le funzioni di dislo-cazione interna e di sforzo esterno alla fagliastessa. In particolare ricordiamo il modello difaglia infinitamente lunga di Knopoff [Knopoff,1957; Kasahara, 1981]; il modello di fagliaellittica di Starr [Kasahara, 1981]; il modello difaglia circolare [Udìas, 1999]. Tuttavia, nellaletteratura più recente, si trova più spesso tratta-to il caso di sorgente rettangolare [Chinnery,1962,1963; Iwasaki et Sato, 1979; Okada,1985,1992.]. Perciò la nostra attenzione si èrivolta alla faglia rettangolare, anche per la suamaggiore attinenza alla realtà: soprattutto igrandi terremoti, infatti, sono caratterizzati dafratture che si allungano molto in superficiementre, arrivate ad una certa profondità, riman-gano circa costanti in altezza. Sul piano di fagliaabbiamo modellato la distribuzione continuadella dislocazione secondo la seguente funzioneche soddisfa le condizioni richieste:

valida per − W/2 ≤ x ≤ W/2 e − L/2 ≤ y ≤ L/2 conL, W dimensioni della faglia, x, y coordinatespaziali, ∆σ la caduta di sforzo e µ il modulo ditaglio. Questa scelta è stata dettata da un’attentaanalisi dei risultati già noti dalla letteratura.In primo luogo precisiamo che ad oggi non sem-bra ancora esistere un modello teorico che for-nisca l’andamento della distribuzione di disloca-zione su una faglia rettangolare, non esiste cioè

23


9 Sia la 70 che la 85 derivano dalle loro espressioni più generali per una sorgente sulla quale i valori puntuali sonocostanti.

(85)

(86)

(87)

(88)

(89)

(90)

una soluzione analitica per questo tipo di pro-blema; esistono, però, modelli numerici chemostrano un andamento tridimensionale a calot-ta simile alla 90 su questo tipo di sorgente este-sa [Kostrov et Das, 1998]. Inoltre abbiamo immaginato che l’andamentoin questo caso sia dello stesso tipo di quelloproposto per una faglia circolare [Keilis etBorok, 1958;Udìas, 1999] che abbiamo quindipreso come riferimento, tenendo presente laseconda dimensione. La scelta di porre costante la caduta di sforzosulla faglia è stata semplificativa.

5.2 Il programma di simulazioneIl programma di simulazione di una frat-

tura all’equilibrio è stato scritto nel linguaggioFORTRAN; questo può calcolare lo spostamen-to, la deformazione e lo sforzo generato da unadislocazione arbitraria, in una faglia rettangola-re, piana, verticale, in ogni punto del mezzo ela-stico circostante su uno dei piani principali. Ilprogramma lavora per punti, sommando i diver-si contributi in maniera discreta. Si è immagina-to di suddividere la sorgente e lo spazio circo-stante in un numero arbitrario di cellette; cia-scuna celletta sulla superficie di faglia rappre-senta una sorgente puntiforme affinché si possasfruttare la teoria elastostatica rivisitata in que-sta trattazione. I diversi contributi vengonosommati e le approssimazioni nel risultatofinale saranno tanto minori quanto più picco-le si scelgono le dimensioni di cella (è dove-roso ricordare che Okada, (1985, 1992) harisolto il problema di faglia estesa rettangola-re analiticamente, senza ricorrere alla discre-tizzazione). Immaginando, quindi, che M e Nrappresentino il numero di cellette sui duelati della sorgente, p e q le generiche coordi-nate del punto centrale di ciascuna sua cellet-ta e Σpq la sua superficie, il programma calco-la il valore dello spostamento in un genericopunto dello spazio a distanza r variabilesecondo la

dove u(mpq) si calcola attraverso la 31, con

∆upq è la dislocazione sulla superficie di fagliache il programma calcola secondo l’ equazioneche segue, in accordo con la 90:

dove x1 x3 sono le coordinate interne alla fagliae ∆umax è la dislocazione massima.

La figura 6 mostra l’andamento di ∆upq suun generico piano di faglia LW così come vienecalcolato in maniera discreta dal programma stesso.

I valori delle variabili che compaiononella 93 vengono assegnati arbitrariamente dal-l’utente del programma. In particolare il valoredi ∆umax deve essere stimato tenendo presenteche per una sorgente rettangolare vale laseguente relazione:

dove ricordiamo che ∆σ è la caduta di sforzosulla faglia. Se l’utente disponesse della stimadella magnitudo dell’evento piuttosto che di ∆σo di ∆umax (da un catalogo la magnitudo èun’informazione più comunemente fornita) allorasi possono sfruttare le seguenti relazioni chelegano la magnitudo M a ∆σ:

ovvero la legge di Kanamori and Anderson[Kanamori and Anderson, 1975] che esplicita laproporzionalità fra la magnitudo M e il logarit-mo del momento sismico scalare M0 (espresso inNm), e

un’equazione che mette in relazione il momentosismico scalare alla caduta di sforzo per unafaglia rettangolare.

Le equazioni 94 e 96 sono soluzioni delproblema statico per faglia rettangolare rivisteper questo particolare caso geometrico partendodalla nota teoria sviluppata da Keilis et Borok,(1958) e Knopoff, (1957) rispettivamente perfaglia circolare e per faglia infinitamente lunga.

Dal campo degli spostamenti, calcolatosu ogni punto della griglia immaginata nellospazio elastico, attraverso la definizione di defor-mazione e la Legge di Hooke per un mezzo omo-geneo ed isotropo, il programma può calcolareanche il campo di deformazione e quello di sfor-zo punto per punto. Abbiamo appena accennato

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(91)

(92)

(93)

(94)

(95)

(96)

alla possibilità di lasciare all’utente la scelta dialcune variabili del codice; prima di passare allerappresentazioni delle simulazioni fatte, riportiamodi seguito un breve schema che spiega qualisono le scelte che il programma permette di ese-guire all’inizio di ogni nuova simulazione (dativariabili):

• le due dimensioni della faglia e della griglia;• i diversi passi sulla faglia e sulla griglia,

ovvero la grandezza delle cellette in cuile immaginiamo suddivise;

• il valore della dislocazione massima sulla frattura o equivalentemente il valore della caduta di sforzo o della magnitudo del-l’evento inducente;

• il tipo di dislocazione sulla frattura, costanteo variabile;

• il tipo di faglia: trascorrente, a scorrimentoverticale o tensile;

• la giacitura del piano della griglia, il piano, cioè, dove si vuole siano effettuati i

calcoli richiesti;• la grandezza da calcolare tra spostamenti,

deformazioni o sforzi.Mentre i dati fissi sono:

• il piano di giacitura della faglia x1 x3;• la forma geometrica della faglia rettangolare.

5.3 SimulazioniIn questo paragrafo saranno spiegate e

commentate delle simulazioni che abbiamo ese-guito con il codice di calcolo visualizzate attra-verso mappe relative a vari casi. Questo lavoroè servito anche come verifica del programma edella modellazione presentata: abbiamo potutoconfrontare direttamente i nostri risultati conrelativi risultati già esistenti in letteratura. Ilbuon esito del confronto è in parte una verificadella modellazione del fenomeno e del pro-gramma scritto.

Nella letteratura specialistica sono statipresentati negli ultimi anni molti studi eseguitiattraverso codici capaci di calcolare il campo disforzo intorno una sorgente [Stein et al., (1997);Gomberg et al., (2000); King and Cocco,(2001); Stein, (1999); Kilb et al., (2002); Toda

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Figura 6 Dislocazione variabile sulla faglia.

Figura 7 Dislocazione variabile lungo l'asse x2.

and Stein, (2003); Nostro et al., (2005); Toda etal., (2005); e molti altri].

Alcuni di questi affrontano anche proble-mi che nella modellazione qui presentata sonostati trascurati per semplicità (come il problemadel semispazio che verrà accennato nell’ultimo

paragrafo); tuttavia ogni modellazione può essereutile per un costante confronto di risultati e per lediverse soluzioni che può proporre. Un esempioin questo caso può essere la distribuzione didislocazione sulla faglia che è stata proposta inquesta trattazione (equazione 90) che è unasoluzione originale ad un problema fisico: puòessere interessante infatti in applicazioni piùcomplicate optare per una dislocazione variabilepur non potendone stimare la vera distribuzione.

In tutte le simulazioni si sono scelti deivalori sempre uguali per le variabili utilizzateche mostriamo in tabella 1.

Ricordiamo che il centro degli assi coor-dinati lo abbiamo posto al centro della faglia eabbiamo richiesto al programma una dislocazio-ne sempre variabile su di essa, come descrittonella 93. Ciò che abbiamo invece variato è statoil tipo di dislocazione, il piano di proiezione

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Tabella 1 Valore delle variabili usate nellesimulazioni della distribuzione degli spostamenti,delle deformazioni e degli sforzi intorno la faglia.

Variabile ValoreDimensioni della faglia 10 Km x 10 KmPasso sulla faglia 0.05 KmDimensioni della griglia 20 Km x 20 KmPasso sulla griglia 0.5 KmDislocazione massima 0.1 m

Figura 9 Dislocazione uniforme lungo l’asse x1.

Figura 8 Dislocazione variabile lungo l’asse x1.

della griglia e le grandezze richieste in uscita. Un’osservazione: se la griglia è posta sui

piani perpendicolari alla faglia abbiamo fissatola terza dimensione uguale a zero, mentre que-sto non è possibile sul piano stesso di fagliaperchè su di essa ci sono punti singolari suiquali il programma non può calcolare le uscite; inquesti casi abbiamo scelto per la direzione perpen-dicolare al piano il valore, tendente a zero, di0.02 km. Ricordiamo, infine, che SURFER, ilprogramma di grafica utilizzato per le mappe,lavora per interpolazione dei dati e che non rap-presenta mai variazioni a scalino ma addolcisce icontorni secondo un certo suo algoritmo: questosignifica che in questo tipo di visualizzazionebisogna sempre tener presente un certo grado diarbitrarietà nella visualizzazione dei risultati.

Nonostante queste approssimazioni i gra-

fici rappresentano con una buona approssima-zione ciò che ci interessa vedere.

5.4 Gli spostamentiOccupiamoci inizialmente di analizzare il

campo degli spostamenti di una faglia trascor-rente. In figura 12 sono mappati gli spostamentilungo x1 su un piano parallelo al piano di faglia:la figura conferma in pieno quanto ci aspettava-mo di trovare, ovvero che la dislocazione lungol’asse di scorrimento fosse massima al centrodella faglia e diminuisse ai suoi bordi, restandosempre positiva. In figura 13 rimaniamo sullostesso piano ma osserviamo gli spostamentilungo x2: le due metà di faglia rispetto a x1 sicomportano in maniera simmetrica ma consegni opposti; se immaginiamo la faglia vistadall’alto è come se questa si deformasse in

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Figura 10 Sforzo di taglio σ12 lungo l’asse x1 per una dislocazione variabile.

Figura 11 Sforzo di taglio σ12 lungo l’asse x1 per una dislocazione uniforme.

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Figura 12 Spostamento lungo l’asse di scorrimento della faglia.

Figura 13 Spostamento lungo l’asse perpendicolare al piano di faglia.

Figura 14 Spostamento lungo l’asse di scorrimento della faglia.

maniera da sembrare una S, con due pancedovute agli spostamenti da una parte positivi edall’altra negativi rispetto a x2. Si noti che, inquesto caso di faglia trascorrente, sul piano difaglia saranno nulli gli spostamenti lungo x3.

La figura 14 riporta di nuovo un’evidentesimmetria di forme degli spostamenti (ma consegno scambiato) lungo x1 sul piano x2 x3.

Questa è dovuta allo scorrimento in versoopposto dei due lembi di faglia l’uno rispetto all’al-tro. Su questo piano le rimanenti componenti dellospostamento sono entrambe nulle.

Può accadere, sui piani perpendicolari alpiano di faglia, che più di una componente dellospostamento sia nulla; questo accade quando ci tro-viamo su un piano che divide la faglia in due partiuguali che lungo una certa direzione agiscono incontrapposizione. Passiamo alla faglia a rigetto ver-

ticale. Confrontando la figura 16 con la figura 13 ela 17 con la 15 possiamo avere una conferma visi-bile che i due fenomeni di dislocazione trascorren-te e a scorrimento verticale sono fisicamente ugua-li con lo scambio di x1 con x3.

Osserviamo infine i risultati ottenuti con unfaglia di tipo crack. I grafici ottenuti non sono staticome ce li aspettavamo intuitivamente: si può facil-mente cadere nell’errore di credere che un cracktensile, in quanto tale, provochi spostamenti disegno positivo in tutte le direzioni; questo non èvero e si può vedere dai grafici. Immaginiamo, peresempio, di trovarci nel piano x2 x3 come in figura18, dove sono rappresentati gli spostamenti lungox3; ricordiamo che la componente della forza in attolungo x2 prevale sulle altre secondo la 66: la com-ponente u2 dello spostamento su tale piano saràquindi d’intensità maggiore rispetto alle rimanenti,

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positiva verso x2 positivo e viceversa; si tratteràquindi di una dilatazione; i segni delle altre duecomponenti, invece, comporteranno delle con-trazioni, anche se di minore intensità, proprio incorrispondenza dell’intersezione col piano difaglia. È come se allontanassimo i due estremidi una strisciolina elastica: provocheremmo unallungamento nella direzione della forza eserci-tata, ma ciò comporterebbe una contrazione alcentro dell’oggetto. Questa contrazione è visibi-le in figura nei lobi minori, che si trovano pro-prio in corrispondenza dell’intersezione colpiano di faglia. Può essere interessante, comeabbiamo già anticipato, osservare che si trovanoin letteratura rappresentazioni confrontabili (ameno di ragionevoli differenze dei valori dovu-

te alla scelta dei parametri iniziali) a quelle appe-na presentate. Per fare almeno un esempio nelcaso degli spostamenti M.A.Chinnery, [1961],propone la figura 19 come risultato analogo (perla geometria del problema) a quello qui presenta-to in figura 15. Chinnery ha determinato gli anda-menti del campo di spostamento sulla superficieterrestre (piano x1 x2) per una faglia verticale tra-scorrente in un mezzo semi-infinito, elastico,omogeneo, isotropo e poissoniano (λ=µ).

Chinnery ha posto nel suo lavoro del 1961W=2 km e L=10 km e una dislocazione totalesulla faglia pari a 1 m e 2 m rispettivamente peri due inserti di figura 19. La dislocazione è quin-di costante sulla sorgente e avrà un comporta-mento come quello mostrato in figura 910.

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10 Attenzione al fatto che il lavoro di Chinnery si riferisce ad un semispazio, perciò è corretto confrontare solo lecomponenti di taglio rispetto alla superficie x3= 0!

Figura 17 Spostamento lungo l'asse perpendicolare al piano di faglia.

Figura 18 Spostamento lungo l’asse verticale.

5.5 Gli sforziGli sforzi hanno un comportamento più

complesso degli spostamenti. Questo dipendeanche dal fatto che le componenti dello sforzodifferenti fra loro sono sei, che proiettate suitre possibili piani cartesiani danno origine adiciotto diverse figure (noi non riporteremotutte e diciotto le mappe, tralasceremo quellecomponenti dello sforzo che su alcuni pianihanno valori molto deboli, inferiori a 500Pascal, o nulli).

Qui ci occuperemo solo di una faglia ditipo trascorrente. Facciamo anche alcune osser-vazioni. L’intervallo di valori interessato daglisforzi è molto ampio, va dallo zero alle decine dimilioni di Pascal; in questo caso, più che per glispostamenti, è stato necessario, quindi, sceglie-re una scala logaritmica che rappresentasse tuttii diversi valori di sforzo. A volte, variando talescala, si possono ottenere figure più dettagliate.Anche per gli sforzi, come per gli spostamenti,il programma non può eseguire i calcoli sullostesso piano di faglia, dove incontra punti di sin-golarità. Si noti che nei casi in cui ci troviamo inquesto piano abbiamo scelto un valore di x2maggiore rispetto ai casi riguardanti gli sposta-menti (0.1 km invece di 0.02 km). Questo “allon-tanamento” dal piano di faglia è stato necessarioperchè, facendo delle prove, ci siamo accortiche SURFER, per x2= 0.02, presentava i graficirelativi alle componenti dello sforzo sul piano x1x3 con delle approssimazioni che non avevanoriscontro nei dati. In proposito notiamo cherispetto ad x2 gli spostamenti lungo x1 hanno unandamento teorico del tipo u1 = ±D/2−(D/π) arc-tan (x2/W), come mostrato in figura 8 con datiteorici, dove D rappresenta la dislocazione mas-sima sulla faglia, W la sua altezza e dove ilprimo termine è positivo se x2 è positivo e vice-versa. SURFER non fa altro che approssimarecome continua questa funzione, che in realtàpresenta un punto di discontinuità per x2= 0, conil risultato obsoleto appena accennato quando neviene fatta la derivata per ottenere gli sforzi.Risolviamo in parte il problema allontanandoci,quindi, dal punto critico x2= 0, pur perdendocosì in risoluzione.

Osserviamo infine che, se il modello didistribuzione della dislocazione sulla faglia cheabbiamo adottato (mostrato in figura 8 fossefisicamente corretto, dovremmo trovare che lacaduta di sforzo è nulla sulla faglia stessa a fineevento; questo nel nostro caso non si ottiene maabbiamo una distribuzione dello sforzo comequella graficata in figura 10. Ciò significa che la93 è solo un’approssimazione della distribuzio-ne ideale. Nella realtà è ugualmente impossibi-

le osservare sforzi totalmente nulli sulla faglia equesto per molti motivi, basti pensare all’attritoche non permette alla dislocazione un liberomovimento. Per la geometria del problema biso-gna tenere presente che la maggior parte dellosforzo sarà associata alla componente σ12, lacomponente di taglio dello sforzo che avrà ilruolo predominante nella rottura del materialecircostante la sorgente. Cominciamo quindi conl’osservare in figura 20 proprio il comportamen-to di σ12 su un piano parallelo al piano di faglia:all’interno del perimetro di sorgente la variazio-ne di sforzo è negativa, la sorgente ha scaricatolo forzo accumulato sprigionando energia sottoforma di onde elastiche e calore (il terremoto); èinvece all’esterno della sorgente che si accumu-la, con una variazione positiva, lo sforzo, in par-ticolare vicino al perimetro di essa: questo feno-meno è molto importante poiché si può tradurrenella capacità di una faglia di interagire con lefaglie adiacenti caricandole di nuovo sforzo.

Ovviamente, data la proporzionalitàinversa già osservata tra lo sforzo ed il cubodella distanza, la variazione di sforzo positivatende ad affievolirsi allontanandosi dal perime-tro di sorgente. In figura 21 ci troviamo ancorasu un piano parallelo a quello della sorgente adosservare un’ altra componente dello sforzo di

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Figura 19 Spostamento lungo l’asse perpen-dicolare al piano di faglia calcolato daChinnery, [1961].

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Figura 20 Sforzo di taglio lungo l’asse perpendicolare al piano di faglia.

Figura 21 Sforzo di taglio lungo l’asse verticale.

Figura 22 Sforzo di taglio lungo l’asse perpendicolare al piano di faglia.

taglio, la componente σ23. Inquesto caso si vedono chiara-mente due rilievi e due depres-sioni di sforzo diagonalmentesimmetrici. Per capire meglio siprenda un foglio di carta, vi sifaccia una taglio al centro e sifacciano scivolare su un pianole due parti del foglio l’unarispetto all’altra: i due lembi difaglia si comportano esatta-mente come i due lembi di cartaintorno alla dislocazione-taglio, ovvero creando due col-line e due depressioni rispetti-vamente per variazioni positivee negative di sforzo di taglio.Ora occupiamoci di cosa siosserva sul piano x1x2 rispettola componente predominanteσ12: la figura 22 mostra la ten-denza della sorgente ad esten-dersi lungo la direzione x1 dislip e di nuovo mostra un netto rilascio dellosforzo di taglio che causa il terremoto in prossi-mità della sorgente. Possiamo, anche per gli sfor-zi, confrontare il risultato ottenuto nell’ultima figu-ra commentata con la figura 23 ottenuta daChinnery nel 1963. Il problema risolto daChinnery è analogo alla geometria di disloca-zione imposta in questa trattazione: Chinnery hadeterminato la distribuzione della variazione disforzo dovuta ad una faglia verticale trascorren-te con gli stessi parametri descritti nel paragrafo6.4 per la figura 19.

Dal confronto si può osservare un buonaccordo fra i risultati pur dovendo tener presen-te la diversa scelta dei parametri iniziali masoprattutto il fatto che Chinnery differentementedai risultati qui proposti:

• risolve il problema del semispazio;• impone una dislocazione costante, con

effetti sull’andamento dello sforzo di tagliomostrati in figura 11;

• nella figura 23 si è posto sulla superficiedel piano orizzontale a distanza 0km dal lato superiore della faglia; mentre nellafigura 21 ci si pone a metà del lato corto di essa tagliandola in due parti.

La figura 22 è confrontabile con esitopositivo anche con l’analogo risultato cheNostro et al. mostrano nel lavoro del 1997 (figu-ra 1-a dell’articolo citato) prodotto con un codi-ce che implementa i risultati di Okada,[1985,1992], per il problema statico di una sor-gente rettangolare in un mezzo infinito.

6 Il problema del semispazio

In questa trattazione si immagina la fagliaimmersa in un mezzo infinito; si è deciso dilavorare con questa semplificazione perchè lateoria che si conosce, e che è stata alla base dellamodellazione proposta, è sviluppata senza tenereconto di eventuali superfici di discontinuità.Inoltre, ai fini della comprensione del comporta-mento della distribuzione di sforzo intorno aduna sorgente, non si è reputato importante intro-durre una complicazione il cui effetto si può inquesto caso trascurare.

Tuttavia nella realtà ci si trova di fronte alproblema della discontinuità terra-aria e in studipiù accurati questo problema non si può piùtrascurare. Per questo in letteratura specialisticaesistono già molti lavori che si occupano dellatrattazione del problema di una faglia rettangolareverticale che abbia un lato coincidente con lasuperficie terrestre o che sia sepolta ad una certadistanza dalla superficie stessa [Steketee, 1958;Chinnery, 1961,1963; Iwasaki et Sato, 1978;Okada, 1985,1992., Nostro et al., 1997; Nostroet al., 2005 e molti altri].

Per completezza, quindi, vogliamo darealmeno una spiegazione qualitativa di come sipuò affrontare questo problema, riferendoci inparticolare ai lavori presentati da Y. Okadae da J.A. Steketee.

Introdurre una superficie di discontinuitàsignifica introdurre dei punti di singolarità nellerelazioni usate e una nuova condizione alcontorno, ovvero che le trazioni siano nulle sulla

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Figura 23 Sforzo di taglio lungo l’asse perpendicolare al piano difaglia, Chinnery, [1963].

superficie di discontinuità stessa (la superficie x3nel caso della superficie terra-aria). L’idea perrisolvere questo problema è quella d’immagina-re la faglia sepolta nel semispazio ad una certadistanza x3 dalla superficie e di sfruttare ancorale equazioni per gli spostamenti usate fino ad ora(come già Knopoff [1957] aveva anticipato),senza considerare la presenza di una disconti-nuità, ma supponendo l’esistenza di una secondasorgente (immaginaria) speculare alla prima, lacui presenza, sul piano matematico, garantisca lecondizioni al contorno richieste. La presenza diun sistema di doppie coppie di forze in un puntospeculare rispetto alla faglia, P = (x1, x2, − x3),per sovrapposizione dei due campi di sforzoreale ed immaginario, garantisce solo in parte lacondizione richiesta facendo in modo che σ31,σ32= 0 sulla superficie x3= 0, ma non che σ33= 0;al contrario σ33 in questo modo viene raddop-piata sulla superficie di discontinuità. Per rime-diare a questo inconveniente, allora, si aggiun-gono dei termini nel calcolo dello spostamentofinale che garantiscano anche σ33= 0.

Quindi, il risultato finale per lo sposta-mento causato da una sorgente in un mezzoseminfinito avrà una forma del tipo:

dove i primi due termini rappresentano due sor-genti (speculari) nel mezzo infinito, il terzo è untermine relativo allo spostamento in superficie el’ultimo è un termine dipendente esplicitamentedalla profondità. A, A’, B e C sono solodenominazioni arbitrarie.

7 Conclusioni e sviluppi

In questa trattazione in un primo momen-to abbiamo cercato di fornire gli strumenti mate-matici essenziali per capire la teoria riguardo lasorgente sismica. Nella seconda parte, invece, apartire dal capitolo 5 si è fatto riferimento ad uncaso particolare di sorgente sismica estesa.

Si sono applicate così le relazioni analiz-zate precedentemente al fine di svolgere unavera e propria simulazione di frattura osservatanel caso statico attraverso delle mappe bidimen-sionali. Questo ha permesso una comprensionepiù intuitiva del fenomeno studiato attraverso lemappe dei campi di spostamento e sforzo indiverse situazioni.

Questo lavoro, basato quasi esclusiva-

mente sulla teoria classica dell’elastostatica,senza alcuna complicazione aggiunta se non lanecessaria traduzione nel linguaggio di un codi-ce numerico, mostra chiaramente il percorsodalla teoria all’applicazione.

Il risultato, pur considerando la semplici-tà delle ipotesi fatte, spiega il comportamentofisico di una sorgente alla rottura nel mezzo ed èconfrontabile con risultati noti in letteratura. Sifornisce quindi un semplice ma valido strumen-to di simulazione che permette la scelta di moltiparametri del problema fisico. Inoltre è stataproposta una soluzione originale di modellazio-ne di dislocazione variabile su faglia che soddi-sfa le condizioni del problema fisico e che è atti-nente con la realtà.

Abbiamo accennato nel corso della tratta-zione lo stretto legame che esiste tra la com-prensione del comportamento dello sforzo intor-no una sorgente e la comprensione del fenome-no fisico d’interazione fra terremoti. Proprio inquesto senso il lavoro qui proposto ha trovato lasua naturale evoluzione. Il codice è stato infattiimplementato in seguito con l’aggiunta di unalgoritmo che tenesse conto del legame fisicoche c’è tra la variazione di sforzo e il tasso disismicità nel tempo (si approfondisca per questoil modello rate-and-state proposto da Dieterich[1986,1992,1994]).

Abbiamo quindi potuto associare allavariazione di sforzo intorno alla faglia il compor-tamento della sismicità nel tempo [Console etCatalli, 2005]; per studiare l’interazione tra faglieabbiamo adattato ancora il modello affinché fossein grado di simulare una vera e propria sequenzasismica in cui diverse sorgenti dislocano in tempidiversi ognuna contribuendo diversamente altasso di sismicità [Catalli et al., 2006].

In questo ultimo lavoro ci si è avvicinatiil più possibile alla realtà del problema introdu-cendo fra l’altro anche le soluzioni del campo disforzo nel semispazio.

Lo sviluppo del codice e del modello quidescritti ed in seguito implementati tende oraverso la possibilità del calcolo di probabilità diaccadimento degli eventi a partire da un modellofisico e tenendo conto del peso di ciascunparametro in gioco.

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