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Elettrostatica

Paolo Bagnaia - CTF - 4 - Esercizi di elettromagnetismo e onde 1k

Esercizio – Calcolare il campo elettrico nel punto centrale tra due cariche, dil 2 10 7 C 5 10 8 C t ll di t di 10valore q1=2×10-7 C e q2= -5×10-8 C, poste alla distanza di 10 cm.

————————————S l iSoluzione –

Dalla legge di Coulomb :Dalla legge di Coulomb :

1 21 2 2 2

1tot

q qE E E

§ · � � ¨ ¸¨ ¸

JG JG JG

� � � �1 2 2 2

0 2 2

7 85

4

1 2 10 5 10( ) 9 04 10 /

totd d

q q N C� �

¨ ¸¨ ¸SH © ¹u � u

u1 22 12 20

( ) 9.04 10 / .8.89 10 (0.1)

q q N Cd � � u

SH Su u u

nella direzione della carica negativa.


Esercizio – Calcolare il campo elettrico nel punto centrale tra due cariche, dil 2 10 7 C 5 10 8 C t ll di t di 10 (id ti lvalore q1=2×10-7 C e q2= +5×10-8 C, poste alla distanza di 10 cm (identico al

caso precedente, a parte il segno della seconda carica).————————————

Soluzione –

Tutto identico al caso precedente, a parte i segni :

1 q q§ ·JG JG JG

� � � �1 2

1 2 2 20 2 2

7 8

14

1 2 10 5 10

totd d

q qE E E

� �

§ · � � ¨ ¸¨ ¸SH © ¹

G G G

7 85

1 22 12 20

1 2 10 5 10( ) 5.4 10 / .8.89 10 (0.1)

q q N Cd �

u � u � uSH S u u u

nella direzione della carica minore (cioè q2).


Esercizio – Quattro cariche, ciascuna di valore 2×10-6 C, sono poste ai verticidi d t di l t 2 C l l il l d l l tt i l t d ldi un quadrato di lato 2 m. Calcolare il valore del campo elettrico al centro delquadrato e al centro di ciascun lato.

————————————Soluzione – Nel centro del quadrato, i campi si cancellano due a due e ilcampo totale è nullo. Per quanto riguarda il campo nel punto centrale tra A e B(gli altri tre casi sono analoghi), i campi delle cariche A e B si cancellano; icampi delle cariche C e D hanno componente orizzontale che si cancella ecomponente verticale che si somma Essa vale :componente verticale che si somma. Essa vale :

cos422 20

� dQEEEE y

CyD

yC

ytot D

SH

A B

L

)2/()2/(21

4

22220

0

��

LL

LLLQ

d

SH

SH

D C

L

V/m. 6405558

21

)2/1(1

1)2/1(1

121

)2/()2/(2

2222

0

��

LQ

LQ

LLLL

HH

SH


552)2/1(1)2/1(12 20222

0 �� LL SHSH

Esercizio – Due cariche elettriche, di valore rispettivamente 1 C e -2 C, sit ll di t di 2 T i ti i t tt l i i i iltrovano alla distanza di 2 m. Trovare i punti in tutto lo spazio in cui il campoelettrico totale è nullo. ————————————Soluzione – Questi punti, se esistono, possono unicamente trovarsi sulla retta chepassa per i due punti. Infatti, nel resto dello spazio, i campi delle due cariche non sonocollineari, e pertanto la loro somma vettoriale non può essere nulla.collineari, e pertanto la loro somma vettoriale non può essere nulla.Sulla retta si possono inividuare tre zone : (a) tra infinito e prima carica, (b) tra le duecariche, (c) tra seconda carica e infinito. In (b) i campi sono paralleli e pertanto la

ò ll i ( ) il d ll d i è isomma non può essere nulla; in (c) il campo della seconda carica è sempre maggiore(carica più grande a distanza minore); viceversa in (a) i due campi possonocompensarsi (q1 e q2 sono i moduli delle cariche) :

2 2 21 2 1 21 2 1 1 1 22 2 2 2

0 0

2

1 1 0 2 04 4 ( ) ( )

q q q qE E q x q L q xL q x

x x L x x L � � � � � � �

SH SH � �

JG JG

+ -(a) (b) (c)

22 2 1 1 1 2 1 1 1 2

2 1 1 12 1 2 1

( ) )( ) 2 0 2(1 2) 4.8

( ) ( )q q q q q q q q

x q q q xL q L x L L m mq q q q

r � � r� � � � r o

� �


x L+ -

Esercizio – Come nel caso precedente, ma stavolta le cariche sono entrambeiti ( 1 C 2 C)positive (+1 C e +2 C).

————————————Soluzione – Identica al caso precedente, ma stavolta la soluzione è nella zona (b) trap ( )le due cariche (q1 e q2 sono i moduli delle cariche) :

1 1q q q q1 2 1 21 2 2 2 2 2

0 0

2 2 2 2 2

1 1 04 4 ( ) ( )

2 0 ( ) 2 0

q q q qE E

x L x x L x

q x q L q xL q x x q q q xL q L

� � �SH SH � �

� � � �

JG JG

1 1 1 2 2 1 1 1

21 1 1 2 1 1 1 2

2 0 ( ) 2 0

( ) )( ) ( )

q x q L q xL q x x q q q xL q L

q q q q q q q qx L L

q q q q

� � � � � � � �

� r � � � r

2 1 2 1( ) ( )

2( 1 2 ) 0.8

q q q q

m m

� �

� r o

xL+ +

(a) (b) (c)


Esercizio – Nel modello di Bohr dell’atomo di idrogeno, l’elettrone orbitatt l t ll di t di 0 5 10 8 T l f di tt iattorno al protone alla distanza di 0.5×10-8 cm. Trovare la forza di attrazioneelettrostatica tra le due particelle e la velocità dell’elettrone.

————————————Soluzione –Dalla legge di Coulomb :gg

1026.9)105.0(1089.84

)106.1(41 8

21012

219

2

2

0N

reF u

uuuuSuu

SH

��

�

)(

2

0

mvF �

/10252105.01026.9 6108Fr

r

uuu �� H

e-

./1025.21011.9

105.01026.9 631 sm

mFrv u

u �


Esercizio – Due cariche, di valore q1=7×10-9 C e q2= 14×10-9 C sono postell di t di 40 T il l i i i l llalla distanza di 40 cm. Trovare il lavoro necessario per avvicinarle alladistanza di 25 cm.

————————————Soluzione –Dalla definizione di energia potenziale elettrostatica :

1141

21 rrqqL ¸

¹

·¨̈©

§�

SH�

.103.140.01

25.01

1089.841014107

4

612

99

120

J

rr

��

��

u� ¸¹·

¨©§ �

uuSuuuu

�

¹¨©SH

[perché L < 0 ?]

¹©

r

+ +2r

1


Esercizio – Un elettrone (e=1.6×10-19 C, m=9.11×10-31 Kg) è scagliato allal ità di 106 / t d l tt h è t t fvelocità di 106 m/s contro un secondo elettrone, che è mantenuto fermo.

Trovare la minima distanza cui arrivano i due elettroni.

————————————Soluzione – La distanza minima corrisponde alla completa trasformazionedell’energia cinetica in energia potenziale elettrostatica :

� � � � UKUKUK fininifinfininiini 00

�SH

demv

fininifinfininiini2

0

2

41

21

10085

)10(1011.91089.84)106.1(22

410

263112

219

20

2

mved

�

��

�

uuuuuSu

uu

SH

- -d

.1008.5 10mu


Esercizio – Un condensatore piano ha un campo di 104 V/m e una lunghezza( ll l ll t ) di 5 U l tt t t l t(parallela alle armature) di 5 cm. Un elettrone entra tra le armature con unavelocità di 107 m/s ortogonale al campo. Calcolare l’angolo di deflessioneall’uscita del condensatore e il modulo della velocità Trascurare gli effetti diall uscita del condensatore e il modulo della velocità. Trascurare gli effetti dibordo.

————————————Soluzione – La forza elettrostatica (lungo l’asse y) è ortogonale alla velocitàiniziale dell’elettrone (asse x). Pertanto : D vfin

/108805.106.110

;//

6194

000

LEe

atvvLTvxttvx yxtotxx

uuu

� � �

�

E

fin

1088

;/108.8101011.9

6

6731

0,

v

smvm

v

fin

xfiny

u·¨§

u uu

�L

E

;34110108.8tanatan

7272622

70

,

vv

ax

finy u

¸¹

·¨̈©

§ DD

mvo


./1033.1)10()108.8( 7272620

2,, smvvv xfinyfintot u �u �

Correnti continuecontinue


Esercizio – Un conduttore di rame (peso atomico 63.5 g/mole, massal i 8 9 / 3) h i t t di 1 3 2 d è d llvolumica 8.9 g/cm3) ha una sezione costante di 1.3 cm2 ed è percorso dalla

corrente di 2 A. Calcolare la velocità media degli elettroni.————————————

Soluzione –

Nmoli/m3 : Mrame/(Vmmole) = U / mmole = 8.9×103/(63.5×10-3) =1.4×105 moli/m3;

N / mole : N = 6 02×1023 ;Nelettroni di conduzione / mole : NAvogadro = 6.02×1023 ;

n=Nelettroni / m3 : NAvogadro × U / mmole = 6.02×1023 ×1.4×105 = 8.44×1028 m-3;elettroni / Avogadro U / mole 6 0 0 0 8 0 ;

i=nSev� v = i / (nSe) = 2 / (8.44×1028×1.3×10-4×1.6×10-19) = 1.14×10-6 m/s.


Esercizio – Una stufa è alimentata da una d.d.p. di 240 V con una corrente da10 A D t i l i t d ll t f l t di i t10 A. Determinare la resistenza della stufa e la potenza dissipata.

————————————SoluzioneSoluzione –V = R i� R = V / i = 240 / 10 = 24 :;

W = V i = 240 × 10 = 2400 W.




W = V i = 120 × 20 = 2400 W.




W = V i = 120 × 10 = 1200 W.


Esercizio – Un fornello elettrico di potenza 500 W porta un litro di acqua dallat t bi t di 16 °C ll’ b lli i i 20 i ti C l l ltemperatura ambiente di 16 °C all’ebollizione in 20 minuti. Calcolare lafrazione di calore dispersa nell’ambiente.

————————————Soluzione –Qtot = W t = 500 × 20 × 60 = 6×105 J = 1.435×105 cal;

Q ( ) 3 ( ) 4Qacqua = mc(Tfin - Tini) = 1 × 103×(100 – 16) = 8.4×104 cal;

K = (Q - Q ) / Q = 1 – 8 4×104 / (1 435×105) = 41 5 %K = (Qtot - Qacqua) / Qtot = 1 – 8.4×10 / (1.435×10 ) = 41.5 %.


Campo magneticomagnetico


Esercizio – Due conduttori rettilinei, in cui passa una corrente di 2 A e 3 Ai tti t f fi d i t i C l l ilrispettivamente, formano una croce, sfiorandosi senza toccarsi. Calcolare ilvalore del campo magnetico nei quattro punti posti a 2 cm da entrambi iconduttoriconduttori.

————————————Soluzione – I campi sono tutti ortogonali ali hi i “ ” il tpiano; chiamiamo “+” il verso uscente :

� �22

A) 210210

21 iiLL

iLiBBB zzz

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¨©§ � �

PP i2L AD

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;101)32(102

22)

57

2121

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;105B)

;101)32(02.0

521 TBBB

T

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105D)

;101C)

5

521

TBBB

TBBB

zzz

zzztot

�

�u �� C B


;105D) 521 TBBB zzz

tot u �

Fine


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