E SERCITAZIONE SULLA VERIFICA DELLE IPOTESI SU UN CAMPIONE DI OSSERVAZIONI.

ESERCITAZIONE SULLA VERIFICA DELLE IPOTESI SU UN CAMPIONE DI OSSERVAZIONI

Da studi svolti negli anni ‘50 è emerso che il numero ideale di figli per famiglia è di 3. Nel 1980, ipotizzando una modifica nei costumi e nei modelli nazionali, è stato svolto un sondaggio su un campione di 300 italiani, dal quale risultò che il numero ideale di figli per famiglia era sceso a 2 con una deviazione standard s=0,9.

Verificare ad un livello di significatività dell’1% se c’è stata una modifica del modello di famiglia ideale nella popolazione italiana.

Da studi svolti negli anni ‘50 è emerso che il numero ideale di figli per famiglia è di 3. Nel 1980, ipotizzando una modifica nei costumi e nei modelli nazionali, è stato svolto un sondaggio su un campione di 300 italiani, dal quale risultò che il numero ideale di figli per famiglia era sceso a 2 con una deviazione standard s=0,9.

Verificare ad un livello di significatività dell’1% se c’è stata una modifica del modello di famiglia ideale nella popolazione italiana.

Media della popolazione

Numerosità del

campione

Media del campion

e

Deviazione standard del

campione

La media del campione è uguale alla media della popolazione da cui il campione viene estratto

La media del campione è diverso dalla media della popolazione da cui il campione è estratto

1° PASSO: Formulazione delle ipotesi

2° PASSO: INDIVIDUAZIONE DELLA STATISTICA

n=300 media della popolazione è nota Deviazione standard della popolazione non è

nota Deviazione standard del campione è nota

3° PASSO: CALCOLO DELLA STATISTICA

Calcolo della deviazione standard

Calcolo della statistica

0,500 – 0,005 = 0,495

z critico

= ±2,58

0,01/2 = 0,005

5° PASSO: DECISIONE

|zcalcolato|>|zcritico|RIFIUTIAMO L’IPOTESI

NULLA

-19,78

2,58--2,58

Ad un campione di 12 bambini dai 4 ai 5 anni viene somministrato un test di vocabolario e si ottengono i seguenti valori:

Le norme relative al test di vocabolario riportano un punteggio medio di 95.

Verificare l’ipotesi che i bambini testati non differiscono significativamente dalla popolazione generale con un livello di significatività dell’5%.

La media del campione è uguale alla media della popolazione da cui il campione viene estratto

La media del campione è diverso dalla media della popolazione da cui il campione è estratto



n=12 media della popolazione nota Deviazione standard della popolazione non è

nota Media e Deviazione standard del campione

da calcolare

Calcolo della media

Calcolo della deviazione standard nel campione

t critico = ±2,201

α/2 = 0,05/2 =0,025 Gdl= n-

1=12-1 = 11


|tcalcolato|> |tcritico|RIFIUTIAMO L’IPOTESI

NULLA

16,67

2,201

-2,201

ESERCITAZIONE SULLA VERIFICA DELLE IPOTESI SU DUE CAMPIONI DI OSSERVAZIONI

IPOTESI SULLA MEDIA

I dati che seguono si riferiscono a punteggi in un test di memoria di cifre ottenuti da due campioni di studenti:

Specificando Ipotesi nulla, Ipotesi alternativa e livello di significatività, verificare se esiste una differenza significativa tra le medie dei due gruppi

Campione 1 Campione 2

Media = 20 Media = 18

devStandard = 2,5 devStandard = 5

N = 300 N = 500

La media della popolazione da cui è estratto il Campione 1 è uguale alla media della popolazione da cui è estratto il campione 2

La media della popolazione da cui è estratto il Campione 1 è diversa dalla media della popolazione da cui è estratto il campione 2



Confronto tra le medie di due campioni indipendenti, con la dev.standard della popolazione non nota e n1 e n2>30


In base all’Ipotesi nulla questa differenza è uguale a 0

4° PASSO: CALCOLO DEL VALORE CRITICO α=0,05

Ipotesi alternativa bidirezionale

α/2=0,05/2 = 0,025

0,500 -0,025 = 0,475

z=±1,96


zcritico = ±1,96 zcalcolato = 7,52

zcalcolato > zcritico : 7,52 > 1,96

RIFIUTIAMO L’IPOTESI NULLA ed affermiamo che i due campioni provengono da due popolazioni diverse

Uno psicologo sociale ipotizza che la stanchezza provochi una diminuzione della tolleranza alla frustrazione. Per verificare questa ipotesi sottopone una serie di problemi insolubili a due gruppi di studenti così differenziati: GRUPPO 1 “NON STANCHI”: 100 studenti contattati al

mattino, prima dell’inizio delle lezioni GRUPPO 2 “STANCHI”: 100 studenti contattati dopo 5 ore di

lezione.La variabile dipendente X è il tempo, espresso in secondi, che

lo studente ha impiegato per cercare di risolvere i problemi, prima di abbandonare il compito. Un tempo basso indica scarsa tolleranza alla frustrazione, un tempo elevato indica alta tolleranza. I risultati ottenuti sui due campioni sono:

Gruppo 1 (non stanchi)

Gruppo 2 (stanchi)

N= 100 N=100

Media=840 secondi Media= 780 secondi

DevStand=120 DevStand=110

La media della popolazione da cui è estratto il Campione dei “non stanchi” uguale alla media della popolazione da cui è estratto il campione degli “stanchi”

La media della popolazione da cui è estratto il Campione dei “non stanchi” è diversa dalla media della popolazione da cui è estratto il campione degli “stanchi”



Ipotesi alternativa monodirezionale destra

α=0,01

0,500 -0,01= 0,49

Z=2,33


zcritico = 2,33 zcalcolato = 3,67

zcalcolato > zcritico : 3,67 > 2,33

RIFIUTIAMO L’IPOTESI NULLA ed affermiamo che il campione dei “non stanchi” hanno una tolleranza alla

frustrazione superiore a quelle del campione dei “stanchi”

Due gruppi di bambini che frequentano la seconda elementare effettuano un compito visuo-percettivo ottenendo i seguenti punteggi:

Il gruppo A comprende bambini senza deficit, mentre il gruppo B comprende bambini con deficit visuo-percettivi. Si può accettare ad un livello di significatività dell’1%

l’ipotesi che i bambini senza deficit visuo-percettivi presentano risultati superiori?

E se il livello di significatività fosse del 5%?

Gruppo A 5 8 8 5 7 6 8 4 5 6

Gruppo B 3 5 4 5 3 4 8

La media della popolazione da cui è estratto il Gruppo A è uguale alla media della popolazione da cui è estratto il Gruppo B

La media della popolazione da cui è estratto il Gruppo A (bambini senza deficit) è maggiore della media della popolazione da cui è estratto il Gruppo B (Bambini con deficit)



Confronto tra le medie di due campioni indipendenti, con la dev.standard della popolazione non nota e n1 e n2<30



Dobbiamo andarci a calcolare la media e la deviazione standard di ogni gruppo!!!!!!!!!!!!!!!!

Gruppo A 5 8 8 5 7 6 8 4 5 6

Gruppo B 3 5 4 5 3 4 8



α=0,01 Gdl=10+7-2= 15

t=2,602


tcritico = 2,602 tcalcolato = 2,1

tcalcolato < tcritico : 2,1 > 2,602

ACCETTIAMO L’IPOTESI NULLA ed affermiamo che il test non discrimina tra bambini con deficit visuo-percettivi da quelli senza deficit visuo-percettivi

SE IL LIVELLO DI SIGNIFICATIVITÀ FOSSE DEL 5%?



α=0,05 Gdl=10+7-2= 15

t=1,753



tcalcolato > tcritico : 2,1 > 1,753

RIFIUTIAMO L’IPOTESI NULLA ed affermiamo che il test discrimina tra bambini con deficit visuo-percettivi

da quelli senza deficit visuo-percettivi

Su due campioni indipendenti è stato misurato il “dogmatismo educativo” ottenendo i seguenti risultati:

Il campione 1 è costituito da 50 soggetti anziani mentre il campione 2 da 36 soggetti giovani.

Specificando l’Ipotesi nulla, alternativa e per un livello di significatività del 5% verificare se esiste una differenza significativa tra il “dogmatismo educativo” degli anziani e quello dei giovani.

Campione 1 Campione 2

Media = 124 Media = 120

devStandard = 10,50 devStandard = 12

N = 50 N = 36

La media della popolazione da cui è estratto il Campione 1 è uguale alla media della popolazione da cui è estratto il campione 2

La media della popolazione da cui è estratto il Campione 1 è diversa dalla media della popolazione da cui è estratto il campione 2



Ipotesi alternativa bidirezionale

α/2=0,05/2 = 0,025

0,500 -0,025 = 0,475

Z=±1,96


zcritico = ±1,96 zcalcolato = 1,59

|zcalcolato |< |zcritico |: 1,59 < 1,96

ACCETTIAMO L’IPOTESI NULLA ed affermiamo che il campione 1 non differisce rispetto al “dogmatismo

educativo” dal campione 2

Un medico afferma che soltanto una terapia farmacologica può curare la depressione. Uno psicologo afferma invece che un trattamento psicologico è ugualmente efficace. Qui di seguito sono riportati i dati relativi alla misura dello stato di depressione di due gruppi di pazienti depressi dopo un ugual periodo di terapia, farmacologica per il gruppo 1 e psicologica per il gruppo 2.ù

Accettereste l’affermazione del medico ad un livello di significatività del 5% considerando che a punteggi alti corrisponde una depressione grave?

Gruppo 1(terapia

farmacologica)

Gruppo 2 (terapia psicologica)

105 115

109 103

115 110

112 125

124 99

Il trattamento psicologico è ugualmente efficace al trattamento farmacologico nella cura della depressione

Il trattamento farmacologico è più efficace del trattamento psicologico


Gruppo 1(terapia

farmacologica)

Gruppo 2 (terapia psicologica)

105 115

109 103

115 110

112 125

124 99


Ipotesi alternativa monodirezionale sinistra

α=0,05 Gdl=5+5-2= 8

t=-1,860


tcritico = -1,860 tcalcolato = 0,465

|tcalcolato |< |tcritico |: |0,465| < |1,860|

ACCETTIAMO L’IPOTESI NULLA ed affermiamo che il trattamento psicologico ha la stessa efficacia di quello

farmacologico

Si vuole eseguire un esperimento per studiare l’effetto di una piccola lesione in una struttura del cervello in un ratto sull’esecuzione di un compito di discriminazione visiva. A questo scopo vengono formati due gruppi di ratti: uno sperimentale con la lesione ed uno di controllo senza la lesione. Ogni ratto deve risolvere singolarmente una serie di prove di discriminazione visiva. I dati che seguono si riferiscono al numero medio di tentativi impiegati da ciascun ratto prima di superare le prove

Per un livello di significatività dell’1% verificare l’ipotesi che la lesione abbia un effetto negativo sulla discriminazione.

Gruppo controllo 10 8 16 14 16 9 16

Gruppo sperimentale

14 12 15 15 10 11 24 10 22 13 12

La media della popolazione da cui è estratto il gruppo sperimentale è uguale alla media della popolazione da cui è estratto il gruppo di controllo


Il numero di tentativi impiegati è uguale nei due gruppi

La media della popolazione da cui è estratto il gruppo sperimentale è maggiore della media della popolazione da cui è estratto il gruppo di controllo

Il numero di tentativi impiegati dal gruppo sperimentale è maggiore di quello del gruppo di controllo

Gruppo controllo 10 8 16 14 16 9 16

Gruppo sperimentale

14 12 15 15 10 11 24 10 22 13 12



α=0,01 Gdl=11+7-2= 16

t=2,583




ACCETTIAMO L’IPOTESI NULLA ed affermiamo che non ci sono differenze significative tra i due gruppi e

quindi la lesione in quell’area cerebrale non determina degli effetti sulle capacità discriminative.

A due campioni, uno composto da 28 maschi adulti e l’altro composto da 26 femmine, è stato somministrato un questionario di autoritarismo e si sono ottenuti i seguenti risultati:

Verificare l’ipotesi che nella popolazione le femmine sono meno autoritarie dei maschi con un livello di significatività del 5%.

La media della popolazione da cui è estratto il campione delle femmine è uguale alla media della popolazione da cui è estratto il campione dei maschi

La media della popolazione da cui è estratto il campione delle femmine è inferiore alla media della popolazione da cui è estratto il campione dei maschi


Nel campione delle

femmine

Nel campione dei maschi



α=0,05

Gdl=26+28-2 = 52

t=- 1,675


tcritico = -1,675 tcalcolato = -3,325

|tcalcolato |> |tcritico |: |3,325| > |1,675|

RIFIUTIAMO L’IPOTESI NULLA ed affermiamo che il punteggio medio dell’autoritarismo nel gruppo delle femmine è significativamente inferiore al punteggio

medio dell’autoritarismo nel gruppo dei maschi

Un ricercatore è interessato a verificare l’esistenza di differenze dovute al sesso o all’età nella prestazione ad una prova di riconoscimento di parole stampate presentate tachistoscopicamente. Egli sceglie a caso da alcune scuole 40 bambini (maschi e femmine) di 7 o 9 anni. Ad ognuno di essi presenta 10 parole-stimolo di uguale frequenza e lunghezza, segnando il numero di parole correttamente riconosciute.

1. Verificare se tra i bambini di 7 anni i maschi hanno una prestazione significativamente superiore rispetto alle femmine

2. Verificare tra i bambini di 9 anni se la prestazione al compito è significativamente diversa tra maschi e femmine

3. Verificare indipendentemente dal sesso se la prestazione dei bambini di 9 anni è significativamente superiore a quella dei bambini di 7 anni.

Bambini di 7 anni Bambini di 9 anni

Soggetto Sesso Parole riconosciute Soggetto Sesso Parole riconosciute

1 F 4 21 F 6

2 F 6 22 F 6

3 F 7 23 F 9

4 F 3 24 F 5

5 F 5 25 F 7

6 F 5 26 F 9

7 F 4 27 F 8

8 F 6 28 F 9

9 F 4 29 F 6

10 F 3 30 F 7

11 F 7 31 F 9

12 F 6 32 M 8

13 M 6 33 M 4

14 M 8 34 M 9

15 M 5 35 M 6

16 M 7 36 M 7

17 M 7 37 M 5

18 M 3 38 M 8

19 M 6 39 M 9

20 M 6 40 M 9

Bambini di 7 anni

Soggetto Sesso Parole riconosciute

1 F 4

2 F 6

3 F 7

4 F 3

5 F 5

6 F 5

7 F 4

8 F 6

9 F 4

10 F 3

11 F 7

12 F 6

13 M 6

14 M 8

15 M 5

16 M 7

17 M 7

18 M 3

19 M 6

20 M 6

Nel campione dei bambini di 7 anni individuiamo due gruppi:-GRUPPO 1: bambini di 7 anni di sesso maschile-GRUPPO 2: bambini di 7 anni di sesso femminile

Verificare se tra i bambini di 7 anni i maschi hanno una prestazione significativament

e superiore rispetto alle

femmine

La media della popolazione dei bambini di 7 anni da cui è estratto il campione dei maschi è uguale alla media della popolazione da cui è estratto il campione delle femmine


La media della popolazione dei bambini di 7 anni da cui è estratto il campione dei maschi è maggiore della media della popolazione da cui è estratto il campione delle femmine

Bambini di 7 anni


1 F 4

2 F 6

3 F 7

4 F 3

5 F 5

6 F 5

7 F 4

8 F 6

9 F 4

10 F 3

11 F 7

12 F 6

13 M 6

14 M 8

15 M 5

16 M 7

17 M 7

18 M 3

19 M 6

20 M 6



α=0,01

Gdl=12+8-2= 18

t=2,552




ACCETTIAMO L’IPOTESI NULLA ed affermiamo che tra i bambini di 7 anni non esiste differenza significativa

tra la prestazione dei maschi e delle femmine

Nel campione dei bambini di 7 anni individuiamo due gruppi:-GRUPPO 3: bambini di 9 anni di sesso maschile-GRUPPO 4: bambini di 9 anni di sesso femminile

Verificare tra i bambini di 9 anni se la prestazione al compito è significativamente diversa tra maschi e femmine

Bambini di 9 anni


21 F 6

22 F 6

23 F 9

24 F 5

25 F 7

26 F 9

27 F 8

28 F 9

29 F 6

30 F 7

31 F 9

32 M 8

33 M 4

34 M 9

35 M 6

36 M 7

37 M 5

38 M 8

39 M 9

40 M 9

La media della popolazione dei bambini di 9 anni da cui è estratto il campione dei maschi è uguale alla media della popolazione da cui è estratto il campione delle femmine


La media della popolazione dei bambini di 9 anni da cui è estratto il campione dei maschi è diversa dalla media della popolazione da cui è estratto il campione delle femmine

Bambini di 9 anni


21 F 6

22 F 6

23 F 9

24 F 5

25 F 7

26 F 9

27 F 8

28 F 9

29 F 6

30 F 7

31 F 9

32 M 8

33 M 4

34 M 9

35 M 6

36 M 7

37 M 5

38 M 8

39 M 9

40 M 9


Ipotesi alternativa bidirezionaleα=0,01/2= 0,005

Gdl=11+9-2 = 18

t=±2,878


tcritico = ±2,878 tcalcolato = -0,277


ACCETTIAMO L’IPOTESI NULLA ed affermiamo che tra i bambini di 9 anni non esiste differenza significativa

tra la prestazione dei maschi e delle femmine

Verificare indipendentemente dal sesso se la prestazione dei bambini di 9 anni è significativamente superiore a quella dei bambini di 7 anni.

Il gruppo dei bambini di 7 anni è dato dalla somma gruppo 1 + gruppo 2

Il gruppo dei bambini di 9 anni è dato dalla somma gruppo 3 + gruppo 4

La media della popolazione dei bambini di 7anni da cui è estratto il campione è uguale alla media della popolazione dei bambini di 9 anni da cui è estratto il campione


La media della popolazione dei bambini di 7 anni da cui è estratto il campione è inferiore alla media della popolazione dei bambini di 9 anni da cui è estratto il campione

Bambini di 7 anni Bambini di 9 anni

Soggetto Sesso Parole riconosciute Soggetto Sesso Parole riconosciute

1 F 4 21 F 6

2 F 6 22 F 6

3 F 7 23 F 9

4 F 3 24 F 5

5 F 5 25 F 7

6 F 5 26 F 9

7 F 4 27 F 8

8 F 6 28 F 9

9 F 4 29 F 6

10 F 3 30 F 7

11 F 7 31 F 9

12 F 6 32 M 8

13 M 6 33 M 4

14 M 8 34 M 9

15 M 5 35 M 6

16 M 7 36 M 7

17 M 7 37 M 5

18 M 3 38 M 8

19 M 6 39 M 9

20 M 6 40 M 9



α=0,01

Gdl=20+20-2= 38

t=-2,429


tcritico = -2,429 tcalcolato = -3,84

|tcalcolato |> |tcritico |: |3,84| < |2,429|

RIFIUTIAMO L’IPOTESI NULLA ed affermiamo che tra i bambini di 7 e di 9 anni esiste una differenza

significativa per cui i bambini di 7 anni riconoscono in media meno parole dei bambini di 9 anni

E SERCITAZIONE SULLA VERIFICA DELLE IPOTESI SU UN CAMPIONE DI OSSERVAZIONI.

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