È possibile misurare la fortuna? È possibile misurare la fortuna? LABORATORIO SCIENTIFICO Classi...

È possibile misurare

la fortuna?

LABORATORIO SCIENTIFICOClassi III

LABORATORIO SCIENTIFICOClassi III

Scuola edia Rainerum

Un po’ di storia…

Un po’ di storia…

Il gioco dei dadi ha sempre affascinato l’umanità: era una sfida alla fortuna.

Giocavano a dadi gli Egiziani nel 5000a.C., i Greci, gli Etruschi, i Romani …

Si giocava a dadi nelle più diverse parti del mondo e in tutte le epoche: nel Medioevo, nel Rinascimento … sempre.

Il matematico G. Cardano (1501-1576) scrive il

“Liber de ludo aleae” (Libro sul gioco dei dadi),

che verrà pubblicato solo 87 anni dopo la sua morte.

X V Isecolo

il cavaliere De Méré si pose questo quesito:

”È preferibile, scommettere sull’uscita di

ALMENO un 6 lanciando 4 volte un dado

oppure

ALMENO un doppio 6 lanciando 24 volte due dadi?”

X V IIsecolo

De Meré chiese a Blaise Pascal e Pierre De Fermatdi studiare il problema

Dagli studi dei due matematici scaturì la moderna

Teoria delle Probabilità (1650 circa)

X V IIsecolo

1656

L’olandese C. Huygens,prendendo spunto dal carteggio tra Pascal e Fermat, pubblica“De ratiociniis in ludo aleae” (Ragionamenti nel gioco dei dadi)

X V IIsecolo

Nel 1713 viene pubblicato postumo il volume

”Ars conjectandi” (L’arte di congetturare)

dello svizzero J. Bernoulli.

Nel volume si propone l’uso della probabilità nel campo della medicina e della meteorologia.

X V III

secolo

Il tedesco C.F. Gauss utilizza la probabilità nello studio della geodesia e topografia.

L’abate G. Mendel pone le basi della genetica usando metodi probabilistici.

X I Xsecolo

L’inglese K. Pearson introduce l’indagine statistica nella medicina

e nella biologia.Nel 1944 l’americano di origine unghereseJ.Von Neumann pubblica

“Theory of Games end Economic Behavior”(Teoria dei giochi e comportamento economico),

dando inizio alle applicazioni della teoria dei giochi nelle scienze sociali, nelle strategie elettorali, nell’economia.

X X secolo

Un po’ di terminologia

…

Un po’ di terminologia

…

T E R M I N O L O G I A

EVENTO (E) Ogni possibile risultato dell’esperimento

Esperimento: lancio di una moneta

Evento (Risultati possibili):Testa , Croce

Esperimento: lancio di un dado

Evento (Risultati possibili):1, 2, 3, 4, 5, 6,

# pari , # dispari,3 o 5, 1 o 2 o 6, …,

# < 2, # <4, … ,# > 1, # >3, … ,

SPAZIO DEGLI EVENTI (S)

l’INSIEME di tutti i risultati dell’esperimento

Esperimento: lancio di una moneta Esperimento: lancio di un dado

Spazio degli Eventi:

{1,2,3,4,5,6,#pari,#dispari,3o5,1o2o6,#<2,#<4,#>1,#>3, …}

{Testa, Croce}

Spazio degli Eventi:

S

TC

S

1 23

54

6

< 2< 5

pari

dispari

< 6

< 3> 6

> 3 …


EVENTO CERTO

Evento che SICURAMENTE si verificherà


EVENTO CERTO:Esce

TESTA o CROCE


EVENTO CERTO:Esce

un numero compreso tra 1 e 6


EVENTO POSSIBILE

Evento che PUÒ verificarsi


EVENTI POSSIBILI:Esce TESTAEsce CROCE


EVENTI POSSIBILI:Esce 1Esce 2

Esce un # 3Esce numero pari

…


EVENTO IMPOSSIBILE

Evento che NON PUÒ verificarsi


EVENTI IMPOSSIBILI:Esce 1

Esce Giallo…


EVENTI IMPOSSIBILI:Esce 0

Esce un # 7Esce Testa

…


Iniziamo (iniziate)a lavorare

…

Iniziamo (iniziate)a lavorare

…

1^ Prova1^ Prova

Lavoro a coppie

ogni coppia lancia un dado esaedrico regolare NON truccato e compila la scheda n°1, n°2, n°4, n°5 consegnatale

Confronta i risultati dell’istogramma con quanto dichiarato inizialmente.

Se NON sono coerenti cerca di spiegarne la ragione

Scheda 1Scheda 1

1 2 3 4 5 6

Prima di iniziare a lanciare indica quale numero, secondo te, uscirà PIÙ

FREQUENTEMENTE.

Se riesci giustifica la risposta

10 lanci di un dado

ISTOGRAMMA

Esegui i 10 lanci riportando ogni volta il risultato (in BLU)

nell’ISTOGRAMMA.

Evento: Numero sul dado

Nu

mero

Uscit

e



Scheda 2Scheda 2

1 2 3 4 5 6

Prima di iniziare a lanciare indica quale numero, secondo te, uscirà PIÙ FREQUENTEMENTE.


125 lanci di un dado

ISTOGRAMMA

Riporta i dati dell’istogramma precedente e aggiungi (in VERDE) i

risultati di ulteriori 115 lanci.


Nu

mero

Uscit

e


FREQUENZA ASSOLUTA fA(E)

Numero di volte che si è verificato l’evento E

XX X

X X XX X X XX X X XX X X X XX X X X X X

1 2 3 4 5 6

Rappresenta l’ALTEZZA della colonna dell’istogramma

ISTOGRAMMA


Nu

mero

Uscit

ef A

(E)

fA(1) = 5

fA(2) = 4

fA(3) = 6

fA(4) = 1

fA(5) = 2

fA(6) = 7

È il rapporto tra la Frequenza Assoluta e il numero totale di lanci effettuati

XX X

X X XX X X XX X X XX X X X XX X X X X X

1 2 3 4 5 6

ISTOGRAMMA


Nu

mero

Uscit

ef A

(E)

leLanciNumeroTota

EfEf A

r

0.20

25

5

leLanciNumeroTota

1f1f51f A

rA

0.16

25

4

leLanciNumeroTota

2f2f52f A

rA

0.24

25

6

leLanciNumeroTota

3f3f63f A

rA


FREQUENZA RELATIVA fr(E)

Essendo la Frequenza Relativa un numero compreso tra 0 e 1,

a volte si preferisce esprimerla in percentuale:ciò significa che si moltiplica per 100 il suo valore e si scrive il simbolo %

%20120.01 % ffr

%8208.02 % ffr

%4404.04 % ffr


FREQUENZA RELATIVA fr(E)

Relativamente all’ultimo istogramma (quello con i 125

lanci), ogni coppia calcoli, per ogni Evento,

Frequenza AssolutaFrequenza Relativa

Frequenza Relativa in percentuale

Eseguiti i calcoli passare la scheda alla coppia alla propria destra per la correzione

Scheda 3Scheda 3 calcolo frequenze

Due gruppi si uniscono e creano un unico istogramma di 250 dati. Confrontano i tre istogrammi (10, 125 e 250 lanci) ponendo attenzione su: Frequenze Assolute e Relative

500 lanci di un dadoDue gruppi si uniscono, formandone uno di 8 persone, e

creano un unico istogramma di 500 dati. Verificano se le osservazioni precedenti sono ancora valide. Porre l’attenzione su:

Frequenze Assolute (si osservino le differenze)Frequenze Relative (si osservino i valori)

Scheda 4Scheda 4 250 lanci di un

dado

Creiamo un istogramma di 1000 lanci utilizzando tutti i dati che avete rilevato.

Simuliamo con un foglio di calcolo (‘Calc’ o ‘Excel’) 1000000 lanci di un dado.

Tiriamo le conclusioni :

Scheda 5Scheda 5 1000 lanci di un

dado

O S S E R V A Z I O N I

Osservazione Qualitativa

Aumentando il numero dei lanci l’istogramma ‘assume’ la forma di un rettangolo (distribuzione rettangolare)

100 Lanci 1000000 Lanci

Aumentando il numero dei lancile differenze tra i valori delle fA di ogni evento si riducono avvicinandosi a zero, ossia

Frequenza ASSOLUTA:

Frequenza RELATIVA:

Aumentando il numero dei lanci

PossibiliNumeroCasi

FavorevoliNumeroCasi

iNumeroLanc

teEventoNumeroUsciEfr

PossibiliNumeroCasi

FavorevoliNumeroCasiEfA





Abbiamo un dado NON truccato con 6 facce uguali tra di loro, allora non vi è alcun motivo di pensare che una faccia debba

mostrarsi più volte di un’altra.

Si può quindi ipotizzare che ogni faccia debba comparire un numero di volte pari a 1/6 del numero dei lanci totale

1/6 perché:“1” è il numero dei casi favorevoli“6” è il numero dei casi possibili Definiamo

PROBABILITÀ Matematica dell’evento E il numero

itiPossibilNumeroEven

FavorevoliNumeroCasiEP

C O N C L U S I O N I

Abbiamo fatto vedere che

l’espressione Matematica indicante la PROBABILITÀ

che esca un valore sul dado è nota prima del lancio

ed è confermata dall’esperienza se vengono effettuate un numero estremamente elevato di prove

PROBABILITÀ Matematica dell’evento E

itiPossibilNumeroEven


PossibiliNumeroCasi

FavorevoliNumeroCasi

iNumeroLanc

teEventoNumeroUsciEfr

La PROBABILITÀ P(E)

è una stima numerica del verificarsi di un determinato

evento

2^ Prova2^ Prova

Si vuole studiare cosa avviene se anziché lanciare 1 dado se ne lancino 2.

Questo studio avverrà confrontando i risultati del lancio di 2 dadi esaedrici con il lancio di 1 dado dodecadrico

Confronteremo poi il risultato anche con un secondo esperimento che preveda la somma di 2 numeri ‘casuali’: il gioco del ‘pari o dispari’

Lavoro: 5 coppie e 2 terne

4 coppie: lancio di due dadi esaedrici regolari NON truccati e compilazione della scheda n°6, n°7 e n°8

1 coppia: lancio di 1 dado dodecaedrico regolare NON truccato e compilazione della scheda n°8a

terna: due elementi giocano a ‘pari e dispari’ , il terzo segna i risultati; viene compilata la scheda n°6b e n°8b

2^ Prova2^ Prova




FREQUENTEMENTE.


Esegui i 50 lanci riportando ogni volta il risultato (in BLU)

in un ISTOGRAMMA.

Scheda 6Scheda 6 50 lanci di due

dadi




FREQUENTEMENTE.


Riporta i dati dell’istogramma precedente e aggiungi (in VERDE) i

risultati di ulteriori 150 lanci.


dadi

Creiamo un istogramma di 1000 lanci utilizzando tutti i dati che avete rilevato.

E simuliamo al calcolatore 1000000 di lanci


dadi

Creiamo un istogramma di 1000 lanci.

E simuliamo al calcolatore 1000000 di lanci

Scheda 8aScheda 8a1000 lanci di un dado

dodecaedrico



Prima di iniziare a giocare indica quale numero, secondo te, uscirà PIÙ FREQUENTEMENTE.


Esegui i 500 scambi riportando ogni volta il risultato (in BLU) in un ISTOGRAMMA.

IMPORTANTE: “ NON giocare per vincere “

Scheda 6bScheda 6b 500 scambi a ‘pari/dispari’

Creiamo un istogramma di 1000 scambi utilizzando tutti i dati che avete rilevato.

Scheda 8BScheda 8B 1000 scambi a

‘pari/dispari’


Lancio di 1 dado dodecaedrico

Avete (abbiamo) ottenuto un risultato analogo al lancio di un dado esaedrico in quanto ogni evento (uscita di un numero compreso tra 1 e 12) è equivalente agli altri.Aumentando il numero dei lanci l’istogramma ‘assume’ la forma di un rettangolo (distribuzione rettangolare)

Aumentando il numero dei lanci l’istogramma ‘assume’ la forma di un triangolo (distribuzione triangolare)


Lancio di 2 dadi esaedrici

Confrontiamo come si ‘formano’ gli eventi che analizziamo

1 dado 2 dadi


Confronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici

1 dado 2 dadi

121211111010998877665544332211

661256,6511

46,55,641036,45,54,639

26,35,44,53,62816,25,34,43,52,617

45,24,33,42,51641,23,32,415

12,22,21412,213

112


Confronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici

121211111010998877665544332211

661256,6511

46,55,641036,45,54,639

26,35,44,53,62816,25,34,43,52,617

45,24,33,42,51641,23,32,415

12,22,21412,213

112

Ogni determinazione ha un UNICO ‘modo’ per potersi verificare:

(Evento ELEMENTARE)

Le determinazioni hanno un numero di ‘modi’ diversi per potersi verificare:

(Evento COMPOSTO)

O S S E R V A Z I O N IConfronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici

Per mostrare l’esito del lancio di 2 dati è anche possibile utilizzare una

TABELLA A DOPPIA ENTRATA

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 910

5 6 7 8 910

11

6 7 8 910

11

12


TABELLA A DOPPIA ENTRATA

Come si legge la Tabella a doppia entrata

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 910

5 6 7 8 910

11

6 7 8 910

11

12

determinazioni 1° dado

dete

rmin

azi

oni 2°

dado

Ci sono 2 casi favorevoli all’ 11

Determinazioni 1°+ 2° dado:

36 casi possibili

36

2

ibiliEventiPoss

voliCasiFavore11P

36

4

ibiliEventiPoss

voliCasiFavore9P

Ci sono 4 casi favorevoli al 9

36

6

ibiliEventiPoss

voliCasiFavore7P

Ci sono 6 casi favorevoli al 7


E S E R C I Z I OA questo punto, utilizzando la tabella a doppia entrata, calcola la probabilità di uscita di ogni

determinazione ottenibile con il lancio di 2 dadi

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 910

5 6 7 8 910

11

6 7 8 910

11

12

36

1

ibiliEventiPoss

voliCasiFavore2P

36

2

ibiliEventiPoss

voliCasiFavore3P

36

3

ibiliEventiPoss

voliCasiFavore4P

36

4

ibiliEventiPoss

voliCasiFavore5P

36

6

ibiliEventiPoss

voliCasiFavore7P

36

1

ibiliEventiPoss

voliCasiFavore12P

36

2

ibiliEventiPoss

voliCasiFavore11P

36

3

ibiliEventiPoss

voliCasiFavore10P

36

4

ibiliEventiPoss

voliCasiFavore9P

36

5

ibiliEventiPoss

voliCasiFavore6P

36

5

ibiliEventiPoss

voliCasiFavore8P

TC

T CTT TCCT CC

1ª moneta

2ª monetaDeterminazioni 2 monete:

TT, TC, CC

4

1

ibiliEventiPoss

voliCasiFavoreTTP

4

2

ibiliEventiPoss

voliCasiFavoreTCP

4

1

ibiliEventiPoss

voliCasiFavoreCCP

E S E R C I Z I OConsideriamo il lancio di 2 monete:

- individua le possibili determinazioni- compila la relativa tabella a doppia entrata- calcola la probabilità di ogni determinazione

2 dadi Per il gioco del “pari dispari" mi aspetto qualcosa di analogo

al lancio di 2 dadi.

Prima confrontiamo le due tabelle a doppia entrata

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 910

5 6 7 8 910

11

6 7 8 910

11

12

+ 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6

2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 8

4 5 6 7 8 9

5 6 7 8 910

Poi verifichiamo l’ipotesi osservando l’istogramma ottenuto

dai due gruppi

O S S E R V A Z I O N IConfronto: 2 dadi esaedrici e “pari dispari”

RISULTATI STUDENTI

….

O S S E R V A Z I O N IConfronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici

L’evento certo ha probabilità 1:

1EP0

PossibiliNumeroCasi


A B B I A M O

V I S T O C H E

La PROBABILITÀ dell’evento E è un numero compreso tra 0 e 1

È possibile determinare la PROBABILITÀdell’evento E tramite la relazione

1EP

E ora alcuni calcoli …

E ora alcuni calcoli …

Esistono situazioni in cui l’espressione

PossibiliNumeroCasi


è di difficile utilizzo perché è complesso il calcolo di- Numero dei casi favorevoli- Numero dei casi possibili

Vediamo alcune situazioni in cui il calcolo della probabilità può essere eseguito con semplici calcoli

Eventi EQUIPROBABILIEventi EQUIPROBABILI

Eventi che SI ESCLUDONO RECIPROCAMENTEEventi che SI ESCLUDONO RECIPROCAMENTE

Eventi che NON SI ESCLUDONO RECIPROCAMENTEEventi che NON SI ESCLUDONO RECIPROCAMENTE

Eventi INDIPENDENTIEventi INDIPENDENTI

Lancio di un dado esaedrico: 6 eventi identiciLancio di un dado esaedrico: 6 eventi identici

Lancio di una moneta: 2 eventi identiciLancio di una moneta: 2 eventi identici

Estrazione di una carta da un mazzo da briscola: 40 eventi identiciEstrazione di una carta da un mazzo da briscola: 40 eventi identici

Estrazione di un numero della tombola: 90 eventi identiciEstrazione di un numero della tombola: 90 eventi identici

La probabilità di un eventoè data dalla relazione:

Identici Eventi Numero

1EP

401EP

901EP

21EP

61EP

Esperimento che genera eventi equiprobabili

Esperimento che genera eventi equiprobabili

Lancio di un dado esaedrico: uscita 3 o 5Lancio di un dado esaedrico: uscita 3 o 5

Lancio di una moneta: uscita T o CLancio di una moneta: uscita T o C

Estrazione di una carta da un mazzo da briscola: 5 o 3Estrazione di una carta da un mazzo da briscola: 5 o 3

Estrazione di un numero della tombola: 36 o 57Estrazione di un numero della tombola: 36 o 57

31

62

61

615P3P5 o 3P

122

21

21CPTPC o TP

201

402

401

4013sP5cP3s o 5cP

451

902

901

90157P36P57 o 36P

Dati gli eventi E1 , E2 ed E3

che si escludono vicendevolmenteLa probabilità P(E1 o E2 o E3) è data da:

P(E1 o E2 o E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3)

Eventi che si escludono reciprocamenteEventi che si escludono reciprocamente

Eventi che NON si escludono reciprocamente


Estrazione di una carta da un mazzo da briscola: Re o una carta di coppeEstrazione di una carta da un mazzo da briscola: Re o una carta di coppe

A 2 3 4 5 6 7 F D

A 2 3 4 5 6 7 F C

A 2 3 4 5 6 7 F C

A 2 3 4 5 6 7 F C

R

R

R

R

A 2 3 4 5 6 7 F C R R

R

R

R

In questo modo il [R] viene considerato 2 volte e dobbiamo tenerlo presente nel calcolo dei casi favorevoli

In questo modo il [R] viene considerato 2 volte e dobbiamo tenerlo presente nel calcolo dei casi favorevoli

I casi favorevoli sono dati da10 carte di COPPE4 carte con il RE

casi favorevoli = 4 [ R ] + 10 [ ] – 1 [ R ] = 13

P([R] o []) =Casi Favorevoli

Numero Casi Possibili1340

=

Lancio di due dadi esaedrici: numero 8 o numero multiplo 3Lancio di due dadi esaedrici: numero 8 o numero multiplo 3

In questo modo abbiamo 5 valori 8 e multipli di 3 dobbiamo tenerli presente nel calcolo dei casi favorevoli

In questo modo abbiamo 5 valori 8 e multipli di 3 dobbiamo tenerli presente nel calcolo dei casi favorevoli

I casi favorevoli sono dati da12 valori multipli di 315 valori 8

casi favorevoli = 12 [ mult. 3 ] + 15 [ 8 ] – 5 [ (mult. 3) 8 ] = 22

P([mult. 3] o [ 8]) =Casi Favorevoli

Numero Casi Possibili2240

=

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 910

5 6 7 8 910

11

6 7 8 910

11

12



Estrazione di un Re o una carta di coppe

A 2 3 4 5 6 7 F C R

A 2 3 4 5 6 7 F C R

A 2 3 4 5 6 7 F C R

A 2 3 4 5 6 7 F C R

Casi Favorevoli = 4 [R] + 10 [] – 1 [R]

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 910

5 6 7 8 910

11

6 7 8 910

11

12

Lancio di 2 dadi # 8 o # multiplo 3Lancio di 2 dadi # 8 o # multiplo 3

CF= 12 [mult. 3] + 15 [ 8] – 5 [(mult. 3) 8]

Dati i 2 eventi E1 ed E2 che NON si escludono vicendevolmente

La probabilità P(E1 o E2) è data da:

P(E1 o E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2)



Sono eventi che NON si influenzano reciprocamenteSono eventi che NON si influenzano reciprocamente

Eventi INDIPENDENTI

Eventi INDIPENDENTI

Lancio (consecutivi o contemporanei) di due dadiL’esito del 1° dado non influenza il risultato del 2° dado

Lancio (consecutivi o contemporanei) di due dadiL’esito del 1° dado non influenza il risultato del 2° dado

Lancio (consecutivi o contemporanei) di due moneteL’esito della 1ª moneta non influenza il risultato della 2ª moneta

Lancio (consecutivi o contemporanei) di due moneteL’esito della 1ª moneta non influenza il risultato della 2ª moneta

Doppia estrazione di una carta da un mazzoL’esito della 1ª estrazione non influenza il risultato della 2ª

Doppia estrazione di una carta da un mazzoL’esito della 1ª estrazione non influenza il risultato della 2ª

T C 21TP 2

1CP 2ª moneta 21TP 2

1CP T C2ª moneta

21TP 2

1CP

Lancio di due moneteLancio di due monete

41

21

21TPTPTTP 4

12

12

1CPCPCCP

41

21

21CPTPTCP 4

12

12

1TPCPCTP

Risultati in accordo con quanto già vistoRisultati in accordo con quanto già visto


Eventi INDIPENDENTI

Eventi INDIPENDENTI

T C1ª moneta

361

61

611P1P1 e 1P

In accordo con quanto già vistoIn accordo con quanto già visto

1

1 2 3 4 5 6

361

61

612P3P2 e 3P

361

61

614P6P4 e 6P

2

1 2 3 4 5 6

3

1 2 3 4 5 6

4

1 2 3 4 5 6

5

1 2 3 4 5 6

6

611P 6

12P 613P

614P 6

15P 616P

1 2 3 4 5 6

61

1P

61

2P

61

3P

61

4P

61

5P

61

6P

61

1P

61

2P

61

3P

61

4P

61

5P

61

6P

61

1P

61

2P

61

3P

61

4P

61

5P

61

6P

61

1P

61

2P

61

3P

61

4P

61

5P

61

6P

61

1P

61

2P

61

3P

61

4P

61

5P

61

6P

61

1P

61

2P

61

3P

61

4P

61

5P

61

6P

Lancio di due dadiLancio di due dadi


Eventi INDIPENDENTI

Eventi INDIPENDENTI

1° dado2° dado

Dati i 2 eventi INDIPENDENTI E1 ed E2 (= NON si influenzano vicendevolmente)

La probabilità P(E1 e E2) è data da:

P(E1 e E2) = P(E1) P(E2)

Dati i 2 eventi INDIPENDENTI E1 ed E2 (= NON si influenzano vicendevolmente)

La probabilità P(E1 e E2) è data da:

P(E1 e E2) = P(E1) P(E2)

n

1 2 3 4 5 6

Lancio di due dadiLancio di due dadiLancio di due monete

T

T C

C

T C

Eventi INDIPENDENTI

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È possibile misurare la fortuna? È possibile misurare la fortuna? LABORATORIO SCIENTIFICO Classi...

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