Download=RomanelliSerioli MScThesis

POLITECNICO DI MILANO

Facolta di Ingegneria Industriale

Corso di Laurea in Ingegneria Aeronautica

Un approccio libero alla modernaAeroelasticita Computazionale

Relatore: Prof. Paolo Mantegazza

Tesi di Laurea di:

Giulio Romanelli, matr. 679778

Elisa Serioli, matr. 679777

Anno Accademico 2007 − 2008

Indice

Sommario v

1 Introduzione 1

1.1 Inquadramento generale della tesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Software libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Struttura della tesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Analisi del problema aeroelastico 7

2.1 Definizione del problema aeroelastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Il sistema strutturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Il sistema aerodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1 Il regime di moto transonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.2 Modelli matematici per la soluzione del problema aerodinamico . . . . . . 12

2.3.3 Linearizzazione numerica dei carichi aerodinamici . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.4 Calcolo della matrice delle funzioni di trasferimento aerodinamiche . . . . 17

2.4 Interfaccia struttura–aerodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5 Il sistema aeroelastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6 Flutter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6.1 Aeroelasticita classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6.2 Aeroelasticita moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Scelta del solutore strutturale 33

3.1 Definizione del problema strutturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.1 Discretizzazione ad elementi finiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.2 Condensazione modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Requisiti del solutore strutturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3 Solutore strutturale Code Aster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.1 Esempio di utilizzo di Code Aster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.2 Esempio di programmazione in Code Aster . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4 Pre/Post–processore Salome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Problemi di verifica strutturali 51

4.1 Cassone alare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2 Taratura del modello strutturale dell’ala AGARD 445.6 . . . . . . . . . . . . . . 53

i

ii Indice

5 Scelta del solutore aerodinamico 59

5.1 Definizione del problema aerodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.1.1 Approssimazione numerica del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.2 Requisiti del solutore aerodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.3 Solutore aerodinamico OpenFOAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.4 Valutazione dei solutori aerodinamici disponibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.4.1 Solutore aerodinamico rhoSonicFoam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.4.2 Solutore aerodinamico rhopSonicFoam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.4.3 Solutore aerodinamico sonicFoam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.4.4 Analisi dei risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.5 Generatore di griglie Gmsh e post–processore ParaView . . . . . . . . . . . . . . . 75

6 Progetto ed implementazione del solutore aerodinamico 77

6.1 Discretizzazione spaziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.2 Flussi numerici del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2.1 Approximate Riemann Solver (ARS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.2.2 Advection Upstream Splitting Method (AUSM) . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.2.3 Convective Upwind and Split Pressure (CUSP) . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.2.4 Harten–Lax–vanLeer (HLL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.3 Metodi numerici per l’alta risoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.4 Flussi numerici per l’alta risoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.4.1 Lax–Wendroff (LW) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.4.2 Jameson–Schmidt–Turkel (JST) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.5 Estrapolazione lineare per l’alta risoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.5.1 Barth–Jespersen (BJ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.6 Discretizzazione temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.6.1 Linear Multistep Method (LMM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.6.2 Runge–Kutta (RK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.7 Condizioni iniziali ed al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.7.1 Condizioni al contorno di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.7.2 Condizioni al contorno di non compenetrazione . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.8 Valutazione del solutore aerodinamico AeroFoam . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.8.1 Analisi dei risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7 Problemi di verifica aerodinamici 97

7.1 Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.2 Profilo alare NACA 0012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.3 Risposta temporale ad una raffica a scalino di un profilo alare lenticolare . . . . . 101

7.4 Ugello convergente-divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.5 Scalino di Woodward-Colella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.6 Ala ONERA M6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.7 Ala RAE A e corpo assisimmetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Indice iii

8 Interfaccia aeroelastica 115

8.1 Schema di interfaccia aeroelastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.1.1 Interpolazione lineare composita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.1.2 Interpolazione ai minimi quadrati mobili (MLS) . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.2 Condizioni al contorno di traspirazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8.2.1 Formulazione linearizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.2.2 Formulazione linearizzata per differenze finite . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.2.3 Formulazione non lineare per differenze finite . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.2.4 Limiti di validita per problemi bidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8.2.5 Limiti di validita per problemi tridimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . 126

9 Applicazioni aeroelastiche 129

9.1 Ala AGARD 445.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

9.1.1 Modello strutturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.1.2 Modello aerodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.2 Condizione di equilibrio di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.2.1 Calcolo della soluzione stazionaria di riferimento . . . . . . . . . . . . . . 134

9.2.2 Verifica di linearita dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

9.3 Flutter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9.3.1 Calcolo della matrice delle funzioni di trasferimento aerodinamiche . . . . 139

9.3.2 Diagrammi V∞ − ω e V∞ − g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

10 Conclusioni 147

A Matrici delle funzioni di trasferimento aerodinamiche 149

A.1 Risultati numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Bibliografia 157

iv Indice

Sommario

Nell’ambito dell’Aeroelasticita Computazionale (CA) il regime di moto transonico e stato alungo oggetto di studio, poiche vi si osserva una brusca e significativa diminuzione locale dellavelocita di flutter, chiamata buca transonica.

Grazie al progressivo aumento delle risorse di calcolo disponibili, oggi e possibile abbandonaregli strumenti di analisi aeroelastica classici che forniscono risultati molto approssimati in regimedi moto transonico ed adottare modelli matematici e metodi numerici piu raffinati appartenentialla classe della Fluidodinamica Computazionale (CFD).

L’obiettivo di questo lavoro di tesi consiste nel dimostrare che e possibile costruire un toolboxanalogo a quello presentato in [9] per la soluzione di problemi aeroelastici in regime di mototransonico in ambito accademico ed industriale, utilizzando esclusivamente strumenti di analisiliberamente disponibili in rete, ad esempio accoppiando il solutore strutturale ad elementi finiti(FEM) Code Aster con il solutore aerodinamico a volumi finiti (FV) OpenFOAM. La proceduraimplementata e infine messa alla prova affrontando il tipico problema di verifica aeroelasticodell’ala AGARD 445.6.

Parole chiave: Aeroelasticita Computazionale, buca transonica, Fluidodinamica Computa-zionale, software liberi.

Abstract

The study of the transonic flutter mechanism has been for a long time a very active and fruitfulresearch field in Computational Aeroelasticity (CA), since a sudden and significant drop offlutter velocity is experienced in the transonic regime, also known as transonic dip.

With the advent of more powerful computers and more efficient algorithms, it is nowa-days possible to choose the more accurate mathematical models and numerical methods ofComputational Fluid Dynamics (CFD), rather than the often unreliable in the transonic regimeclassical aeroelastic analysis tools.

The main challenge of this thesis work is to show that a toolbox of procedures similar tothat presented in [9] to effectively solve transonic aeroelastic problems in a research or industrialenvironment can be built using only free software. For instance the free finite element (FEM)structural solver Code Aster is coupled with the free finite volume (FV) aerodynamic solverOpenFOAM. In order to assess the accuracy of the implemented toolbox, the classical aeroelastictest problem of computing the flutter boundary for AGARD 445.6 wing is eventually tackled.

Keywords: Computational Aeroelasticity, transonic dip, Computational Fluid Dynamics,free software.

v

Capitolo 1

Introduzione

Come descritto in §1.1, fino ad oggi la soluzione di problemi aeroelastici di interesse accade-mico ed industriale in regime di moto transonico e stata affrontata nell’ambito dell’aeroelasti-cita computazionale accoppiando strumenti commerciali consolidati per l’analisi strutturale edaerodinamica, quali rispettivamente MSC.Nastran e FLUENT.

L’obiettivo di questo lavoro di tesi consiste nel dimostrare che e possibile costruire un toolboxanalogo, utilizzando esclusivamente strumenti di analisi liberi secondo la filosofia presentata in§1.2, quali rispettivamente Code Aster e OpenFOAM.

1.1 Inquadramento generale della tesi

Lo studio dell’interazione aeroelastica tra le forze aerodinamiche e le forze elastomeccanichestrutturali ricopre un ruolo fondamentale nella progettazione delle strutture aeronautiche che,a seguito del processo di ottimizzazione dei pesi, sono caratterizzate da una deformabilita strut-turale elevata: infatti oltre alla velocita di volo VF , che secondo normativa deve essere signi-ficativamente al di fuori dell’inviluppo di volo del velivolo VF ≥ 1.2VD , possono verificarsifenomeni di instabilita dinamica o flutter, che dal punto di vista fisico corrispondono all’insor-gere di oscillazioni autoeccitate divergenti dalle conseguenze spesso catastrofiche per l’integritastrutturale.

Molti velivoli moderni, sia civili che militari, sono progettati per operare per una porzionemolto ampia del profilo di missione in regime di moto transonico, caratterizzato dalla presenzasimultanea all’interno del campo di moto attorno al velivolo di regioni localmente subsoniche eregioni localmente supersoniche separate da fenomeni irreversibili quali onde d’urto. In ambitoaeroelastico tale regime di moto e stato a lungo oggetto di studio poiche vi si osserva una bruscae significativa diminuzione locale della velocita di flutter VF chiamata buca transonica.

Storicamente i primi modelli matematici e metodi numerici utilizzati in ambito aeroelasticoper il calcolo della variazione non stazionaria dei carichi aerodinamici conseguente al movimen-to strutturale sono stati ad esempio il Doublet Lattice Method (DLM) ed il metodo di Morino,che operano una linearizzazione del problema aerodinamico nell’intorno di una condizione diriferimento nell’ipotesi di piccole perturbazioni. Nonostante tali strumenti di analisi siano ca-tatterizzati da un’efficienza computazionale molto elevata (fondamentale nelle fasi di progettoe verifica, ovvero in situazioni in cui e richiesta la valutazione di un numero di configurazionielevato), essi forniscono risultati grossolanamente approssimati in regime di moto transonico,viceversa dominato da fenomeni non lineari, sovrastimando significativamente la velocita diflutter VF .

1

2 Introduzione

Nell’ambito dell’aeroelasticita computazionale o Computational Aeroelasticity (CA), permigliorare l’affidabilita dei risultati, ma contemporaneamente contenere il costo computazio-nale in termini di tempi di calcolo e occupazione di memoria, sono stati successivamente adot-tati modelli matematici piu adeguati e complessi quali le equazioni non lineari delle piccoleperturbazioni in campo transonico e le equazioni non lineari del potenziale completo.

Tuttavia grazie al progressivo aumento delle risorse di calcolo disponibili, oggi e possibileadottare anche nelle fasi di progetto e verifica modelli matematici e metodi numerici piu raffinatie sicuramente piu adatti allo studio del regime di moto transonico appartenenti alla classe dellafluidodinamica computazionale o Computational Fluid Dynamics (CFD), quali le equazionidi Eulero e piu recentemente anche le equazioni di Navier-Stokes eventualmente mediate allaReynolds (RANS).

A partire dai risultati numerici presentati in [22, 23] ottenuti utilizzando i modelli matematicidelle equazioni di Eulero e delle equazioni di Navier-Stokes mediate alla Reynolds (RANS) perla soluzione del problema aeroelastico di verifica relativo all’ala AGARD 445.6 [8], tale ambitodi ricerca e stato molto attivo, anche perche i problemi di interazione fluido-struttura o FluidStructure Interactions (FSI) hanno assunto una sempre maggiore importanza anche in altricampi dell’ingegneria.

Come osservato in [4] e tuttavia ancora necessario apportare alcuni miglioramenti signifi-cativi agli strumenti di analisi propri dell’aeroelasticita computazionale per consentirne un’ap-plicazione estesa non solo in ambito accademico ma anche in ambito industriale; i requisiti piuimportanti sono ad esempio: a) la riduzione dei tempi di calcolo, b) l’aumento dell’affidabilitadei risultati numerici nel caso non stazionario ed infine c) la semplificazione delle procedure dimessa a punto del modello aeroelastico, ponendo particolare attenzione alla costruzione delloschema di interfaccia che consente di realizzare praticamente la connessione ad anello chiusotra il sistema strutturale ed il sistema aerodinamico, garantendo che lo scambio di informazioniavvenga in modo accurato, efficiente e flessibile.

Ad esempio in [9] e descritta la costruzione di un’efficiente, efficace e robusta strategiaper la soluzione di problemi di aeroelasticita statica (ad esempio il calcolo delle derivate distabilita aeroelastiche relative ad una condizione di equilibrio di riferimento del velivolo defor-mabile) e di aeroelasticita dinamica (ad esempio la costruzione dei diagrammi V∞−ω e V∞−g)in ambito accademico (risolvendo il problema di verifica aeroelastico dell’ala AGARD 445.6 [11])ed in ambito industriale (svolgendo un’analisi aeroelastica dei velivoli AerMacchi M-346 [12] ePiaggio P-180 [10]). Piu in particolare sono utilizzati il solutore strutturale commerciale adelementi finiti (FEM) MSC.Nastran [45] ed il solutore aerodinamico commerciale a volumi finiti(FV) FLUENT [43], opportunamente interfacciati mediante uno schema di interpolazione aiminimi quadrati mobili o Moving Least Squares (MLS).

L’obiettivo di questo lavoro di tesi consiste nel dimostrare che e possibile costruire un toolboxanalogo per la soluzione di problemi aeroelastici in ambito accademico ed industriale, utilizzando(forse per la prima volta) esclusivamente strumenti di analisi liberamente disponibili in rete, nonsolo per la soluzione del problema strutturale ed aerodinamico, ma anche per le fasi di pre/post–processing. Con riferimento allo schema a blocchi rappresentato in Figura 1.1, sono utilizzatiil solutore strutturale libero ad elementi finiti (FEM) Code Aster [47], il solutore aerodinamicolibero a volumi finiti (FV) OpenFOAM [50] opportunamente interfacciati mediante uno schemadi interpolazione lineare composita, il generatore di griglie triangolari e tetraedriche Gmsh [7],il post–processore ParaView [51] ed infine il pre/post–processore Salome [52]. La scelta di uti-lizzare esclusivamente software liberi e estesa in modo radicale anche alla elaborazione ed allapresentazione grafica dei risultati numerici utilizzando i programmi SciLab [53] e Gnuplot [49].

Software libero 3

Post-processorePre/Post-processore Generatore di griglie

ParaViewGmshSalome

Solutore Aeroelastico

Solutore AerodinamicoSolutore Strutturale

Interfaccia Aeroelastica

OpenFOAMCode Aster

NAEMO MASSA

Interpolazione composita

Costruzione [ Ham(k) ] Diagrammi V∞−ω V∞−g

Figura 1.1: Schema a blocchi della struttura del toolbox di analisi aeroelastica costruito utilizzandoesclusivamente software liberi.

1.2 Software libero

Con software libero si intende un programma rilasciato con una licenza che permette a chiunquedi utilizzarlo e che ne incoraggia lo studio, le modifiche e la redistribuzione; esso si contrap-pone al software proprietario ed e differente dalla concezione open-source, concentrandosi sullaliberta dell’utente e non solo sull’apertura del codice sorgente. Parlando di software libero einfatti opportuno evitare di utilizzare espressioni come regalato o gratuito perche esse pongonol’attenzione sul prezzo e non sulla liberta.

L’idea di software libero e nata negli anni 1980, quando R. Stallman ha creato la FreeSoftware Foundation (FSF) con l’obiettivo di creare un sistema operativo completamente libero:grazie alla collaborazione congiunta di molti programmatori coordinati mediante Internet nel1991 e nato il sistema operativo GNU/Linux, clone di UNIX, ma liberamente distribuibile emodificabile. Secondo R. Stallman e la Free Software Foundation (FSF) un software per potereessere definito libero deve garantire le seguenti quattro liberta fondamentali :

Liberta 0: liberta di eseguire il programma per qualsiasi scopo;

Liberta 1: liberta di studiare come funziona il programma ed eventualmente adattarlo alleproprie necessita: l’accesso al codice sorgente ne e ovviamente un prerequisito;

Liberta 2: liberta di redistribuire copie del programma in modo tale da aiutare il prossimo: piuin particolare, oltre al codice sorgente devono essere forniti pacchetti binari precompilati;

Liberta 3: liberta di migliorare il programma e di distribuire pubblicamente tali miglioramenti,in modo tale che tutta la comunita ne possa trarre beneficio: l’accesso al codice sorgentene e ovviamente un prerequisito.

4 Introduzione

Figura 1.2: Simbolo della Free Software Foundation (FSF) (sinistra) e del progetto collaborativoGNU/Linux (destra).

Tuttavia la parola libero non implica la possibilita di utilizzare il software in maniera in-discriminata, ma esso e soggetto ad una licenza d’uso studiata opportunamente per favorirela condivisione del sapere senza espropriare gli autori della proprieta intellettuale (ad esempiogli autori originali o copyright holders devono essere sempre menzionati in tutte le versionimodificate e successivamente distribuite del programma).

La maggiore parte del software libero e distribuito secondo la licenza GNU General PublicLicense (GPL) [29], scritta da R. Stallman e E. Moglen nel 1985 per garantire legalmente a tuttigli utenti le quattro liberta fondamentali: tale licenza e considerata molto restrittiva, poicheimpone che ogni applicazione derivata sia a sua volta distribuita con la medesima licenza. Inalternativa esiste una versione meno restrittiva chiamata GNU Lesser General Public License(LGPL) che consente di utilizzare il programma anche nell’ambito di software proprietari.

Secondo i sostenitori del software libero, esso presenta numerosi vantaggi rispetto al softwareproprietario: grazie alla disponibilita del codice sorgente, e infatti possibile adattare in modoflessibile il programma alle particolari esigenze dell’utente; inoltre dal momento che il codicesorgente e sottoposto alla continua revisione di una base di utenti molto ampia, e possibile velo-cizzare notevolmente il processo di individuazione e corrrezione degli errori e di ottimizzazionedell’efficienza di calcolo. Tuttavia e innegabile che esistano anche limitazioni e svantaggi rispet-to al software proprietario, ad esempio la documentazione eventualmente disponibile e spessoincompleta o non aggiornata.

1.3 Struttura della tesi

Nel Capitolo 2 e fornito un inquadramento generale del problema aeroelastico: dopo avere pre-sentato i modelli matematici ed i metodi numerici piu comunemente utilizzati per l’analisi delsistema strutturale e del sistema aerodinamico e lo schema di interfaccia che consente di inter-connetterli, si sofferma l’attenzione sui metodi numerici consolidati per risolvere il problema diflutter nel dominio delle frequenze (aeroelasticita classica) e del tempo (aeroelasticita moderna).

Dopo avere presentato piu in dettaglio il problema strutturale, nel Capitolo 3 le caratte-ristiche e le potenzialita fondamentali del solutore strutturale libero Code Aster sono confron-tate con quelle del solutore strutturale commerciale MSC.Nastran; analogamente e illustratoil funzionamento del pre/post–processore libero Salome con riferimento al pre/post–processorecommerciale Femap.

Struttura della tesi 5

Come sottolineato nella GNU General Public License (GPL) [29], i programmi liberamentedisponibili in rete sono forniti as is ed at your own risk, ovvero senza nessuna garanzia relati-vamente alle prestazioni ed alla qualita dei risultati. Di conseguenza e innanzitutto fondamen-tale verificarne l’efficienza e l’accuratezza affrontando alcuni problemi di verifica di complessitacrescente e confrontando i risultati con quelli ottenuti mediante gli analoghi programmi com-merciali. Nel Capitolo 4 e cosı possibile osservare che il solutore strutturale libero Code Aster edel tutto paragonabile al solutore strutturale commerciale MSC.Nastran.

Dopo avere presentato piu in dettaglio il problema aerodinamico, nel Capitolo 5 le ca-ratteristiche e le potenzialita fondamentali del solutore aerodinamico libero OpenFOAM sonoconfrontate con quelle del solutore aerodinamico commerciale FLUENT; analogamente sono illu-strati il funzionamento del generatore di griglie libero Gmsh e del post–processore ParaView conriferimento rispettivamente al generatore di griglie commerciale Gambit ed al post–processorecommerciale Tecplot.

Tuttavia e possibile osservare che il solutore aerodinamico libero OpenFOAM non e del tuttosoddisfacente per affrontare problemi aerodinamici impegnativi in regime di moto transonico esupersonico; di conseguenza nel Capitolo 6.8.1 e descritta l’implementazione in linguaggio C++

di un nuovo solutore aerodinamico chiamato AeroFoam, che utilizza le librerie del programmaOpenFOAM per la gestione delle strutture dati relative alla griglia di calcolo ed alla soluzionenumerica e per le fasi di pre/post–processing.

Il solutore aerodinamico sviluppato AeroFoam e quindi messo alla prova nel Capitolo 7,affrontando alcuni problemi di verifica di complessita crescente ed in un campo il piu ampiopossibile di regimi di moto, con riferimento ai risultati numerici ottenuti mediante il solutoreaerodinamico commerciale FLUENT.

Successivamente nel Capitolo 8 e affrontato il problema di come costruire uno schema di in-terfaccia aeroelastica robusto e flessibile che consenta di realizzare praticamente la connessionead anello chiuso tra il sistema strutturale ed il sistema aerodinamico; inoltre e presentata l’im-plementazione numerica delle condizioni al contorno di traspirazione in modo tale da riprodurregli effetti geometrici e cinematici del movimento del contorno senza effettivamente deformare lagriglia di calcolo.

Dopo avere opportunamente verificato il corretto funzionamento dei singoli strumenti deltoolbox, nel Capitolo 9 e infine affrontato il tipico problema di verifica aeroelastico in regime dimoto transonico dell’ala AGARD 445.6, confrontando i risultati numerici ottenuti con i risultatisperimentali e numerici disponibili in Letteratura.

Scritto in LATEX

6 Introduzione

Capitolo 2

Analisi del problema aeroelastico

In questo Capitolo, dopo avere fornito un inquadramento generale del problema aeroelasticoin §2.1, sono descritti piu in dettaglio il sistema strutturale ed il sistema aerodinamico rispet-tivamente in §2.2 e §2.3, soffermandosi in particolare sullo studio dei modelli matematici e deimetodi numerici che e opportuno utilizzare per la soluzione del problema aerodinamico in regimedi moto transonico.

L’interazione ad anello chiuso tra il sistema strutturale ed il sistema aerodinamico, oppor-tunamente connessi tra loro mediante lo schema di interfaccia presentato in §2.4, costituisce ilnucleo fondamentale del sistema aeroelastico, le cui equazioni di governo sono ricavate in §2.5nel dominio del tempo e delle frequenze.

Infine in §2.6 si sofferma l’attenzione sul fenomeno aeroelastico piu caratteristico, ovveroil flutter, e sono presentati i metodi numerici consolidati per la soluzione di tale problema neldominio delle frequenze (aeroelasticita classica) e del tempo (aeroelasticita moderna).

2.1 Definizione del problema aeroelastico

L’aeroelasticita e la disciplina che studia la mutua interazione tra le forze aerodinamiche ele forze elastomeccaniche strutturali e ricopre un ruolo fondamentale nella progettazione dellestrutture aeronautiche che, a seguito del processo di ottimizzazione dei pesi, sono generalmentecaratterizzate da una deformabilita strutturale elevata [6].

Considerando ad esempio un velivolo immerso in una corrente fluida in equilibrio dinamicosotto l’azione del campo delle forze aerodinamiche, degli sforzi interni e delle forze di inerzia, siipotizzi di perturbarne lo stato mediante un campo di piccoli spostamenti. Tale perturbazionemodifica le condizioni al contorno del sistema aerodinamico e determina un contributo aggiun-tivo ai carichi agenti sul sistema strutturale. Di conseguenza il campo degli sforzi interni simodifica in modo tale da ristabilire la condizione di equilibrio dinamico preesistente ed il cam-po di deformazioni corrispondente perturba ulteriormente le condizioni al contorno del sistemaaerodinamico. Si osserva dunque un’interazione ad anello chiuso tra il sistema strutturale ed ilsistema aerodinamico.

In effetti il termine aeroelasticita e riduttivo dal momento che molti importanti fenomeniaeroelastici coinvolgono oltre alle forze aerodinamiche ed elastiche, anche le forze di inerzia e leforze associate ai servocomandi. Tale definizione puo essere graficamente riassunta mediante iltriangolo di Collar di Figura 2.1, al quale oltre ai classici vertici A, E ed M che rappresentanorispettivamente il sistema aerodinamico, il sistema strutturale e la distribuzione di inerzie delvelivolo, si aggiunga un blocco S che rappresenta l’azione dei servocomandi.

7

8 Analisi del problema aeroelastico

A

E I

S Servocomandi

Distribuzione di inerzie

Sistema aerodinamico

Sistema strutturale

Figura 2.1: Il triangolo di Collar.

Il fenomeno aeroelastico piu caratteristico e il flutter, che dal punto di vista fisico corrispondeall’insorgere di oscillazioni autoeccitate divergenti dalle conseguenze spesso catastrofiche, men-tre dal punto di vista matematico corrisponde alla condizione limite di stabilita dinamica delsistema aeroelastico tempo-invariante linearizzato per piccoli spostamenti nell’intorno di unacondizione di equilibrio di riferimento. Data la pericolosita di tale fenomeno per l’integrita dellastruttura, e opportuno analizzare le proprieta di stabilita in piccolo del sistema aeroelasticoal variare di parametri che definiscono la condizione di volo di riferimento, quale ad esempio ilnumero di Mach M∞ e la pressione dinamica q∞.

Solo dopo avere svolto l’analisi di stabilita dinamica del sistema aeroelastico (in realta delsolo sistema strutturale, mentre e possibile osservare sperimentalmente che il sistema aerodina-mico non si instabilizza mai almeno per intervalli di tempo di lunghezza significativa dal puntodi vista ingegneristico) e possibile affrontare i problemi di risposta, quali lo studio dei carichida raffica e da manovra [5].

Nonostante la natura intrinsecamente multidisciplinare del problema aeroelastico, puo risul-tare ancora conveniente studiare separatamente il sistema strutturale ed il sistema aerodinamico,delegando successivamente allo schema di interfaccia il compito di interconnetterli in modo fles-sibile: cosı facendo e infatti possibile continuare ad utilizzare i modelli matematici ed i metodinumerici consolidati ed ormai tipici di ciascuna disciplina [11].

2.2 Il sistema strutturale

Le equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE) che governano la dinamica del sistemastrutturale possono essere facilmente ricavate a partire dal Principio dei Lavori Virtuali (PLV)come descritto piu dettagliatamente in §3.1. Scegliendo un approccio agli spostamenti, si puopensare di approssimare il campo di spostamenti incognito s(x, t) mediante un metodo alla Ritznel seguente modo:

s(x, t) ≃Ns∑

i=1

N i(x) qi(t) = [N (x) ] q(t) , (2.1)

dove la funzione di forma N i(x), dipendente unicamente dalla variabile spaziale x e scelta apriori, e l’i-esimo termine di uno sviluppo completo e rispettoso delle condizioni al contornoessenziali, mentre la coordinata libera qi(t), dipendente unicamente dalla variabile temporale t,e l’i-esimo spostamento generalizzato incognito del problema [15, 27].

Il sistema strutturale 9

Tale tecnica di separazione delle variabili permette di passare da un sistema di equazioni dif-ferenziali alle derivate parziali (PDE) al seguente sistema di equazioni differenziali alle derivateordinarie (ODE):

[ M ] q + [ C ] q + [K ] q = Q , (2.2)

dove [ M ], [ C ] e [K ] ∈ RNs×Ns sono rispettivamente le matrici di massa, smorzamento e

rigidezza generalizzati e Q(t) e il vettore delle forze esterne generalizzate. Nel caso di problemiaeroelastici esso corrisponde al vettore delle forze aerodinamiche generalizzate o GeneralizedAerodynamic Forces (GAF), costruito proiettando i carichi aerodinamici sulle funzioni di formastrutturali nel seguente modo:

Qa(t) =

∮

S[N (x) ]T fa(x, t) dS, (2.3)

dove fa(x, t) e il campo delle forze aerodinamiche per unita di superficie dS. Nell’ambito dellaaeroelasticita classica esiste un insieme di metodi numerici consolidati per calcolare i carichiaerodinamici in modo relativamente semplice direttamente nel dominio delle frequenze; puoessere dunque utile riscrivere il problema strutturale (2.2) nel dominio di Laplace come:

(s2 [M ] + s [C ] + [ K ]

)q = Q , (2.4)

dove q(s) e Q(s) sono rispettivamente le trasformate di Laplace del vettore degli spostamentigeneralizzati e delle forze esterne generalizzate.

Per risolvere numericamente il problema strutturale lo sviluppo completo delle funzioni diforma (2.1) deve essere opportunamente specificato ed in seguito troncato ad un numero finitodi termini, pari al numero di gradi di liberta strutturali Ns, scelto in funzione del grado diaccuratezza desiderato e delle caratteristiche di convergenza delle funzioni di forma. Piu inparticolare e possibile distinguere le seguenti strategie risolutive:

- Innanzitutto e possibile scegliere come termini dello sviluppo completo le funzioni di basepolinomiali lagrangiane a supporto compatto del metodo degli elementi finiti (FEM),come descritto in §3.1.1: in questo caso le coordinate libere del problema corrispondonoagli spostamenti strutturali valutati in corrispondenza dei nodi della griglia di calcolo,convenzionalmente indicati come us(t). Tuttavia il numero di gradi di liberta strutturaliche e necessario utilizzare per garantire una buona accuratezza della soluzione numericae in generale molto elevato.

- In alternativa e specialmente nelle prime fasi di progetto, e possibile scegliere come terminidello sviluppo completo i modi propri della struttura, come descritto in §3.1.2. La sceltadi tali funzioni di forma globali consente di condensare significativamente le dimensioni delproblema, rappresentando correttamente la soluzione anche con relativamente pochi ter-mini dello sviluppo completo. Inoltre, grazie alle proprieta di ortogonalita dei modi propri,le matrici di massa e rigidezza generalizzate [M ] e [K ] sono diagonali; un discorso ana-logo vale anche per la matrice di smorzamento generalizzato [C ] nel caso in cui si adottiun modello proporzionale, energeticamente equivalente alla reale dinamica (non lineare)dello smorzamento strutturale. Un ulteriore vantaggio della scelta di una base modaleconsiste nella possibilita di aggiungere od eliminare (e residualizzare) facilmente i modirigidi associati alle superfici di comando. Infine e possibile validare e tarare tale model-lo strutturale confrontandolo con i risultati delle prove di vibrazione a terra o GroundVibration Test (GVT).

10 Analisi del problema aeroelasticoreplacemen

EFEM

Modi propri

Base ibrida

us , usF as

Figura 2.2: Schematizzazione del sistema strutturale mediante il legame ingresso-uscita come nell’ambitodella teoria dei sistemi. Pensando ad una discretizzazione ad elementi finiti (FEM) del problema, il bloccoE riceve in ingresso il vettore delle risultanti delle forze aerodinamiche agenti sui nodi strutturali F a

s(t)e restituisce in uscita il vettore degli spostamenti e delle velocita dei nodi strutturali us(t) ed us(t).

- Tuttavia i modi propri non garantiscono una rapida convergenza della soluzione numericain presenza di carichi concentrati, a meno di utilizzare un numero elevato di termini dellosviluppo oppure il metodo dei modi di accelerazione: si preferisce allora estendere la basemodale aggiungendo opportune deformate statiche. La scelta di una base ibridizzata com-porta che le matrici di massa, smorzamento (se proporzionale) e rigidezza generalizzati[ M ], [C ] e [K ] non siano piu diagonali, fatto che comunque non costituisce una pena-lizzazione significativa: infatti il vantaggio principale della condensazione modale non etanto quello di diagonalizzare le matrici del problema, ma la capacita di fornire un mo-dello strutturale efficiente (fondamentale anche per l’eventuale progettazione di sistemi dicontrollo attivo).

2.3 Il sistema aerodinamico

Molti velivoli moderni, civili e militari, sono progettati per una significativa operativita inregime di moto transonico, ad un numero di Mach di volo compreso approssimativamente nel-l’intervallo M∞ ∈ (0.7, 1.3). In tale regime la soluzione del campo di moto non stazionarioattorno al velivolo ed il calcolo dei carichi aerodinamici comporta notevoli difficolta: non einfatti possibile utilizzare i modelli matematici consolidati che operano una linearizzazione delproblema nell’intorno di una condizione di riferimento nell’ipotesi di piccole perturbazioni, co-me ad esempio il Doublet Lattice Method (DLM) o il metodo di Morino, poiche possono fornirerisultati grossolanamente approssimati. Viceversa e necessario adottare modelli matematici emetodi numerici appartenenti alla classe della fluidodinamica computazionale o ComputationalFluid Dynamics (CFD) ed eventualmente effettuare a posteriori la linearizzazione (numerica)dei carichi aerodinamici.

2.3.1 Il regime di moto transonico

Per comprendere meglio la natura delle difficolta associate al regime di moto transonico puoessere utile esaminare l’evoluzione rappresentata in Figura 2.3 del campo di moto attorno ad unprofilo alare in generale non simmetrico nell’ipotesi di fluido ideale non viscoso e non conducente,all’aumentare del numero di Mach della corrente asintotica M∞ [34, 37]. Piu in particolare epossibile distinguere le seguenti fasi:

- Il limite inferiore del regime di moto transonico e il numero di Mach critico inferioreM∞, cr, definito come quel numero di Mach della corrente asintotica tale per cui, in seguitoall’espansione della corrente sul dorso del profilo alare, si raggiungono in un punto P inprossimita dell’ascissa di massimo spessore condizioni localmente soniche ovvero MP = 1.

Il sistema aerodinamico 11

ts

Bolla supersonica Onda d’urto Onda d’urto staccata

M∞ = M∞, cr + ε M∞, cr < M∞ < 1 M∞ > 1

M >1M >1M >1 M <1 M <1

M <1

Figura 2.3: Evoluzione qualitativa del campo di moto transonico attorno ad un profilo alare nonsimmetrico, all’aumentare del numero di Mach della corrente asintotica M∞.

Ovviamente tale valore dipende fortemente dalla forma del corpo e dall’angolo di incidenzae qualitativamente tende a diminuire al crescere dello spessore massimo del profilo alaree dell’angolo di incidenza.

- Per M∞ > M∞, cr, in corrispondenza del punto P si inizia a formare una regione local-mente supersonica, immersa in una corrente subsonica e delimitata da una linea sonica,chiamata bolla supersonica. Le onde di espansione che si generano lungo il tratto accele-rante del dorso del profilo alare si riflettono sulla linea sonica (a pressione costante) comeonde di compressione tra loro convergenti, che possono eventualmente coalescere prima diraggiungere la superficie del corpo e formare un’onda d’urto.

- Al crescere ulteriormente di M∞ l’estensione della bolla supersonica sul dorso aumenta,l’onda d’urto corrispondente si intensifica e si sposta verso valle. Contemporaneamenteanche sul ventre inizia a formarsi una bolla supersonica e si sviluppa rapidamente fino a chela relativa onda d’urto si posiziona in corrispondenza del bordo d’uscita del profilo alare.Se in precedenza le ipotesi di omoentropicita ed irrotazionalita della corrente si potevanoancora ritenere soddisfatte in modo approssimato, quando l’intensita e la curvatura delleonde d’urto divengono significative esse cadono definitivamente.

- Infine per M∞ > 1 la topologia della corrente cambia radicalmente: a monte del profiloalare si forma infatti un urto curvo staccato a valle del quale il flusso e subsonico, mentree supersonico in tutto il resto del campo di moto. Al crescere ulteriormente di M∞ laregione subsonica si riduce progressivamente di dimensioni, ma senza scomparire del tuttoa meno che il bordo d’attacco del profilo alare sia affilato. Contrariamente a quanto vistoin precedenza, non esiste un’altrettanto chiara definizione del limite superiore del regimedi moto transonico.

Di conseguenza il principale tratto distintivo del regime di moto transonico consiste nel-la presenza simultanea all’interno del campo di moto attorno al velivolo di regioni localmentesubsoniche e regioni localmente supersoniche (all’interno delle quali cambiano le proprieta ma-tematiche delle equazioni di governo, rispettivamente ellittiche ed iperboliche), eventualmenteseparate da fenomeni irreversibili quali onde d’urto.

Il campo di moto e reso ulteriormente complesso da fenomeni fortemente non lineari, qualil’interazione dell’onda d’urto con lo strato limite o con il movimento strutturale. Ad esempiol’onda d’urto puo favorire la transizione al regime di moto turbolento o addirittura la sepa-razione dello strato limite, che puo assumere carattere non stazionario ed indurre oscillazionisignificative sul sistema strutturale (buffeting); inoltre tale fenomeno puo accoppiarsi con il mo-vimento strutturale e produrre fenomeni di instabilita del sistema aeroelastico, come ad esempiooscillazioni significative delle superfici di controllo (aileron buzz ).


2.3.2 Modelli matematici per la soluzione del problema aerodinamico

Data la complessita del regime di moto transonico, per la soluzione del problema aerodinamicodiviene necessario adottare modelli matematici piu accurati e metodi numerici appartenenti allaclasse della fluidodinamica computazionale (CFD) [13, 24, 25]. Tutto cio comporta un aumentosignificativo del costo computazionale in termini di tempi di calcolo ed occupazione di memoriarispetto ai metodi numerici linearizzati. Affinche tali analisi siano utili nelle fasi di progetto edi verifica, ovvero in situazioni in cui e richiesta la valutazione di un numero di configurazionielevato, e allora fondamentale identificare il modello matematico ed il metodo numerico in gra-do di fornire il migliore compromesso tra accuratezza dei risultati ed efficienza di calcolo [11].Per effettuare tale scelta in modo ragionato puo essere utile presentare i modelli matematici edi relativi metodi numerici generalmente impiegati nell’ambito della aeroelasticita computazio-nale o Computational Aeroelasticity (CA). Procedendo per semplificazioni successive e possibiledistinguere:

Equazioni di Navier-Stokes Il sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE)di natura mista e non lineari che governa la dinamica di una corrente di fluido compri-mibile, viscoso e conducente puo essere scritto secondo un approccio euleriano in formadifferenziale conservativa nel seguente modo:

∂u

∂t+ ∇ · f(u) = ∇ · d(u) ∀ (x, t) ∈ V × T , (2.5)

dove V ⊆ RNd e T ⊆ R

+ sono il dominio spaziale e temporale del problema. Il vettoredelle variabili conservative u(x, t), dei flussi inviscidi f(u) e dei flussi viscosi d(u) sonodefiniti rispettivamente come:

u =

ρ

ρv

Et

, f =

ρv

ρv ⊗ v + P [ I ]

v (Et + P )

, d =

0

τ

τ · v + q

, (2.6)

dove ρ(x, t), v(x, t) e Et(x, t) sono la densita, la velocita e l’energia totale specifica perunita di volume, P (x, t), τ (x, t) e q(x, t) sono la pressione termodinamica, il tensore deglisforzi viscosi e la potenza ceduta per conduzione termica ed infine [ I ] ∈ R

Nd×Nd e lamatrice identita.

Affinche il problema (2.5) sia chiuso e necessario specificare l’equazione di stato per la pres-sione termodinamica P (x, t) e le leggi costitutive per il tensore degli sforzi viscosi τ (x, t)e per la potenza ceduta per conduzione termica q(x, t). Ipotizzando di approssimare ilcomportamento dell’aria mediante il modello termodinamico di gas ideale politropico, ov-vero a composizione costante e caratterizzato da un rapporto costante γ = CP /CV trai calori specifici a pressione e volume costanti, l’equazione di stato assume la seguenteforma molto semplice:

P = (γ − 1)E con E = Et − 1

2ρ |v|2, (2.7)

dove E(x, t) e l’energia interna specifica per unita di volume. Alternativamente e possibileadottare modelli termodinamici piu complessi, ma validi in un intervallo di temperaturepiu ampio, quali i modelli di equilibrio e non equilibrio termochimico [17].


Adottando inoltre l’ipotesi di fluido newtoniano, per cui il tensore simmetrico degli sforziviscosi e proporzionale alla velocita di deformazione, e l’ipotesi di Fourier, per cui il flussotermico e allineato con il gradiente della temperatura, e possibile scrivere:

τ =µ

2

[(∇⊗ v) + (∇⊗ v)T

]+ λ∇ · v [ I ] e q = −κ∇T, (2.8)

dove µ(T ), λ(T ) e κ(T ) sono rispettivamente i coefficienti di viscosita dinamica, viscositadi volume e conduzione termica.

Affinche il problema (2.5) sia ben posto e necessario assegnare opportune condizioni inizialie condizioni al contorno, definendo rispettivamente il valore assunto dalla soluzione in tuttoil dominio V all’istante iniziale t = 0 ovvero u(x, 0) = u0(x) ed il valore assunto dallasoluzione su tutto il contorno del dominio S = ∂V ad ogni istante di tempo t ∈ T ovverou(x ∈ S, t) = b(t). Ad esempio in corrispondenza di un contorno solido Sb, quale lasuperficie di un’ala investita da una corrente fluida, e necessario imporre la condizione alcontorno di perfetta adesione, ovvero l’annullamento della velocita locale a parete v|Sb = 0.

Tale modello matematico fornisce risultati in buon accordo con i dati sperimentali percorrenti sia laminari che turbolente; in questo secondo caso, per risolvere in modo sod-disfacente la dinamica del campo di moto caratterizzato da fluttuazioni delle variabilifisiche anche su scale molto piccole, e fondamentale adottare una discretizzazione del do-minio computazionale molto raffinata ad un costo computazionale ancora troppo elevato.Per risolvere il problema si puo allora pensare di applicare al sistema di equazioni (2.5)l’operatore di media temporale locale nello spazio, ottenendo cosı le equazioni ReynoldsAveraged Navier-Stokes (RANS). In tale formulazione le incognite del problema diventanole variabili fisiche caratteristiche del moto medio della corrente, mentre gli effetti diffusividelle fluttuazioni turbolente sono raggruppati all’interno del tensore simmetrico degli sfor-zi di Reynolds τR(x, t), solo dimensionalmente assimilabile ad uno sforzo. Per esplicitarele 6 componenti del tensore degli sforzi di Reynolds in funzione delle sole quantita mediee possibile adottare vari modelli di differente complessita, a partire da semplici modellialgebrici (ad esempio Mixing-Length), fino a modelli piu complessi che aggiungono una opiu equazioni differenziali (ad esempio Spalart-Allmaras, κ − ω, RSM ) [1].

Equazioni di Eulero Nello studio delle correnti a numero di Reynolds Re elevato attorno a corpidi forma aerodinamica e possibile considerare gli effetti dinamici della diffusione viscosae della conduzione termica confinati in uno strato sottile adiacente al corpo, detto stratolimite. Per risolvere il campo di moto all’esterno dello strato limite e possibile adottareil modello semplificato di fluido non viscoso (µ = 0 e λ = 0) e non conducente (κ = 0);tali ipotesi consentono di trascurare nelle equazioni di bilancio della quantita di motoe dell’energia i contributi associati al tensore degli sforzi viscosi e della potenza cedutaper conduzione termica. Il sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE)iperboliche e non lineari che governa la dinamica di una corrente comprimibile di fluidoideale puo essere scritto secondo un approccio euleriano in forma differenziale conservativanel seguente modo:

∂u

∂t+ ∇ · f(u) = 0 ∀ (x, t) ∈ V × T , (2.9)


+ sono il dominio spaziale e temporale del problema; il vettoredelle variabili conservative u(x, t) e dei flussi inviscidi f(u) sono sempre definiti nellarelazione (2.6).


Contrariamente a quanto visto in precedenza per assegnare le condizioni al contorno enecessario definire il valore assunto dalla soluzione solo sul bordo di inflow Sinflow, checorrisponde alla porzione del contorno lungo cui β ·n < 0, dove β e la velocita locale di ad-vezione ed n e la normale al bordo, convenzionalmente assunta positiva se uscente. Inoltrein corrispondenza di un contorno solido Sb, quale la superficie di un’ala investita da unacorrente fluida, e necessario imporre la condizione al contorno di non compenetrazione, ov-vero l’annullamento della componente normale della velocita locale a parete (v · n)|Sb = 0;in alternativa e possible assegnare un valore non nullo della velocita normale a parete Vn,detta velocita di traspirazione, in modo tale da riprodurre gli effetti geometrici e cinema-tici del movimento del contorno senza effettivamente deformare la griglia di calcolo [56],come descritto piu dettagliatemente in §8.2.Tale modello fornisce risultati in buon accordo con i dati sperimentali per quanto riguardala distribuzione di pressione sulla superficie del corpo e consente dunque di calcolare laportanza, la resistenza di pressione ed indotta, ma non la resistenza di attrito (in generaletrascurabile per ali ben fatte ad elevata efficienza aerodinamica ed angoli di incidenzamoderati). Ai fini della soluzione del problema aeroelastico e inoltre opportuno ricordareche trascurare la componente di resistenza della forza aerodinamica e un’approssimazionenon cosı grossolana: infatti la relazione (2.3) per il calcolo delle forze aerodinamichegeneralizzate corrisponde ad un operatore di media spaziale pesata sulle forme modali, cheper ali di configurazione strutturale convenzionale sono generalmente caratterizzate da unacomponente di spostamento nella direzione normale alla pianta alare significativamentemaggiore rispetto alla componente di spostamento nel piano.

Equazioni del potenziale Ipotizzando inoltre che la corrente sia irrotazionale (∇ × v = 0)e che il dominio sia semplicemente connesso, e possibile esprimere la velocita come ilgradiente di un potenziale scalare Φ(x, t), ovvero v(x, t) = ∇Φ. Ricorrendo alla relazionedi Crocco [34] e allora possibile dimostrare che la corrente e anche omoentropica, ovverodevono essere assenti fenomeni irreversibili quali onde d’urto. Di conseguenza a rigoretale modello matematico non e valido in regime di moto transonico, caratterizzato dallapresenza all’interno del campo di moto di regioni localmente supersoniche; in realta, dalmomento che la variazione di entropia attraverso un’onda d’urto cresce con la potenzacubica del numero di Mach ovvero ∆s = O(M3), tale modello matematico si puo ritenerevalido ingegneristicamente fino a numeri di Mach locali pari a circa M = 1.3 ÷ 1.4.Svolgendo i conti si ottiene la seguente equazione differenziale alle derivate parziali (PDE)non lineare e di natura mista:

∂2Φ

∂t2+

∂(∇Φ)2

∂t+ ∇Φ · ∇

(∇Φ · ∇Φ

2

)− c2 ∇2Φ = 0 ∀ (x, t) ∈ V × T , (2.10)


+ sono il dominio spaziale e temporale del problema; la velocitadel suono c(x, t) puo essere determinata in funzione del potenziale Φ(x, t), della velocitadi volo V∞ e della velocita del suono della corrente asintotica c∞, riscrivendo il teoremadi Bernoulli comprimibile non stazionario nel seguente modo:

∂Φ

∂t+

|v|22

+c2

γ − 1=

V 2∞

2+

c2∞

γ − 1. (2.11)


Rielaborando opportunamente il teorema di Bernoulli comprimibile non stazionario (2.11),

sostituendo nella relazione isoentropica P/P∞ = (T/T∞)γ

γ−1 = (c2/c2∞)

γγ−1 e svolgendo i

conti e infine possibile scrivere la seguente relazione per il recupero dei carichi:

Cp =

[1 − γ − 1

c2∞

(∂Φ

∂t+

‖v‖2 − V 2∞

2

)] γγ−1

− 1

1

2γ M2

∞

. (2.12)

Affinche il problema (2.10) sia ben posto e necessario assegnare opportune condizioniiniziali ed al contorno; ad esempio in corrispondenza di un contorno solido Sb, quale lasuperficie di un’ala investita da una corrente fluida, e necessario imporre la condizioneal contorno di non compenetrazione, ovvero l’annullamento del gradiente del potenzialeproiettato nella direzione normale al bordo (∇Φ · n)|Sb = 0. Nel caso di corpi portanti einoltre fondamentale ricordare che in corrispondenza del bordo d’uscita dell’ala si generauna scia vorticosa Sw di spessore infinitesimo sede di una discontinuita del potenziale ∆Φ.Tale salto e successivamente trasportato convettivamente verso valle, come e possibiledimostrare imponendo la condizione al contorno di scia scarica, ovvero ∆Cp|Sw = 0.

Per identificare il modello matematico che ad esempio nell’ambito di una discretizzazione avolumi finiti (FV) del problema aerodinamico e in grado di fornire il migliore compromesso traaccuratezza dei risultati ed efficienza computazionale, si puo innanzitutto pensare di confrontareil numero di variabili scalari incognite in corrispondenza di ciascuna cella della griglia di calcolo.Se nelle equazioni del potenziale completo si ha 1 sola variabile scalare incognita, nelle equazionidi Eulero esse diventano 5 ed infine fino a 11 se si sceglie di risolvere le equazioni di Navier-Stokesmediate alla Reynolds (RANS) con un modello di turbolenza raffinato (RSM).

Un ulteriore fattore discriminante e la risoluzione spaziale della griglia di calcolo: indipen-dentemente dal particolare modello matematico e infatti fondamentale che la reale geometriadel corpo sia rappresentata fedelmente per determinare in modo accurato i carichi aerodinamici.Nel caso delle equazioni di Eulero e inoltre necessario raffinare opportunamente la griglia di cal-colo in prossimita della superficie del corpo per catturare correttamente le eventuali onde d’urto.Le equazioni di Navier-Stokes risultano infine ancora piu penalizzanti in quanto e necessarioaggiungere una griglia di strato limite, generalmente costituita da celle di forma esaedrica,che solo pochi programmi commerciali [43, 44] sono in grado di generare in modo flessibile esoddisfacente.

In base a tali considerazioni, le equazioni del potenziale completo sono state storicamente ilprimo modello matematico ad essere utilizzato nell’ambito dell’aeroelasticita computazionale.Tuttavia grazie al progressivo aumento delle risorse di calcolo disponibili, oggi e possibile adot-tare anche nelle fasi di progetto e di verifica modelli matematici piu raffinati e sicuramente piuadatti allo studio del regime di moto transonico, quali le equazioni di Eulero e piu recentementeanche le equazioni di Navier-Stokes eventualmente mediate alla Reynolds (RANS).

Tenendo in considerazione esclusivamente l’accuratezza del modello matematico, la sceltacadrebbe ovviamente sulle equazioni di Navier-Stokes; tuttavia nell’affrontare problemi di inte-resse aeronautico caratterizzati da numeri di Reynolds Re elevati, corpi di forma aerodinamicaed angoli di incidenza moderati (per cui e lecito attendersi che il campo di moto non sia do-minato dagli effetti dinamici della viscosita) si puo pensare di utilizzare il modello matematicodelle equazioni di Eulero che consente di calcolare in modo soddisfacente i carichi aerodinamiciad un costo computazionale decisamente inferiore.


2.3.3 Linearizzazione numerica dei carichi aerodinamici

Ai fini della soluzione del problema aeroelastico e necessario calcolare la variazione non staziona-ria dei carichi aerodinamici rispetto ad una condizione di equilibrio di riferimento conseguente almovimento strutturale; i metodi numerici per la soluzione del problema aerodinamico consolida-ti nell’ambito della aeroelasticita classica consentono di rappresentare, direttamente nel dominiodelle frequenze nell’ipotesi di sistema lineare e tempo-invariante, la relazione tra il vettore delleforze aerodinamiche generalizzate Qa(s) e degli spostamenti generalizzati q(s) mediante lamatrice delle funzioni di trasferimento aerodinamiche [Ham(p) ] ∈ C

Ns×Ns nel seguente modo:

Qa(s) = q∞ [Ham(p,M∞, Re) ] q(s) , (2.13)

dove la frequenza ridotta complessa p = sLa/V∞ = h + ik dipende dal valore della lunghezzaaerodinamica di riferimento La (spesso assunta pari a meta della corda media aerodinamica)e della velocita di volo V∞. E inoltre esplicitata la dipendenza funzionale della matrice dellefunzioni di trasferimento aerodinamiche dal numero di Mach M∞ e dal numero di Reynolds Re.In realta [Ham(p) ] = [Ham(ik) ] = [Ham(k) ] e calcolata numericamente solo lungo l’asseimmaginario Im del campo complesso C ed e dunque necessario utilizzare opportuni metodinumerici per estenderne la conoscenza a tutto il campo complesso.

Nell’ipotesi di sistema aerodinamico asintoticamente stabile (verificata sperimentalmente)e di ingressi causali e possibile fornire una rappresentazione equivalente alla relazione (2.13)nel dominio del tempo, scrivendo il vettore delle forze aerodinamiche generalizzate Qa(t)come l’integrale di convoluzione della matrice delle risposte impulsive del sistema aerodinamico[ham(t) ] ∈ R

Ns×Ns con il vettore degli spostamenti generalizzati q(t), ovvero:

Qa(t) = q∞

∫ ∞

0

[ham(t − t′,M∞, Re)

] q(t′)

dt′. (2.14)

Supponendo che il vettore dei gradi di liberta associati alle superfici di controllo δ siacompreso all’interno del vettore degli spostamenti generalizzati q, le relazioni (2.13) ed (2.14)consentono di modellare automaticamente anche il contributo dei carichi aerodinamici associatoal movimento dei comandi di volo.

Viceversa e comodo trattare separatamente la variazione non stazionaria dei carichi ae-rodinamici rispetto ad una condizione di equilibrio di riferimento conseguente al movimentodell’aria, che convenzionalmente e chiamato raffica oppure turbolenza rispettivamente nel casoin cui esso sia modellato secondo un approccio deterministico oppure stocastico. Tale contri-buto e di fondamentale importanza per la soluzione dei problemi di risposta e dunque per lacertificazione dei velivoli, dato che le normative correnti richiedono di considerare in fase diprogetto come condizioni di carico potenzialmente dimensionanti la risposta alla raffica ed allaturbolenza. Come in precedenza e possibile scrivere il vettore delle forze aerodinamiche genera-lizzate conseguenti al movimento dell’aria Qg in funzione del vettore delle velocita di rafficaoppure del vettore delle velocita di fluttuazione turbolenta valutate in corrispondenza dei nodiaerodinamici appartenenti al contorno del corpo vg

a come:

Qg(s) = q∞ [ Hag(p,M∞, Re) ] vga(s)/V∞ , oppure: (2.15)

Qg(t) = q∞

∫ ∞

0

[hag(t − t′,M∞, Re)

] vg

a(t′)/V∞

dt′, (2.16)

dove [Hag(p) ] ∈ CNs×Nb

a ed [hag(t) ] ∈ RNs×Nb

a sono rispettivamente le matrici delle funzioni ditrasferimento e delle risposte impulsive del sistema aerodinamico associate alla raffica.


APotenziale

Eulero

Navier-Stokes

vga

ua , uaF aa

Figura 2.4: Schematizzazione del sistema aerodinamico mediante il legame ingresso-uscita come nel-l’ambito della teoria dei sistemi. Pensando ad una discretizzazione a volumi finiti (FV) del problema,il blocco A riceve in ingresso il vettore degli spostamenti e delle velocita dei nodi aerodinamici appar-tenenti al contorno del corpo ua(t) ed ua(t) e restituisce in uscita il corrispondente vettore delleforze aerodinamiche F a

a(t). Nell’ambito dei problemi di risposta e inoltre necessario aggiungere, comeun disturbo esterno agente sul sistema, il vettore delle velocita di raffica agenti sui nodi aerodinamiciappartenenti al contorno del corpo vg

a(t).

Per quanto riguarda il regime di moto transonico, in base alle osservazioni fatte in precedenzarelativamente alla variabilita delle proprieta matematiche delle equazioni di governo ed alle fortinon linearita che complicano notevolmente anche il campo di moto attorno ad un semplice profiloalare, non sembra possibile ricondurre il calcolo dei carichi aerodinamici ad un ambito lineariz-zato simile a (2.13). In realta, se il campo di moto relativo alla condizione di equilibrio di rife-rimento e certamente sede di fenomeni non lineari quali onde d’urto, lo stesso discorso non valeper la variazione non stazionaria dei carichi aerodinamici conseguente al movimento strutturale.Nell’ipotesi di piccoli spostamenti e infatti possibile osservare che un modello linearizzato nel-l’intorno della soluzione stazionaria fornisce un’approssimazione in generale buona ed in molticasi ottima [10, 28] del reale comportamento del sistema aerodinamico.

Pur in un ambito linearizzato, l’utilizzo di metodi numerici appartententi alla classe del-la fluidodinamica computazionale (CFD) consente di incrementare notevolmente l’accuratez-za dei risultati rispetto ai metodi numerici consolidati nell’ambito dell’aeroelasticita classica.La soluzione stazionaria e infatti calcolata risolvendo le equazioni di governo non lineari; inoltree possibile includere nella matrice delle funzioni di trasferimento aerodinamiche l’influenza delladeformabilita strutturale sulla posizione e sull’intensita dell’onda d’urto o gli effetti associati amanovre ad angoli di incidenza elevati.

2.3.4 Calcolo della matrice delle funzioni di trasferimento aerodinamiche

Per calcolare la matrice delle funzioni di trasferimento aerodinamiche [Ham(k) ] utilizzando imetodi numerici appartenenti alla classe della fluidodinamica computazionale (CFD) e necessa-rio svolgere un esperimento numerico concettualmente identico alla procedura sperimentale peridentificare in galleria del vento un modello di ordine ridotto o Reduced Order Model (ROM)dei carichi aerodinamici.

Innanzitutto e necessario determinare la soluzione stazionaria del problema aeroelastico,accoppiando la soluzione numerica del problema aerodinamico e la soluzione numerica del pro-blema strutturale ad esempio mediante un metodo iterativo: l’insieme dei carichi aerodinamicie della deformata strutturale a convergenza costituisce la condizione di equilibrio o trim diriferimento per la linearizzazione (numerica) dei carichi aerodinamici.


E quindi possibile calcolare numericamente la variazione non stazionaria del vettore delleforze aerodinamiche generalizzate Qa(t) conseguente ad una legge di movimento assegnata delsolo i-esimo elemento del vettore degli spostamenti generalizzati qi(t), mentre i rimanenti ele-menti sono nulli. La i-esima colonna della matrice delle funzioni di trasferimento aerodinamiche[Ham(k)|i ] corrisponde allora al rapporto tra le trasformate di Fourier del segnale in uscita edin ingresso al sistema aerodinamico, ovvero rispettivamente il vettore delle forze aerodinamichegeneralizzate Qa(t) e l’i-esimo spostamento generalizzato qi(t):

[ Ham(k)|i ] =Fk( Qa(t) )

Fk( qi(t) ), (2.17)

dove l’operatore Fk(·) e implementato numericamente in modo efficiente mediante l’algoritmodella Fast Fourier Transform (FFT). Ripetendo tale procedura per il numero di gradi di libertastrutturali Ns ed affiancando le colonne progressivamente costruite, si ottiene infine la matricedelle funzioni di trasferimento aerodinamiche [Ham(k) ].

Tale strategia risulta vantaggiosa dal punto di vista computazionale: infatti e sufficientecalcolare numericamente la risposta del sistema aerodinamico conseguente ad una variazioneimposta delle condizioni al contorno, mentre e necessario svolgere una simulazione numericaaccoppiata dell’interazione fluido-struttura o Fluid Structure Interaction (FSI) solo per il calcolodella condizione di equilibrio trimmata di riferimento.

Ovviamente la legge di movimento assegnata dell’i-esimo spostamento generalizzato qi(t)deve soddisfare alcuni requisiti, tra cui la capacita di eccitare l’intervallo di frequenze ridotte diinteresse k ∈ [ 0, kmax ] con un’ampiezza sufficiente rispetto al rumore numerico, ma contempo-raneamente tale da non invalidare l’ipotesi di piccole perturbazioni (la cui validita deve essereverificata mediante prove numeriche di linearita statica e dinamica) e la possibilita di essererealizzate numericamente ad un costo computazionale accettabile. Le leggi di movimento piucomunemente utilizzate [28] sono le seguenti:

Ingresso armonico Innanzitutto si puo pensare di fornire come segnale in ingresso al sistemaaerodinamico una legge di movimento armonica di frequenza ridotta kq ed ampiezzamassima Aq assegnate. Per il teorema della risposta in frequenza, valido per un siste-ma dinamico lineare tempo-invariante ed asintoticamente stabile, il segnale in uscita dalsistema aerodinamico e anche esso armonico ed isofrequenziale; di conseguenza e possibilecalcolare numericamente la i-esima colonna della matrice delle funzioni di trasferimentoaerodinamiche [Ham(kq)|i ] solo in corrispondenza della frequenza ridotta kq.

Tale strategia comporta un costo computazionale molto elevato, dato che e necessariorisolvere numericamente il campo di moto non stazionario attorno al velivolo per tutte lefrequenze ridotte di interesse.

Ingresso impulsivo Supponendo di fornire come segnale in ingresso al sistema aerodinamico unimpulso ideale di ampiezza infinita e durata nulla, sarebbe possibile calcolare numerica-mente la i-esima colonna della matrice delle risposte impulsive aerodinamiche [ ham(t)|i ]e successivamente, applicando la trasformata di Fourier, la i-esima colonna della matricedelle funzioni di trasferimento aerodinamiche [Ham(k)|i ] direttamente per tutte le fre-quenze ridotte di interesse. Numericamente non e tuttavia possibile realizzare un impulsoideale, ma solo un impulso reale di ampiezza e durata finite scelte opportunamente pereccitare l’intervallo di frequenze di interesse, analogamente alla procedura sperimentaledella pseudo-risposta impulsiva.


Tale strategia comporta un costo computazionale elevato, dato che e necessario utiliz-zare un intervallo di integrazione temporale molto ridotto in prossimita dell’origine perrappresentare in modo soddisfacente l’impulso reale; inoltre, a meno di prolungare note-volmente la simulazione numerica del campo di moto non stazionario attorno al velivolo,e problematico recuperare accuratamente il guadagno statico e la dinamica relativa allebasse frequenze del sistema aerodinamico.

Ingresso a scalino Per recuperare accuratamente anche il guadagno statico e la dinamica rela-tiva alle basse frequenze del sistema aerodinamico, si puo pensare di fornire come segnalein ingresso uno scalino ideale di ampiezza massima Aq assegnata.

Tale strategia e adeguata per quanto riguarda il solo contributo geometrico delle condi-zioni al contorno, proporzionale all’i-esimo spostamento generalizzato qi(t); viceversa ilcontributo cinematico delle condizioni al contorno, proporzionale anche all’i-esima velocitageneralizzata qi(t), corrisponde ad un impulso ideale difficile da realizzare numericamente.Inoltre la trasformata di Fourier del segnale in uscita e generalmente caratterizzata da fe-nomeni oscillatori di Gibbs, che impediscono di recuperare accuratamente la dinamicarelativa alle alte frequenze del sistema aerodinamico.

Per calcolare numericamente la i-esima colonna della matrice delle funzioni di trasferimen-to aerodinamiche [Ham(k)|i ] si preferisce allora depurare il segnale in uscita del valore aregime introducendo la deficency del vettore delle forze aerodinamiche generalizzate:

Da(t) = Qa(t) − Qa∞ , (2.18)

dove Qa∞ e il vettore delle forze aerodinamiche generalizzate a regime. Sostituendo

infine la relazione (2.18) nella (2.17) e moltiplicando il numeratore ed il denominatore peril fattore ik e possibile scrivere:

[Ham(k)|i ] =Qa

∞ + ikFk( Da(t) )

Aq. (2.19)

Ingresso a scalino raccordato Infine per migliorare la descrizione del transitorio aerodinamicoe di conseguenza l’identificazione del modello di ordine ridotto (ROM) per la variazionenon stazionaria dei carichi aerodinamici conseguente al movimento strutturale, e possibileassegnare all’i-esimo spostamento generalizzato qi(t) la seguente legge di movimento ascalino raccordato:

qi(τ) =

Aq

2[1 − cos(kq τ)] se τ < τq

Aq se τ ≥ τq,

(2.20)

dove il tempo adimensionale τ = t V∞/La puo essere interpretato come il numero dilunghezze aerodinamiche di riferimento La percorse nell’unita di tempo alla velocita divolo V∞. Ovviamente e fondamentale ricordare tale cambio di variabili per calcolare lai-esima velocita generalizzata qi(t), ovvero:

qi(t) =dqi(τ)

dτ

dτ

dt=

Aq kq

2

V∞

Lasin(kq τ) se τ < τq

0 se τ ≥ τq.

(2.21)


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

q(τ)

/Aq [−

]

τ [−]

τq 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

q(τ)

/Aq [1

/s]

τ [−]

˙

τq

Figura 2.5: Ingresso a scalino raccordato: e rappresentato l’andamento in funzione del tempo adi-mensionale τ dello spostamento generalizzato qi(τ) (sinistra) e della velocita generalizzata qi(τ) (destra).

La frequenza ridotta kq e la costante di tempo adimensionale τq che definiscono le carat-teristiche del raccordo sono assegnate in modo tale da eccitare l’intervallo di frequenzeridotte di interesse k ∈ [ 0, kmax ] e non dipendono dal particolare grado di liberta inesame, ovvero:

kq =π

τqe τq =

2π

kmax. (2.22)

L’ampiezza massima Aq e assegnata in modo tale da fornire in ingresso al sistema aerodi-namico un segnale sempre ben distinguibile dal rumore numerico, senza invalidare l’ipotesidi piccole perturbazioni. Supponendo ad esempio di disporre di un modello dettagliato adelementi finiti (FEM) del sistema strutturale e ricavarne un modello condensato modalemediante una matrice di trasformazione [U ] ∈ R

NF EM×Nq tale che us(t) = [U ] q(t),e ragionevole richiedere che la massima norma del vettore delle velocita nodali ||us||max

sia piccola rispetto alla velocita di volo V∞, ovvero:

||us||max

V∞= ε ≪ 1, (2.23)

dove ad esempio ε = tan(1). Svolgendo i conti e infine possibile ricavare la seguenterelazione per l’ampiezza massima Aq, che dipende dal particolare grado di liberta in esame:

Aq =4 εLa

[ ||U |i|| ]max kmax. (2.24)

L’ingresso a scalino raccordato rappresentato in Figura 2.5 consente di correggere alcunidifetti delle strategie presentate in precedenza: ad esempio eliminando la discontinuitanell’origine dello scalino ideale non si verificano fenomeni oscillatori di Gibbs. Inoltre essoe realizzabile numericamente e risulta ottimale dal punto di vista computazionale, dalmomento che non e necessario utilizzare un intervallo di discretizzazione temporale moltoridotto per riprodurre accuratamente il transitorio aerodinamico.


Per calcolare numericamente la i-esima colonna della matrice delle funzioni di trasferimen-to aerodinamiche [Ham(k)|i ] e sempre preferibile utilizzare la relazione (2.19), ricordandoil contributo al denominatore della trasformata di Fourier della deficency dell’i-esimospostamento generalizzato.

In Figura 2.6 e riportato lo schema a blocchi dell’algoritmo per costruire la matrice dellefunzioni di trasferimento aerodinamiche [Ham(k) ]. Ipotizzando di disporre di un modello det-tagliato ad elementi finiti (FEM) del sistema strutturale condensato mediante una base modaleefficiente ed opportunamente interfacciato con un modello dettagliato a volumi finiti (FV) delsistema aerodinamico, il blocco TRIM relativo al calcolo della condizione di equilibrio trimmatadi riferimento mediante un metodo iterativo ed il blocco GAF relativo al calcolo della variazio-ne non stazionaria del vettore delle forze aerodinamiche generalizzate conseguente all’i-esimospostamento strutturale possono essere ulteriormente dettagliati secondo gli schemi a blocchiriportati rispettivamente nelle Figure 2.7 e 2.8. Infine l’assemblaggio delle singole colonne del-la matrice delle funzioni di trasferimento aerodinamiche [Ham(k)|i ] e realizzato nella fase dipost-processing mediante il programma NAEMO [9].

Esaminando lo schema a blocchi riportato in Figura 2.6 e possibile osservare che le singolecolonne della matrice delle funzioni di trasferimento aerodinamiche [ Ham(k)|i ] possono esserecostruite indipendentemente le une dalle altre: per minimizzare i tempi di calcolo si puo dunquepensare di implementare una strategia di calcolo distribuito su Ns calcolatori.

i = 1 i = 2 i = Nsi = Ns − 1

· · ·

· · ·

TRIM

GAFGAF GAFGAF

FFTFFT FFTFFT

ASSEMBLAGGIO

[ Ham(k) ]

Figura 2.6: Schema a blocchi dell’algoritmo per costruire la matrice delle funzioni di trasferimentoaerodinamiche [ Ham(k) ].


SI

NO

k = k + 1

Condizioni iniziali

Solutore aerodinamico

Forze aerodinamiche F aa(k)

Interfaccia aeroelastica F as(k) = [ I ]TF a

a(k)

Forze aerodinamiche generalizzate Qa(k) = [ U ]TF as(k)

Solutore strutturale q(k) = [ K ]−1Qa(k)

Spostamenti strutturali us(k) = [ U ]q(k)

Interfaccia aeroelastica ua(k) = [ I ]us(k)

Condizioni al contorno (traspirazione/griglia deformabile)

Residuo ∆ =||Qa(k) − Qa(k−1)||

||Qa(k−1)||

∆ < ǫ ?

q(k), Qa(k)

Figura 2.7: Schema a blocchi dell’algoritmo per il calcolo della condizione di equilibrio trimmata diriferimento mediante un metodo iterativo (TRIM).


SI

NO

Spostamenti e velocita generalizzati q(k)i , q

(k)i

t(k+1) = t(k) + ∆t

Inizializzazione parametri Aq, kq

Solutore aerodinamico

Forze aerodinamiche F aa(k)

Interfaccia aeroelastica F as(k) = [ I ]TF a

a(k)

Forze aerodinamiche generalizzate Qa(k) = [ U ]TF as(k)

Spostamenti e velocita strutturali

us(k) = [ U ]1i q

(k)i

us(k) = [ U ]1i q(k)i

Interfaccia aeroelastica

ua(k) = [ I ]us(k)

ua(k) = [ I ]us(k)

Condizioni al contorno (traspirazione/griglia deformabile)

Residuo ∆ =||Qa(k) − Qa(k−1)||

||Qa(k−1)||

∆ < ǫ ?

Qa(t)

Figura 2.8: Schema a blocchi dell’algoritmo per il calcolo della variazione non stazionaria del vettoredelle forze aerodinamiche generalizzate conseguente all’i-esimo spostamento strutturale (GAF).


2.4 Interfaccia struttura–aerodinamica

Per continuare ad utilizzare i modelli matematici ed i metodi numerici consolidati ed ormaitipici di ciascuna disciplina, e conveniente studiare separatamente il sistema strutturale ed ilsistema aerodinamico; l’obiettivo dello schema di interfaccia e quello di realizzare praticamentela connessione ad anello chiuso tra i due sistemi mediante un’opportuna procedura di interpola-zione e garantire che lo scambio di informazioni avvenga in modo accurato, efficiente e flessibile.Nell’ambito del problema aeroelastico e ad esempio necessario sapere tradurre gli spostamentie le velocita strutturali in variazioni delle condizioni al contorno del sistema aerodinamico edanalogamente le forze aerodinamiche in una condizione di carico agente sul sistema strutturale.

Le complicazioni associate alla costruzione di uno schema di interfaccia sono molteplici,principalmente dovute al fatto che in ambito industriale i modelli relativi al sistema strutturaleed al sistema aerodinamico provengono spesso da dipartimenti differenti. Una prima difficoltaconsiste ad esempio nel fatto che i domini spaziali del problema strutturale e del problema ae-rodinamico generalmente non coincidono: basti pensare al caso di un’ala convenzionale per cuiil dominio spaziale del problema strutturale corrisponde al solo cassone alare, mentre il bordod’attacco ed il bordo d’uscita non sono modellati in quanto non collaboranti; viceversa la formadel bordo d’attacco e d’uscita deve essere riprodotta fedelmente per la soluzione del problema ae-rodinamico. Un’ulteriore difficolta consiste nel fatto che le strategie di discretizzazione numericadei domini spaziali del problema strutturale e del problema aerodinamico sono spesso differenti,sia per la tipologia di elementi utilizzati che per il numero ed il posizionamento dei nodi: adesempio nel caso di un velivolo completo puo essere necessario interfacciare un modello strut-turale ad elementi finiti (FEM) di trave caratterizzato da un numero di gradi di liberta ridottoNs, con un modello aerodinamico a volumi finiti (FV) caratterizzato da un numero di gradi diliberta molto elevato anche sul contorno N b

a per descrivere in modo accurato la reale geometriadel corpo [10, 12].

In generale i requisiti che uno schema di interfaccia tra il sistema strutturale ed il sistemaaerodinamico deve soddisfare per essere accurato, efficiente e flessibile sono i seguenti [11]:

- possibilita di interconnettere modelli caratterizzati da differenti domini spaziali e grigliedi calcolo (per tipologia di elementi, numero e posizionamento dei nodi);

- trattamento esatto di traslazioni e rotazioni rigide;

- conservazione della quantita di moto e dell’energia scambiate;

- possibilita di controllare la regolarita della procedura di interpolazione.

Gli ultimi due punti sono particolarmente importanti: infatti l’introduzione o l’assorbimento dienergia spuria da parte dello schema di interfaccia puo alterare significativamente le proprietadi stabilita del sistema aeroelastico (basti pensare al criterio di stabilita energetico di LyapunovdE/dt < 0, valido per sistemi dinamici non lineari tali per cui si possa definire un’energia E);inoltre una scarsa regolarita delle superfici aerodinamiche in seguito alla procedura di interpo-lazione degli spostamenti strutturali puo comportare un degrado dell’accuratezza dei risultatie delle caratteristiche di convergenza del metodo numerico, associati all’insorgere di instabilitalocali del campo di moto aerodinamico non fisiche.

Il sistema aeroelastico 25

Pensando ad esempio ad un modello strutturale ad elementi finiti (FEM) e ad un modelloaerodinamico a volumi finiti (FV), lo schema di interfaccia deve dunque garantire l’equivalenzadel lavoro virtuale compiuto dal vettore delle forze aerodinamiche F a

a(t) sul vettore deglispostamenti interpolati sui nodi aerodinamici appartenenti al contorno del corpo ua(t) e dellavoro virtuale compiuto dal vettore delle forze interpolate sui nodi strutturali F a

s(t) sulvettore degli spostamenti strutturali us(t), ovvero:

δL = δ usT F as = δ uaT F a

a. (2.25)

In generale si puo pensare di rappresentare lo schema di interfaccia mediante un operatorelineare che, noto il vettore degli spostamenti strutturali, restituisce il vettore degli spostamentiinterpolati sui nodi aerodinamici appartenenti al contorno del corpo nel seguente modo:

ua = [ I ] us , (2.26)

dove la matrice di interfaccia [I(x) ] ∈ RNb

a×Ns puo essere costruita mediante una delle stra-tegie implementative descritte in dettaglio in §8.1, tra le quali la tecnica dei minimi quadratimobili o Moving Least Squares (MLS) e certamente quella che soddisfa meglio tutti i requisiti.Sostituendo la relazione (2.26) nell’uguaglianza (2.25) e infine possibile dimostrare che:

F as = [ I ]T F a

a, (2.27)

ovvero l’operatore lineare che consente di riportare i carichi aerodinamici sui nodi strutturalicorrisponde alla matrice di interfaccia calcolata in precedenza trasposta [I(x) ]T ∈ R

Ns×Nba .

2.5 Il sistema aeroelastico

Per ricavare il sistema di equazioni integro-differenziali che governano la dinamica del sistemaaeroelastico e sufficiente esplicitare, nel sistema di equazioni differenziali ordinarie (ODE) chegovernano la dinamica del sistema strutturale (2.2), il vettore delle forze aerodinamiche genera-lizzate Qa(t) in funzione del vettore degli spostamenti generalizzati q(t) mediante il modellodi ordine ridotto (ROM) lineare del sistema aerodinamico (2.14), ovvero:

[M ] q + [C ] q + [K ] q − q∞

∫ ∞

0[ham(t − τ) ] q(τ) dτ = Qg. (2.28)

Nell’ambito dell’aeroelasticita classica e conveniente riscrivere il problema direttamente neldominio delle frequenze, passando cosı dal sistema di equazioni integro-differenziali (2.28) alseguente sistema di equazioni algebriche:

(s2 [M ] + s [C ] + [K ] − q∞ [Ham(p) ]

)q = Qg , (2.29)

dove q(s) e Qg(s) sono rispettivamente le trasformate di Laplace del vettore degli sposta-menti generalizzati e delle forze aerodinamiche generalizzate conseguenti al movimento dell’aria.

Oltre al contributo delle forze aerodinamiche generalizzate associate alla raffica puo essereconveniente, ad esempio per affrontare problemi aeroservoelastici, esplicitare il contributo delleforze aerodinamiche generalizzate conseguenti al movimento delle superfici di controllo Qδ.Se i modi rigidi di comando partecipano significativamente alla deformabilita strutturale, econcettualmente corretto che il relativo vettore dei gradi di liberta δ sia compreso all’internodel vettore degli spostamenti generalizzati q (comandi liberi).

26 Analisi del problema aeroelasticoreplacemen

E

A

FEM

Modi propri

Base ibrida

Potenziale

Eulero

Navier-Stokes

vga

ua , ua

us , us

F aa

F as

[I ][I ]T

Figura 2.9: Schematizzazione del sistema aeroelastico, realizzando praticamente la connessione ad anellochiuso tra il sistema strutturale ed il sistema aerodinamico rappresentati rispettivamente dai blocchi E e A,opportunamente interfacciati mediante la procedura di interpolazione rappresentata dalla matrice [ I ].

Viceversa, nel caso in cui il movimento delle superfici di controllo sia sufficientemente lentorispetto al tempo caratteristico dei modi deformabili del sistema strutturale, e possibile residua-lizzarne la dinamica trascurando ad esempio il contributo delle forze d’inerzia (comandi bloccati);piu in particolare conviene partizionare il sistema di equazioni algebriche (2.29) nel seguentemodo:

(s2

[[Mqq ] [Mqδ ]

[Mδq ] [Mδδ ]

]+ s

[[Cqq ] [ 0 ]

[ 0 ] [ 0 ]

]+

[[Kqq ] [ 0 ]

[ 0 ] [ 0 ]

]

−q∞

[[Ham qq(p) ] [Ham qδ(p) ]

[Ham δq(p) ] [Ham δδ(p) ]

])qδ

=

QgHδ

,

(2.30)

dove Hδ(s) e la trasformata di Laplace del vettore dei momenti di cerniera generalizzati asso-ciati alle superfici di controllo. Trascurando il contributo delle forze d’inerzia [Mqδ ]δ(t) ≪ 1,approssimazione certamente valida per superfici di controllo bilanciate staticamente, e possibileriscrivere solo le prime Nq equazioni del problema (2.30) come:

(s2 [ Mqq ] + s [ Cqq ] + [Kqq ] − q∞ [Ham qq(p) ]

)q = Qg + q∞ [ Ham qδ(p) ] δ

= Qg + Qδ.(2.31)

Le ultime Nδ equazioni del sistema (2.30) possono essere quindi trascurate per la soluzione delproblema aeroelastico, ma sono fondamentali nella fase di dimensionamento dei servocomandiper calcolare il vettore dei momenti di cerniera generalizzati Hδ(t) e verificare l’attuabilitadella legge di movimento delle superfici di controllo δ(t).

Analogamente, nel caso in cui il tempo caratteristico del sistema aerodinamico Ta = La/V∞

sia sufficientemente piccolo rispetto al tempo caratteristico della dinamica deformabile delsistema strutturale Ts = 2π/ω, si puo pensare di introdurre un’approssimazione quasi-stazio-naria del sistema aerodinamico mediante una residualizzazione dinamica di ordine opportuno.

Flutter 27

Supponendo che la condizione di volo sia fissata (elimando cosı la dipendenza funzionale dalnumero di Mach M e dal numero di Reynolds Re) e che la matrice delle funzioni di trasferi-mento aerodinamiche [Ham(p) ] sia analitica nell’intorno dell’origine p = 0 (ipotesi non sempreverificata a rigore ma valida ingegneristicamente), e possibile sviluppare la relazione (2.13)in serie di McLaurin ad esempio fino al secondo ordine nel seguente modo:

Qa(s) = q∞[Ham(p) ]q(s) ≃ q∞

([Ham(0) ]+ p[H ′

am(0) ]+p2

2[H ′′

am(0) ]

)q(s)

≃ q∞

([Ka ] + s

La

V∞[Ca ] + s2 L2

a

V 2∞

[Ma ]

)q(s),

(2.32)

dove [Ma ], [Ca ] e [Ka ] ∈ CNs×Ns sono rispettivamente le matrici di massa, smorzamento e

rigidezza aerodinamiche. L’ipotesi di analiticita della matrice delle funzioni di trasferimento ae-rodinamiche [Ham(p) ] consente di calcolarne le derivate lungo una direzione qualsiasi e dunqueanche lungo l’asse immaginario Im del campo complesso C: piu in particolare applicando unoschema approssimato a differenze finite centrate e possibile calcolare tutte le derivate fino alsecondo ordine conoscendo esclusivamente [Ham(0) ] ed [Ham(k) ] con k ≪ 1.

Passando dal dominio delle frequenze al dominio del tempo, e inoltre possibile osservare chel’approssimazione quasi-stazionaria semplifica notevolmente il problema aeroelastico: nascon-dendo infatti il contributo del sistema aerodinamico, e possibile riscrivere il sistema di equazioniintegro-differenziali (2.28) come il seguente sistema di equazioni differenziali ordinarie (ODE),evidentemente piu facili da risolvere numericamente:

([M ]−q∞

L2a

V 2∞

[Ma ]

)q+

([C ]−q∞

La

V∞[Ca ]

)q+

([K ]−q∞ [Ka ]

)q = Qg. (2.33)

2.6 Flutter

Lo studio del problema di flutter, che dal punto di vista fisico corrisponde all’insorgere dioscillazioni autoeccitate divergenti dalle conseguenze spesso catastrofiche, dal punto di vistamatematico corrisponde all’analisi delle proprieta di stabilita in piccolo del sistema aeroela-stico tempo-invariante linearizzato per piccoli spostamenti nell’intorno di una condizione diequilibrio. Infatti gli autovalori del sistema strutturale, a causa dell’interazione ad anello chiusocon il sistema aerodinamico, possono spostarsi nel semipiano destro del campo complesso C

a parte reale positiva Re > 0. Viceversa sperimentalmente e possibile osservare che gli au-tovalori del sistema aerodinamico sono sempre stabili. In tale contesto il flutter corrispondealla condizione limite di stabilita dinamica per cui alcuni autovalori del sistema aeroelasticoattraversano l’asse immaginario Im del campo complesso C, ovvero alcuni modi del sistemaaeroelastico sono caratterizzati da uno smorzamento nullo.

L’ipotesi di linearita (eventualmente locale) del sistema aeroelastico e fondamentale per con-tenere i tempi di calcolo e comporta la necessita di costruire un modello di ordine ridotto (ROM)lineare del sistema aerodinamico, rappresentato dalla matrice delle funzioni di trasferimentoaerodinamiche [Ham(p, M∞, Re) ]. Come descritto in §2.3.3, tale approssimazione e giustifica-bile anche in regime di moto transonico e nell’ambito dell’aeroelasticita computazionale (CA).


0

00

0

V∞ [m/s]

V∞ [m/s]VF

VF

ω[r

ad/s]

ωh

ωθ

g[−

]

Modo flessionale

Modo flessionale

Modo torsionale

Modo torsionale

Figura 2.10: Diagrammi qualitativi V∞ − ω (sinistra) e V∞ − g (destra) per un semplice sistemaaeroelastico a due gradi di liberta (flessione h e torsione θ).

D’altronde il sistema aeroelastico e in realta non lineare e di conseguenza ciascuna con-dizione di equilibrio dovrebbe essere analizzata singolarmente per determinare le proprieta distabilita; questo comporterebbe una dilatazione dei tempi di calcolo inaccettabile specialmentenelle fasi di progetto e verifica, ovvero in situazioni in cui e richiesta la valutazione di un numerodi configurazioni elevato. Di conseguenza le informazioni relative alla matrice delle funzioni ditrasferimento aerodinamiche [Ham(p, M∞, Re) ], calcolata in corrispondenza di una data con-dizione di equilibrio, sono estrapolate anche a configurazioni vicine, che differiscono per piccolemodifiche della corrente o delle proprieta elastiche o inerziali del sistema strutturale.

Accanto all’analisi di stabilita linearizzata, deve essere sempre possibile svolgere un espe-rimento numerico del tutto analogo ad una prova sperimentale in galleria del vento o in volo,risolvendo in modo accoppiato le equazioni di governo del sistema strutturale e del sistemaaerodinamico non linearizzato. Tale strategia consente ad esempio di cogliere il comportamen-to post-flutter del sistema aeroelastico ed e particolarmente adatto per sottoporre a verifica leconfigurazioni piu critiche [11].

2.6.1 Aeroelasticita classica

Nell’ambito dell’aeroelasticita classica, ponendosi direttamente in corrispondenza dell’asse im-maginario Im del campo complesso C per cui s = iω, e necessario risolvere il seguente sistemadi equazioni algebriche omogeneo:

(−ω2 [M ] + iω [C ] + [K ] − q∞ [Ham(k, M∞, Re) ]

)q = 0, (2.34)

che ammette soluzioni non banali se e solo se la matrice dei coefficienti [A(ω, V∞) ] e singolare.Imponendo l’annullamento della parte reale e della parte immaginaria del determinante dellamatrice dei coefficienti [A(ω, V∞) ] e possibile determinare la frequenza di flutter ωF e la velocitadi flutter VF ; successivamente e possibile determinare anche il modo di flutter q(ωF , VF ),fondamentale per comprendere quali modi del sistema strutturale vi partecipano maggiormentee sono dunque critici per la stabilita del sistema aeroelastico.

Flutter 29

Piu in generale conviene analizzare il comportamento degli autovalori del sistema aeroelasticos = σ + iω al variare di un parametro che definisce la condizione di volo di riferimento, adesempio la velocita V∞. E allora necessario risolvere il seguente sistema di equazioni algebricheomogeneo: (

s2 [M ] + s [C ] + [ K ] − q∞ [ Ham(p, M∞, Re) ])q = 0, (2.35)

che ammette soluzioni non banali se e solo se la matrice dei coefficienti [A(s, V∞) ] e singolareed e chiuso nelle incognite σ ed ω a patto di assegnare a priori la velocita V∞. Medianteun’opportuna procedura di inseguimento, che puo essere facilmente inizializzata alla velocitaV∞ = 0 in corrispondenza della quale le frequenze, lo smorzamento ed i modi del sistemaaeroelastico coincidono con quelli del solo sistema strutturale, e possibile costruire il luogodelle radici del sistema aeroelastico in funzione del parametro V∞. Convenzionalmente taliinformazioni sono riassunte nei diagrammi V∞ − ω e V∞ − g qualitativamente rappresentati inFigura 2.10, dove il fattore di smorzamento g e definito come: g = 2ξ = 2σ/

√ω2 + σ2.

La principale difficolta dello studio del problema di flutter consiste nel fatto che, a menodi ricorrere ad un’approssimazione quasi-stazionaria del sistema aerodinamico, la matrice dellefunzioni di trasferimento aerodinamiche [Ham(p, M∞, Re) ] e nota numericamente solamentelungo l’asse immaginario Im del campo complesso C per cui p = ik e non come funzione analiticadella frequenza ridotta complessa p; se anche tale funzione analitica fosse disponibile in formaesplicita, essa non sarebbe polinomiale. Di conseguenza la relazione (2.35) non rappresenta unproblema agli autovalori classico, ma e necessario ricorrere a metodi numerici ad hoc [5].

Metodo PK L’ipotesi fondamentale alla base di tale metodo e che la matrice delle funzionidi trasferimento aerodinamiche [Ham(p)], calcolata per modi puramente armonici per cuip = ik, fornisca una buona approssimazione anche per modi debolmente smorzati per cuip = ε + ik con ε ≪ 1(approssimazione certamente valida in prossimita della velocita diflutter VF ). Introducendo l’ulteriore ipotesi di analiticita, analogamente all’approssima-zione quasi-stazionaria del sistema aerodinamico, e possibile sviluppare la matrice dellefunzioni di trasferimento aerodinamiche [Ham(p) ] in serie di Taylor attorno a p0 = ik0.

Troncando ad esempio lo sviluppo in serie di Taylor al secondo ordine (per non distrug-gere la simmetria con il problema strutturale), e possibile ricavare la seguente relazione,solo formalmente identica all’approssimazione quasi-stazionaria del sistema aerodinamico:

[Ham(p) ] ≃ [Ham(ik0) ] + [H ′am(ik0) ](p − ik0) +

1

2[H ′′

am(ik0) ](p − ik0)2

≃ [Ka ] + sLa

V∞[Ca ] + s2 L2

a

V 2∞

[Ma ].

(2.36)

Tale metodo consente dunque di ricondurre il problema di flutter (2.35) ad un problemaagli autovalori classico; in realta, affinche i risultati numerici siano affidabili, e comunquenecessario implementare una procedura iterativa per risolvere il problema di allineamento,ricalcolando lo sviluppo in serie di Taylor (2.36) fino a che il baricentro degli autovaloridel sistema aeroelastico non sia sufficientemente vicino alla frequenza ridotta k0.

Inoltre la necessita di memorizzare matrici appartenenti al campo complesso C, come lematrici di massa, smorzamento e rigidezza aerodinamiche [Ma ], [Ca ] e [Ka ] ∈ C

Ns×Ns ,puo comportare una penalizzazione dal punto di vista dell’occupazione di memoria e deitempi di calcolo: per aggirare tale problema e possibile derivare una variante semplificatachiamata Metodo inglese.


Metodo non lineare Il problema di flutter (2.35) puo essere interpretato come un sistemadi Ns equazioni non lineari omogenee negli Ns modi q ed 1 autovalore s incogniti;dal momento che i modi sono definiti a meno di una costante moltiplicativa, e possibileaggiungere 1 ulteriore equazione di normalizzazione (opportunamente pesata mediante lamatrice [W ] ∈ R

Ns×Ns) che consente di chiudere il problema:

[A(s, V∞) ]q = 0

1

2qT[W ]q = 1

. (2.37)

Il sistema di equazioni non lineari cosı ottenuto puo essere risolto mediante il metodo nu-merico di Newton-Raphson, eventualmente nella versione modificata per contenere i tempidi calcolo. Linearizzando il problema (2.37) nell’intorno di una soluzione di riferimentoq0 ed s0 e svolgendo i conti, e possibile scrivere in forma compatta:

[A(s0, V∞) ]∂[A(s, V∞) ]

∂s

∣∣∣∣s0

q0

q0T[W ] 0

∆q

∆s

=

− [A(s0, V∞) ]q0

1 − 1

2q0T[W ]q0

(2.38)

Tale metodo consente di determinare contemporaneamente i modi q e l’autovalore sdel sistema aeroelastico. Mediante un’opportuna procedura di inseguimento, inizializzataalla velocita V∞ = 0 in corrispondenza della quale sono noti i modi q0 e l’autovalore s0

del solo sistema strutturale, e possibile costruire i diagrammi V∞ − ω e V∞ − g in modoautomatico, senza particolari problemi in prossimita di eventuali incroci tra le varie curve(contrariamente ai metodi presentati in precedenza).

Infine e possibile derivare una variante piu raffinata chiamata Metodo di continuazione,che consente di determinare i modi q e l’autovalore s del sistema aeroelastico insiemealle relative pendenze o sensitivita dq/dV∞ e ds/dV∞.

2.6.2 Aeroelasticita moderna

Per affrontare problemi aeroservoelastici, quali la progettazione di sistemi di controllo attivoper la soppressione del flutter o l’alleviazione dei carichi da raffica, e conveniente disporre diuna rappresentazione agli stati nel dominio del tempo del sistema aerodinamico e potere quindiutilizzare le tecniche moderne di analisi e di progetto consolidate nell’ambito della teoria deisistemi. Si parla allora di aeroelasticita moderna, per mettere in evidenza tale recente passaggiodal dominio delle frequenze, caratteristico dell’aeroelasticita classica, al dominio del tempo [11].Ad esempio e immediato ricondurre il problema di flutter ad un problema agli autovalori classico,risolvibile in SciLab mediante il comando eig, ed analogamente affrontare i problemi di rispostadirettamente nel dominio del tempo, risolvibili sempre in SciLab mediante il comando csim.

Considerando per semplicita il solo contributo dei carichi aerodinamici conseguenti al mo-vimento strutturale, e possibile costruire la seguente rappresentazione agli stati nel dominio deltempo del sistema aerodinamico:

xa = [Aa ]xa + [Ba ]q

Qa = [Ca ]xa + [Da ]q(2.39)

Flutter 31

dove [Aa ], [Ba ], [Ca ] e [Da ] ∈ RNs×Ns sono le matrici dinamiche (quadrate in questo caso

particolare avendo provvisoriamente assunto in assenza di ulteriori informazioni che l’ordinedel sistema aerodinamico Na sia pari al numero di gradi di liberta del sistema strutturale Ns)ed xa(t) e il vettore di stato. Il sistema dinamico (2.39) non e strettamente proprio a seguitodella residualizzazione della dinamica veloce del sistema aerodinamico; per aumentare l’accu-ratezza della rappresentazione agli stati e possibile estendere la residualizzazione dinamica almassimo fino al secondo ordine (per non distruggere la simmetria con il problema strutturale),accettando che il sistema dinamico (2.39) diventi improprio [5]. La relazione di uscita e alloramodificata nel seguente modo:

Qa = [Ca ]xa + [Da 0 ]q +La

V∞[Da 1 ]q +

L2a

V 2∞

[Da 2 ]q. (2.40)

Per determinare le matrici dinamiche incognite [Aa ], [Ba ], [Ca ], [Da 0 ], [Da 1 ], [Da 2 ]e necessario risolvere un problema di identificazione del modello, con l’obiettivo di minimizzareun’opportuna norma del residuo [ ε ] tra la matrice delle funzioni di trasferimento del sistemadinamico (2.40) e la matrice delle funzioni di trasferimento aerodinamiche [Ham(p, M∞, Re) ]costruita numericamente o sperimentalmente, ovvero:

[ ε ] = [Ca ] ( [ I ]p − [Aa ] )−1 [Ba ] + [Da 0 ] + [Da 1 ]p + [Da 2 ]p2 − [Ham(p, M∞, Re) ]. (2.41)

Ricordando che sperimentalmente il sistema aerodinamico e asintoticamente stabile e caratteriz-zato da risposte temporali a fronte di ingressi standard generalmente non oscillatorie, e possibilesemplificare il problema (2.41) assegnando a priori una struttura diagonale con autovalori stabilie puramente reali s ∈ R

− alla matrice [Aa ]. Tale problema di identificazione del modello e risol-to numericamente nella fase di post-processing mediante il programma MASSA [31], che richiededi definire in ingresso l’ordine del sistema aerodinamico Na (scegliendo il migliore compromes-so tra l’accuratezza dei risultati ed il costo computazionale), il metodo di parametrizzazionedelle matrici (scegliendo tra il metodo di Rogers ed il metodo di Pade) ed infine l’algoritmo diottimizzazione (scegliendo tra un algoritmo di tipo gradiente ed un algoritmo genetico).

Capitolo 3

Scelta del solutore strutturale

In questo Capitolo i modelli matematici ed i metodi numerici comunemente utilizzati per la so-luzione del problema strutturale sono presentati in §3.1, soffermandosi in particolare sul metododegli elementi finiti (FEM) e sulla tecnica di condensazione modale.

Prendendo come riferimento il solutore strutturale commerciale MSC.Nastran che costituiscelo strumento di analisi forse piu utilizzato nell’ambito dell’industria aeronautica, in §3.2 sonodefiniti i requisiti che un solutore strutturale alternativo liberamente disponibile in rete devesoddisfare. In base a tali considerazioni e possibile scegliere il solutore strutturale Code Aster,le cui caratteristiche fondamentali sono presentate in §3.3 insieme ad un esempio di utilizzo edun esempio di programmazione in linguaggio Python.

Per gestire griglie di calcolo 1D, 2D, 3D di complessita arbitraria ed eventualmente ibride,visualizzare ed elaborare i risultati numerici e fondamentale disporre di un pre/post-processoreflessibile quale ad esempio il programma Salome gratuitamente disponibile in rete, le cui carat-teristiche fondamentali sono presentate in §3.4.3.1 Definizione del problema strutturale

Le equazioni che governano la dinamica di un sistema strutturale possono essere ricavate apartire dal Principio dei Lavori Virtuali (PLV). Esso afferma che condizione necessaria e suffi-ciente per l’equilibrio statico o dinamico del sistema strutturale e che il lavoro virtuale compiutodal campo delle forze interne ed esterne, superficiali e di volume (comprese le forze d’inerzia)sul corrispondente campo degli spostamenti virtuali, ovvero infinitesimi, arbitrari, regolari econgruenti (compatibili con i vincoli assegnati a tempo fissato) sia nullo, ovvero:

∮

SδsTf dS +

∫

VδsTF dV −

∫

VδsTρsdV −

∫

Vδ ∈T Σ dV = 0, (3.1)

dove V ⊆ RNd e il dominio spaziale del problema delimitato dal contorno S = ∂V ⊆ R

Nd−1.Il campo delle forze esterne di superficie f(x, t), di volume F (x, t) e di inerzia ρ(x, t)s(x, t),dove ρ(x, t) e la densita del materiale, lavorano per l’incremento virtuale del campo di sposta-menti s(x, t); analogamente il vettore Σ(x, t), che raccoglie le sei componenti indipendentidel tensore di sforzo simmetrico di Piola-Kirchhoff II, e energeticamente coniugato con l’incre-mento virtuale del vettore ∈ (x, t), che raccoglie le sei componenti indipendenti del tensoredi deformazione simmetrico di Green-Lagrange.

33

34 Scelta del solutore strutturale

Il vettore di sforzo Σ(x, t) puo essere collegato al vettore di deformazione ∈ (x, t)mediante una legge costitutiva visco-elastica lineare, ovvero interpretando il materiale comeun sistema micromeccanico che restituisce in uscita il vettore di sforzo Σ(x, t) calcolatocome l’integrale di convoluzione della matrice delle risposte impulsive del materiale [ d(t) ]con il vettore di deformazione ∈ (x, t) in ingresso:

Σ(x, t) =

∫ ∞

0[ d(t − τ) ] ∈ (x, τ) dτ. (3.2)

La scelta di misurare le deformazioni strutturali mediante il tensore di Green-Lagrange garan-tisce che tale legge costitutiva sia oggettiva, ovvero indipendente da trasformazioni rigide delsistema di riferimento. Sperimentalmente e possibile osservare che la risposta del materiale emolto piu rapida della variazione temporale delle deformazioni dinamiche a bassa frequenza diinteresse della struttura; di conseguenza e ragionevole residualizzare dinamicamente la legge co-stitutiva visco-elastica lineare (3.2) troncando lo sviluppo al primo ordine, ovvero introducendola seguente approssimazione quasi-stazionaria:

Σ(x, t) = [D0 ] ∈ (x, t) + [ D1 ] ∈(x, t) . (3.3)

Sostituendo la relazione (3.3) nella (3.1) e ricordando che il vettore di deformazione ∈ (x, t)puo essere espresso in funzione del campo degli spostamenti s(x, t) mediante un opportunooperatore di derivazione [D ], e possibile riscrivere il Principio dei Lavori Virtuali (PLV) comeil seguente problema variazionale nel campo di spostamenti incognito s(x, t):

∫

VδsTρs dV +

∫

VδsT [D ]T [ D1 ] [D ]s dV +

∫

VδsT [ D ]T [D0 ] [D ]s dV

=

∮

SδsTf dS +

∫

VδsTF dV.

(3.4)

La scelta di una legge costitutiva del materiale visco-elastica comporta dunque la nascita diun termine di smorzamento viscoso lineare. Tuttavia un modello di questo tipo non consen-te di rappresentare fedelmente la reale dinamica dello smorzamento strutturale dominata dafenomeni locali e non lineari, come ad esempio la dissipazione coulombiana conseguente almicro-scorrimento relativo fra le parti delle giunzioni: di conseguenza generalmente si preferiscetarare il termine di smorzamento sulla base dei risultati delle prove sperimentali in modo taleda ottenere una dissipazione energeticamente equivalente alla dissipazione media reale.

Per risolvere numericamente il problema strutturale (3.4) e possibile applicare un metodoalla Ritz, che consiste nell’approssimare il campo di spostamenti s(x, t) mediante la tecnica diseparazione delle variabili come il prodotto di una base completa di funzioni di forma [ N(x) ],dipendenti dalla sola variabile spaziale x e scelte a priori in modo tale da rispettare le con-dizioni al contorno essenziali, e di un vettore di coordinate libere q(t) dipendenti dalla solavariabile temporale t ed incognite, ovvero: s(x, t) ≃ [ N (x) ] q(t). Viceversa applicando latecnica di integrazione per parti e possibile dimostrare che le condizioni al contorno naturalisono automaticamente soddisfatte scrivendo il problema strutturale (3.4) in forma variazionale.

Ad esempio il metodo degli elementi finiti (FEM) puo essere inquadrato nell’ambito deimetodo alla Ritz e consente di costruire un modello strutturale raffinato ed adatto allo studioanche della dinamica strutturale locale. Successivamente per disporre di un modello efficiente(fondamentale per la progettazione di un sistema di controllo attivo) e conveniente applicarela tecnica di condensazione modale, calcolando numericamente i modi propri e le frequenzenaturali del sistema strutturale relativi alla banda di frequenze di interesse [15, 27].

Definizione del problema strutturale 35

3.1.1 Discretizzazione ad elementi finiti

Il metodo degli elementi finiti (FEM) per risolvere numericamente il problema strutturale (3.4)consiste nell’approssimare il campo di spostamenti s(x, t) mediante la tecnica di separazione divariabili nel seguente modo:

s(x, t) ≃ [N(x) ] us(t) , (3.5)

scegliendo come termini dello sviluppo completo [N(x) ] le funzioni di base polinomiali lagran-giane a supporto compatto di ordine opportuno e come coordinate libere incognite gli sposta-menti strutturali valutati in corrispondenza dei nodi della griglia di calcolo us(t).

Sostituendo la relazione (3.5) nella (3.4) e svolgendo i conti, conviene innanzitutto ricordareche i vettori degli spostamenti, velocita ed accelerazioni nodali us(t), us(t) ed us(t)sono indipendenti dalla variabile spaziale x e possono essere dunque portati fuori dal segno diintegrale; infine, sfruttando l’arbitrarieta del vettore degli spostamenti nodali virtuali δ usT,e possibile ricavare il seguente sistema di equazioni differenziali ordinarie (ODE):

[ MF EM ] us + [CF EM ] us + [ KF EM ] us = F F EM , (3.6)

dove [MF EM ], [CF EM ] e [ KF EM ] ∈ RNF EM×NF EM sono rispettivamente le matrici (sparse)

di massa, smorzamento e rigidezza strutturali e F F EM (t) e il corrispondente vettore dellerisultanti delle forze esterne superficiali e di volume sui nodi della griglia di calcolo, ovvero:

[MF EM ] =

∫

V[N ]T ρ [ N ] dV,

[ CF EM ] =

∫

V[N ]T [D ]T [ D1 ] [D ] [N ] dV,

[KF EM ] =

∫

V[N ]T [D ]T [ D0 ] [D ] [N ] dV,

F F EM =

∮

S[ N ]T f dS +

∫

V[N ]T F dV.

(3.7)

Supponendo che la soluzione esatta sia sufficientemente regolare, e possibile dimostrare chela soluzione numerica calcolata mediante il metodo degli elementi finiti (FEM) e caraterrizzatada un ordine di accuratezza pari a O(hp), dove h e la dimensione caratteristica degli elementidi griglia e p e l’ordine delle funzioni di base polinomiali lagrangiane a supporto compatto [32].Per garantire una buona accuratezza della soluzione numerica e in generale necessario utilizzareun numero di gradi di liberta strutturali NF EM molto elevato: di conseguenza e fondamentaleavere gli strumenti necessari per gestire in modo efficiente matrici sparse di grandi dimensioni.

3.1.2 Condensazione modale

A partire dal modello dettagliato ad elementi finiti del sistema strutturale (3.6), per disporredi un modello efficiente (fondamentale per la progettazione di un sistema di controllo attivo)e possibile applicare un’opportuna tecnica di riduzione dell’ordine o condensazione, ovvero ricer-care delle funzioni di forma globali che consentano di rappresentare correttamente la soluzioneanche con pochi termini dello sviluppo completo. Ad esempio la base dei modi propri del sistemastrutturale soddisfa tali requisiti.


Trascurando per semplicita il contributo (piccolo) dello smorzamento strutturale, i modipropri del sistema strutturale possono essere calcolati risolvendo il problema strutturale (3.6)reso omogeneo e con condizioni al contorno omogenee e corrispondono agli autovettori usassociati agli autovalori ω2

0 , soluzione del seguente problema generalizzato agli autovalori:

(−ω2

0 [MF EM ] + [KF EM ])us = 0. (3.8)

Raccogliendo nella matrice di trasformazione [U ] ∈ RNF EM×Nq il sottospazio dei primi Nq

modi propri del sistema strutturale relativi alla banda delle frequenze di interesse (accettandodi recuperare staticamente il contributo della dinamica ad alta frequenza troncata, ad esempiomediante il metodo dei modi di accelerazione), e possibile riscrivere il vettore degli spostamentinodali incogniti us(t) in funzione del vettore degli spostamenti generalizzati modali q(t)nel seguente modo:

us(t) ≃ [U ] q(t) . (3.9)

Sostituendo la relazione (3.9) nella (3.6) e premoltiplicandone ciascun termine per la matricetrasposta dei modi propri del sistema strutturale [U ]T e possibile ricavare il seguente sistemadi equazioni differenziali ordinarie (ODE):

[r m r] q + [r c r] q + [r k r] q = Q , (3.10)

dove [r m r], [r c r] e [r k r] ∈ RNq×Nq sono rispettivamente le matrici (diagonali) di massa,

smorzamento e rigidezza generalizzate e Q(t) e il corrispondente vettore delle forze esternegeneralizzate, ovvero:

[r m r] = [ U ]T [MF EM ] [U ] ,

[r c r] = [ U ]T [CF EM ] [ U ] ,

[r k r] = [ U ]T [KF EM ] [U ] ,

Q = [ U ]T QF EM .

(3.11)

A rigore, grazie alla proprieta di ortogonalita dei modi propri, solo le matrici di massa e rigidez-za generalizzate [r m r] e [r k r] sono di struttura diagonale (scegliendo inoltre di normalizzare amassa generalizzata unitaria i modi propri del sistema strutturale, noti a meno di una costantemoltiplicativa, e possibile scrivere: [r m r] = [r 1 r] e [r k r] = [r ω2

0 r]). Tuttavia sperimental-mente e possibile osservare che la matrice di smorzamento generalizzata [r c r] ha una strutturatendenzialmente diagonale; tale considerazione giustifica in parte la scelta molto comune di mo-dellare il contributo dello smorzamento strutturale come proporzionale alle matrici di massa edi rigidezza, ovvero a partire dal modello dettagliato ad elementi finiti:

[CF EM ] = α[MF EM ] + β[KF EM ], (3.12)

dove i coefficienti α e β sono tarati sulla base dei risultati delle prove sperimentali in modotale da ottenere una dissipazione energeticamente equivalente alla dissipazione media reale.

Supponendo che il campo delle forze esterne superficiali e di volume agenti sul sistemasia sufficientemente regolare nello spazio, e possibile dimostrare che i modi propri del sistemastrutturale costituiscono una base molto efficiente. Viceversa, in presenza di carichi concentrati,l’ordine di convergenza della soluzione numerica degrada rapidamente e conviene ibridizzarela base modale, aggiungendovi opportune deformate statiche.

Requisiti del solutore strutturale 37

3.2 Requisiti del solutore strutturale

Per risolvere numericamente i problemi strutturali di interesse aeronautico, in ambito industrialelo strumento di analisi forse piu utilizzato e attualmente costituito dal solutore commercialeMSC.Nastran [45] prodotto dall’azienda statunitense MSC, il cui sviluppo e iniziato nel 1968in risposta ad una commessa della NASA per un software completo per l’analisi strutturale econtinua fino ad oggi con la recente versione MSC.Nastran v.68.

L’obiettivo e trovare un solutore strutturale alternativo con capacita e prestazioni confron-tabili e libero, ovvero gratuitamente disponibile in rete insieme al codice sorgente. Tale solutorestrutturale deve soddisfare i seguenti requisiti:

- capacita di gestire in modo flessibile griglie di calcolo 1D, 2D e 3D, di complessita arbi-traria ed eventualmente ibride, create nella fase di pre-processing mediante un opportunogeneratore di griglia e memorizzate secondo un formato standard;

- disponibilita di una libreria il piu possibile ampia di elementi finiti (FEM) di ordineopportuno ad esempio di trave, di piastra o membrana e di volume con cui discretizzarenumericamente il sistema strutturale;

- capacita di modellare materiali isotropi, ortotropi ed anisotropi (ad esempio materialicompositi) caratterizzati da una legge costitutiva elastico lineare oppure elastico, elasto-plastico, visco-elastico, visco-elasto-plastico non lineare;

- disponibilita di una libreria il piu possibile ampia di condizioni di carico e di vincolo, adesempio forze nodali o distribuite e spostamenti nodali assegnati;

- capacita di costruire, a partire dal modello dettagliato ad elementi finiti (FEM) del sistemastrutturale, un modello condensato modale eventualmente ibridizzato mediante opportunebasi statiche;

- capacita di risolvere problemi di risposta statica e dinamica lineari e non lineari di inte-resse industriale, sia nel dominio del tempo che nel dominio delle frequenze, e recuperaresuccessivamente le sollecitazioni strutturali;

- capacita di gestire in modo flessibile la memorizzazione dei risultati numerici secondo unformato standard nella fase di post-processing ;

- possibilita di aggiungere nuovi moduli e di interfacciare in modo flessibile il solutorestrutturale con altri programmi esterni;

- eventualmente disponibilita di moduli per riprodurre fenomeni di contatto, attrito, dannoe resistenza a fatica e per risolvere problemi di aeroelasticita statica e dinamica in ambitolinearizzato.

Il solutore strutturale Code Aster [47] soddisfa al meglio i requisiti presentati; contrariamenteal solutore strutturale MSC.Nastran non sono tuttavia disponibili moduli per risolvere numeri-camente problemi di aeroelasticita statica e dinamica in ambito linearizzato, ma solo un’inter-faccia con il solutore fluidodinamico Code Saturne per la soluzione di problemi di interazionefluido-struttura (FSI) all’interno di condotti.


3.3 Solutore strutturale Code Aster

Il solutore strutturale Code Aster e sviluppato dall’azienda francese EDF a partire dal 1989 conl’obiettivo di possedere un software per la simulazione numerica mediante il metodo degli ele-menti finiti (FEM) di problemi strutturali di interesse industriale; nel 2008 e stata rilasciatala versione corrente Code Aster v.9.2 [47], ampiamente utilizzata in ambito scientifico ed indu-striale. Dal 2001 il solutore strutturale Code Aster e liberamente disponibile in rete insiemeal codice sorgente all’indirizzo web www.code-aster.org secondo la licenza GNU General PublicLicence (GPL). Inoltre e accessibile un’ampia e dettagliata documentazione (seppure solo inlingua francese), che comprende manuali teorici, guide di utilizzo, tutorials e problemi test diverifica. L’azienda EDF ha scelto di distribuire liberamente il programma Code Aster per leseguenti ragioni:

- creare una base di utenti il piu possibile ampia per velocizzare il processo di individuazionee correzione degli errori e di ottimizzazione dell’efficienza di calcolo e contemporaneamenteper arricchire il database di problemi test di verifica;

- aumentare il livello di competenza grazie ad un’estesa collaborazione in ambito accade-mico con universita, laboratori e centri di ricerca ed in ambito industriale con aziendespecializzate;

- favorire lo sviluppo cooperativo del programma, condividendo l’esperienza e le nuovefunzionalita eventualmente implementate dai singoli utilizzatori nel maggiore numeropossibile di campi applicativi.

Il solutore strutturale Code Aster e principalmente scritto nei linguaggi Fortran 77 e Python;inoltre alcune routines per la gestione del calcolatore (processore, memoria e protocolli dicomunicazione) sono scritte in linguaggio C ed infine alcune routines di basso livello per cuie richiesta un’efficienza computazionale particolarmente elevata sono scritte direttamente inlinguaggio CAL (CRAY Assembly Language).

L’architettura generale del solutore strutturale Code Aster si basa sul requisito fondamentaleche il programma sia costituito da un insieme di controlli, ovvero funzionalita e comandi, indi-pendenti che devono potere scambiare tra loro concetti, ovvero oggetti e dati, in modo flessibilee che l’utente puo connettere a piacere. Per soddisfare tale requisito e dunque fondamentaledisporre dei seguenti elementi costitutivi:

Catalogue (catalogo) ovvero un modulo scritto in linguaggio Python in cui sono elencate ledefinizioni di tutti i comandi disponibili; piu in particolare e possibile distinguere i comandiper la gestione dell’esecuzione del programma principale, i comandi di base per la soluzionedel problema strutturale (ad esempio la libreria degli elementi finiti) ed infine i macro-comandi che raccolgono una serie di istruzioni di base per semplificarne l’utilizzo da partedell’utente (ad esempio le routines per l’assemblaggio delle matrici globali).

Superviseur (supervisore) ovvero un modulo scritto in linguaggio Fortran 77 per la gestionedell’esecuzione del programma principale; piu in particolare esso ha la responsabilita disvolgere in sequenza le seguenti operazioni:

1. interpretazione dei macro-comandi DEBUT( ), POURSUITE( ) e FIN( ), rispettiva-mente per inizializzare, riprendere ed infine terminare l’esecuzione del programmaprincipale;

Solutore strutturale Code Aster 39

· · ·

DEBUT( )

FIN( )

Lista dei comandi JDC

Catalogue

Superviseur

Jeveux

CalcoloComando #1

Comando #2

Comando #N

controllo sintassi

traduzione comandi

gestione esecuzione

esecuzione operazioni

gestione memoria

Figura 3.1: Schema a blocchi che riassume il funzionamento del solutore strutturale Code Aster.

2. accesso ai databases LOCALE, VOLATILE e GLOBALE riservati dal gestore di memoriaJeveux ed al catalogo dei comandi disponibili;

3. lettura del file dei comandi fornito in ingresso dall’utente per eliminare i commenti,verificare la correttezza della sintassi ed infine tradurre i macro-comandi in operazionielementari;

4. valutazione delle espressioni numeriche e richiesta di esecuzione delle singole opera-zioni elementari, verificando che lo svolgimento sia andato a buon fine.

Jeveux (io voglio) ovvero un modulo scritto in linguaggio Fortran 77 per la gestione della me-moria statica e dinamica; piu in particolare, dopo aver allocato sin dall’inizio l’intera areadi memoria riservata al programma principale, esso ha la responsabilita di creare, distrug-gere, accedere, copiare ed eventualmente salvare su disco gli oggetti ed i dati. Ogni oggettoha inoltre un’immagine virtuale su disco in modo tale da potere affrontare una richiestaparticolare di memoria senza interrompere l’esecuzione del programma principale.

Per risolvere numericamente un problema strutturale mediante il programma Code Aster in-nanzitutto e necessario creare il caso, ovvero l’insieme di informazioni che l’utente deve fornirein ingresso al solutore; ipotizzando di utilizzare il sistema operativo Linux e di porsi all’inter-no della cartella $MYPATH/TestProblem, dove $MYPATH corrisponde al percorso assoluto dellacartella di lavoro, e necessario definire i seguenti files:

TestProblem.export in cui sono definiti i parametri relativi all’esecuzione del programma prin-cipale (ad esempio le istruzioni di debugging) ed i parametri relativi alle risorse del cal-colatore da destinare alla soluzione del problema (ad esempio il numero di processori,la memoria riservata ed il tempo massimo di calcolo). Infine e specificato il percorsoassoluto dei files in ingresso relativi alla griglia di calcolo e alla lista dei comandi e deifiles in uscita relativi ai risultati numerici e alla lista degli eventuali messaggi di errore.La scrittura di tale file e facilitata mediante la Graphical User Interface (GUI) Astk.


TestProblem.mail in cui sono memorizzati in formato di testo i nodi, gli elementi, la connet-tivita e gli eventuali gruppi di nodi ed elementi della griglia di calcolo; alternativamentenel caso di geometrie particolarmente complesse conviene appoggiarsi a programmi esterniper la generazione della griglia di calcolo che forniscono in uscita i files in formato binarioTestProblem.msh (ad esempio Gmsh [7]) o TestProblem.med (ad esempio Salome [52]);

TestProblem.comm ovvero un modulo scritto in linguaggio Python in cui sono elencati i macro-comandi insieme ai relativi commenti, che successivamente il Superviseur si preoccupa ditradurre nella lista dei comandi elementari o Jeu de Commandes (JDC). La scritturadi tale file e facilitata mediante la Graphical User Interface (GUI) Eficas, che svolge unprimo controllo della sintassi; tuttavia per aggiungere nuovi macro-comandi ed istruzioniin linguaggio Python e comunque necessario modificare manualmente tale file.

Durante l’esecuzione del programma sono inoltre creati all’interno della cartella di lavoro i filesrelativi ai risultati numerici (in formato di testo TestProblem.resu o binario TestProblem.med)e alla lista degli eventuali messaggi di errore TestProblem.erre.

3.3.1 Esempio di utilizzo di Code Aster

Per illustrare meglio il funzionamento del solutore strutturale Code Aster e contemporaneamenteintrodurre i macro-comandi e le variabili piu comunemente utilizzate, puo essere convenienteaffrontare un problema di verifica molto semplice di cui sia nota la soluzione analitica.

Prendendo in esame la trave rappresentata in Figura 3.2 omogenea in acciaio (densitaρ = 7800 kg/m3, modulo di Young E = 2.1 · 1011 Pa e coefficiente di Poisson ν = 0.3),a sezione circolare cava di raggio R = 0.15 m e spessore e = 0.03 m, di lunghezza L = 10 m,appoggiata-appoggiata a flessione ed incastrata-incastrata a torsione, si richiede di calcolarenumericamente i primi Nq = 10 modi propri e frequenze naturali flessionali e torsionali ela deformata statica flessionale e torsionale conseguente all’applicazione della forza F = 2500 Ne del momento torcente M = 5000 Nm in corrispondenza della sezione di mezzeria.

e

Rx

y

y

z z

L

m, I, EJ, GJ

MF

=

=

sx = 0

sy = 0

sz = 0

θx = 0

sx = 0

sy = 0

sz = 0

θx = 0

Figura 3.2: Schematizzazione del problema molto semplice scelto per illustrare meglio il funzionamentodel solutore strutturale Code Aster.


Per valutare la bonta del solutore strutturale Code Aster si richiede inoltre confrontare imodi propri e le frequenze naturali calcolate numericamente con la soluzione esatta delle equa-zioni differenziali alle derivate parziali (PDE) che governano la dinamica flessionale e torsionaledella trave, ovvero:

Flessione: zi(x) =

√2

mLsin(iπx) e ωz i =

i2π2

L2

√EJ

m(3.13a)

Torsione: θi(x) =

√2

ILsin(iπx) e ωθ i =

iπ

L

√GJ

I, (3.13b)

dove i modi propri sono normalizzati a massa generalizzata unitaria. Analogamente si richiede diconfrontare la deformata statica flessionale e torsionale calcolata numericamente con la soluzioneesatta delle equazioni differenziali ordinarie (ODE) del metodo della linea elastica, ovvero:

Flessione: z(x) =F

12EJ

(3

4L2x − x3

)se x ≤ L

2(3.14a)

Torsione: θ(x) =M

2GJx se x ≤ L

2. (3.14b)

Sono di seguito riportati, insieme ad una breve descrizione dei macro-comandi e delle variabilimaggiormente utilizzate, tutti i files che l’utente deve fornire in ingresso al solutore strutturaleCode Aster per risolvere numericamente tale problema test.

TestProblem.export

Definizione dei parametri relativi alla compilazione e all’esecuzione del programma principale.

P actions make_etude

P version STA9.1

P debug nodebug

P mode interactif

A rep_mat ~/Aster/STA9.1/materiau

Definizione dei parametri relativi alle risorse del calcolatore da destinare alla soluzione delproblema, ovvero numero di processori ncpu, memoria riservata memjeveux e tempo massimosi calcolo tpmax.

P ncpus 1

A memjeveux 8.0

A tpmax 60

Definizione del tipo, del percorso assoluto e dell’unita di accesso dei files in ingresso relativi allagriglia di calcolo TestProblem.mail e alla lista dei comandi TestProblem.comm.

F mail $MYPATH/TestProblem/TestProblem.mail D 20

F comm $MYPATH/TestProblem/TestProblem.comm D 1

Definizione del tipo, del percorso assoluto e dell’unita di accesso dei files in uscita relativi aglieventuali messaggi di errore TestProblem.erre ed ai risultati numerici TestProblem.resu.

F mess $MYPATH/Example/TestProblem.mess R 6

F erre $MYPATH/Example/TestProblem.erre R 9

F resu $MYPATH/Example/TestProblem.resu R 8


TestProblem.mail

Definizione delle coordinate degli Nn = 21 nodi COOR 3D della griglia di calcolo.

COOR_3D % 21 NOEUDS

% ID_NO X Y Z

N01 0.0 0. 0. % INCASTRO

N02 0.5 0. 0.

N03 1.0 0. 0.

N04 1.5 0. 0.

N05 2.0 0. 0.

N06 2.5 0. 0.

N07 3.0 0. 0.

N08 3.5 0. 0.

N09 4.0 0. 0.

N10 4.5 0. 0.

N11 5.0 0. 0. % MEZZERIA

N12 5.5 0. 0.

N13 6.0 0. 0.

N14 6.5 0. 0.

N15 7.0 0. 0.

N16 7.5 0. 0.

N17 8.0 0. 0.

N18 8.5 0. 0.

N19 9.0 0. 0.

N20 9.5 0. 0.

N21 10.0 0. 0. % ESTREMO

FINSF

Definizione della connettivita degli Ne = 20 elementi SEG2 della griglia di calcolo.

SEG2 % 20 MAILLES

% ID_MA EndA EndB

E01 N01 N02

E02 N02 N03

E03 N03 N04

E04 N04 N05

E05 N05 N06

E06 N06 N07

E07 N07 N08

E08 N08 N09

E09 N09 N10

E10 N10 N11

E11 N11 N12

E12 N12 N13

E13 N13 N14

E14 N14 N15

E15 N15 N16

E16 N16 N17

E17 N17 N18

E18 N18 N19

E19 N19 N20

E20 N20 N21

FINSF


Definizione dei gruppi di nodi TOUT NO, INCASTRO, ESTREMO e MEZZERIA e del gruppo di elementiTOUT MA della griglia di calcolo, termine del file.

GROUP_NO NOM = TOUT_NO

N01 N02 N03 N04 N05 N06 N07 N08

N09 N10 N11 N12 N13 N14 N15 N16

N17 N18 N19 N20 N21

FINSF

GROUP_MA NOM = TOUT_MA

E01 E02 E03 E04 E05 E06 E07 E08

E09 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16

E17 E18 E19 E20

FINSF

GROUP_NO NOM = INCASTRO

N01

FINSF

GROUP_NO NOM = ESTREMO

N21

FINSF

GROUP_NO NOM = MEZZERIA

N11

FINSF

FIN

TestProblem.comm

Inizializzazione dell’applicazione, caricamento della griglia di calcolo MA memorizzata in formatodi testo nel file TestProblem.mail.

DEBUT( )

MA = LIRE_MAILLAGE( )

Definizione del modello di trave MO secondo l’ipotesi di Eulero-Bernoulli POU D E, assegnamentoal gruppo di elementi di griglia TOUT MA delle caratteristiche CAELE degli elementi finiti di travePOUTRE a sezione uniforme circolare cava di raggio R e spessore EP.

MO = AFFE_MODELE( MAILLAGE = MA,

AFFE = _F( GROUP_MA = ’TOUT_MA’,

PHENOMENE = ’MECANIQUE’,

MODELISATION = ’POU_D_E’) )

CAELE = AFFE_CARA_ELEM( MODELE = MO,

POUTRE = _F( GROUP_MA = ’TOUT_MA’,

SECTION = ’CERCLE’,

CARA = ( ’R’, ’EP’ ),

VALE = ( 0.15, 0.03 ) ) )

Definizione del modello di materiale MAT elastico lineare, del modulo di Young E, del coefficientedi Poisson NU e della densita RHO, assegnamento al gruppo di elementi di griglia TOUT MA

del materiale CHMAT.

MAT = DEFI_MATERIAU( ELAS = _F( E = 2.1E+11,

NU = 0.3,

RHO = 7800.0 ) )

CHMAT = AFFE_MATERIAU( MAILLAGE = MA,

AFFE = _F( GROUP_MA = ’TOUT_MA’,

MATER = MAT ) )


Definizione delle condizioni al contorno CHBC di spostamento imposto in corrispondenza deinodi INCASTRO ed ESTREMITA e della condizione di carico CHLO di forze e momenti concentratiFORCE NODALE in corrispondenza del nodo MEZZERIA.

CHBC = AFFE_CHAR_MECA( MODELE = MO,

DDL_IMPO = ( _F( GROUP_NO = ’INCASTRO’,

DX = 0., DZ = 0., DRX = 0. ),

_F( GROUP_NO = ’ESTREMO’,

DX = 0., DZ = 0., DRX = 0. ),

_F( GROUP_NO = ’TOUT_NO’,

DY = 0., DRZ = 0. ) ) )

CHLO = AFFE_CHAR_MECA( MODELE = MO,

FORCE_NODALE = _F( GROUP_NO = ’MEZZERIA’,

FX = 0., FY = 0., FZ = 2500.,

MX = 5000., MY = 0., MZ = 0. ) )

Calcolo delle matrici di rigidezza MATLOCK e di massa MATLOCM locali, definizione della numera-zione globale dei gradi di liberta ed assemblaggio delle matrici di rigidezza MATASSK e di massaMATASSM globali.

MATLOCK = CALC_MATR_ELEM( MODELE = MO,

CHARGE = CHBC,

CARA_ELEM = CAELE,

CHAM_MATER = CHMAT,

OPTION = ’RIGI_MECA’ )

MATLOCM = CALC_MATR_ELEM( MODELE = MO,

CHARGE = CHBC,

CARA_ELEM = CAELE,

CHAM_MATER = CHMAT,

OPTION = ’MASS_MECA’ )

NUM = NUME_DDL( MATR_RIGI = MATLOCK )

MATASSK = ASSE_MATRICE( MATR_ELEM = MATLOCK,

NUME_DDL = NUM )

MATASSM = ASSE_MATRICE( MATR_ELEM = MATLOCM,

NUME_DDL = NUM )

Calcolo dei primi NMAX FREQ modi propri e relative frequenze naturali MD mediante il metodo diLanczos TRI DIAG e normalizzazione a massa generalizzata unitaria MASS GENE.

MD = MODE_ITER_SIMULT( MATR_A = MATASSK,

MATR_B = MATASSM,

METHODE = ’TRI_DIAG’,

CALC_FREQ = _F( OPTION = ’PLUS_PETITE’,

NMAX_FREQ = 10 ) )

MD = NORM_MODE( reuse = MD,

MODE = MD,

NORME = ’MASS_GENE’ )

Calcolo della risposta statica SOL del modello di trave MO soggetto alle condizioni al contornoCHBC e alle condizioni di carico CHLO.

SOL = MECA_STATIQUE( MODELE = MO,

CHAM_MATER = CHMAT,

CARA_ELEM = CAELE,

EXCIT = ( _F( CHARGE = CHBC ),

_F( CHARGE = CHLO ) ) )


Scrittura in formato di testo sul file Example.resu dei risultati numerici dell’analisi modale MD

e dell’analisi statica SOL, termine dell’applicazione.

IMPR_RESU( RESU = _F( RESULTAT = MD, TOUT_PARA = ’OUI’, TOUT_CHAM = ’OUI’ ) )

IMPR_RESU( RESU = _F( RESULTAT = SOL, TOUT_PARA = ’OUI’, TOUT_CHAM = ’OUI’ ) )

FIN()

Per lanciare il solutore strutturale Code Aster e necessario porsi all’interno della cartelladi lavoro $MYPATH/TestProblem ed eseguire dal terminale dei comandi la seguente istruzione:∼/Aster/ASTK/ASTK SERV/bin/as run TestProblem.export, che richiede un tempo di calcolopari a CPUtime = 3.67 s su un computer ASUS M6000 con processore Intel Pentium-M da1.8 GHz di frequenza massima, 1 Gbyte di memoria RAM, 2 Mbyte di cache L2 e sistemaoperativo Linux con kernel aggiornato alla versione 2.6.17.

Infine sono di seguito riportati i risultati numerici relativi al calcolo dei modi propri edelle deformate statiche flessionale e torsionale della trave rappresentata in Figura 3.2 ottenutimediante il solutore strutturale Code Aster; esaminando la Tabella 3.1 e le Figure 3.3 e 3.4e possibile osservare che sussiste un ottimo accordo con le rispettive soluzioni analitiche.

Code Aster Soluzione analitica Errore %

ωz i [ rad/s ] 49.1865 49.1864 8.8824 · 10−7

ωθ i [ rad/s ] 1011.9824 1010.9404 1.0307 · 10−3

z(L/2) [m ] 1.0565 · 10−3 1.0565 · 10−3 1.1224 · 10−6

θ(L/2) [ ] 1.8887 · 10−2 1.8887 · 10−2 1.1832 · 10−6

Tabella 3.1: Confronto tra i risultati numerici ottenuti mediante il solutore strutturale Code Astere la soluzione analitica.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 2 4 6 8 10

z 1 [−

]

x [m]

× 10−2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 2 4 6 8 10

ϑ1 [−

]

x [m]

× 10−1

Figura 3.3: Confronto tra i risultati numerici () e la soluzione analitica (−) per la prima formamodale flessionale z1(x) (sinistra) e la prima forma modale torsionale θ1(x) (destra) normalizzate amassa generalizzata unitaria.


0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10

z [m

]

x [m]

× 10−4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 2 4 6 8 10

ϑ [°

]

x [m]

× 10−4

Figura 3.4: Confronto tra i risultati numerici () e la soluzione analitica (−) per la deformata staticaflessionale z(x) (sinistra) e la deformata statica torsionale θ(x) (destra).

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10

Tz [N

]

x [m]

× 103

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

0 2 4 6 8 10

My [N

m]

x [m]

× 103

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 2 4 6 8 10

Mx [N

m]

x [m]

× 103

Figura 3.5: Confronto tra i risultati numerici EndB () e la soluzione analitica (−) per le azioni internedi taglio Tz(x) (sinistra), momento flettente My(x) (centro) e momento torcente Mx(x) (destra).

3.3.2 Esempio di programmazione in Code Aster

Con riferimento all’esempio precedente, si richiede di ripetere il calcolo numerico della defor-mata statiche flessionale e torsionale della trave rappresentata in Figura 3.2, implementandoin linguaggio Python un nuovo macro-comando chiamato AFFE LOAD che consenta di importarele condizioni di carico di forza e momento concentrate memorizzate in formato di testo nelfile TestProblem.load. Oltre a fornire un valido esempio della programmabilita in linguaggioPython del solutore strutturale Code Aster, tale applicazione e fondamentale nell’ambito dellasoluzione numerica diretta accoppiata del problema aeroelastico per integrare in modo flessibileed efficiente il solutore strutturale Code Aster con il solutore aerodinamico AeroFoam.

Sono di seguito riportati, insieme ad una breve descrizione dei macro-comandi e delle variabilimaggiormente utilizzate, tutti i files che l’utente deve modificare o aggiungere rispetto all’e-sempio precedente per risolvere numericamente tale problema mediante il solutore strutturaleCode Aster. Per quanto riguarda il file TestProblem.comm sono riportati solamente i blocchi diistruzioni che devono essere modificati, ovvero il blocco relativo al caricamento del nuovo macro-comando AFFE LOAD, semplicemente da aggiungere all’inizio del file, ed il blocco relativo alladefinizione della condizione di carico, da sostituire all’istruzione CHLO = AFFE CHAR MECA(. . .).


TestProblem.comm

Assegnamento alle variabili PATH e FILENAME del percorso assoluto rispettivamente della car-tella di lavoro e del file TestProblem.load, caricamento del nuovo macro-comando AFFE LOAD

scritto in linguaggio Python nel file affe load.py.

PATH = ’$MYPATH/TestProblem/’

FILENAME = PATH + ’TestProblem.load’

import sys

sys.path.append(PATH)

from affe_load import AFFE_LOAD

Caricamento delle condizioni di carico CHLO di forza e momento concentrati memorizzate informato di testo nel file TestProblem.load.

CHLO = AFFE_LOAD( MODELE = MO,

NOM_FICHIER = FILENAME )

TestProblem.load

Definizione delle forze FX, FY, FZ e dei momenti MX, MY, MZ concentrati in corrispondenza diogni ID NO nodo della griglia di calcolo.

% ID_NO FX FY FZ MX MY MZ

N11 0. 0. 2500. 5000. 0. 0.

affe load.py

Caricamento del catalogo dei macro-comandi Cata del solutore strutturale Code Aster, accessoai comandi di base F ed UTMESS.

from Cata.cata import *

from Accas import _F

from Utilitai.Utmess import UTMESS

Definizione della funzione ausiliaria read load scritta in linguaggio Python, che riceve iningresso il nome del file relativo alla condizione di carico NOM FICHIER e restituisce in uscita lastruttura load.

def read_load(NOM_FICHIER):

# Read number of lines of file NOM_FICHIER

f = open(NOM_FICHIER, ’r’)

N_l = 0

for line in f.readlines():

if line.split()[0][0] != ’%’:

N_l = N_l + 1

f.close()

# Check for errors

if N_l == 0:

raise AsException("Error: NOM_FICHIER is empty.")

return 0


# Initialize load structure

load = ’node’ : [None]*N_l,

’Fx’ : [None]*N_l,

’Fy’ : [None]*N_l,

’Fz’ : [None]*N_l,

’Mx’ : [None]*N_l,

’My’ : [None]*N_l,

’Mz’ : [None]*N_l

# Read data from file NOM_FICHIER

f = open(NOM_FICHIER, ’r’)

k = 0

for line in f.readlines():

if line.split()[0][0] != ’%’:

load[’node’][k] = line.split()[0]

load[’Fx’][k] = float(line.split()[1])

load[’Fy’][k] = float(line.split()[2])

load[’Fz’][k] = float(line.split()[3])

load[’Mx’][k] = float(line.split()[4])

load[’My’][k] = float(line.split()[5])

load[’Mz’][k] = float(line.split()[6])

k = k + 1

f.close()

# Return load structure

return load

Definizione della funzione che implementa il corpo principale della nuova macro affe load ops

scritta in linguaggio Python, che riceve in ingresso il modello MODELE, il nome del file relati-vo alla condizione di carico NOM FICHIER ed infine il flag relativo al livello di verbosita INFO

e restituisce in uscita la condizione di carico CHLO, richiamando al suo interno il macro-comandoAFFE CHAR MECA.

def affe_load_ops(self, MODELE, NOM_FICHIER, INFO, **args):

# Define output and initialize error counter

self.set_icmd(1)

self.DeclareOut(’CHLO’, self.sd)

ier = 1

# Check for errors

if not MODELE:

UTMESS(’F’, macro, ’Error: MODELE not specified.’)

return ier

if not NOM_FICHIER:

UTMESS(’F’, macro, ’Error: NOM_FICHIER not specified.’)

return ier

# Call function read_load

load = read_load(NOM_FICHIER)

# Get dimensions

N_n = len(load[’node’][:])


# Print info

if INFO == 2:

print ’------------------------------------------------------------------’

print ’ AFFE_LOAD ’

print ’------------------------------------------------------------------’

print ’ NOM_FICHIER = ’ + NOM_FICHIER

print ’ ’

for k in range(0, N_n):

print ’ ’ + load[’node’][k]

print ’ Fx = ’ + str(load[’Fx’][k])

print ’ Fy = ’ + str(load[’Fy’][k])

print ’ Fz = ’ + str(load[’Fz’][k])

print ’ Mx = ’ + str(load[’Mx’][k])

print ’ My = ’ + str(load[’My’][k])

print ’ Mz = ’ + str(load[’Mz’][k])

print ’ ’

print ’------------------------------------------------------------------’

# Import macro-command AFFE_CHAR_MECA from Catalogue

AFFE_CHAR_MECA = self.get_cmd(’AFFE_CHAR_MECA’)

# Call macro-command AFFE_CHAR_MECA

CHLO = AFFE_CHAR_MECA( MODELE = MODELE,

FORCE_NODALE = ( [ _F( NOEUD = load[’node’][k],

FX = load[’Fx’][k],

FY = load[’Fy’][k],

FZ = load[’Fz’][k],

MX = load[’Mx’][k],

MY = load[’My’][k],

MZ = load[’Mz’][k] )

for k in range(0, N_n) ] ) )

# Update and return error counter

ier = 0

return ier

Creazione del nuovo macro-comando AFFE LOAD, integrazione della funzione affe load ops

scritta in linguaggio Python, definizione del nome e del tipo delle variabili in ingresso, ovveroil modello MODELE, il nome del file relativo alla condizione di carico NOM FICHIER ed infine ilflag relativo al livello di verbosita INFO.

AFFE_LOAD = MACRO( nom = "AFFE_LOAD",

op = affe_load_ops,

sd_prod = char_meca,

fr = "Read from file the nodal load ditribution",

MODELE = SIMP( statut = ’o’,

typ = modele_sdaster ),

NOM_FICHIER = SIMP( statut = ’f’,

typ = ’TXM’,

fr = "Name of the NOM_FICHIER" ),

INFO = SIMP( statut = ’f’,

typ = ’I’,

defaut = 1 ,

into = (1,2) ) )


3.4 Pre/Post–processore Salome

Il pre/post-processore Salome e sviluppato in linguaggio C++ e Python dalle aziende francesiOpenCASCADE ed EDF a partire dal 2000, con l’obiettivo di integrare in un’unica piattafor-ma multidisciplinare molti programmi esterni liberamente disponibile in rete sia per la fase dipre-processing, ovvero la costruzione del modello CAD e la generazione della griglia di calcolo,che per la fase di post-processing, ovvero la visualizzazione e l’elaborazione dei risultati numerici.Nel 2008 e stata rilasciata la versione corrente Salome v.3.2.6 [52] ampiamente utilizzata inambito scientifico ed industriale e, contrariamente al programma commericiale concorrenteFEMAP v.9.2 [42], gratuitamente disponibile in rete insieme al codice sorgente e ad un’am-pia e dettagliata documentazione all’indirizzo web www.salome-platform.org secondo la licenzaGNU Lesser General Public Licence (LGPL).

L’architettura generale del pre/post-processore Salome si basa sul requisito fondamentaleche il programma sia flessibile e modulare, ovvero personalizzabile in funzione della particolareappplicazione. Piu in particolare e possibile distinguere i seguenti elementi costitutivi:

Geometry ovvero un modulo che consente di importare ed esportare modelli CAD nei formatistandard BREP, IGES e STEP, fornendo inoltre tutti gli strumenti necessari per modifi-carne ed ottimizzarne la geometria.

Mesh ovvero un modulo che consente di generare griglie di calcolo 1D, 2D e 3D di complessitaarbitraria ed eventualmente ibride appoggiandosi a molti programmi esterni (ad esempioNetgen [36]). Inoltre e possibile importare ed esportare griglie di calcolo nei formati binaristandard IDEAS e MED.

Post-Pro ovvero un modulo che consente di importare i risultati numerici nel formato binariostandard MED ed elaborarli in forma tabulare e graficamente. Tale formato binario stan-dard MED e particolarmente comodo per interfacciare il solutore strutturale Code Astercon il pre/post-processore Salome.

Inoltre, grazie alla disponibilita del codice sorgente, e relativamente facile costruire moduliaggiuntivi per integrare direttamente gli strumenti di analisi numerica; ad esempio e attualmentein fase di sviluppo da parte dell’azienda francese EDF un modulo (commerciale) per interfacciareil solutore strutturale Code Aster con il pre/post-processore Salome.

Figura 3.6: Esempio di utilizzo del modulo Geometry (sinistra) e del modulo Post-Pro (destra) delpre/post-processore Salome.

Capitolo 4

Problemi di verifica strutturali

In questo Capitolo il solutore strutturale Code Aster e messo alla prova affrontando alcuniproblemi di verifica di complessita crescente, in Nd = 2 e Nd = 3 dimensioni spaziali su grigliedi calcolo in generale poliedriche strutturate e non strutturate. Piu in particolare l’obiettivoe valutare l’accuratezza dei risultati numerici ottenuti con riferimento ai risultati sperimentalie numerici eventualmente reperibili in Letteratura ed ai risultati numerici ottenuti mediante ilsolutore strutturale commerciale MSC.Nastran [45].

Dapprima in §4.1 la soluzione numerica della deformata statica del modello strutturalead elementi finiti (FEM) di trave (per i correnti) e di piastra (per i pannelli e le centine)di un cassone alare e confrontata con i risultati numerici ottenuti mediante MSC.Nastran;successivamente in §4.2 e affrontato il problema della taratura del modello strutturale ad ele-menti finiti (FEM) di piastra dell’ala AGARD 445.6 con riferimento ai risultati sperimentalidelle prove di vibrazione a terra o Ground Vibration Test (GVT) riportati in [8].

Tali problemi strutturali di verifica sono risolti su un computer ASUS M6000 con processoreIntel Pentium-M da 1.8 Ghz di frequenza massima, 1 Gbyte di memoria RAM, 2 Mbyte di cacheL2 e sistema operativo Linux con kernel aggiornato alla versione 2.6.17.

4.1 Cassone alare

Prendendo in esame il cassone alare in alluminio (densita ρ = 2800 kg/m3, modulo di YoungE = 7.1·1010 Pa e coefficiente di Poisson ν = 0.3125) a sezione uniforme monocella rettangolarecaratterizzata da Np = 7 pannelli connessi mediante NcL

= 3 correnti a L e NcT= 4 correnti a T,

di lunghezza L = 1600 mm, incastrato in corrispondenza della sezione z0 = 0 mm e le cuicaratteristiche geometriche di dettaglio sono riassunte in Figura 4.1, si richiede di calcolarnela deformata statica conseguente all’applicazione in corrispondenza del baricentro geometricodelle Nc = 4 centine del seguente sistema di forze concentrate: F1 = F2 = F3 = 13200 N incorrispondenza delle sezioni z1 = 400 mm, z2 = 800 mm e z3 = 1200 mm ed infine F4 = 6600 Nin corrispondenza della sezione di estremita z4 = 1600 mm. Successivamente i risultati numericicosı ottenuti sono confrontati con quelli del solutore strutturale commerciale MSC.Nastran.

Per risolvere tale problema il cassone alare e approssimato mediante un modello strutturalead elementi finiti (FEM) di trave (per i correnti) e di piastra (per i pannelli e le centine):piu in particolare i correnti sono discretizzati in Ne = 224 elementi longitudinali di lunghezzah = 50 mm, mentre i pannelli e le centine sono discretizzati in Ne = 1440 elementi quadrati dilato h = 50 mm. Complessivamente la griglia di calcolo strutturale rappresentata in Figura 4.2e costituita da Ne = 1664 elementi e Nn = 1414 nodi.

51

52 Problemi di verifica strutturali

Nel modello ad elementi finiti (FEM) costruito in FEMAP per il solutore strutturale com-merciale MSC.Nastran sono inoltre aggiunti elementi di connessione rigida RBE3 per trasferire icarichi in modo distribuito alle centine; una strategia analoga e teoricamente realizzabile inCode Aster mediante l’opzione LIAISON MAIL del macro-comando AFFE CHAR MECA, ma nonfornisce risultati soddisfacenti e si preferisce dunque applicare i carichi in modo concentratoin corrispondenza del nodo piu vicino al baricentro geometrico di ogni centina.

Il tempo di esecuzione per la soluzione numerica del problema e pari a CPUtime = 3.73 s.

Nelle Figure 4.3 e 4.4 sono presentati i risultati numerici relativi alla deformata statica edagli sforzi equivalenti di Von Mises sul cassone alare; e possibile osservare un ottimo accordocon i risultati numerici ottenuti mediante il solutore strutturale MSC.Nastran (con un tempodi esecuzione del tutto confrontabile); le piccole discrepanze che e possibile osservare sonoimputabili alla differente modalita di applicazione dei carichi (effetti vicini).

x

y

z

bxbx

by

by=

=

=

=

F1 = 13200 N

F2 = 13200 N

F3 = 13200 N

F4 = 6600 N

1600

mm

600 mm

200 mm200 mm

300

mm

300 mm 25

mm

25

mm

25 mm20 mm

3.2

mm

2.5 mm2.5 mm2.5 mm

2.5 mm

1.5 mm 1.5 mm

2.0

mm

3.0

mm

Figura 4.1: Geometria del cassone alare.

Figura 4.2: Confronto tra la griglia di calcolo del modello strutturale ad elementi finiti (FEM) costrui-ta mediante Salome peril solutore strutturale libero Code Aster (sinistra) e quella costruita medianteFEMAP per il solutore strutturale commerciale MSC.Nastran (destra).

Taratura del modello strutturale dell’ala AGARD 445.6 53

Figura 4.3: Confronto tra i risultati numerici ottenuti mediante Code Aster (sinistra) e quelli ottenutimediante MSC.Nastran (destra) relativi alla deformata statica del cassone alare.

Figura 4.4: Confronto tra i risultati numerici ottenuti mediante Code Aster (sinistra) e quelli ottenutimediante MSC.Nastran (destra) relativi agli sforzi equivalenti di Von Mises sul cassone alare.

4.2 Taratura del modello strutturale dell’ala AGARD 445.6

Il modello strutturale dell’ala AGARD 445.6 utilizzato in §9.1 per risolvere un tipico problemadi verifica dei programmi di analisi aeroelastica in regime di moto transonico e il risultatodelle prove sperimentali di vibrazione a terra o Ground Vibration Test (GVT) ed e dunquedescritto in termini degli smorzamenti generalizzati [rcr], delle frequenze [rfr] e delle forme [U ],normalizzate a massa generalizzata unitaria cosicche [rmr] = [r1r], dei primi Ns = 6 modi

propri. E importante ricordare che l’i-esima massa generalizzata mi e unitaria in unita dimisura anglosassoni (UK), ovvero mi = 1 lbf in/s2; affinche l’i-esima massa generalizzata siaunitaria in unita di misura del sistema internazionale (SI), ovvero mi = 1 kg come in [9, 30],e necessario riscalare le forme modali per il fattore moltiplicativo µ calcolato nel seguente modo:

[rm(UK)r] = [U ]T[MF EM ][U ] = 1 lbf in/s2 = 175.125 kg

[rm(SI)r] = µ [U ]T[MF EM ][U ]µ = 1 kg,

e dunque µ =1√

175.12. (4.1)


Figura 4.5: Modello sperimentale n3 opportunamente indebolito dell’ala AGARD 445.6.

Piu in particolare e considerato il modello sperimentale n3 rappresentato in Figura 4.5costruito in mogano laminato e successivamente indebolito per ridurne la rigidezza flesso-torsionale, praticandovi in direzione normale alla pianta alare dei fori circolari distribuiti unifor-memente; per conservare la regolarita della superficie alare (fondamentale per evitare i problemiconseguenti ad un’eventuale separazione dello strato limite) tali fori sono opportunamente chiusimediante un materiale riempitivo plastico.

Sempre in [8] e inoltre costruito un modello strutturale ad elementi finiti (FEM) di pia-stra anisotropi di tipo EAL uncoupled composite E43; la pianta alare e discretizzata medianteNe = 10 × 10 elementi quadrangolari e Nn = 121 nodi uniformemente distribuiti in corda edin apertura, ad eccezione della sesta fila di nodi in corda leggermente traslata per ottenereuna migliore rappresentazione dell’asse elastico. Per riprodurre il piu accuratamente possi-bile le frequenze proprie e le forme modali sperimentali tale modello strutturale ad elementifiniti (FEM) deve essere opportunamente tarato: in questo caso sono utilizzati una densitaρ = 381.980 kg/m3, un modulo di Young E = 3.245·109 Pa, un modulo di elasticita tangenzialeG = 4.119 · 108 Pa ed infine un coefficiente di Poisson ν = 0.310; viceversa non e specificata laparticolare distribuzione degli spessori delle piastre t adottata.

Tuttavia e molto difficile riprodurre numericamente in modo soddisfacente le frequenzeproprie e le forme modali sperimentali. Di conseguenza in Letteratura sono proposti numerosimodelli alternativi che, agendo sulla tipologia di elemento finito di piastra, sulle caratteristichedel materiale e sulla distribuzione di spessore, cercano di riprodurre al meglio almeno le primequattro frequenze proprie e le relative forme modali: come suggerito in [8] e infatti possibiletrascurare le forme modali caratterizzate da una frequenza propria superiore alla quarta poichenon partecipano significativamente alla risposta dinamica del sistema strutturale (ad esempiola massima frequenza di flutter misurata sperimentalmente ω

F max e circa sette volte inferiorealla frequenza propria della sesta forma modale).

Ad esempio in [3] e costruito in MSC.Nastran un modello strutturale ad elementi finiti(FEM) di piastra ortotropa a singola lamina; la pianta alare e discretizzata in Ne = 10 × 20elementi quadrangolari e Nn = 231 nodi uniformemente distribuiti in corda ed in apertura.Le proprieta del materiale utilizzate sono il risultato di uno schema di ottimizzazione numerica ecorrispondono ad una densita ρ = 381.980 kg/m3, un modulo di Young nella direzione parallelaed ortogonale all’asse elastico rispettivamente E‖ = 3.151 · 109 Pa ed E⊥ = 4.162 · 108 Pa,un modulo di elasticita tangenziale G = 4.392 ·108 Pa ed un coefficiente di Poisson ν = 0.310;


la particolare distribuzione degli spessori delle piastre t adottata e definita dalla forma delprofilo alare NACA 65A004 e comporta un errore numerico sulla massa totale rispetto ai datisperimentali pari a circa ‖eM‖ = ‖M FEM − M exp‖/‖M exp‖ ≃ 9%.

Analogamente si richiede di costruire in Code Aster un modello strutturale ad elementi fi-niti (FEM) di piastra ortotropa a singola lamina, utilizzando le proprieta del materiale e ladistribuzione degli spessori delle piastre presentati in [3]; la pianta alare e discretizzata utiliz-zando la stessa distribuzione di Nn = 121 nodi dei modelli sperimentali e numerico presentatiin [8] connessi mediante Ne = 2 × 10 × 10 elementi non piu quadrangolari, ma triangolari,in modo tale da facilitare la costruzione dello schema di interfaccia aeroelastica come descrittopiu dettagliatamente in §8.1.

Nella Tabella 4.1 e nelle Figure 4.6–4.11 sono presentati i risultati numerici ottenuti me-diante Code Aster relativi alle frequenze proprie ed alle forme modali dell’ala AGARD 445.6;e possibile osservare un buon accordo con i risultati numerici riportati in [3], ma solo un discre-to accordo con i risultati sperimentali riportati in [8]. Piu in particolare l’errore massimo sullefrequenze proprie e pari a circa ‖ef2‖ ≃ 3% e sulle forme modali e pari a circa ‖eU3‖ ≃ 2%.Come in [3] la particolare distribuzione di spessori delle piastre t adottata comporta un errorenumerico sulla massa totale rispetto ai dati sperimentali pari a circa ‖eM‖ ≃ 9%. Si potrebbeallora pensare di utilizzare tale margine residuo per riprodurre numericamente in modo migliorele frequenze proprie e le forme modali sperimentali. Scegliendo ad esempio come parametri diprogetto l’incremento ∆t > 0 valutato in corrispondenza dei baricentri geometrici degli elemen-ti della griglia di calcolo rispetto alla distribuzione degli spessori delle piastre t di riferimento,e possibile minimizzare il seguente funzionale ad esempio mediante il programma GenOpt scrittoin SciLab che implementa l’algoritmo di ottimizzazione genetica presentato in [18]:

J = WM‖M FEM − M exp‖

‖M exp‖ +

4∑

i=0

Wfi

‖f FEM

i − f expi ‖

‖f expi ‖ +

4∑

i=0

WUi

‖U FEM

i − Uexpi ‖

‖U expi ‖ , (4.2)

dove tutti i pesi sono scelti unitari ad eccezione di Wf1 = Wf2 = WU1 = WU2 = 10; in questomodo e possibile ridurre l’errore numerico sulla massa totale rispetto ai dati sperimentali finoa circa ‖eM‖ ≃ 5%; tuttavia il margine di miglioramento sulle frequenze proprie e sulle formemodali e molto ridotto.

f1 [Hz ] f2 [Hz ] f3 [Hz ] f4 [Hz ]

Sperimentale 9.60 38.17 48.35 91.54

Kolonay 9.63 37.12 50.50 89.94

Goura 9.67 36.87 50.26 90.00

Beaubien 9.46 39.44 49.71 94.39

Code Aster 9.57 39.28 50.35 93.63

Errore 0.30% 2.90% 4.15% 2.10%

Tabella 4.1: Confronto tra i risultati sperimentali e numerici disponibili in Letteratura [3, 8]ed i risultati numerici ottenuti mediante Code Aster relativi alle prime quattro frequenze proprie dell’alaAGARD 445.6.


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Figura 4.6: Confronto tra i risultati sperimentali (sinistra) ed i risultati numerici ottenuti medianteCode Aster (destra) relativi alla forma modale n1.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45


0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35



0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4


0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

Figura 4.10: Errore relativo tra i risultati sperimentali ed i risultati numerici ottenuti medianteCode Aster relativi alla forma modale n1 (sinistra) e n2 (destra).

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

Figura 4.11: Errore relativo tra i risultati sperimentali ed i risultati numerici ottenuti medianteCode Aster relativi alla forma modale n3 (sinistra) e n4 (destra).

Capitolo 5

Scelta del solutore aerodinamico

In questo Capitolo i modelli matematici ed i metodi numerici comunemente utilizzati per lasoluzione del problema aerodinamico sono presentati in §5.1, soffermandosi in particolare sulmetodo dei volumi finiti (FV).

Prendendo come riferimento il solutore aerodinamico commerciale FLUENT che costituiscelo strumento di analisi forse piu utilizzato nell’ambito dell’industria aeronautica, in §5.2 sonodefiniti i requisiti che un solutore aerodinamico alternativo liberamente disponibile in rete devesoddisfare. In base a tali considerazioni e possibile scegliere il solutore aerodinamico OpenFOAM,le cui caratteristiche fondamentali sono presentate in §5.3. Per valutare le effettive capacita (intermini di accuratezza dei risultati ed efficienza computazionale) dei solutori disponibili per lasimulazione numerica di correnti non stazionarie di fluido ideale, comprimibile, in regime di mototransonico e supersonico, e opportuno affrontare il semplice problema di verifica descritto in §5.4.

Per creare e gestire griglie di calcolo 2D e 3D di complessita arbitraria, visualizzare edelaborare i risultati numerici sono utilizzati il generatore di griglie Gmsh ed il post-processoreParaView, entrambe liberamente diponibili in rete e le cui caratteristiche fondamentali sonopresentate in §5.5.5.1 Definizione del problema aerodinamico

Nell’ambito di problemi aeroelastici in regime di moto transonico e specialmente nelle fasi diprogetto e verifica, ovvero in situazioni in cui e richiesta la valutazione di un numero di con-figurazioni elevato, il modello matematico delle equazioni di Eulero fornisce un buon compro-messo tra accuratezza dei risultati ed efficienza computazionale per la simulazione numerica dicorrenti a numeri di Reynolds Re elevati attorno a corpi di forma aerodinamica posti ad angolidi incidenza moderati (per cui e lecito attendersi che il campo di moto non sia dominato daglieffetti dinamici della viscosita).

Le equazioni di Eulero che governano la dinamica di una corrente non stazionaria di un fluidoideale (non viscoso e non conducente) comprimibile in assenza di termini sorgente possono esserescritte secondo un approccio euleriano in forma integrale conservativa nel seguente modo:

d

dt

∫

VudV +

∮

Sf(u) · n dS = 0, (5.1)

dove V ⊆ RNd e il dominio spaziale del problema delimitato dal contorno S = ∂V ⊆ R

Nd−1,mentre n(x, t) e il versore normale al contorno S convenzionalmente assunto positivo se uscente.

59

60 Scelta del solutore aerodinamico

La scrittura del problema aerodinamico in forma integrale consente di abbassare i requisiti diregolarita della soluzione, che puo dunque comprendere discontinuita spaziali quali ad esempioonde d’urto [1, 24, 25]. Il vettore delle variabili conservative u(x, t) e dei flussi inviscidi f(u)sono definiti rispettivamente come:

u =

ρ

ρv

Et

, f =

ρv

ρv ⊗ v + P [ I ]

v (Et + P )

, (5.2)

dove ρ(x, t), v(x, t) e Et(x, t) sono la densita, la velocita e l’energia totale specifica per unita divolume, P (x, t) e la pressione termodinamica, che per chiudere il problema deve essere espressain funzione delle variabili conservative mediante un’opportuna equazione di stato (ad esempiola legge dei gas ideali), ed infine [ I ] ∈ R

Nd×Nd e la matrice identita.

Affinche il problema (5.1) sia ben posto e necessario assegnare opportune condizioni inizialie condizioni al contorno, definendo rispettivamente il valore assunto dalla soluzione in tutto ildominio V all’istante iniziale t = 0 ovvero u(x, 0) = u0(x) ed il valore assunto dalla soluzione sulbordo di inflow Sinflow, che corrisponde alla porzione del contorno lungo cui β · n < 0, dove β

e la velocita locale di advezione, ad ogni istante di tempo t ∈ T ovvero u(x ∈ Sinflow, t) = b(t).

Ai fini della soluzione del problema aeroelastico e fondamentale calcolare il vettore delleforze aerodinamiche generalizzate agenti sul sistema strutturale. Con riferimento alla relazione(2.3) e ricordando che nell’ipotesi di fluido ideale i carichi aerodinamici sono costituiti esclusiva-mente dalla pressione termodinamica P (x, t) agente nella direzione normale al contorno n(x, t),e possibile scrivere:

Qa(t) = q∞

∮

S[ N (x) ]T Cp(x, t) n(x, t) dS, (5.3)

dove il coefficiente di pressione Cp(x, t) e convenzionalmente definito in funzione della pressionetermodinamica P∞ e della pressione dinamica q∞ della corrente asintotica nel seguente modo:

Cp(x, t) =P (x, t) − P∞

q∞. (5.4)

5.1.1 Approssimazione numerica del problema

Per risolvere numericamente il problema aerodinamico e necessario discretizzare il sistema diequazioni (5.1) nello spazio e nel tempo. Per quanto riguarda la discretizzazione spaziale epossibile ricorrere al metodo dei volumi finiti (FV), che consiste nel collocare il problema scrittoin forma integrale in corrispondenza di un numero finito Na di celle di calcolo; piu in particolaree possibile distinguere la strategia node-centered, per cui la soluzione e collocata in corrispon-denza di ogni nodo della griglia di calcolo, e la strategia cell-centered, per cui la soluzione ecollocata in corrispondenza del baricentro geometrico di ogni elemento della griglia di calcolo.Se quest’ultima risulta piu semplice dal punto di vista concettuale ed implementativo, la primastrategia consente di utilizzare un numero di incognite generalmente inferiore e di imporre lecondizioni al contorno in modo immediato.

Viceversa per quanto riguarda la discretizzazione temporale e possibile ricorrere a metodiespliciti ed impliciti, che garantiscono tempi di calcolo decisamente inferiori nonostante sianopiu complessi dal punto di vista implementativo.

Requisiti del solutore aerodinamico 61

5.2 Requisiti del solutore aerodinamico

Per risolvere numericamente i problemi aerodinamici di interesse aeronautico, in ambito indu-striale lo strumento di analisi forse piu utilizzato e attualmente costituito dal solutore commer-ciale FLUENT [43] prodotto dall’azienda Fluent Inc., il cui sviluppo e iniziato nel 1988 e continuafino ad oggi con l’attuale versione FLUENT v.6.2.

L’obiettivo e trovare un solutore aerodinamico alternativo con capacita e prestazioni con-frontabili e libero, ovvero gratuitamente disponibile in rete insieme al codice sorgente. Talesolutore aerodinamico deve soddisfare i seguenti requisiti:

- capacita di gestire in modo flessibile griglie di calcolo 1D, 2D e 3D, di complessita arbi-traria ed eventualmente ibride, create nella fase di pre-processing mediante un opportunogeneratore di griglia e memorizzate secondo un formato standard;

- capacita di discretizzare numericamente il problema aerodinamico mediante il metodo deivolumi finiti (FV) secondo una strategia node-cetered o cell-centered, indipendentementedalla topologia della griglia di calcolo;

- capacita di modellare materiali o fluidi di lavoro differenti, ad esempio miscele di gascomprimibili ideali e reali, eventualmente chimicamente reagenti e in non equilibrio ter-modinamico, monofase e multifase;

- disponibilita di una libreria il piu possibile ampia di condizioni al contorno, ad esempiole condizioni al contorno di Riemann (asintotiche) e le condizioni al contorno di noncompenetrazione (in corrispondenza di un contorno solido);

- capacita di risolvere problemi aerodinamici stazionari e non stazionari di interesse in-dustriale mediante un solutore esplicito o implicito, segregato (adatto per fluidi incom-primibili e comprimibili in regime di moto subsonico) o accoppiato (adatto per fluidicomprimibili in regime di moto transonico e supersonico);

- capacita di gestire in modo flessibile la memorizzazione dei risultati numerici secondo unformato standard nella fase di post-processing ;

- possibilita di aggiungere nuovi moduli e di interfacciare in modo flessibile il solutoreaerodinamico con altri programmi esterni;

- eventualmente disponibilita di moduli per la movimentazione e l’adattazione di griglia eper il calcolo parallelo sia su calcolatori di architettura SMP (Symmetric Multi-Processor)che su cluster di calcolatori opportunamente connessi in rete.

Il solutore aerodinamico OpenFAOM [50] sembra soddisfare i requisiti presentati; contraria-mente al solutore aerodinamico FLUENT non sono tuttavia disponibili moduli per risolverenumericamente il problema aerodinamico (5.1) secondo uno schema implicito ed accoppiato.Nell’affrontare problemi aerodinamici di interesse industriale in regime di moto transonico talemancanza puo comportare una scarsa affidabilita dei risultati ed una significativa dilatazionedei tempi di calcolo; di conseguenza e innanzitutto fondamentale passare in rassegna i solutoridisponibili in OpenFOAM per valutare l’accuratezza della soluzione e l’efficienza di calcolo.


5.3 Solutore aerodinamico OpenFOAM

Il solutore aerodinamico OpenFOAM (acronimo di Open Field Operation And Manipulation) esviluppato dall’azienda inglese OpenCFD Ltd. a partire dal 1993 con l’obiettivo di possedereun software flessibile per la simulazione numerica mediante il metodo dei volumi finiti (FV)di problemi multi-disciplinari di interesse industriale, concentrandosi in particolare su problemidi interesse fluidodinamico (ad esempio correnti confinate); nel 2007 e stata rilasciata la versionecorrente OpenFOAM v.1.4.1 [50], ampiamente utilizzata in ambito scientifico ed industriale. Dal2004 il solutore aerodinamico OpenFOAM e liberamente disponibile in rete insieme al codicesorgente all’indirizzo web www.opencfd.co.uk secondo la licenza GNU General Public License(GPL). Inoltre e accessibile un’ampia ma non completa documentazione, che comprende unaguida di utilizzo, una guida di programmazione ed una guida al codice sorgente generata au-tomaticamente mediante il programma Doxygen. L’azienda OpenCFD ha scelto di distribuireliberamente il programma OpenFOAM per le seguenti ragioni:

- creare una base di utenti il piu possibile ampia per velocizzare il processo di individuazionee correzione degli errori, di ottimizzazione dell’efficienza di calcolo e di validazione deirisultati numerici e contemporaneamente per arricchire la documentazione ed il databasedi problemi di verifica (attualmente insufficiente);

- favorire lo sviluppo cooperativo del programma, condividendo l’esperienza e le nuove fun-zionalita eventualmente implementate dai singoli utilizzatori nel maggiore numero possi-bile di campi applicativi. Effettivamente grazie alla particolare architettura molto flessi-bile, il programma OpenFOAM e utilizzato in ambiti molto differenti tra loro, ad esempioper risolvere problemi economici, problemi strutturali di elasticita lineare e problemi diinseguimento lagrangiano di particelle.

Il solutore aerodinamico OpenFOAM e principalmente scritto in linguaggio C++; inoltreper massimizzare l’efficienza computazionale porzioni significative del programma, specialmen-te relative alle librerie di base, sono continuamente riscritte, procedendo parallellamente allacontinua evoluzione del linguaggio C++. Infine per gestire in modo flessibile ed il piu possibileindipendente dall’architettura del calcolatore lo sviluppo di nuove funzionalita e disponibile laroutine wmake, scritta in linguaggio Bash.

L’architettura generale del solutore aerodinamico OpenFOAM si basa sul requisito fonda-mentale che il programma sia costituito da un insieme di librerie scritte in linguaggio C++,grazie a cui costruire applicazioni, ovvero solutori specificatamente progettati per risolvere nu-mericamente il particolare problema in esame ed utilities progettate per svolgere operazioniaccessorie, ad esempio conversione della griglia di calcolo ed elaborazione dei risultati numerici.Con riferimento alla Figura 5.1 e possibile dettagliare ulteriormente l’insieme delle librerie,distinguendo in funzione del particolare ambito applicativo le seguenti categorie:

Metodi numerici ovvero tutte le librerie relative alla discretizzazione numerica del problemanello spazio, ad esempio mediante il metodo dei volumi finiti (FV) implementato nellalibreria finiteVolume, e nel tempo, ad esempio mediante il metodo di Runge-Kutta (RK)implementato nella libreria ODE;

Griglia di calcolo ovvero tutte le librerie relative alla creazione ed alla gestione delle strutturedati per memorizzare le connettivita (solo minimali) della griglia di calcolo (meshTools)ed alla deformazione dinamica della griglia di calcolo (dynamicMesh);

Solutore aerodinamico OpenFOAM 63

OpenFOAM-1.4.1

applications

solvers

utilities

Applicazioni

Solutori

Utilities

src

finiteVolume

meshTools

OpenFOAM

PStream

thermophysicalModels

wmake

Librerie

Metodi numerici

Griglia di calcolo

Kernel

Calcolo parallelo

Modelli fisici

Compilatore

Figura 5.1: Schema a blocchi che riassume l’organizzazione del solutore aerodinamico OpenFOAM.

Kernel ovvero tutte le librerie relative alla definizione delle classi di minimo livello gerarchico,ad esempio per la gestione dell’esecuzione del programma principale e per la memorizza-zione delle variabili (OpenFOAM);

Calcolo parallelo ovvero tutte le librerie relative alla decomposizione della griglia di calcolo edalla parallelizzazione delle applicazioni sia su calcolatori di architettura SMP (SymmetricMulti-Processor) che su cluster di calcolatori opportunamente connessi in rete (PStream);

Modelli fisici ovvero tutte le librerie relative alla definizione dei possibili modelli termodinamiciper approssimare il reale comportamento del fluido di lavoro (thermophysicalModels)e dei possibili modelli di turbolenza per approssimare il contributo degli sforzi di Reynolds(turbulenceModels).

Per risolvere numericamente un problema aerodinamico mediante il programma OpenFOAMinnanzitutto e necessario creare il caso, ovvero l’insieme di informazioni che l’utente deve fornirein ingresso al solutore; ipotizzando di utilizzare il sistema operativo Linux e di porsi all’inter-no della cartella $MYPATH/TestProblem, dove $MYPATH corrisponde al percorso assoluto dellacartella di lavoro, e necessario creare le seguenti sotto-cartelle:

system all’interno della quale e necessario definire i files controlDict, fvSchemes e fvSolutionrelativi rispettivamente all’intervallo di integrazione temporale, alla discretizzazione nume-rica del problema mediante il metodo dei volumi finiti (FV) ed ai metodi diretti o iterativiper la soluzione dei sistemi lineari.

64 Scelta del solutore aerodinamico$MYPATH/TestProblem

system

controlDict

fvSchemes

fvSolution

constant

thermodynamicProperties

polyMesh

points

faces

owner

neighbour

boundary

0

P

T

U

Metodi numerici

Discretizzazione tempo

Volumi finiti (FV)

Sistemi lineari

Costanti

Termodinamica

Griglia di calcolo

Nodi

Facce

Celle

Celle adiacenti

Condizioni al contorno

Condizioni iniziali

Pressione P

Temperatura T

Velocita v

Figura 5.2: Schema a blocchi che riassume l’organizzazione della cartella $MYPATH/TestProblem, adesempio per il solutore delle equazioni di Eulero rhoSonicFoam.

constant all’interno della quale e necessario definire il file thermodynamicProperties relativoalle proprieta termodinamiche del fluido di lavoro (adottando ad esempio il modello ter-modinamico di gas ideale politropico (PIG) e sufficiente conoscere la costante del gas Red il rapporto tra i calori specifici a pressione e volume costanti γ = CP /CV ); inoltreall’interno della sotto-cartella polyMesh sono contenuti i files points, faces, owner,neighbour e boundary relativi rispettivamente alle coordinate dei nodi, alla connettivitadella griglia di calcolo ed infine al tipo di condizioni assegnate sul contorno.

0 (zero) all’interno della quale e necessario definire i files P, T, U relativi alle condizioni inizialied al valore delle condizioni assegnate sul contorno rispettivamente delle variabili pressionetermodinamica P , temperatura T ed infine velocita v.

Durante l’esecuzione del programma sono inoltre create all’interno della cartella di lavoro lesotto-cartelle relative ai risultati numerici, strutturate in modo perfettamente analogo alla sotto-cartella 0 (zero) relativa alle condizioni inziali.

Valutazione dei solutori aerodinamici disponibili 65

5.4 Valutazione dei solutori aerodinamici disponibili

Per la simulazione numerica del campo di moto non stazionario attorno a corpi di forma aero-dinamica nell’ipotesi di fluido ideale (non viscoso non conducente) comprimibile in regime dimoto transonico e supersonico sono disponibili esclusivamente i solutori cell-centered segregatisemi-impliciti rhoSonicFoam e rhopSonicFoam, che sono rispettivamente basati su uno schemadensity-based e density-pressure-based (analogamente all’algoritmo segregato di FLUENT [43]);inoltre e possibile utilizzare il solutore cell-centered segregato semi-implicito per le equazioni diNavier-Stokes comprimibili laminari sonicFoam, a patto di annullare i coefficienti di trasporto.

Nell’affrontare problemi aerodinamici di interesse industriale in regime di moto transonicol’avere a disposizione unicamente solutori segregati puo comportare una scarsa affidabilita deirisultati ed una significativa dilatazione dei tempi di calcolo; di conseguenza e innanzitutto fon-damentale mettere alla prova i solutori rhoSonicFoam, rhopSonicFoam e sonicFoam affrontandoun problema di verifica molto semplice di cui sia nota la soluzione analitica. In questo modo,oltre a quantificare l’accuratezza della soluzione numerica e l’efficienza computazionale di talisolutori, e possibile illustrarne l’algoritmo e gli eventuali punti deboli.

Con riferimento alla Figura 5.3 si richiede di risolvere numericamente il problema di rifles-sione di un urto obliquo inclinato di un angolo α1 = 29 incidente a partire dalla quota h = 1 msu una parete solida di lunghezza L = 4.17 m. Il comportamento dell’aria e approssimato me-diante il modello termodinamico di gas ideale politropico (PIG) con γ = 1.4 e R = 287.05 J

kg K .La soluzione analitica e riportata nella Tabella 5.1 e puo essere distinta in tre regioni uniformi:nota la soluzione nella regione 1© e possibile ricavare la soluzione nella regione 2© e 3© mediantele relazioni dell’urto obliquo [34].

Regione 1© Regione 2© Regione 3©

M [ – ] 2.900 2.378 1.989

P [Pa ] 101325.000 216781.906 407387.756

T [K ] 288.150 362.647 437.436

θ [ ] 0.000 10.940 0.000

Tabella 5.1: Soluzione analitica del problema di riflessione dell’urto obliquo.

L

h

α1 α2

θθ

v1v2

v2

v3

1©

2©

3©M1, P1, T1

M2, P2, T2

M3, P3, T3

Figura 5.3: Dominio di calcolo e soluzione analitica del problema di riflessione dell’urto obliquo.


(A) Ne = 40 × 10 = 400 ∆t = 4·10−5 (B) Ne = 80 × 20 = 1600 ∆t = 2·10−5

(C) Ne = 160 × 40 = 6400 ∆t = 1·10−5 (D) Ne = 320 × 80 = 25600 ∆t = 5·10−6

Figura 5.4: Confronto tra le griglie di calcolo per il problema di riflessione dell’urto obliquo utilizzateper valutare l’ordine di accuratezza spaziale e temporale dei solutori disponibili.

Per valutare l’ordine di accuratezza spaziale e temporale dei solutori disponibili e necessa-rio calcolare l’errore relativo ‖eh‖L1 della soluzione numerica rispetto alla soluzione analiticaaumentando il numero di elementi Ne con cui discretizzare il dominio di calcolo e contempora-neamente riducendo l’intervallo di integrazione temporale ∆t a pari numero di Courant Comax;nel caso in esame sono utilizzate le quattro griglie di calcolo A, B, C, D strutturate ad elementiquadrangolari ortogonali (ottimali per il programma OpenFOAM) rappresentate in Figura 5.4rispettivamente di passo hA = 1/10 m, hB = 1/20 m, hC = 1/40 m, hD = 1/80 m e gli intervallidi integrazione temporale ∆tA = 4 · 10−5 s, ∆tB = 2 · 10−5 s, ∆tC = 1 · 10−5 s, ∆tD = 5 · 10−6 s.

Per valutare l’efficienza computazionale dei solutori disponibili e necessario calcolare il tempodi esecuzione per una singola iterazione temporale CPUtime; nel caso in esame e utilizzato uncomputer AMD64 3500+ con processore AMD Athlon 64 da 2.2 GHz di frequenza massima,1 Gbyte di memoria RAM, 512 Kbyte di cache L2 e sistema operativo Linux con kernel aggiornatoalla versione 2.6.18.

Per tutti i solutori considerati sono di seguito riportati i risultati numerici relativi al campodella pressione termodinamica P e della densita ρ, all’ordine di accuratezza spaziale e tem-porale ed all’efficienza computazionale ottenuti lasciando invariati rispetto ai tutorials i filescontrolDict, fvSchemes e fvSolution, ad eccezione eventualmente dei parametri relativiall’algoritmo Pressure Implicit with Splitting Operators (PISO).

5.4.1 Solutore aerodinamico rhoSonicFoam

Il solutore aerodinamico cell-centered segregato semi-implicito rhoSonicFoam utilizza uno schemadensity-based, nel quale la pressione termodinamica P e ricavata mediante l’equazione dei gasideali in funzione della densita ρ e della temperatura T , soluzioni delle equazioni rispettivamentedi continuita e di bilancio dell’energia totale per unita di volume.

Per illustrare meglio il funzionamento del solutore aerodinamico rhoSonicFoam e contempora-neamente introdurre le classi ed i metodi per la soluzione di un sistema di equazioni differenzialialle derivate parziali (PDE) mediante il programma OpenFOAM, sono di seguito riportate alcu-ne sezioni del codice sorgente. E possibile osservare che ad ogni passo di integrazione temporalele equazioni di continuita, bilancio della quantita di moto e conservazione dell’energia totaleper unita di volume sono risolte in cascata secondo un algoritmo segregato, senza implementa-re alcun ciclo di correzione esterno per recuperare almeno parzialmente l’informazione relativaall’accoppiamento del sistema di equazioni.


rhoSonicFoam.C

Soluzione dell’equazione di continuita (scritta in forma conservativa e semi-implicita)

per la densita ρ(k+1) in funzione della velocita v(k), aggiornamento della pressione termodi-namica P (k+1) mediante la legge dei gas ideali.

solve

(

fvm::ddt(rho)

+ fvm::div(phiv, rho)

);

p = rho/(R*T);

Soluzione dell’equazione di bilancio della quantita di moto (scritta in forma conservativa e

semi-implicita) per la quantita di moto m(k+1) in funzione della velocita v(k) e della pressionetermodinamica P (k+1), aggiornamento della velocita v(k+1).

solve

(

fvm::ddt(rhoU)

+ fvm::div(phiv, rhoU)

==

- fvc::grad(p)

);

U = rhoU/rho;

Soluzione dell’equazione di bilancio dell’energia totale (scritta in forma conservativa e

semi-implicita) per l’energia totale specifica per unita di volume Et (k+1) in funzione delle velocitav(k+1) e v(k) e della pressione termodinamica P (k+1), aggiornamento della temperatura T (k+1).

solve

(

fvm::ddt(rhoE)

+ fvm::div(phiv, rhoE)

==

- fvc::div(phiv2, p)

);

T = ( rhoE - 0.5*rho*magSqr(rhoU/rho) )/Cv/rho;

Figura 5.5: Soluzione numerica del problema C ottenuta mediante il solutore aerodinamico rhoSonicFoamrelativa al campo della pressione termodinamica P ; inoltre per evidenziare la topologia della corrente sonorappresentate 20 isolinee del campo della densita ρ equispaziate tra il valore minimo ρmin = 1.225 kg/m3

ed il valore massimo ρmax = 3.250 kg/m3 della soluzione analitica.


0.1

1

10

100

0.001 0.01 0.1 1

||eh|| L

1 [−

]

h [ m ]

O(h)

O(h2)

× 10−3

0.1

1

10

100

1 10 100

||eh|| L

1 [−

]

∆t [ s ]

O(∆t)

O(∆t2)

× 10−6

× 10−3

Figura 5.6: Errore relativo ‖eh‖L1 della soluzione numerica rispetto alla soluzione analitica relativa alcampo della pressione temodinamica P (•), temperatura T (•) e velocita v (•) al diminuire del passodi griglia h (sinistra) e dell’intervallo di integrazione temporale ∆t (destra).

0.1

1

10

100

100 1000 10000 100000

CPU

tim

e [s

]

Ne

O(Ne)

O(Ne2)

× 10−2

CPU time [ s ]

Ne EE CN

400 4.71 · 10−3 6.33 · 10−3

1600 1.06 · 10−2 1.34 · 10−2

6400 4.25 · 10−2 5.13 · 10−2

25600 2.34 · 10−1 2.96 · 10−1

Figura 5.7: Tempo di esecuzione per una singola iterazione temporale CPUtime relativo agli schemidi discretizzazione temporale Eulero Esplicito () e Crank Nicholson () all’aumentare del numero dielementi della griglia di calcolo Ne.

5.4.2 Solutore aerodinamico rhopSonicFoam

Il solutore aerodinamico cell-centered segregato semi-implicito rhopSonicFoam utilizza uno sche-ma pressure-density-based, nel quale la pressione termodinamica corretta P e ricavata medianteun’equazione di Poisson risultante dalla combinazione dell’equazione di bilancio della quantitadi moto e dell’equazione di continuita.

Per illustrare meglio il funzionamento del solutore aerodinamico rhopSonicFoam e contempo-raneamente introdurre le classi ed i metodi per la soluzione di un sistema di equazioni differen-ziali alle derivate parziali (PDE) mediante il programma OpenFOAM, sono di seguito riportatealcune sezioni del codice sorgente. E possibile osservare che ad ogni k-esimo passo di integrazionetemporale le equazioni di continuita, bilancio della quantita di moto e conservazione dell’ener-gia totale per unita di volume sono risolte in cascata secondo una strategia di tipo segregato.


A differenza del caso precedente sono implementati un ciclo di correzione esterno per recuperarealmeno parzialmente l’informazione relativa all’accoppiamento del sistema di equazioni ed unciclo di correzione interno per correggere la pressione termodinamica P secondo l’algoritmoPressure Implicit with Splitting Operators (PISO) [21, 43], opportunamente esteso al casocomprimibile nonostante esso sia generalmente utilizzato solo nel caso incomprimibile.

rhopSonicFoam.C

Ciclo di correzione esterno per recuperare l’accoppiamento delle equazioni del problema.

for ( int outerCorr = 0; outerCorr < nOuterCorr; outerCorr++ )

Soluzione della equazione di continuita (scritta in forma conservativa e semi-implicita)

per la densita intermedia ρ(k+1/2) in funzione della velocita v(k).

solve

(

fvm::ddt(rho)

+ mvConvection.fvmDiv(phiv, rho)

);

Soluzione dell’equazione di bilancio della quantita di moto (scritta in forma conservativae semi-implicita) per la quantita di moto intermedia m(k+1/2) in funzione della velocita v(k)

e della pressione termodinamica P (k).

solve

(

fvm::ddt(rhoU)

+ fv::gaussConvectionScheme<vector>(mesh, phiv, rhoUScheme).fvmDiv(phiv, rhoU)

==

- fvc::grad(p)

);

Soluzione dell’equazione di bilancio dell’energia totale (scritta in forma conservativa

e semi-implicita) per l’energia totale specifica per unita di volume Et (k+1) in funzione della

velocita v(k) e della pressione termodinamica P (k), aggiornamento della temperatura T (k+1)

e della pressione termodinamica intermedia P (k+1/2) mediante la legge dei gas ideali.

solve

(

fvm::ddt(rhoE)

+ mvConvection.fvmDiv(phiv, rhoE)

==

- mvConvection.fvcDiv(phiv, p)

);

T = ( rhoE - 0.5*rho*magSqr(rhoU/rho) )/Cv/rho;

p = rho*R*T;

Ciclo di correzione interno secondo l’algoritmo Pressure Implicit with Splitting Operators(PISO) [21, 43], opportunamente esteso al caso comprimibile.

for ( int corr=0; corr < nCorr; corr++ )


Soluzione dell’equazione di Poisson per la pressione termodinamica corretta P (k+1), aggior-namento della densita ρ(k+1) mediante l’equazione dei gas ideali e della quantita di moto m(k+1)

sfruttando lo splitting degli operatori.

fvScalarMatrix pEqn

(

fvm::ddt(psi, p)

+ mvConvection.fvcDiv(phiv, rho)

+ fvc::div(phiGradp)

- fvm::laplacian(rrhoUAf, p)

);

pEqn.solve();

rho = p/(R*T);

rhoU = HbyA - rrhoUA*fvc::grad(p);

rhoU.correctBoundaryConditions();

Figura 5.8: Soluzione numerica del problema C ottenuta con il solutore aerodinamico rhopSonicFoamrelativa al campo della pressione termodinamica P ; inoltre per evidenziare la topologia della corrente sonorappresentate 20 isolinee del campo della densita ρ equispaziate tra il valore minimo ρmin = 1.225 kg/m3


0.1

1

10

100

0.001 0.01 0.1 1

||eh|| L

1 [−

]

h [ m ]

O(h)

O(h2)

× 10−3

0.1

1

10

100

1 10 100

||eh|| L

1 [−

]

∆t [ s ]

O(∆t)

O(∆t2)

× 10−6

× 10−3



0.1

1

10

100

100 1000 10000 100000

CPU

tim

e [s

]

Ne

O(Ne)

O(Ne2)

× 10−2

CPU time [ s ]

Ne EE CN

400 1.38 · 10−2 3.13 · 10−2

1600 3.19 · 10−2 7.00 · 10−2

6400 1.39 · 10−1 2.41 · 10−1

25600 4.57 · 10−1 9.98 · 10−1


5.4.3 Solutore aerodinamico sonicFoam

Il solutore aerodinamico cell-centered segregato semi-implicito sonicFoam e progettato per risol-vere numericamente correnti non stazionarie di fluido comprimibile viscoso, ma non conducen-te: di conseguenza per ricondursi al modello matematico delle equazioni di Eulero e sufficienteimporre l’annullamento della viscosita dinamica µ.

Per illustrare meglio il funzionamento del solutore aerodinamico sonicFoam e contempora-neamente introdurre le classi ed i metodi per la soluzione di un sistema di equazioni differenzialialle derivate parziali (PDE) mediante il programma OpenFOAM, sono di seguito riportate alcu-ne sezioni del codice sorgente. E possibile osservare che ad ogni passo di integrazione temporalele equazioni di continuita, bilancio della quantita di moto e dell’energia sono risolte in cascatasecondo una strategia di tipo segregato; inoltre le equazioni di bilancio della quantita di motoe dell’energia sono scritte in forma non conservativa rispettivamente in funzione delle variabiliprimitive velocita v ed energia interna specifica per unita di massa e. A differenza del casoprecedente, non e implementato un ciclo di correzione esterno per recuperare almeno parzial-mente l’informazione relativa all’accoppiamento del sistema di equazioni, ma solo un ciclo dicorrezione interno per correggere la pressione termodinamica P secondo l’algoritmo PressureImplicit with Splitting Operators (PISO) [21, 43], opportunamente esteso al caso comprimibilenonostante esso sia generalmente utilizzato solo nel caso incomprimibile.

sonicFoam.C

Soluzione della equazione di continuita (scritta in forma conservativa e semi-esplicita)

per la densita ρ(k+1/2) in funzione della quantita di moto m(k).

solve

(

fvm::ddt(rho)

+ fvc::div(phi)

);


Soluzione dell’equazione di bilancio della quantita di moto (scritta in forma semi-implicita

ma non conservativa) per la velocita intermedia v(k+1/2) in funzione della densita ρ(k+1/2),

della quantita di moto m(k) e della pressione termodinamica P (k).

solve

(

fvm::ddt(rho, U)

+ fvm::div(phi, U)

- fvm::laplacian(mu, U)

==

- fvc::grad(p)

);

Soluzione dell’equazione di bilancio dell’energia interna (scritta in forma semi-implicita

ma non conservativa) per l’energia interna specifica per unita di massa e(k+1) in funzione della

densita ρ(k+1/2), della quantita di moto m(k) e della pressione termodinamica P (k), aggiorna-mento della temperatura T (k+1) mediante la legge dei gas ideali.

solve

(

fvm::ddt(rho, e)

+ fvm::div(phi, e)

- fvm::laplacian(mu, e)

==

- p*fvc::div(phi/fvc::interpolate(rho))

+ mu*magSqr(symm(fvc::grad(U)))

);

T = e/Cv;

Ciclo di correzione interno secondo l’algoritmo Pressure Implicit with Splitting Operators(PISO) [21, 43], opportunamente esteso al caso comprimibile.

for (int corr=0; corr<nCorr; corr++)

Soluzione dell’equazione di Poisson per la pressione termodinamica corretta P (k+1), aggior-namento della densita ρ(k+1) mediante l’equazione dei gas ideali e della velocita v(k+1) sfruttandolo splitting degli operatori. Inoltre esiste un ulteriore ciclo di correzione interna per aumentare larobustezza del programma a fronte di elementi della griglia di calcolo fortemente non ortogonali.

fvScalarMatrix pEqn

(

fvm::ddt(psi, p)

+ fvm::div(phid, p, "div(phid,p)")

- fvm::laplacian(rho*rUA, p)

);

pEqn.solve();

rho = p/(R*T);

U = U - rUA*fvc::grad(p);

U.correctBoundaryConditions();


Figura 5.11: Soluzione numerica del problema C ottenuta mediante il solutore aerodinamico sonicFoamrelativa al campo della pressione termodinamica P ; inoltre per evidenziare la topologia della corrente sonorappresentate 20 isolinee del campo della densita ρ equispaziate tra il valore minimo ρmin = 1.225 kg/m3


0.1

1

10

100

0.001 0.01 0.1 1

||eh|| L

1 [−

]

h [ m ]

O(h)

O(h2)

× 10−3

0.1

1

10

100

1 10 100

||eh|| L

1 [−

]

∆t [ s ]

O(∆t)

O(∆t2)

× 10−6

× 10−3


0.1

1

10

100

100 1000 10000 100000

CPU

tim

e [s

]

Ne

O(Ne)

O(Ne2)

× 10−2

CPU time [ s ]

Ne EE CN

400 1.75 · 10−2 1.67 · 10−2

1600 3.86 · 10−2 4.01 · 10−2

6400 2.25 · 10−1 1.55 · 10−1

25600 7.43 · 10−1 5.31 · 10−1



5.4.4 Analisi dei risultati

Esaminando i risultati numerici relativi al campo della pressione termodinamica P e delladensita ρ rappresentati nelle Figure 5.5, 5.8 e 5.11 e innanzitutto possibile osservare la presenzadi oscillazioni spurie significative di natura numerica soprattutto nella regione 3© a valle dell’urtoriflesso. Mentre l’urto incidente e catturato abbastanza bene da tutti i solutori considerati, talioscillazioni spurie impediscono di risolvere correttamente l’urto riflesso, specialmente per quantoriguarda il solutore sonicFoam.

Inoltre le Figure 5.6, 5.9 e 5.12 relative all’errore ‖eh‖L1 della soluzione numerica rispettoalla soluzione analitica mostrano che i solutori rhoSonicFoam e rhopSonicFoam convergono sianello spazio che nel tempo con un’ordine di accuratezza sublineare, mentre il solutore sonicFoamnon converge ne nello spazio ne nel tempo. Piu in particolare assumendo che l’errore relativo‖eh‖L1 possa essere espresso secondo la seguente legge di potenza:

‖eh‖L1 ≃ Ahp + B ∆tq, (5.5)

che in scala logaritmica corrisponde ad un piano nello spazio h − ∆t − ‖eh‖L1, e possibiledeterminare i coefficienti A e B e gli ordini di accuratezza sperimentali p e q riportati inTabella 5.2 costruendo il piano di regressione ai minimi quadrati dei dati numerici raccolti, comeillustrato in [13]. Sono inoltre riportati i coefficienti di correlazione Rh e R∆t che consentono dimisurare la qualita dei risultati ottenuti.

Solutori A p Rh B q R∆t

rhoSonicFoam 0.267 0.543 0.998 0.010 0.091 0.450

rhopSonicFoam 0.425 0.765 0.998 26.79 0.601 0.964

sonicFoam 0.048 −0.045 −0.221 0.021 −0.022 −0.173

Tabella 5.2: Coefficienti A e B, ordini di accuratezza sperimentali p e q ed infine coefficienti di corre-lazione Rh e R∆t del piano di regressione ai minimi quadrati dei dati numerici raccolti utilizzando comeindicatore la pressione termodinamica P .

Esaminando le Figure 5.7, 5.10 e 5.13 relative all’efficienza computazionale e possibileosservare che il solutore rhoSonicFoam e il meno oneroso, seguito dai solutori sonicFoam erhopSonicFoam, il cui elevato costo computazionale puo essere imputato al ciclo di correzioneesterno, per recuperare almeno parzialmente l’informazione relativa all’accoppiamento delleequazioni del sistema, e di correzione interno, per correggere la pressione termodinamica Psecondo l’algoritmo Pressure Implicit with Splitting Operators (PISO).

In conclusione i solutori aerodinamici disponibili rhoSonicFoam, rhopSonicFoam e sonicFoamsono caratterizzati da un’accuratezza spaziale e temporale e da un’efficienza computazionale nontotalmente soddisfacenti nell’affrontare un problema di verifica molto semplice; di conseguenzae ragionevole attendersi (ed e stato verificato sperimentalmente) che tali solutori non siano ingrado di risolvere problemi aerodinamici piu impegnativi e interessanti in ambito industriale.Infatti l’architettura del programma OpenFOAM, ottimale in regime di moto subsonico perrisolvere in cascata le equazioni di governo del sistema aerodinamico secondo un algoritmosegregato, e inadatta in regime di moto transonico e supersonico [43]; inoltre per riprodurreaccuratamente l’evoluzione non stazionaria di eventuali fenomeni d’urto e fondamentale scrivereil problema sempre in forma conservativa.

Generatore di griglie Gmsh e post–processore ParaView 75

5.5 Generatore di griglie Gmsh e post–processore ParaView

Il generatore di griglie Gmsh e sviluppato in linguaggio C++ da C. Geuzaine in collaborazionecon J. F. Remacle presso le Universita di Liege e di Louvain a partire dal 1997 con l’obiettivodi sviluppare un generatore di griglie non strutturate per applicazioni in ambito accademico.Nel 2008 e stata rilasciata la versione corrente Gmsh v.2.2 [7] attualmente poco utilizzatain ambito industriale, contrariamente al programma commerciale concorrente GAMBIT v.2.2[44], a causa della non ancora totalmente soddisfacente efficienza computazionale, liberamentedisponibile in rete insieme al codice sorgente, ad un’ampia e dettagliata documentazione e anumerosi casi test all’indirizzo web www.geuz.org/gmsh secondo la licenza GNU General PublicLicence (GPL).

Per generare la griglia di calcolo e innanzitutto necessario definire i punti, le linee, le super-fici ed i volumi che compongono la geometria sia ricorrendo al modulo interno Geometry, cheimportando modelli CAD memorizzati nei formati standard IGES e STEP. La geometria cosıcostruita puo essere successivamente discretizzata in elementi tetraedrici conformi scegliendo tral’algoritmo interno (ancora in versione sperimentale) e gli algoritmi implementati nei generatoridi griglia concorrenti liberamente disponibili in rete Netgen [36] e TetGen [38]. La griglia dicalcolo puo essere infine esportata nei formati standard binario o di testo MSH, IDEAS, MEDIT,Plot3D, STL e VRML.

Il post-processore ParaView e sviluppato in linguaggio C++ dai centri di ricerca e dall’azien-da statunitensi Sandia, Los Alamos National Laboratory e Kitware Inc. a partire dal 2000 conl’obiettivo di creare un visualizzzatore scientifico, interattivo e parallelo integrato con numerosistrumenti per l’elaborazione dei risultati e basato sulla libreria grafica VTK (Visual Tool Kit).Nel 2007 e stata rilasciata la corrente versione ParaView v.3.0 [51] ampiamente utilizzata inambito scientifico ed industriale e, contrariamente al programma commericiale concorrenteTecplot v.360 [46], gratuitamente disponibile in rete insieme al codice sorgente, ad un’ampiae dettagliata documentazione e a numerosi casi test all’indirizzo web www.paraview.org secondola licenza GNU General Public Licence (GPL).

I risultati possono essere importati e esportati in numerosi formati standard binari o ditesto, quali VTK, EnSight ed EnSightGold, HDF, Plot3D e STL; grazie alla disponibilita delcodice sorgente l’utente puo inoltre implementare moduli aggiuntivi per la lettura e scrittura informati differenti.

Figura 5.14: Esempio di utilizzo del generatore di griglie Gmsh (sinistra) e del post-processoreParaView (destra).

Capitolo 6

Progetto ed implementazionedel solutore aerodinamico

Dal momento che i solutori aerodinamici disponibili rhoSonicFoam, rhopSonicFoam e sonicFoamnon sono del tutto soddisfacenti per affrontare problemi aerodinamici impegnativi in regime dimoto transonico e supersonico, si sceglie di progettare e sviluppare sempre in linguaggio C++

un nuovo solutore aerodinamico chiamato AeroFoam, utilizzando solo le librerie del programmaOpenFOAM per la gestione delle strutture dati relative alla griglia di calcolo ed alla soluzionenumerica e per le fasi di pre/post-processing.

Innanzitutto in §6.1 il problema aerodinamico e discretizzato nello spazio mediante il metododei volumi finiti (FV), passando cosı da un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali(PDE) ad un sistema di equazioni differenziali ordinarie (ODE). Quindi in §6.2 sono presentatialcuni schemi storicamente importanti per esplicitare il vettore dei flussi numerici; tali schemisono tuttavia caratterizzati da un ordine di accuratezza al massimo lineare con il passo di grigliaed e dunque necessario ricorrere agli schemi per l’alta risoluzione limitati descritti in §6.4 e §6.5per catturare correttamente eventuali dicontinuita della soluzione numerica, quali onde d’urto.

Successivamente in §6.6 sono presentati i possibili metodi (espliciti) per la discretizzazionetemporale del sistema di equazioni differenziali ordinarie (ODE) risultante, soffermandosi inparticolare sullo studio dei metodi Runge-Kutta (RK) modificati per soddisfare la condizioneTotal Variation Diminishing (TVD). Quindi in §6.7 sono descritte le modalita per imporrenumericamente le condizioni iniziali ed al contorno (sia asintotiche che sulla superficie del corpo).

Infine in §6.8 il solutore aerodinamico sviluppato AeroFoam e messo alla prova, affrontandonuovamente il semplice problema di verifica descritto in §5.4 e confrontandone le prestazionirelative all’ordine di accuratezza spaziale e temporale della soluzione numerica ed all’efficienzacomputazionale con quelle dei solutori aerodinamici disponibili rhoSonicFoam, rhopSonicFoam esonicFoam.

6.1 Discretizzazione spaziale

Innanzitutto e necessario discretizzare il dominio di calcolo spaziale V ⊆ RNd delimitato dal

contorno S = ∂V ⊆ RNd−1; indicando con Vh una rappresentazione approssimata del dominio

di calcolo V, tale per cui il contorno Sh = ∂Vh sia formato da un insieme di soli poligoni piani,e possibile associarvi una griglia di calcolo o mesh Mh mediante una decomposizione in uninsieme di Nv volumi finiti poliedrici Ωi che soddisfino le seguenti proprieta [13]:

77

78 Progetto ed implementazione del solutore aerodinamico

S = ∂VSh = ∂Vh

Ωi Ωj

Γij nij

Figura 6.1: Esempio di una griglia di calcolo triangolare Mh.

- Vh =⋃

Ωi∈Mh

Ωi, dove Vh e la chiusura del dominio approssimato Vh;

- Ω

i 6= ∅ ∀ Ωi ∈ Mh dove Ω

i = Ωi\∂Ωi, ovvero non esistono volumi finiti di misura nulla;

- Ω

i ∩ Ω

j = ∅ ∀ Ωi, Ωj ∈ Mh con Ωi 6= Ωj, ovvero i due volumi finiti differenti Ωi e Ωj

non possono sovrapporsi internamente;

- se Γij = Ωi ∩ Ωj 6= ∅ con Ωi 6= Ωj allora Γij deve corrispondere ad un nodo, ad un interolato o ad un’intera faccia comune ai volumi finiti Ωi e Ωj, ovvero la griglia deve essereconforme.

Infine puo essere utile definire l’operatore misura | · |, che ad esempio applicato ad un volumefinito Ωi ne restituisce il volume |Ωi| ed applicato ad una faccia Γij ne restituisce l’area |Γij|.

Nell’ambito del programma OpenFOAM le griglie di calcolo sono memorizzate e gestitemediante strutture dati (minimali) ed assumendo che le incognite del problema siano collo-cate in corrispondenza del baricentro geometrico delle celle di calcolo. Per quanto riguarda ilmetodo dei volumi finiti (FV) questo si traduce nel dovere utilizzare una strategia cell-centered,per cui l’incognita del problema diventa il vettore delle variabili conservative u(x, t) mediato incorrispondenza del singolo volume finito della griglia di calcolo, ovvero:

Ui(t) =1

|Ωi|

∫

Ωi

u(x, t) dV. (6.1)

Indicando con Γi = Γi1, Γi2, . . . , ΓiNf l’insieme delle Nf facce che delimitano l’i-esimo volume

finito Ωi, e possibile approssimare il contributo del vettore delle funzioni di flusso f(u) attraversola j-esima interfaccia Γij definendo il seguente vettore dei flussi numerici :

Fij(t) =1

|Γij |

∫

Γij

f(u) · n(x, t) dS. (6.2)

Collocando infine il problema aerodinamico scritto in forma integrale conservativa (5.1) in cor-rispondenza di ogni i-esima cella di calcolo Ωi, e possibile ricavare il seguente sistema di Nv

equazioni differenziali ordinarie (ODE):

dUi

dt+

1

|Ωi|

Nf∑

j=1

|Γij |Fij = 0 i = 1, 2, . . . , Nv. (6.3)

Flussi numerici del primo ordine 79

6.2 Flussi numerici del primo ordine

Per potere risolvere numericamente il sistema di equazioni differenziali ordinarie (ODE) (6.3)e innanzitutto necessario esplicitare il vettore dei flussi numerici Fij(t) in funzione dei vet-tori delle variabili conservative mediate Ui(t) ed Uj(t) noti in corrispondenza del baricentrogeometrico dei volumi finiti Ωi ed Ωj adiacenti all’interfaccia Γij.

Una prima strategia possibile consiste nel esplicitare il vettore dei flussi numerici Fij(t)mediante un’approssimazione centrata accurata al secondo ordine [25, 30], analogamente ad unodei possibili schemi di discretizzazione spaziale dei termini convettivi disponibili nel programmaOpenFOAM [50]:

Fij(t,Ui,Uj , nij) =f(Ui) + f(Uj)

2· nij; (6.4)

tuttavia tale schema molto semplice dal punto di vista implementativo puo produrre oscillazionispurie di natura numerica, particolarmente significative in prossimita di eventuali discontinuitaspaziali della soluzione quali ad esempio onde d’urto (come verificato sperimentalmente in §5.4).

Di conseguenza storicamente sono state proposte espressioni alternative monotone, ma accu-rate al primo ordine del vettore dei flussi numerici Fij(t): alcune basate su solide basi teoriche,caratterizzate da un ambito di validita molto ampio, piu complesse ed onerose dal punto divista implementativo e dei tempi di calcolo (ARS), ed altre viceversa di natura sostanzialmenteempirica, ma notevolmente efficienti in un ambito di validita ristretto (AUSM, CUSP, HLL/C).

Per implementare tali espressioni alternative in modo semplice ed efficiente (nel caso generaledi griglie di calcolo non strutturate e non ortogonali) e conveniente sfruttare la proprieta diinvarianza alle rotazioni delle equazioni di Eulero ed introdurre, oltre al sistema di riferimentoglobale G (X −Y −Z), un sistema di riferimento locale L (x−y− z) centrato in corrispondenzadel baricentro geometrico di ogni interfaccia Γij ed il cui versore ex e sempre allineato con ilversore normale all’interfaccia nij , come illustrato in Figura 6.2. In tale sistema di riferimentolocale e possibile dimostrare [13] che il problema multidimensionale (2.9) puo essere riscritto inmodo formalmente identico ad un problema monodimensionale, ovvero:

∂u

∂t+

∂fx

∂x= 0 ∀(x, t) ∈ V × T , (6.5)

dove fx(u) = f(u) · nij = ρ u, ρ u2 + P, ρ u v, ρ uw, u (Et + P ) e il vettore delle funzionidi flusso proiettato nella direzione normale all’interfaccia Γij. La trasformazione lineare checonsente di passare dal sistema di riferimento globale G (X − Y − Z) al sistema di riferimentolocale L (x − y − z) puo essere descritta mediante il seguente tensore di rotazione:

Γij

Ωi

x, u

y, v

z, w

X, vX

Y, vY

Z, vZ

R(nG

ij)

nij

G

L

Figura 6.2: Sistema di riferimento globale G (X − Y −Z) e sistema di riferimento locale L (x − y − z).


R(nG

ij) =

1 0 0 0 0

0 nX

ij nY

ij nZ

ij 0

0 −nY

ij√1 − (nZ

ij)2

nX

ij√1 − (nZ

ij)2

0 0

0 −nX

ij · nZ

ij√1 − (nZ

ij)2

−nY

ij · nZ

ij√1 − (nZ

ij)2

√1 − (nZ

ij)2 0

0 0 0 0 1

, (6.6)

dove nG

ij = (nX

ij , nY

ij , nZ

ij) sono le componenti del versore normale all’interfaccia Γij valutate nelsistema di riferimento globale G (X − Y −Z). Ovviamente e necessario trattare separatamenteil caso particolare in cui il versore normale all’interfaccia nij sia allineato con il versore eZ delsistema di riferimento globale.

In corrispondenza di ogni interfaccia Γij e allora possibile esprimere in modo sempliceil vettore dei flussi numerici FL

ij (t) nel nuovo sistema di riferimento locale L (x − y − z)in funzione dei vettori delle variabili conservative mediate UL

i (t) = RUG

i (t) e UL

j (t) = RUG

j (t);successivamente per determinare il vettore dei flussi numerici FG

ij(t) nel sistema di riferimento

globale G (X − Y − Z) e sufficiente applicare la trasformazione inversa R−1 = RT, ovvero:

FG

ij = R−1 FL

ij (RUG

i , RUG

j ). (6.7)

6.2.1 Approximate Riemann Solver (ARS)

L’Approximate Riemann Solver (ARS) di Roe [24, 25] si basa su una linearizzazione locale delleequazioni di governo in corrispondenza di ogni interfaccia Γij tra le celle di calcolo Ωi ed Ωj,ovvero in forma differenziale:

∂u

∂t+ A

∂u

∂x= 0 ∀(x, t) ∈ V × T . (6.8)

Il problema di Riemann definito dal sistema di equazioni (6.8) e dalle condizioni al contorno ingenerale discontinue ui ed uj a cavallo dell’interfaccia Γij puo essere quindi risolto esattamente.

La matrice A = A(u) = ∂f(u)/∂u|bu · nij ∈ RNd+2×Nd+2 e la matrice Jacobiana proiettata del

vettore delle funzioni di flusso, valutata in corrispondenza di uno stato u intermedio tra gli statiui ed uj a priori incognito, ma che puo essere determinato ricordando le proprieta seguenti:

1. quando la discontinuita tende ad attenuarsi, ovvero ui → u ed uj → u, la matrice A devetendere alla matrice Jacobiana proiettata del vettore delle funzioni di flusso valutata in uovvero A → A(u);

2. la matrice A ha Nd +2 autovettori linearmente indipendenti ed e dunque diagonalizzabile;

3. il problema linearizzato (6.8) deve essere equivalente al problema originale scritto in formaconservativa (6.5) e di conseguenza la matrice A deve soddisfare l’identita:

f(uj) − f(ui) ≡ A (uj − ui). (6.9)


Nel caso in cui si approssimi il comportamento dell’aria mediante il modello termodinamicodi gas ideale politropico (PIG), la matrice Jacobiana del vettore delle funzioni di flusso dipendeunicamente dalla velocita v(x, t) e dall’entalpia totale specifica per unita di massa ht(x, t);sfruttando la proprieta n3 e possibile dimostrare [24, 25] che lo stato intermedio e univocamentedefinito dal seguente operatore di media secondo Roe:

v =

√ρi vi +

√ρj vj√

ρi +√

ρje ht =

√ρi h

ti +

√ρj ht

j√ρi +

√ρj

. (6.10)

Il vettore dei flussi numerici Fij(Ui, Uj) puo essere dunque convenientemente scritto comela somma di un contributo centrato ed uno decentrato (o upwind), fondamentale affinche loschema numerico risultante sia stabile, ovvero:

Fij =fx(Ui) + fx(Uj)

2− 1

2|A| (Uj −Ui), (6.11)

dove, sfruttando la proprieta n2 e definendo rispettivamente la matrice degli autovettori destriR = R(u) e degli autovalori Λ = Λ(u) della matrice A, e possibile scrivere:

|A| = R |Λ| R−1. (6.12)

Nel caso in esame di gas ideale politropico (PIG) le matrici degli autovettori destri R(u)e degli autovalori Λ(u) della matrice Jacobiana proiettata del vettore delle funzioni di flussoA(u) sono rispettivamente pari a:

R =

1 1 1 1 1

u − c u u u u + c

v v v − c v v

w w w w − c w

ht − uc|v|22

|v|22

− vc|v|22

− wc ht + uc

e Λ =

u − c 0 0 0 0

0 u 0 0 0

0 0 u 0 0

0 0 0 u 0

0 0 0 0 u + c

,

dove la velocita del suono c(x, t) puo essere espressa in funzione delle variabili velocita v(x, t)ed entalpia totale specifica per unita di massa ht(x, t), di cui e noto lo stato intermedio secondoRoe, nel seguente modo:

c2 = (γ − 1)

(ht − 1

2|v|2

). (6.13)

Uno svantaggio della linearizzazione di Roe e che la soluzione approssimata del problema diRiemann risultante a cavallo di ogni interfaccia Γij tra le celle di calcolo Ωi ed Ωj e compostaunicamente dalla combinazione di soluzioni elementari discontinue e mai di onde di rarefazione:tutto cio puo comportare una violazione della condizione di entropia [24, 25]. Di conseguenzapuo essere necessario introdurre una correzione sugli autovalori del problema linearizzato (6.8)chiamata Entropy Fix (EF), cosicche la soluzione numerica sia sempre fisicamente accettabile.La strategia correttiva piu comunemente utilizzata e state proposta da A. Harten e J. M. Hyman(HH) e consiste nel modificare ogni q-esimo elemento della matrice degli autovalori |Λ| secondoil seguente algoritmo:

|λq|EF =1

2

( |λq|2εq

+ εq

)se |λq| < εq, (6.14)


dove il coefficiente εq = max(0, λq −λiq, λjq − λq) non e altro che la massima differenza positiva

tra il q-esimo autovalore valutato in corrispondenza dello stato intermedio secondo Roe λq

e degli stati a monte λiq ed a valle λjq. Esiste un’ulteriore variante proposta da V. Selmin cheprevede di introdurre una pesatura in funzione del numero di Mach [16].

6.2.2 Advection Upstream Splitting Method (AUSM)

Il Advection Upstream Splitting Method (AUSM) e stato proposto da M. S. Liou e C. J. Steffencon l’obiettivo di disporre di un metodo molto semplice ed efficiente per costruire il vettore deiflussi numerici, anche se affidabile solo in regime di moto subsonico [26].

L’idea alla base di tale metodo consiste nell’esprimere il vettore dei flussi numerici Fij(Ui,Uj)separando i contributi convettivi centrato e decentrato (o upwind) ed il contributo relativo allapressione termodinamica, ovvero:

Fij = F(C)ij +F

(U)ij +F

(P)ij = M1/2

hx(Ui) + hx(Uj)

2−|M1/2|

hx(Uj) − hx(Ui)

2+

0

P+i + P−

j

0

0

0

, (6.15)

dove hx(u) = c ρ, ρ u, ρ v, ρw, ρ ht e un particolare vettore delle funzioni di flusso proiet-tato nella direzione normale all’interfaccia Γij mentre il numero di Mach di advezione M1/2

puo essere calcolato nel seguente modo:

M1/2 = M+i + M−

j con M+i =

1

4(Mi + 1 )2 e M−

j = −1

4(Mj − 1 )2. (6.16)

Infine per esplicitare i termini P+i e P−

j conviene utilizzare le seguenti relazioni polinomiale alprimo ordine in funzione rispettivamente dei numeri di Mach Mi e Mj , per evitare oscillazionispurie di natura numerica specialmente in prossimita di eventuali discontinuita della soluzione:

P+i =

Pi

2( 1 + Mi ) e P−

j =Pj

2( 1 − Mj ). (6.17)

6.2.3 Convective Upwind and Split Pressure (CUSP)

Il metodo Convective Upwind and Split Pressure (CUSP), evoluzione del Advection UpstreamSplitting Method (AUSM), e stato proposto da A. Jameson con l’obiettivo di disporre di unmetodo semplice, efficiente e robusto per costruire il vettore dei flussi numerici, ottimale inregime di moto transonico e supersonico [19]. Storicamente tale metodo ha riscosso un notevolesuccesso ed e ad esempio implementato nel solutore aerodinamico EDGE [48].

L’idea alla base di tale metodo consiste nell’esprimere il vettore dei flussi numerici Fij(Ui,Uj)separando i contributi convettivi centrato e decentrato (o upwind) ed il contributo relativo allapressione termodinamica; in particolare questi ultimi dipendono da funzioni del numero di Machdi natura empirica, ovvero:

Fij = F(C)ij + F

(U)ij + F

(P)ij =

fx(Ui) + fx(Uj)

2− f1 cij (Uj − Ui) − f2

0

Pj − Pi

0

0

0

, (6.18)


dove cij = (ci + cj)/2 e la velocita del suono mediata in corrispondenza dell’interfaccia Γij,mentre le funzioni empiriche f1(Mij) e f2(Mij) del numero di Mach Mij mediato in corrispon-denza dell’interfaccia Γij secondo la relazione Mij = (ui +uj)/(ci +cj) sono definite nel seguentemodo:

f1(Mij) =

a0 +

(3

2− 2a0

)M2

ij +

(a0 −

1

2

)M4

ij se |Mij | < 1

|Mij | se |Mij | > 1

(6.19a)

f2(Mij) =

1

2Mij ( 3 − M2

ij ) se |Mij | < 1

sign(Mij) se |Mij | > 1;(6.19b)

il coefficiente a0 che compare nella relazione (6.19a) puo essere interpretato come una mano-polina che regola la dissipazione numerica e deve essere tarato sperimentalmente in funzione delparticolare regime di moto in esame (ad esempio in regime di moto transonico e consigliabileimporre a0 = 1/4).

6.2.4 Harten–Lax–vanLeer (HLL)

Il metodo di Harten, Lax e van Leer (HLL) e stato sviluppato con l’obiettivo di disporre diun metodo semplice, efficiente e robusto per costruire un vettore dei flussi numerici facilmentelinearizzabile (per risolvere ad esempio mediante il metodo di Newton-Raphson il sistema diequazioni algebriche non lineari risultante dalla discretizzazione temporale del problema (6.3)con uno schema numerico implicito) [2].

L’idea alla base di tale metodo consiste nell’approssimare la soluzione esatta (molto onerosa)del problema di Riemann (6.8) nel dominio spazio-tempo x − t con un solo stato intermedio useparato dagli stati discontinui assegnati ui ed uj mediante due sole onde acustiche caratterizzaterispettivamente dalle velocita di propagazione Si e Sj. Il vettore dei flussi numerici Fij(Ui, Uj)puo essere allora espresso nel seguente modo:

Fij =

fx(Ui) se Si > 0

Sj fx(Ui) − Si fx(Uj) + Si Sj (Uj − Ui )

Sj − Sise Si ≤ 0 e Sj ≥ 0

fx(Uj) se Sj < 0,

(6.20)

dove le velocita di propagazione Si e Sj delle onde acustiche possono essere espresse ad esempiosecondo la seguente strategia proposta da R. LeVeque, che consente di risolvere esattamente ifenomeni d’urto:

Si = minq

(min( λiq, λjq ) ) e Sj = maxq

(max( λiq, λjq ) ). (6.21)

Tale metodo non consente di risolvere in modo soddisfacente eventuali discontinuita di contatto,in corrispondenza delle quali e introdotta troppa dissipazione numerica; per correggere taledifetto E. F. Toro, M. Spruce e W. Speares hanno proposto un metodo alternativo chiamatoHarten–Lax–vanLeer Contact (HLLC), la cui idea di base consiste nell’approssimare la soluzioneesatta del problema di Riemann (6.8) nel dominio spazio-tempo x − t con due stati intermediui ed uj separati dagli stati discontinui assegnati ui ed uj mediante tre onde acustiche.


6.3 Metodi numerici per l’alta risoluzione

Tutti i metodi presentati per esplicitare il vettore dei flussi numerici Fij(Ui,Uj) sono monotoni,ovvero garantiscono che la soluzione numerica converga all’unica soluzione entropica senza pro-durre oscillazioni spurie in prossimita delle eventuali discontinuita; d’altronde tali metodi sonoal massimo accurati al primo ordine e a causa dell’eccessiva dissipazione numerica fornisconodei risultati non sempre soddisfacenti nelle regioni di corrente regolare e lisciano eccessivamentele onde d’urto.

L’obiettivo dei metodi numerici per l’alta risoluzione e viceversa quello di fornire una soluzio-ne numerica accurata al secondo ordine nelle regioni di corrente regolare e contemporaneamenterisolvere bene le onde d’urto senza produrre oscillazioni spurie (aumentando solo localmente ladissipazione numerica) [24].

Per realizzare tale obiettivo le informazioni relative alle celle di calcolo Ωi ed Ωj adiacentialla faccia Γij in generale non sono piu sufficienti, ma e necessario conoscere la soluzione anche incorrispondenza delle celle di calcolo estese Ωi∗ ed Ωj∗ illustrate in Figura 6.3, che costituisconol’ideale proseguimento dei volumi finiti rispettivamente Ωi ed Ωj nella direzione nij. Trovare talicelle estese e molto facile disponendo di una struttura dati completa per la gestione della grigliadi calcolo: con riferimento alla Figura 6.3 per trovare Ωj∗ e infatti sufficiente scegliere tra tutti ivolumi finiti Ωq eccetto Ωj appartenenti alla bolla del nodo Pj ovvero B(Pj) = Ωq | Pj ∈ Ωq quello per cui la distanza ∆⊥ = ‖(xq − xij) − (xq − xij) · nij nij‖ sia minima. Utilizzandole strutture dati (minimali) per la gestione della griglia di calcolo del programma OpenFOAMnon e possibile svolgere direttamente tale ricerca; di conseguenza nel file createConnectivity.Csono implementati i due algoritmi alternativi seguenti (che utilizzano estesamente la libreria diricerca meshSearch):

A per trovare Ωj∗ a partire dal baricentro geometrico xij della faccia Γij si avanza iterati-vamente nella direzione del versore normale nij fino a che il punto xA = sA nij non cadeall’interno di un volume finito (appunto Ωj∗) differente da quello di partenza; tale algo-ritmo funziona bene per griglie di calcolo strutturate o non-strutturate regolari, mentrepuo fallire per celle di calcolo fortemente distorte.

B per trovare Ωj∗ si cerca il volume finito all’interno del quale cade il punto xB = sB nij,ponendo sB = 4 |Ωj |/|Γij |; tale algoritmo puo fallire per griglie di calcolo caratterizzateda salti molto bruschi della funzione di spaziatura.

Ωi ΩjΩi∗ Ωj∗Pi

Pj

Γijnij

Figura 6.3: Costruzione delle celle di calcolo estese Ωi∗ ed Ωj∗ mediante l’algoritmo A (•) poco efficacee l’algoritmo B (•) viceversa efficace.

Flussi numerici per l’alta risoluzione 85

6.4 Flussi numerici per l’alta risoluzione

L’idea alla base di tale strategia consiste nel costruire un vettore di flussi numerici ad alta risolu-zione FHR

ij (Ui,Uj;Ui∗ ,Uj∗) assemblando un vettore di flussi numerici accurato al secondo ordine

FIIij(Ui,Uj) che funzioni bene nelle regioni di corrente regolare con un vettore di flussi numerici

monotono accurato al primo ordine FIij(Ui,Uj) che prevenga l’insorgere di oscillazioni spurie in

prossimita delle eventuali discontinuita. La transizione tra i due contributi deve essere regolatada un opportuno sensore Φ(Ui,Uj ;Ui∗ ,Uj∗) chiamato flux limiter, che automaticamente attivila dissipazione numerica solo dove necessario, ovvero:

FHRij = FI

ij + Φ (FIIij − FI

ij ) = FIij + Aij , (6.22)

dove il contributo anti-dissipativo Aij(Ui,Uj ;Ui∗ ,Uj∗) bilancia l’eccessiva dissipazione nume-rica dei metodi accurati al primo ordine; equivalentemente e possibile mettere in evidenza ilcontributo dissipativo Dij(Ui,Uj ;Ui∗ ,Uj∗) che elimina le oscillazioni spurie dei metodi accuratial secondo ordine, ovvero:

FHRij = FII

ij − (1 − Φ) (FIIij − FI

ij ) = FIIij + Dij. (6.23)

6.4.1 Lax–Wendroff (LW)

Il metodo ad alta risoluzione di Lax e Wendroff (LW) richiede di aggiungere al vettore dei flussinumerici del primo ordine costruito mediante l’Approximate Riemann Solver (ARS) di Roepresentato in §6.2 il seguente contributo anti-dissipativo Aij(Ui,Uj;Ui∗ ,Uj∗) [24]:

Aij =1

2R

(|Λ| − ∆t

∆x|Λ|2

)∆WΦ , (6.24)

dove R e Λ sono rispettivamente le matrici degli autovettori destri e degli autovalori dellamatrice Jacobiana proiettata del vettore delle funzioni di flusso valutata in corrispondenzadello stato intermedio secondo Roe A, mentre ∆t = t(k+1) − t(k) e ∆x = ‖xj − xi‖ sonorispettivamente l’intervallo di integrazione temporale e spaziale; infine il vettore del salto dellevariabili caratteristiche ∆WΦ = Φ ∆W = Φ R−1 (Uj −Ui) opportunamente limitato ad esempiomediante la strategia proposta da B. vanLeer e pari a:

∆WΦ =∆W |∆Q| + ∆Q |∆W|

∆Q + ∆W + ε, (6.25)

dove ε e un parametro positivo piccolo per evitare problemi numerici di divisione per zero,mentre il r-esimo elemento del vettore del salto upwind delle variabili caratteristiche ∆Q = ∆Q|re pari a:

∆Q =

R−1|r (Uj∗ − Uj) se λr > 0

R−1|r (Ui − Ui∗) se λr ≤ 0.(6.26)

6.4.2 Jameson–Schmidt–Turkel (JST)

Il metodo ad alta risoluzione di Jameson, Schmidt e Turkel (JST) richiede di aggiungere alvettore dei flussi numerici del secondo ordine costruito mediante l’approssimazione centratapresentata in §6.2 il seguente contributo dissipativo Dij(Ui,Uj ;Ui∗ ,Uj∗) [19, 20]:

Dij = maxq

( λq )[ǫ(2) (Uj − Ui) − ǫ(4) (Uj∗ − 3Uj + 3Ui − Ui∗)

], (6.27)


dove ǫ(2) = κ(2) max( νi, νj ) ed ǫ(4) = max( 0, κ(4) − ǫ(2) ) sono i coefficienti che regolano ladissipazione numerica rispettivamente del secondo e quarto ordine; essi dipendono dai parametriempirici validi in regime di moto transonico κ(2) = 1/4 e κ(4) = 1/256 e dai sensori dellapressione termodinamica νi e νj definiti in corrispondenza delle celle di calcolo Ωi ed Ωj nelseguente modo:

νi =|Pj − 2Pi + Pi∗ |Pj + 2Pi + Pi∗

e νj =|Pj∗ − 2Pj + Pi|Pj∗ + 2Pj + Pi

. (6.28)

6.5 Estrapolazione lineare per l’alta risoluzione

L’idea alla base di tale strategia e di natura geometrica e consiste nel generalizzare il metodo diGodunov sostituendo la rappresentazione costante a tratti della soluzione numerica su ciascunacella di calcolo Ui(t) con un’approssimazione piu accurata Ui(x, t), ad esempio lineare ovvero:

Ui(x, t) = Ui(t) + Ψ (∇u)∣∣Ωi

· (x − xi) con x ∈ Ωi, (6.29)

dove il coefficiente Ψ(Ui,Uj ;Ui∗ ,Uj∗) chiamato slope limiter consente di limitare la pendenzadella ricostruzione lineare della soluzione numerica in modo tale da prevenire l’insorgere dioscillazioni spurie in prossimita delle eventuali discontinuita, mentre (∇u)|Ωi

e un’opportunaapprossimazione numerica del gradiente della soluzione valutata in corrispondenza della celladi calcolo Ωi. E allora possibile calcolare gli stati Ui|Γij

(t) = Ui(xij, t) ed Uj|Γij(t) = Uj(xij , t)

immediatamente a monte ed a valle dell’interfaccia Γij e successivamente costruire il vettore dei

flussi numerici Fij(Ui|Γij, Uj|Γij

).

6.5.1 Barth–Jespersen (BJ)

Il metodo di Barth e Jespersen (BJ) consente di determinare il valore ottimale dello slope limiterΨi in corrispondenza di ogni volume finito Ωi di una griglia di calcolo in generale non strutturata.Indicando con B(Ωi) = Ωq | Ωq ∩ Ωi 6= ∅ la bolla delle celle di calcolo Ωq confinanti conil volume finito Ωi, per ogni r-esimo elemento del vettore delle variabili conservative mediateU = U|r e necessario applicare il seguente algoritmo:

Ψi = minj

(Ψij ) con Ψij =

1 se Ui|Γij− Ui = 0

min

(1,

Umax − Ui

Ui|Γij− Ui

)se Ui|Γij

− Ui > 0

min

(0,

Umin − Ui

Ui|Γij− Ui

)se Ui|Γij

− Ui < 0,

(6.30)

dove i coefficienti Umax ed Umin sono rispettivamente i valori massimo e minimo della variabile Uall’interno della bolla di celle di calcolo B(Ωi). Solo apparentemente le informazioni relativealle celle estese Ωi∗ e Ωj∗ non sono necessarie: in realta esse sono fondamentali per costruireun’opportuna approssimazione numerica del gradiente della soluzione (∇u)|Ωi

in corrispondenzadella cella di calcolo Ωi; mediante un’approssimazione centrata accurata al primo ordine adesempio e possibile scrivere:

(∇u)|Ωi=

Uj − Ui∗

xi − xi∗. (6.31)

Discretizzazione temporale 87

6.6 Discretizzazione temporale

Innanzitutto e necessario discretizzare il dominio di calcolo temporale T ⊆ R+, ad esempio

mediante Nt intervalli di ampiezza costante ∆t in modo tale che il k-esimo istante temporalerisulti pari a t(k) = k ∆t.

Raccogliendo i vettori delle variabili conservative mediate Ui(t) relativi ai singoli volumifiniti Ωi della griglia di calcolo nel vettore U(t), e possibile riscrivere in forma compatta ilsistema di Nv equazioni differenziali ordinarie (ODE) (6.3) nel seguente modo:

dUdt

= R( t, U ) ∀ t ∈ T . (6.32)

Indicando il vettore soluzione U(t) valutato all’istante di tempo t(k) come U(k) = U(t(k)),il problema di Cauchy (6.32) puo essere risolto adottando uno schema di integrazione temporaleesplicito, in cui il vettore soluzione U(k+1) e funzione solo dei valori assunti in istanti di tempoprecedenti, oppure implicito, in cui il vettore soluzione U(k+1) dipende implicitamente ancheda se stesso mediante la funzione R( t, U ) [32].

Indipendentemente dalla strategia utilizzata, e necessario garantire che la soluzione numericasi mantenga limitata per ogni istante di tempo t ∈ T , ovvero richiedere che lo schema numericosia assolutamente stabile. Con riferimento ad un problema modello iperbolico monodimensio-nale, e possibile dimostrare che un metodo implicito e assolutamente stabile indipendentementedall’intervallo di integrazione temporale ∆t; viceversa per un metodo esplicito l’assoluta sta-bilita e garantita solo a patto di soddisfare la condizione di Courant-Friedrichs-Lewy (CFL),ovvero:

maxi

(∆t

∆xi‖βi‖

)< Comax, (6.33)

dove ∆xi e la dimensione caratteristica della i-esima cella di calcolo, βi e la velocita locale diadvezione ed infine Comax e il massimo numero di Courant affinche lo schema numerico siaassolutamente stabile. Nel caso particolare delle equazioni di Eulero in Nd dimensioni spazialila relazione (6.33) puo essere scritta come:

maxi

(∆t

|Γi||Ωi|

maxq

( λiq )

)< Comax con |Γi| =

Nf∑

j=1

|Γij |. (6.34)

L’implementazione numerica di un metodo implicito e generalmente piu complessa ed one-rosa dal punto di vista dell’efficienza computazionale e dell’occupazione di memoria RAM,poiche richiede di memorizzare e manipolare matrici di dimensioni solitamente elevate e struttu-ra sparsa. Nonostante cio essi sono molto utilizzati in quanto incondizionatamente assolutamen-te stabili, per cui la scelta dell’intervallo di integrazione temporale ∆t dipende esclusivamentedal grado di accuratezza della soluzione numerica desiderato e non dai piu stringenti vincoli distabilita, consentendo dunque di ridurre significativamente i tempi di calcolo.

Nell’ambito del programma OpenFOAM, le strutture dati e le librerie di basso livello perla memorizzazione e la gestione di matrici sparse e la soluzione dei sistemi lineari (lduMatrix)rendono difficoltosa l’implementazione di un metodo implicito; di conseguenza sono utilizzatisolo schemi di integrazione temporale espliciti, scegliendo gli algoritmi con un elevato ordinedi accuratezza temporale ed una regione di assoluta stabilita il piu ampia possibile. Inoltreper velocizzare la convergenza della soluzione numerica alla condizione stazionaria e stata im-plementata una strategia di Local Timestepping (LT), ovvero in corrispondenza di ogni i-esimacella di calcolo Ωi e utilizzato un intervallo di integrazione temporale ottimale differente ∆tComax

i .


6.6.1 Linear Multistep Method (LMM)

Per la soluzione del problema (6.32) in generale si puo pensare di utilizzare un metodo multipassolineare di ordine Np e dunque risolvere in corrispondenza di ogni volume finito Ωi della grigliadi calcolo la seguente equazione alle differenze lineare:

U(k+1)i =

Np−1∑

p=0

ap U(k−p)i + ∆t

Np−1∑

p=−1

bp Ri

(t(k−p), U(k−p)

), (6.35)

dove i coefficienti ap e bp definiscono univocamente il metodo numerico, che e esplicito se b−1 = 0ed in caso contrario implicito. Piu in particolare sono stati implementati i seguenti schemi diintegrazione temporale:

Eulero Esplicito (EE) ovvero un metodo a Np = 1 passi definito dai coefficienti a0 = 1, b−1 = 0e b0 = 1; tale metodo e caratterizzato da un numero di Courant massimo pari a Comax = 1e da un ordine di accuratezza massimo pari a O(∆t);

Adams-Bashforth (AB2) ovvero un metodo a Np = 2 passi definito dai coefficienti a0 = 1,a1 = 0, b−1 = 0, b0 = 3/2 e b1 = −1/2; tale metodo e caratterizzato da un numero diCourant massimo pari a Comax = 1 e da un ordine di accuratezza massimo pari a O(∆t2).

Non sono stati implementati metodi a piu di Np > 2 passi poiche comportano un significativoaumento del costo computazionale e dell’occupazione di memoria RAM ed una diminuzione delnumero di Courant massimo [32].

6.6.2 Runge–Kutta (RK)

Nei metodi multipasso l’ordine di accuratezza temporale della soluzione numerica e incrementataaumentando il numero di passi Np e mantenendo una struttura lineare. Viceversa nei metodi diRunge-Kutta (RK) l’ordine di accuratezza temporale della soluzione numerica e incrementataaumentando il numero di valutazioni funzionali all’interno di ogni intervallo di integrazionetemporale, scegliendo quindi di mantenere la struttura ad un passo Np = 1 ma sacrificare lalinearita dello schema. Applicando tale metodo al problema (6.32) e necessario risolvere ilseguente sistema di equazioni alle differenze non lineari:

U(k+1) = U(k) + ∆t

Ns∑

s=1

bs Ks

Ks = R( t(k) + cs ∆t, U(k) + ∆t

Ns∑

j=1

asj Kj ) s = 1, 2, . . . , Ns,

(6.36)

dove Ns e il numero di stadi del metodo ed infine asj, bs e cs definiscono univocamente lo schemae sono generalmente raccolti in forma tabulare nell’array di Butcher. Piu in particolare sonostati implementati i seguenti schemi di integrazione temporale:

Runge-Kutta 2 (RK2) ovvero un metodo a Ns = 2 stadi, caratterizzato da un numero diCourant massimo pari a Comax = 2 e da un ordine di accuratezza massimo pari a O(∆t2)e definito nel seguente modo:

U(k+1) = U(k) + ∆t( 1

2K1 +

1

2K2

)

K1 = R( t(k), U(k) )

K2 = R( t(k) + ∆t, U(k) + ∆tK1 );

(6.37)

Discretizzazione temporale 89

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

EEAB2

Re

Im

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

RK2

RK3

RK4

Re

Im

Figura 6.4: Regioni di assoluta stabilita dei metodi di integrazione temporale di Eulero Esplicito (EE)ed Adams-Bashforth (AB2) (sinistra) e di Runge-Kutta (RK2, RK3, RK4) (destra); le regioni sonosimmetriche rispetto all’asse reale Re.

Runge-Kutta 3 (RK3) ovvero un metodo a Ns = 3 stadi, caratterizzato da un numero diCourant massimo pari a Comax = 2.5 e da un ordine di accuratezza massimo pari a O(∆t3)e definito nel seguente modo:

U(k+1) = U(k) + ∆t( 1

6K1 +

2

3K2 +

1

6K3

)

K1 = R( t(k), U(k) )

K2 = R(

t(k) +∆t

2, U(k) +

∆t

2K1

)

K3 = R( t(k) + ∆t, U(k) + ∆tK2 );

(6.38)

Runge-Kutta 4 (RK4) ovvero un metodo a Ns = 4 stadi, caratterizzato da un numero diCourant massimo pari a Comax = 2.8 e da un ordine di accuratezza massimo pari a O(∆t4)e definito nel seguente modo:

U(k+1) = U(k) + ∆t( 1

6K1 +

1

3K2 +

1

3K3 +

1

6K4

)

K1 = R( t(k), U(k) )

K2 = R(

t(k) +∆t

2, U(k) +

∆t

2K1

)

K3 = R(

t(k) +∆t

2, U(k) +

∆t

2K2

)

K4 = R( t(k) + ∆t, U(k) + ∆tK3 );

(6.39)

inoltre sono stati implementati metodi alternativi a Ns = 4 stadi opportunamente modi-ficati per minimizzare la dissipazione numerica e l’occupazione di memoria RAM [17].

Non sono stati implementati metodi a piu di Ns > 4 stadi poiche comportano un significativoaumento del costo computazionale e dell’occupazione di memoria RAM senza garantire unincremento dell’ordine di accuratezza temporale [32].


6.7 Condizioni iniziali ed al contorno

Affinche il problema (5.1) sia ben posto e necessario assegnare opportune condizioni iniziali econdizioni al contorno, definendo rispettivamente il valore assunto dalla soluzione in tutto ildominio V all’istante iniziale t = 0 ovvero u(x, 0) = u0(x) ed il valore assunto dalla soluzione sututto il contorno del dominio S = ∂V ad ogni istante di tempo t ∈ T ovvero u(x ∈ S, t) = b(t).

Il trattamento delle condizioni iniziali non pone particolari problemi: e sufficiente inizializ-zare opportunamente gli elementi del vettore delle variabili conservative mediate U(k=0) = U0;ad esempio conviene scegliere una soluzione iniziale di corrente uniforme.

Viceversa il trattamento delle condizioni al contorno e piu complesso: in generale affinche unproblema iperbolico scalare sia ben posto e necessario assegnare le condizioni al contorno fisichesolo sul bordo di inflow Sinflow, che corrisponde alla porzione del contorno lungo cui β · n < 0,dove β e la velocita locale di advezione ed n e la normale al bordo, convenzionalmente assuntapositiva se uscente. Nel caso di problema iperbolico vettoriale e possibile identificare il bordodi inflow solo a patto di diagonalizzare il problema, riscrivendolo in funzione del vettore dellevariabili caratteristiche W = R−1U: il numero di condizioni al contorno fisiche da assegnare Nbc

e pari al numero di elementi negativi della matrice degli autovalori Λ.

Un’ulteriore difficolta consiste nel fatto che, per imporre numericamente le condizioni alcontorno in corrispondenza della faccia di bordo Γij ∈ Sh = ∂Vh adiacente al volume finitointerno Ωi, nell’ambito della strategia cell-centered e necessario introdurre una o piu (affinchel’espressione del vettore dei flussi numerici ad alta risoluzione sia accurata al secondo ordineanche sul contorno) celle di calcolo fittizie o ghost cells, come illustrato in Figura 6.5. Seguendola strategia presentata in [17] e allora possibile distinguere i seguenti casi:

- se 0 < Nbc ≤ Nd + 2 si impongono Nbc condizioni al contorno fisiche sulle prime Nbc

variabili primitive ordinate secondo la gerarchia temperatura T , velocita v e pressione Pe quindi si ricavano Nd +2−Nbc condizioni al contorno numeriche imponendo che il saltodelle variabili caratteristiche in corrispondenza della ghost cell ΩGC

j sia pari al salto dellevariabili caratteristiche in corrispondenza del volume finito interno piu vicino Ωi;

- se Nbc = 0 si impone che il vettore delle variabili conservative mediate UGC

j valutato incorrispondenza della ghost cell ΩGC

j sia pari al vettore delle variabili conservative mediateUi valutato in corrispondenza del volume finito interno piu vicino Ωi.

Ωi

ΩGC

j

Ωi∗

ΩGC

j∗

Γij

nij

vij

Sh = ∂Vh

uij

Figura 6.5: Implementazione numerica delle condizioni al contorno mediante le ghost cells.

Condizioni iniziali ed al contorno 91

6.7.1 Condizioni al contorno di Riemann

Per quanto riguarda il trattamento delle condizioni al contorno asintotiche in corrispondenzadel bordo all’infinito S∞ conviene implementare le condizioni al contorno di Riemann, in modotale che l’utente non debba conoscere a priori quali porzioni di contorno corrispondano al bordodi inflow Sinflow, ma il programma sia in grado di identificarle automaticamente.

Estrapolando opportunamente il vettore delle variabili conservative mediate Uij in corri-spondenza del baricentro geometrico della faccia di bordo Γij in funzione delle soluzioni noteUi ed Ui∗ relative ai volumi finiti interni Ωi ed Ωi∗ , e immediato ricavare la velocita vij

e la velocita del suono cij . E quindi possibile distinguere le tipologie di condizioni al contornoriassunte in Tabella 6.1, nella quale e specificato quali variabili primitive tra la temperatura T ,la velocita v e la pressione P devono essere assegnate (condizioni al contorno fisiche) oppureestrapolate (condizioni al contorno numeriche). Per quanto riguarda queste ultime sono stateimplementate una strategia di estrapolazione costante (piu robusta) e lineare (piu accurata).

Tipologia

di contorno

Tipologia

di correnteNbc

Variabili

assegnate

Variabili

estrapolate

S inflow

vij · nij < 0

Corrente supersonica

vij · nij > cij

(SupersonicInlet)

Nd + 2 T, v, P −

Corrente subsonica

vij · nij < cij

(Inlet)

Nd + 1 T, v P

Soutflow

vij · nij > 0

Corrente supersonica

vij · nij > cij

(ExtrapolatedOutlet)

0 − T, v, P

Corrente subsonica

vij · nij < cij

(Outlet)

1 T v, P

Tabella 6.1: Tabella riassuntiva delle possibili tipologie di condizioni al contorno.

6.7.2 Condizioni al contorno di non compenetrazione

In corrispondenza di un contorno solido Sb, quale la superficie di un’ala investita da una cor-rente fluida, e necessario imporre la condizione al contorno di non compenetrazione (Slip),ovvero l’annullamento della componente normale della velocita locale a parete (v · n)|Sb = 0;piu in generale e possible assegnare un valore non nullo della velocita normale a parete Vn,detta velocita di traspirazione, in modo tale da riprodurre gli effetti geometrici e cinematici delmovimento del contorno senza effettivamente deformare la griglia di calcolo [56], come descrittopiu dettagliatamente in §8.2.


Dal punto di vista implementativo e innanzitutto necessario estrapolare in modo costante(piu robusto) o lineare (piu accurato) i vettori delle variabili conservative mediate UGC

j e UGC

j∗

in corrispondenza delle ghost cells ΩGC

j ed ΩGC

j∗ in funzione delle soluzioni note Ui e Ui∗ relativeai volumi finiti interni Ωi ed Ωi∗ ; successivamente e possibile imporre l’annullamento dellacomponente della velocita vj normale alla faccia di bordo Γij ed eventualmente aggiungere ilcontributo della velocita di traspirazione Vn (convenzionalmente assunta positiva se uscente)ad esempio in corrispondenza della ghost cell ΩGC

j nel seguente modo:

vj = vj − (vj · nij) nij + Vn nij . (6.40)

Ovviamente e necessario aggiornare il valore dell’energia totale specifica per unita di volume Etj

per tenere conto della variazione dell’energia cinetica nel seguente modo:

Etj = Et

j −1

2ρj |vj|2 +

1

2ρj |vj |2. (6.41)

6.8 Valutazione del solutore aerodinamico AeroFoam

Per quantificare le prestazioni in termini di accuratezza della soluzione numerica ed efficienzacomputazionale e quindi confrontarle con le prestazioni dei solutori aerodinamici disponibilirhoSonicFoam, rhopSonicFoam e sonicFoam e opportuno mettere alla prova il solutore aerodina-mico sviluppato AeroFoam affrontando nuovamente il problema di verifica presentato in §5.4.Anche in questo caso sono ovviamente utilizzate le quattro griglie di calcolo ed i relativi in-tervalli di integrazione temporale rappresentati in Figura 5.4 ed un computer AMD64 3500+con processore AMD Athlon 64 da 2.2 GHz di frequenza massima, 1 Gbyte di memoria RAM,512 Kbyte di cache L2 e sistema operativo Linux con kernel aggiornato alla versione 2.6.18.

Sono di seguito riportati i risultati numerici relativi al campo di pressione termodinamica Pe di densita ρ, all’ordine di accuratezza spaziale e temporale ed all’efficienza computazionaleottenuti imponendo i parametri definiti nel file fvSchemes relativi agli schemi di discretizzazionespaziale, discretizzazione temporale, estrapolazione delle condizioni al contorno e valutazionedel residuo riportati in Tabella 6.2.

Discretizzazione spaziale

fluxSplit Roe;

slopeLim none;

fluxLim LWVL;

entropyFix HH2;

deltaEF 0.1;

Discretizzazione temporale

timeScheme RK2;

Condizioni al contorno

extrapolateBC 1;

Valutazione del residuo

residualNorm L1;

Tabella 6.2: Parametri relativi agli schemi di discretizzazione spaziale, discretizzazione temporale,estrapolazione delle condizioni al contorno e valutazione del residuo del solutore aerodinamico sviluppa-to AeroFoam: piu in particolare per esplicitare il vettore dei flussi numerici e utilizzato l’ApproximateRiemann Solver (ARS) di Roe con l’entropy fix di Harten ed Hyman (HH) combinato con il metodoad alta risoluzione di Lax-Wendroff (LW) opportunamente limitato mediante i flux limiters diB. vanLeer (VL); infine e utilizzato lo schema di integrazione temporale di Runge-Kutta a 2 stadi (RK2).

Valutazione del solutore aerodinamico AeroFoam 93

Figura 6.6: Soluzione numerica del problema C ottenuta mediante il solutore aerodinamico AeroFoamrelativa al campo della pressione termodinamica P ; inoltre per evidenziare la topologia della corrente sonorappresentate 20 isolinee del campo della densita ρ equispaziate tra il valore minimo ρmin = 1.225 kg/m3


0.1

1

10

100

0.001 0.01 0.1 1

||eh|| L

1 [−

]

h [ m ]

O(h)

O(h2)

× 10−3

0.1

1

10

100

1 10 100

||eh|| L

1 [−

]

∆t [ s ]

O(∆t)

O(∆t2)

× 10−6

× 10−3


0.1

1

10

100

100 1000 10000 100000

CPU

tim

e [s

]

Ne

O(Ne)

O(Ne2)

× 10−2

CPU time [ s ]

Ne EE RK2

400 4.49 · 10−3 8.16 · 10−3

1600 1.12 · 10−2 2.07 · 10−2

6400 3.49 · 10−2 6.11 · 10−2

25600 1.18 · 10−1 2.22 · 10−1

Figura 6.8: Tempo di esecuzione per una singola iterazione temporale CPUtime relativo agli schemidi discretizzazione temporale Eulero Esplicito () e Runge-Kutta 2 () all’aumentare del numero dielementi della griglia di calcolo Ne.


0

1

2

3

4

5

6

7

8

100 1000 10000 100000

S [−

]

Ne

Speedup

Ne

400 1.049 3.076 3.897

1600 0.950 2.855 3.446

6400 1.218 3.989 6.447

25600 1.976 3.857 6.274

Figura 6.9: Fattore di Speedup S del solutore sviluppato AeroFoam rispetto ai solutori disponibilirhoSonicFoam (), rhopSonicFoam () e sonicFoam () in funzione del numero di elementi della grigliadi calcolo Ne.

6.8.1 Analisi dei risultati

Esaminando i risultati numerici relativi al campo della pressione termodinamica P e delladensita ρ rappresentati in Figura 6.6 e innanzitutto possibile osservare che in nessuna zona delcampo di moto sono presenti oscillazioni spurie di natura numerica e sia l’urto incidente chel’urto riflesso sono catturati in modo piu che soddisfacente, in ottimo accordo con la soluzioneanalitica riportata in Tabella 5.1.

La Figura 6.7 relativa all’errore ‖eh‖L1 della soluzione numerica rispetto alla soluzione ana-litica mostra che il solutore aerodinamico sviluppato AeroFoam converge sia nello spazio chenel tempo con un ordine di accuratezza inizialmente poco piu che lineare, ma progressivamentecrescente con il numero di elementi Ne della griglia di calcolo fino quasi al secondo ordine,e sempre significativamente maggiore rispetto a quello dei solutori aerodinamici disponibilirhoSonicFoam, rhopSonicFoam e sonicFoam. Tutto cio e illustrato nella Tabella 6.3 relativa aicoefficienti A e B e agli ordini di accuratezza sperimentali p e q della legge di potenza (5.5)con cui e possibile approssimare l’errore relativo ‖eh‖L1, calcolati costruendo il piano di regres-sione ai minimi quadrati dei dati numerici raccolti. Sono inoltre riportati i coefficienti dicorrelazione Rh e R∆t che consentono di misurare la qualita dei risultati ottenuti.

Solutori A p Rh B q R∆t

rhoSonicFoam 0.267 0.543 0.998 0.010 0.091 0.450

rhopSonicFoam 0.425 0.765 0.998 26.79 0.601 0.964

sonicFoam 0.048 −0.045 −0.221 0.021 −0.022 −0.173

AeroFoam 1.362 1.387 0.995 13651 1.307 0.997

Tabella 6.3: Coefficienti A e B, ordini di accuratezza sperimentali p e q ed infine coefficienti di corre-lazione Rh e R∆t del piano di regressione ai minimi quadrati dei dati numerici raccolti utilizzando comeindicatore la pressione termodinamica P .

Valutazione del solutore aerodinamico AeroFoam 95

Il fatto che il solutore aerodinamico sviuppato AeroFoam converga con un ordine di accura-tezza spaziale e temporale medio non esattamente quadratico non deve stupire: infatti il metodoad alta risoluzione di Lax-Wendroff (LW) e accurato al secondo ordine solo nelle regioni di cor-rente regolare, mentre in prossimita delle eventuali discontinuita il metodo e accurato solo alprimo ordine a causa della dissipazione numerica introdotta localmente mediante i flux limitersper prevenire la formazione di oscillazioni spurie [13]. Inoltre il fatto che l’ordine di accuratezzaspaziale e temporale cresca progressivamente da lineare a quasi quadratico con il numero di ele-menti della griglia di calcolo Ne puo essere giustificato osservando che la viscosita numerica µh

dipende dal passo di griglia h [32].Infine la Figura 6.8 relativa all’efficienza computazionale mostra che il solutore aerodinamico

sviluppato AeroFoam e caratterizzato da un tempo di esecuzione per ogni singola iterazioneCPUtime dipendente in modo sublineare dal numero di elementi Ne della griglia di calcolo esignificativamente inferiore rispetto al tempo di esecuzione per ogni singola iterazione CPUtimedei solutori aerodinamici disponibili in OpenFOAM. Esaminando la Figura 6.9 e infatti possibileosservare che il solutore sviluppato AeroFoam consente di raggiungere un fattore di Speedupmediamente pari a S = 1.298 rispetto al solutore rhoSonicFoam, S = 5.016 rispetto al solutorerhopSonicFoam ed infine S = 3.444 rispetto al solutore sonicFoam, leggermente superiori ancherispetto a quelli dell’analogo solutore aerodinamico CentralFoam presentato in [14].

Capitolo 7

Problemi di verifica aerodinamici

In questo Capitolo il solutore aerodinamico sviluppato AeroFoam e messo alla prova affrontandoalcuni problemi di verifica di complessita crescente, in Nd = 2 e Nd = 3 dimensioni spazialisu griglie di calcolo in generale poliedriche strutturate e non strutturate. Piu in particolarel’obiettivo e valutare l’accuratezza dei risultati numerici ottenuti con riferimento alla soluzioneanalitica se disponibile, ai risultati numerici e sperimentali reperibili in Letteratura ed infinead i risultati numerici ottenuti mediante il solutore aerodinamico commerciale FLUENT [43],in un campo il piu ampio possibile di regimi di moto (da basso subsonico ad alto supersonico).

Per quanto riguarda i problemi bidimensionali (Nd = 2) in §7.1 la soluzione numerica dellacorrente stazionaria subsonica (al limite incomprimibile) inviscida attorno ad un cilindro e con-frontata con la soluzione analitica della teoria del potenziale; in §7.2 la soluzione numerica dellacorrente stazionaria subsonica e transonica inviscida attorno ad un profilo alare NACA 0012e confrontata con i risultati sperimentali e numerici; in §7.3 la soluzione numerica della correntenon stazionaria transonica inviscida attorno ad un profilo alare lenticolare soggetto ad una raffi-ca a scalino e confrontata con la soluzione analitica; in §7.4 la soluzione numerica della correntestazionaria all’interno ed all’esterno di un ugello convergente-divergente e confrontata con lasoluzione analitici della teoria quasi-1D e delle caratteristiche; in §7.5 la soluzione numericadella corrente non stazionaria supersonica inviscida nel condotto di Woodward e Colella e con-frontata con i risultati numerici. Per quanto riguarda i problemi tridimensionali (Nd = 3) in §7.6e §7.7 le soluzioni numeriche delle correnti stazionarie transoniche attorno all’ala ONERA M6ed al velivolo completo RAE A sono confrontate con i risultati sperimentali e e numerici.

Tali problemi aerodinamici di verifica sono risolti su un computer AMD64 3500+ con proces-sore AMD Athlon 64 da 2.2 GHz di frequenza massima, 1 Gbyte di memoria RAM, 512 Kbytedi cache L2 e sistema operativo Linux con kernel aggiornato alla versione 2.6.18.

7.1 Cilindro

Si richiede di risolvere numericamente il campo di moto bidimensionale attorno ad un cilindrodi raggio R = 0.5 m investito da una corrente asintotica uniforme subsonica di fluido ideale conγ = 1.4 e R = 287.05 J

kg K caratterizzata da una pressione termodinamica P∞ = 101325 Pa,una temperatura T∞ = 288.15 K, un numero di Mach M∞ = 0.1 ed infine un angolo diincidenza α = 0.

Tale problema di verifica semplice e fondamentale per valutare le prestazioni del solutoreaerodinamico sviluppato AeroFoam in prossimita del limite incomprimibile. Infatti, per numeridi Mach della corrente asintotica inferiori a M∞ < 0.3, i solutori che si appoggiano ad una

97

98 Problemi di verifica aerodinamici

riscrittura del problema aerodinamico (5.1) in variabili caratteristiche soffrono numericamentela disparita tra la velocita della corrente v e la velocita delle onde acustiche c, a meno diimplementare un’opportuna strategia di Time Derivative Preconditioning (TDP) [13].

Il dominio spaziale V e rappresentato in Figura 7.1 ed e costituito da una circonferenzainterna Sb in corrispondenza della quale sono imposte le condizioni al contorno di non compe-netrazione e da una circonferenza esterna S∞ di raggio R∞ = 25 m ≫ R in corrispondenza dellaquale sono imposte le condizioni al contorno di Riemann. La griglia di calcolo e rappresentatain Figura 7.1 ed e costituita da Nv = 15247 volumi finiti triangolari e da Nn = 15484 nodi conun passo di griglia minimo pari a h = 0.02 m in corrispondenza della circonferenza interna.

Il dominio temporale T = [ 0 s, 0.2 s ] e discretizzato in Nt = 20000 intervalli di integrazionetemporale di ampiezza costante pari a ∆t = 1 · 10−5 s scelta in modo tale che il numero diCourant massimo sia pari a Comax ≃ 1.5.

Il tempo di esecuzione per ogni singola iterazione temporale e pari a CPUtime = 0.09 s;di conseguenza il tempo di esecuzione complessivo e pari a CPUtime = 30.00 min.

n

n

R

R∞

Slip

Riemann

M∞

P∞

T∞

x

y

Sb

S∞

Figura 7.1: Definizione qualitativa del problema (sinistra) e dettaglio della griglia di calcolo (destra).

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-1 -0.5 0 0.5 1

−C

p [−

]

x/R [−]

Figura 7.2: Isolinee del coefficiente di pressione Cp attorno al cilindro (sinistra) e confronto tra irisultati numerici ottenuti mediante AeroFoam () e la soluzione analitica (−) relativi alla distribuzionedel coefficiente di pressione Cp sulla superficie del cilindro (destra).

Profilo alare NACA 0012 99

In Figura 7.1 sono presentati i risultati numerici relativi alla distribuzione del coefficiente dipressione Cp sulla superficie del cilindro ottenuti imponendo i parametri relativi agli schemi didiscretizzazione spaziale, discretizzazione temporale, estrapolazione delle condizioni al contornoe valutazione del residuo riportati in Tabella 6.2; e possibile osservare un ottimo accordo con lasoluzione analitica calcolata secondo la teoria del potenziale [1], ovvero:

CExactp = 1 − 4 sin2(θ) con x = R cos(θ). (7.1)

7.2 Profilo alare NACA 0012

Si vuole risolvere numericamente il campo di moto bidimensionale attorno ad un profilo alareNACA 0012 di corda c = 1 m investito da una corrente asintotica uniforme subsonica e transoni-ca di fluido ideale con γ = 1.4 e R = 287.05 J

kg K caratterizzata da una pressione termodinamicaP∞ = 85419 Pa, una temperatura T∞ = 260 K, un numero di Mach M∞ = 0.5 e M∞ = 0.75 edinfine un angolo di incidenza α = 0, α = 2 e α = 4. Successivamente si richiede di confron-tare i risultati numerici cosı ottenuti con quelli forniti dal solutore aerodinamico commercialeFLUENT e con i dati sperimentali riportati in [40].

Il dominio spaziale V e rappresentato in Figura 7.3 ed e costituito da un profilo alare Sb

in corrispondenza del quale sono imposte le condizioni al contorno di non compenetrazione eda una circonferenza esterna S∞ di raggio R∞ = 25 m ≫ c in corrispondenza della quale sonoimposte le condizioni al contorno di Riemann. La griglia di calcolo aerodinamica e rappresentatain Figura 7.3 ed e costituita da Nv = 6620 volumi finiti triangolari e da Nn = 6864 nodi con unpasso di griglia minimo pari a h = 0.01 m in corrispondenza del profilo alare.

Il dominio temporale T = [ 0 s, 0.035 s ] e discretizzato in Nt = 7000 e Nt = 11667intervalli di integrazione temporale di ampiezza costante pari a ∆t = 5 ·10−6 s e ∆t = 3 ·10−6 sscelte in modo tale che il numero di Courant massimo sia sempre pari a Comax ≃ 1.95 rispetti-vamente nel caso di M∞ = 0.5 e M∞ = 0.75.

Il tempo di esecuzione per ogni singola iterazione temporale e pari a CPUtime = 0.045 s;di conseguenza il tempo di esecuzione complessivo e pari a CPUtime = 5.25 min nel caso diM∞ = 0.5 e CPUtime = 8.75 min nel caso di M∞ = 0.75.

n

c

t

R∞

Slip

Riemann

M∞

P∞

T∞

x

y

Sb

S∞



In Figura 7.4 e nelle Figure 7.5–7.7 sono presentati i risultati numerici relativi rispet-tivamente alle isolinee del coefficiente di pressione Cp attorno al profilo alare NACA 0012ed alla distribuzione del coefficiente di pressione Cp sulla superficie del profilo alare NACA0012 ottenuti imponendo i parametri relativi agli schemi di discretizzazione spaziale, discretiz-zazione temporale, estrapolazione delle condizioni al contorno e valutazione del residuo riportatiin Tabella 6.2; e possibile osservare un ottimo accordo con i risultati numerici ottenuti medianteil solutore aerodinamico commerciale FLUENT (con un tempo di esecuzione per ogni singolaiterazione temporale CPUtime del tutto confrontabile) ed un soddisfacente accordo con i datisperimentali riportati in [40]; ovviamente le discrepanze che e possibile osservare in prossimitadelle onde d’urto normali che si formano sul dorso del profilo alare per M∞ = 0.75 ed α ≥ 2

sono dovute all’azione degli sforzi viscosi che tendono ad addolcire le eventuali discontinuita.

Figura 7.4: Isolinee del coefficiente di pressione Cp attorno al profilo alare NACA 0012 per M∞ = 0.75ed α = 4 calcolate mediante AeroFoam (sinistra) e FLUENT (destra).

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−C

p [−

]

x/c [−]

WT

FLUENT

AeroFoam-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−C

p [−

]

x/c [−]

WT

FLUENT

AeroFoam

Figura 7.5: Confronto tra i risultati numerici ottenuti mediante AeroFoam (), i risultati numericiottenuti mediante FLUENT () ed i dati sperimentali WT () relativi alla distribuzione del coefficientedi pressione Cp sulla superficie del profilo alare NACA 0012 per M∞ = 0.5 (sinistra) e M∞ = 0.75(destra) ed α = 0.

Risposta temporale ad una raffica a scalino di un profilo alare lenticolare 101

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−C

p [−

]

x/c [−]

Upper Surface

Lower Surface

WT

FLUENT

AeroFoam-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−C

p [−

]

x/c [−]

Upper Surface

Lower Surface

WT

FLUENT

AeroFoam


-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−C

p [−

]

x/c [−]

Upper Surface

Lower Surface

WT

FLUENT

AeroFoam-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−C

p [−

]

x/c [−]

Upper Surface

Lower Surface

WT

FLUENT

AeroFoam


7.3 Risposta temporale ad una raffica a scalino di un profilo

alare lenticolare

Si richiede di calcolare numericamente la variazione non stazionaria della pendenza della curvadi portanza CL/α(τ) in funzione del tempo adimensionale τ = t V∞/La con La = c/2 di unprofilo alare lenticolare a doppio arco di circonferenza di corda c = 1 m e spessore massimot = 0.01 m ≪ c investito da una corrente asintotica bidimensionale uniforme transonica difluido ideale con γ = 1.4 e R = 287.05 J

kg K caratterizzata da una pressione termodinamicaP∞ = 101325 Pa, una temperatura T∞ = 288.15 K ed un numero di Mach M∞ = 0.5,M∞ = 0.7, M∞ = 1.0 e M∞ = 1.2 e soggetto ad una raffica di ampiezza vg/V∞ = tan(1).


Tale problema di verifica semplice e fondamentale per valutare l’accuratezza del soluto-re aerodinamico sviluppato AeroFoam nel risolvere numericamente il transitorio aerodinamico(fondamentale ai fini dell’analisi aeroelastica) nei regimi di moto subsonico, transonico e super-sonico, confrontando i risultati numerici ottenuti con la soluzione analitica calcolata secondo lateoria dei profili sottili [6].

Il dominio spaziale V e rappresentato in Figura 7.8 ed e costituito da un profilo alare Sb

in corrispondenza del quale sono imposte le condizioni al contorno di non compenetrazione eda una circonferenza esterna S∞ di raggio R∞ = 25 m ≫ c in corrispondenza della quale sonoimposte le condizioni al contorno di Riemann. La griglia di calcolo aerodinamica e rappresentatain Figura 7.8 ed e costituita da Nv = 6498 volumi finiti triangolari e da Nn = 6740 nodi con unpasso di griglia minimo pari a h = 0.01 m in corrispondenza del profilo alare.

n

c

t

R∞

Slip

Riemann

M∞

P∞

T∞

x

y

Sb

S∞

vg


0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 2 4 6 8 10 12 14 16

CL

/α/2

π [−

]

τ [−]

M∞=0.5

M∞=0.7

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 2 4 6 8 10 12 14 16

CL

/α/2

π [−

]

τ [−]

M∞=1.2

M∞=1.0

Figura 7.9: Confronto tra i risultati numerici ottenuti mediante AeroFoam () con la soluzione analiticacalcolata secondo la teoria dei profili sottili (−) relativi alla variazione non stazionaria della pendenza dellacurva di portanza CL/α(τ) in funzione del tempo adimensionale τ = t V∞/La di un profilo alare lenticolaresoggetto ad una raffica a scalino in direzione trasversale di ampiezza massima vg/V∞ = tan(1).

Ugello convergente-divergente 103

Il dominio temporale T = [ 0 s, 0.05 s ] e discretizzato in Nt = 10000, Nt = 12500,Nt = 20000 e Nt = 25000 intervalli di integrazione temporale di ampiezza costante pari a∆t = 5 · 10−6 s, ∆t = 4 · 10−6 s, ∆t = 2.5 · 10−6 s e ∆t = 2 · 10−6 s scelte in modo taleche il numero di Courant massimo sia sempre pari a Comax ≃ 1.95 rispettivamente nel caso diM∞ = 0.5, M∞ = 0.7, M∞ = 1.0 e M∞ = 1.2.

Il tempo di esecuzione per ogni singola iterazione temporale e pari a CPUtime = 0.045 s;di conseguenza il tempo di esecuzione complessivo e pari a CPUtime = 7.50 min nel caso diM∞ = 0.5, CPUtime = 9.35 min nel caso di M∞ = 0.7, CPUtime = 15.00 min nel caso diM∞ = 1.0 e CPUtime = 18.75 min nel caso di M∞ = 1.2.

In Figura 7.9 sono presentati i risultati numerici relativi alla variazione non stazionaria dellapendenza della curva di portanza CL/α(τ) in funzione del tempo adimensionale τ = t V∞/La delprofilo alare lenticolare soggetto ad una raffica a scalino di ampiezza massima vg/V∞ = tan(1)ottenuti imponendo i parametri relativi agli schemi di discretizzazione spaziale, discretizzazionetemporale, estrapolazione delle condizioni al contorno e valutazione del residuo riportati inTabella 6.2; e possibile osservare un ottimo accordo con la soluzione analitica calcolata secondola teoria dei profili sottili [6].

7.4 Ugello convergente-divergente

Si vuole calcolare numericamente la corrente bidimensionale stazionaria di fluido ideale conγ = 1.4 e R = 287.05 J

kg K all’interno ed all’esterno di un condotto convergente-divergente dilunghezza L = 7.5 m caratterizzato dalla seguente legge di variazione della semi-altezza dellasezione:

h(x) = 1 + hT − e−A (x−xT)2 con x < L, (7.2)

dove hT = 0.5 m e la semi-altezza in corrispondenza della sezione di gola xT = 1.5 m ed infineil coefficiente A = 0.2 m−2. Tale condotto a monte e posto in comunicazione con un serbatoiodi aria in quiete caratterizzato da una pressione totale P t = 20 atm ed una temperaturatotale T t = 564.55 K ed a valle scarica in atmosfera in quiete caratterizzata da una pressionetermodinamica Pa = 101325 Pa ed una temperatura Ta = 288.15 K. Successivamente si richiededi confrontare i risultati numerici cosı ottenuti con la soluzione analitica calcolata secondo lateoria quasi-1D e delle caratteristiche [34].

Il dominio spaziale V e rappresentato in Figura 7.10 ed e costituito dalla sola meta su-periore (per minimizzare il costo computazionale) del condotto convergente-divergente Sb incorrispondenza del quale sono imposte le condizioni al contorno di non compenetrazione e daun rettangolo esterno S∞ di base L∞ = 40 m e di altezza h∞ = 20 m in corrispondenza delquale sono imposte le condizioni al contorno di Riemann. La griglia di calcolo aerodinami-ca e rappresentata in Figura 7.8 ed e costituita da Nv = 30900 volumi finiti triangolari e daNn = 31728 nodi con un passo di griglia minimo pari a h = 0.1 m in corrispondenza dell’assedi simmetria.

Il dominio temporale T = [ 0 s, 0.5 s ] e discretizzato in Nt = 50000 intervalli di integrazionetemporale di ampiezza costante pari a ∆t = 1 · 10−5 s scelta in modo tale che il numero diCourant massimo sia sempre pari a Comax ≃ 1.85.

Il tempo di esecuzione per ogni singola iterazione temporale e pari a CPUtime = 0.22 sdi conseguenza il tempo di esecuzione complessivo e pari a CPUtime = 3.00 h.


ts

n

Slip

SymmetryPlaneSuper

sonic

Inle

t Rie

man

nRiemann

L L∞

x

xT

h(x)hT

h∞

P t

T t

Sb

S∞


Nelle Figure 7.11 e 7.12 sono presentati i risultati numerici relativi alle isolinee del numero diMach M all’interno ed all’esterno del condotto convergente-divergente (7.2) ed alla distribuzionedella pressione termodinamica P e del numero di Mach M lungo l’asse di simmetria del condottoconvergente-divergente ottenuti imponendo i parametri relativi agli schemi di discretizzazionespaziale, discretizzazione temporale, estrapolazione delle condizioni al contorno e valutazionedel residuo riportati in Tabella 6.2; e possibile osservare un ottimo accordo con la soluzioneanalitica calcolata secondo la teoria quasi-1D e la teoria delle caratteristiche [34]. Inoltre, datoche la pressione atmosferica Pa e inferiore alla pressione termodinamica in corrispondenza dellasezione di efflusso Pe ovvero Pa < Pe, l’ugello e detto sottoespanso ed esternamente ad esso sigenera una serie periodica teoricamente infinita (in assenza di dissipazione viscosa o numerica)di onde di espansione e compressione delimitate da una discontinuita di contatto di spessoreteoricamente infintesimo (in assenza di dissipazione viscosa o numerica).

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00 18.00 20.00 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

Figura 7.11: Isolinee del numero di Mach M all’interno ed all’esterno del condotto convergente-divergente (7.2) calcolate mediante AeroFoam (in alto) e secondo la teoria delle caratteristiche [34](al centro). E inoltre riportato (in basso) il reticolo delle linee caratteristiche della famiglia C+ ()e della famiglia C− () su cui e nota la soluzione analitica; sono inoltre messe in evidenza le porzioni delcontorno in corrispondenza delle quali si impone la condizione al contorno sulla velocita (−) piuttostoche sulla pressione (−).

Scalino di Woodward-Colella 105

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

P/P

0 [−

]

x/L [−]

xT 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

M [−

]

x/L [−]

xT

Figura 7.12: Confronto tra i risultati numerici ottenuti mediante AeroFoam () con la soluzione analiticacalcolata secondo la teoria quasi-1D () e delle caratteristiche () relativi alla distribuzione della pres-sione termodinamica P (sinistra) e del numero di Mach (destra) lungo l’asse di simmetria del condottoconvergente-divergente.

7.5 Scalino di Woodward-Colella

Si richiede di calcolare numericamente la corrente bidimensionale non stazionaria supersonicadi fluido ideale con γ = 1.4 e R = 0.714 J

kg K caratterizzata da una pressione termodinamicaP∞ = 1 Pa, una temperatura T∞ = 1 K ed un numero di Mach M∞ = 3 all’interno del condottodi Woodward e Colella [55]. Successivamente si richiede di confrontare i risultati numerici cosıottenuti con quelli forniti dal solutore aerodinamico CentralFoam riportati in [14].

Il dominio spaziale V e rappresentato in Figura 7.13 ed e costituito da un condotto ret-tangolare di lunghezza L = 3 m e di altezza h = 1 m; in corrispondenza della coordinataxS = 0.6 m e inoltre presente uno scalino rettangolare di altezza hS = 0.2 m. In corrispondenzadelle pareti superiore ed inferiore sono imposte le condizioni al contorno di non compenetra-zione, mentre in corrispondenza della sezione di ingresso e di uscita sono imposte le condizionial contorno di Riemann. La griglie di calcolo aerodinamiche sono rappresentate in Figura 7.13e sono costituite da Nv = 6559 volumi finiti triangolari e da Nn = 6830 nodi (A), da Nv = 7560volumi finiti quadrangolari ortogonali e da Nn = 15542 nodi (B) ed infine da Nv = 7500 volumifiniti poliedrici e da Nn = 30776 nodi (C). Il passo di griglia minimo e pari a h = 0.03 min corrispondenza dello scalino.

Il dominio temporale T = [ 0 s, 4 s ] e discretizzato in Nt = 4000 intervalli di integrazionetemporale di ampiezza costante pari a ∆t = 1 · 10−3 s scelta in modo tale che il numero diCourant massimo sia sempre pari a Comax ≃ 1.98.

Il tempo di esecuzione per ogni singola iterazione temporale e pari a CPUtime = 0.012 sdi conseguenza il tempo di esecuzione complessivo e pari a CPUtime = 48 s

In Figura 7.14 sono presentati i risultati numerici relativi alle isolinee della velocita v edella densita ρ all’istante di tempo t = 4 s all’interno del condotto di Woodward e Colellaottenuti imponendo i parametri relativi agli schemi di discretizzazione spaziale, discretizzazionetemporale, estrapolazione delle condizioni al contorno e valutazione del residuo riportati inTabella 6.2; e possibile osservare un ottimo accordo con i risultati numerici ottenuti medianteil solutore aerodinamico CentralFoam riportati in [14].


n

Slip

Slip

Super

sonic

Inle

t

Ext

rapO

utletL

h

hS

xS x

y

M∞

P∞

T∞

ts

Figura 7.13: Definizione qualitativa del problema (in alto a sinistra) e dettaglio della griglia di calcoloA non strutturata a volumi finiti triangolari (in alto a destra), della griglia di calcolo B strutturata avolumi finiti quadrangolari ortogonali (in basso a sinistra) e della griglia di calcolo C non strutturata avolumi finiti poligonali (in basso a destra). La griglia di calcolo C e generata a partire dalla griglia dicalcolo A mediante il programma Tri2Poly scritto in linguaggio SciLab.

Figura 7.14: Confronto tra la soluzione numerica relativa al campo di velocita v e 30 isolinee equispaziatedel campo di densita ρ ottenuta mediante CentralFoam sulla griglia di calcolo B riportata in Letteratura[14] (in alto a sinistra) con quella ottenuta mediante AeroFoam sulla griglia di calcolo A (in alto a destra),B (in basso a sinistra) e C (in basso a destra).

7.6 Ala ONERA M6

Si vuole risolvere numericamente il campo di moto tridimensionale attorno ad un’ala ONERAM6 rappresentata in Figura 7.15 investita da una corrente asintotica uniforme transonica difluido ideale con γ = 1.4 e R = 287.05 J

kg K caratterizzata da una pressione termodinamicaP∞ = 31500 Pa, una temperatura T∞ = 255.6 K, un numero di Mach M∞ = 0.84 ed infine adun angolo di incidenza α = 3.06. Successivamente si richiede di confrontare i risultati numericicosı ottenuti con quelli forniti dal solutore aerodinamico commerciale FLUENT e con i datisperimentali riportati in [35].

Ala ONERA M6 107

b

cr

ct

c

1

2

3

4

5

67

ΛLEΛTE

M∞

0.44 cr

x

y

Geometria

AR 3.8

b 1.196 m

ΛLE 30

ΛTE 15.8

λ 0.562

c 0.646 m

S 1.506 m2

Sezioni y/b

1 0.20

2 0.44

3 0.65

4 0.80

5 0.90

6 0.95

7 0.99

Figura 7.15: Geometria dell’ala ONERA M6.

Figura 7.16: Griglia di calcolo (sinistra) e dettaglio della griglia di calcolo (destra).

Il dominio spaziale V e rappresentato in Figura 7.16 ed e costituito da un’ala ONERA M6 Sb

in corrispondenza della quale sono imposte le condizioni al contorno di non compenetrazionee da un cubo esterno S∞ di base b∞ = 11 m, spessore s∞ = 5 m e di altezza h∞ = 10 m incorrispondenza del quale sono imposte le condizioni al contorno di Riemann. La griglia dicalcolo aerodinamica e rappresentata in Figura 7.16 ed e costituita da Nv = 341797 volumifiniti tetraedrici e da Nn = 72791 nodi con un passo di griglia minimo pari a h = 0.001 m incorrispondenza del bordo d’attacco della superficie alare.

Il dominio temporale T = [ 0 s, 0.025 s ] e discretizzato in Nt = 75000 intervalli di integra-zione temporale di ampiezza costante pari a ∆t = 5 · 10−7 s scelto in modo tale che il numerodi Courant massimo sia sempre pari a Comax ≃ 1.95.

Il tempo di esecuzione per ogni singola iterazione temporale e pari a CPUtime = 3.48 sdi conseguenza il tempo di calcolo complessivo e pari a CPUtime = 72.50 h.


In Figura 7.17 e nelle Figure 7.18–7.19 sono presentati i risultati numerici relativi rispettiva-mente alle isolinee del campo di pressione termodinamica P ed alla distribuzione del coefficientedi pressione Cp valutati in corrispondenza della superficie dell’ala ONERA M6 ottenuti impo-nendo i parametri relativi agli schemi di discretizzazione spaziale, discretizzazione temporale,estrapolazione delle condizioni al contorno e valutazione del residuo riportati in Tabella 6.2;e possibile osservare un ottimo accordo con i risultati numerici ottenuti mediante il solutoreaerodinamico commerciale FLUENT (con un tempo di esecuzione per ogni singola iterazionetemporale CPUtime del tutto confrontabile) ed un soddisfacente accordo con i dati sperimentaliriportati in [35]; ovviamente le discrepanze che e possibile osservare in prossimita delle onded’urto normali che si formano sulla superficie alare sono dovute all’azione degli sforzi viscosiche tendono ad addolcire le eventuali discontinuita.

Figura 7.17: Isolinee del campo di pressione termodinamica P sulla superficie dell’ala ONERA M6 esul piano di simmetria del dominio esterno calcolate mediante AeroFoam (sinistra) e FLUENT (destra).

0.01

0.1

1

10

100

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000

||∆|| L

1 [−

]

t [ s ] × 10−4

× 10−4

ρ

m

E t

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−C

p [−

]

x/c [−]

Upper Surface

Lower Surface

y/b = 0.20

WT

FLUENT

AeroFoam

Figura 7.18: Convergenza temporale della soluzione numerica ottenuta mediante AeroFoam relativa alladensita ρ (), quantita di moto m () e energia totale specifica per unita di volume Et () (sinistra) econfronto tra i risultati numerici ottenuti mediante AeroFoam (), i risultati numerici ottenuti medianteFLUENT () ed i dati sperimentali WT () relativi alla distribuzione del coefficiente di pressione Cp incorrispondenza delle sezioni alari definite in Figura 7.15 (destra).

Ala ONERA M6 109

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−C

p [−

]

x/c [−]

Upper Surface

Lower Surface

y/b = 0.44

WT

FLUENT

AeroFoam-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−C

p [−

]

x/c [−]

Upper Surface

Lower Surface

y/b = 0.65

WT

FLUENT

AeroFoam

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−C

p [−

]

x/c [−]

Upper Surface

Lower Surface

y/b = 0.80

WT

FLUENT

AeroFoam-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−C

p [−

]

x/c [−]

Upper Surface

Lower Surface

y/b = 0.90

WT

FLUENT

AeroFoam

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−C

p [−

]

x/c [−]

Upper Surface

Lower Surface

y/b = 0.95

WT

FLUENT

AeroFoam-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−C

p [−

]

x/c [−]

Upper Surface

Lower Surface

y/b = 0.99

WT

FLUENT

AeroFoam

Figura 7.19: Confronto tra i risultati numerici ottenuti mediante AeroFoam (), i risultati numericiottenuti mediante FLUENT () ed i dati sperimentali WT () relativi alla distribuzione del coefficientedi pressione Cp in corrispondenza delle sezioni alari definite in Figura 7.15.


7.7 Ala RAE A e corpo assisimmetrico

Si richiede di risolvere numericamente il campo di moto tridimensionale attorno ad un corpoassisimmetrico e da un’ala RAE A rappresentati in Figura 7.20 investiti da una corrente asin-totica uniforme transonica di fluido ideale con γ = 1.4 e R = 287.05 J

kg K caratterizzata dauna pressione termodinamica P∞ = 29765 Pa, una temperatura T∞ = 275.3872 K, un numerodi Mach M∞ = 0.9 ed infine ad un angolo di incidenza α = 1. Successivamente si richie-de di confrontare i risultati numerici cosı ottenuti con quelli forniti dal solutore aerodinamicocommerciale FLUENT e con i dati sperimentali riportati in [41].

Il dominio spaziale V e rappresentato in Figura 7.21 ed e costituito da corpo assisimmetricoe da un’ala RAE A Sb in corrispondenza dei quali sono imposte le condizioni al contorno di noncompenetrazione e da un parallelepipedo esterno S∞ di base b∞ = 14 m, spessore s∞ = 12 med altezza h∞ = 12 m in corrispondenza del quale sono imposte le condizioni al contorno diRiemann. La griglia di calcolo aerodinamica e rappresentata in Figura 7.21 ed e costituita daNv = 459487 volumi finiti tetraedrici e da Nn = 95668 nodi con un passo di griglia minimo paria h = 0.025 m in corrispondenza del bordo d’attacco della superficie alare.

Il dominio temporale T = [ 0 s, 0.02 s ] e discretizzato in Nt = 100000 intervalli di integra-zione temporale di ampiezza costante pari a ∆t = 2 · 10−7 s scelto in modo tale che il numerodi Courant massimo sia sempre pari a Comax ≃ 1.85.

Il tempo di esecuzione per ogni singola iterazione temporale e pari a CPUtime = 4.52 s;di conseguenza il tempo di esecuzione complessivo e pari a CPUtime = 125.55 h.

b = 0.457 m

cr = 0.228 m

ct = 0.076 m

L = 1.928 m

xw = 0.609 m

xb =0.760 m

c

Λc/2 = 30

x

Rb =Ro/2

ϕ

R(x) Ro = 0.076 m

xo = 0.508 m

1

2

3

4

5

6

Figura 7.20: Geometria del corpo assisimmetrico e dell’ala RAE A; sono inoltre messe in evidenzale sezioni alari e della fusoliera in corrispondenza delle quali sono rilevati mediante prese di pressionei risultati sperimentali riportati in [41].

Ala RAE A e corpo assisimmetrico 111


In Figura 7.22 e nelle Figure 7.23–7.24 sono presentati i risultati numerici relativi rispettiva-mente alle isolinee del campo di pressione termodinamica P ed alla distribuzione del coefficientedi pressione Cp valutati in corrispondenza della superficie del corpo assisimmetrico e dell’alaRAE A ottenuti imponendo i parametri relativi agli schemi di discretizzazione spaziale, di-scretizzazione temporale, estrapolazione delle condizioni al contorno e valutazione del residuoriportati in Tabella 6.2; e possibile osservare un ottimo accordo con i risultati numerici otte-nuti mediante il solutore aerodinamico commerciale FLUENT (con un tempo di esecuzione perogni singola iterazione temporale CPUtime del tutto confrontabile) ed un soddisfacente accordocon i dati sperimentali riportati in [41]; ovviamente le discrepanze che e possibile osservare inprossimita delle onde d’urto normali che si formano sulla superficie alare sono dovute all’azionedegli sforzi viscosi che tendono ad addolcire le eventuali discontinuita.

Figura 7.22: Isolinee del campo di pressione termodinamica P sulla superficie del corpo assisimmetricoe dell’ala RAE A calcolate mediante AeroFoam (sinistra) e FLUENT (destra).


0.01

0.1

1

10

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000

||∆|| L

1 [−

]

t [ s ] × 10−4

× 10−4

ρ

m

E t

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−C

p [−

]

x/L [−]

ϕ = +15°

ϕ = −15°

WT

FLUENT

AeroFoam

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−C

p [−

]

x/L [−]

ϕ = +30°

ϕ = −30°

WT

FLUENT

AeroFoam-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−C

p [−

]

x/L [−]

ϕ = +45°

ϕ = −45°

WT

FLUENT

AeroFoam

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−C

p [−

]

x/L [−]

ϕ = +60°

ϕ = −60°

WT

FLUENT

AeroFoam-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−C

p [−

]

x/L [−]

ϕ = +90°

ϕ = −90°

WT

FLUENT

AeroFoam

Figura 7.23: Convergenza temporale della soluzione numerica ottenuta mediante AeroFoam relativaalla densita ρ (), quantita di moto m () e energia totale specifica per unita di volume Et () (altoa sinistra) e confronto tra i risultati numerici ottenuti mediante AeroFoam (), i risultati numericiottenuti mediante FLUENT () ed i dati sperimentali WT () relativi alla distribuzione del coefficientedi pressione Cp in corrispondenza delle sezioni longitudinale del corpo assisimmetrico.

Ala RAE A e corpo assisimmetrico 113

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−C

p [−

]

x/c [−]

Upper Surface

Lower Surface

y/b = 0.25

WT

FLUENT

AeroFoam-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−C

p [−

]

x/c [−]

Upper Surface

Lower Surface

y/b = 0.40

WT

FLUENT

AeroFoam

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−C

p [−

]

x/c [−]

Upper Surface

Lower Surface

y/b = 0.60

WT

FLUENT

AeroFoam-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−C

p [−

]

x/c [−]

Upper Surface

Lower Surface

y/b = 0.75

WT

FLUENT

AeroFoam

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−C

p [−

]

x/c [−]

Upper Surface

Lower Surface

y/b = 0.85

WT

FLUENT

AeroFoam-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−C

p [−

]

x/c [−]

Upper Surface

Lower Surface

y/b = 0.925

WT

FLUENT

AeroFoam

Figura 7.24: Confronto tra i risultati numerici ottenuti mediante AeroFoam (), i risultati numericiottenuti mediante FLUENT () ed i dati sperimentali WT () relativi alla distribuzione del coefficientedi pressione Cp in corrispondenza delle sezioni alari definite in Figura 7.20.

Capitolo 8

Interfaccia aeroelastica

In questo Capitolo in §8.1 e affrontato il problema di come costruire ed implementare nume-ricamente uno schema di interfaccia aeroelastica che consenta di realizzare praticamente laconnessione ad anello chiuso tra il sistema strutturale ed il sistema aerodinamico medianteun’opportuna procedura di interpolazione, presentando in particolare una procedura di inter-polazione lineare molto semplice ed una piu raffinata procedura di interpolazione ai minimiquadrati mobili o Moving Least Squares (MLS) [28].

Grazie a tale schema di interfaccia aeroelastica e possibile interpolare gli spostamenti ele velocita strutturali sui nodi aerodinamici appartenenti al contorno del corpo. Per tradurrequeste informazioni in una variazione delle condizioni al contorno del sistema aerodinamico l’ap-proccio concettualmente piu semplice e corretto, ma contemporaneamente piu oneroso consistenel deformare la griglia di calcolo aerodinamica [56] e riformulare il problema aerodinamicosecondo una strategia Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) [30]. Una strategia meno costosae presentata in §8.2 e consiste nel modificare la condizione al contorno di non compenetrazioneassegnando un valore non nullo della velocita normale Vn, detta velocita di traspirazione, inmodo tale da riprodurre gli effetti geometrici e cinemtatici del movimento del contorno senzaeffettivamente deformare la griglia di calcolo.

8.1 Schema di interfaccia aeroelastica

L’obiettivo della schema di interfaccia aeroelastica e quello di realizzare praticamente la con-nessione ad anello chiuso tra il sistema strutturale ed il sistema aerodinamico mediante un’op-portuna procedura di interpolazione e garantire che lo scambio di informazioni avvenga inmodo accurato, efficiente e flessibile. Ad esempio e necessario sapere tradurre gli spostamentie le velocita strutturali in variazioni delle condizioni al contorno del sistema aerodinamico edanalogamente le forze aerodinamiche in una condizione di carico agente sul sistema strutturale.

Come descritto piu dettagliatamente in §2.4 progettare ed implementare numericamenteuno schema di interfaccia che soddisfi tali requisiti non sono operazioni banali, poiche i modellistrutturale ed aerodinamico da interconnettere sono in generale caratterizzati da differenti do-mini spaziali e griglie di calcolo (per tipologia di elementi, numero e posizionamento dei nodi).In Figura 8.1 sono ad esempio rappresentati il modello strutturale ad elementi finiti (FEM) dipiastra caratterizzato da un numero di gradi di liberta ridotto Ns = 101 ed il modello aero-dinamico a volumi finiti (FV) tetraedrici caratterizzato da un numero di gradi di liberta sulcontorno elevato N b

a = 5506 per il problema aeroelastico di verifica dell’ala AGARD 445.6 [8].

115

116 Interfaccia aeroelastica

Figura 8.1: Griglia di calcolo del modello strutturale ad elementi finiti (FEM) di piastra (sinistra) econtorno della griglia di calcolo del modello aerodinamico a volumi finiti (FV) tetraedrici (destra) per ilproblema aeroelastico di verifica dell’ala AGARD 445.6 [8].

Innanzitutto e possibile affrontare il problema della costruzione dello schema di interfacciasecondo un approccio agli spostamenti, ovvero cercando un operatore lineare che, noto il vet-tore degli spostamenti strutturali, restituisca il vettore degli spostamenti interpolati sui nodiaerodinamici appartenenti al contorno del corpo nel seguente modo:

ua = [I ] us, (8.1)

dove [I(x) ] ∈ RNb

a×Ns e la matrice di interfaccia incognita. Equivalentemente e possibilericorrere ad un approccio alle forze: come dimostrato in §2.4, per garantire la conservazionedella quantita di moto e dell’energia scambiate tra il sistema strutturale ed il sistema aerodi-namico, l’operatore lineare che consente di riportare i carichi aerodinamici sui nodi strutturalicorrisponde infatti alla matrice di interfaccia incognita trasposta [I(x) ]T ∈ R

Ns×Nba , ovvero:

F as = [I ]T F a

a, (8.2)

8.1.1 Interpolazione lineare composita

La strategia concettualmente piu semplice e piu efficiente dal punto di vista computazionaleper esplicitare la matrice di interfaccia incognita [I ] secondo un approccio agli spostamenticonsiste nell’utilizzare uno schema di interpolazione lineare composita. Tale strategia funzionamolto bene nel caso in esame del problema aeroelastico di verifica dell’ala AGARD 445.6,ma in generale e caratterizzata da un campo di applicabilita piuttosto ristretto.

Supponendo che la griglia di calcolo aerodinamica, caratterizzata da un numero di gradi diliberta sul contorno elevato, sia geometricamente sovrapponibile alla griglia di calcolo struttu-rale, viceversa caratterizzata da un numero di gradi di liberta ridotto, e che quest’ultima siacostituita da elementi di piastra piani triangolari, e innanzitutto necessario partizionare la gri-glia di calcolo aerodinamica sovrapponendola a quella strutturale come illustrato in Figura 8.2.Piu in particolare e possibile proiettare ogni i-esimo nodo aerodinamico xa, i sulla griglia dicalcolo strutturale e successivamente trovare all’interno di quale j-esimo elemento strutturale Ωj

cada l’i-esimo nodo aerodinamico proiettato x⊥a, i = xa, i − (xa, i · nj) nj, dove nj e il versore

normale al j-esimo elemento strutturale Ωj.

Schema di interfaccia aeroelastica 117

Ωj

xs, j1

xs, j2

xs, j3

us, j1

us, j2

us, j3

x⊥

a, i

ua, i

nj

n0, j

∆nj

us, j(x)

Figura 8.2: Partizionamento della griglia di calcolo aerodinamica dell’ala AGARD 445.6 distinguendorispettivamente in () e () facce di contorno appartenenti ad elementi strutturali differenti (sinistra)e schema di interpolazione lineare sul j-esimo elemento strutturale Ωj (destra).

Indicando con j1, j2 e j3 gli indici con riferimento alla numerazione globale dei gradi diliberta dei nodi strutturali xs, j1, xs, j2 e xs j3 che corrispondono ai vertici del j-esimo elementostrutturale Ωj e con us, j1, us, j2 e us, j3 i relativi spostamenti, e possibile costruire la seguentefunzione interpolante ad esempio al primo ordine:

us, j(x) = us, j1 φ1(x) + us, j2 φ2(x) + us, j3 φ3(x), (8.3)

dove φk(x) sono opportune funzioni di base polinomiali lagrangiane tali per cui φk(xjk) ≡ 1.

Supponendo che il versore normale ad ogni j-esimo elemento strutturale Ωj sia parallelo alversore eZ del sistema di riferimento globale, come nel caso in esame del problema aeroelasticodi verifica dell’ala AGARD 445.6, la k-esima funzione di base assume la seguente forma:

φk(x) = ak + bk x + ck y, (8.4)

dove i coefficienti ak, bk e ck possono essere facilmente determinati invertendo analiticamentela seguente matrice:

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

=

1 xs, j1 ys, j1

1 xs, j2 ys, j2

1 xs, j3 ys, j3

−1

; (8.5)

ovviamente affinche tale matrice sia invertibile e necessario che il determinante sia diverso dazero, ovvero non esistano elementi strutturali di area nulla. Per ogni i-esimo nodo aerodinamicoproiettato x⊥

a, i interno al j-esimo elemento strutturale Ωj e quindi possibile calcolare il relativo

spostamento ua, i = u(x⊥a, i); analogamente e possibile assemblare la matrice di interpolazione

incognita [I ] inizializzando ogni jk-esima colonna relativa all’i-esima riga nel seguente modo:

[I|i, jk] = φk(x

⊥a, i). (8.6)

Infine e opportuno osservare che tale schema di interpolazione lineare a tratti del campodegli spostamenti e delle velocita strutturali corrisponde ad uno schema di interpolazione co-stante a tratti del campo delle variazioni ∆n = n − n0 dei versori normali deformati rispettoalla configurazione indeformata: infatti ogni i-esima faccia di contorno della griglia di calcoloaerodinamica il cui baricentro geometrico proiettato x⊥

a, i cada all’interno dello stesso elementostrutturale Ωj e caratterizzata dalla variazione del versore normale ∆ni = ∆nj ∀ xa, i ∈ Ωj.


Per verificare il corretto funzionamento di tale schema di interfaccia nelle Figure 8.3–8.6sono rappresentate la griglia di calcolo strutturale ad elementi finiti (FEM) di piastra ed ilcontorno della griglia di calcolo aerodinamica a volumi finiti (FV) tetraedrici opportunamentedeformate mediante la libreria motionSolver del programma OpenFOAM secondo le primequattro forme modali sperimentali dell’ala AGARD 445.6 riportate in [8]: e possibile osservareche la ricostruzione delle superfici mediante lo schema di interpolazione lineare composita (8.3)e sempre piu che soddisfacente.

Figura 8.3: Confronto tra la griglia di calcolo strutturale ad elementi finiti (FEM) di piastra (sinistra)ed il contorno della griglia di calcolo aerodinamica a volumi finiti (FV) tetraedrici (destra) deformatesecondo la forma modale sperimentale n1 (flessionale) dell’ala AGARD 445.6.

Figura 8.4: Confronto tra la griglia di calcolo strutturale ad elementi finiti (FEM) di piastra (sinistra)ed il contorno della griglia di calcolo aerodinamica a volumi finiti (FV) tetraedrici (destra) deformatesecondo la forma modale sperimentale n2 (torsionale) dell’ala AGARD 445.6.

Schema di interfaccia aeroelastica 119

Figura 8.5: Confronto tra la griglia di calcolo strutturale ad elementi finiti (FEM) di piastra (sinistra)ed il contorno della griglia di calcolo aerodinamica a volumi finiti (FV) tetraedrici (destra) deformatesecondo la forma modale sperimentale n3 (flessionale) dell’ala AGARD 445.6.

Figura 8.6: Confronto tra la griglia di calcolo strutturale ad elementi finiti (FEM) di piastra (sinistra)ed il contorno della griglia di calcolo aerodinamica a volumi finiti (FV) tetraedrici (destra) deformatesecondo la forma modale sperimentale n4 (torsionale) dell’ala AGARD 445.6.

8.1.2 Interpolazione ai minimi quadrati mobili (MLS)

Una strategia piu raffinata e flessibile, ma piu costosa dal punto di vista computazionale peresplicitare la matrice di interfaccia incognita [I ] secondo un approccio agli spostamenti consistenell’utilizzare uno schema di interpolazione ai minimi quadrati mobili o Moving Least Squares(MLS) [28], che consente di costruire un’approssimazione sufficientemente regolare ed accuratadel campo degli spostamenti e delle velocita strutturali in corrispondenza dei nodi aerodinamiciappartenenti al contorno del corpo conoscendo la soluzione solo all’interno di una nuvola dinodi strutturali in generale irregolarmente distribuiti e dei quali non e nota la connettivita:di conseguenza e lecito attendersi che tale strategia sia caratterizzata da un campo di applica-bilita molto ampio.


Il campo degli spostamenti e delle velocita strutturali e approssimato in corrispondenza deinodi aerodinamici appartenenti al contorno del corpo mediante il seguente sviluppo polinomialead Nk termini:

u(x) =

Nk∑

k=1

φk(x)ak(x), (8.7)

dove φk(x) e la k-esima funzione di base polinomiale di ordine opportuno, generalmente lineareo quadratica per evitare problemi di instabilita numerica, ed ak(x) e il k-esimo coefficientemoltiplicativo incognito. Questi ultimi possono essere determinati minimizzando un’opportunanorma dell’errore locale commesso utilizzando la funzione interpolante u(x) mediante il me-todo dei minimi quadrati pesati, ovvero minimizzando il seguente funzionale scritto in formavariazionale:

J =

∫

VW (x) ‖ε(x)‖2 dV, (8.8)

dove W (x) e un’opportuna funzione peso ed ε(x) e l’errore locale. Considerando ad esempio unsupporto di Nj nodi strutturali xs, j , in generale irregolarmente distribuiti ed in corrispondenzadei quali siano noti gli spostamenti strutturali us, j , i coefficienti moltiplicativi incogniti ak(x)possono esere determinati minimizzando il seguente funzionale scritto in forma discretizzata:

J =

Nj∑

j=1

W (x − xs, j)

∥∥∥∥m∑

k=1

φk(xs, j)ak(x) − us, j

∥∥∥∥2

. (8.9)

La regolarita del campo degli spostamenti e delle velocita interpolate in corrispondenza deinodi aerodinamici appartenenti al contorno del corpo dipende significativamente dalla scelta del-la funzione peso; tipicamente sono utilizzate le Radial Basis Functions (RBF) a supporto com-patto e di grado minimo espresse nella forma W (r/δ), dove r = ‖x−xs, j‖ e δ e un fattore di scalache consente di modificare localmente le dimensioni Nj del supporto dei nodi strutturali xs, j,considerandone solo un numero minimo sufficiente di relativamente vicini e scartando viceversaquelli piu distanti in modo tale da contenere il costo computazionale. In [9] sono ad esempioutilizzate le seguenti funzioni peso radiali a supporto compatto di grado minimo:

C0 : W (r) = (1 − r)2+ (8.10a)

C2 : W (r) = (1 − r)4+ (4 r + 1) (8.10b)

C4 : W (r) = (1 − r)6+ (35 r2 + 18 r + 3). (8.10c)

8.2 Condizioni al contorno di traspirazione

Mediante lo schema di interfaccia aeroelastica e possibile interpolare il vettore degli spostamentie delle velocita strutturali us(t) e us(t) sui nodi aerodinamici appartenenti al contorno delcorpo ua(t) e ua(t). Per tradurre queste informazioni in una variazione delle condizionial contorno del sistema aerodinamico l’approccio concettualmente piu semplice e corretto, macontemporaneamente piu oneroso consiste nel deformare la griglia di calcolo aerodinamica, adesempio interpreteando le singole celle di calcolo come elementi discreti di rigidezza assegnatae risolvendo il problema elastico conseguente [56], e riformulare il problema aerodinamico (5.1)secondo una strategia Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE), aggiungendo al vettore dei flussinumerici il contributo relativo alla velocita di interfaccia [30].

Condizioni al contorno di traspirazione 121

D’altronde e opportuno ricordare che per contenere i tempi di calcolo lo studio del problemadi flutter corrisponde all’analisi delle proprieta di stabilita in piccolo del sistema aeroelasti-co tempo-invariante (localmente) linearizzato per spostamenti infinitesimi nell’intorno di unacondizione di equilibrio, come descritto piu dettagliatamente in §2.6. Una strategia alternativamolto piu efficiente e coerente con tale linearizzazione consiste nel mantenere inalterata la grigliadi calcolo aerodinamica e viceversa modificare la condizione al contorno di non compenetrazio-ne assegnando un valore non nullo della velocita normale Vn, detta velocita di traspirazione, inmodo tale da riprodurre gli effetti geometrici e cinemtatici del movimento del contorno.

8.2.1 Formulazione linearizzata

Supponendo di disporre di una descrizione parametrica della superficie del corpo nella configu-razione indeformata x0(ξ, η) in funzione dei parametri spaziali ξ e η, e possibile ricavare unadescrizione parametrica della superfice del corpo nella configurazione deformata x(ξ, η, t) nelsistema di riferimento globale solidale alla configurazione indeformata del corpo nel seguentemodo:

x(ξ, η, t) = x0(ξ, η) − V ∞ t + s(ξ, η, t), (8.11)

dove V ∞ e la velocita di volo in generale non allineata con il versore eX del sistema di riferimentoglobale e s(ξ, η, t) e il campo di piccoli spostamenti strutturali (tale contributo comprende sia ladeformazione del corpo conseguente all’applicazione dei carichi aerodinamici che la deflessioneimposta delle superfici di controllo).

Nell’ambito del modello matematico delle equazioni di Eulero (5.1) in corrispondenza diun contorno solido Sb, quale la superficie di un’ala investita da una corrente fluida, e neces-sario imporre la condizione al contorno di non compenetrazione, ovvero l’annullamento dellacomponente normale della velocita locale a parete (v · n)|Sb = 0. Di conseguenza e neces-sario esplicitare con riferimento alla relazione (8.11) l’espressione per la velocita locale v(ξ, η, t)ed il versore normale alla superficie del corpo nella configurazione deformata n(ξ, η, t).

Per quanto riguarda la velocita locale v(ξ, η, t), essa e definita nel sistema di riferimentoglobale solidale alla configurazione indeformata del corpo nel seguente modo:

v(ξ, η, t) ≡ dx(ξ, η, t)

dt= −V ∞ + s(ξ, η, t). (8.12)

Viceversa per quanto riguarda il versore normale alla superficie del corpo nella configu-razione deformata n(ξ, η, t), esso e definito nel sistema di riferimento globale solidale con laconfigurazione indeformata nel seguente modo:

n(ξ, η, t) ≡ x/ξ × x/η

‖x/ξ × x/η‖=

(x0/ξ + s/ξ) × (x0/η + s/η)

‖(x0/ξ + s/ξ) × (x0/η + s/η)‖. (8.13)

Svolgendo opportunamente i conti e trascurando nell’ipotesi di spostamenti infinitesimi i terminidi ordine superiore al primo in s(ξ, η, t), e infine possibile ottenere la seguente espressionelinearizzata:

n(ξ, η, t) ≡ n0(ξ, η, t) + ∆n(ξ, η, t) + O(s2(ξ, η, t)), (8.14)


dove il versore normale alla superficie del corpo nella configurazione indeformata n0(ξ, η, t)e la variazione del versore normale conseguente alla deformazione strutturale ∆n(ξ, η, t) sonodefiniti come:

n0(ξ, η, t) =x0/ξ × x0/η

‖x0/ξ × x0/η‖(8.15a)

∆n(ξ, η, t) =(x0/ξ × s/η) − (x0/η × s/ξ)

‖x0/ξ × x0/η‖− n0 n0 ·

(x0/ξ × s/η) − (x0/η × s/ξ)

‖x0/ξ × x0/η‖(8.15b)

Sostituendo le relazioni (8.12) e (8.14) nella definizione della condizione al contorno di noncompenetrazione e trascurando i termini di ordine superiore al primo in s(ξ, η, t) e possibilescrivere:

(v · n)|Sb = (−V ∞ + s) · (n0 + ∆n) = −V ∞ · n0 − V ∞ · ∆n + s · n0 + O(s2), (8.16)

dove e possibile distinguere, oltre al contributo relativo alla configurazione indeformata, uncontributo geometrico proporzionale alla variazione della geometria della superficie del corpo,ovvero alla variazione del versore normale ∆n(ξ, η, t), ed infine un contributo cinematico pro-porzionale alla velocita della superficie del corpo s(ξ, η, t). Per riprodurre gli effetti geometricie cinematici del movimento del contorno senza effettivamente deformare la griglia di calcoloaerodinamica, e allora possibile modificare la condizione al contorno di non compenetrazioneassegnando un valore non nullo della velocita normale Vn, detta velocita di traspirazione, diret-ta come il versore normale alla superficie del corpo nella configurazione indeformata n0(ξ, η, t),ovvero:

Vn = −V ∞ · ∆n + s · n0. (8.17)

Supponendo di approssimare il campo di spostamenti s(ξ, η, t) mediante un metodo allaRitz come il prodotto di una base completa di funzioni di forma [N (ξ, η) ] dipendente dai soliparametri spaziali ξ e η e scelta a priori in modo tale da rispettare le condizioni al contornoessenziali, e di un vettore di coordinate libere q(t) dipendenti dalla sola variabile temporale ted incognite, ovvero s(ξ, η, t) = [N (ξ, η) ] q(t), e possibile riscrivere la velocita di traspirazionelinearizzata nel seguente modo:

Vn = [A(ξ, η) ] q(t) + [B(ξ, η) ] q(t), (8.18)

dove i vettori riga [A(ξ, η) ] e [B(ξ, η) ] che moltiplicano rispettivamente i vettori degli spo-stamenti (contributo geometrico) e delle velocita (contributo cinematico) generalizzate q(t) eq(t) sono definiti come:

[A(ξ, η) ] = −V ∞ ·([ I ] − n0 n0 ·

)(x0/ξ × [N /η ]) − (x0/η × [N /ξ ])

‖x0/ξ × x0/η‖(8.19a)

[B(ξ, η) ] = [N (ξ, η) ] · n0. (8.19b)


Un vantaggio dell’espressione linearizzata (8.17) della velocita di traspirazione Vn consistenella possibilita di sfruttare il Principio di Sovrapposizione delle Cause e degli Effetti (PSCE),ovvero considerare separatamente il contributo geometrico (preponderante a regime) ed il contri-buto cinematico (preponderante durante il transitorio) delle condizioni al contorno di traspira-zione relative alla legge di movimento assegnata (ad esempio a scalino raccordato) dell’i-esimospostamento generalizzato qi(t). Come illustrato in [28] e allora possibile costruire separa-tamente e successivamente sommare le matrici delle funzioni di trasferimento aerodinamicherispettivamente geometriche [HG

am(k) ] e cinematiche [HCam(k) ] nel seguente modo:

[Ham(k) ] = [HGam(k) ] + ik [HC

am(k) ]. (8.20)

8.2.2 Formulazione linearizzata per differenze finite

Supponendo di disporre di una griglia di calcolo aerodinamica che approssimi accuratamentela reale geometria del corpo, e possibile sostituire all’approssimazione linearizzata (8.15b) dellavariazione del versore normale ∆n(ξ, η, t) la seguente espressione non lineare calcolata medianteuno schema numerico a differenze finite:

∆n(ξ, η, t) = n(ξ, η, t) − n0(ξ, η, t). (8.21)

Piu in particolare utilizzando lo schema di interpolazione lineare composito descritto in §8.1.1per esplicitare la matrice di interfaccia incognita [I], per ogni i-esima faccia di contorno dellagriglia di calcolo aerodinamica il cui baricentro geometrico proiettato x⊥

a, i cada all’interno dello

stesso elemento strutturale Ωj, la variazione del versore normale ∆ni = ∆nj ∀ x⊥a, i ∈ Ωj puo

essere calcolata ricordando che:

n0, j =(xs, j2 − xs, j1) × (xs, j3 − xs, j1)

‖(xs, j2 − xs, j1) × (xs, j3 − xs, j1)‖

nj =[(xs, j2 + us, j2) − (xs, j1 + us, j1)] × [(xs, j3 + us, j3) − (xs, j1 + us, j1)]

‖[(xs, j2 + us, j2) − (xs, j1 + us, j1)] × [(xs, j3 + us, j3) − (xs, j1 + us, j1)]‖,

(8.22)

dove us, j1, us, j2 e us, j3 sono gli spostamenti strutturali valutati in corrispondenza dei verticixs, j1, xs, j2 e xs, j3 del j-esimo elemento strutturale Ωj ordinati in senso antiorario; e opportunoosservare che, se gli spostamenti strutturali sono effettivamente molto piccoli, la variazione delversore normale ∆n(ξ, η, t) risulta linearizzata numericamente.

L’espressione non lineare (8.21) della variazione del versore normale ∆n(ξ, η, t) e vantaggiosarispetto all’approssimazione linearizzata (8.15b) in quanto notevolmente piu semplice dal puntodi vista implementativo ed efficiente dal punto di vista del costo computazionale; inoltre e lecitoattendersi che essa sia valida anche per spostamenti strutturali non proprio piccoli.

8.2.3 Formulazione non lineare per differenze finite

Sostituendo la relazione (8.12) e (8.21) nella definizione della condizione al contorno di noncompenetrazione e conservando i termini di ordine superiore al primo in s(ξ, η, t) e possibileottenere la seguente espressione non linearizzata per la velocita di traspirazione Vn:

Vn = −V ∞ · ∆n + s · n0 + s · ∆n. (8.23)


Anche in questo caso e opportuno osservare che se gli spostamenti strutturali sono effettiva-mente molto piccoli, la velocita di traspirazione Vn risulta linearizzata numericamente dal mo-mento che il contributo non lineare geometrico-cinematico e trascurabile rispetto al contributosingolarmente geometrico e cinematico.

Nonostante tale strategia non sia del tutto coerente con la linearizzazione dei carichi aerodi-namici nell’intorno di una condizione di equilibrio di riferimento presentata in §2.3, l’espressionenon lineare (8.23) della velocita di traspirazione Vn e caratterizzata da un campo di validitain termini di numeri di Mach della corrente asinotica M∞, angoli di incidenza α e spessoripercentuali t/c piu ampio rispetto all’approssimazione linearizzata (8.17).

8.2.4 Limiti di validita per problemi bidimensionali

Inanzitutto e opportuno determinare i limiti di validita per problemi bidimensionali in terminidi numero di Mach M∞ ed angolo di incidenza α delle condizioni al contorno di traspirazioneper riprodurre gli effetti geometrici e cinematici del movimento del corpo senza effettivamentedeformare la griglia di calcolo. A tale scopo si richiede di risolvere numericamente il campodi moto bidimensionale attorno ad un profilo alare NACA 0012 di corda c = 1 m investitoda una corrente asintotica uniforme subsonica, transonica e supersonica di fluido ideale conγ = 1.4 e R = 287.05 J

kg K caratterizzata da una pressione termodinamica P∞ = 85419 Pa,una temperatura T∞ = 260 K, un numero di Mach M∞ = 0.5, M∞ = 0.75 e M∞ = 1.0ed infine un angolo di incidenza simulato mediante il solo contributo geometrico delle condizionial contorno di traspirazione (senza effettivamente ruotare la corrente asintotica) α = 2, α = 4

e α = 6.

Successivamente si richiede di confrontare tali risultati con quelli presentati in §7.2 viceversaottenuti ruotando la corrente asintotica ed imponendo una condizione al contorno di non com-penetrazione in corrispondenza del profilo alare; il dominio spaziale V, il dominio temporale Te le relative griglie di calcolo sono le stesse utilizzate in §7.2.

Nelle Figure 8.7 e 8.8 sono presentati i risultati numerici relativi alle curve di portanzaCL − α ed agli errori relativi ‖eCL

‖ = ‖CNC

L − CT

L‖/‖CNC

L ‖ e ‖eCD‖ = ‖CNC

D − CT

D‖/‖CNC

D ‖rispettivamente sul coefficiente di portanza CL e sul coefficiente di resistenza CD del profilo alareNACA 0012 al variare del numero di Mach della corrente asintotica M∞, imponendo i parametrirelativi agli schemi di discretizzazione spaziale, discretizzazione temporale, estrapolazione dellecondizioni al contorno e valutazione del residuo riportati in Tabella 6.2. Innanzitutto e possibileosservare che in regime di moto subsonico il metodo di traspirazione tende a sovrastimare ilcoefficiente di portanza CL, mentre in regime di moto supersonico tale tendenza si inverte.In ogni caso l’errore relativo sul coefficiente di portanza ‖eCL

‖ cresce all’aumentare dell’angolo diincidenza α, e massimo in regime di moto transonico ma e sempre inferiore a circa ‖eCL

‖ < 8%;l’errore relativo sul coefficiente di resistenza ‖eCD

‖ mostra un comportamento analogo ma eleggermente superiore.

Il fatto che l’errore relativo massimo sia sul coefficiente di portanza ‖eCL‖max che sul coeffi-

ciente di resistenza ‖eCD‖max si verifichi in regime di moto transonico a M∞ = 0.75 puo essere

giustificato esaminando i risultati numerici relativi alla distribuzione del coefficiente di pressioneCp sulla superficie del profilo alare NACA 0012 presentati nelle Figure 8.9 e 8.10: seppure ilmetodo di traspirazione tenda a sovrastimare solo leggermente la posizione in corda dell’on-da d’urto, questo comporta un errore significativo sui carichi aerodinamici poiche il salto delcoefficiente di pressione Cp a cavallo dell’onda d’urto e molto intenso.


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6

CL

[−]

α [°]

−−

Non Compenetrazione

Traspirazione

Prandtl−Glauert

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6C

L [−

]α [°]

−−

Non Compenetrazione

Traspirazione

Prandtl−Glauert

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6

CL

[−]

α [°]

Non Compenetrazione

Traspirazione

Figura 8.7: Confronto tra i risultati numerici ottenuti imponendo la condizione al contorno di noncompenetrazione (•) e di traspirazione () relativi alla curva di portanza CL−α per M∞ = 0.5 (sinistra),M∞ = 0.75 (centro) e M∞ = 1.0 (destra).

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

||eC

L||

[−]

M∞ [−]

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

||eC

D||

[−]

M∞ [−]

Figura 8.8: Errore relativo tra i risultati numerici ottenuti imponendo la condizione al contorno dinon compenetrazione e di traspirazione sul coefficiente di portanza ‖eCL‖ (sinistra) e sul coefficiente diresistenza ‖eCD‖ (destra) per M∞ = 0.5 (•), M∞ = 0.75 (•) e M∞ = 1.0 (•).

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−C

p [−

]

x/c [−]

Upper Surface

Lower Surface

Non Compenetrazione

Traspirazione-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−C

p [−

]

x/c [−]

Upper Surface

Lower Surface

Non Compenetrazione

Traspirazione

Figura 8.9: Confronto tra i risultati numerici ottenuti ottenuti imponendo la condizione al contorno dinon compenetrazione (•) e di traspirazione (•) relativi alla distribuzione del coefficiente di pressione Cp

sulla superficie del profilo alare NACA 0012 per M∞ = 0.5 ed α = 2 (sinistra) e α = 4 (destra).


-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−C

p [−

]

x/c [−]

Upper Surface

Lower Surface

Non Compenetrazione

Traspirazione-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−C

p [−

]

x/c [−]

Upper Surface

Lower Surface

Non Compenetrazione

Traspirazione

Figura 8.10: Confronto tra i risultati numerici ottenuti ottenuti imponendo la condizione al contorno dinon compenetrazione (•) e di traspirazione (•) relativi alla distribuzione del coefficiente di pressione Cp

sulla superficie del profilo alare NACA 0012 per M∞ = 0.75 ed α = 2 (sinistra) e α = 4 (destra).

8.2.5 Limiti di validita per problemi tridimensionali

Infine e opportuno determinare i limiti di validita per problemi tridimensionali in termini dinumero di Mach M∞ ed angolo di incidenza α delle condizioni al contorno di traspirazio-ne per riprodurre gli effetti geometrici e cinematici del movimento del corpo senza effettiva-mente deformare la griglia di calcolo. A tale scopo si richiede di risolvere numericamente ilcampo di moto tridimensionale attorno ad un’ala AGARD 445.6 rappresentata in Figura 9.1investita da una corrente asintotica uniforme subsonica, transonica e supersonica di fluido idealecon γ = 1.4 e R = 287.05 J

kg K caratterizzata da una pressione termodinamica P∞, una tem-peratura T∞, un numero di Mach M∞ riportati in Tabella 8.1 ed infine un angolo di incidenzasimulato mediante il solo contributo geometrico delle condizioni al contorno di traspirazione(senza effettivamente ruotare la corrente asintotica) α = 2, α = 4 e α = 6.

Successivamente si richiede di confrontare tali risultati con quelli viceversa ottenuti ruotandola corrente asintotica ed imponendo una condizione al contorno di non compenetrazione incorrispondenza della superficie alare; il dominio spaziale V, il dominio temporale T e le relativegriglie di calcolo sono le stesse utilizzate in §9.1.

Problema P∞ [ P a ] T∞ [ K ] M∞ [ − ]

A 17302.300 289.790 0.678

C 4662.340 257.810 0.960

E 5690.370 254.150 1.140

Tabella 8.1: Pressione termodinamica P∞, temperatura T∞ e numero di Mach M∞ della correnteasintotica relativi ai problemi A, B, C presentati in §9.1.


Nelle Figure 8.11 e 8.12 sono presentati i risultati numerici relativi alle curve di portanzaCL − α ed agli errori relativi ‖eCL

‖ e ‖eCD‖ rispettivamente sul coefficiente di portanza CL

e sul coefficiente di resistenza CD dell’ala AGARD 445.6 al variare del numero di Mach dellacorrente asintotica M∞, imponendo i parametri relativi agli schemi di discretizzazione spaziale,discretizzazione temporale, estrapolazione delle condizioni al contorno e valutazione del residuoriportati in Tabella 6.2. Come nel caso precedente e possibile osservare che in regime di motosubsonico il metodo di traspirazione tende a sovrastimare il coefficiente di portanza CL, mentrein regime di moto supersonico tale tendenza si inverte. In ogni caso l’errore relativo sul coeffi-ciente di portanza ‖eCL

‖ cresce all’aumentare dell’angolo di incidenza α e del numero di Machdella corrente asintotica M∞ ed e sempre inferiore a circa ‖eCL

‖ < 4%; l’errore relativo sulcoefficiente di resistenza ‖eCD

‖ mostra un comportamento analogo ma e leggermente superiore.Il fatto che l’errore relativo massimo sia sul coefficiente di portanza ‖eCL

‖max che sul coeffi-ciente di resistenza ‖eCD

‖max siano inferiori per l’ala AGARD 445.6 rispetto al profilo alareNACA 0012 non deve stupire, dal momento che il profilo alare supercritico NACA 65A004dell’ala AGARD 445.6 e caratterizzato da uno spessore percentuale t/c inferiore.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 1 2 3 4 5 6

CL

[−]

α [°]

Non Compenetrazione

Traspirazione

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 1 2 3 4 5 6

CL

[−]

α [°]

Non Compenetrazione

Traspirazione

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 1 2 3 4 5 6

CL

[−]

α [°]

Non Compenetrazione

Traspirazione

Figura 8.11: Confronto tra i risultati numerici ottenuti imponendo la condizione al contorno di noncompenetrazione (•) e di traspirazione () relativi alla curva di portanza CL − α per M∞ = 0.678(sinistra), M∞ = 0.960 (centro) e M∞ = 1.14 (destra).

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

||eC

L||

[−]

M∞ [−]

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

||eC

D||

[−]

M∞ [−]

Figura 8.12: Errore relativo tra i risultati numerici ottenuti imponendo la condizione al contorno dinon compenetrazione e di traspirazione sul coefficiente di portanza ‖eCL‖ (sinistra) e sul coefficiente diresistenza ‖eCD‖ (destra) per M∞ = 0.678 (•), M∞ = 0.960 (•) e M∞ = 1.140 (•).


-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−C

p [−

]

x/c [−]

Upper Surface

Lower Surface

y/b = 0.10

Non Compenetrazione

Traspirazione-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−C

p [−

]

x/c [−]

Upper Surface

Lower Surface

y/b = 0.35

Non Compenetrazione

Traspirazione

Figura 8.13: Confronto tra i risultati numerici ottenuti ottenuti imponendo la condizione al contornodi non compenetrazione (•) e di traspirazione (•) relativi alla distribuzione del coefficiente di pressioneCp in corrispondenza delle sezioni y/b = 0.1 (sinistra) e y/b = 0.35 (destra) dell’ala AGARD 445.6.

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−C

p [−

]

x/c [−]

Upper Surface

Lower Surface

y/b = 0.70

Non Compenetrazione

Traspirazione-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−C

p [−

]

x/c [−]

Upper Surface

Lower Surface

y/b = 0.95

Non Compenetrazione

Traspirazione

Figura 8.14: Confronto tra i risultati numerici ottenuti ottenuti imponendo la condizione al contornodi non compenetrazione (•) e di traspirazione (•) relativi alla distribuzione del coefficiente di pressioneCp in corrispondenza delle sezioni y/b = 0.7 (sinistra) e y/b = 0.95 (destra) dell’ala AGARD 445.6.

Infine nelle Figure 8.13 e 8.14 sono presentati i risultati numerici relativi alla distribuzionedel coefficiente di pressione Cp in corrispondenza delle sezioni y/b = 0.1, y/b = 0.35, y/b = 0.7ed infine y/b = 0.95 dell’ala AGARD 445.6 per M∞ = 0.960 ed α = 6: come nel caso precedentee possibile osservare che il metodo di traspirazione tende a sovrastimare la posizione in cordadelle eventuali onde d’urto.

Capitolo 9

Applicazioni aeroelastiche

In questo Capitolo il solutore strutturale Code Aster ed il solutore aerodinamico AeroFoam(opportunamente interconnessi mediante lo schema di interfaccia aeroelastica ad interpolazionecomposita e le condizioni al contorno di traspirazione) e piu in generale tutti i metodi numericiper costruire dei modelli localmente linearizzati di ordine ridotto (ROM) del sistema aerodi-namico e successivamente per risolvere il problema di flutter sono messi alla prova affrontandoil tipico problema di verifica aeroelastico in regime di moto transonico dell’ala AGARD 445.6e confrontando i risultati numerici ottenuti con i risultati sperimentali e numerici disponibili inLetteratura.

Dopo avere presentato in §9.1 il problema di verifica aeroelastico dell’ala AGARD 445.6in esame ed i relativi modelli strutturale ed aerodinamico, in §9.2 e calcolata la soluzionestazionaria di riferimento, confrontando i carichi aerodinamici nella condizione di equilbriocon i risultati numerici disponibili in Letteratura, ed e svolta un’analisi di linearita dinamicaper verificare entro quale campo di piccoli spostamenti il sistema aerodinamico sia localmentelinearizzabile. Successivamente in §9.3 e costruita la matrice delle funzioni di trasferimentoaerodinamiche e sono calcolati i diagrammi V∞ − ω e V∞ − g dell’ala AGARD 445.6 in esame:tutti i risultati numerici ottenuti mediante il solutore aerodinamico sviluppato AeroFoam sonoconfrontati con i risultati numerici forniti dal solutore aerodinamico EDGE [48] e con i risultatinumerici e sperimentali disponibili in Letteratura.

9.1 Ala AGARD 445.6

L’obiettivo di tale problema di verifica aeroelastico consiste nel determinare la velocita di flutterVF e la frequenza di flutter ωF dell’ala AGARD 445.6 in regime di moto transonico e piuin particolare per i numeri di Mach della corrente asinotica: M∞ = 0.678, M∞ = 0.901,M∞ = 0.960, M∞ = 1.072 ed infine M∞ = 1.140 e successivamente confrontare i risultatinumerici cosı ottenuti con i risultati disponibili in Letteratura relativi ad un’estesa campagnasperimentale svolta presso la galleria del vento Transonic Dynamics Tunnel (TDT) del NASALangley Reasearch Center [8].

Tale problema di verifica aeroelastico e stato uno dei primi ad essere affrontato nell’ambitodell’aeroelasticita computazionale o Computational Aeroelasticity (CA) [23] abbandonando itradizionali strumenti di analisi linearizzata del campo di moto aerodinamico per il piu raffinato,ma piu oneroso dal punto di vista del costo computazionale, modello matematico delle equazionidi Eulero o delle equazioni di Navier-Stokes eventualmente mediate alla Reynolds (RANS).

129

130 Applicazioni aeroelastiche

b

cr

ct

c

1

2

3

4

Λc/4

M∞

cr/4

x

y

NACA 65A004

Figura 9.1: Geometria del modello sperimentale n3 dell’ala AGARD 445.6.

Questo poiche in regime di moto transonico e possibile osservare un’improvvisa diminuzionedella velocita di flutter VF detta buca transonica, che i metodi numerici linearizzati tendonoa non riprodurre accuratamente. Nonostante cio quasi tutti i risultati numerici disponibiliin Letteratura [10, 22, 23, 28, 30, 56] tendono a sovrastimare significativamente la velocitadi flutter VF rispetto ai dati sperimentali riportati in [8] per numeri di Mach della correnteasintotica supersonici M∞ > 1.

Tra tutti i modelli sperimentali utilizzati nell’estesa campagna sperimentale presso la galleriadel vento Transonic Dynamics Tunnel (TDT) del NASA Langley Reasearch Center [8] e presoin esame il modello sperimentale n3 rappresentato in Figura 9.1 costruito in mogano laminato esuccessivamente indebolito come descritto in §4.2. Esso e caratterizzato da una corda alla radicecr = 0.558 m, un’apertura alare b = 0.762 m, un angolo di freccia valutato al 25% della cordalocale Λc/4 = 45, un allungamento alare AR = 1.65 ed un rapporto di rastremazione λ = 0.66.Infine l’ala non e svergolata ed e utilizzato un profilo alare simmetrico molto sottile NACA65A004 orientato nella direzione parallela al versore eX del sistema di riferimento globale.

9.1.1 Modello strutturale

Come osservato in §4.2 e molto difficile tarare il modello strutturale ad elementi finiti (FEM) dipiastra dell’ala AGARD 445.6 per riprodurre numericamente in modo soddisfacente le frequenzeproprie e le forme modali sperimentali riportate in [8]; di conseguenza si sceglie di utilizzare di-rettamente il modello strutturale modale risultante dalle prove sperimentali di vibrazione a terrao Ground Vibration Test (GVT) e dunque descritto in termini degli smorzamenti generalizzati[rcr] = [r2 ξ ω0r] con ξ ≃ 0.02, delle pulsazioni o frequenze [rω0r] = [r2π f0r] e delle forme [U ],normalizzate a massa generalizzata unitaria e successivamente riscalate cosicche [rmr] = [r1r] inunita di misura del sistema internazionale, dei primi Ns = 6 modi propri. Come suggerito in [8]si considerano solo le prime quattro frequenze proprie e le relative forme modali rappresentatenelle Figure 9.2 e 9.3, poiche i modi propri di ordine superiore non partecipano significativamen-te alla risposta dinamica del sistema aeroelastico (ad esempio la massima frequenza di fluttermisurata sperimentalmente ω

F max e circa sette volte inferiore alla frequenza del sesto modoproprio).

Ala AGARD 445.6 131

Inoltre in [11, 23] si ossserva che solo i primi due modi, rispettivamente flessionale e torsiona-le, sono effettivamente responsabili del meccanismo di flutter, mentre il terzo ed il quarto modoproprio hanno un’influenza secondaria solamente per numeri di Mach della corrente asintoticasuperiori all’unita M∞ > 1. Contrariamente a quanto fatto in [23] le forme modali non sonoproiettate nella direzione del versore normale alla pianta alare, ma sono conservate anche lecomponenti fuori dal piano del vettore degli spostamenti.

Figura 9.2: Griglia di calcolo strutturale ad elementi finiti (FEM) di piastra dell’ala AGARD 445.6deformata secondo la forma modale n1 (flessionale) di frequenza propria f1 = 9.60 Hz (sinistra)e secondo la forma modale n2 (torsionale) di frequenza propria f2 = 38.17 Hz (destra).

Figura 9.3: Griglia di calcolo strutturale ad elementi finiti (FEM) di piastra dell’ala AGARD 445.6deformata secondo la forma modale n3 (flessionale) di frequenza propria f1 = 48.35 Hz (sinistra)e secondo la forma modale n4 (torsionale) di frequenza propria f2 = 91.54 Hz (destra).


9.1.2 Modello aerodinamico

Per calcolare la variazione non stazionaria dei carichi aerodinamici rispetto ad una condizione diequilibrio di riferimento conseguente al movimento strutturale si utilizza il modello matematicodelle equazioni di Eulero (in grado di fornire un ottimo compromesso specialmente in regimedi moto transonico tra l’accuratezza dei risultati e l’efficienza computazionale) e si approssimail reale comportamento dell’aria mediante il modello termodinamico di gas ideale politropico(PIG) con γ = 1.4 e R = 287.05 J

kg K . Oltretutto in [8] non sono disponibili le informazionirelative al livello di turbolenza nella galleria del vento Transonic Dynamics Tunnel (TDT)ed alle modalita di transizione dello strato limite sulla superficie alare, viceversa necessarie pertarare i parametri e definire le condizioni iniziali corrette per un eventuale modello di turbolenzadelle equazioni di Navier-Stokes mediate alla Reynolds (RANS).

Il dominio di calcolo V e rappresentato in Figura 9.4 ed e costituito da un’ala AGARD 445.6Sb in corrispondenza della quale sono imposte le condizioni al contorno di traspirazione e da uncilindro esterno S∞ di raggio R∞ = 5 m > 10 c ed altezza h∞ = 3.9 m > 5 b in corrispondenzadel quale sono imposte le condizioni al contorno di Riemann. La griglia di calcolo e rappresentatain Figura 9.4 ed e costituita da Nv = 118480 volumi finiti tetraedrici e da Nn = 22014 nodicon un passo di griglia minimo pari a h = 0.01 m in corrispondenza del bordo d’attacco dellasuperficie alare. Nonostante la discretizzazione della superficie alare ed in particolare dellaregione in prossimita del bordo d’attacco non sia molto dettagliata, si e comunque utilizzatatale griglia di calcolo innanzitutto per confrontare i risultati numerici con quelli disponibili inLetteratura [28, 30, 56] a parita di numero di incognite del problema, ma anche per contenereil tempo di calcolo, che costituisce il limite principale del solutore aerodinamico AeroFoamnell’ambito dello schema di discretizzazione temporale esplicito descritto in §6.6.

Per quanto riguarda il calcolo della soluzione stazionaria di riferimento, e utilizzata la stra-tegia di Local Timestepping (LT) presentata in §6.6, ovvero in corrispondenza di ogni i-esimacella di calcolo Ωi e definito un intervallo di integrazione temporale differente ∆ti cosiccheCoi = Comax ≃ 2.0; la soluzione e considerata a regime quando i residui ‖∆‖L1 sulla densita ρ,sulla quantita di moto m e sull’energia totale specifica per unita di volume Et sono inferiori allasoglia ε = 10−6. Viceversa per quanto riguarda il calcolo della variazione non stazionaria deicarichi aerodinamici conseguenti ad un movimento strutturale modale imposto, il dominio tem-porale T e discretizzato in intervalli di integrazione temporale di ampiezza costante ∆t = 2·10−7

scelta in modo tale che il numero di Courant massimo sia sempre inferiore a Comax ≃ 1.95


Condizione di equilibrio di riferimento 133

per tutti i numeri di Mach della corrente asintotica di interesse M∞ ∈ [ 0.678, 1.140 ]; la solu-zione numerica del campo di moto non stazionario attorno all’ala AGARD 445.6 e prolungatafino al tempo massimo adimensionale τ∞ = t∞ V∞/La = 12 dove La = c = 0.463 m.

I parametri relativi agli schemi di discretizzazione spaziale, discretizzazione temporale, estra-polazione delle condizioni al contorno e valutazione del residuo sono riportati in Tabella 6.2.

Il tempo di esecuzione per ogni singola iterazione temporale e pari a CPUtime = 1.11 ssu un computer AMD64 3500+ con processore AMD Athlon 64 da 2.2 GHz di frequenza mas-sima, 1 Gbyte di memoria RAM, 512 Kbyte di cache L2 e sistema operativo Linux con kernelaggiornato alla versione 2.6.18; nel seguito sono risportati solo i tempi di esecuzione complessivi.

9.2 Condizione di equilibrio di riferimento

Innanzitutto e necessario determinare la condizione di equilibrio o trim del sistema aeroelasticoe verificare che essa sia stazionaria, accoppiando la soluzione numerica del problema aerodina-mico e la soluzione numerica del problema strutturale ad esempio mediante il metodo iterativoriassunto in Figura 2.7. Per il problema di verifica aeroelastico in esame e opportuno ricordareche l’ala AGARD 445.6 utilizza un profilo alare NACA 65A004 simmetrico, non e svergolata ede sempre calettata ad un angolo di incidenza α = 0: di conseguenza la risultante dei carichiaerodinamici e identicamente nulla cosı come la deformata statica del sistema strutturale, ov-vero la soluzione stazionaria di riferimento corrisponde a quella dell’ala rigida. Come in [11, 23]tutto cio e opportunamente sfruttato per ridurre anche se minimamente i tempi di calcolo.

Successivamente e opportuno verificare che il sistema aerodinamico sia localmente lineariz-zabile nell’intorno della soluzione stazionaria di riferimento e valutare mediante un esperimentonumerico entro quale campo di piccoli spostamenti strutturali tale approssimazione sia valida inmodo robusto. A questo scopo e necessario svolgere delle prove di linearita dinamica come in [28],ovvero verificare che ad esempio raddoppiando l’ampiezza massima della legge di movimentostrutturale modale assegnata raddoppino anche le forze aerodinamiche generalizzate.

Con riferimento ai risultati riportati in [8] relativi al modello sperimentale n3 dell’alaAGARD 445.6 sono affrontati i problemi A, B, C, D ed E, caratterizzati da una pressionetermodinamica P∞, una temperatura T∞ ed un numero di Mach M∞ della corrente asintoticariportati in Tabella 9.1; per brevita sono riportati in forma grafica solo i risultati numericirelativi ai problemi A, C ed E. Per ogni numero di Mach della corrente asinotica M∞ il tempodi esecuzione complessivo per raggiungere la soluzione di regime e pari a CPUtime = 38.19 h.

Problema P∞ [ P a ] T∞ [ K ] M∞ [ − ]

A 17302.300 289.790 0.678

B 7667.780 269.820 0.901

C 4662.340 257.810 0.960

D 4136.400 257.320 1.072

E 5690.370 254.150 1.140

Tabella 9.1: Pressione termodinamica P∞, temperatura T∞ e numero di Mach M∞ della correnteasintotica relativi ai problemi presentati in [8].


9.2.1 Calcolo della soluzione stazionaria di riferimento

Nelle Figure 9.5–9.9 sono riportati i risultati numerici relativi alle soluzioni stazionarie diriferimento per M∞ = 0.678, M∞ = 0.960 e M∞ = 1.140: piu in particolare sono rappre-sentate le isolinee del campo di pressione termodinamica P e la distribuzione del coefficientedi pressione Cp in corrispondenza delle sezioni y/b = 0.1, y/b = 0.35, y/b = 0.7 e y/b = 0.95dell’ala AGARD 445.6.

E’ possibile osservare un buon accordo sia qualitativo che quantitativo con i risultati numericirelativi alle soluzioni stazionarie di riferimento per M∞ = 0.960 e M∞ = 1.140 riportati in [23],nonostante la griglia di calcolo aerodinamica qui utilizzata sia molto piu rada.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Figura 9.5: Isolinee del campo di pressione termodinamica P sulla superficie dell’ala AGARD 445.6 esul piano di simmetria del dominio esterno (sinistra) e distribuzione del coefficiente di pressione Cp suldorso () e sul ventre () in corrispondenza delle sezioni y/b = 0.1, y/b = 0.35, y/b = 0.7 e y/b = 0.95dell’ala AGARD 445.6 (destra) per M∞ = 0.678 e α = 0.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Figura 9.6: Isolinee del campo di pressione termodinamica P sulla superficie dell’ala AGARD 445.6 esul piano di simmetria del dominio esterno (sinistra) e distribuzione del coefficiente di pressione Cp suldorso () e sul ventre () in corrispondenza delle sezioni y/b = 0.1, y/b = 0.35, y/b = 0.7 e y/b = 0.95dell’ala AGARD 445.6 (destra) per M∞ = 0.960 ed α = 0.


Figura 9.7: Isolinee del numero di Mach relative alla soluzione numerica presentata in Letteratura [23](sinistra) e alla soluzione numerica ottenuta mediante AeroFoam (destra) per M∞ = 0.960.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6


Figura 9.9: Isolinee del numero di Mach relative alla soluzione numerica presentata in Letteratura [23](sinistra) e alla soluzione numerica ottenuta mediante AeroFoam (destra) per M∞ = 1.140.


9.2.2 Verifica di linearita dinamica

Nelle Figure 9.10–9.14 sono riportati i risultati numerici relativi alla verifica di linearita dinamicaper M∞ = 0.678, M∞ = 0.960 e M∞ = 1.140: piu in particolare e rappresentato l’andamentoin funzione del tempo adimensionale τ = t V∞/La della legge di movimento a scalino assegnatadello spostamento generalizzato q1(τ) e della relativa forza generalizzata Q11(τ), le isolinee delcampo di pressione termodinamica P ed infine la distribuzione del coefficiente di pressione Cp

per τ = 1.5 in corrispondenza delle sezioni y/b = 0.1, y/b = 0.35, y/b = 0.7 e y/b = 0.95 dell’alaAGARD 445.6 opportunamente deformata.

Inoltre in Tabella 9.2 sono riportati la media µH , la deviazione standard σH e l’errore relativo‖eH‖ rispetto al valore teorico per un sistema dinamico lineare tempo-invariante Hexact = 1/2del rapporto H = Q(1)

11 (τ)/Q(2)

11 (τ) tra le forze generalizzate relative alle leggi di movimento ascalino assegnate degli spostamenti generalizzati q(1)

1 (τ) e q(2)

1 (τ) = 2 q(1)

1 (τ): e possibile osservareche l’ipotesi di linearita locale del sistema aerodinamico e verificata in modo soddisfacente.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

q 1 [

m]

τ [ − ]

× 10−3

(1)

(2)-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Q11

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

(1)

(2)

Figura 9.10: Leggi di movimento a scalino assegnate degli spostamenti generalizzati q(1)

1 (τ) e q(2)

1 (τ)(sinistra) e relative forze generalizzate Q(1)

11 (τ) e Q(2)

11 (τ) (destra) per M∞ = 0.678.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6



0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

q 1 [

m]

τ [ − ]

× 10−3

(1)

(2)-2

-1.5

-1

-0.5

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Q11

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

(1)

(2)


1 (τ) e q(2)


11 (τ) e Q(2)

11 (τ) (destra) per M∞ = 0.960.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6


0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

q 1 [

m]

τ [ − ]

× 10−3

(1)

(2)-2

-1.5

-1

-0.5

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Q11

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

(1)

(2)


1 (τ) e q(2)


11 (τ) e Q(2)

11 (τ) (destra) per M∞ = 1.140.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6


Problema M∞ [ − ] µH [ − ] σH [ − ] ‖eH‖ [ − ]

A 0.678 0.5011 0.0259 0.317%

C 0.960 0.5052 0.0172 1.100%

E 1.140 0.5057 0.0146 1.226%

Tabella 9.2: Media µH , deviazione standard σH ed errore relativo ‖eH‖ rispetto al valore teoricoper un sistema dinamico lineare tempo-invariante Hexact = 1/2 del rapporto H = Q(1)

11 (τ)/Q(2)

11 (τ)per M∞ = 0.678, M∞ = 0.960 e M∞ = 1.140.

9.3 Flutter

Per contenere i tempi di calcolo, lo studio del problema di flutter e ricondotto all’analisi delleproprieta di stabilita in piccolo del sistema aeroelastico tempo-invariante linearizzato per piccolispostamenti nell’intorno della condizione di equilibrio o trim di riferimento: e allora necessariocostruire un modello di ordine ridotto (ROM) lineare del sistema aerodinamico, rappresentatodalla matrice delle funzioni di trasferimento aerodinamiche [Ham(k, M∞) ].

Per ogni j-esimo numero di Mach della corrente asinotica M∞, j in corrispondenza del qualesia nota la soluzione stazionaria di riferimento, e utilizzata la strategia riassunta nelle Figure2.8 e 2.6 per calcolare l’i-esima colonna della matrice delle funzioni di trasferimento aerodina-miche [Ham(k, M∞, j)|i ] come il rapporto tra le trasformate di Fourier del segnale in uscita edingresso al sistema aerodinamico, ovvero rispettivamente il vettore delle forze aerodinamichegeneralizzate Qa(t) e l’i-esimo spostamento generalizzato qi(t).

Per eccitare opportunamente il sistema aeroelastico e utilizzato il segnale in ingresso ascalino raccordato rappresentato in Figura 2.5; per ogni i-esimo spostamento generalizzato qi(t)l’ampiezza massima della legge di movimento assegnata e calcolata mediante la relazione (2.24)scegliendo La = c = 0.463 m come lunghezza di riferimento aerodinamica, kmax = 10 comemassima frequenza ridotta di interesse ed infine ε = tan(1) per rimanere sempre nel campo dipiccole perturbazioni evidenziato mediante le prove di linearita dinamica.

Flutter 139

Nell’ambito della aeroelasticita moderna e infine necessario costruire una rappresentazioneagli stati nel dominio del tempo del sistema aerodinamico risolvendo il problema di identifi-cazione del modello (2.41) mediante il programma MASSA [31]: piu in particolare e utilizzatoil metodo di Rogers, mentre l’ordine della rappresentazione agli stati nel dominio del temposistema aerodinamico e scelto per ridurre l’errore relativo massimo di identificazione sotto lasoglia ‖eI‖ < 5%. E allora possibile costruire i diagrammi V∞ − ω e V∞ − g e successivamen-te determinare la frequenza di flutter ωF e la velocita di flutter VF (o meglio i relativi indiciadimensionali Iω ed Iv) in funzione del numero di Mach della corrente asinotica M∞.

Come nel caso precedente, nonostante siano affrontati tutti i problemi A, B, C, D ed E rias-sunti in Tabella 9.1, per brevita sono riportati in forma grafica solo i risultati relativi ai problemiA, C ed E. Per ogni numero di Mach della corrente asintotica M∞ il tempo di esecuzione comples-sivo per calcolare la variazione non stazionaria del vettore delle forze aerodinamiche generalizzateQa(t) conseguente ad un i-esimo spostamento generalizzato qi(t) e pari a CPUtime = 24.44 h.

9.3.1 Calcolo della matrice delle funzioni di trasferimento aerodinamiche

In Figura 9.16 e rappresentato l’andamento in funzione del tempo adimensionale τ = t V∞/La

della legge di movimento a scalino raccordato di ogni i-esimo spostamento generalizzato qi(τ),scelta per eccitare opportunamente il sistema aerodinamico e non invalidare l’ipotesi di piccoleperturbazioni.

Successivamente nelle Figure 9.17, 9.19 e 9.21 e rappresentato l’andamento in funzione deltempo adimensionale τ = t V∞/La delle forze aerodinamiche generalizzate Qa(τ) conseguential movimento strutturale imposto per M∞ = 0.678, M∞ = 0.960 e M∞ = 1.140: e possibileosservare un discreto accordo in regime di moto subsonico e transonico con i risultati nume-rici ottenuti mediante il solutore aerodinamico EDGE [48] su una griglia di calcolo molto piuraffinata (specialmente nella regione in prossimita del bordo d’attacco della superficie alare) edeformabile. I risultati numerici completi sono riportati in §A.1.

Infine nelle Figure 9.18, 9.20 e 9.22 e rappresentato l’andamento in funzione della frequen-za ridotta k = ω La/V∞ ∈ [0, 1] della matrice delle funzioni di trasferimento aerodinamiche[Ham(k, M∞) ] calcolata mediante il programma NAEMO [9] per M∞ = 0.678, M∞ = 0.960 eM∞ = 1.140: e possibile osservare un discreto accordo in regime di moto subsonico e transonicocon i risultati numerici disponibili in Letteratura [30] ottenuti sulla stessa griglia di calcolo,ma deformabile e con i gia citati risultati numerici ottenuti mediante il solutore aerodinamicoEDGE [48]. I risultati numerici completi sono riportati in §A.1.

0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5

q 1 [

m]

τ [ − ]

× 10−1

0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5

q 2 [

m]

τ [ − ]

× 10−1

Figura 9.16: Legge di movimento a scalino raccordato dell’i-esimo spostamento generalizzato qi(τ).


-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5

Q11 [m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-10

-5

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4 5

Q12 [m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5

Q21 [m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-10

-5

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4 5

Q22 [m

2]

τ [ − ]

× 10−1

Figura 9.17: Confronto tra i risultati numerici ottenuti mediante AeroFoam () ed i risultati numerici ot-tenuti mediante EDGE () relativi alla variazione non stazionaria delle forze aerodinamiche generalizzateQa(τ) conseguenti al movimento strutturale imposto per M∞ = 0.678.

-3

-2

-1

0

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,11

[m

]

k [ − ]

Re

Im-6

-3

0

3

6

9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,12

[m

]

k [ − ]

Re

Im

-3

-2

-1

0

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,21

[m

]

k [ − ]

Re

Im-6

-3

0

3

6

9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,22

[m

]

k [ − ]

Re

Im

Figura 9.18: Confronto tra i risultati numerici ottenuti mediante AeroFoam (), i risultati numericidisponibili in Letteratura [30] () ed i risultati numerici ottenuti mediante EDGE () relativi alla partereale Re () ed immaginaria Im () della matrice delle funzioni di trasferimento aerodinamiche [ Ham(k) ]per M∞ = 0.678.

Flutter 141

-4

-3

-2

-1

0

1

0 1 2 3 4 5

Q11 [m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5

Q12 [m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-4

-3

-2

-1

0

1

0 1 2 3 4 5

Q21 [m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5

Q22 [m

2]

τ [ − ]

× 10−1


-4

-3

-2

-1

0

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,11

[m

]

k [ − ]

Re

Im-10

-5

0

5

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,12

[m

]

k [ − ]

Re

Im

-4

-3

-2

-1

0

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,21

[m

]

k [ − ]

Re

Im-10

-5

0

5

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,22

[m

]

k [ − ]

Re

Im



-3

-2

-1

0

1

0 1 2 3 4 5

Q11 [m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5

Q12 [m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-3

-2

-1

0

1

0 1 2 3 4 5

Q21 [m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5

Q22 [m

2]

τ [ − ]

× 10−1


-4

-3

-2

-1

0

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,11

[m

]

k [ − ]

Re

Im-10

-5

0

5

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,12

[m

]

k [ − ]

Re

Im

-4

-3

-2

-1

0

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,21

[m

]

k [ − ]

Re

Im-10

-5

0

5

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,22

[m

]

k [ − ]

Re

Im


Flutter 143

9.3.2 Diagrammi V∞ − ω e V∞ − g

Nelle Figure 9.23–9.25 sono riportati i diagrammi V∞ − ω e V∞ − g costruiti mediante ilprogramma MASSA [31] relativi ai primi Ns = 4 modi propri dell’ala AGARD 445.6 perM∞ = 0.678, M∞ = 0.960 e M∞ = 1.140: in prossimita della condizione limite di stabilitag ≡ 0 e possibile osservare il caratteristico fenomeno di coalescenza delle frequenze dei modipropri dinamicamente piu rilevanti per il meccanismo del flutter [5].

Successivamente in Figura 9.26 e rappresentato l’andamento in funzione del numero di Machdella corrente asinotica M∞ della frequenza di flutter ωF e della velocita di flutter VF dell’alaAGARD 445.6, o meglio degli indici adimensionali seguenti:

Iv =VF

La ωα√

µe Iω =

ωF

ωα, (9.1)

dove La e la lunghezza aerodinamica di riferimento, ωα e la prima frequenza propria torsionaleed infine µ e il rapporto tra la massa strutturale e la massa di fluido contenuta in un cilindro diraggio di base pari alla lunghezza aerodinamica di riferimento La e di altezza pari alla aperturaalare b ed e tabulato in [8].

Per numeri di Mach della corrente asintotica subsonici M∞ < 1 e possibile osservare undiscreto accordo con i risultati sperimentali riportati in [8] con un errore relativo massimo sulrapporto delle frequenze pari a circa ‖eIω‖max ≃ 12% e sull’indice della velocita di flutterpari a circa ‖eIv‖max ≃ 7% per M∞ = 0.678. Viceversa per numeri di Mach della corren-te asintotica supersonici M∞ > 1 quasi tutti i risultati numerici disponibili in Letteratura[10, 22, 23, 28, 30, 56] (ad eccezione di quelli ottenuti mediante EDGE [48]), tendono a sovra-stimare significativamente la frequenza di flutter ωF e la velocita di flutter VF rispetto ai datisperimentali riportati in [8]; in particolare i risultati ottenuti mediante AeroFoam sono caratte-rizzati da un errore relativo massimo sul rapporto delle frequenze pari a circa ‖eIω‖max ≃ 47%e sull’indice di velocita di flutter pari a circa ‖eIv‖max ≃ 62% per M∞ = 1.140, con un leggeromiglioramento rispetto ai risultati numerici ottenuti mediante FLUENT [10].

Sebbene in [10, 23] si osservi un miglioramento dei risultati numerici per M∞ = 1.140utilizzando il modello matematico delle equazioni di Navier-Stokes mediante alla Reynolds(RANS), la discrepanza rispetto ai dati sperimentali rimane significativa. Tuttavia i risultatinumerici ottenuti mediante EDGE utilizzando il modello matematico delle equazioni di Eulerosu una griglia di calcolo molto piu raffinata (soprattutto in prossimita del bordo d’attacco dellasuperficie alare) sono in ottimo accordo con i dati sperimentali: di conseguenza la discrepanzarispetto ai dati sperimentali e probabilmente dovuta non tanto al particolare modello matema-tico, ma alla capacita della griglia di calcolo di risolvere accuratamente l’onda d’urto staccatache si forma a monte della superficie alare in regime di moto supersonico [11].

Infine in Figura 9.27 sono presentati i risultati numerici relativi alla sensitivita del rapportodelle frequenze Iω e dell’indice della velocita di flutter Iv in funzione del numero Ns di modipropri utilizzati (ovvero al numero di gradi di liberta del sistema strutturale) per M∞ = 0.678,M∞ = 0.960 e M∞ = 1.140: in ottimo accordo con i risultati numerici presentati in [23],e possibile osservare che per numeri di Mach della corrente asintotica subsonici M∞ < 1 talesensitivita e minima; viceversa per numeri di Mach della corrente asintotica supersonici M∞ > 1all’aumentare del numero Ns di modi propri utilizzati il rapporto delle frequenze Iω e l’indicedella velocita di flutter Iv tendono ad aumentare cosı come l’errore relativo rispetto ai datisperimentali.


0

20

40

60

80

100

200 220 240 260 280 300

f [H

z]

V∞ [ m/s ]

VF

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

200 220 240 260 280 300

g [−

]

V∞ [ m/s ]

VF

Figura 9.23: Diagramma V∞ − ω (sinistra) e diagramma V∞ − g (destra) per i modi propri n1 (•),n2 (), n3 (H) e n4 (N) dell’ala AGARD 445.6 per M∞ = 0.678.

0

20

40

60

80

100

200 250 300 350 400

f [H

z]

V∞ [ m/s ]

VF

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

200 250 300 350 400

g [−

]

V∞ [ m/s ]

VF


0

20

40

60

80

100

300 350 400 450 500 550 600 650

f [H

z]

V∞ [ m/s ]

VF

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

300 350 400 450 500 550 600 650

g [−

]

V∞ [ m/s ]

VF


Flutter 145

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

I ω [−

]

M∞ [ − ]

Experimental

CFL3D

EDGE

FLUENT

AeroFoam

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2I v

[−

]

M∞ [ − ]

Experimental

CFL3D

EDGE

FLUENT

AeroFoam

Figura 9.26: Confronto tra l’andamento in funzione del numero di Mach della corrente asinotica M∞

del rapporto delle frequenze Iω (sinistra) e dell’indice della velocita di flutter Iv (destra) calcolati nume-ricamente mediante AeroFoam (•), mediante FLUENT (H), mediante EDGE (N), mediante CFL3D ()con i dati sperimentali () riportati in [8].

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

1 2 3 4 5

I ω [−

]

Ns

M∞= 0.678

Experimental

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

1 2 3 4 5

I ω [−

]

Ns

M∞= 0.960

Experimental

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

1 2 3 4 5

I ω [−

]

Ns

M∞= 1.140

Experimental

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

1 2 3 4 5

I v [−

]

Ns

M∞= 0.678

Experimental

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

1 2 3 4 5

I v [−

]

Ns

M∞= 0.960

Experimental

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

1 2 3 4 5

I v [−

]

Ns

M∞= 1.140

Experimental

Figura 9.27: Confronto tra i risultati numerici ottenuti mediante AeroFoam (•), i risultati numericipresentati in Letteratura [23] (•) ed i dati sperimentali [8] relativi alla sensitivita del rapporto dellefrequenze Iω (in alto) e dell’indice della velocita di flutter Iv (in basso) in funzione del numero Ns dimodi propri utilizzati per M∞ = 0.678, M∞ = 0.960 e M∞ = 1.140.

Capitolo 10

Conclusioni

In questo lavoro di tesi e stato sviluppato un toolbox per la soluzione di problemi aeroelasticiin regime di moto transonico in ambito accademico ed industriale, utilizzando (forse per laprima volta) esclusivamente strumenti di analisi liberamente disponibili in rete, non solo per lasoluzione del problema strutturale ed aerodinamico, ma anche per le fasi di pre/post–processing.

Piu in particolare per risolvere il problema strutturale sono stati utilizzati il solutore strut-turale libero ad elementi finiti (FEM) Code Aster ed il pre/post–processore Salome ; affrontandoalcuni problemi di verifica di complessita crescente e stato possibile dimostrare che le prestazioniin termini di accuratezza dei risultati ed efficienza di calcolo del programma Code Aster sono deltutto confrontabili con quelle del solutore strutturale commerciale di riferimento MSC.Nastran.

Analogamente per risolvere il problema aerodinamico sono stati utilizzati il solutore aerodi-namico libero a volumi finiti (FV) OpenFOAM, il generatore di griglie triangolari e tetraedricheGmsh ed il post–processore ParaView; affrontando un problema di verifica molto semplice estato tuttavia possibile dimostrare che le prestazioni in termini di accuratezza dei risultati edefficienza di calcolo dei solutori aerodinamici disponibili rhoSonicFoam, rhopSonicFoam ed infineSonicFoam non sono del tutto soddisfacenti con riferimento al solutore aerodinamico commer-ciale FLUENT. Di conseguenza si e scelto di progettare e sviluppare in linguaggio C++ unnuovo solutore aerodinamico chiamato AeroFoam, utilizzando solo le librerie del programmaOpenFOAM per la gestione delle strutture dati relative alla griglia di calcolo ed alla soluzionenumerica e per le fasi di pre/post–processing.

Successivamente e stato affrontato il problema di come costruire uno schema di interfacciaaeroelastica robusto e flessibile che consenta di realizzare praticamente la connessione ad anellochiuso tra il sistema strutturale ed il sistema aerodinamico; per contenere i tempi di calcolo si escelto di simulare gli effetti geometrici e cinematici del movimento del corpo mediante le condi-zioni al contorno di traspirazione sia nella formulazione linearizzata analitica che non lineare perdifferenze finite (delle quali sono stati valutati numericamente i campi di applicabilita), senzaimplementare un algoritmo di deformazione della griglia di calcolo.

Dopo avere opportunamente verificato il corretto funzionamento dei singoli strumenti deltoolbox, e stato infine affrontato il tipico problema di verifica aeroelastico in regime di mototransonico dell’ala AGARD 445.6: e stato possibile osservare un discreto accordo con i risultatisperimentali disponibili in Letteratura ed un buon accordo con i risultati numerici ottenutiad esempio mediante i solutori aerodinamici EDGE e FLUENT. Tuttavia il limite principaledel solutore aerodinamico sviluppato AeroFoam e costituito dal tempo di calcolo molto elevatoconseguente alla scelta obbligata di uno schema di integrazione temporale esplicito.

147

148 Conclusioni

Appendice A

Matrici delle funzioni ditrasferimento aerodinamiche

In questa Appendice sono riportati per completezza tutti i risultati numerici ottenuti medianteil solutore aerodinamico sviluppato AeroFoam relativi alle Ns × Ns = 16 forze aerodinamichegeneralizzate Qa(t) conseguenti al movimento strutturale imposto ed i relativi elementi dellamatrice delle funzioni di trasferimento aerodinamiche [Ham(k, M∞) ].

A.1 Risultati numerici

In Figura A.1 e rappresentato l’andamento in funzione del tempo adimensionale τ = tV∞/La diogni i-esimo spostamento generalizzato qi(τ); successivamente nelle Figure A.2–A.4 e rappresen-tato l’andamento in funzione del tempo adimensionale τ = t V∞/La delle forze aerodinamichegeneralizzate Qa(τ) conseguenti al movimento strutturale imposto e nelle Figure A.5–A.7e rappresentato l’andamento in funzione della frequenza ridotta k = ω La/V∞ ∈ [0, 1] del-la matrice delle funzioni di trasferimento aerodinamiche [Ham(k, M∞) ] calcolata mediante ilprogramma NAEMO [9].

E possibile osservare un discreto accordo almeno in regime di moto subsonico e transonicoe per i modi propri n1 e n2 con i risultati numerici ottenuti mediante il solutore aerdinamicoEDGE [48]; le discrepanze in regime di moto supersonico e per i modi propri n3 e n4 sonoprobabilmente dovute alla differente risoluzione delle griglie di calcolo utilizzate e ai differentischemi di interfaccia aeroelastica.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 1 2 3 4 5

q 1 [

m]

τ [ − ]

× 10−1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 1 2 3 4 5

q 2 [

m]

τ [ − ]

× 10−1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 1 2 3 4 5

q 3 [

m]

τ [ − ]

× 10−1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 1 2 3 4 5

q 4 [

m]

τ [ − ]

× 10−1

Figura A.1: Legge di movimento a scalino raccordato dell’i-esimo spostamento generalizzato qi(τ).

149

150 Matrici delle funzioni di trasferimento aerodinamiche

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5

Q11 [m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-10

-5

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4 5

Q12 [m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3 4 5

Q13 [m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 1 2 3 4 5

Q14 [m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5

Q21

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-10

-5

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4 5

Q22

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3 4 5

Q23

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 1 2 3 4 5

Q24

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5

Q31

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-10

-5

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4 5

Q32

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3 4 5

Q33

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 1 2 3 4 5

Q34

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5

Q41

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-10

-5

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4 5

Q42

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3 4 5

Q43

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 1 2 3 4 5

Q44

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

Figura A.2: Confronto tra i risultati numerici ottenuti mediante AeroFoam () ed i risultati numerici ot-tenuti mediante EDGE () relativi alla variazione non stazionaria delle forze aerodinamiche generalizzateQa(τ) conseguenti al movimento strutturale imposto per M∞ = 0.678.

Risultati numerici 151

-4

-3

-2

-1

0

1

0 1 2 3 4 5

Q11 [m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5

Q12 [m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-16

-12

-8

-4

0

4

0 1 2 3 4 5

Q13 [m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 1 2 3 4 5

Q14 [m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-4

-3

-2

-1

0

1

0 1 2 3 4 5

Q21

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5

Q22

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-16

-12

-8

-4

0

4

0 1 2 3 4 5

Q23

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 1 2 3 4 5

Q24

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-4

-3

-2

-1

0

1

0 1 2 3 4 5

Q31

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5

Q32

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-16

-12

-8

-4

0

4

0 1 2 3 4 5

Q33

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 1 2 3 4 5

Q34

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-4

-3

-2

-1

0

1

0 1 2 3 4 5

Q41

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5

Q42

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-16

-12

-8

-4

0

4

0 1 2 3 4 5

Q43

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 1 2 3 4 5

Q44

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1



-3

-2

-1

0

1

0 1 2 3 4 5

Q11 [m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5

Q12 [m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-15

-10

-5

0

5

0 1 2 3 4 5

Q13 [m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 1 2 3 4 5

Q14 [m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-3

-2

-1

0

1

0 1 2 3 4 5

Q21

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5

Q22

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-15

-10

-5

0

5

0 1 2 3 4 5

Q23

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 1 2 3 4 5

Q24

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-3

-2

-1

0

1

0 1 2 3 4 5

Q31

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5

Q32

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-15

-10

-5

0

5

0 1 2 3 4 5

Q33

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 1 2 3 4 5

Q34

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-3

-2

-1

0

1

0 1 2 3 4 5

Q41

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5

Q42

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-15

-10

-5

0

5

0 1 2 3 4 5

Q43

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 1 2 3 4 5

Q44

[m

2]

τ [ − ]

× 10−1



-3

-2

-1

0

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,11 [m

]

k [ − ]

Re

Im-6

-3

0

3

6

9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,12 [m

]

k [ − ]

Re

Im-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,13 [m

]

k [ − ]

Re

Im-6

-4

-2

0

2

4

6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,14 [m

]

k [ − ]

Re

Im

-3

-2

-1

0

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,21

[m

]

k [ − ]

Re

Im-6

-3

0

3

6

9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,22

[m

]

k [ − ]

Re

Im-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,23

[m

]

k [ − ]

Re

Im-6

-4

-2

0

2

4

6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,24

[m

]

k [ − ]

Re

Im

-3

-2

-1

0

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,31

[m

]

k [ − ]

Re

Im-6

-3

0

3

6

9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,32

[m

]

k [ − ]

Re

Im-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,33

[m

]

k [ − ]

Re

Im-6

-4

-2

0

2

4

6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,34

[m

]

k [ − ]

Re

Im

-3

-2

-1

0

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,41

[m

]

k [ − ]

Re

Im-6

-3

0

3

6

9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,42

[m

]

k [ − ]

Re

Im-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,43

[m

]

k [ − ]

Re

Im-6

-4

-2

0

2

4

6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,44

[m

]

k [ − ]

Re

Im

Figura A.5: Confronto tra i risultati numerici ottenuti mediante AeroFoam (), i risultati numericidisponibili in Letteratura [30] () ed i risultati numerici ottenuti mediante EDGE () relativi alla partereale Re () ed immaginaria Im () della matrice delle funzioni di trasferimento aerodinamiche [ Ham(k) ]per M∞ = 0.678.


-4

-3

-2

-1

0

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,11 [m

]

k [ − ]

Re

Im-10

-5

0

5

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,12 [m

]

k [ − ]

Re

Im-6

-4

-2

0

2

4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,13 [m

]

k [ − ]

Re

Im-8

-4

0

4

8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,14 [m

]

k [ − ]

Re

Im

-4

-3

-2

-1

0

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,21

[m

]

k [ − ]

Re

Im-10

-5

0

5

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,22

[m

]

k [ − ]

Re

Im-6

-4

-2

0

2

4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,23

[m

]

k [ − ]

Re

Im-8

-4

0

4

8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,24

[m

]

k [ − ]

Re

Im

-4

-3

-2

-1

0

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,31

[m

]

k [ − ]

Re

Im-10

-5

0

5

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,32

[m

]

k [ − ]

Re

Im-6

-4

-2

0

2

4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,33

[m

]

k [ − ]

Re

Im-8

-4

0

4

8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,34

[m

]

k [ − ]

Re

Im

-4

-3

-2

-1

0

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,41

[m

]

k [ − ]

Re

Im-10

-5

0

5

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,42

[m

]

k [ − ]

Re

Im-6

-4

-2

0

2

4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,43

[m

]

k [ − ]

Re

Im-8

-4

0

4

8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ham

,44

[m

]

k [ − ]

Re

Im


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