Dott.ssa Picucci Statistica Inferenziale

Statistica Inferenziale Test Z Test T

Test Chi quadrato Test F (ANOVA)

Statistica inferenziale

• Consente di verificare ipotesi sperimentali a partire dai dati ottenuti da un campione di soggetti estratti casualmente dalla popolazione

• A partire da effetti riscontrati nel campione è possibile INFERIRE le caratteristiche “vere” della popolazione.

Verifica di Ipotesi

Ipotesi Nulla (H0): I valori ottenuti dal campione sono dovuti al caso quindi non sono diversi da quelli della popolazione

Ipotesi Alternativa (H1): I valori ottenuti dal campione non sono dovuti al caso ma attribuibili ad una particolare teoria

Bidirezionale: Mi aspetto una differenza tra i dati del campione e quelli della popolazione senza saperne specificare la direzione

Monodirezionale: Sono in grado di formulare ipotesi direzionali

Test statistico

“I test statistici si confrontano con la probabilità che le differenze emerse dall’esperimento siano dovute al caso. Se questa probabilità è davvero molto bassa allora possiamo rigettare l’ipotesi nulla. Possiamo quindi accettare l’ipotesi sperimentale che i risultati dell’esperimento siano significativi cioè non casuali” (Greene e D’Oliveira, 2000)

Test Z

Test T

Test F

Test “CHI quadrato”

•Ipotesi con una sola variabile ( il confronto è con la popolazione normativa) • Ipotesi con due variabili ( il confronto è con un altro gruppo)

Le tavole statistiche

• Applicata una statistica si ottiene un punteggio. Per capire se questo punteggio ci consente di accettare o rifiutare l’ipotesi nulla dobbiamo fare riferimento alle TAVOLE STATISTICHE che consentono di verificare l’esatta percentuale di probabilità che i risultati siano dovuti al caso. Se l’ipotesi è bidirezionale è necessario dimezzare l’alfa, per ottenere l’esatta significatività.

Test Z con una sola variabile (confronto con la popolazione)

z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 0,5 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641

0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247

0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859

0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483

0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121

0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776

0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451

0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148

0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867

0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611

1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379

1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170

1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985

1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823

1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681

1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559

1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455

1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367

1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294

1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233

2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183

2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143

2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110

2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084

2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064

2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048

2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036

2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026

2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019

2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014

3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010

3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007

3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005

3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003

3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002

3,5 0,00023 0,00022 0,00022 0,00021 0,00020 0,00019 0,00019 0,00018 0,00017 0,00017

3,6 0,00016 0,00015 0,00015 0,00014 0,00014 0,00013 0,00013 0,00012 0,00012 0,00011

3,7 0,00011 0,00010 0,00010 0,00010 0,00009 0,00009 0,00008 0,00008 0,00008 0,00008

3,8 0,00007 0,00007 0,00007 0,00006 0,00006 0,00006 0,00006 0,00005 0,00005 0,00005

3,9 0,00005 0,00005 0,00004 0,00004 0,00004 0,00004 0,00004 0,00004 0,00003 0,00003

4,0 0,00003 0,00003 0,00003 0,00003 0,00003 0,00003 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002

Test T con una sola variabile (confronto con la popolazione)

Quando non conosciamo la distribuzione della variabile e l’ampiezza campionaria è inferiore a 30 unità non si può fare riferimento alla distribuzione normale quindi bisogna riferirsi alla distribuzione t di Student

All’aumentare di n la differenza tra t e Z è trascurabile (teoria del limite centrale)

Punteggio Test T

Test T- Tavola della distribuzione-

Stabilire la soglia di Rifiuto di Ho, individuando il valore di riferimento sulla tavola

La tavola del test T definisce il valore soglia, (T critico) in funzione della probabilità richiesta, specifica per il tipo di ipotesi (mono/bidirezionale) e dei gradi di libertà

Gradi di libertà: Ci domandiamo se i punteggi della popolazione e del campione variano allo stesso modo oppure no. Per verificare le ipotesi è necessario che i punteggi siano liberi di variare

GDL= N-1

Tavole T di Student

Ancora un esempio T test per campioni

appaiati/dipendenti/relazionato

• Esempio misuriamo i livelli di ansia di 7 soggetti prima e dopo una seduta di rilassamento.

H0: Pre= Post H1: Pre≠Post (bidirezionale) H1: Pre>Post (monodirezionale) α= 0.05

Pre-rilass Post- rilass D(pre-post)D2

S1 43 42 1 1

S2 44 39 5 25

S3 40 38 2 4

S4 45 42 3 9

S5 43 38 5 25

S6 41 40 1 1

S7 44 41 3 9

∑D 20 ∑D2 74

(∑D)2 400

T 4.51

gdl 6

Tcritico 1,94 4.51 > 1,94

Rifiuto H0

Punteggi di Ansia

Chi Quadrato (χ2)

• Quando si hanno scale nominali o ordinali, non è possibile calcolare il t e z, poiché non abbiamo medie, ma solo frequenze.

• Il test chi quadrato fa dunque riferimento a categorie e non a punteggi

(Es: verificare se le persone presentano o meno un certo comportamento)

• Ciò che si intende verificare è se la distribuzione di frequenza dei soggetti nelle diverse categorie sia dovuta al caso oppure no.

• I soggetti sono inclusi in una ed una sola categoria

Applicazione χ2

• TEST UNIDIMENSIONALE: indagini con una sola variabile- quando si confronta la distribuzione di frequenze osservate con un modello teorico di riferimento (frequenze teoriche)-

• TEST BIDIMENSIONALE: indagine con due variabili- quando si studia la relazione tra due variabili-

Test ad una sola variabile

• Confronta le frequenze osservate (e.g. numero di soggetti distribuiti per cella) con le frequenze attese (numero di soggetti che dovrebbero trovarsi in ogni cella in funzione di assunti teorici)

• H0: F (OSSERVATA) = F (TEORICA)

• H1: F (OSSERVATA) ≠ F (TEORICA)

Test Unidimensionale Esempio

Si vuole confrontare l’efficacia percepita delle tecniche di

rilassamento chiedendo ad un gruppo di 45 soggetti di stabilire in quale momento della giornata reputino più efficace il training tra MATTINA, POMERIGGIO, SERA

H0: Non ci sia differenza nei 3 momenti della giornata. Se l’ipotesi nulla è vera dovrei attendermi che il numero di

soggetti in ogni categoria sia più o meno uguale, quindi che non si discosti troppo dal caso 45/3 = 15. Questo valore lo chiamiamo “FREQUENZA ATTESA o TEORICA”

H1 : C’è un momento in cui il rilassamento è percepito come più efficace.

Fo = frequenze osservate F t = frequenze teoriche (attese)

Per ogni categoria si calcola il quadrato della differenza tra le frequenze osservate e quelle attese e si divide per le frequenza attese. Il χ2 è dato dalla somma dei risultati di questa operazione per ogni categoria. La distribuzione del χ2 dipende dai gradi di libertà, che per un disegno con una sola variabile sarà gdl= K-1 ; il numero di categorie disponibili – 1 Inoltre essendo la distribuzione del χ2 ad una sola coda (destra) i livelli di α saranno sempre monodirezionali. Le ipotesi invece sono sempre bidirezionali, ciò che il χ2 consente di stabilire è che esiste una differenza tra frequenze osservate e frequenze attese.

MATTINA POMERIGGIO SERA Tot Freq. Teoriche

Frequenze Osservate 10 12 23 45 45/3 = 15

Fo Ft (fo-ft) (fo-ft) 2 (fo-ft)2/ft

Mattina 10 15 -5 25 1,6666667

Pomeriggio 12 15 -3 9 0,6

Sera 23 15 8 64 4,2666667

∑ 6,5333333

χ2 = 6,53

χ2 critico α=0.05 5,99 Rifiuto H0

α=0.01 9,21 Accetto H0

Calcolo dei Residui

• Il fatto che il χ2 sia significativo ci dice solo che le frequenze teoriche (attese) sono diverse da quelle osservate. Per comprendere quale categoria è diversa dalle altre, è opportuno calcolare i RESIDUI STANDARDIZZATI per ognuna delle celle

Fo Ft (fo-ft) (fo-ft) 2 (fo-ft)2/ft Radq (Ft) (fo-ft)/Radq (Ft)

Mattina 10 15 -5 25 1,67 3,87 -1,29

Pomeriggio 12 15 -3 9 0,60 3,87 -0,77

Sera 23 15 8 64 4,27 3,87 2,07

∑ 6,53

χ2 = 6,53

χ2 critico α=0.05 5,99 Rifiuto H0 RSERA > 2

α=0.01 9,21 Accetto H0

Nel nostro caso: Nelle celle MATTINA E POMERIGGIO non c’è differenza tra frequenze attese e frequenze osservate Nella cella SERA c’è differenza tra frequenze attese e frequenze osservate, in termini di un numero maggiore di frequenze rispetto a quelle attese. La conclusione che possiamo desumere è che gli effetti del rilassamento sono percepiti come maggiormente benefici la sera ( da qui si possono porre nuove basi per studi successivi )

INTERPRETAZIONE R

Test χ2 con 2 Variabili Si utilizza quando si è interessati a verificare la

relazione tra 2 variabili come ad esempio il percorso scelto per Arrivare in P.zza Ferrarese e il genere.

H0: se tra le due variabili non c’è relazione i soggetti si distribuiranno in maniera casuale nelle categorie, ovvero non c’è relazione tra il genere e la scelta del percorso

Il calcolo del χ2 rimane invariato, ciò che varia è la modalità di organizzare i dati:TABELLA A DOPPIA ENTRATA o di CONTINGENZA, e il calcolo delle FREQUENZE ATTESE

Esempio

• TABELLA DI CONTINGENZA

MARGINALE DI COLONNA

MA

RG

INA

LE DI R

IGA

Totale dei marginali

M F

C.so Cavour 36 31 67

C.so Vitt.Eman 19 22 41

55 53 108

Calcolo delle Frequenze attese

• Se la relazione tra le due variabili è casuale, significa che ad esempio il numero di maschi che percorre C. Cavour deve essere proporzionale al numero totale di persone che sceglie C.so Cavour nel campione complessivo.

Se vi sono 67 persone su 108 quante ce ne saranno su 55??

x:55=67:108;

x=(55*67) /108 = 34,1

M F

C.so Cavour ?? 67

C.so Vitt.Eman

55 108

Calcolo delle Frequenze attese

Freq. attesa (a) = 34.1 Freq. attesa (b)= (53*67)/108; = 32.8 Freq. attesa (c)= (55*41)/108=20.08 Freq.attesa (d)= (54*41)/ 108= 20.5

M F

C.so Cavour 34,1 b 67

C.so Vitt.Eman c d 41

55 53 108

M F

C.so Cavour 34,1 32,08

C.so Vitt.Eman20,05 20,5

Calcolo χ2

M F

C.so Cavour 34,1 32,08

C.so Vitt.Eman20,05 20,5

M F

C.so Cavour 36 31 67

C.so Vitt.Eman 19 22 41

55 53 108

Χ2 =[(36-34,1) 2 /34,1 ]+[(31-32,8) 2 /32,8 ]+[(19-20,05) 2 /20,05]+[(22-20,5) 2 /20,5 ] =0,34 Gdl= (c-1) *(r-1); 2 α=0.05 Χ2

critico = 5.99 0,34<5,99; ACCETTO Ho

Esercitazione • Verificare la relazione tra Soddisfazione dopo

un esame affrontato con successo e Locus of Control (interno vs esterno)

L of Contr

Interno

Esterno

Svolgere l’esercizio senza tener conto della correzione di Yates (VI colonna) che consiste nel sottrarre 0,5 a ogni differenza assoluta tra la frequenza osservata e quella attessa

Analysis of Variance (ANOVA)

L’ ANALISI DELLA VARIANZA VIENE UTILIZZATA QUANDO SI VOGLIONO CONFRONTARE LE MEDIE DI Più GRUPPI

Quando le medie sono solamente due è indifferente usare questo test F (per ANOVA) o il t-test

ANALISI DELLA VARIANZA AD UNA VIA (One Way ANOVA)

ANALISI DELLA VARIANZA A PIU’ VIE

La scelta dipende dal numero di fattori presi in considerazione; il fattore è la causa di variazione considerata.

One Way ANOVA

QUANDO SI HA UNA SOLA VARIABILE DIPENDENTE E UNA SOLA VARIABILE INDIPENDENTE (fattore)

Esempio Verificare se l’età (3 gruppi) produce una riduzione

nella percezione delle capacità mnestiche. Somministriamo ai 3 gruppi un test sulla percezione dei fallimenti cognitivi.

Il nostro fattore è l’età a tre livelli (giovane, adulto,anziani), la VD ovvero la variabile che prendiamo in considerazione per osservare gli effetti dell’età è la percezione delle proprie capacità mnestiche

Indagine sulla Varianza – Il Test F-

• VARIANZA ENTRO I GRUPPI –Varianza within- (differenze

individuali proprie dei soggetti presi inconsiderazione o varianza d’errore)

• VARIANZA TRA I GRUPPI –Varianza between-( dovuta al fattore di interesse ETA)

-Test F- Si tratta del rapporto tra due varianze Varianza B/Varianza W VarB/ VarW segue la distribuzione F di Fisher che è tabulata in

funzione dei gradi di libertà • Quando VarB è grande e VarW è piccola il test risulterà

significativo

Ipotesi

H0: tutte le medie sono uguali tra di loro

• H0: µ1 = µ2 = … = µK = µ

H1: almeno una media è diversa dalle altre

• H1: esiste almeno uno strato k per cui µk ≠ µ

Il test F è un test globale, per sapere quale sia la media che differisce dalle altre bisogna operare i post-hoc (ovvero facciamo dei test t tra le coppie delle medie)

I gradi di Libertà

• Ogni componente di devianza ha un suo diverso grado di libertà

• DEVIANZA TRA I GRUPPI (B): k-1 gdl (perde il gd l

dellamedia totale) • DEVIANZA ENTRO I GRUPPI (W): n-k gdl(si perde

un gdl per ogni media di gruppo In cui: N = numero dei soggetti k = numero delle condizioni/gruppi

Esempio

N=18 K=3 (giovani, adulti, anziani) Gdl tra i gruppi = 2 Gdl entro i gruppi= 15 Test F VarB/VarW= 8.57

Anova a più vie o Fattoriale

Si utilizza quando il disegno sperimentale prende in

considerazione più variabili indipendenti.

Uno dei Vantaggi della ANOVA fattoriale: Permette

di evidenziare le interazioni tra variabili , ovvero

gli effetti congiunti delle variabili indipendenti

sulla variabile dipendente.

Fonti di Varianza

Il modello bivariato ha lo scopo di individuare

quanta parte della varianza della v.d. sia

dovuta:

– agli effetti dei trattamenti del primo fattore

– agli effetti dei trattamenti del secondo fattore

– agli effetti d’interazione tra il primo ed il secondo fattore

– agli effetti dovuti alle differenze individuali.

Variabilità entro i gruppi

Variabilità Totale

Variabilità tra i gruppi

Varianza

1° fatt.

Varianza

2° fatt.

Varianza

1° fatt x 2° fatt.

Il calcolo degli F avviene dividendo le varianze degli effetti principali e di quello d’interazione per la varianza entro i gruppi

Gradi di libertà

Gradi di libertà

Fattore 1

Gdl B= k1-1

Fattore 2

Gdl B= k2-1

Effetto interazione

GdlB= gdl1 * gdl2

Gdl W comune a tutti = (N-1)- gdl (1)-gdl(2)-gdl (int) oppure N- (k1 *k2 )

Var B (fattore1)+ VarB (fattore2)+ VarB (interazione)

Varianza W

F=

Esempio • Disegno fattoriale 3x2

36 soggetti vengono reclutati per valutare gli effetti dell’età (giov, ad, anz) e della depressione (Media dei punteggi alti e bassi) sulla percezione dei fallimenti mnestici.

Effetto principale dell’età

GdlB= k-1, 3-1= 2

Effetto principale del livello di depressione

GdlB=K-1; 2-1 = 1

Effetto di interazione Eta X Depressione

GdlB = 2*1

Gdl W = (36-1)- 2 - 1- 2 = 30

Effetto principale Età

F critico= 3,32

Effetto principale del livello di depressione

F critico = 4,17

Effetto di interazione Eta X Depressione

F critico = 3,32

Un esempio con STAT (VEDI LUCIDI)

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