Dizionario Zingarelli probabilità - condizione, carattere di ciò che è probabile; probabile -...

Dizionario Zingarelli

probabilità - condizione, carattere di ciò che è probabile;

probabile - credibile, verosimile, ammissibile in base a motivi e argomenti abbastanza sicuri

Fenomeno deterministico: se l’esperimento è condotto nelle stesse condizioni si trova lo stesso risultato

Esempi:

•Moto di un grave

•Traiettoria di una pallina in un biliardo

Fenomeno non deterministico: anche se gli esperimenti sono condotti nelle stesse condizioni si trovano risultati diversiEsempi:•Risultato del lancio di una moneta•Traiettoria di 100 palline in un biliardo•Vincita in una lotteria•Numero di lanci di un dado per ottenere un 6

IntroduzioneIntroduzione

La probabilità si occupa di fenomeni non deterministici

““Immaginiamo di aver lanciato una moneta per sei Immaginiamo di aver lanciato una moneta per sei volte e di aver ottenuto i seguenti risultati”volte e di aver ottenuto i seguenti risultati”

A.A. Testa, testa, testa, croce, croce, croce.Testa, testa, testa, croce, croce, croce.

B.B. Testa, croce, croce, testa, croce, testa.Testa, croce, croce, testa, croce, testa.

Quale fra A e B è la sequenza più probabile?Quale fra A e B è la sequenza più probabile?

•La maggior parte delle persone sceglie B, perché rappresenta lo STEREOTIPO di sequenza casuale (sia A che B = 1/64)

Problema : Gioco dell’oca - un finale carico di tensione

.

A

B C

Vince colui che per primo arriva.

Supponiamo che debba giocare C, poi B, poi A, nell'ordine.Che probabilità ha ciascun giocatore di vincere al primo colpo? Lo scopriremo ...

esattamente sulla casella FINE

ProbabilitàProbabilità

Nei precedenti problemi non si riesce a determinare con Nei precedenti problemi non si riesce a determinare con certezza l'esito tra varie possibili alternative.certezza l'esito tra varie possibili alternative.

Due cause possibili:Due cause possibili:- mancanza di informazioni - mancanza di informazioni - l'indeterminatezza connaturata.- l'indeterminatezza connaturata. Ma la causa non interessa: chiameremo tali eventi Ma la causa non interessa: chiameremo tali eventi

"casuali"."casuali". Per fare comunque previsioni introduciamo una nuova Per fare comunque previsioni introduciamo una nuova

quantità: la quantità: la probabilitàprobabilità..

Caratteristiche della probabilità Caratteristiche della probabilità

- Non importa la sua vera natura: basta che sia misurabile- Non importa la sua vera natura: basta che sia misurabileed utile in casi interessanti.ed utile in casi interessanti. - Si determina attraverso processi logici.- Si determina attraverso processi logici. - E' un numero puro e si esprime in genere in frazioni di- E' un numero puro e si esprime in genere in frazioni di100 (tipo 30%) o con un numero in [0,1].100 (tipo 30%) o con un numero in [0,1]. Quest'ultimo metodo è conveniente per le moltiplicazioni: il 3% del 40% èQuest'ultimo metodo è conveniente per le moltiplicazioni: il 3% del 40% èl'1,2%, facilmente ottenibile da 0,03x0,40=0,12.l'1,2%, facilmente ottenibile da 0,03x0,40=0,12.

Spazio campione:Spazio campione:Insieme S di tutti i risultati dell’esperimento

Esempio:•Nel caso del lancio di una moneta S={Testa, Croce}•Nel caso dei numeri di lanci di un dado necessari per avere 6 S=N (numeri naturali)

Evento:Evento:Sottoinsieme E di S dato da un insieme di risultati caratterizzati dal godere di una stessa proprietà

Esempio:•E={Testa} nel lancio di una moneta

Concezioni alternative di probabilità

Concetti primitivi

Ogni fenomeno che non sia prevedibile con certezza ( es del tempo a Oslo)

Uno dei qualsiasi modi in cui il fenomeno si può manifestare

Casi favorevoli/Casi possibili

Frequenza relativa delle volte in cui si verifica (E) In una successione infinita di

osservazioni del fenomeno nelle medesime condizioni

Grado di fiducia che un individuo ha sul verificarsi di E

Fenomeni equiprobabili

Fenomeni ripetibili

Altri fenomeni

Fenomeno (o esperimento) casualeFenomeno (o esperimento) casuale

Fenomeni ripetibiliFenomeni ripetibili



Fenomeno casuale

Evento elementare (E)

Probabilità dell’evento (E)

1

n

N

Spazio campionario (campione)

Evento elementare

Lancio di un dado

Durata di una lampadina

0 max

i

Finito

Infinito

Fenomeno casuale o prova

P


Lancio di un dado

Faccia “dispari”

Faccia “pari” A = , ,

B = , ,

E = ,

Modi di descrivere l’evento

E Si realizza se viene faccia 3 o faccia 6

NB l’insieme può anche essere continuo ( durata lampadina)


Interpretazioni della probabilità Interpretazioni della probabilità

Esistono varie scuole su come definire la probabilità:Esistono varie scuole su come definire la probabilità:

- Classica- Classica

- Frequentista- Frequentista

- Soggettivistica- Soggettivistica

- Assiomatica- Assiomatica

Definizione classica di probabilità:Definizione classica di probabilità:(detta a priori) -1812 Pierre Simon de Laplace:(detta a priori) -1812 Pierre Simon de Laplace:

la probabilità è data dal rapporto tra I casila probabilità è data dal rapporto tra I casi

favorevoli all’evento ed il numero di casifavorevoli all’evento ed il numero di casi

possibili (quando sono ugualmente possibili)possibili (quando sono ugualmente possibili)

Dato un evento E:Dato un evento E:

.( )

.

num casi favorevoliP E

num casi possibili

Es : il dado, la monete, il lotto, ecc

Uno dei protagonisti delle vicende fu il Uno dei protagonisti delle vicende fu il Cavaliere di Merè, un incallito giocatore Cavaliere di Merè, un incallito giocatore d’azzardo, che, volendo trovare un d’azzardo, che, volendo trovare un metodo che gli consentisse di vincere metodo che gli consentisse di vincere al gioco, pose a Blaise Pascal due al gioco, pose a Blaise Pascal due problemi che ormai sono rimasti celebri problemi che ormai sono rimasti celebri nel mondo del calcolo delle probabilità:nel mondo del calcolo delle probabilità:

E’ più probabile avere un 6 lanciando 4 E’ più probabile avere un 6 lanciando 4 volte un dado o avere almeno una volta volte un dado o avere almeno una volta il doppio 6 lanciando 24 volte due dadi?il doppio 6 lanciando 24 volte due dadi?

Se due giocatori, della stessa bravura, Se due giocatori, della stessa bravura, interrompono all’improvviso un gioco interrompono all’improvviso un gioco in cui vince chi per primo totalizza un in cui vince chi per primo totalizza un fissato numero di punti, come va divisa fissato numero di punti, come va divisa la posta se nessuno raggiunge il la posta se nessuno raggiunge il punteggio?punteggio?

CLASSICA

Un’urna contiene 50 palline di cui 30 bianche, 15 verdi e 5 rosse.

I casi possibili sono le combinazioni di 40 oggetti in due posti

a) i casi favorevoli sono tutte le combinazioni di 12 palline bianche

in 2 posti e la probabilità richiesta è p=66/780=11/130

b) I casi favorevoli sono ora C11,2 =55 e la probabilità in senso classico è 55/780=11/156

c) I casi favorevoli sono 11*17 e la probabilità è 187/ 780.

7802

3940C 40

240,2

( ) 66=211•12

==C 12212,2

Da un’urna che contiene 40 palline di cui 12 b, 11 r, 17v si estraggono CONTEMPORANEAMENTE due palline. Calcolare la probabilità che esse siano a) entrambe bianche b) entrambe rosse c) una rossa e una verde.

La probabilità che estratta una pallina essa sia bianca: 30/50=3/5, che sia verde: 15/50= 3/10 e che sia rossa: 5/50=1/10

Nel gioco del Lotto qual è la probabilità di fare ambo?

Tra tutte le cinquine possibili

i casi favorevoli sono

quindi la probabilità è

43.949.2685!

8687888990C 90

590,5

109.7363!

868788C 88

3 88,3

8012

=268.949.43

736.109

Calcolare la probabilità che, lanciando contemporaneamente 3 monete, si presentino 2 teste.

I casi possibili sono: { TTT,TTC,TCT,CTT,CCT,CTC,TCC,CCC} 8 possibilità

Quelli favorevoli sono: {TTC,TCT,CTT} 3 possibilità

La probabilità è quindi 3/8.

xx combinazioni possibilicombinazioni possibili

22 1,11,1

33 1,21,2 2,12,1

44 2,22,2 3,13,1 1,31,3

55 2,32,3 3,23,2 4,14,1 1,41,4

66 3,33,3 4,24,2 2,42,4 5,15,1 1,51,5

77 3,43,4 4,34,3 5,25,2 2,52,5 6,16,1 1,61,6

88 4,44,4 5,35,3 3,53,5 6,26,2 2,62,6

99 6,36,3 3,63,6 5,45,4 4,54,5

1010 5,55,5 6,46,4 4,64,6

1111 5,65,6 6,56,5

1212 6,66,6

x=

som

ma d

ei 2

x=

som

ma d

ei 2

d

ad

id

ad

i

X= somma della faccia superiore dei due dadi {2, 3 , …, 12}X= somma della faccia superiore dei due dadi {2, 3 , …, 12}

p(x)p(x)

1/361/36

2/362/36

3/363/36

4/364/36

5/365/36

6/366/36

5/365/36

4/364/36

3/363/36

2/362/36

1/361/36

Vai a DUEDADI

Concezione frequentista o statisticaConcezione frequentista o statistica. . (detta a posteriori) -1919 Richard von Mises(detta a posteriori) -1919 Richard von Mises

Si basa sulla ripetibilità della prova sotto le stesse Si basa sulla ripetibilità della prova sotto le stesse condizioni. Gli esiti della prova (eventi) non sono sempre condizioni. Gli esiti della prova (eventi) non sono sempre gli stessi. Se ripetiamo la prova n volte e l’evento A si gli stessi. Se ripetiamo la prova n volte e l’evento A si verifica nverifica nAA volte, la sua probabilità (frequenza relativa) è: volte, la sua probabilità (frequenza relativa) è:

( ) Pr( ) Anfr A A

n

Es: prove ripetute con il lancio di un dado o la caduta di un grave in laboratorio

Ma anche le auto ad un casello, la pioggia alla festa della paciarella, il quesito alla maturità, …

Legge empirica del casoLegge empirica del caso::

In un gruppo di prove ripetute più volte In un gruppo di prove ripetute più volte nelle stesse condizioni, ciascuno degli nelle stesse condizioni, ciascuno degli eventi possibili compare con una eventi possibili compare con una frequenza approssimativamente uguale frequenza approssimativamente uguale alla sua probabilità; generalmente alla sua probabilità; generalmente l’approssimazione migliora quando il l’approssimazione migliora quando il numero delle prove cresce.numero delle prove cresce.

Vai a file excel “ dado moneta e calc comb”

Ovvero il valore della frequanza relativa f(E)=m/n tende al valore della probabilità p(E) all’aumentare del numero n di prove effettuate.

Concezione soggettivistaConcezione soggettivista::

1931 Bruno de Finetti 1931 Bruno de Finetti

““La probabilità di un evento è la misura della La probabilità di un evento è la misura della fiducia che un individuo razionale e fiducia che un individuo razionale e coerentecoerente attribuisce, in base alle proprie attribuisce, in base alle proprie conoscenze e alle informazioni che conoscenze e alle informazioni che possiede, al verificarsi dell’evento stesso”.possiede, al verificarsi dell’evento stesso”.

Maturità 2006 corso sperimentale sessione ordinaria:

Bruno de Finetti , tra i più illustri matematici italiani,del quale ricorre il centenario della nascita, alla domanda :”che cos’è la probabilità” era solito dire:” la probabilità non eisiste !” Quale significato puoi attribuire a tale risposta?E’ possibile collegarla a una delle def di probabilità che sono state storicamente proposte?

P(E)= prezzo da pagare / somma ricevuta al verificarsi di E

Definizioni e insidieDefinizioni e insidie

classica classica i casi possibili devono avere “ugual peso” (esempio del i casi possibili devono avere “ugual peso” (esempio del lancio di 2 monete perfettamente identiche o la partita lancio di 2 monete perfettamente identiche o la partita juventus-acireale) juventus-acireale) la definizione diventa “autodefinente”: la definizione diventa “autodefinente”: la probabilità di un la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il evento è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili, purchè questi siano numero di casi possibili, purchè questi siano equiprobabili!equiprobabili!Presuppone una situazione “di laboratorio”, poco adatta alla Presuppone una situazione “di laboratorio”, poco adatta alla vita realevita realeApplicabile solo ad uno spazio degli eventi finitoApplicabile solo ad uno spazio degli eventi finito

frequentistafrequentista Quante prove effettuare?Quante prove effettuare?

La probabilità dipende dal numero di esperimenti considerati, più tale La probabilità dipende dal numero di esperimenti considerati, più tale numero è grande, più è affidabile la valutazione di probabilitànumero è grande, più è affidabile la valutazione di probabilità

Ancora con il calcio: non si può ripetere la stessa partita tante volte...Ancora con il calcio: non si può ripetere la stessa partita tante volte...

Probabilità come aspettativa soggettiva che si nutre rispetto al realizzarsi dell’evento; la valutazione dipende dalla singola persona che la effettua.Soggettivo non vuol dire arbitrario, ma semplicemente legato alle conoscenze del soggetto.Naturalmente il soggetto deve esprimere la sua valutazione simmetricamente, cioè deve essere disposto a mantenerla in caso di scambio di ruoli (gioco equo).

•soggettivista

NB un evento singolo è un evento unico che non può essere ripetuto

Per es: l’italia vincerà i mondiali nel 2010

Teoria ASSIOMATICA della probabilitàTeoria ASSIOMATICA della probabilità

1933 Andrej Nikolavic Kolmogorov1933 Andrej Nikolavic Kolmogorov

““Non serve una definizione, serve una teoria che mi permetta di Non serve una definizione, serve una teoria che mi permetta di calcolarla”.calcolarla”.

Termini:Termini:

L’insieme di tutti gli eventi elementari è detto SPAZIO CAMPIONARIO.L’insieme di tutti gli eventi elementari è detto SPAZIO CAMPIONARIO.

L’evento IMPOSSIBILE è quello che non può mai verificarsiL’evento IMPOSSIBILE è quello che non può mai verificarsi

L’evento CERTO è quello che si verifica sicuramente.L’evento CERTO è quello che si verifica sicuramente.

Evento ALEATORIO è un evento che non è nè impossibile nè certoEvento ALEATORIO è un evento che non è nè impossibile nè certo

Due eventi si dicono INCOMPATIBILI se si verifica che Due eventi si dicono INCOMPATIBILI se si verifica che A∩B = ØA∩B = Ø

Se A è B sono due eventi allora sono eventi anche Se A è B sono due eventi allora sono eventi anche AeBABA ;;

ProprietàProprietà UnioneUnione IntersezioneIntersezione

Commutativa

Idempotenza

Associativa

Distributiva

ABBA ABBA

AAA AAA

)CB(AC)BA( )CB(AC)BA(

)CA()BA()CB(A )CA()BA()CB(A

Inoltre, si ha:Inoltre, si ha:

AA A AA

A AA AA

Leggi di De MorganLeggi di De Morgan

BABA

Partizione dello Spazio CampionarioPartizione dello Spazio Campionario

BABA

BABA

BABA

(1)(1)

(2)(2)

Si dice che gli eventi A1,…,Ak appartenenti ad formano una partizione dello spazio campionario se:

(1)(1) k1,...,ji AA ji

(2)(2)

k

1iiA

Vedere file probabilità e teoria degli insiemi 1 e 2

Definizione di probabilità mediante gliDefinizione di probabilità mediante gli Assiomi di KolmogorovAssiomi di Kolmogorov : :

1. P(Ei) 0: (non negatività) La probabilità di un

evento Ei è sempre maggiore o uguale a 0

2. 2.i P(Ei) = 1 :(norma) La somma delle

probabilità di tutti gli eventi Ei allo spazio

degli eventi è = 1

3. Regola della Somma della Probabilità: (additività)

Si applica ad eventi incompatibili ( cioè che non si

verificano contemporaneamente)

Postulato 1. ii EEP ,0Postulato 2. 1ΩP

Postulato 3. ji EE jiji EPEPEEP

0 ( ) 1;

( ) 0;

( ) ( ) ;

( ) 1 ( );

( ) 1 ( ) ( ) ;

( ) 0 ( ) ( ) .

P A

P

B A P B P A

P A P A

P B P B A P A

P B P B A P A

Da questi si ricavano altre proprietà:

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B BAPBPABP

Probabilità dell’unione di due eventi compatibili

APAP 1

Postulato 3. ji EE jiji EPEPEEP

AAPP Ω1 APAP

AA

AA

AAA

Postulato 2. 1ΩP

Alcune dimostrazioniAlcune dimostrazioni

. ΩΩ PP 1 0 P

ΑA 10 APInfatti P(A)=1-P(A) che è positiva per il primo postulato e 1 meno una quantità positiva è certamente minore di 1

BAPBPAPBAP

BAA

BAAA

BABA

BAPBPABP Teorema 1.

BAPAPBAP Postulato 3, infatti hanno intersezione vuota

BAP BAPBPAP )(

CBA CABA

P(AB C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC) +P(ABC)

BA BAA

x combinazioni possibili p(x)2 1,1 1/363 1,2 2,1 2/36

4 2,2 3,1 1,3 3/36

5 2,3 3,2 4,1 1,4 4/366 3,3 4,2 2,4 5,1 1,5 5/367 3,4 4,3 5,2 2,5 6,1 1,6 6/368 4,4 5,3 3,5 6,2 2,6 5/369 6,3 3,6 5,4 4,5 4/36

10 5,5 6,4 4,6 3/3611 5,6 6,5 2/3612 6,6 1/36

x=

som

ma d

ei 2

x=

som

ma d

ei 2

d

ad

id

ad

i

P([x pari][x7])= P(x pari) + P(x7) - P(x{8,10,12})

= 18/36 + 21/36 - 9/36 = 30/36

Calcolare la probabilità che, lanciando contemporaneamente 3 monete, si presenti almeno una testa.

I casi possibili sono: { TTT,TTC,TCT,CTT,CCT,CTC,TCC,CCC} 8 possibilità

Quelli favorevoli sono: { TTT,TTC,TCT,CTT,CCT,CTC,TCC} 7 possibilità

La probabilità è quindi 7/8. Ci si poteva arrivare anche attraverso 1-1/8

Supponi di avere un mazzo di carte da 40 . Calcola la probabilità dei seguenti eventi:

a) La carta è nera; b) la carta è una figura; c) la carta è un asso;d) La carta è una figura nerae) La carta è nera o è una figuraf) La carta è una figura o un assog) La carta è nera o è un’ asso

• 20/40 = 1/2• 12/40 = 3/10 • 4/40 = 1/10• 6/40 = 3/20• 20/40 + 12/40 – 6/40• 12/40 + 4/40• 20/40 + 4/40 -2/40

Cosa comporta il possedere

un’informazione in più?

Esempio: Calcoliamo la probabilità di ottenere somma 7 lanciando due dadi , ma sapendo che è uscito un 3!

La conoscenza dell’evento A ha ridotto lo spazio dei campioni

(6,1)(5,1)(4,1)(3,1)(2,1)(1,1)

(6,2)(5,2)(4,2)(3,2)(2,2)(1,2)

(6,3)(5,3)(4,3)(3,3)(2,3)(1,3)

(6,4)(5,4)(4,4)(3,4)(2,4) (1,4)

(6,5)(5,5)(4,5)(3,5)(2,5)(1,5)

(6,6)(5,6)(4,6)(3,6)(2,6)(1,6)

(6,1)(5,1)(4,1)(3,1)(2,1)(1,1)

(6,2)(5,2)(4,2)(3,2)(2,2)(1,2)

(6,3)(5,3)(4,3)(3,3)(2,3)(1,3)

(6,4)(5,4)(4,4)(3,4)(2,4) (1,4)

(6,5)(5,5)(4,5)(3,5)(2,5)(1,5)

(6,6)(5,6)(4,6)(3,6)(2,6)(1,6)

Lancio di un dado

A = , ,

B = , ,

E =

6

1EP

Se si sapesse che la faccia è pari

Se si sapesse che la faccia è dispari

03

0AEP

3

1BEP

Probabilità condizionata e Probabilità condizionata e

indipendenza stocastica indipendenza stocastica

Dati due eventi A e B si dice probabilità di B condizionata ad A

p(B|A) la probabilità di B calcolata sapendo che si è verificato A. (E’ ovvio che si può definire una probabilità condizionata al verificarsi di A

soltanto se A è possibile quindi P(A) diverso da 0)

Esempio: un’urna contiene 15 palline rosse e 5 nere.

Calcoliamo la probabilità di ottenere in 2 estrazioni consecutive senza reimbussolamento una pallina rossa e poi una nera:A:=estraggo una rossa B:=estraggo una nera

p(A)=15/20=3/4La probabilità di estrarre una nera dopo aver estratto una rossa è P(B)=5/19. La conoscenza dell’evento A ha ridotto lo spazio dei campioni

Probabilità condizionata e Probabilità condizionata e

indipendenza stocastica indipendenza stocastica Esempio: un’urna contiene 15 palline rosse e 5 nere.

Calcoliamo la probabilità di ottenere in 2 estrazioni consecutive senza reimbussolamento due palline rosse:A:=estraggo una rossa B:=estraggo una rossa

p(A)=15/20=3/4La probabilità di estrarre una rossa dopo aver estratto una rossa è P(B)=14/19. La conoscenza dell’evento A ha modificato lo spazio dei campioni

Probabilità condizionataProbabilità condizionata. Probabilità di B . Probabilità di B condizinatamente al verficarsi dell’evento A : condizinatamente al verficarsi dell’evento A :

P(A)

B)P(AP(B/A)

Analogamente Probabilità di A condizinatamente al verficarsi dell’evento B : Analogamente Probabilità di A condizinatamente al verficarsi dell’evento B : P(A/B)=P(A∩B)/P(B)P(A/B)=P(A∩B)/P(B)

Principio probabilità composte:Principio probabilità composte:

P(A∩B)=P(A)*P(B/A) =P(B)*P(A/B)

Es dei dadi: P(somma7con un 3) =11/36. 2/11

Oppure =( 6/36 . 2/6)

Es dei dadi: P(somma7/uscito3) = (2/36)/(11/36) = 2/11

A = esce 3 B = somma 7

INDIPENDENZA tra eventi. INDIPENDENZA tra eventi.

Due eventi si dicono indipendenti se:Due eventi si dicono indipendenti se:

P(A/B)=P(A) P(A/B)=P(A) e P(B/A)=P(B)e P(B/A)=P(B)

Dunque se e solo se:Dunque se e solo se:

P(A∩B)= P(A)* P(B)P(A∩B)= P(A)* P(B)(esempio: probabilità di fare testa due volte di seguito =

= probabilità testa 1° lancio x probabilità testa 2° lancio = 0,5 x 0,5 = 0,25)

AB

P(A)=1/2 P(b)=2/4 P(n)=2/4

P(B)=1/2 P(b)=3/4 P(n)=1/4

A:1/2 B:1/2

b:2/4 n:2/4 n:1/4b:3/4

1/2.2/4=1/4=2/81/2.2/4=1/4=2/8 1/2.3/4=3/8 1/2.1/4=1/8

NB TOT 8 / 8 = 1

A

B

P(A)=1/6 P(b)=1/4 P(n)=3/4

P(B)=5/6 P(b)=3/4 P(n)=1/4

A

:1/6

B:5/6

b:1/4 n: 3/4n: 1/4b: 3/4

1/6.1/4=1/241/6.3/4=3/24 5/6.3/4=15/24 5/6.1/4=5/24

NB TOT 24 / 24 = 1

Attenzione! Questa volta la scelta della scatola A dipende dal tiro di un dado

Problema 7: Gioco dell’oca - soluzione

.

A

B Cgioca C136

3536

(1,1)vince in unsolo colpo

qualsiasialtrorisultato

gioca B

ottiene 4,vince in unsolo colpo


3

36

33

36

gioca A

ottiene 7,vince in unsolo colpo


6

36

30

36

Problema 7: Gioco dell’oca - soluzione

Calcoliamo la probabilità che ciascun giocatore ha di vincere al primo colpo:

P C 1360.027

P B 3536

3360.081

P(A) 35363336

6360.149

.

A

B C

Probabilità maggiore

P( nonC )P(B)

P( non C ) P(non B) (PA)

Riassumendo:Riassumendo:

Probabilità contrariaProbabilità contraria: 1-p(E): 1-p(E)

Probabilità totale di eventi Probabilità totale di eventi incompatibiliincompatibili: :

pp((EE11EE22) = ) = pp((EE11) + ) + pp((EE22))

Probabilità totale di eventi Probabilità totale di eventi compatibili:compatibili:

pp((EE11EE22) = ) = pp((EE11) + ) + pp((EE22) - ) - pp((EE11EE22) )

Probabilità composta di eventi Probabilità composta di eventi indipendentiiindipendentii: :

pp((EE1 1 EE22) = ) = pp((EE11) . ) . pp((EE22))

Probabilità totale di eventi Probabilità totale di eventi dipendentidipendenti

pp((EE1 1 EE22) = ) = p p ((EE11) . P() . P(EE2 2 /E/E11))

Note: 1) due eventi mutuamente esclusivi non sono mai

indipendenti 2) due eventi indipendenti, non sono mai

mutuamente esclusivi

Supponiamo di estrarre 3 palline, una alla volta senza reinserimento, da un’urna contenente 7 palline rosse, 9 bianche e 5 nere: qual è la prob di estrarne una rossa e due nere

Attenzione!!Devo chiedermi se è : la PRIMA rossa e POI due nere o se è una delle tre rossa ma non importa se al 1° o 2 °o 3° postoNel primo caso è:

7/21.5/20.4/19

Se provo con casi fav/casi poss diventa

D7,1*D5,2/D21,3 = (7 * 5*4 )/(21*20*19)

Nel secondo caso è: 7/21.5/20.4/19 per tutte le permutazioni, cioè per 3!/2!

casi fav/casi poss diventaC7,1*C5,2/C21,3Cioè …..

un urna con 25 bianche e 75 nere . se viene estratta nera allora viene rimessa nell’urna; se estratta bianca viene tolta e se ne aggiunge una nera.

La prob di avere 24 palline bianche e 76 nere dopo due estrazioni ( e relative eventuali inserzioni) è:

7/16 5/16 151/400 149/400 1/3 (25/100*76/100 + 75/100*25/100) = 151/400

un urna con 25 bianche e 75 nere . se viene estratta nera allora viene rimessa nell’urna; se estratta bianca viene tolta e se ne aggiunge una nera.

La prob di avere 24 palline bianche e 76 nere dopo due estrazioni ( e relative eventuali inserzioni) è:

7/16 5/16 151/400 149/400 1/3

In pratica è la prob che ne esca una bianca e una nera(25/100*76/100 + 75/100*25/100) = 151/400

Cambiamo punto di vista…..Cambiamo punto di vista…..

Dall’effetto …..

… Alla causa

A B

P(A)=1/6 P(n)=1/4 P(r)=3/4

P(B)=5/6 P(n)=3/4 P(r)=1/4

Il mio amico ha estratto una pallina rossa!!!!!!!! Ma da quale scatola l’avrà pescata?

Teorema di Bayes:Teorema di Bayes:la probabilità che l’evento la probabilità che l’evento rrossa sia stato ossa sia stato

causato dall’evento scatola causato dall’evento scatola AA è: è:Probabilità a priori

Probabilità condizionate

Probabilità a posteriori

rAP ArPAP

ArPAP ArPAP

Ragioniamo;

l’evento favorevole è : esce una pallina rossa dalla scatola A

gli eventi posssibili sono : esce una pallina rossa dalla scatola A oppure da un’altra scatola che non è A

AB

P(A)=1/6 P(n)=1/4 P(r)=3/4

P(B)=5/6 P(n)=3/4 P(r)=1/4

1/6 5/6

1/4 3/41/43/4

1/6.1/4=1/241/6.3/4=3/24 5/6.3/4=15/24 5/6.1/4=5/24

rAP ArPAP

ArPAP ArPAP

1/6.3/4

1/6.3/4 + 5/6.1/4

Cioè: 3/8

Teorema di Bayes:Teorema di Bayes:la probabilità che l’evento E sia stato causato la probabilità che l’evento E sia stato causato

dall’evento A è:dall’evento A è:

EAP AEPAP

AEPAP AEPAP

n

iii

iii

AEPAP

AEPAPEAP

1

)/()(

)/()()/(

se ho n cause Ai per un evento E

la probabilità che

E sia stato

causato da Ai è:

BP

ABPAPBAP

AA AA

Ω AAB

ABPABPBP

ABPAPBAP BAPBPBAP

BAPBPABPAP

BP

ABPAPBAP

ABPABPBP

AAA AA

Ω AABB

ABPAPBAP ABPAPBAP

BAP ABPAP

ABPAP ABPAP

Applicazioni del teorema di Bayes

• Esempio 1: test per un certo virus influenzale

Il test prevede 2 soli risultati: + / −

P (virus) = 0.001P (no virus) = 0.999

probabilità a priori, i.e. prima di aver sostenuto il test→

P (+ | virus) = 0.98P (− | virus) = 0.02

probabilità dei 2 possibili risultati nel caso di persona infetta→

P (+ | no virus) = 0.03P (− | no virus) = 0.97

probabilità dei 2 possibili risultati nel caso di persona sana→

Il risultato del test è + → devo preoccuparmi ?


La probabilità di essere infetto dato un risultato + del test è:

P (virus | +) = P (+ | virus) P (virus)

P (+ | virus) P (virus) + P (+ | no virus) P (no virus)

=0.98 x 0.001

0.98 x 0.001 + 0.03 x 0.999= 0.032

probabilità a posteriori

la probabilità di essere infetto dato un risultato + del test è soltanto il 3.2 %, i.e. sono OK !

Risultato sorprendente ? NO, la probabilità a priori è molto piccola (0.1 %)


P (virus | −) = P (− | virus) P (virus)

P (− | virus) P (virus) + P (− | no virus) P (no virus)

=0.02 x 0.001

0.02 x 0.001 + 0.97 x 0.999≅ 2.1 x 10-5

… e la probabilità di essere infetto dato un risultato − ?

… il test è affidabile

di Gianfranco ArrigoDipartimento dell’istruzione e della cultura Bellinzona

Alberto [email protected] Dott E. GORI

Istituzioni di Matematiche Scienze Naturali dott sergio console

Corso di Teoria dell’Inferenza Statistica 1a.a. 2003/2004 - Terzo Periodo Prof. Filippo DOMMACorso di Laurea in Statistica – Facoltà di Economia - UniCal

Lavoro molto liberamente elaborato da alcuni dei seguenti link

Dizionario Zingarelli probabilità - condizione, carattere di ciò che è probabile; probabile -...

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