divisioni - geometripd.it DEI... · CASO 1CASO 1°° Dividente uscente da uno dei vertici SS SS11...

SS11

AA

BB

MM

NN B B

A

DIVISIONE DEI TERRENIDIVISIONE DEI TERRENIAA NN B B

PrerequisitiPrerequisiti

Per affrontare questo argomento sono necessarie Per affrontare questo argomento sono necessarie conoscenzeconoscenze in:in:

.. Matematica di baseMatematica di base

.. Risoluzione di triangoli e quadrilateriRisoluzione di triangoli e quadrilateri

.. Calcolo delle areeCalcolo delle aree

.. Tecniche di rilievo topograficoTecniche di rilievo topografico.. Tecniche di rilievo topograficoTecniche di rilievo topografico

IndiceIndice

Progetto di frazionamentoProgetto di frazionamento

Concetti generaliConcetti generali

Prima di iniziare alcune informazioni che possono risultare utiliPrima di iniziare alcune informazioni che possono risultare utili

Divisione terreni di forma triangolare con uguale valore unitarioDivisione terreni di forma triangolare con uguale valore unitario

.. Caso 1Caso 1°° dividente uscente da uno dei verticidividente uscente da uno dei vertici

.. Caso 2Caso 2°° dividente uscente da un punto M in posizione nota sul perimetrodividente uscente da un punto M in posizione nota sul perimetro

.. Caso 3Caso 3°° dividente MN parallela ad uno dei latidividente MN parallela ad uno dei lati

.. Caso 5Caso 5°° dividente MN che forma un angolo dato con uno dei latidividente MN che forma un angolo dato con uno dei lati

.. Caso 4Caso 4°° dividente MN perpendicolare ad uno dei latidividente MN perpendicolare ad uno dei lati

Divisione terreni di forma quadrilatera con uguale valore unitarioDivisione terreni di forma quadrilatera con uguale valore unitario

.. Caso 1Caso 1°° dividente uscente da uno dei verticidividente uscente da uno dei vertici

.. Caso 2Caso 2°° dividente uscente da un punto M in posizione nota sul perimetrodividente uscente da un punto M in posizione nota sul perimetro

.. Caso 3Caso 3°° dividente MN parallela ad uno dei latidividente MN parallela ad uno dei lati

.. Caso 4Caso 4°° dividente MN perpendicolare ad uno dei latidividente MN perpendicolare ad uno dei lati


LaLa divisionedivisione deidei terreniterreni consisteconsiste nelnel frazionarefrazionare

particelleparticelle didi terrenoterreno mediantemediante unauna oo piùpiù

dividentidividenti cheche soddisfinosoddisfino particolariparticolari condizionicondizioni

geometrichegeometriche

LaLa divisionedivisione deidei terreniterreni rivesteriveste unauna notevolenotevole

importanzaimportanza praticapratica nell’attivitànell’attività professionaleprofessionale deldelimportanzaimportanza praticapratica nell’attivitànell’attività professionaleprofessionale deldel

geometrageometra inin quantoquanto trovatrova applicazioneapplicazione nellenelle

divisionidivisioni perper compravenditacompravendita oo successionesuccessione

ereditariaereditaria ee nellenelle espropriazioniespropriazioni parzialiparziali


II terreniterreni dada divideredividere possonopossono avereavere ugualeuguale

valorevalore unitariounitario oo valorevalore unitariounitario diversodiverso..

NelNel primoprimo caso,caso, lala divisionedivisione vieneviene effettuataeffettuata

attraversoattraverso lala ripartizioneripartizione delladella suasua areaarea..

NelNel secondo,secondo, invece,invece, perper realizzarerealizzare lala

divisionedivisione occorreoccorre ripartireripartire ilil valorevalore totaletotale

dell’appezzamentodell’appezzamento


II terreniterreni possonopossono avereavere formaforma::

triangolaretriangolare

quadrilateraquadrilatera

poligonalepoligonale

LeLe dividentidividenti rettilineerettilinee possonopossono::

passarepassare perper unun puntopunto datodato

avereavere unauna direzionedirezione assegnataassegnata


LeLe divisionidivisioni deidei terreniterreni sonosono definitidefiniti dalladalla

circcirc.. 22//8888 comecome attiatti didi aggiornamentoaggiornamento

geometricogeometrico ((tipitipi didi frazionamentofrazionamento)).. LaLa

divisionedivisione delledelle particelle,particelle, modificamodifica ilil fogliofoglio didi

mappamappa ee quindiquindi lala mappamappa particellareparticellare,, unounomappamappa ee quindiquindi lala mappamappa particellareparticellare,, unouno

deglidegli attiatti fondamentalifondamentali deldel catastocatasto definitidefiniti

daldal DPRDPR 650650//7272


PoichèPoichè lala posizioneposizione didi unauna dividentedividente èè definitadefinita dada

quellaquella deidei puntipunti inin cuicui essaessa tagliataglia ii confiniconfini

dell’appezzamento,dell’appezzamento, lele incogniteincognite sonosono lele distanzedistanze

deidei puntipunti didi intersezioneintersezione daidai verticivertici deldel confineconfine

AA

SS11

SS22

11

AA

BB


�� eventualeeventuale rilievorilievo planimetricoplanimetrico dell’appezzamentodell’appezzamento

�� definizionedefinizione delledelle quotequote didi divisionedivisione inin areaarea oo valorevalore

�� definizionedefinizione delladella direzionedirezione delladella dividentedividente

individuazioneindividuazione grafografo analiticaanalitica delladella posizioneposizione delladella dividentedividente�� individuazioneindividuazione grafografo analiticaanalitica delladella posizioneposizione delladella dividentedividente

�� posizionamentoposizionamento deglidegli estremiestremi delladella dividentedividente sulsul terrenoterreno

�� rilievorilievo topograficotopografico

�� redazioneredazione attoatto didi aggiornamentoaggiornamento geometricogeometrico (tipo(tipo didi frazionamento)frazionamento)

Prima di iniziare alcune informazioni che possono risultare utiliPrima di iniziare alcune informazioni che possono risultare utili

�� triangoli aventi stessa base e uguale altezza triangoli aventi stessa base e uguale altezza

relativa hanno stessa arearelativa hanno stessa area

�� triangoli aventi stessa altezza hanno le aree triangoli aventi stessa altezza hanno le aree

proporzionali alle base e viceversaproporzionali alle base e viceversa

AA BB

CCDD

hh hh

BBproporzionali alle base e viceversaproporzionali alle base e viceversa

�� poligoni simili hanno tra loro le aree proporzionali poligoni simili hanno tra loro le aree proporzionali

e le aree di poligoni simili sono proporzionali al e le aree di poligoni simili sono proporzionali al

quadrato dei lati omologhiquadrato dei lati omologhi

AA

CC

EE

FF

SSABCABC : S: SEBFEBF = AB= AB22 : EB: EB22

DIVISIONE DI TERRENI DI FORMA TRIANGOLARE DIVISIONE DI TERRENI DI FORMA TRIANGOLARE DIVISIONE DI TERRENI DI FORMA TRIANGOLARE DIVISIONE DI TERRENI DI FORMA TRIANGOLARE

AVENTI UGUALE VALORE UNITARIOAVENTI UGUALE VALORE UNITARIOAVENTI UGUALE VALORE UNITARIOAVENTI UGUALE VALORE UNITARIO

CASO 1CASO 1°° Dividente uscente da uno dei verticiDividente uscente da uno dei vertici

SSSS11 SS22

AMAMuscente dal vertice Auscente dal vertice ASS11 prossima al lato ACprossima al lato AC

IlIl problemaproblema consisteconsiste nelnel divideredividere l’appezzamentol’appezzamento didi

areaarea totaletotale SS inin duedue areearee parzialiparziali notenote SS11 ee SS22 concon

unauna dividentedividente rettilinearettilinea AMAM uscenteuscente dada unouno deidei

vertici,vertici, inin questoquesto casocaso ilil verticevertice AA.. SoloSolo nelnel casocaso inin

cuicui lele duedue areearee parzialiparziali risultinorisultino diversediverse tratra loroloro

dovràdovrà essereessere datadata lala loroloro posizione,posizione, adad esempioesempio sese

BB

SS11 èè vicinavicina alal verticevertice BB oo alal latolato ABAB.. PoichèPoichè perper

divideredividere l’appezzamentol’appezzamento inin duedue partiparti MM devedeve caderecadere

necessariamentenecessariamente susu BC,BC, ilil problemaproblema sisi risolverisolve

calcolandocalcolando lele duedue distanzedistanze BMBM ee CMCM.. LaLa distanzadistanza didi

MM daidai duedue verticivertici dipendedipende ovviamenteovviamente dalladalla

dimensionedimensione delledelle duedue areearee parzialiparziali SS11 ee SS22 ee dalladalla

formaforma dell’appezzamentodell’appezzamento

AA

SS11

SS22

CC

MM


SSSS11 SS22

AMAMuscente dal vertice Auscente dal vertice ASS11 prossima al lato ACprossima al lato AC

Il problema, noti i lati AB e AC e l’angolo nel vertice Il problema, noti i lati AB e AC e l’angolo nel vertice

A, si risolve come segue:A, si risolve come segue:

SStt = 0,5 x AB x AC x sen A= 0,5 x AB x AC x sen A

SS11 = S= S22 = 0,5 S= 0,5 Stt

BC = √ ( ABBC = √ ( AB22 + AC+ AC22 –– 2 x AB x AC x cos A )2 x AB x AC x cos A )

BB

BC = √ ( ABBC = √ ( AB + AC+ AC –– 2 x AB x AC x cos A )2 x AB x AC x cos A )

C = sen C = sen --11 ( AB x sen A/BC )( AB x sen A/BC )

e sapendo che e sapendo che

SS11 = 0,5 x AC x = 0,5 x AC x CMCM x sen Cx sen C

si ottienesi ottiene

CMCM = 2 x S= 2 x S11 / ( AC x sen C )/ ( AC x sen C )

AA

SS11

SS22

CC

MMA

CASO 2CASO 2°° Dividente uscente da un punto M posto in posizione nota sul perimetro Dividente uscente da un punto M posto in posizione nota sul perimetro

SS

BB

MM

SSSS11 SS22

MNMNM in posizione nota sul perimetro (distanza AM)M in posizione nota sul perimetro (distanza AM)

SS11 prossima al lato ACprossima al lato AC

IlIl verticevertice NN delladella dividentedividente puòpuò caderecadere suisui latilati

ACAC oo BCBC ee lala suasua posizioneposizione dipendedipende dalledalle

dimensionidimensioni delledelle areearee parzialiparziali.. PerPer risolvererisolvere ilil

problemaproblema sisi devedeve calcolarecalcolare un’un’areaarea didi paragoneparagone

dada confrontareconfrontare concon SS11 ee SS22.. L’areaL’area didi paragoneparagone èè

quellaquella deldel triangolotriangolo MACMAC cheche sisi ottieneottiene

AA

SS11

SS22

CC

A

congiungendocongiungendo MM concon ilil verticevertice CC

SSpp = 0,5 x AM x AC x sen A= 0,5 x AM x AC x sen A

Possono verificarsi tre distinte situazioni:Possono verificarsi tre distinte situazioni:

Se SSe S11 ‹‹ SSpp NN è su ACè su AC

Se SSe S11 ›› SSP P NN è su BCè su BC

Se SSe S11 = S= Spp NN coincide con Ccoincide con C


SSSS11 SS22


SS11 prossima al lato ACprossima al lato AC

SS

BB

MM

Nel caso in cui Nel caso in cui SS11 ‹ S‹ Spp

il problema di determinare la posizione di il problema di determinare la posizione di N N

su ACsu AC si può risolvere come nel primo caso. si può risolvere come nel primo caso.

Infatti sappiamo che Infatti sappiamo che

SS11 = 0,5 x AM x = 0,5 x AM x ANAN x sen Ax sen A

con la formula inversa si ottienecon la formula inversa si ottiene

SS11

SS22

AA

CC

MM

A

NN

N ’N ’

ANAN = 2 x S= 2 x S11 / ( AM x sen A )/ ( AM x sen A )

Nel caso invece che Nel caso invece che SS11 › S› SPP

N è su BCN è su BC

in questo caso è conveniente lavorare nel in questo caso è conveniente lavorare nel

triangolo MBN di area Striangolo MBN di area S22 e dopo aver e dopo aver

calcolato gli elementi necessari, determinare calcolato gli elementi necessari, determinare

la distanza BNla distanza BN

CASO 3CASO 3°° Dividente MN parallela ad uno dei lati Dividente MN parallela ad uno dei lati

BB

SSSS11 SS22

MNMNparallela al lato ACparallela al lato AC

SS11 prossima al vertice Bprossima al vertice B

ÈÈ sicuramentesicuramente ilil casocaso piùpiù semplicesemplice perchèperchè sisi

puòpuò risolvererisolvere considerandoconsiderando cheche ii duedue triangolitriangoli

ABCABC didi areaarea totaletotale SStt ee BMNBMN didi areaarea parzialeparziale

SS11 sonosono tratra loroloro similisimili.. SappiamoSappiamo infattiinfatti cheche

lele areearee didi figurefigure similisimili sonosono proporzionaliproporzionali aiai

SS11

SS22

AA

CC

MM

NN

quadratiquadrati deidei latilati omologhiomologhi ee quindiquindi

SStt : S: S11 = BA = BA 22 : : BMBM 22

BMBM = BA x √ (S= BA x √ (S11 / S/ Stt ))

SStt : S: S11 = BC = BC 22 : : BNBN 22

BNBN = BC x √ (S= BC x √ (S11 / S/ Stt ))

CASO 4CASO 4°° Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati

BB

SSSS11 SS22

MNMNperpendicolare al lato ACperpendicolare al lato ACSS11 prossima al vertice Aprossima al vertice A

InIn questoquesto casocaso tornatorna didi nuovonuovo ilil confontoconfonto concon

un’areaun’area didi paragoneparagone.. InfattiInfatti lala posizioneposizione didi MNMN puòpuò

essereessere allaalla sinistrasinistra oo allaalla destradestra deldel verticevertice BB ee lala

suasua posizioneposizione dipendedipende dalledalle dimensionidimensioni dell’areadell’area

parzialeparziale SS11 ee dalladalla formaforma deldel terrenoterreno.. L’areaL’area didi

paragoneparagone piùpiù convenienteconveniente èè quellaquella cheche sisi ottieneottiene

tracciandotracciando dada BB l’altezzal’altezza deldel triangolotriangolo BB’BB’ parallelaparallela

SS11 SS22

AA

BB

CCMM

NN

B ‘B ‘ M ‘M ‘

N ’N ’

tracciandotracciando dada BB l’altezzal’altezza deldel triangolotriangolo BB’BB’ parallelaparallela

allaalla dividentedividente MNMN.. IlIl confrontoconfronto puòpuò quindiquindi

effettuarsieffettuarsi dopodopo averaver calcolatocalcolato l’areal’area deldel triangolotriangolo

rettangolorettangolo ABB’ABB’..

se: Sse: S11 < S< SPP MN è alla sinistra di BB’MN è alla sinistra di BB’

SS11 > S> SPP MN e alla destra di BB’MN e alla destra di BB’

SS11 = S= SPP MN coincide con BB’MN coincide con BB’


SSSS11 SS22


BB

NelNel casocaso sianosiano notinoti ii duedue latilati ABAB ee ACAC ee

l’angolol’angolo nelnel verticevertice AA ilil problemaproblema puòpuò

risolversirisolversi comecome seguesegue

SSTT = 0,5 x AB x AC x sen A = 0,5 x AB x AC x sen A

SSPP = 0.,5 x AB’ x BB’= 0.,5 x AB’ x BB’

LeLe duedue incogniteincognite AB’AB’ ee BB’BB’ possonopossono essereessere

SS11

AA

MM

NN B ‘B ‘

A

LeLe duedue incogniteincognite AB’AB’ ee BB’BB’ possonopossono essereessere

calcolatecalcolate applicandoapplicando lele funzionifunzioni senoseno ee cosenocoseno

alal triangolotriangolo rettangolorettangolo ABB’ABB’

BB’ = AB x sen A AB’ = AB x cos ABB’ = AB x sen A AB’ = AB x cos A

Nota l’area SNota l’area SPP ipotizziamo per il momento che ipotizziamo per il momento che

l’area Sl’area S11 sia inferiore e che MN si trovi alla sia inferiore e che MN si trovi alla

sinistra del vertice Bsinistra del vertice B


SSSS11 SS22


BB

Il problema può risolversi in due modi con la:Il problema può risolversi in due modi con la:

similitudine tra due triangoli rettangolisimilitudine tra due triangoli rettangoli

funzione tangente in AMN di area Sfunzione tangente in AMN di area S11

SS11

AA

MM

NN B ‘B ‘

A

con la con la similitudinesimilitudine

SS11 : S: SPP = = AMAM 22 : AB : AB 22

AMAM = AB x √ (S= AB x √ (S11 / S/ SPP ))

SS11 : S: SPP = = ANAN 22 : AB’ : AB’ 22

ANAN = AB’ x √ (S1 / SP )= AB’ x √ (S1 / SP )


SSSS11 SS22


BB

con la con la funzione tangente funzione tangente

Sappiamo che l’area del triangolo rettangolo Sappiamo che l’area del triangolo rettangolo

AMN è data da AMN è data da

SS11 = 0,5 x = 0,5 x ANAN x MN x MN

Poichè AN e MN sono incognite è necessario Poichè AN e MN sono incognite è necessario

che una delle due sia sostituita, ad esempio che una delle due sia sostituita, ad esempio

l’altezza MN non necessaria. Utilizzando la l’altezza MN non necessaria. Utilizzando la

SS11

AA

MM

NN B ‘B ‘

A

l’altezza MN non necessaria. Utilizzando la l’altezza MN non necessaria. Utilizzando la

tangente di A si ottiene tangente di A si ottiene

tang A = MN /AN tang A = MN /AN -------- >> MN = AN x tang A MN = AN x tang A

sostituendo in Ssostituendo in S11

SS11 = 0,5 x = 0,5 x ANAN 22 x tang A x tang A

ANAN = √ (2 x S= √ (2 x S11 / tang A) / tang A)

con la funzione coseno e possibile calcolare con la funzione coseno e possibile calcolare

AMAM = AN / cos A = AN / cos A

CASO 5CASO 5°° Dividente MN che forma un angolo dato con uno dei latiDividente MN che forma un angolo dato con uno dei lati

SSSS11 SS22

MNMNche forma con AC un angolo dato (noto AMN)che forma con AC un angolo dato (noto AMN)

SS11 prossima al vertice Aprossima al vertice A

BB

NN

InIn questoquesto casocaso l’areal’area didi paragoneparagone sisi ottieneottiene tracciandotracciando

lala dividentedividente provvisoriaprovvisoria BB’BB’ parallelaparallela allaalla dividentedividente MNMN..

L’areaL’area didi paragoneparagone inin questoquesto casocaso èè quellaquella deldel triangolotriangolo

qualunquequalunque AB’BAB’B cheche puòpuò essereessere risoltorisolto applicandoapplicando ilil tt.. deidei

seniseni ee didi CarnotCarnot.. L’areaL’area didi paragoneparagone sisi ottieneottiene dalladalla::

Sp = 0,5 x AB x AB’ x sen ASp = 0,5 x AB x AB’ x sen A

IpotizzandoIpotizzando cheche SS risultirisulti minoreminore didi SpSp (MN(MN allaalla sinistrasinistra

SS11

SS22

AA

CC

MM

NN

B’B’

IpotizzandoIpotizzando cheche SS11 risultirisulti minoreminore didi SpSp (MN(MN allaalla sinistrasinistra

didi BB’BB’ ilil problemaproblema puòpuò essereessere risoltorisolto imponendoimponendo lala

similitudinesimilitudine tratra ii duedue triangolitriangoli AMNAMN (di(di areaarea SS11 ee AB’BAB’B

(di(di areaarea Sp)Sp)::

SS11 : S: SPP = = AMAM 22 : AB’ : AB’ 22

AMAM = AB’ x √ (S= AB’ x √ (S11 / S/ SPP ))

SS11 : S: SPP = = ANAN 22 : AB : AB 22

ANAN = AB x √ (S= AB x √ (S11 / S/ SPP ))

DIVISIONE DI TERRENI DI FORMA QUADRILATERA DIVISIONE DI TERRENI DI FORMA QUADRILATERA DIVISIONE DI TERRENI DI FORMA QUADRILATERA DIVISIONE DI TERRENI DI FORMA QUADRILATERA

AVENTI UGUALE VALORE UNITARIOAVENTI UGUALE VALORE UNITARIOAVENTI UGUALE VALORE UNITARIOAVENTI UGUALE VALORE UNITARIO


SSSS11 SS22

AMAMuscente dal vertice Auscente dal vertice ASS11 prossima al lato ABprossima al lato AB

LaLa posizioneposizione dell’estremodell’estremo MM delladella dividentedividente (se(se sulsul latolato BCBC oo

sulsul latolato CD),CD), dipendedipende dalladalla formaforma dell’appezzamentodell’appezzamento ee dalladalla

dimensionedimensione delledelle areearee parzialiparziali.. PerPer risolvererisolvere ilil problemaproblema èè

utileutile determinaredeterminare l’areal’area didi paragoneparagone deldel triangolotriangolo ABCABC..

IpotizzandoIpotizzando notinoti tuttitutti gligli elementielementi deldel quadrilateroquadrilatero possiamopossiamo

scriverescrivere:: SpSp == 00..55 xx ABAB xx BCBC xx sensen BB.. ÈÈ possibilepossibile quindiquindi

confrontareconfrontare l’areal’area SS11 concon l’areal’area didi paragoneparagone SpSp.. SeSe risultarisultaD

confrontareconfrontare l’areal’area SS11 concon l’areal’area didi paragoneparagone SpSp.. SeSe risultarisulta

SS11 << Sp,Sp, l’estremol’estremo MM delladella dividentedividente èè sulsul latolato BCBC ee lala suasua

posizioneposizione sisi determinadetermina::

SS11 == 00..55 xx ABAB xx BMBM xx sensen BB →→ BMBM == 22 xx SS11/(AB/(AB xx sensen B)B)

NelNel casocaso inin cuicui risultirisulti SS11 >> Sp,Sp, l’estremol’estremo MM delladella dividentedividente èè

susu CDCD.. InIn questoquesto caso,caso, perper risolvererisolvere ilil problema,problema, èè megliomeglio

utilizzareutilizzare l’areal’area triangolaretriangolare didi areaarea SS22,, scrivendoscrivendo::

SS22 == 00..55 xx ADAD xx DM’DM’ xx sensen DD →→ DM’DM’ == 22 xx SS22/(AD/(AD xx sensen D)D)

A

B

C

S1

M

M’S2


SSSS11 SS22



D

InIn questoquesto secondosecondo caso,caso, perper determinaredeterminare lala posizioneposizione didi NN èè

necessarionecessario calcolarecalcolare duedue areearee didi paragoneparagone.. LaLa primaprima èè quellaquella

deldel triangolotriangolo MAB,MAB, lala secondaseconda quellaquella deldel quadrilateroquadrilatero MABCMABC..

IpotizzandoIpotizzando notinoti tuttitutti gligli elementi,elementi, l’areal’area deldel quadrilateroquadrilatero

MABCMABC puòpuò essereessere calcolata,calcolata, dividendolodividendolo inin duedue triangolitriangoli

oppureoppure concon lala formulaformula didi camminamentocamminamento.. NoteNote lele duedue areearee didi

paragoneparagone èè possibilepossibile ilil confrontoconfronto concon l’areal’area parzialeparziale SS11.. SeSe

A

B

C

M

S1

S2

NN

N’N’

N’’N’’

paragoneparagone èè possibilepossibile ilil confrontoconfronto concon l’areal’area parzialeparziale SS11.. SeSe

risultarisulta SS11 << SSMAMMAM alloraallora NN èè susu ABAB dada cuicui::

SS11 = 0.5 x MA x = 0.5 x MA x ANAN x sen A x sen A → → ANAN = = 2 x S2 x S11/(MA x sen A)/(MA x sen A)

SeSe inveceinvece SS11 >> SMABCSMABC alloraallora NN èè susu CDCD.. InIn questoquesto casocaso èè

megliomeglio lavorarelavorare concon SS22 imponendoimponendo::

SS22 = 0.5 x MD x = 0.5 x MD x DNDN’’’’ x sen D x sen D →→ DNDN’’’’ = 2 x S= 2 x S22/(MD x sen D)/(MD x sen D)

in cui ovviamente risulta MD = AD in cui ovviamente risulta MD = AD -- AMAM


SSSS11 SS22



Nel caso in cui risulti invece:Nel caso in cui risulti invece:

SSMABMAB < S< S11 < S< SMABCMABC

allora N è sul lato BCallora N è sul lato BC

inin questaquesta terzaterza ipotesiipotesi ilil problemaproblema puòpuò risolversirisolversi inin duedue manieremaniere:: -- lala

primaprima consisteconsiste nelnel risolvererisolvere ilil quarilateroquarilatero MABNMABN didi areaarea SS11 dividendolodividendolo inin

duedue triangolitriangoli ee determinandodeterminando lala distanzadistanza didi NN rispettorispetto alal verticevertice BB;; -- lala

Dduedue triangolitriangoli ee determinandodeterminando lala distanzadistanza didi NN rispettorispetto alal verticevertice BB;; -- lala

secondaseconda consisteconsiste nell’applicarenell’applicare lala formulaformula didi camminamentocamminamento concon incognitaincognita

ilil latolato BNBN::

SS11 = 0.5 x = 0.5 x [MA x AB x sen A + AB x [MA x AB x sen A + AB x BNBN x sen B x sen B –– MA x MA x BNBN x sen (A + B)]x sen (A + B)]

BNBN = (2 x S= (2 x S11 –– MA x AB x sen A)/[(AB x sen B MA x AB x sen A)/[(AB x sen B –– MA x sen (A+B)]MA x sen (A+B)] A

B

C

M

NNS1

S2


SSSS11 SS22

MNMNparallela al lato ADparallela al lato AD

SS11 prossima al lato ADprossima al lato AD

NotiNoti tuttitutti gligli elementielementi deldel quadrilateroquadrilatero ee lala suasua areaarea

èè necessarionecessario preliminarmentepreliminarmente determinaredeterminare lala

posizioneposizione delladella dividentedividente MNMN (se(se NN sisi muovemuove susu DC,DC, MM

puòpuò trovarsitrovarsi sulsul latolato ABAB oo sulsul latolato BC)BC) .. PerPer farfar

questoquesto èè necessarionecessario confrontareconfrontare l’areal’area SS11 concon l’areal’area

didi paragoneparagone corrispondentecorrispondente alal trapeziotrapezio ABB’D,ABB’D, cheche sisi

ottieneottiene tracciandotracciando lala dividentedividente provvisoriaprovvisoria BB’BB’ aventeavente

lele stessestesse caratteristichecaratteristiche didi quellaquella definitivadefinitiva MNMNlele stessestesse caratteristichecaratteristiche didi quellaquella definitivadefinitiva MNMN

(parallela(parallela alal latolato AD)AD).. L’areaL’area deldel trapeziotrapezio puòpuò essereessere

calcolatacalcolata direttamente,direttamente, oppureoppure perper differenzadifferenza tratra

l’areal’area deldel quadrilateroquadrilatero ee quellaquella deldel triangolotriangolo BB’CBB’C.. SeSe

risultarisulta SS11 << SSABB’DABB’D alloraallora MM èè susu ABAB ee perper determinaredeterminare

lala posizioneposizione delladella dividentedividente possonopossono essereessere utilizzatiutilizzati ii

metodimetodi::

�� Del trapezioDel trapezio

�� Dei triangoli similiDei triangoli simili A

B

C

DS1

B’

NM


SSSS11 SS22



METODO DEL TRAPEZIOMETODO DEL TRAPEZIO

SS11 = S= SAMNDAMND = 0.5 x (AD + MN) x h= 0.5 x (AD + MN) x h

in questa equazione sono presenti due incognite MN e h. in questa equazione sono presenti due incognite MN e h. Ma:Ma:

MN = AD MN = AD –– (AM’ + N’D)(AM’ + N’D)

tan tan ÂÂ = h/AM’ = h/AM’ ------> AM’ = h/tan > AM’ = h/tan ÂÂ

tan = h/N’D tan = h/N’D ------> N’D = h/tan > N’D = h/tan

sostituendo:sostituendo:

MN = AD MN = AD –– h x (1/tang h x (1/tang ÂÂ + 1/tang + 1/tang ))

D D

MN = AD MN = AD –– h x (1/tang h x (1/tang ÂÂ + 1/tang + 1/tang ))

e sostituendo in Se sostituendo in S11 otteniamo:otteniamo:

SS11 = 0.5 x = 0.5 x [AD + AD [AD + AD –– h x (1/tan Â + 1/tan )] x hh x (1/tan Â + 1/tan )] x h

ordinando otteniamo una equazione di 2ordinando otteniamo una equazione di 2°° grado avente grado avente come incognita l’altezza h del trapezio:come incognita l’altezza h del trapezio:

hh22 x (1/tan Â +1/tan ) x (1/tan Â +1/tan ) –– 2 x AD x h + 2 x S2 x AD x h + 2 x S11 = 0= 0

DelleDelle duedue soluzionisoluzioni dell’equazionedell’equazione sisi scegliesceglie quellaquella positivapositiva;;sese lolo sonosono entrambeentrambe lala soluzionesoluzione èè quellaquella cheche piùpiù sisi avvicinaavvicinaalal rapportorapporto SS11/AD/AD.. NotaNota h,h, neinei duedue triangolitriangoli rettangolirettangoliMAM’MAM’ ee NDN’,NDN’, concon lala funzionefunzione senoseno èè possibilepossibile calcolarecalcolare leleduedue incogniteincognite deldel problema,problema, AMAM ee DNDN

D

D

D

A

B

C

DS1

B’

NM

hh hhDÂ

M’ N’


SSSS11 SS22



TRIANGOLI SIMILITRIANGOLI SIMILI

ProlungandoProlungando ii latilati ABAB ee CDCD sisi traformatraforma ilil quadrilateroquadrilatero nelnel

triangolotriangolo ADEADE.. PerPer risolvererisolvere ilil problemaproblema èè necessarionecessario

calcolarecalcolare tuttitutti gligli elementielementi deldel triangolotriangolo BCEBCE::

AngoloAngolo BB11 == 200200cc –– BB

AngoloAngolo CC11 == 200200cc –– CC

AngoloAngolo EE == 200200cc –– (B(B11 ++ CC11)) EAngoloAngolo EE == 200200 –– (B(B11 ++ CC11))

NotoNoto ilil latolato BCBC èè possibilepossibile calcolarecalcolare concon ilil tt.. deidei seniseni ii latilati

BEBE ee ECEC.. NotiNoti latilati ee angoliangoli èè possibilepossibile ilil calcolocalcolo dell’areadell’area σσ

deldel triangolotriangolo.. PerPer determinaredeterminare lala posizioneposizione didi MM ee NN puòpuò

essereessere impostataimpostata lala similitudinesimilitudine tratra ii duedue triangolitriangoli EBB’EBB’ (di(di

areaarea σσ ++ areaarea didi paragoneparagone CBB’)CBB’) ee EMNEMN (di(di areaarea σσ ++ SS22))

SSEBB’EBB’ :: SSEMNEMN == EBEB22 :: EMEM22

SSEBB’EBB’ :: SSEMNEMN == EB’EB’22 :: ENEN22

CalcolatiCalcolati EMEM ee EN,EN, perper differenzadifferenza concon ii latilati EBEB ee ECEC sisi

ottengonoottengono lele duedue incogniteincognite BMBM ee CNCN A

B

C

DS1

B’

NMS2

E

σσ


SSSS11 SS22


SS11 prossima al lato ADprossima al lato ADSeSe risultarisulta SS11 >> SSABB’DABB’D alloraallora MM èè susu BCBC ee perper determinaredeterminare

lala posizioneposizione delladella dividentedividente MNMN ee possibilepossibile utilizzareutilizzare lala

similitudinesimilitudine tratra ii duedue triangolitriangoli CMNCMN (S(S22)) ee CBB’CBB’ (area(area didi

paragone)paragone) impostandoimpostando lele proporzioniproporzioni::

CSS22 : S: SCBB’CBB’ = CM= CM22 : CB: CB22

SS22 : S: SCBB’CBB’ = CN= CN22 : CB’: CB’22

Con le quali è possibile calcolare le due distanze CM e CNCon le quali è possibile calcolare le due distanze CM e CN

A

B

C

DS1

B’

NMS2


SSSS11 SS22

MNMNperpendicolare al lato ABperpendicolare al lato ABSS11 prossima al vertice Aprossima al vertice A

AncheAnche questoquesto casocaso puòpuò risolversirisolversi concon lele areearee didi paragoneparagone

dada confrontareconfrontare concon lele areearee parzialiparziali inin cuicui devedeve essereessere

divisodiviso l’appezzamentol’appezzamento.. PerPer determinaredeterminare lele areearee didi

paragoneparagone devonodevono essereessere tracciatetracciate daidai verticivertici DD ee CC duedue

dividentidividenti provvisorieprovvisorie perpendicolariperpendicolari alal latolato BC,BC, aventiaventi

cioècioè lele stessestesse caratteristichecaratteristiche didi quellaquella definitivadefinitiva MNMN.. SiSi

ricordiricordi ovviamenteovviamente cheche lala posizioneposizione didi MNMN dipendedipende dalladalla

AA BB

CC

SS11

DD

D’D’ C’C’

SS22

MM

NN

M’M’

N’N’

ricordiricordi ovviamenteovviamente cheche lala posizioneposizione didi MNMN dipendedipende dalladalla

formaforma dell’appezzamentodell’appezzamento ee dalladalla dimensionedimensione delledelle duedue

areearee parzialiparziali.. LaLa primaprima areaarea didi paragoneparagone èè quellaquella deldel

triangolotriangolo rettangolorettangolo ADD’,ADD’, lala secondaseconda quellaquella deldel poligonopoligono

ADCC’AADCC’A (composto(composto daldal triangolotriangolo rettangolorettangolo ADD’ADD’ ee daldal

trapeziotrapezio rettangolorettangolo D’DCC’)D’DCC’).. CalcolateCalcolate lele areearee didi

paragoneparagone sisi procedeprocede nelnel confrontoconfronto concon l’areal’area SS11


SSSS11 SS22


NelNel casocaso inin cuicui SS11 << SSADD’ADD’ lala dividentedividente MNMN èè allaalla sinistrasinistra didi DD’DD’.. IlIl

problemaproblema puòpuò essereessere risoltorisolto inin duedue modimodi:: -- perper similitudinesimilitudine tratra ii

duedue triangolitriangoli AMNAMN (di(di areaarea SS11)) ee SSADD’ADD’;; -- applicandoapplicando lala funzionefunzione

tangentetangente dell’angolodell’angolo inin AA nelnel triangolotriangolo AMNAMN ((vedivedi casocaso 44°° delladella

divisionedivisione deidei terreniterreni triangolaritriangolari)).. InIn manieramaniera deldel tuttotutto analogaanaloga sisi

procedeprocede nelnel casocaso inin cuicui SS11 >> SSADCC’AADCC’A.. InIn questoquesto casocaso lala dividentedividente

AA BB

CC

SS11

DD

D’D’ C’C’

SS22

MM

NN

M’M’

N’N’

MNMN èè allaalla destradestra didi CC’CC’ ee convieneconviene lavorarelavorare concon ii triangoltriangol BCC’BCC’ ee

BM’’N’’BM’’N’’ (di(di areaarea SS22),), applicandoapplicando ii duedue procedimentiprocedimenti precedentiprecedenti.. PiùPiù

complessacomplessa risultarisulta lala risoluzionerisoluzione nelnel casocaso inin cuicui::

SSADD’ADD’ < S< S11 < S< SADCC’AADCC’A

InIn questoquesto terzoterzo casocaso lala dividentedividente MNMN èè postaposta tratra lele duedue dividentidividenti

provvisorieprovvisorie DD’DD’ ee CC’CC’ ee perper determinaredeterminare lala suasua posizioneposizione ilil

quadrilateroquadrilatero puòpuò essereessere trasformatotrasformato inin unun triangolotriangolo

N’’N’’

M’’M’’


SSSS11 SS22


LaLa traformazionetraformazione inin triangolotriangolo puòpuò effettuarsieffettuarsi prolungandoprolungando ii latilati

convergenticonvergenti CDCD ee ABAB inin EE.. RisoltoRisolto ilil triangolotriangolo EADEAD ee calcolatacalcolata lala suasua areaarea σσ

èè possibilepossibile imporreimporre lala similitudinesimilitudine tratra ilil triangolotriangolo EDD’EDD’ (di(di areaarea σσ ++ SSADD’ADD’)) ee

ilil triangolotriangolo ENMENM (di(di areaarea σσ ++ SS11))::

((σσ + S+ SADD’ADD’) : () : (σσ + S+ S11) = ED) = ED22 : : ENEN22

((σσ + S+ SADD’ADD’) : () : (σσ + S+ S11) = ED’) = ED’22 : : EMEM22

CalcolateCalcolate ENEN ee EMEM,, dalledalle duedue proporzioniproporzioni precedenti,precedenti, perper differenzadifferenza didiCalcolateCalcolate ENEN ee EMEM,, dalledalle duedue proporzioniproporzioni precedenti,precedenti, perper differenzadifferenza didi

ottengonoottengono lele duedue distanzedistanze DNDN ee AMAM daidai verticivertici dell’appezzamentodell’appezzamento.. IlIl

problemaproblema puòpuò ancheanche essereessere risoltorisolto applicandoapplicando lala funzionefunzione tangentetangente

dell’angolodell’angolo inin EE,, nelnel triangolotriangolo rettangolorettangolo ENMENM (di(di areaarea σσ ++ SS11),), calcolandocalcolando ilil

catetocateto EMEM ee l’ipotenusal’ipotenusa ENEN.. SempreSempre perper differenzadifferenza sisi ottengonoottengono lele duedue

distanzedistanze daidai verticivertici dell’appezzamentodell’appezzamento..

AA BB

CC

SS11

DD

D’D’ C’C’

SS22

MM

NN

EE

σσ

divisioni - geometripd.it DEI... · CASO 1CASO 1°° Dividente uscente da uno dei vertici SS SS11...

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