Insiemi Dispense SBIO/2017-2018... · Insieme vuoto ø • Rappresentazione: • Elencazione •...

1

Insiemi

• Definizione - Sottoinsieme

• Simbolo di Sottoinsieme

• Relazione di inclusione forte o stretta

AAoppureAA 1 1

AAoppureAA 1 1

• Concetto Primitivo

• Simboli di appartenenza e non appartenenza

Insieme vuoto ø

• Rappresentazione:

• Elencazione

• Diagrammi di Eulero-Venn

• Mediante Proprietà Caratteristica

Ab , Aa

AxAxAAoppureAA 111

ABBABA et

Simbolicamente:

Sottoinsieme:

Uguaglianza:

2

Operazioni con gli Insiemi 1/4 •Operazione con gli Insiemi:

• Unione : A U B

• Intersezione: A ∩ B

• Definizione : insiemi disgiunti : se A ∩ B =ø • Proprietà Commutativa

• Proprietà Associativa

• Proprietà Distributiva

•Differenza di insiemi A \ B (A - B)

• Esempio: A={1 , 2 , 3 , 4} B={2 , 4 , 6}

Trovare AUB, A ∩ B, A\B, B\A

• Esercizio: A U B = (A\B) U (A ∩ B) U (B\A) (insiemi disgiunti)

• Prodotto Cartesiano:

• Es. R x R = R2

B}b e Aa con b)(a, ordinate coppie delle {insieme x B A

ABBA ABBA

CBACBA CBACBA

CABACBA

CABACBA

BA \ AB \BA

A

B

3

Operazioni con gli Insiemi 2/4

• Insieme Universo: U

• Complementazione:

cA oppure A

Leggi di complementarità:

•A ∪ AC = U

•A ∩ AC = Ø

•ØC = U

•UC = Ø

•Se A⊆B, allora BC⊆AC

•Involuzione o legge del doppio complemento:(AC)C = A

•Leggi di De Morgan:

B A BA BA BA

4


•Prima Legge di De Morgan:

B A BA

BA BA

BA A

B BA

•Seconda Legge di De Morgan:

5


Def. Si chiama Partizione di un insieme A una

collezione di sottoinsiemi di A tali che:

• sono a due a due disgiunti

• la loro unione è uguale all’insieme A

•Insieme delle Parti o insieme Potenza: P(A):=“L’insieme di tutti i sottoinsiemi di A (compreso A e l’insieme vuoto Ø)”

• Esempio : Ricavare l’insieme della parti P(A) dell’insieme: A={1 ; 2 ; 3 ; 4}

•ES: P(A)

•Ø

•{1}, {2}, {3}, {4}

•{1;2}, {1;3}, {1;4}, {2;3} , {2;4} , {3;4}

•{1;2;3}, {1;2;4}, {1;3;4}, {2;3;,4}

•{1;2;3;4}=A

6

Proposizioni Logiche. Connettivi Logici e Tavole di Verità 1/3

•Proposizioni Logiche:

P = “La rosa è un fiore”

Q = “Il leone è un animale domestico”

• Valori di verità: Vero, Falso (“tertium non datur”)

• “Composizione” di proposizioni mediante connettivi

•Connettivi Logici:

• Disgiunzione “o”

è falsa se sia P che Q sono false, altrimenti è vera

• Congiunzione “e”

è vera se sia P che Q sono vere, altrimenti è falsa

• Negazione “non”

è vera quando P è falsa e viceversa

QoPQPQvelP r , ,

QandPQPQetP , ,

,, PnotPP

QP

QP

P

7


• Implicazione (se.. allora): P → Q

è falsa quando l’ipotesi ( o antecedente) P è vera e la tesi (o

conseguente ) Q è falso, altrimenti è vera

• Coimplicazione (se e solo se): P ↔ Q

è vera quando sia P che Q hanno lo stesso valore di verità

(entrambe vere oppure entrambe false) , altrimenti è falsa

P Q PvQ P^Q P → Q P ↔ Q

V V V V V V

V F V F F F

F V V F V F

F F F F V V

8


• Esercizio: Verificare che i seguenti enunciati composti hanno le stesse

tavole di verità (a sin e dx del simbolo di identità):

• Doppia negazione:

• Leggi di De Morgan

• Negazione dell’implicazione:

• Contronominale:

• Doppia Implicazione:

AA

BABA BABA

BABA

ABBA

ABBABA

9

Proposizioni Logiche. Soluzioni 1/3

AA

BABA

BABA

A

V F V

F V F

AA

A B

V V V F F F F

V F F V F V V

F V F V V F V

F F F V V V V

BA BA A B BA

A B

V V V F F F F

V F V F F V F

F V V F V F F

F F F V V V V

BA BA A B BA

10


A B

V V V F F V

V F F F V F

F V V V F V

F F V V V V

BABA A B

V V V F F F

V F F V V V

F V V F F F

F F V F V F

BA BA B BA

ABBA BA A B AB

11


A B

V V V V V V

V F F F V F

F V F V F F

F F V V V V

BA BA

ABBABA

AB ABBA

12

Proposizioni Logiche.

Modus Ponens, Modus Tollens: tautologie.

BABA Modus Ponens:

Modus Tollens: ABBA

Tautologie: Proposizioni sempre vere

Contraddizioni: Proposizioni sempre false BB

Modus Ponens:

Dimostra

affermando

A B

V V V V V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

BA ABA BABA

BABA

13

Proposizioni Logiche.

Modus Ponens, Modus Tollens: tautologie.

ABBA

Modus Tollens:

Dimostra

Negando

(Reductio ad absurdum)

A B

V V V F F F V

V F F V F F V

F V V F F V V

F F V V V V V

BA BBA ABBA B A

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QUANTIFICATORI 1 • Scriviamo P(x) per indicare che l’oggetto x soddisfa alla proprietà P ( si parla di

predicati = proposizioni logiche contenenti una o più variabili)

Esempio:

P(x)=“ il numero intero x è un numero pari”

Allora P(2) è vera mentre P(3) è falsa

• Quantificatore Universale (“per ogni”) : simbolo

• Quantificatore Esistenziale (“esiste”) : simbolo

•Unicità (uno ed uno solo): simbolo !

• a volte si trova : Unicità (uno ed uno solo): simbolo ! !

•Utilizzi:

• esiste un numero pari:

• esiste un numero dispari:

• esiste un numero intero naturale pari:

)(| oppure )(: xPxxPx

)(: xPx

)(: xPNx

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QUANTIFICATORI 2

)(: xPZx

x0x :R0 , Rx

xxNxN 1*, |1 !

esiste un numero intero pari:

per ogni numero reale, esiste un altro numero reale (zero) che

sommato al precedente lo ripete uguale:

Esiste un unico numero intero naturale che moltiplicato per ogni altro dà come

prodotto l’altro numero

(NON) Commutatività dei Quantificatori

Siano: x<y , x, y numeri reali:

)(: yxy x vera

)( : yxy x

)(: yxx y

falsa

falsa

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QUANTIFICATORI 3

)(, xPNx )(| xPNxnon tutti i numeri interi naturali sono pari:

Negazione e quantificatori:

)(: )(: xPxxPx )(: )(: xPxxPx

ES. non (tutti gli orsi polari sono bianchi)

“Esiste (almeno un) orso polare che non è bianco”

)(: )(: xPxxPx )(: )(: xPxxPx

ES. non (esiste alcuno studente che ama la storia)

Tutti gli studenti non amano la storia

ES.

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QUANTIFICATORI 4

Negazione e connettivi logici:

)()( )()( xQxPxQxP

)()( )()( xQxPxQxP

)()( )()( xQxPxQxP

)()( )()( xQxPxQxP

)( )( xPxP )( )( xPxP

Valgono regole analoghe a quelle stabilite per le tabelle di verità.

18

QUANTIFICATORI 5

Cioè: )()(D : xPxx Con :

D(x)=“x è divisibile per 6”

P(x)=“x è pari”

ES. (Giudizio Universale Affermativo (simbolo A))

Si traduca la proposizione: “tutti i numeri divisibili per 6 sono pari”

Traduciamo: “per ogni x : se ( x è divisibile per 6) allora (x è pari)

ES . (Negazione)

)()(D : xPxx )()(D : xPxx

BABA

Poichè:

Cioè:

Traduciamo: “esiste (almeno un) x : ( x è divisibile per 6) et (x NON è pari)

Ossia “esiste almeno un numero divisibile per 6 che non è pari”

19

QUANTIFICATORI 6

Cioè: )()(P : xMxx Con :

P(x)=“x è potenza di 10”

M(x)=“x è multiplo di 7”

ES. (Giudizio Universale Negativo (simbolo E))

Si traduca la proposizione: “nessuna potenza di 10 è multipla di 7”

Traduciamo: “per ogni x : se ( x è una potenza di 10) allora (x non è

multiplo di 7)”

ES . (Negazione)

)()(P : xMxx )()(P : xMxx

BABA

Poichè:

Cioè:

Traduciamo: “esiste (almeno un) x : ( x è potenza di 10) et (x è multiplo di 7)

Ossia “esiste almeno un numero che è potenza di 10 e che è multiplo di 7”

20

QUANTIFICATORI 7

Cioè: )()(N : xPxx Con :

N(x)=“x è numero naturale”

P(x)=“x è primo”

ES. (Giudizio Particolare Affermativo (simbolo I))

Si traduca la proposizione: “qualche numero naturale è primo”

Traduciamo: “esiste (almeno un) x : ( x è un numero naturale) et (x è

primo)”

ES . (Negazione)

)()(N : xPxx

Cioè:

Traduciamo: “ per ogni x : ( x non è un numero naturale) oppure (x NON è primo)

)()(N : xPxx

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QUANTIFICATORI 8

Cioè: )()(S : xVxx

ES. (Giudizio Particolare Negativo (simbolo O))

Si traduca la proposizione: “qualche serpente non è un animale velenoso”

Traduciamo: “esiste almeno un x : ( x è serpente) et (x non è un animale

velenoso)”

ES . (Negazione)

)()(S : xVxx )()(S : xVxx

Cioè:

Traduciamo: “per ogni x : ( x non è un serpente) oppure (x è velenoso)

Con :

S(x)=“x è un serpente”

V(x)=“x è un animale velenoso”

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QUANTIFICATORI 8-bis - RIASSUNTO

)()(S : xVxx

Giudizio Particolare Negativo (simbolo O)

(Negazione)

)()(S : xVxx

Giudizio Particolare Affermativo (simbolo I)

(Negazione)

)()(N : xPxx )()(N : xPxx

Giudizio Universale Negativo (simbolo E) (Negazione)

(Negazione)

)()(P : xMxx )()(P : xMxx

)()(D : xPxx

Giudizio Universale Affermativo (simbolo A)

)()(D : xPxx

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QUANTIFICATORI 9

ES. Negare i seguenti enunciati

“Antonio e Marco stanno studiando”

MAMA “Antonio non sta studiando oppure Marco non sta studiando”

A= “Antonio sta studiando”

M=“Marco sta studiando”

“Se fa bel tempo vado a passeggiare” B= “Fa bel tempo”

P=“Vado a passeggiare”

“fa bel tempo e non vado a passeggiare”

“Se e solo se fa bel tempo allora vado a passeggiare” B= “Fa bel tempo”

P=“Vado a passeggiare”

PBPB

BPPBBPPBBPPBPB

“fa bel tempo e non vado a passeggiare oppure vado a passeggiare e non fa bel

tempo”

24

QUANTIFICATORI 10 ES. Negare i seguenti enunciati

“Qualche uomo ha fame” U(x) = “x è un uomo”

F(x) = “x ha fame”

“Nessun uomo ha fame” U(x) = “x è un uomo”

F(x) = “x ha fame”

)()(:)()(:)()(: xFxUxxFxUxxFxUx

“Qualche uomo ha fame”

)()(:)()(:)()(:)()(: xFxUxxFxUxxFxUxxFxUx

“Per tutte le x se x è un uomo allora x non ha fame”

“nessun uomo ha fame”

[per ogni x: o x non è un uomo o x non ha fame]

BABA BABA BABABA

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“Tutti i rettangoli sono quadrati” R(x) = “x è un rettangolo”

Q(x) = “x è un quadrato”

“tutti gli uomini sono soldati”

)()(:)()(:)()(: xQxRxxQxRxxQxRx

“Qualche rettangolo non è un quadrato”

“qualche uomo non è un soldato”

“tutti i soldati sono eroi” “qualche soldato non è un eroe”

“Qualche cavallo non è bianco” “tutti i cavalli sono bianchi”

“Qualche cavallo è nero” “tutti i cavalli non sono neri”

“se la situazione non cambierà

qualcuno ci rimetterà il posto” “la situazione non cambierà e

nessuno ci rimetterà il posto”

)(:)()(:)()(:)( xRxxSxRxxSxRxxS

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“Tutti i miei compagni sono studiosi ed

intelligenti”

C(x) = “x è un mio compagno”

S(x) = “x è studioso”

I(x) = “x è intelligente”

)()()(:)()()(: xIxSxCxxIxSxCx

“Qualche mio compagno non è studioso oppure non è intelligente”

)()()(: xIxSxCx

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IMPLICAZIONI (Cond. Necessarie e Sufficienti)

• Si considerino due proposizione P e Q

• Un teorema è un’implicazione del tipo: P→Q. La proposizione P è detta “ipotesi” e Q è

detta “tesi”

• La precedente implicazione può anche leggersi come:

• P è una condizione sufficiente per Q

Oppure

• Q è una condizione necessaria per P

• P è una condizione necessaria e sufficiente per Q equivale a ;

•P→Q et Q →P

•Oppure P↔Q

• Oppure P se e solo se Q

Es. P=“T è un triangolo rettangolo” , Q=“la somma degli angoli interni è 180°”

• P→Q è vera dunque P è condizione sufficiente per Q

E quindi anche Q è condizione necessaria per P.

• Q→P è falsa dunque P non è condizione necessaria per Q (infatti T potrebbe

essere un triangolo qualsiasi)

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Qualche precisazione sugli insiemi

•

•

• A=B (uguaglianza di insiemi) significa :

BA intende si BA

ABBA

Aa intende si Aa

30

Esercizi Insiemi

BBABA

Es. Si dimostri:

ABABA

Es. Si verifichino le leggi di De Morgan

Es. Si verifichi:

ABA

BAB BAA

BBA

BABA \

AA

31

Relazioni 1/2

Def. Si chiama Relazione tra due insiemi A e B un qualsiasi sottoinsieme del

prodotto cartesiano A x B.

Es. Sia A={a,b,c} e B={1,2,3}

1 2 3

a (a,1) (a,2) (a,3)

b (b,1) (b,2) (b,3)

c (c,1) (c,2) (c,3)

Prodotto Cartesiano A x B

1 2 3

a (a,1) (a,2) (a,3)

b (b,1) (b,2) (b,3)

c (c,1) (c,2) (c,3)

Relazione tra l’insieme A e

l’insieme B

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Relazioni 2/2

Rappresentazione “sagittale” della relazione

1 2 3

a (a,1) (a,2) (a,3)

b (b,1) (b,2) (b,3)

c (c,1) (c,2) (c,3)

Relazione tra l’insieme A e

l’insieme B

b

a

c

1

2

3

Insieme A

Insieme B

Per dire che la coppia (a,1) fa parte della relazione R data, scriveremo aR1

33

Relazioni d’equivalenza 1/2 Relazioni particolarmente importanti sono le “Relazioni di equivalenza”: esse

sono relazioni di un insieme con se stesso ( ad. es. A x A = A2)

Def. Si chiama Relazione di Equivalenza su un insieme A, una relazione di

A x A che soddisfa alle seguente tre proprietà:

1. Riflessiva :

“ogni elemento di A è in relazione con se stesso” oppure

“ogni elemento di A è equivalente a se stesso”

2. Simmetrica :

“se un elemento a è in relazione ad un elemento b allora

anche b é in relazione ad a” oppure

“ se a è equivalente a b anche b è equivalente ad a”

3. Transitiva

“se a è in relazione a b e b è in relazione a c allora a è in relazione a c” oppure

“se a è equivalente a b e b è equivalente a c allora a è equivalente a c”

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Relazioni d’equivalenza 2/2 E’ una relazione di un insieme con se stesso. Nel linguaggio della teoria degli

insiemi, indicando la relazione di equivalenza tra gli elementi a e b dell’insieme A

con il simbolo ~ ( a ~ b ) , abbiamo:

1. Riflessiva :

2. Simmetrica

3. Transitiva

aaAa ~

abbase ~ ~

cacbbas ~ ~ ~ e

Ogni relazione di equivalenza “induce” sull’insieme in cui è definita una partizione

“canonica” i cui elementi ( sottoinsiemi di A a due a due disgiunti, la cui unione dà

ancora A) sono le classi di equivalenza della partizione.

L’insieme delle classi di equivalenze è detto Insieme Quoziente.

Es. Classi di resti.

Si consideri l’insieme N (dei numeri naturali).[Suggerimento: ripassare il concetto di

quoziente e resto]

Diciamo che due elementi di N sono equivalenti se hanno lo stesso resto nella

divisione per p (altro numero naturale, maggiore di 2).

Verificare, fissato p, che tale relazione è di equivalenza, e che l’insieme quoziente è

costituito, esattamente, da p elementi che possono essere indicati con [0],[1],…,[p-1]

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Relazioni d’ordine

Def. Si chiama Relazione di Ordine Parziale su un insieme A, una relazione di

A x A che soddisfa alle seguente tre proprietà (indichiamo la relazione d’ordine parziale

con il simbolo “≤”):

1. Riflessiva

2. Antisimmetrica: “se a è in relazione a b e b è in relazione ad a allora a=b”

3. Transitiva

Es. Nell’insieme R la relazione “≤” è una relazione d’ordine parziale

baabbas e

Def.

b ababa significa

aaa

cacbbas e

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Funzioni 1/3 Def. Dati due insiemi X e Y, si chiama funzione da X in Y una relazione univoca

di X con Y. Una relazione cioè che faccia corrispondere ad un elemento x di X (al

più) un unico elemento y di Y

Convenzioni

•Scriveremo : f : X →Y ,

X insieme di partenza ( a volte dominio)

Y insieme di arrivo ( a volte codominio)

•In generale la funzione è definitiva in un sottoinsieme del dominio detto insieme

di definizione o campo di esistenza della funzione o dominio (insieme dei punti

da cui partono le frecce nella rappresentazione sagittale ).

•Gli elementi raggiunti dalle “frecce” nell’insieme Y costituiscono l’insieme delle

immagini o codominio della funzione f.

•Se un elemento y dell’insieme di arrivo Y, “proviene” da un elemento x dell’insieme

di partenza X allora diremo che “y è l’immagine di x attraverso la funzione f” e

scriveremo y=f(x): indicheremo quindi x come variabile indipendente ed y come

variabile dipendente. La scrittura y=f(x) potrà fare riferimento al piano cartesiano

ed al grafico della funzione (vedi poi). .

• In generale se f è definita su A sottoinsieme di X a valori in Y scriveremo:

• Indichiamo con f(A) l’insieme delle immagini della funzione f.

YXAf :

37

Funzioni 2/3

Convenzioni

• Con f indichiamo la funzione nella sua totalità ( “legge di corrispondenza” con

dominio e codominio)

• Notiamo che stesse “leggi di corrispondenza” con dominio o codominio diversi

originano funzioni diverse:

•Es. Si consideri la funzione

f: R →R tale che f(x)=x2

essa è va considerata diversa dalle seguenti funzioni

g: R+ →R tale che g(x)=x2

h: R → R+ tale che h(x)=x2

• Con f(x) indichiamo invece l’immagine dell’elemento x dell’insieme di definizione

della funzione

38

Funzioni 3/3

Def. Funzioni Iniettive

Data

Essa è detta iniettiva se YXAf :

)()f( che tali, 212121 xfxxxAxx

Es. Si consideri f:R→R : f(x)=x2 . Essa non è iniettiva.

Es. Si consideri f:R→R : f(x)=x3 . Essa è iniettiva.

Def. Funzioni Suriettive

Data

Essa è detta suriettiva se f(A)=Y YXAf :

Def. Funzioni Biiettive ( o Biunivoche)

Data

Essa è detta biiettiva se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva YXAf :

Es. Si consideri f:R→R : f(x)=x2 . Essa non é suriettiva.

Es. Si consideri f:R→R : f(x)=x3 . Essa è suriettiva.

Es. Si consideri f:R→R : f(x)=x2 . Essa non é biiettiva.

Es. Si consideri f:R→R : f(x)=x3 . Essa è biiettiva.

39

Funzione Inversa 1/2

Def. Funzione Inversa

Se accade che per ogni y di f(A), f-1(y) è costituito (al più) da un solo elemento

(diciamo x).

Cioè se : f-1(y)={x} per ogni y di f(A)

è possibile considerare la corrispondenza tra y e x come una funzione (in quanto

tale corrispondenza è univoca), tale funzione indicata con f-1 è detta funzione

inversa di f.

Def. Controimmagine

Data

Sia y un elemento dell’insieme delle immagini ( f(A) )della funzione f.

Indichiamo con

Il sottoinsieme di X che contiene tutti gli elementi di X che hanno come immagine

l’elemento y inizialmente selezionato.

YXAf :

XyxfXxyf )(:)(1

Nota: non si confonda la notazione f-1(y) con 1/f(y) (inverso moltiplicativo).

Es. Si consideri f:R→R : f(x)=x2 . Allora f-1(4)={-2, 2}.

Es. Si consideri f:R→R : f(x)=x3 . Allora f-1(8)={ 2}, f-1(-8)={-2}.

40

Funzione Inversa 2/2

Note

• Evidentemente:

• Una condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione f ammetta la

funzione inversa f-1 è che la funzione f sia biunivoca.

• se f è invertibile

Es. Si consideri f:R→R : f(x)=x2 . Non essendo biunivoca f non è invertibile.

Es. Si consideri f:R→R : f(x)=x3 . Essendo biunivoca f è invertibile e quindi esiste

f-1 . Essa è tale che:

XYAfBf )(:1

RRf :131 )( yyf

xyfyf(x) )( 1

41

Funzione Composta 1/2

Def. Funzione Composta

Siano:

Allora dato x appartenente ad A si consideri y=f(x). La funzione g può “agire” su y

portandolo in un elemento z di Z: cioè z=g(y)=g(f(x).

La funzione h:

È detta funzione composta di g ed f e si scriverà:

Note

• Evidentemente: x= f-1[f(x)] e y=f[f-1(y)]

• La funzione composta è detta funzione

identità (dell’insieme X)

•La funzione composta è detta funzione

identità (dell’insieme Y)

• Spesso si indica con

ffh[f]fh 11 oppure

11 oppure ffh]f[fh

fff 2

x y z

f g

h

42

Funzione Composta 2/2 Es. Siano a(x)=x3 , b(x)= 2x+1 , c(x)=1/x. Si ricavi:

2)( 1 xaacxf 2)(1 xaac 2xc 21

x

)(2

1)()( xbcxabxf

)12(2

112 3

xx

)12(2

13 xcxb

12

1

2

112 3

xx

43

Grafico di una funzione reale di variabile reale

Def. Grafico di una funzione

)(:),()( 2 xfyAxRyxfGr RRAf :

Note

• Il grafico di una funzione interseca una retta verticale (x=k) in (al più) un punto

• Il grafico di una funzione invertibile interseca una retta orizzontale (y=k) in (al più) un

punto

• Il grafico di una funzione ed il grafico della sua funzione inversa sono simmetrici

rispetto alla bisettrice I-III quadrante

Non è il grafico di

una funzione

44

Grafici

Grafico di una

funzione NON

Invertibile

Grafici di una

funzione invertibile e

della sua inversa (e

della bisettrice I-III)

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Insiemi Numerici ed Operazioni 1/8

Def. N insiemi dei (numeri) Naturali

N={0, 1, 2, 3, …}

Operazione di addizione

( la si definisce tramite il successivo di un numero naturale)

Essa gode delle seguenti proprietà [proprietà gruppali]:

1. Operazione Interna

2. Proprietà Associativa

3. Proprietà Commutativa

4. Elemento Neutro esiste cioè in N un elemento che “sommato” a qualsiasi altro

lo ripete uguale

Tale elemento è indicato con 0.

cbacbaNcba )()( ,,

abbaNba ,

NbaNba ,

aaxxaNxNa : ,

46

Insiemi Numerici ed Operazioni 2/8 Tuttavia i problemi legati all’operazione di addizione hanno richiesto la seguente

proprietà per ogni elemento dell’insieme considerato:

5. Elemento Simmetrico

La quinta proprietà non è soddisfatta in N. Si è così passati a considerare un nuovo

insieme, più ampio del precedente, che contenesse N come sottoinsieme, che

avesse per l’operazione di addizione le stesse prime 4 proprietà ma che

soddisfacesse anche alla quinta.

0 : , axxaNxNa

Def. Z insiemi dei Numeri Interi (Relativi)

Z={…-3,-2,-1,0, 1, 2, 3, …}

Operazione di addizione

Essa gode in Z delle seguenti proprietà:




4. Elemento Neutro


0 : , axxaZxZa

N Z

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Insiemi Numerici ed Operazioni 3/8 Note

•L’elemento simmetrico di a (rispetto all’operazione di addizione) è indicato con –a.

•Un insieme (come Z) che, rispetto ad una operazione (in questo caso l’addizione),

soddisfa alle proprietà 1,2,4,5 è detto GRUPPO. Se soddisfa anche alla proprietà 3

(commutativa) è detto GRUPPO ABELIANO. Z è un gruppo abeliano rispetto

all’operazione di addizione.

• Cenno: corrispondenza tra alcuni punti della retta e i numeri interi.

Operazione di moltiplicazione

(definita sulla base di addizioni ripetute)

Essa gode in N delle seguenti proprietà:




4. Elemento Neutro

Tale elemento è indicato con 1

.

aaxxaNxNa : ,

NbaNba ,

cbacbaNcba )()( ,,

abbaNba ,

48



Tale proprietà non è soddisfatta in N ( e nemmeno in Z)

Considerate assieme per le due operazioni vale però la :

6. Proprietà Distributiva

1 : ,0\ axxaNxNa

cbcacb) (aNcba ,,

Nota :

Se si vuole estendere a Z, in modo congruente, la proprietà 6 si dimostra

facilmente che deve valere la famosa regola dei segni e la proprietà di

assorbimento dello zero .

Es. 0=0*3=(2+(-2))*3=2*3+(-2)*3 da cui segue che (-2)*3=-6

Es. 0=0*(-3)=(2+(-2))*(-3)=2*(-3)+(-2)*(-3) da cui segue che (-2)*(-3)=+6

Es. (2-2)*x=0*x=2x-2x=0

Per trovare un insieme che soddisfi alla proprietà 5 occorre introdurre l’insieme dei

numeri razionali Q, che contiene Z come sottoinsieme e che soddisfa a tutte le

precedenti proprietà rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione più,

ovviamente , la proprietà dell’elemento simmetrico rispetto all’operazione di

moltiplicazione . Q avrà quindi una struttura di gruppo abeliano rispetto alla

addizione e di gruppo abeliano (in realtà Q\{0}) rispetto alla moltiplicazione (una

tale struttura è nota in algebra con il nome di “CAMPO”).

49


Def. Q insieme dei Numeri Razionali

Znmnn

mQ ,0:

Note

• Q è un insieme denso (tra due numeri razionali se ne trova sempre un terzo e

quindi infiniti)

• N e Z sono discreti

• Punti su una retta e densità di Q

• Tuttavia ci sono ancora infiniti “buchi” sulla retta reale (nessun numero razionale

elevato al quadrato può dare 2 o 3 o 5…)

• Cenno: rappresentazione geometrica (punto sulla retta reale che dovrebbe

corrispondere a √2

• Hanno rappresentazione decimale periodica.

Def. R insieme dei Numeri Reali

Come vengono definiti ?

Mediante successioni di numeri razionali.

Facciamo solo un esempio per √2

mediante una approssimazione con numeri

razionali scritti in base 10:

N Z Q

N Z Q

R

50

Dai numeri razionali ai numeri reali

0 1 √2

51

Insiemi Numerici ed Operazioni 6/8 Facciamo solo un esempio per √2.

Partiamo dai numeri interi e troviamo quello il cui quadrato è minore di 2 e quello il cui

quadrato è maggiore di 2.

12=1<2 ? 22=4>2

Tra 1,1 e 1,9 scelgo quello il cui quadrato è minore di 2 e quello il cui quadrato è

maggiore di 2

1,42=1,96<2 ? 1,52=2,25>2


maggiore di 2

1,412=1,9881<2 ? 1,422=2,0164>2


maggiore di 2

1,4142=1,999396<2 ? 1,4152=2,002225>2

52


Note

• la successione i cui quadrati sono minori di 2 (successione minorante) è crescente

1 < 1,4 < 1,41 < 1,414

• la successione i cui quadrati sono maggiori di 2 (successione maggiorante) è

decrescente

2 > 1,5 > 1,42 > 1,415

• La “distanza” tra i termini corrispondenti è … sempre più piccola

• Le due successione (minorante e maggiorante) non hanno elementi in comune (sono

disgiunte) e … non si intersecano mai … (nessun elemento della minorante è maggiore

di qualche elemento della maggiorante)

• queste precise caratteristiche delle successioni di numeri razionali permettono… di

“costruire” i numeri reali

53


Note SUI NUMERI REALI

• I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti della retta

• Insieme numeri Irrazionale=R\Q

• Per gli insiemi numerici citati valgono le inclusione strette:

• Ogni numero razionale ammette una rappresentazione decimale periodica

• Ogni numero irrazionale ammette una rappresentazione decimale non periodica

• Distinzione tra numeri irrazionali algebrici e trascendenti (come π=3,141592653.. ed

e=2,718281828…)

RQZN

Def.

Def.

0| xRxR

0| xRxR

0|0 xRxR

0|0 xRxR N Z Q

R

54

Intervalli di R

Intervalli: definizione

Dati a,b numeri reali tali che a<b

• [a,b]

• (a,b)

•[a,b)

•(a,b]

bxaRxba :],[

bxaRxba :),(

bxaRxba :),[

bxaRxba :],(

55

Appendice A – Irrazionalità di radice di 2

Teo Non esistono due numeri interi m,n primi tra loro tali che :

2

2

n

m

22 2 nm

Dim Per assurdo, esistano tali interi m,n. Allora:

pari è 2m (*) pari è m 2k m

222 2k4 nm 22k2 n pari è 2n pari è n

pari sono ,nm loro traprimi sononon ,nm !!assurdo! q.e.d.

:(*)nota Se infatti, per assurdo, m fosse dispari, allora il quadrato di m sarebbe dispari.

)12( dipari hmm 144)12( 222 hhhm

dispari 2m (somma di due pari ed uno)

56

Appendice B – Strutture Algebriche : GRUPPI 1/2

Proprietà Operazione:

Dato un insieme A una Operazione (interna) su A è una funzione * tale che:

*: A x A A

G1. Operazione Interna:

G2. Prorietà Associativa:

G3. Elemento Neutro:

G4. Elemento Simmetrico:

G5. Proprietà Commutativa:

, , *( * ) ( * )*a b c A a b c a b c

, * *a b A a b b a

, *a b A a b A

, : * *a A u A a u u a a

1 1 1, : a* *a A a A a a a u

Def. Una Struttura Algebrica è una coppia (A;*) (o una n-upla cositutita da più

insieme e da più operazioni) costituita da un (o più) insieme e da una (o più)

operazione

57

Appendice B – Strutture Algebriche 2/2

Def. Una struttura algebrica che soddisfa le proprietà G1 , G2 è detto SEMIGRUPPO

Def. Una struttura algebrica che soddisfa le proprietà G1 , G2 , G3 è detto MONOIDE

Def. Una struttura algebrica che soddisfa le proprietà G1 , G2 , G3 , G4 è detto

GRUPPO

Def. Una struttura algebrica che soddisfa le proprietà G1 , G2 , G3 , G4 , G5 è detto

GRUPPO COMMUTATIVO o ABELIANO

58

Appendice C – Strutture Algebriche : ANELLO

Def. Una Struttura Algebrica costituita da un insieme A e due operazione che

indichiamo con + e * (A;+;*) è detto ANELLO se:

( ; )A È gruppo abeliano con elemento neutro “0”

( ;*)A È un semigruppo

Vale la proprietà distributiva di * rispetto a +

, , *( ) ( * ) ( * )a b c A a b c a b a c

, , ( )* ( * ) ( * )a b c A b c a b a c a

59

Appendice D – Strutture Algebriche : CAMPO

Def. Una Struttura Algebrica costituita da un insieme A e due operazione che

indichiamo con + e * (A;+;*) è detto CAMPO se:

( ; )A È gruppo abeliano con elemento neutro “0”

( 0 ;*)A

Vale la proprietà distributiva di * rispetto a +

, , *( ) ( * ) ( * )a b c A a b c a b a c

È gruppo abeliano con elemento neutro “1”

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