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I S T I T U T O D I I S T R U Z I O N E S U P E R I O R E “ L E O P O L D O P I R E L L I ”

Dispense di geometria – parte prima prof. Botta pag. 1

DISPENSE DI GEOMETRIA

CON COSTRUZIONI GEOMETRICHE IN GEOGEBRA

PARTE PRIMA

I PRIMI ELEMENTI

Prof. Emanuela Botta

A.S. 2011/2012



Ogni costruzione geometrica presentata è corredata dalle nozioni di base di geometria euclidea cui fa riferimento, per cui l’insieme delle costruzioni costituisce una sintetica dispensa del modulo di geometria relativo al primo anno del corso delle scuole superiori. La dispensa non è esaustiva e deve essere integrata dalle lezioni in classe o in laboratorio. Il protocollo di costruzione allegato a ciascuna costruzione è la guida per gli studenti per la realizzazione in autonomia della stessa costruzione. Avvertenza: le costruzioni debbono essere effettuate senza tenere conto delle coordinate specifiche dei punti o delle equazioni assegnate per le rette poiché si costruisce sul piano libero, privo di assi cartesiani, in cui non è stato introdotto il concetto di misura, come quando si effettuano le classiche costruzioni con riga e compasso.



COSTRUZIONE 1: ENTI PRIMITIVI E ASSIOMI



Protocollo di costruzione 1 – Enti primitivi e assiomi N. Nome Comando Valore 1 Punto A A = (-1.64, 5.24) 2 Testo testo1 testo1 = "PUNTO: è un ente primitivo, e non ha dimensioni" 3 Punto B B = (-2.42, 3.95) 4 Punto C C = (0.06, 3.93) 5 Retta a Retta[B, C] a: 0.02x + 2.48y = 9.75 6 Testo testo2 testo2 = "RETTA: è un ente primitivo, ha una sola dimensione, è illimitata, densa e ordinata.

Le rette individuano tutte le direzioni dello spazio." 7 Testo testo3 testo3 = "L'ambiente in cui lavoreremo è il PIANO, lo spazio è costituito da infiniti piani.

Il piano può essere rappresentato come un rettangolo o un parallelogramma che immaginiamo infinitamente esteso."

8 Punto D D = (-3.72, 2.14) 9 Punto E E = (-3.72, 0.94) 10 Punto F F = (-1.48, 0.92) 11 Punto G G = (-1.48, 2.16) 12 Quadrilatero

α Poligono[D, E, F, G] α = 2.73

12 Segmento d Segmento[D, E, α] d = 1.2 12 Segmento e Segmento[E, F, α] e = 2.24 12 Segmento f Segmento[F, G, α] f = 1.24 12 Segmento g Segmento[G, D, α] g = 2.24 13 Punto H H = (-0.24, 0.59) 14 Punto I I = (-1.16, -0.55) 15 Punto J J = (2.4, -0.51) 16 Punto K K = (3.26, 0.65) 17 Quadrilatero

β Poligono[H, I, J, K] β = 4.02

17 Segmento h Segmento[H, I, β] h = 1.46 17 Segmento i Segmento[I, J, β] i = 3.56



17 Segmento j Segmento[J, K, β] j = 1.44 17 Segmento k Segmento[K, H, β] k = 3.5 18 Testo testo4 testo4 = "ENTI PRIMITIVI E ASSIOMI" 19 Testo testo5 testo5 = "ASSIOMA DI INCIDENZA: Per due punti distinti passa una ed una sola retta." 20 Punto L L = (-2.94, -2.26) 21 Punto M M = (0.36, -2.26) 22 Retta b Retta[L, M] b: y = -2.26 23 Punto N N = (0.26, -2.98) 24 Punto O O = (-0.48, -7.14) 25 Punto P P = (3.27, -7.14) 26 Retta c Retta[O, P] c: y = -7.14 27 Punto Q Q = (-0.46, -6.44) 28 Retta l Retta[Q, P] l: 0.7x + 3.73y = -24.32 29 Testo testo6 testo6 = "RETTE INCIDENTI: hanno al più un punto in comune." 30 Testo testo7 testo7 = "Data una retta, esiste almeno un punto al di fuori di essa" 31 Testo testo8 testo8 = "ASSIOMA: dati una retta ed un punto fuori di essa esiste una ed una sola retta passante

per il punto e parallela alla retta data." 32 Punto R R = (-3.89, -4.8) 33 Punto S S = (2.64, -4.82) 34 Retta m Retta[R, S] m: 0.02x + 6.54y = -31.45 35 Punto T T = (-1, -4.23) 36 Retta n Retta[T, m] n: 0.02x + 6.54y = -27.69 37 Testo testo9 testo9 = "RETTE PARALLELE: giacciono sullo stesso piano e non hanno alcun punto in comune." APPUNTI…



Definizione 1: chiameremo assioma una proposizione che non richiede di essere dimostrata poiché ci appare evidentemente vera. Definizione 2: chiameremo teorema una proposizione che per accertare la verità della quale è necessaria una dimostrazione. Il teorema (thm) è articolato in tre parti:

- Ipotesi (hp): l’insieme delle affermazioni che assumiamo come vere; nell’enunciato del teorema è usualmente preceduto dal “se…”.

- Tesi (th): l’insieme delle affermazioni che dobbiamo dimostrare, delle quali vogliamo accertare la verità. - Dimostrazione (dim): l’insieme dei passaggi logici, di induzione o deduzione, che ci consentono di andare dall’ipotesi alla

tesi. In alcuni casi daremo una dimostrazione formale dei teoremi, in altri casi ne daremo una dimostrazione intuitiva o pratica attraverso opportune costruzioni geometriche, come vedremo nei primi teoremi sulla retta (cfr. Thm 1 e Thm 2 ). Osservazione: avrai notato che nell’assioma 2 si usa la scrittura “…una ed una sola…”: “Dati una retta ed un punto fuori di essa esiste una ed una sola retta passante per il punto e parallela alla retta data”. Soffermiamoci un momento ad osservare che questa espressione non vuole essere semplicemente un rafforzativo ma ha un significato ben preciso: il primo “una” ci dice infatti che la retta esiste, cioè che ve ne è almeno una, il secondo “ed una sola” ci dice che tale retta è unica, cioè non ve ne sono altre.



COSTRUZIONE 2: PRIMI TEOREMI SULLA RETTA



Protocollo di costruzione 2 – Primi teoremi sulle rette N. Nome Definizione Valore 1 Punto A A = (-0.48, 3.66) 2 Punto B B = (6.16, 3.64) 3 Retta a Retta per A e B a: 0.02x + 6.64y = 24.29 4 Punto C Punto medio tra A e B C = (2.84, 3.65) 5 Punto D Punto medio tra C e B D = (4.5, 3.65) 6 Punto E Punto medio tra D e B E = (5.33, 3.64) 7 Punto F Punto medio tra E e B F = (5.75, 3.64) 8 Punto G Punto medio tra F e B G = (5.95, 3.64) 9 Testo

testo1 testo1 = "Teorema 1: la retta è densa e su di essa vi sono infiniti punti.

Lo dimostriamo costruendo la successione dei punti medi." 10 Testo

testo2 testo2 = "Teorema 2: Per ogni punto del piano passano infinite rette.

Lo dimostriamo congiungendo il punto dato con gli infiniti punti di una retta." 11 Punto H H = (-0.4, -0.8) 12 Punto I I = (-1.82, -3.66) 13 Punto J J = (7, -3.68) 14 Retta b Retta per I e J b: 0.02x + 8.82y = -32.32 15 Retta c Retta per H e J c: 2.88x + 7.4y = -7.07 16 Retta d Retta per H e I d: 2.86x - 1.42y = 0 17 Punto K Punto medio tra I e J K = (2.59, -3.67) 18 Retta e Retta per H e K e: 2.87x + 2.99y = -3.54 19 Punto L Punto medio tra I e K L = (0.39, -3.67) 20 Retta f Retta per H e L f: 2.87x + 0.79y = -1.77 COSTRUZIONE 3: SEMIRETTE E SEGMENTI



Protocollo di costruzione 3 – Semirette e segmenti



N. Nome Definizione Valore 1 Punto A A = (1.26, 2.82) 2 Punto B B = (6.42, 2.8) 3 Retta a Retta per A e B a: 0.02x + 5.16y = 14.58 4 Semiretta b Semiretta per A e

B b: 0.02x + 5.16y = 14.58

5 Testo testo1 testo1 = "SEMIRETTA: Ciascuna delle due parti in cui una retta resta divisa da ciascuno dei suoi punti." 6 Punto C C = (-0.86, 0.1) 7 Punto D D = (4.1, 0.06) 8 Retta c Retta per C e D c: 0.04x + 4.96y = 0.46 9 Segmento d Segmento [C, D] d = 4.96 10 Testo testo2 testo2 = "SEGMENTO: L'insieme dei punti che stanno fra A e B, compresi A e B." 11 Punto E E = (-2.32, -4.32) 12 Punto F F = (-0.42, -2.6) 13 Segmento e Segmento [E, F] e = 2.56 14 Punto G G = (2.94, -5.4) 15 Segmento f Segmento [F, G] f = 4.37 16 Testo testo3 testo3 = "SEGMENTI CONSECUTIVI: hanno un estremo in comune." 17 Punto H H = (9.12, -7.16) 18 Punto I I = (11.88, -7.16) 19 Segmento g Segmento [H, I] g = 2.76 20 Punto J J = (14.96, -7.18) 21 Segmento h Segmento [I, J] h = 3.08 22 Testo testo4 testo4 = "SEGMENTI ADIACENTI: Hanno un estremo in comune e giacciono sulla stessa retta.

Lo verifico tracciando la retta passante per H e J." 23 Retta i Retta per H e J i: 0.02x + 5.84y = -41.63 24 Punto K K = (-1.8, 5.38) 25 Punto L L = (5.14, 5.4) 26 Retta j Retta per K e L j: -0.02x + 6.94y = 37.37 27 Testo testo5 testo5 = "ASSIOMA DI PARTIZIONE DEL PIANO: Ogni retta divide il piano in due parti distinte dette



SEMIPIANI." 28 Punto M M = (-0.76, 5.98) 29 Punto N N = (0.78, 4.9) APPUNTI… Abbiamo già visto in algebra la distinzione fra insiemi discreti, come l’insieme dei numeri naturali, densi, come l’insieme dei numeri razionali, e continui come l’insieme dei numeri reali. Per comprenderne intuitivamente il significato abbiamo paragonato l’insieme ad un recipiente che viene riempito aggiungendo gradualmente sostanze diverse: se lo riempiamo con palline da golf osserviamo che fra esse restano evidenti spazi “vuoti” che non è possibile occupare con altre palline da golf, un insieme come questo viene detto discreto; se aggiungiamo della sabbia essa colmerà gli spazi vuoti e si compatterà, sarà allora difficile osservare gli spazi fra un granello e l’altro, che non possono essere riempiti con la sabbia, e il recipiente sembrerà pieno, questa è un’approssimazione dell’idea di insieme denso; infine possiamo osservare che se versiamo nel recipiente dell’acqua essa riuscirà ad infiltrarsi fra la sabbia fino a colmare il recipiente non lasciando più spazi vuoti, questa è un’approssimazione dell’idea di insieme continuo. COSTRUZIONE 4: ANGOLI



Protocollo di costruzione 4 – Angoli



N. Nome Definizione Valore 1 Testo

testo1 testo1 = "ANGOLI

SI DICE ANGOLO LA PARTE DI PIANO DELIMITATA DA DUE SEMIRETTE AVENTI LA STESSA ORIGINE. DUE SEMIRETTE INDIVIDUANO SEMPRE DUE ANGOLI, GENERALMENTE UNO CONVESSO ED UNO CONCAVO."

2 Punto A A = (2.18, -0.32) 3 Punto B B = (6.72, 1.04) 4 Semiretta a Semiretta per A e B a: -1.36x + 4.54y = -4.42 5 Punto C C = (6.86, -2.3) 6 Semiretta b Semiretta per A e C b: 1.98x + 4.68y = 2.82 7 Angolo α Angolo tra C, A, B α = 39.61° 8 Angolo β Angolo tra B, A, C β = 320.39° 9 Testo

testo2 testo2 = "ANGOLO CONVESSO"

10 Testo testo3

testo3 = "ANGOLO CONCAVO"

11 Testo testo4

testo4 = "CASI PARTICOLARI: SE LE DUE SEMIRETTE SONO OPPOSTE SI FORMANO DUE ANGOLI PIATTI. SE LE DUE SEMIRETTE COINCIDONO SI FORMANO UN ANGOLO GIRO E UN ANGOLO NULLO."

12 Punto D D = (-0.48, -5.68) 13 Punto E E = (2.82, -5.68) 14 Retta c Retta per D e E c: y = -5.68 15 Punto F Punto su c F = (-3.3, -5.68) 16 Angolo γ Angolo tra E, D, F γ = 180° 17 Angolo δ Angolo tra F, D, E δ = 180° 18 Punto G G = (-0.66, -7.92) 19 Punto H H = (2.44, -7.92) 20 Semiretta d Semiretta per G e H d: y = -7.92 21 Punto I Punto su d I = (3.24, -7.92)



22 Semiretta e Semiretta per G e I e: y = -7.92 23 Angolo ε Angolo tra I, G, H ε = 0° 24 Angolo ζ Angolo tra H, G, I ζ = 360° APPUNTI… Gli angoli sono dunque figure piane illimitate, dobbiamo cioè immaginarli infinitamente estesi come il piano, in contrapposizione con figure piane limitate, dotate di frontiera e costituite da una linea chiusa e da tutti i punti del piano che essa racchiude. Sia per gli angoli sia per le figure piane distingueremo fra figura concava e figura convessa. Definizione 3: diremo che una figura piana è concava se in essa vi è almeno una coppia di punti per unire i quali con un segmento è necessario uscire dalla figura stessa. Definizione 4: diremo che una figura piana è convessa se comunque presi due suoi punti è possibile unirli con un segmento interamente contenuto nella figura stessa. COSTRUZIONE 5: ANGOLI CONSECUTIVI E ANGOLI ADIACENTI



Protocollo di costruzione 5 – Angoli N. Nome Definizione Valore 1 Testo testo1 testo1 = "DUE ANGOLI AVENTI UN LATO ED IL VERTICE IN COMUNE SI DICONO CONSECUTIVI.

SE DUE ANGOLI CONSECUTIVI HANNO I LATI NON COMUNI SU SEMIRETTE OPPOSTE SI DICONO ADIACENTI."

2 Punto A A = (0.42, 1.24) 3 Punto B B = (3.12, 2.42) 4 Semiretta a Semiretta per A e

B a: -1.18x + 2.7y = 2.85

5 Punto C C = (4.26, 1.26) 6 Semiretta b Semiretta per A e

C b: -0.02x + 3.84y = 4.75

7 Punto D D = (5.68, -0.04) 8 Semiretta c Semiretta per A e

D c: 1.28x + 5.26y = 7.06

9 Angolo α Angolo tra D, A, C α = 13.98° 10 Angolo β Angolo tra C, A, B β = 23.31° 11 Punto E E = (-2.24, -4.94) 12 Punto F F = (4.24, -4.88) 13 Retta d Retta per E e F d: -0.06x + 6.48y = -31.88 14 Punto G Punto su d G = (0.9, -4.91) 15 Punto H H = (3.5, -3.22) 16 Semiretta e Semiretta per G e

H e: -1.69x + 2.6y = -14.29

17 Angolo γ Angolo tra F, G, H γ = 32.51° 18 Angolo δ Angolo tra H, G, E δ = 147.49° 19 Testo testo2 testo2 = "CONSECUTIVI" 20 Testo testo3 testo3 = "ADIACENTI" 21 Testo testo4 testo4 = "EVIDENTEMENTE LA SOMMA DI DUE ANGOLI CONSECUTIVI E' UN ANGOLO PIATTO."



ESERCIZI: Esegui le costruzioni richieste.

1. Disegna un angolo convesso α e un angolo concavo β aventi lo stesso vertice e tali che: a. Abbiano intersezione vuota; b. Siano uno contenuto nell’altro; c. Abbiano come intersezione un angolo ottuso; d. Abbiano come unione l’angolo giro.

2. Disegna due angoli concavi che abbiano come intersezione un angolo piatto e due angoli convessi che abbiano come unione

un angolo piatto.

COSTRUZIONE 6: CONGRUENZA



Protocollo di costruzione 6 – Congruenza N. Nome Definizione Valore 1 Testo testo1 testo1 = "CONGRUENZA" 2 Testo testo2 testo2 = "Si dice che due figure piane sono congruenti se sovrapposte tramite un

movimento rigido esse combaciano. Figure congruenti hanno la stessa forma e le stesse dimensioni. La congruenza è una relazione di equivalenza tra figure essa gode infatti delle seguenti proprietà: 1. RIFLESSIVA: ogni figura è congruente a se stessa; 2. SIMMETRICA: se F è congruente a F' allora F' è congruente a F; 3. TRANSITIVA: se F è congruente a F' e F' è congruente a F'' allora F è congruente a F''. Esempi di movimenti rigidi sono le traslazioni e le simmetrie:"

3 Punto A A = (-1.6, 1.18) 4 Punto B B = (-2.68, -0.2) 5 Punto C C = (0.58, -0.22) 6 Triangolo poli1 Poligono A, B, C poli1 = 2.26 6 Segmento c Segmento [A, B] di Triangolo poli1 c = 1.75 6 Segmento a Segmento [B, C] di Triangolo poli1 a = 3.26 6 Segmento b Segmento [C, A] di Triangolo poli1 b = 2.59 7 Punto D D = (-2.72, -1.18) 8 Punto E E = (4.84, -1.16) 9 Vettore u Vettore[D, E] u = (7.56, 0.02) 10 Punto A' Traslazione di A di u A' = (5.96, 1.2) 11 Punto B' Traslazione di B di u B' = (4.88, -0.18) 12 Punto C' Traslazione di C di u C' = (8.14, -0.2) 13 Triangolo poli1' Poligono A', B', C' poli1' = 2.26 13 Segmento c' Segmento [A', B'] di Triangolo poli1' c' = 1.75 13 Segmento a' Segmento [B', C'] di Triangolo poli1' a' = 3.26 13 Segmento b' Segmento [C', A'] di Triangolo poli1' b' = 2.59 14 Punto F F = (-1.66, -3.42)



15 Punto G G = (1.18, -3.82) 16 Punto H H = (4.86, -3.04) 17 Punto I I = (3.18, -2.46) 18 Quadrilatero

poli2 Poligono F, G, H, I poli2 = 4.05

18 Segmento f Segmento [F, G] di Quadrilatero poli2 f = 2.87 18 Segmento g Segmento [G, H] di Quadrilatero poli2 g = 3.76 18 Segmento h Segmento [H, I] di Quadrilatero poli2 h = 1.78 18 Segmento i Segmento [I, F] di Quadrilatero poli2 i = 4.93 19 Punto J J = (-3.06, -5.38) 20 Punto K K = (3.68, -5.38) 21 Retta d Retta per J e K d: y = -5.38 22 Punto F' F trasformato rispetto a d F' = (-1.66, -7.34) 23 Punto G' G trasformato rispetto a d G' = (1.18, -6.94) 24 Punto H' H trasformato rispetto a d H' = (4.86, -7.72) 25 Punto I' I trasformato rispetto a d I' = (3.18, -8.3) 26 Quadrilatero

poli2' Poligono F', G', H', I' poli2' = 4.05

26 Segmento f' Segmento [F', G'] di Quadrilatero poli2' f' = 2.87 26 Segmento g' Segmento [G', H'] di Quadrilatero poli2' g' = 3.76 26 Segmento h' Segmento [H', I'] di Quadrilatero poli2' h' = 1.78 26 Segmento i' Segmento [I', F'] di Quadrilatero poli2' i' = 4.93 27 Testo testo3 testo3 = "TRASLAZIONE" 28 Testo testo4 testo4 = "SIMMETRIA RISPETTO AD UNA RETTA" COSTRUZIONE 7: ASSIOMI DEL TRASPORTO



Protocollo di costruzione 7 – Assiomi del trasporto N. Nome Definizione Valore



1 Testo testo1 testo1 = "ASSIOMA DEL TRASPORTO DEI SEGMENTI: Comunque dati un segmento AB e una semiretta a di origine O, sulla semiretta esiste uno e un solo punto C tale che il segmento AB è congruente al segmento OC. In parole semplici possiamo ''trasportare'' il segmento AB sulla semiretta in modo cha A coincida con O".

2 Punto A A = (-1.78, 3.4) 3 Punto B B = (0.86, 3.4) 4 Segmento a1 Segmento [A, B] a1 = 2.64 5 Punto O O = (-1.8, 2.26) 6 Punto C C = (3.2, 2.3) 7 Semiretta a Semiretta per O e C a: -0.04x + 5y = 11.37 8 Vettore u Vettore[A, O] u = (-0.02, -1.14) 9 Punto A' Traslazione di A di u A' = (-1.8, 2.26) 10 Punto B' Traslazione di B di u B' = (0.84, 2.26) 11 Segmento b Segmento [A', B'] b = 2.64 12 Testo testo2 testo2 = "Mediante il trasporto è possibile effettuare il confronto fra segmenti, la somma e la differenza

di segmenti." 13 Punto D D = (-2.98, 0.8) 14 Punto E E = (-0.74, 0.82) 15 Segmento c Segmento [D, E] c = 2.24 16 Punto F F = (-2.98, -0.46) 17 Punto G G = (0.48, -0.42) 18 Segmento d Segmento [F, G] d = 3.46 19 Vettore v Vettore[D, F] v = (0, -1.26) 20 Punto D' Traslazione di D di v D' = (-2.98, -0.46) 21 Punto E' Traslazione di E di v E' = (-0.74, -0.44) 22 Segmento c' Segmento [D', E'] c' = 2.24 23 Punto H H = (9.3, 0.88) 24 Punto I I = (11.12, 0.88)



25 Segmento e Segmento [H, I] e = 1.82 26 Punto J J = (8.3, -0.38) 27 Punto K K = (11.36, -0.4) 28 Segmento f Segmento [J, K] f = 3.06 29 Vettore w Vettore[H, K] w = (2.06, -1.28) 30 Punto H' Traslazione di H di w H' = (11.36, -0.4) 31 Punto I' Traslazione di I di w I' = (13.18, -0.4) 32 Segmento e' Segmento [H', I'] e' = 1.82 33 Testo testo3 testo3 = "confronto e differenza: si fa coincidere il primo estremo dei due segmenti." 34 Testo testo4 testo4 = "somma: si fa coincidere il primo estremo di un segmento con l'ultimo dell'altro." 35 Testo testo5 testo5 = "ASSIOMA DEL TRASPORTO DEGLI ANGOLI:

Comunque dati un angolo convesso α, una semiretta r di origine O e uno dei semipiani da essa individuati, esiste una ed una sola semiretta s di origine O e giacente nel semipiano dato tale che l'angolo ottenuto è congruente ad α. In parole semplici possiamo ''trasportare'' l'angolo in modo da far coincidere uno dei suoi lati con la semiretta r. Anche in questo caso il trasporto ci consente di effettuare il confronto, la somma e la differenza di angoli."

36 Punto L L = (0.22, -5.32) 37 Punto M M = (-2.68, -7.04) 38 Segmento g Segmento [L, M] g = 3.37 39 Punto N N = (1.26, -6.98) 40 Segmento h Segmento [M, N] h = 3.94 41 Angolo α Angolo tra N, M, L α = 29.8° 42 Punto P P = (5.76, -5.72) 43 Punto Q Q = (10.62, -5.7) 44 Semiretta i Semiretta per P e Q i: -0.02x + 4.86y = -27.91 45 Punto Q' Q ruotato di un angolo

330.2° Q' = (9.99, -8.12)

46 Angolo β Angolo tra Q', P, Q β = 29.8°



47 Segmento j Segmento [P, Q'] j = 4.86 APPUNTI… . La congruenza è uno dei diversi tipi di uguaglianza che hai trovato o troverai in matematica: uguaglianza, equivalenza, similitudine, coincidenza,…. Se in italiano, in contesti diversi, puoi usare questi termini come sinonimi, in matematica non è così, essi infatti hanno significati molto diversi e vengono indicati con simboli diversi. La congruenza è un’uguaglianza molto “forte”, nel senso che essa implica che due figure siano uguali sia nella forma che nelle dimensioni. Le circonferenze ad esempio sono tutte simili fra loro, hanno cioè la stessa forma, ma non necessariamente sono congruenti, possiamo infatti disegnare circonferenze con raggi diversi. E’ abbastanza facile anche costruire figure equivalenti, cioè con la stessa estensione ma diverse nella forma. figure simili figure equivalenti L’applicazione degli assiomi del trasporto e la definizione di congruenza ci consentono di giungere ad una definizione delle grandezze geometriche di lunghezza di un segmento e di ampiezza di un angolo osservando che segmenti congruenti hanno tutti la stessa lunghezza e che angoli congruenti hanno tutti la stessa ampiezza; ci permettono inoltre di definire multipli e sottomultipli di angoli e segmenti rispettivamente moltiplicando e dividendo per un numero naturale n la grandezza data. In particolare possiamo dare le seguenti definizioni: Definizione 5: Chiameremo punto medio di un segmento il punto che divide un segmento in due parti congruenti. Definizione 6: Chiameremo bisettrice di un angolo la semiretta che ha origine nel vertice dell’angolo e divide l’angolo in due parti congruenti.



Possiamo ora richiamare alcune definizioni che certamente ti sono già note:

1. Chiameremo angolo retto la metà di un angolo piatto; 2. Diremo che un angolo è acuto se è minore di un angolo retto; 3. Diremo che un angolo è ottuso se è maggiore di un angolo retto; 4. Diremo che due angoli sono supplementari se la loro somma è un angolo piatto; 5. Diremo che due angoli sono complementari se la loro somma è un angolo retto; 6. Diremo che due angoli sono esplementari se la loro somma è un angolo giro;

RICORDA: il punto medio è un “punto”, è quel punto che divide il segmento a metà, non è la metà del segmento, che invece è a sua volta un segmento, cioè un oggetto costituito da infiniti punti! Esercizio 1: rappresenta ciascuna delle definizioni precedenti con un’opportuna costruzione in geogebra. Esercizio 2: costruisci il quintuplo di un segmento dato e il triplo di un angolo dato. COSTRUZIONE 8: COSTRUZIONE CON RIGA E COMPASSO DI UN ANGOLO DI DATO LATO CONGRUENTE AD UN ANGOLO ASSEGNATO



Protocollo di costruzione 8 – Costruzione con riga e compasso di un angolo di dato lato congruente ad un angolo assegnato N. Nome Definizione Valore



1 Testo testo1 testo1 = "COSTRUZIONE CON RIGA E COMPASSO DI UN ANGOLO DI DATO LATO CONGRUENTE AD UN ANGOLO ASSEGNATO"

2 Punto A A = (3.44, 1.18) 3 Punto B1 B1 = (7.94, 3.38) 4 Semiretta a Semiretta per A e B1 a: -2.2x + 4.5y = -2.26 5 Punto C1 C1 = (5.14, 1.18) 6 Semiretta b Semiretta per A e C1 b: y = 1.18 7 Punto C Punto su a C = (7.01, 2.93) 8 Circonferenza

c Circonferenza per C di centro A c: (x - 3.44)² + (y - 1.18)² = 15.81

9 Punto B Punto di intersezione tra c e b B = (7.42, 1.18) 10 Angolo α Angolo tra B, A, C α = 26.05° 11 Segmento d Segmento [A, C] d = 3.98 12 Punto O O = (8.74, -5.08) 13 Punto E1 E1 = (15.54, -5.14) 14 Semiretta e Semiretta per O e E1 e: 0.06x + 6.8y = -34.02 15 Circonferenza f Circonferenza di centro O e

raggio d f: (x - 8.74)² + (y + 5.08)² = 15.81

16 Punto D Punto di intersezione tra f e e D = (12.72, -5.12) 17 Segmento g Segmento [C, B] g = 1.79 18 Circonferenza

h Circonferenza di centro D e raggio g

h: (x - 12.72)² + (y + 5.12)² = 3.21

19 Punto E Punto di intersezione tra f e h E = (12.33, -3.37) 20 Semiretta i Semiretta per O e E i: -1.71x + 3.59y = -33.21 21 Angolo β Angolo tra D, O, E β = 26.05° COSTRUZIONE 9: TEOREMI SU ANGOLI E SEGMENTI



Protocollo di costruzione 9 - Teoremi su angoli e segmenti N. Nome Definizione Valore



1 Testo testo1 testo1 = "TEOREMI SU ANGOLI E SEGMENTI" 2 Testo testo2 testo2 = "Dagli assiomi del trasporto si possono dedurre in modo evidente alcune proprietà

dell'addizione fra angoli e segmenti: 1. L'addizione di angoli e segmenti è commutativa e associativa; 2. Le somme di segmenti congruenti sono congruenti, 3. Le somme di angoli congruenti sono congruenti; 4. Tutti gli angoli piatti sono congruenti fra loro. Inoltre quanto studiato finora ci consente di effettuare le prime dimostrazioni, come già osservato infatti gli assiomi non richiedono di essere dimostrati mentre i teoremi, anche se molto semplici, richiedono una dimostrazione. E' importante osservare che è bene evitare di assumere come assiomi affermazioni che possono essere dimostrate."

3 Testo testo3 testo3 = "TEOREMA 1:" 4 Testo testo4 testo4 = "Angoli supplementari di angoli congruenti sono congruenti." 5 Testo testo5 testo5 = "IPOTESI (Hp): α α', α + β = P, α' + β' = P

TESI (Th): β β'" 6 Punto A A = (-3.34, -0.36) 7 Punto B B = (4.5, -0.38) 8 Segmento a Segmento [A, B] a = 7.84 9 Punto C Punto su a C = (0.44, -0.37) 10 Punto B' B ruotato di un angolo 40° B' = (3.56, 2.23) 11 Angolo β Angolo tra B, C, B' β = 40° 12 Segmento b Segmento [C, B'] b = 4.06 13 Angolo α Angolo tra B', C, A α = 140° 14 Punto D D = (6.24, -0.4) 15 Punto E E = (14.3, -0.4) 16 Segmento c Segmento [D, E] c = 8.06 17 Punto F Punto su c F = (10.26, -0.4) 18 Punto E' E ruotato di un angolo 40° E' = (13.35, 2.2) 19 Angolo β1 Angolo tra E, F, E' β1 = 40° 20 Segmento d Segmento [F, E'] d = 4.04 21 Angolo α1 Angolo tra E', F, D α1 = 140° 22 Testo testo6 testo6 = "Ricorda di evidenziare sempre in figura le ipotesi, indicando con simboli uguali gli



elementi congruenti." 23 Testo testo7 testo7 = "DIMOSTRAZIONE:

Da α + β = P possiamo scrivere che β = P - α, analogamente da α' + β' = P possiamo scrivere che β' = P - α'. Ma poichè, per ipotesi α α', possiamo scrivere anche β = P - α' = β'. Quindi β = β', perchè differenze di angoli congruenti."

24 Testo testo8 testo8 = "DEFINIZIONE:" 25 Testo testo9 testo9 = "Si dicono opposti al vertice due angoli convessi che hanno il vertice in comune e

come lati semirette opposte.Due rette incidenti formano sempre due coppie di angoli opposti al vertice, ε con ε', e δ con δ'."

26 Punto G G = (0.46, -4.46) 27 Punto H H = (5.06, -2.42) 28 Segmento e Segmento [G, H] e = 5.03 29 Punto I I = (0.34, -2.52) 30 Punto J J = (5.28, -4.34) 31 Segmento f Segmento [I, J] f = 5.26 32 Punto O Punto di intersezione tra e e f O = (2.8, -3.42) 33 Angolo δ1 Angolo tra I, O, G δ1 = 44.14° 34 Angolo δ Angolo tra J, O, H δ = 44.14° 35 Angolo ε Angolo tra H, O, I ε = 135.86° 36 Angolo ε1 Angolo tra G, O, J ε1 = 135.86° 37 Testo testo10 testo10 = "TEOREMA 2:" 38 Testo testo11 testo11 = "Angoli opposti al vertice sono congruenti." 39 Testo testo12 testo12 = "IPOTESI (Hp): ε e ε' opposti al vertice; δ e δ' opposti al vertice. TESI (Th): ε = ε',

δ = δ'." 40 Testo testo13 testo13 = "DIMOSTRAZIONE: ε e δ, avendo il vertice e un lato in comune e gli altri lati

semirette opposte, sono adiacenti e quindi supplementari, ε + δ = P. La stessa affermazione si può fare per ε' e δ, ε' + δ = P. Ma allora per il TEOREMA 1 possiamo affermare che ε = ε'. In modo analogo si dimostra che δ = δ', perchè supplementari dello stesso angolo ε."

ESERCIZI



1. Il teorema che segue si dimostra in modo analogo al teorema 1. Individua l’ipotesi e la tesi e scrivi la dimostrazione producendo una scheda in geogebra che contenga anche i disegni necessari alla dimostrazione. TEOREMA: Angoli complementari di angoli congruenti sono congruenti.

2. Siano dati tre punti non allineati A, B e C. Può una retta incontrare tutti e tre i segmenti AB, AC, e BC? Può incontrarli

tutti in loro punti interni? Costruisci la figura richiesta e trasformala in modo dinamico. Dai la tua risposta in una casella di testo e accompagnala con disegni opportuni.

3. Disegna quattro segmenti diversi. Somma i due maggiori e i due minori e determina la differenza fra le due somme

ottenute. Verifica che tale differenza è congruente alla somma della differenza tra il maggiore e il minore e della differenza tra i due segmenti intermedi. Effettua la verifica sia utilizzando la funzione distanza o lunghezza di geogebra sia in via algebrica, senza utilizzare le misure effettive dei segmenti. Dai le tue risposte in una casella di testo.

COSTRUZIONE 10: PUNTO MEDIO E ASSE DI UN SEGMENTO



Protocollo di costruzione 10 – Punto medio e asse di un segmento N. Nome Definizione Valore



1 Punto A A = (-0.38, 0.8) 2 Punto B B = (3.46, 0.78) 3 Segmento a Segmento [A, B] a = 3.84 4 Circonferenza c Circonferenza di centro A e raggio a c: (x + 0.38)² + (y - 0.8)² = 14.75 5 Circonferenza d Circonferenza di centro B e raggio a d: (x - 3.46)² + (y - 0.78)² = 14.75 6 Punto C Punto di intersezione tra c e d C = (1.56, 4.12) 7 Punto D Punto di intersezione tra c e d D = (1.52, -2.54) 8 Retta b Retta per C e D b: 6.65x - 0.03y = 10.22 9 Punto E Punto di intersezione tra b e a E = (1.54, 0.79) 10 Segmento e Segmento [A, E] e = 1.92 11 Segmento f Segmento [E, B] f = 1.92 12 Testo testo1 testo1 = "PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO: Chiameremo punto medio di un

segmento, il punto che divide il segmento in due segmenti fra loro congruenti. Nel nostro disegno E risulta essere il punto medio del segmento AB, come puoi verificare misurando i segmenti AE e EB."

13 Testo testo2 testo2 = "ASSE DI UN SEGMENTO: Chiameremo asse di un segmento la retta perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio. Nel nostro disegno la retta b è l'asse del segmento AB; puoi verificare la perpendicolarità misurando l'angolo BEC."

14 Testo testo3 testo3 = "RICORDA: due rette si dicono perpendicolari quando sono incidenti e formano quattro angoli retti; la perpendicolare ad una retta passante per un punto dato è unica."

15 Angolo α Angolo tra B, E, C α = 90°

ESERCIZI:



1. Disegna quattro segmenti diversi. Somma i due maggiori e i due minori e determina la differenza fra le due somme

ottenute. Verifica che tale differenza è congruente alla somma della differenza tra il maggiore e il minore e della differenza tra i due segmenti intermedi.

2. Sia M il punto medio del segmento AB (disegnalo usando la funzione punto medio) e sia C un punto compreso fra M e B. Scrivi tutte le diseguaglianze che intercorrono fra i segmenti AB, AC e CB.

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