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dispense

Dispense di

Analisi Matematica I

Antonio Greco

Dipartimento di Matematica e Informatica

via Ospedale 72, 09124 Cagliari

31 ottobre 2018

http://people.unica.it/antoniogreco/

Indice generale

PremesseCome impostare lo studio della disciplina . . . . . 4Come formulare una domanda . . . . . . . . . . . 5

Nozioni preliminariIn breve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Esercizi sulla retta . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Esercizi sulla circonferenza . . . . . . . . . . . . . 7

Successioni numericheOrigini e definizione di limite . . . . . . . . . . . 8Valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Come scrivere le successioni . . . . . . . . . . . . 11Teoremi sui limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Operazioni sui limiti . . . . . . . . . . . . . . . . 12Disuguaglianza di Bernoulli . . . . . . . . . . . . 14Limiti di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Il numero di Nepero (indicato con la lettera e) . . 15Esercizi sui limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Sviluppo di (a + b)n

Coefficienti binomiali e formula di Newton . . . . 18Esercizi sui coefficienti binomiali (1) . . . . . . . 21Esercizi sui coefficienti binomiali (2) . . . . . . . 21

Serie numericheSerie numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Condizione necessaria per la convergenza . . . . . 23Serie armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Serie geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Il paradosso di Achille e la tartaruga . . . . . . . 25Convergenza assoluta . . . . . . . . . . . . . . . . 25Criteri di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . 26Serie esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Limiti di successioni notevoli . . . . . . . . . . . . 28La forma indeterminata 00 . . . . . . . . . . . . . 29Serie a termini di segno alterno . . . . . . . . . . 30Serie armonica generalizzata . . . . . . . . . . . . 30Esercizi sulle serie numeriche (1) . . . . . . . . . 31Esercizi sulle serie numeriche (2) . . . . . . . . . 32Esercizi sulle serie numeriche (3) . . . . . . . . . 32

Il concetto di limite e la continuitaIl concetto di limite . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Definizioni di limite . . . . . . . . . . . . . . . . . 33La continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Il calcolo dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Esercizi assortiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Il calcolo differenzialeTangenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39La derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Esercizi sulla retta tangente . . . . . . . . . . . . 43Esercizi sulle derivate (1) . . . . . . . . . . . . . . 44Derivate di ex e log x . . . . . . . . . . . . . . . . 46Caduta di un grave . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Altre derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Esercizi sulle derivate (2) . . . . . . . . . . . . . . 50Esercizi sulle derivate (3) . . . . . . . . . . . . . . 51Il differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Esercizi sul simbolo ≈ . . . . . . . . . . . . . . . 52Monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Dispense di Analisi Matematica I – prof. Antonio Greco – pag. 2

Esercizi sulla monotonia . . . . . . . . . . . . . . 53

Esercizi di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Ottimizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Esercizi di ottimizzazione . . . . . . . . . . . . . 56

Esercizi sui teoremi di Lagrange e Cauchy . . . . 57

Convessita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Studio del grafico di una funzione . . . . . . . . . 59

Esercizi sulla convessita . . . . . . . . . . . . . . 60

Esercizi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Moto uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Formula di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Esercizi sulla formula di Taylor (1) . . . . . . . . 65





Il calcolo integraleIntegrale indefinito . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Integrale definito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Esercizi sull’integrale indefinito (1) . . . . . . . . 74

Esercizi sull’integrale indefinito (2) . . . . . . . . 75

Esercizi sull’integrale definito . . . . . . . . . . . 76

Teorema fondamentale del calcolo integrale . . . . 77

Integrali generalizzati . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Esercizi sugli integrali generalizzati . . . . . . . . 81

AppendiciCirconferenza osculatrice . . . . . . . . . . . . . . 82

Alfabeto greco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Domande fatte alle prove orali . . . . . . . . . . . 84

Bibliografia 87

Indice analitico 88

La copertina e ricavata da un’immagine gentilmente fornitami

da Ilaria Usai (2 ottobre 2018).


Analisi Matematica Iprof. Antonio Greco

Come studiare Come studiare

0) Rispettare le proprie inclinazioni. Cercare, in-nanzitutto, un campo di studi o un’attivita lavorativache ci permetta di esprimere il nostro talento naturale,e che ci possa dare delle soddisfazioni personali.

1) Studiare molto. La conquista di una laurea in Fi-sica richiede un impegno molto piu grande di quellonecessario per ottenere un diploma.

2) Essere critici. Non prendere per buono tutto quelloche il docente dice: passarlo al vaglio della propriaragione, cercare conferme o smentite sui libri, parlarnecon altre persone.

3) Usare almeno un libro. Non limitarsi agli appuntidi lezione e al materiale fornito dal professore.

4) Sfruttare il docente. Discutere con il professore do-po la lezione. Richiedere colloqui per appuntamento.Scrivere a [email protected]

5) Frequentare assiduamente le lezioni.

Indicazioni particolari per chi frequenta

1) Studiare regolarmente tra una lezione e l’altra:non aspettare la fine del corso, non aspettare di tro-varsi a ridosso dell’esame.

2) Intervenire durante la lezione per chiedere chiari-menti o esprimere le proprie impressioni.

3) Partecipare alle esercitazioni in classe e provarea svolgere da soli gli esercizi. Se necessario, chiedereaiuto al professore.

Errori da non commettere

Arrendersi di fronte agli esercizi e rinunciare a svolgerli:meglio chiedere chiarimenti al docente e/o al tutor.

Ulteriori indicazioni

Una raccolta di domande rivolte agli studenti in sede diesame si trova a pag. 84. Ulteriori indicazioni si possonotrovare nella dispensa “Come si studia la matematica” al-l’indirizzo http://people.unica.it/∼antoniogreco/metodo/


http://people.unica.it/~antoniogreco/metodo/


Saper chiedere Saper chiedere

Indicazioni pratiche

1. Aprite la domanda con uno degli appositi terminidella lingua italiana: ad esempio Come. . . ? Quale. . . ?Perche. . . ? o similari.

2. In alternativa, chiedete conferma di una vostra af-fermazione: E vero che. . . ? E corretto dire che. . . ?E giusto dire che. . . ?

3. Possibilmente, motivate la domanda: Nel corso diFisica abbiamo incontrato l’integrale. . . la deriva-ta. . . la serie. . . dopodiche formulate la domanda comespiegato sopra.

Gli errori da non commettere

1. Girare intorno al problema. Siate diretti.2. Complicare la domanda. Esempio: se voglio sa-

pere come si integra∫e2x+1 dx, non devo chiedere come

si integra∫ef(x) dx, dove f(x) e una generica funzione?

(realmente accaduto)3. Giustificarsi, scusarsi della domanda: “sa, vengo

dal Classico/dalla Ragioneria. . . ”, “la volta scorsa ero as-sente. . . ”, “io non so ragionare. . . ”

4. Attribuire al professore o ad un suo collega l’originedella domanda, come se fosse una colpa: “Lei aveva det-to che. . . ”, “Il professore di Fisica ha detto che. . . ”, “Ascuola mi e stato insegnato che. . . ”



In breve In breve

Zero non e positivo. Si chiamano positivi i numeri realimaggiori di zero. Dunque, lo zero non e positivo.

Il fatto che lo zero non sia positivo e in accordo conla regola dei segni: il prodotto di due numeri concordi nelsegno e positivo; il prodotto di due numeri discordi e nega-tivo.

Invece, se considerassimo (erroneamente) positivo lozero, allora il prodotto di un particolare numero positivo(lo zero) per un qualunque numero negativo sarebbe posi-tivo (in quanto nullo), contraddicendo la regola dei segni.

Numeri reali. Fra le varie definizioni di numero reale,una delle piu semplici per incominciare e la seguente [1,Definizione (I.4), pag. 33]:

un numero reale e fatto con un segno (il segno + o ilsegno −), poi delle cifre, eventualmente una virgola, edelle cifre decimali che possono anche essere infinite.

La difficolta di operare su tali numeri, soprattutto quandole cifre decimali sono infinite, ha stimolato la formulazionedi altre definizioni, forse piu precise ma senza dubbio piuimpegnative sul piano concettuale. Tali definizioni coin-volgono, in particolare, la nozione di completezza di cui siaccenna a pag. 15.

L’insieme di tutti i numeri reali si denota con il simbo-lo R, la cui introduzione e attribuita a Nicolas Bourbaki,pseudonimo con il quale, negli anni Settanta, alcuni grandimatematici francesi solevano firmare le proprie opere.

Sul logaritmo. L’invenzione ed il successo dei logaritmisi fondano su di un’importante e ben nota proprieta dellepotenze, la cosiddetta regola della somma degli esponenti.Tale regola stabilisce, in particolare, quanto segue: indica-to con la lettera e il numero di Nepero (di cui si parla piudiffusamente a pag. 15), per ogni a, b ∈ R si ha

ea+b = ea eb. (1)

Cio che rende possibile l’uso dei logaritmi e il fatto che,comunque si prendano due numeri positivi x, y, esistono erestano univocamente individuati due numeri reali a, b taliche ea = x e eb = y: i numeri a e b si chiamano, rispettiva-mente, il logaritmo naturale di x ed il logaritmo naturaledi y, e si scrive: a = log x e b = log y. Ma essendo ilprodotto xy positivo, anch’esso ha un logaritmo: dunquela (1) implica

log xy = log x+ log y.

Quest’ultima relazione esprime il fatto che, operando suilogaritmi, l’operazione di moltiplicazione si riduce a un’ad-dizione.


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoEsercizi sulla retta Esercizi

1) Trovare l’equazione della retta di coefficiente angola-re −2 che interseca l’asse x nel punto di ascissa −1.

2) Disegnare le rette di equazione x = 3, x = 0, x = −6,y = −2, y = 0, y = 105, y = π

2− x, y = x, y = x− 1.

3) Trovare le coordinate dei punti di intersezione tra laretta di equazione y = 3− x/2 e gli assi cartesiani.

4) Calcolare il rapporto f(x)−f(x0)x−x0

(detto rapporto incre-

mentale) ponendo f(x) = 6x+ 3, x = 106, x0 =√37.

5) Trovare il coefficiente angolare della retta r passanteper i punti di coordinate (−1, 7) e (2, 6).

6) Tovare l’ordinata del punto di intersezione della ret-ta r dell’esercizio precedente con l’asse y.

7) Determinare due costanti a e b tali che l’uguaglianza3x2 = ax+ b sussista per ogni x reale. Non esistonodue costanti aventi tale proprieta. Esistono infinitepossibili scelte di a e b. Esiste un’unica soluzionedel problema, che e a = b =

8) Indicato con P il punto di coordinate (0, 4) e con Q ilpunto di coordinate (3, 0), trovare le coordinate (x, y)di un punto R, diverso dall’origine, in modo tale cheil triangolo PQR sia simile al triangolo PQO. Que-sto problema non ha soluzione. Una soluzione delproblema e: x = , y = e ne esistono anchealtre. Questo problema ha un’unica soluzione, chee: x = , y =

Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoEsercizi sulla circonf. Esercizi

1) Trovare la distanza del punto di coordinate (3, 4) dal-l’origine (suggerimento: si puo usare il teorema di Pi-tagora).

2) Stabilire se il punto di coordinate (1, 2) appartiene alcerchio centrato nell’origine e di raggio 3.

3) Disegnare il luogo dei punti del piano cartesiano le cuicoordinate (x, y) soddisfano l’equazione x2 + y2 = 4.

4) Indicata con γ la circonferenza centrata nell’origine edi raggio 1, determinare le equazioni delle rette tan-genti a γ nei punti di coordinate (0, 1), (1, 0), (1/

√2,

1/√2), (−1/2,

√3/2).

5) Consideriamo un numero x tale che −1 < x < 1.Determinare un numero reale y tale che il punto dicoordinate (x, y) appartenga alla circonferenza γ del-l’esercizio precedente. Questo problema non ha so-luzione. Questo problema ha un’unica soluzione,che e y = Questo problema ha esattamentedue soluzioni, che sono y1 = e y2 =

6) Consideriamo un esagono regolare di lato ℓ = 17.353.Calcolare il rapporto tra il perimetro dell’esagono e ilraggio del cerchio cicoscritto.

7) Consideriamo due poligoni regolari aventi 367 lati cia-scuno. Supponiamo che i raggi dei rispettivi cerchicircoscritti siano r1 = 22 e r2 = 41. Indicati con p1e p2 i perimetri dei due poligoni, calcolare la differenzap1/r1 − p2/r2.


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoOrigini e definizione Successioni

Definizione. Si chiama successione numerica unafunzione a valori reali avente per dominio l’insieme dei nu-meri naturali, solitamente indicata con an = f(n) (vedere[1, §4, pag. 34]).

Intuitivamente, una successione numerica e costituitada infiniti numeri (interi o decimali, positivi o negativi),elencati uno dopo l’altro.

Storicamente, uno dei primi esempi di successione nu-merica e costituito dalla successione delle aree dei poligoniregolari inscritti in un cerchio dato. Il valore di alcuni ter-mini di questa successione fu calcolato da Archimede diSiracusa, nel terzo secolo a.C., per ottenere un’approssi-mazione dell’area del cerchio.

Espresso in termini moderni, il risultato di Archimedeimplica che le prime cifre del numero che oggi indichiamocon π sono: 3,14

Ai matematici babilonesi si attribuisce l’invenzione diun metodo per costruire una successione numerica utile perapprossimare la radice quadrata di 2 (vedere [1, Esempio(I.8), pag. 36]). A sua volta la radice di 2 permette diricavare la diagonale del quadrato a partire dal lato.

Definizione di limite finito [1, Definizione (I.5), pa-gina 35]. Dati una successione (an) ed un numero reale x,si dice che x e il limite di an, o che an tende ad x, se ledisuguaglianze

− ε < an − x < ε (2)

sono soddisfatte da tutti i termini della successione salvotuttalpiu un numero finito di essi, comunque si scelga ilparametro ε > 0. In tal caso la successione si dice conver-gente, e si scrive

limn→+∞

an = x.

Esempio 1. La successione an = 1/n, i cui primi terminisono: 1, 1/2, 1/3, . . . converge a zero. Infatti le disugua-glianze −ε < 1/n < ε sono soddisfatte per ogni n > 1/ε.

Limite infinito [1, Definizione (I.14), pag. 40]: se ladisuguaglianza

an > M

vale per tutti i termini della successione salvo tuttalpiu unnumero finito di essi, comunque si scelga il parametro M ∈R, si dice che an e divergente o che tende all’infinito, e siscrive

limn→+∞

an = +∞.

Se invece risulta

an < M

per tutti i termini della successione salvo tuttalpiu un nu-mero finito di essi, comunque si scelga il parametroM ∈ R,si dice ancora che an e divergente, e si scrive

limn→+∞

an = −∞.

Esempio 2. La successione dei numeri naturali: 0, 1, 2,. . . diverge a +∞, mentre la successione dei loro opposti(0, −1, −2, . . . ) diverge a −∞.


Successioni irregolari o indeterminate [1, pag. 41,prime righe]. Le successioni che non soddisfano nessunadelle definizioni di limite sopra richiamate si dicono irre-golari o indeterminate.

Esempio 3. La successione i cui termini sono 1, −1, 1,−1, . . . non ammette limite.

L’avverbio “definitivamente”. Per brevita, unadisuguaglianza che sussiste per tutti i termini di una datasuccessione salvo tuttalpiu un numero finito di essi si diceche vale definitivamente.

Successioni costanti. E legittimo considerare suc-cessioni i cui termini hanno tutti quanti lo stesso valore,come ad esempio 1, 1, 1, . . . Tali successioni risultano con-vergenti ed il loro limite e il comune valore dei loro termini:infatti le disuguaglianze (2) si riducono a −ε < 0 < ε, dun-que sono soddisfatte.



Valore assoluto Valore assoluto

Si definisce valore assoluto di un numero x ∈ R la quantitaindicata con |x| e data da (cfr. [1, pag. 35, nota a margine])

|x| =

x, se x ≥ 0;

−x, se x < 0.

Le principali proprieta del valore assoluto sono le seguenti.1. Risulta |x| ≥ 0 per ogni x ∈ R, e l’ugaglianza |x| =

0 vale se e solo se x = 0.2. Risulta |x| = |−x| per ogni x ∈ R (proprieta di

simmetria).3. Per ogni x, y ∈ R vale la disuguaglianza

|x− y| ≤ |x|+ |y|, (3)

detta disuguaglianza triangolare. Sostituendo z = −y,la (3) si puo equivalentemente scrivere (cfr. [1, esercizio1 (a), pag. 70]):

|x+ z| ≤ |x|+ |z|.

Per verificare la (3), dato che entrambi i membri sono nonnegativi, e sufficiente verificare che

|x− y|2 ≤(|x|+ |y|

)2.

Svolgendo i quadrati, tenendo presente che |z|2 = z perogni z ∈ R, l’ultima disuguaglianza si riduce a −xy ≤|x| |y|, la cui correttezza si riconosce immediatamente. Aquesto proposito si noti che |x| |y| = |xy| per ogni x, y ∈ R.

Utilita del valore assoluto. Il valore assoluto si pre-sta a notevoli applicazioni, in algebra, in geometria anali-tica e nella teoria dei limiti.

1. In algebra, usando il valore assoluto si puo scrive-re

√x2 = |x| per ogni x ∈ R. Si noti che l’uguaglianza√

x2 = x sussiste se e solo se x ≥ 0, dunque e sbagliatoscrivere

√x2 = x per x < 0. In questo errore si rischia di

cadere perche con un’espressione letterale non precedutadal segno − (meno) si puo benissimo indicare una quan-tita negativa.

2. In geometria analitica il valore assoluto consentedi esprimere la distanza tra due punti di ascissa x1 e x2

sull’asse delle x mediante la formula dist(x1, x2) = |x1 −x2|, indipendentemente dal fatto che x1 sia piu grande opiu piccolo di x2.

3. Nella definizione di limite, usando il valore assolutole due disuguaglianze (2) si riducono a

|an − x| < ε (4)

e percio possono essere sostituite da una sola disuguaglian-za [1, pag. 45, nota a margine].



Notazione Notazione

Essendo materialmente impossibile scrivere uno peruno tutti i termini di una successione, si ricorre principal-mente alle tre tecniche appresso descritte per individuareuna particolare successione.

1. Scrivere un’espressione letterale contenente la varia-bile n (oppure i, o anche j, o k, eccetera). A tale variabilevanno sostituiti i numeri naturali se si vogliono ricostruirei termini della successione considerata. Questa e la tecnicautilizzata piu frequentemente.

Attenzione: non si confonda la ricerca del limite di unasuccessione, definito nelle pagine precedenti, con la ma-nipolazione suggestiva dell’espressione letterale usata perrappresentare la successione stessa.

Per evitare di cadere in questo errore puo essere utilela tecnica seguente.

2. Scrivere alcuni termini iniziali della successione, se-guiti dai puntini sospensivi. Esempio:

0, 1, 2, 3, . . .

Questa tecnica si fonda sull’aspettativa che chi legge sia ingrado di ricostruire i termini successivi.

3. Definizione ricorsiva: si scrive esplicitamente il ter-mine a0, e poi si spiega come ottenere an+1 da an. Esempio:ponendo a0 = 1 e specificando che an+1 = (n + 1) an perogni n = 0, 1, 2, . . . si definisce la successione dei fattoriali,indicata con l’ausilio del punto esclamativo: an = n! (cfr.[1, esercizio 30, pag. 72]).

Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoTeoremi sui limiti Teoremi sui limiti

Teorema della permanenza del segno (cfr. [1, eser-cizio 12, pag. 71]). Se una successione an converge ad unlimite x > 0, oppure diverge a +∞, allora risulta an > 0definitivamente.

Corollario 1. Se i termini di una data successione (an)soddisfano tutti la disuguaglianza an ≥ 0, allora l’even-tuale limite x della successione soddisfa la disuguaglianzax ≥ 0.

Corollario 2. Se i termini di una data successione (an)soddisfano tutti la disuguaglianza an > 0, allora l’even-tuale limite x della successione soddisfa la disuguaglianzax ≥ 0.

Teorema del confronto [1, Proposizione (I.18), pa-gina 45]. L’enunciato si articola in due parti. Prima parte:serve per trovare il limite di una successione (bn) conoscen-do il limite di due particolari successioni (an) e (cn) sottole seguenti ipotesi:

an ≤ bn ≤ cn definitivamente, e

limn→+∞

an = limn→+∞

cn.

Sotto tali ipotesi si dimostra che

limn→+∞

bn = limn→+∞

an.

Seconda parte: sapendo che la successione (an) diverge a+∞, e che an ≤ bn definitivamente, si puo concludere cheanche bn diverge a +∞ senza bisogno di una terza succes-sione (cn).


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoOperazioni sui limiti Operaz. sui limiti

1. Limite di una somma [1, Proprieta (I.9), pag. 45].Se due successioni (an) e (bn) convergono rispettivamen-te ai numeri a e b, allora la successione delle somme cn= an + bn converge ad a + b, e quella delle differenzedn = an − bn converge ad a− b.

Definizione. Si dice che una successione numerica(an) e limitata superiormente se esiste una costante C taleche an ≤ C per ogni n ∈ N.

Osservazione. Se esiste una costante C avente la pro-prieta di cui sopra, allora anche le costanti C +1, C +0,1,C + 3 eccetera hanno la stessa proprieta. Tutte le costan-ti aventi la suddetta proprieta si dicono maggioranti dellasuccessione.

Successioni limitate. Si dice che una successione nu-merica (an) e limitata inferiormente se esiste una costantec tale che c ≤ an per ogni n ∈ N. Le eventuali costanti csoddisfacenti tale disuguaglianza per ogni n ∈ N si dico-no minoranti della successione. Le successioni limitate siasuperiormente che inferiormente si dicono limitate.

Nesso tra limitatezza e convergenza. Non tut-te le successioni limitate ammettono limite: si pensi, adesempio. alla successione (−1)n che e limitata e non am-mette limite. Si puo dimostrare che tutte le successioni cheammettono limite finito sono limitate. Infatti, se

limn→+∞

an = x ∈ R

vuol dire che le disuguaglianze (2) valgono definitivamente,comunque si prenda il valore del parametro ε > 0. Pren-dendo, per semplicita, ε = 1, si ottiene

x− 1 < an < x+ 1

definitivamente. Cio significa che gli eventuali termini chenon soddisfano le due disuguaglianze qui sopra sono in nu-mero finito. Ma allora esiste un’opportuna costante C taleche |an| ≤ C per tutti gli n ∈ N, come volevasi dimostrare.

1 bis. Se la successione (an) diverge a +∞, e se (bn)e limitata, allora la successione delle somme cn = an + bne quella delle differenze dn = an − bn divergono entrambea +∞.

1 ter. Se entrambe le successioni (an) e (bn) divergonoa +∞, allora anche la successione delle somme cn = an+bndiverge a +∞.

Infatti, qualunque siaM ∈ R, per la definizione di limi-te infinito e per l’ipotesi che an, bn → +∞ risulta an > |M |e bn > |M | definitivamente. Sommando termine a terminele due disuguaglianze precedenti si trova

cn > 2 |M | ≥ |M | ≥ M

definitivamente, e la tesi segue dalla definizione di limiteinfinito.

La congiunzione “infatti”. La congiunzione “infat-ti” viene spesso utilizzata per introdurre la dimostrazionedi una tesi appena enunciata (vedi sopra).


2. Limite di un prodotto [1, Proprieta (I.9), pagi-na 45]. Se due successioni (an) e (bn) convergono rispetti-vamente ai numeri a e b, allora la successione dei prodottian bn converge ad ab.

2 bis. Se la successione (an) diverge a +∞, e bn con-verge ad un numero reale b 6= 0, allora il prodotto an bndiverge a ∞ con il segno di b.

2 ter. Se entrambe le successioni (an) e (bn) divergonoa +∞ il prodotto an bn diverge a +∞.

3. Limite di un rapporto (cfr. [1, Proprieta (I.9),pagina 45]). Se due successioni (an) e (bn) convergono ri-spettivamente ai numeri a e b, e se b e diverso da zero, al-lora la successione dei rapporti an/bn converge al rapportoa/b. Si noti che dall’ipotesi che b 6= 0 segue, mediante ilteorema della permanenza del segno, che bn 6= 0 definitiva-mente, e quindi i rapporti an/bn sono ben definiti almenoda un certo punto in poi.

3 bis. Se la successione (an) e limitata, e bb → +∞,allora

limn→+∞

anbn

= 0.

Infatti per ipotesi si ha |an| ≤ C per ogni n ∈ N. Allora,scelto arbitrariamente ε > 0, l’ipotesi che bn diverga a +∞garantisce che

bn >C

ε

definitivamente. Ma allora |an|/bn < ε definitivamente, ela tesi segue dalla definizione di limite (vedere (4)).


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoDisug. di Bernoulli Dis. di Bernoulli

Per ogni numero reale a ≥ 0 ed ogni intero n ≥ 0 si ha

an ≥ 1 + (a− 1)n. (5)

Tale disuguaglianza, detta talvolta disuguaglianza di Ber-noulli, si puo dimostrare facilmente per induzione proce-dendo come segue.

1. Base dell’induzione. Si verifica che la (5) sussistenel caso particolare n = 0 effettuando direttamente la so-stituzione: si ottiene 1 sia al primo membro che al secondo,dunque la disuguaglianza e verificata.

2. Passo induttivo: ammesso di essere arrivati a di-mostrare la (5) per un particolare valore di n (ipotesi in-duttiva), verifichiamo che essa continua a sussistere per ilvalore successivo: verifichiamo cioe che

an+1 ≥ 1 + (a− 1) (n+ 1). (6)

A tal fine, usando la (5) e l’ipotesi a ≥ 0, scriviamo

an+1 = a an ≥ a (1 + (a− 1)n)

da cui segue che

an+1 ≥ a+ a2 n− an = a+ (a− 1)2 n+ an− n.

Trascurando il termine (a− 1)2 n, che e maggiore o ugualea zero, otteniamo

an+1 ≥ a+ an− n = 1 + (a− 1) (n+ 1),

e cioe la (6).3. Conclusione: per il principio di induzione matema-

tica, si conclude che la (5) vale per ogni intero n ≥ 0.

Corollario. Verifichiamo che per ogni numero realeb ≥ 0 e per ogni intero n ≥ 1 si ha [1, (I.7), pag. 64]

b1n ≤ 1 +

b− 1

n. (7)

A tal fine basta sostituire nella (5)

a = 1 +b− 1

n≥ 0

cosicche si ottiene(

1 +b− 1

n

)n

≥ b.

Prendendo la radice ennesima di ambo i membri, che so-no non negativi, la disuguaglianza si conserva, e si giungealla (7).


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoLimiti di potenze Limiti di potenze

Limiti di potenze. Per verificare che per ogni a > 1risulta

limn→+∞

an = +∞

basta applicare la (5). Consideriamo adesso un numero c ∈(0, 1) e poniamo a = 1

c> 1. Essendo cn = 1

an, e sapendo

che an → +∞, si ricava

limn→+∞

cn = 0. (8)

Ora indichiamo con b un numero reale maggiore di 1, co-sicche b

1n > 1. Usando la (7) ed il teorema del confronto,

si conclude chelim

n→+∞b

1n = 1.

Infine, preso c ∈ (0, 1), e posto b = 1c> 1, dal risultato

precdente si ricava

limn→+∞

c1n = 1.

Piu in generale si puo dimostrare quanto segue.1. Se (an) e (bn) sono due successioni convergenti ri-

spettivamente ad a e b, con a > 0, allora la successionedelle potenze abnn converge ad ab [1, (I.19), pag. 45].

2. Se an → a > 1, e se bn → +∞, allora abnn → +∞.3. Se an → a ∈ (0, 1), e se bn → +∞, allora abnn → 0.

Le formule precedenti si possono vedere come casi partico-lari, validi quando la base e costante, di questi ultimi e piugenerali enunciati.

Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoIl numero di Nepero Il numero e

Una delle diverse (ma equivalenti) definizioni del nu-mero di Nepero e (detto all’estero numero di Eulero) e laseguente:

Definizione del numero di Nepero.

e = limn→+∞

(

1 +1

n

)n

. (9)

Affinche la definizione sia ben posta, occorre sapere chela successione che figura nella (9) ammette limite. Questodiscende dal fatto che essa e monotona (strettamente cre-scente) e limitata, e da una notevole proprieta dell’insiemedei numeri reali, detta completezza:

Proprieta di completezza di R. Ogni successione mo-notona e limitata ammette limite finito.

Una dimostrazione della monotonia della successione (1 +1/n)n si puo trovare, ad esempio, in [8, Teorema 3.7, pagi-na 192]. Per una discussione della proprieta di completezzasi veda [1, pag. 44].

Osserviamo che anche altri numeri, di uso piu comunedi e, si definiscono come limiti di successioni, come mostrail seguente esempio.

Esempio 4. Un altro numero definito mediante unlimite. Una celebre successione convergente a

√2 , ispira-

ta alla matematica babilonese, e esaminata in [1, Esempio(I.8), pagina 36]. Descriviamo qui di seguito una costru-zione alternativa, basata sul cosiddetto metodo di bise-zione. Si considera l’intervallo (a0, b0) = (1, 2), al quale


√2 deve (se esiste) appartenere, e lo si suddivide a meta

tramite il punto c0 = (a0 + b0)/2 = 1,5. Verificato chec20 > 2 (il che non richiede di calcolare radici quadrate,ma solo di fare una moltiplicazione), consideriamo l’inter-vallo (a1, b1) = (a0, c0) e suddividiamolo di nuovo a metatramite il punto c1 = (a1 + b1)/2 = 1,25. Stavolta tro-viamo c21 < 2, e percio andiamo a considerare l’intervallo(a2, b2) = (c1, b1). Procedendo in tal modo si definisconodue successioni monotone e limitate (an)n∈N e (bn)n∈N , cheper la completezza di R ammettono limite. Anzi, ammet-tono lo stesso limite perche bn − an = 2−n → 0. Indicatoper il momento con ℓ tale limite, resta da verificare cheℓ2 = 2. A tal fine, cominciamo con l’osservare che, per lamonotonia di an e bn, si ha an < ℓ < bn per ogni n. Dun-que, elevando al quadrato i tre termini di questa catena didisuguaglianze (termini che sono positivi) troviamo

a2n < ℓ2 < b2n (10)

D’altra parte, anche le successioni a2n e b2n sono monotone elimitate, ed ammettono uno stesso limite perche b2n− a2n =(an+ bn)(an− bn) → 0. Poiche, per costruzione, si ha a2n <2 < b2n, segue che a

2n, b

2n → 2. A questo punto, richiamando

la (10) si deduce che ℓ2 = 2. Dunque la radice quadratadi 2 si puo definire come il limite delle successioni (an)n∈Ne (bn)n∈N costruite come sopra.

Conseguenze della (9). Tornando al numero di Nepero,osserviamo che

(

1 +1

n

)n+1

=

(

1 +1

n

)n (

1 +1

n

)

,

e quindi anche questa successione tende ad e. Volendo con-siderare valori negativi di n, poniamo n = −k con k > 1,

ed osserviamo che(

1 +1

−k

)−k

=

(k

k − 1

)k

=

(

1 +1

k − 1

)k

Ponendo m = k − 1 si trova, infine,

=

(

1 +1

m

)m+1

→ e,

Dunque

limn→−∞

(

1 +1

n

)n

= e.

Si puo anche verificare che

limx→+∞

(

1 +1

x

)x

= e, (11)

dove x varia nell’insieme dei numeri reali. Cio non e deltutto immediato, come mostra il seguente esempio.

Esempio 5. Confronto tra senπn e senπx. Consi-deriamo la successione sen πn. Si ha che sen πn → 0 pern → +∞ perche tale successione e identicamente nulla. In-vece, la funzione sen πx non ammette limite per x → +∞.

Dimostrazione della (11). Per dimostrare la (11), os-serviamo che per ogni x ∈ R si ha [x] ≤ x < [x] + 1, dove[x] denota la parte intera di x. Dunque per ogni x ≥ 1 siha

(

1 +1

[x] + 1

)[x]

<

(

1 +1

x

)x

<

(

1 +1

[x]

)[x]+1

e la tesi segue dalle considerazioni precedenti. Similmentesi dimostra che

limx→−∞

(

1 +1

x

)x

= e.


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoEsercizi sui limiti Esercizi

1) Calcolare i primi tre termini delle seguenti successioni:

an =1

nbn =

(−1)n

ncn =

2n

n+ 1

2) Stabilire se le successioni dell’esercizio 1 sono mono-tone.

3) Stabilire se le successioni dell’esercizio 1 ammettonolimite. In caso affermativo, determinarlo.

4) Posto dn =2n

n, calcolare il limite lim

n→+∞

dn+1

dn

5) Ammettiamo per assurdo che il limite di dn per n →+∞ sia un numero reale ℓ > 0. Calcolare sotto questaipotesi il limite dell’esercizio precedente.

6) Verificare che la successione dei dn dell’esercizio 4 emonotona, e calcolare il limite lim

n→+∞dn

7) Indicata con [x] la parte intera di x, e cioe il piu gran-de intero non superiore a x, disegnare il grafico dellafunzione y = [x].

8) Stabilire per quali valori positivi della variabile x ri-

sulta2x

x≥ 2[x]

[x] + 1e calcolare il limite lim

x→+∞

2x

x


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoCoefficienti binomiali Il simbolo

(nk

)

Il simbolo(nk

), che si legge “enne sopra cappa”, si puo

definire in diversi modi equivalenti, che corrispondono adiverse sue applicazioni.

Definizione implicita: si dicono coefficienti binomia-li i coefficienti, indicati con

(nk

), che figurano nella seguente

espressione della potenza n-esima del binomio a + b (for-mula di Newton)

(a+ b)n =n∑

k=0

(n

k

)

ak bn−k, (12)

dove n e un numero naturale arbitrario. Questa definizionee implicita perche individua

(nk

)senza darne direttamente

il valore. Applicando tale definizione, cerchiamo ora un’e-spressione esplicita dei coefficienti binomiali.

Esempio 6. Quadrato di un binomio. Partendo dal-l’uguaglianza (a + b)2 = (a + b) (a + b), e applicando laproprieta distributiva, si trova (a+ b)2 = a2+ ab+ ba+ b2.Dunque la (12) e verificata nel caso n = 2 con i seguenticoefficienti:

(2

0

)

= 1,

(2

1

)

= 2,

(2

2

)

= 1.

Determinazione combinatoria dei coefficienti bino-miali. Per ricavare i coefficienti binomiali per ogni interon ≥ 1 e k = 0, . . . , n, procediamo in modo analogo.

Cominciamo con l’osservare che

(a+ b)n = (a+ b) · · · · · (a+ b)︸︷︷︸

n volte

. (13)

Svolgendo il prodotto con la proprieta distributiva si ottie-ne la somma di 2n termini, ciascuno dei quali e il prodottodi n lettere, che possono essere a o b, ciascuna delle quali,a sua volta, proviene da uno degli n fattori (a+b) che figu-rano nella (13). Pertanto, il termine generale della sommasi puo scrivere come ℓ1 · · · · · ℓn, dove ogni lettera ℓi, peri = 1, . . . , n, e una a o una b.

Alcuni dei termini suddetti si possono sommare tra lo-ro: a tal fine, occorre e basta che contengano uno stessonumero di lettere a : il coefficiente

(nk

)e il numero di quei

termini che contengono k volte la lettera a. Per contarli,procediamo come segue. Per k = 0 si ha un unico termine,e cioe b · . . . · b = bn. Di conseguenza

(n

0

)

= 1.

Se, invece, k > 1, immaginiamo per un attimo di distin-guere le k lettere a all’interno del termine ℓ1 · · · · · ℓn, e diindicarle con a1, . . . , ak. La a1 puo provenire da uno qua-lunque degli n fattori (a+ b) che figurano nella (13). La a2puo provenire da uno qualunque degli n− 1 fattori (a+ b)diversi da quello di prima, e cosı via. Infine, la ak puoprovenire da uno qualunque degli n− k + 1 fattori (a+ b)diversi dai precedenti. I termini che contengono k volte lalettera a sarebbero dunque, in base a questo ragionamento,

Dn,k = n (n− 1) · . . . · (n− k + 1). (14)


Cosı facendo, tuttavia, abbiamo contato k! volte ciascuntermine: per esempio, il termine

a · a · b · . . . · b︸︷︷︸

n−2 volte

,

che compare quando si prende la a dai primi due fattori(a+ b) al secondo membro della (13), e la b dagli altri fat-tori, e stato contato due volte: una prima volta quandoabbiamo indicato con a1 la a del primo fattore e con a2quella del secondo, ed una seconda volta quando abbia-mo indicato con a1 la a presa dal secondo fattore e con a2quella presa dal primo.

L’espressione (14) va percio divisa per il numero dellepermutazioni delle k lettere a, che e k!. Si trova dunque(n

k

)

=n (n− 1) · . . . · (n− k + 1)

k!per k = 1, . . . , n.

Definizione esplicita: per ogni x ∈ R ed ogni intero k≥ 0 si pone

(x

k

)

=

1, se k = 0,

x (x−1) ...(x−k+1)k!

se k ≥ 1.

Nel caso particolare in cui x = n ∈ N e k ∈ 1, . . . , n risulta

n (n− 1) . . . (n− k + 1) =n!

(n− k)!,

dunque si puo scrivere [1, esercizio 30, pag. 72]:(n

k

)

=n!

k! (n− k)!. (15)

Per sostituzione diretta del valore k = 0 si verifica chequest’ultima espressione resta valida anche in tale caso.

Proprieta dei coefficienti binomiali. Ci concentriamosul caso in cui x = n ∈ N e k ∈ 0, . . . , n . Cominciamocon l’osservare che, se k ≥ 1, il prodotto Dn,k al secondomembro della (14) contiene esattamente k fattori. Per pro-seguire, osserviamo che dalla (15) segue immediatamenteche per ogni n ∈ N risulta

(n

0

)

=

(n

n

)

= 1 (16)

come pure (n

k

)

=

(n

n− k

)

qualunque sia k ∈ 0, . . . , n . Ancora mediante la (15) sidimostra la proprieta principale dei coefficienti binomiali:per ogni intero n ≥ 1 ed ogni k ∈ 1, . . . , n risulta

(n

k − 1

)

+

(n

k

)

=

(n+ 1

k

)

. (17)

Triangolo di Tartaglia. La proprieta (17), insieme al-le (16), consente di calcolare ricorsivamente i coefficientibinomiali disponendoli in uno schema chiamato triangolodi Tartaglia in onore di Niccolo Fontana (1506–1557) dettoTartaglia.

(00

)

(10

) (10

)

(20

) (21

) (22

)

(30

) (31

) (32

) (33

)

(40

) (41

) (42

) (43

) (44

)

· · ·La figura mostra una porzione del triangolo di Tartaglia. Inevidenza tre coefficienti legati fra loro dalla rerlazione (17).


Verifica induttiva della formula di Newton. Aven-do definito direttamente i coefficienti binomiali tramitela (15), resta da dimostrare la validita della formula (12).Cio puo farsi per induzione, procedendo come segue [1,esercizio 31, pag. 72] .

1. Base dell’induzione. Verifichiamo che la formula (12)vale nel caso particolare n = 1. Effettuando la sostituzio-ne, il primo membro si riduce a (a+ b)1 = a+ b, mentre ilsecondo membro diventa

1∑

k=0

(1

k

)

ak b0−k = b+ a,

dunque l’uguaglianza e verificata.

2. Passo induttivo. Ammettiamo di essere arrivati a di-mostrare la (12) per un particolare valore di n (ipotesiinduttiva), e vediamo se risulta

(a+ b)n+1 =n+1∑

k=0

(n+ 1

k

)

ak bn−k. (18)

A tal fine, scriviamo

(a+ b)n+1 = (a+ b) (a+ b)n = (a+ b)n∑

k=0

(n

k

)

ak bn−k.

Applicando la proprieta distributiva, si ottiene

(a+ b)n+1 =n∑

k=0

(n

k

)

ak+1 bn−k +n∑

k=0

(n

k

)

ak bn+1−k.

Scorporando il primo addendo (k = 0), la seconda somma-toria si puo riscrivere come segue:

n∑

k=0

(n

k

)

ak bn+1−k = bn+1 +n∑

k=1

(n

k

)

ak bn+1−k.

L’altra sommatoria, invece, posto j = k + 1 diventa:

n∑

k=0

(n

k

)

ak+1 bn−k =n+1∑

j=1

(n

j − 1

)

aj bn+1−j

=n∑

j=1

(n

j − 1

)

aj bn+1−j + an+1,

dunque possiamo scrivere

(a+ b)n+1 = bn+1 +n∑

k=1

(n

k

)

ak bn+1−k

+n∑

j=1

(n

j − 1

)

aj bn+1−j + an+1.

Scrivendo k al posto dell’indice di somma j (che e un in-dice muto), e utilizzando la proprieta (17) dei coefficientibinomiali, otteniamo

(a+ b)n+1 = bn+1 +n∑

k=1

(n+ 1

k

)

ak bn+1−k + an+1.

Portando all’interno della sommatoria i termini bn+1 edan+1, che corrispondono ai valori k = 0 e k = n+1 dell’indi-ce di somma, otteniamo la (18), come volevasi dimostrare.

3. Conclusione: per il principio di induzione matematica,si conclude che la (12) vale per ogni intero n ≥ 1, mentreil caso n = 0 si verifica per sostituzione.

Corollario: ponendo a = b = 1 nella (12) si ricava un’ul-teriore proprieta dei coefficienti binomiali:

n∑

k=0

(n

k

)

= 2n.


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoEsercizi coeff. bin. 1 Esercizi

Definiamo i coefficienti binomiali(nk

)come quei numeri in-

teri tali che, qualunque siano i numeri reali a, b ed il numeronaturale n, valga la seguente uguaglianza:

(a+ b)n =n∑

k=0

(n

k

)

ak bn−k. (19)

1) Trovare tre numeri(20

),(21

)e(22

)che soddisfano la (19)

con n = 2.

2) Consideriamo tre oggetti distinti a1, a2 e a3. Scrivereper esteso tutte le permutazioni dell’insieme a1, a2,a3 .

3) Scrivere per esteso tutte le combinazioni che si posso-no ottenere prendendo due elementi a piacere (diversifra loro) dall’insieme precedente.

4) Verificare che(n2

)= n (n − 1)/2. Suggerimento: con-

frontare la (19) con la seguente uguaglianza:

(a+ b)n = (a+ b) · · · · · (a+ b)︸︷︷︸

n volte

.

Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoEsercizi coeff. bin. 2 Esercizi

1) Verificare l’uguaglianzan∑

k=0

(nk

)an−k bk =

n∑

k=0

(nk

)ak

bn−k. Suggerimento: sviluppare (x + y)n con la for-mula di Newton, e poi prendere x e y uguali a. . .

2) Verificare l’uguaglianza(nk

)=

(n

n−k

), dove n e un in-

tero positivo e k un intero appartenente all’intervallo[0, n]. Suggerimento: sfruttare l’esercizio precedente,usando come indice di somma la variabile h = n− k.

3) Determinare due numeri reali m e q tali che (1+x)100

≈ mx+ q, per x vicino a 0.

4) Determinare tre numeri reali a0, a1, a2 tali che (1 +x)100 = a0 + a1 x+ a2 x

2 + o(x2), per x vicino a 0.

5) Svolgere il prodotto (a + b)3 usando la proprieta di-stributiva, ma non quella commutativa. Fra gli 8 ter-mini cosı ottenuti, contare quelli che contengono esat-tamente due b.

6) Immaginiamo di svolgere il prodotto (a+ b)100 usandola proprieta distributiva, ma non quella commutativa.Fra i 2100 termini che si otterrebbero, stabilire quantisono quelli che contengono esattamente due b. Comesi potrebbe procedere per scriverli per esteso?

7) E possibile trovare dei coefficienti cn,k, diversi da(nk

),

tali che (a+ b)n =∑n

k=0 cn,k an−k bk ?


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoSerie numeriche Serie numeriche

Motivazioni. Talvolta si e costretti, per la difficoltadel problema considerato, a ripiegare su di una soluzioneapprossimata. Questo capita, ad esempio, quando si devecalcolare il valore numerico di π. Le serie consentono diesprimere rigorosamente certe approssimazioni.

Ad esempio, il calcolo di π e da secoli oggetto di studiapprofonditi. In particolare, si attribuisce a Leibniz (1674)la scoperta che

π

4=

+∞∑

k=0

(−1)k

2k + 1.

Nel 1997, invece, e stata scoperta la seguente formula:

π =+∞∑

k=0

1

16k

(4

8k + 1− 2

8k + 4− 1

8k + 5− 2

8k + 6

)

.

Ulteriori informazioni su questa formula, e su altre formu-le simili, si possono trovare sulla rivista “Notices of theAmerican Mathematical Society” (agosto 2013, pag. 847).

La necessita di approssimare funzioni importanti comeex, log x, sen x, cos x, con dei polinomi (che si possono cal-colare mediante operazioni aritmetiche), e una motivazioneallo studio delle serie di funzioni.

Significato intuitivo. Intuitivamente, la somma diuna serie e la somma di infiniti termini. I termini da som-mare si possono indicare con la notazione ak, dove l’indicek varia nell’insieme N dei numeri naturali.

Definizione [1, Definizione (XII.3), pag. 423]. Per definirela somma della serie

+∞∑

k=0

ak (20)

si considera la successione delle somme parziali Sn, detteanche “somme ridotte”, date da

Sn =n∑

k=0

ak

e si procede come segue. Se esiste finito il limite

limn→+∞

Sn (21)

si dice che la serie (20) e convergente, e la sua somma eil valore numerico del suddetto limite. Se, invece, il limi-te (21) e +∞ o −∞, si dice che la serie (20) e divergentea +∞ o a −∞. Se, infine, la successione delle somme ri-dotte Sn non ammette limite, si dice che la serie (20) eindeterminata.

L’errore tipico. Il tipico errore del principiante equello di confondere tra loro le due successioni coinvol-te nella definizione: quella dei termini da sommare ak, equella delle somme ridotte Sn.

Un’osservazione utile. Consideriamo una data seriei cui termini indichiamo con ak, e siano Sn le corrispondentisomme ridotte. Cambiando il valore del primo termine a0di una quantita δ0, e cioe sostituendo a0 con a0 + δ0, siottiene una nuova serie le cui somme ridotte sono date daSn + δ0. Ma allora il carattere della serie (cioe il fattoche essa sia convergente, divergente o indeterminata) nondipende dal valore numerico del primo termine.


http://www.ams.org/notices

Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoCondizione necessaria Cond. necessaria

Come ricavare an a partire da Sn. Partendo dal-l’uguaglianza Sn = a0 + · · · + an e sottraendo da essa l’u-guaglianza seguente: Sn−1 = a0 + · · ·+ an−1 si trova

Sn − Sn−1 = an. (22)

Dunque e possibile ritrovare gli addendi an conoscendo lesomme parziali Sn.

Una condizione necessaria per la convergenza [1,Teorema XII.24, pag. 428]. Condizione necessaria affinchela serie (20) converga, e che

limn→+∞

an = 0. (23)

Infatti, se per ipotesi risulta

limn→+∞

Sn = S ∈ R

allora si ha anche

limn→+∞

Sn−1 = S.

Di conseguenza, passando al limite nella (22), si ottienela (23), come volevasi dimostrare.

La suddetta condizione non e sufficiente affinche la se-rie considerata converga. Per dimostrarlo, basta esibireun controesempio, come quello costituito dalla cosiddettaserie armonica (vedere appresso).


Serie armonica Serie armonica

Definizione. Si chiama serie armonica la serie+∞∑

k=1

1

k.

La serie armonica e divergente perche [1, Esempio (XII.19)]

+∞∑

k=1

1

k= 1 +

1

2

+( 1

3+

1

4

)

+( 1

5+ . . .+

1

8

)

+( 1

9+ . . .+

1

16

)

+( 1

17+ . . .+

1

32

)

+ . . .

≥ 1 +1

2+

1

2+

1

2+ . . . = +∞.

La disuguaglianza sopra si ottiene osservando che

1

3+

1

4>

1

4+

1

4=

1

2;

1

5+ · · ·+ 1

8>

1

8+ · · ·+ 1

8=

1

2,

eccetera. Questa dimostrazione e attribuita a Nicola d’O-resme, vescovo di Lisieux (anno 1360) [7, vol. I, pag. 509].


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoSerie geometrica Serie geometrica

Definizione. Si chiama “serie geometrica” la serie incui ciascun termine (tranne il primo) si ottiene dal termineprecedente moltiplicandolo per un numero fisso detto “ra-gione” e indicato solitamente con la lettera q. L’espressionegenerale della serie geometrica e

+∞∑

k=0

a0 qk (24)

dove a0 e q possono avere un qualunque valore fissato. Inparticolare, se a0, q 6= 0, i termini ak = a0 q

k sono diversida zero e si constata che il rapporto tra due termini con-secutivi vale

ak+1

ak=

a0 qk+1

a0 qk= q.

La scelta della lettera q e dovuta al fatto che essa e l’ini-ziale della parola “quoziente”. Il termine “ragione” derivainvece dal latino “ratio”, cioe rapporto [1, pag. 424].

Somma ridotta della serie geometrica. Lo studioesauriente della serie geometrica e possibile grazie alla se-guente espressione della somma ridotta, valida per q 6= 1,la quale, secondo [7, vol. I, pag. 509], si ricava dagli Ele-menti di Euclide:

n∑

k=0

qk =1− qn+1

1− q. (25)

Per dimostrare la (25) basta moltiplicare ambo i membriper 1− q. Svolgendo il seguente prodotto:

(1− q)n∑

k=0

qk

con la proprieta distributiva, si trova infatti

(1− q)n∑

k=0

qk =n∑

k=0

qk −n∑

k=0

qk+1

= 1− qn+1.

Carattere della serie geometrica. Se il primo ter-mine a0 e nullo, sono nulli anche tutti gli altri termini.In tal caso, applicando la definizione, si trova che la seriegeometrica (24) converge e la sua somma e 0.

Se, invece, a0 6= 0, applicando la definizione si trovache il carattere della serie geometrica (24) e lo stesso dellaserie

+∞∑

k=0

qk. (26)

Ci concentriamo quindi su quest’ultima. Se q = 1, tuttii termini valgono 1 e la serie diverge a +∞. Se, invece,q 6= 1, possiamo usare la (25) ricordando che

limn→+∞

qn =

0, se q ∈ (−1, 1)

+∞ se q > 1

mentre il limite non esiste se q ≤ −1. Pertanto, se q ∈(−1, 1), la serie (26) converge e si ha

+∞∑

k=0

qk =1

1− q. (27)

Se, invece q ≥ 1, la serie (26) diverge a +∞. Se, infineq ≤ −1, la serie (26) e indeterminata.


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoAchille e la tartaruga Achille e la tart.

Achille corre con velocita costante vA verso una tarta-ruga, posta inizialmente ad una distanza d0 da lui. Latartaruga fugge con una velocita costante vT . EssendovT < vA, il rapporto q = vT/vA e minore di 1.

Achille percorre la distanza d0 impiegando il tempot0 = d0/vA. In tale lasso di tempo, la tartaruga percorrela distanza d1 = t0 vT , e cioe d1 = d0 q.

Successivamente Achille percorre la distanza d1 im-piegando il tempo t1 = d1/vA. In tale lasso di tem-po, la tartaruga percorre la distanza d2 = t1 vT , e cioed2 = d1 q = d0 q

2.Procedendo in questo modo, Achille percorre una suc-

cessione di distanze dk la cui espressione generale e dk =d0 q

k. Per la (27), la somma di tutte le distanze e

+∞∑

k=0

d0 qk = d0

+∞∑

k=0

qk =d0

1− q.

Il tempo necessario ad Achille per percorrere la distanzadk e

tk =dkvA

=d0vA

qk,

quindi la somma di tutti i tempi e

+∞∑

k=0

tk =d0vA

1

1− q=

d0vA − vT

.

Questo e, infatti, il tempo necessario ad Achille per rag-giungere la tartaruga [1, esercizio 42, pag. 456].

Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoConvergenza assoluta Converg. assoluta

Le serie a termini positivi [1, pag. 432] godono di unanotevole proprieta, espressa dal seguente teorema:

Teorema 1. Le serie i cui termini sono tutti positivi, o al-meno non negativi, non sono indeterminate: esse possonoessere convergenti o divergere a +∞.

Infatti, se an ≥ 0 per ogni n, dalla (22) si ricava Sn+1 ≥ Sn,dunque la successione delle somme ridotte e monotona nondecrescente. La proprieta piu importante (se proprio dob-biamo sceglierne una) dell’insieme dei numeri reali, che ela completezza, garantisce che tutte le successioni mono-tone ammettono limite (finito o infinito): da essa seguel’asserto.

Le serie a termini non negativi hanno un ruolo im-portante anche nello studio delle serie a termini di segnovariabile. Vediamo perche.

Definizione. Si dice che la serie (20) e assolutamenteconvergente se e convergente la serie a termini non negativi

+∞∑

k=0

|ak|.

Si puo dimostrare che la convergenza assoluta e una con-dizione sufficiente affinche la serie (20) converga [1, Propo-sizione (XII.41), pag. 438].

Per verificare che l’assoluta convergenza non e neces-saria per la convergenza semplice basta esibire un contro-esempio (vedere a pagina 30).


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoCriteri di convergenza Criteri di conv.

Criterio del confronto [1, (XII.32), pag. 433]. Serisulta 0 ≤ ak ≤ bk per ogni k, e se la serie

+∞∑

k=0

bk

e convergente, allora lo e anche la serie+∞∑

k=0

ak.

L’enunciato discende dalla definizione di somma di una se-rie, usando il teorema del confronto per i limiti, e tenendoconto del fatto che le serie a termini non negativi non sonoindeterminate.

Criterio del confronto asintotico [1, (XII.34), pa-gina 434]. Due serie i cui termini (positivi) ak e bk sono taliche il rapporto ak/bk ammette limite finito ℓ > 0 hanno lostesso carattere.

Cio segue dal criterio del confronto enunciato sopra.Infatti, per la definizione di limite, risulta ℓ

2bk < ak <

2 ℓ bk definitivamente, e percio le serie+∞∑

k=0

ℓ

2bk,

+∞∑

k=0

2 ℓ bk

hanno lo stesso carattere della serie+∞∑

k=0

ak.

Criterio del rapporto [1, (XII.36), pag. 435]. Con-sideriamo una serie i cui addendi ak siano tutti positivi.Condizione sufficiente affinche la serie converga e che il li-mite

limk→+∞

ak+1

ak(28)

esista e sia minore di 1. Condizione sufficiente affinche laserie diverga a +∞ e che il limite (28) esista e sia maggioredi 1 (anche +∞).

Criterio della radice [1, pag. 439]. Consideriamouna serie i cui addendi ak siano tutti non negativi. Condi-zione sufficiente affinche la serie converga e che il limite

limk→+∞

k√ak (29)

esista e sia minore di 1. Condizione sufficiente affinche laserie diverga a +∞ e che il limite (29) esista e sia maggioredi 1 (anche +∞).

Come dimostrare i criteri del rapporto e dellaradice. Osserviamo innanztutto che, se la serie conside-rata e una serie geometrica, e cioe se ak = a0 q

k, allora ilimiti (28) e (29) valgono entrambi q. Se, invece, la serieconsiderata non e geometrica, la si confronta con la seriegeometrica la cui ragione q e il limite (28) o (29). Se, infine,il limite (28) o (29) e maggiore di 1, la condizione necessa-ria per la convergenza non e soddisfatta, e la conclusionesegue immediatamente.


Controesempio. Data una serie i cui termini indi-cheremo con ak, e stabilito che il limite (28) o (29) vale 1,e troppo presto per trarre conclusioni sul carattere dellaserie.

Infatti se consideriamo ak = 1/k otteniamo la serie ar-monica, che e divergente, ed i limiti (28) e (29) valgonoproprio 1. D’altro canto, se poniamo ak = 1/(k (k + 1)),otteniamo la serie [1, (XII.6), pag. 444]

+∞∑

k=1

1

k (k + 1)(30)

la cui somma ridotta e

Sn =n∑

k=1

( 1

k− 1

k + 1

)

= 1− 1

n+ 1

e percio, per la definizione di convergenza, la serie (30)converge. Ebbene, anche in questo caso i limiti (28) e (29)valgono 1.

Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoSerie esponenziale Serie esponenz.

Una delle serie (di funzioni) piu importanti e la seriedi Maclaurin della funzione esponenziale ex, e cioe

+∞∑

k=0

xk

k!. (31)

Per ogni x ∈ R fissato, essa e una serie numerica il cuitermine generale ak e dato da

ak =xk

k!.

Nel caso particolare in cui x = 0, tutti i termini sono nullitranne a0 = 1, quindi la serie converge (anche assoluta-mente) e la sua somma vale 1. In questo caso si intendeche 00 = 1 per il motivo spiegato a pag. 37.

Nel caso x 6= 0 osserviamo che il rapporto fra due ter-mini consecutivi, presi in valore assoluto, e

|ak+1||ak|

=|x|k+1

(k + 1)!

k!

|x|k =|x|

k + 1.

Poiche il limite (28) in questo caso e nullo, la serie (31)converge assolutamente qualunque sia x ∈ R. Usando laformula di Taylor con il resto di Lagrange, si puo poi dimo-strare [1, Esempio (XII.20), pag. 427] che per ogni x ∈ R

vale l’uguaglianza+∞∑

k=0

xk

k!= ex.



Limiti notevoli Limiti notevoli

Avendo appena dimostrato che la serie (31) convergeper ogni x ∈ R, e ricordando che la condizione (23) e ne-cessaria per la convergenza, concludiamo che

limk→+∞

xk

k!= 0

qualunque sia x ∈ R. Per la definizione di limite nullo siha, quindi, che xk < εk! definitivamente, qualunque siaε > 0.

In particolare, per ogni x > 0 possiamo scrivere k√k! >

x/ k√ε definitivamente. Ma siccome k

√ε → 1 (pag. 15),

ed essendo x > 0 arbitrario, per la definizione di limiteinfinito possiamo scrivere

limk→+∞

k√k! = +∞ (32)

Lo stesso ragionamento si puo applicare alla serie a terminipositivi

+∞∑

k=0

k!

kk, (33)

il cui termine generale e ak = k!/kk. Il rapporto fra duetermini consecutivi e

(k + 1)!

(k + 1)k+1

kk

k!=

1

(1 + 1k)k

→ 1

e< 1,

quindi la serie (33) converge. Ricordando che la condizio-ne (23) e necessaria per la convergenza, concludiamo che

limk→+∞

k!

kk= 0.

Come ultima applicazione, consideriamo la serie

+∞∑

k=1

k

xk, (34)

dove x e un parametro maggiore di 1. Si tratta di una serieil cui termine generale ak e positivo ed e dato da

ak =k

xk.

Percio il rapporto fra due termini consecutivi soddisfa

ak+1

ak=

k + 1

xk+1

xk

k

=1

x

k + 1

k→ 1

x< 1,

e la serie (34) converge per il criterio del rapporto. Ricor-dando che la condizione (23) e necessaria per la convergen-za, concludiamo che

limk→+∞

k

xk= 0 se x > 1.

Per la definizione di limite nullo si ha, in particolare, chek/xk < 1 definitivamente, e cioe che k

√k < x definitiva-

mente. Poiche x > 1 e arbitrario, e poiche per la definizionedella radice k-esima si ha k

√k > 1 per ogni k > 1, dalla

definizione di limite finito segue che

limk→+∞

k√k = 1. (35)


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoLa forma indeterm. 00 Forma indet. 00

Nella teoria dei limiti delle successioni, come pure nellateoria dei limiti delle funzioni di una variabile reale (vederea pag. 37), si suole dire che

00 e una forma indeterminata.

Tale espressione non si riferisce, come si potrebbe erro-neamente pensare, all’operazione di elevamento a potenzadel numero zero, ma abbrevia un’affermazione ben precisa:esistono tre successioni (ak), (bk) e (ck), tutte e tre infini-tesime (cioe tendono a zero), tali che

limk→+∞

abkk 6= limk→+∞

cbkk .

Pertanto il limite di una successione della forma xykk , dove

xk, yk → 0, non e determinato dal solo fatto che xk, yk → 0ma dipende da quali sono le particolari successioni (xk) e(yk) considerate.

Per dimostrare tale affermazione basta prendere, adesempio, ak, bk = 1/k e ck = ck con un parametro c ∈ (0, 1),cosicche ck → 0 per la (8). Per il limite notevole (35), siha

limk→+∞

abkk = limk→+∞

1k√k

= 1.

Invece la successione cbkk assume identicamente il valore ce percio tende a c ∈ (0, 1). La tesi segue. In alternativa,si puo anche prendere ck = 1/k! ed usare il limite (32), osemplicemente ck = 0 per ogni k (e ak e bk come sopra).


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoSerie a t. di segno alt. Segno alterno

Definizione. Se i termini ak sono tutti non negativi,la serie

+∞∑

k=0

(−1)k ak (36)

si dice serie a termini di segno alterno.

Criterio di Leibniz [1, (XII.38), pag. 437]. Condi-zione sufficiente affinche la serie (36) sia convergente e chei termini ak costituiscano una successione monotona chetende a 0. Lo si dimostra usando la completezza dell’insie-me dei numeri reali.

Esempio. Applicando il criterio di Leibniz, si trovache la serie

+∞∑

k=1

(−1)k

k

e convergente. La stessa serie non e convergente assoluta-mente perche la serie armonica non converge. Applicandola formula di Taylor con il resto di Lagrange alla funzionelogaritmica, si puo dimostrare che

+∞∑

k=1

(−1)k

k= − log 2.

Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoFunz. ζ di Riemann Zeta di Riemann

La funzione

ζ(x) =+∞∑

k=1

1

kx

si puo definire anche per valori complessi della x. Essa vie-ne detta funzione ζ (zeta) di Riemann, ed e legata ad unafamosa congettura. In questa sede ci limitiamo a discutereil caso x ∈ R. Osserviamo, innanzitutto, che per x ≤ 1 laserie diverge a +∞ perche in tal caso si ha 1/kx ≥ 1/k, ela serie armonica e divergente. Se, invece, x > 1, si puodimostrare che la serie converge, procedendo come segue.Visto che

1

kx≤ 1

tx

per ogni t ∈ (k− 1, k), integrando ambo i membri in dt sutale intervallo si trova

1

kx≤

∫ k

k−1

dt

tx

da cui, sommando su k per k ≥ 2, si ricava+∞∑

k=2

1

kx≤

∫ +∞

1

dt

tx.

L’integrale al secondo membro si calcola immediatamente,e vale ∫ +∞

1

dt

tx=

t1−x

1− x

]+∞

1

=1

x− 1,

dunque la serie data, detta serie armonica generalizzata, econvergente per ogni x > 1, come volevasi dimostrare.


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoEsercizi serie num. 1 Esercizi

1) Indichiamo con n un generico intero positivo, e consi-deriamo una funzione f : (a, b) → R, derivabile n − 1volte nell’intervallo (a, b) e dotata anche della deriva-ta n-esima in un punto x0 ∈ (a, b). Indichiamo conPn(x, x0) il polinomio di Taylor di ordine n associatoad f , ed avente x0 come punto base dello sviluppo.Dimostrare che per x → 0 si ha:

f(x) = Pn(x, x0) + o((x− x0)n)

(formula di Taylor con il resto di Peano). Suggeri-mento: usare la regola di de l’Hopital per studiare illimite

limx→x0

f(x)− Pn(x, x0)

(x− x0)n.

2) Calcolare9∑

k=0

2k.

3) Trovare due numeri reali a, b tali che per ogni x 6= 1ed ogni n ∈ N si abbia

n∑

k=0

xk =a+ b xn+1

1− x.

4) Dare la definizione di somma di una serie, procedendocome segue: a) basarsi sulla memoria; b) consultare ledispense, un libro o gli appunti di lezione; c) chiedereal tutor o al docente.

5) Stabilire se la serie+∞∑

k=0

2−k e convergente, ed in caso

affermativo calcolarne la somma.

6) Trovare le prime quattro cifre significative del numero

x =+∞∑

k=0

10−k.

7) Dimostrare che condizione necessaria per la conver-genza di una serie

∑+∞k=0 ak e che limn→+∞ an = 0.

Suggerimento: osservare che an =∑n

k=0 ak−∑n−1

k=0 ak.

8) Dimostrare che la condizione dell’esercizio precedentenon e sufficiente a garantire la convergenza della serie.Suggerimento: pensare alla serie armonica.

9) Diciamo che una serie∑+∞

k=0 ak e indeterminata se il li-mite limn→+∞

∑nk=0 ak non esiste. Costruire un esem-

pio di serie indeterminata.

10) Una serie i cui addendi sono positivi si dice serie a ter-mini positivi. Usando la completezza dell’insieme deinumeri reali, dimostrare che le serie a termini positivinon sono indeterminate.



1) Calcolare i seguenti integrali generalizzati:

∫ +∞

1

2

xdx;

∫ +∞

1

π

x2dx;

∫ +∞

1

3

2xdx.

2) Indicato con Ik l’intervallo Ik = [k, k+1], trovare tuttigli interi positivi k tali che

1

x≤ 1

kper ogni x ∈ In.

3) Trovare tutti gli interi positivi k tali che

log(k + 1)− log k ≤ 1

k.

4) Trovare tutti gli interi positivi n tali che

n∑

k=1

(

log(k + 1)− log k)

= log(n+ 1).

5) Stabilire il carattere della serie+∞∑

k=1

1

k.


1) Trovare tutti i numeri reali x tali che la serie+∞∑

k=1

xk

e

convergente.

2) Trovare tutti i numeri reali x tali che la serie+∞∑

k=0

xk

k!e convergente.

3) Trovare tutti i numeri reali x tali che la serie

+∞∑

k=0

(−1)k x2k+1

(2k + 1)!

e convergente.

4) Trovare tutti i numeri naturali n tali che

n∑

k=0

(

arctg(k + 1)− arctg k)

= arctg(n+ 1).

5) Stabilire se la seguente serie e convergente, ed in casoaffermativo calcolarne la somma.

+∞∑

k=0

(

arctg(k + 1)− arctg k)


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoIl concetto di limite L’idea di limite

Mini-test. Prima di procedere con lo studio dei limiti,verificate la vostra preparazione rispondendo a questa do-manda. Indichiamo con x e t due variabili reali, e con [t] ilpiu grande intero non superiore a t. Calcolare i seguentilimiti:

limx→0

|x|x

, limx→0+

x1/ log x,

limx→+∞

[ −1

x

]

, limx→+∞

sen x

x,

limx→+∞

1− 3x3 + 4x5 − x7

5 + 2x7.

Che cosa i limiti non sono. I limiti non sono, di nor-ma, delle sostituzioni. La sostituzione, o valutazione di unafunzione in un punto, consiste in quanto segue: data unafunzione f(x), ed un punto x0 nel dominio di f , il sostitui-re x0 al posto di x ed ottenere f(x0) si chiama valutazionedi f in x0. La valutazione differisce, in generale, dal limitedi f(x) per x → x0. Ma allora, il limite che cos’e?

L’idea intuitiva di limite. Il limite di f(x) per x → x0

e, se esiste, un numero reale ℓ al quale il valore di f(x) siavvicina (o diventa uguale) quando x si avvicina (ma senzadiventare uguale) a x0. Inoltre, il limite e +∞ quando ilvalore di f tende a diventare grandissimo, ed e −∞ quandoil valore assoluto di f(x) tende a diventare grandissimo, ef(x) e negativo.

Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoLimite di una funzione Definiz. di limite

In pratica, l’idea intuitiva di limite, e le proprieta deilimiti di cui parleremo piu avanti, sono sufficienti per molteapplicazioni. Per applicazioni piu sofisticate, e anche persoddisfare l’esigenza di rigore della teoria, si utilizza la de-finizione di limite. Essa si puo dare in diversi modi, alcunidei quali equivalenti fra loro, altri piu o meno generali. Atitolo indicativo, se ne riporta una qui di seguito. Questadefinizione si articola in numerosi casi.

Limite per x che tende ad un numero reale, da de-stra. Consideriamo una funzione f : (a, b) → R, ed unnumero reale ℓ. Indichiamo con x una variabile reale ap-partenente all’intervallo (a, b). Se, per ogni ε > 0, esisteun δ > 0 tale che per ogni x < a+ δ risulta |f(x)− ℓ| < ε,si dice che f(x) tende ad ℓ per x che tende ad a da destra,e si scrive

limx→a+

f(x) = ℓ.

Se, per ogni M ∈ R, esiste un δ > 0 tale che per ognix < a + δ risulta f(x) > M , si dice che f(x) tende a piuinfinito per x che tende ad a da destra, e si scrive

limx→a+

f(x) = +∞.

Se, per ogni M ∈ R, esiste un δ > 0 tale che per ognix < a+ δ risulta f(x) < M , si dice che f(x) tende a menoinfinito per x che tende ad a da destra, e si scrive

limx→a+

f(x) = −∞.


Limite per x che tende ad un numero reale, da si-nistra. Se, per ogni ε > 0, esiste un δ > 0 tale che perogni x > b− δ risulta |f(x)− ℓ| < ε, si dice che f(x) tendead ℓ per x che tende a b da sinistra, e si scrive

limx→b−

f(x) = ℓ.

Se, per ogni M ∈ R, esiste un δ > 0 tale che per ognix > b − δ risulta f(x) > M , si dice che f(x) tende a piuinfinito per x che tende a b da sinistra, e si scrive

limx→b−

f(x) = +∞.

Se, per ogni M ∈ R esiste un δ > 0 tale che per ogni x >b − δ risulta f(x) < M , si dice che f(x) tende a menoinfinito per x che tende a b da sinistra, e si scrive

limx→b−

f(x) = −∞.

Limite per x che tende ad un numero reale. Se lafunzione f e definita sull’insieme (a, b)∪ (b, c), e se, in basealle definizioni precedenti, esistono (finiti o infiniti) i limitilimx→b−

f(x) e limx→b+

f(x) e sono uguali fra loro, allora, indicato

con L il loro comune valore, si dice che f(x) tende a L perx che tende a b, e si scrive

limx→b

f(x) = L.

Limite per x che tende a +∞. Consideriamo ora unafunzione f definita sull’intervallo (a, +∞), e indichiamocon x una variabile reale. Se, per ogni ε > 0, esiste unx0 > a tale che per ogni x ∈ (x0, +∞) risulta |f(x)− ℓ| <

ε, si dice che f(x) tende ad ℓ per x che tende a piu infinito,e si scrive

limx→+∞

f(x) = ℓ.

Se, per ogni M ∈ R, esiste un x0 > a tale che per ognix ∈ (x0, +∞) risulta f(x) > M , si dice che f(x) tende apiu infinito per x che tende a piu infinito, e si scrive

limx→+∞

f(x) = +∞.

Se, per ogni M ∈ R, esiste un x0 > a tale che per ognix ∈ (x0, +∞) risulta f(x) < M , si dice che f(x) tende ameno infinito per x che tende a piu infinito, e si scrive

limx→+∞

f(x) = −∞.

Limite per x che tende a −∞. Consideriamo una fun-zione f definita sull’intervallo (−∞, b), e indichiamo anco-ra con x una variabile reale. Se, per ogni ε > 0, esiste unx0 < b tale che per ogni x ∈ (−∞, x0) risulta |f(x)−ℓ| < ε,si dice che f(x) tende ad ℓ per x che tende a meno infinito,e si scrive

limx→−∞

f(x) = ℓ.

Se, per ogni M ∈ R, esiste un x0 < b tale che per ognix ∈ (−∞, x0) risulta f(x) > M , si dice che f(x) tende apiu infinito per x che tende a meno infinito, e si scrive

limx→−∞

f(x) = +∞.

Se, per ogni M ∈ R, esiste un x0 < b tale che per ognix ∈ (−∞, x0) risulta f(x) < M , si dice che f(x) tende ameno infinito per x che tende a meno infinito, e si scrive

limx→−∞

f(x) = −∞.



La continuita La continuita

La continuita e una notevole proprieta di alcune fun-zioni, tra le quali quelle di uso piu comune, che consiste inquanto segue.

Definizione (continuita) Data una funzione f : (a, b) →R, e considerato un punto x0 ∈ (a, b), la funzione f si dicecontinua in x0 se esiste il limite di f(x) per x → x0, e serisulta:

limx→x0

f(x) = f(x0).

In parole povere, f e continua in x0 se il passaggio allimite per x → x0 da lo stesso risultato della sostituzionex = x0. La continuita delle funzioni di uso piu comunee responsabile, per cosı dire, della confusione tra limite esostituzione. Un esempio di funzione discontinua in unpunto si trova a pagina 46.


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoIl calcolo dei limiti Calcolo di limiti

Lo studio di un limite puo essere impossibile da portarea termine, anche a tutti i matematici del mondo. Per mo-tivi didattici, nel corso di Analisi I si incontrano perlopiulimiti che possono essere calcolati combinando fra loro al-cune tecniche, che a loro volta si possono riassumere comesegue.

1. Innanzitutto, usando la definizione di limite, si stabi-liscono dei limiti particolari, o limiti notevoli. Ad esempio,con considerazioni geometriche basate sulla definizione disen x, si trova che | sen x| ≤ |x| per ogni x ∈ R, e si con-clude che lim

x→0sen x = 0.

2. Si utilizzano le cosiddette proprieta dei limiti, detteanche teoremi sui limiti. Solitamente, si tratta di proprietaaccettabili sul piano intuitivo, e trattate come tali in que-ste dispense. Una rassegna ampia e rigorosa delle principaliproprieta si puo trovare sui testi di Analisi esistenti.

A titolo di esempio, verifichiamo che il prodotto di unafunzione limitata f per una g che tende a zero, tende azero. Si tratta di una proprieta un po meno evidente dialtre, ma molto utile in pratica. Per dimostrarla, osservia-mo che essendo f limitata, risulta |f(x)| < C per ogni xe per un’opportuna costante C > 0. Preso arbitrariamen-te un ε > 0, per ipotesi esiste δ > 0 tale che per ognix < a + δ (se parliamo di limite per x → a+), ovvero perogni x > b− δ (se parliamo di limite per x → b−), oppureper ogni x > x0 (se parliamo di limite per x → +∞), oinfine per ogni x < x0 (se parliamo di limite per x → −∞),

si ha |g(x)| < ε. Ma allora |f(x) g(x)| < C ε. Siccome ε earbitrario, scrivere ε o C ε nella definizione di limite e lostesso, dunque tale definizione e soddisfatta e la proprietae dimostrata.

3. Il terzo ingrediente per il calcolo dei limiti e un insie-me di artifici, di espedienti atti a calcolare limiti di partico-lari funzioni. A titolo di esempio, consideriamo il limite delrapporto tra due polinomi, per x → +∞. Supponiamo chei due polinomi abbiano lo stesso grado n > 0. Dividendonumeratore e denominatore per xn si trova:

limx→+∞

n∑

k=0

ak xk

n∑

k=0

bk xk

= limx→+∞

an +n−1∑

k=0

ak xk−n

bn +n−1∑

k=0

bk xk−n

.

Quello appena descritto e un artificio adatto al nostroparticolare problema. A questo punto, poiche per ognik = 0, . . . , n− 1, risulta limx→+∞ xk−n = 0 (limite notevo-le, ingrediente del tipo 1), ed usando le proprieta dei limiti(ingredienti del tipo 2), si trova:

limx→+∞

n∑

k=0

ak xk

n∑

k=0

bk xk

=anbn

.

In modo analogo si puo affrontare il caso in cui il grado delnumeratore e diverso da quello del denominatore.

L’aritmetica degli infiniti. Espressioni come 1+∞ = 0 e

+∞ + ∞ = +∞ rappresentano in modo sintetico alcuneproprieta dei limiti. Servono, cioe, per richiamare efficace-mente tali proprieta.


Ad esempio, la prima espressione sta a significare chedata una funzione f che tende a +∞, la funzione 1/f ten-de a zero. Per completezza, dimostriamo che questo e verousando la definizione di limite. Consideriamo un numeroreale positivo ε arbitrario. Definiamo il numero M ponen-do M = 1/ε. Per la definizione di limite, esiste δ > 0tale che per ogni x < a + δ (se parliamo di limite perx → a+), ovvero per ogni x > b − δ (se parliamo di limi-te per x → b−), oppure per ogni x > x0 (se parliamo dilimite per x → +∞), o infine per ogni x < x0 (se parlia-mo di limite per x → −∞), si ha f(x) > M . Dunque,per ragioni algebriche, si ha anche |1/f(x)| < 1/M = ε.Usando ancora la definizione di limite, concludiamo che1/f(x) → 0.

Le forme indeterminate. Si e soliti dire che +∞−∞ euna forma indeterminata, come pure 0/0, +∞

+∞ , 0 · (+∞),1+∞, 00. Spieghiamo cosa si intende con questo genere diaffermazioni, facendo riferimento alla forma indetermina-ta 00.

L’affermazione secondo la quale 00 e una forma indeter-minata significa che esistono quattro funzioni, che indiche-remo con f1, f2, g1, g2, di cui f1 e f2 positive, che tendonotutte e quattro a zero e sono tali che il limite di f g1

1 ediverso dal limite di f g2

2 .Quali sono le funzioni la cui esistenza e stata appena

asserita? Esse si possono scegliere in diversi modi, unodei quali e il seguente: prendiamo per dominio l’intervallo(0, 1), e per ogni x ∈ (0, 1) poniamo

f1(x) = x, f2(x) = x2,

g1(x) = g2(x) =1

log x.

Per le proprieta dei logaritmi, per ogni x ∈ (0, 1) risulta(f1(x))

g1(x) = e, e similmente (f2(x))g2(x) = e2. Ma allo-

ra dalla definizione di limite discende immediatamente chef g11 → e, e f g2

2 → e2 per x → 0+, dunque i due limiti sonodiversi, come volevasi dimostrare.

In parole povere, dire che 00 e una forma indeterminatasignifica dire che il solo fatto che due funzioni f e g tenda-no a zero (con f positiva) non e sufficiente a determinareil limite di f g. Infatti, come abbiamo appena visto, talelimite dipende da quale particolare f e quale particolare gsi considera.

L’uguaglianza 00 = 1. Talvolta si utilizza l’uguaglianza00 = 1. Ad esempio, un generico polinomio e stato rap-presentato a pagina 36 nella forma

∑nk=0 ak x

k. Il terminenoto del polinomio e quello che corrisponde a k = 0, ecioe a0 x

0. Questa rappresentazione risulta corretta, ancheper x = 0, se si conviene che 00 = 1. Quest’uguaglianzanon contraddice quanto abbiamo appena visto sulle formeindeterminate perche, quando scriviamo 00 = 1, stiamodenotando con 0 il numero 0, come di consueto, e stia-mo dando significato all’elevamento a potenza 00. Invece,quando diciamo che 00 e una forma indeterminata, stiamousando le due cifre 0 non per rappresentare lo zero, maper abbreviare la frase il cui significato e stato spiegato nelparagrafo precedente.

Conclusione. A questo punto possiamo ritornare ai pa-ragrafi precedenti ed apprezzare meglio la forza dei teore-mi sui limiti: quando, ad esempio, diciamo che 1

+∞ = 0,intendiamo che il solo fatto che f tenda a +∞ basta aconcludere che 1/f → 0, indipendentemente da quale siala particolare f che stiamo considerando.


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoEsercizi assortiti Esercizi

1) Scrivere il valore dei seguenti limiti: limx→3+

(2x − 6) =

limt→0−

sen t = ; limt→+∞

2

t= ; lim

t→0+

1− cos2 t

sen2 t=

limt→π

2−

cos t tg t

sen t= ; lim

x→+∞ex = ;

limx→−∞

ex =

2) Scrivere l’insieme di tutti i numeri reali t tali chesen t < t:

3) Scrivere l’insieme di tutti i numeri reali t tali chesen t > t:

4) Scrivere l’insieme di tutti i numeri reali t tali che| sen t | < |t|:

5) Disegnare il grafico della funzione f(x) =√1− x2 .

6) Indicato con x0 un numero reale positivo e minoredi 1, segnare sul grafico della funzione f dell’esercizioprecedente il punto Q di ascissa x0.

7) Trovare l’equazione della retta r passante per il pun-to Q dell’esercizio precedente e per il punto P = (0, 1).

8) Indicato conm(x0) il coefficiente angolare della retta rdell’esercizio precedente, scrivere il valore del seguentelimite: lim

x0→0+m(x0) =



Tangenza Tangenza

L’affermazione secondo la quale due linee sono tangen-ti quando hanno un solo punto in comune non e vera, ingenerale. Per rendersene conto basta considerare qualchesemplice esempio.

Esempio 7. Linee non tangenti. Gli assi cartesianihanno in comune solo un punto, ma non sono tangenti.

Esempio 8. Una tangente alla sinusoide. Consideria-mo il grafico della funzione y = sen x, e la retta di equazio-ne y = 1. In questo esempio le due linee hanno in comuneinfiniti punti, anziche uno solo, pero sono tangenti!

Il criterio dell’unicita del punto di intersezione, per sta-bilire la condizione di tangenza, e valido in casi particolari,come quando si considerano una retta ed una circonferen-za. In questo caso e utilizzabile anche un altro criterio:si ha tangenza tra una retta ed una circonferenza (com-planari) quando esse hanno almeno un punto in comune,e la circonferenza giace in uno dei due semipiani in cui ilpiano risulta diviso dalla retta. Anche questo criterio none applicabile a tutte le curve, come mostrano i seguentiesempi.

Esempio 9. Una tangente alla cubica. Il grafico dellafunzione y = x3 e tangente nell’origine all’asse x, pur nongiacendo interamente in nessuno dei due semipiani in cuil’asse x divide il piano cartesiano.

Esempio 10. Linee non tangenti. Il grafico di y = |x|e l’asse delle x soddisfano il criterio suddetto, ma non sonotangenti fra loro.

Cerchiamo di precisare meglio, dunque, il concetto ditangenza. Data una funzione f : R → R, il cui grafico passiper l’origine, se vogliamo stabilire se esso e tangente all’as-se x in tale punto, dobbiamo accertarci che il rapportof(x)/x tenda a zero per x → 0.

Intuitivamente questo significa che, vicino al punto ditangenza, lo scarto tra il grafico di f e l’asse delle x (scar-to che e rappresentato dalla quantita f(x)) e molto piupiccolo dello scarto tra x e l’ascissa del punto di tangenza(scarto che e uguale a x perche, in questo caso particolare,l’ascissa del punto di tangenza e 0).

Piu in generale, fissato un punto x0 ∈ R, indichiamocon (x0−ε, x0+ε) l’insieme x ∈ R : x0−ε < x < x0+ε ,e cioe l’intervallo di estremi x0 − ε, x0 + ε. Il simbolo ε ela lettera epsilon dell’alfabeto greco, tradizionalmente usa-ta in questo tipo di considerazioni. Consideriamo, inoltre,una funzione f : (x0 − ε, x0 + ε) → R ed una retta r pas-sante per il punto del grafico di f di ascissa x0. Dovendopassare per tale punto, la retta r ha equazione

y(x) = m (x− x0) + f(x0). (37)

Il criterio di tangenza e il seguente: il grafico di f etangente alla retta r nel punto di ascissa x0 se e solo se

limx→x0

f(x)− y(x)

x− x0

= 0. (38)



La derivata La derivata

Il criterio di tangenza espresso dalla (38) richiede, perpoter essere applicato, la conoscenza dell’equazione dellaretta tangente. Ma come procedere per determinare il pa-rametro m che figura in tale equazione?

Consideriamo, come in precedenza, una funzione f :(x0− ε, x0+ ε) → R ed una retta r di equazione (37). Uti-lizzando tale equazione si verifica la seguente uguaglianza:

f(x)− y(x)

x− x0

=f(x)− f(x0)

x− x0

−m.

Ne segue che condizione necessaria e sufficiente affinchela funzione f ammetta, nel punto di ascissa x0, una ret-ta tangente di equazione (37), e che esista e sia finito ilseguente limite:

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

. (39)

La frazione che figura nella formula (39) si chiama rapportoincrementale.

Definizione della derivata. Se il limite (39) esiste finito,si dice che la funzione f e derivabile nel punto di ascissa x0.Il valore del limite (39) si chiama derivata di f in x0 e siindica con f ′(x0) o con

df

dx(x0).

Interpretazione geometrica della derivata. L’equa-zione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascis-sa x0 e data dalla (37), ove si ponga m = f ′(x0).

Il calcolo differenziale. La determinazione delle deri-vate di alcune funzioni di uso comune si esegue conside-rando il loro rapporto incrementale e studiandone il limitemediante appositi artifici (vedi i due esempi seguenti, glielenchi di esercizi n. 2 e 3, ed i testi di Analisi esistenti).La derivata di molte altre funzioni, definite a partire dalleprecedenti, si puo determinare utilizzando apposite regoledi derivazione, che riducono il problema della derivazioneall’applicazione di un algoritmo: il calcolo differenziale.

Esempio 11. Derivata della funzione f(x) = mx.La derivata della funzione f(x) = mx, dove m e un para-metro reale, si trova direttamente ed e f ′(x) = m per ognix ∈ R. Infatti, per ogni x0 ∈ R ed ogni x 6= x0 si ha:

mx−mx0

x− x0

= m,

e passando al limite per x → x0 si trova (mx)′ = m, comevolevasi dimostrare.

Esempio 12. Derivata della funzione f(x) = 1/x.La funzione f(x) = 1/x e derivabile per ogni x 6= 0, e siha: (1/x)′ = −1/x2. Basta infatti considerare un puntoarbitrario x0 6= 0, ed un x 6= x0, con x 6= 0, ed osservareche

1

x− 1

x0

x− x0

= − 1

xx0

→ − 1

x20

.

La conclusione segue dalla definizione della derivata.


Regola di derivazione del prodotto. Tornando alleregole di derivazione, una regola importante e la regola diderivazione del prodotto: se le funzioni f e g sono derivabiliin un intervallo (a, b), allora anche il prodotto f(x) g(x) ederivabile in (a, b) e si ha:

(f(x) g(x))′ = f ′(x) g(x) + f(x) g′(x).

Una possibile dimostrazione di questa regola si ricava con-siderando il rapporto incrementale della funzione prodottof(x) g(x) in un punto arbitrario x0 ∈ (a, b), rapporto chee il seguente:

f(x) g(x)− f(x0) g(x0)

x− x0

. (40)

Esso puo anche essere riscritto in questo modo:

=f(x)− f(x0)

x− x0

g(x0) + f(x)g(x)− g(x0)

x− x0

.

Il limite della precedente espressione per x → x0 si trovaricordando che f e g sono derivabili per ipotesi, e sapendoche la derivabilita implica la continuita, e percio f(x) →f(x0). In definitiva, tale limite vale

f ′(x0) g(x0) + f(x0) g′(x0), (41)

come volevasi dimostrare. Un’altra possibile dimostrazio-ne si basa sul fatto che, se una funzione f(x) e derivabilein un punto x0, allora vale la seguente uguaglianza:

f(x) = f ′(x0) (x− x0) + f(x0) + o(x− x0), (42)

dove con o(x− x0) si indica la funzione

f(x)− f(x0)− f ′(x0) (x− x0), (43)

e la notazione o(x− x0), che si legge “o piccolo di x− x0”,esprime il fatto che che il rapporto tra la (43) e x − x0

tende a zero quando x tende a x0. Si dice, brevemente, chela funzione (43) e infinitesima di ordine superiore rispettoa x−x0. Essendo, per ipotesi, derivabile anche g, abbiamo

g(x) = g′(x0) (x− x0) + g(x0) + o(x− x0), (44)

dove questa volta il termine o(x − x0) indica la funzioneg(x)− g(x0)− g′(x0) (x− x0).

Il simbolo o. Il fatto che lo stesso simbolo o denoti duefunzioni diverse e un’eccezione alla regola secondo la qualenon si possono indicare con lo stesso simbolo due quan-tita diverse. Anzi, una qualunque funzione h(x) tale chelimx→x0 h(x)/(x − x0) = 0 puo legittimamente indicarsicome o(x − x0). Tale eccezione rende particolarmente co-modo l’uso del simbolo o, come si vede nel seguito delladimostrazione.

Per proseguire con la dimostrazione della regola di de-rivazione del prodotto, moltiplichiamo termine a terminela (42) e la (44). Troviamo:

f(x) g(x) = (f ′(x0) (x− x0) + f(x0) + o(x− x0))

(g′(x0) (x− x0) + g(x0) + o(x− x0)).

Dobbiamo ora svolgere il prodotto fra le due espressioni alsecondo membro, che hanno tre termini ciascuna: si ottieneuna somma algebrica di ben nove termini. L’uso del sim-bolo o(x − x0), che puo denotare funzioni diverse, purcheinfinitesime di ordine superiore rispetto a x−x0, semplificanotevolmente l’espressione finale: possiamo infatti scrivere

=(

f ′(x0) g(x0) + f(x0) g′(x0)

)

(x− x0) + f(x0) g(x0)

+ o(x− x0).


Sostituendo l’espressione precedente al posto di f(x) g(x)nella (40), e facendo tendere x a x0, si riottiene la (41), edanche questa seconda dimostrazione e conclusa.

Regola di derivazione della funzione composta. Unaaltra importante regola di derivazione e la regola di deriva-zione della funzione composta: se la funzione g : (a, b) →(c, d) e derivabile nell’intervallo (a, b), e se la funzionef : (c, d) → R e derivabile nell’intervallo (c, d), allora lafunzione composta h(x) = f(g(x)) e derivabile per ognix ∈ (a, b) e la sua derivata e la seguente:

(f(g(x)))′ = f ′(g(x)) g′(x) (45)

Con la notazione di Leibniz, posto y = g(x), la (45) assumela seguente forma, particolarmente espressiva:

dh

dx=

df

dy

dy

dx.

Esempio 13. Derivata della funzione h(x) = e2x.Come semplice applicazione, cerchiamo la derivata dellafunzione h(x) = e2x. Ponendo y(x) = g(x) = 2x e f(y) =ey, possiamo scrivere e2x = f(g(x)). Sapendo che

df

dy= ey;

dy

dx= 2,

si trova (e2x)′ = 2 e2x.

Regola di derivazione del reciproco. Un’altra regoladi derivazione di uso frequente e la regola di derivazionedel reciproco di una funzione, che possiamo semplicemen-te ricavare dalle considerazioni precedenti, con il seguenteragionamento. Consideriamo una funzione g : (a, b) → R

che sia derivabile in tutto l’intervallo (a, b) e diversa da ze-ro. Allora, posto f(y) = 1/y, possiamo scrivere: 1/g(x) =f(g(x)). Sapendo che f ′(y) = −1/y2 (esempio 12), edusando la regola di derivazione delle funzioni composte(45), si trova:

(1

g(x)

)′

= (f(g(x)))′ = − g′(x)

g2(x).

Regola di derivazione del rapporto. Infine, vogliamostudiare la derivata del rapporto f(x)/g(x), supponendoche f e g siano derivabili in un certo intervallo (a, b), cong diversa da zero. Si ha:

f(x)

g(x)= f(x)

1

g(x)

Dunque, usando la regola di derivazione del prodotto equella del reciproco, troviamo:

(f(x)

g(x)

)′

=

(

f(x)1

g(x)

)′

= f ′(x)1

g(x)− f(x)

g′(x)

g2(x)

=f ′(x) g(x)− f(x) g′(x)

g2(x).


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoEserc. retta tangente Esercizi

1) Verificare che la retta r, di equazione y(x) = 1, etangente al grafico della funzione f(x) =

√1− x2 nel

punto di ascissa x0 = 0. A tal fine, studiare il rapporto(f(x)− y(x))/(x− x0) per x che tende a x0.

2) Determinare la retta tangente al grafico della funzionef , data nell’esercizio precedente, nel punto di ascissax0 = 1/

√2 .

3) Dire se esiste la retta tangente al grafico della funzio-ne y = |x| nel punto di ascissa x0 = 2, ed in casoaffermativo determinarne l’equazione.


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoEserc. sulle derivate 1 Esercizi

1) Trovare due funzioni g e h, ambedue infinitesime perx → 0, tali che

limx→0

g(x)

h(x)= +∞.

2) Stabilire se le seguenti funzioni sono derivabili per ognix ∈ R, ed in caso affermativo determinare la loro de-rivata.

f0(x) = sen x, f1(x) = cos x, f2(x) = x2,

f3(x) = x3, f4(x) = xn, n = 1, 2, . . . ,

f5(x) = |x|.

3) Determinare l’equazione delle rette tangenti al graficodella funzione f(x) = sen x rispettivamente nel puntodi ascissa x0 = π/3 e nel punto di ascissa x1 = 1.

4) Che valore vi aspettate che abbia il seguente limite?

limx→0

1− cosx

x2

Svolgimento. 1) Possiamo prendere g(x) = sen x eh(x) = x |x|, e sfruttare il fatto che

limx→0

1

|x| = +∞.

2) Dobbiamo studiare il rapporto incrementale

sen x− sen x0

x− x0

per x → 0. Posto x′ = x − x0, possiamo riscriverlo nellaforma

sen(x′ + x0)− sen x0

x′.

E noto (formula di addizione) che sen(x′ + x0) = sen x′

cos x0 + cosx′ sen x0, e percio si ha:

sen(x′ + x0)− sen x0

x′=

sen x′

x′cos x0+

cos x′ − 1

x′sen x0.

Sapendo che (sen x′)/x′ → 1 e (cos x′−1)/x′ → 0 per x′ →0, si deduce che l’espressione precedente ammette limitefinito per x′ → 0, e che tale limite vale cos x0. Dunque lafunzione f0(x) = sen x e derivabile per ogni x reale, e lasua derivata e f ′

0(x) = cos x.Poiche cos x = sen(x + π/2), anche questa funzione

e derivabile per ogni x reale, e si ha (cosx)′ = (sen(x +π/2))′ = cos(x+ π/2) = − sen x.

Per quanto riguarda la funzione f4(x), che comprendecome casi particolari f2(x) e f3(x), dobbiamo esaminare ilrapporto incrementale

xn − xn0

x− x0

.

Se n = 1 allora il rapporto qui sopra vale 1 per ogni x 6= x0,ed e indefinito per x = x0 come tutti i rapporti incrementa-li. Esso tende percio ad 1 quando x → x0. In conclusione,la funzione y(x) = x e derivabile per ogni x reale, e la suaderivata e la funzione costante 1. Per studiare il caso n ≥ 2,


possiamo procedere come segue. Poiche il numeratore e unpolinomio nella variabile x, che si annulla per x = x0, es-so e divisibile per x − x0. Infatti, si ha xn − xn

0 = (x −x0)(x

n−1+x0 xn−2+ · · ·+xn−2

0 x+xn−10 ). Pertanto, il rap-

porto suddetto e uguale a xn−1+x0 xn−2+· · ·+xn−2

0 x+xn−10

per x 6= x0. Esso ammette limite finito per x → x0, e talelimite vale xn−1

0 + · · · + xn−10 . Poiche gli addendi sono n,

possiamo scrivere semplicemente nxn−10 . In conclusione,

f4(x) e derivabile (rispetto alla x) per ogni x reale ed ognin = 1, 2, . . . e la sua derivata e (xn)′ = nxn−1.

Il rapporto incrementale di f5 e:

|x| − |x0|x− x0

.

Per x0 = 0 esso diventa |x|/x. Ma

|x|x

=

1, se x > 0,

−1, se x < 0.

Dunque |x| non e derivabile per x = 0. Se, invece, x0 > 0,allora

|x| − |x0|x− x0

= 1 per x ∈ (0, x0) ∪ (x0,+∞),

dunque il limite del rapporto incrementale esiste, e finitoe vale 1. Pertanto (|x|)′ = 1 per ogni x > 0. Ragionandoanalogamente, si trova che (|x|)′ = −1 per ogni x < 0.

3) Per l’interpretazione geometrica della derivata, l’equa-zione della retta tangente nel punto di ascissa x0 si trovaponendo m = f ′(x0) nella (37), ed e dunque

y(x) =1

2

(

x− π

3

)

+

√3

2.

L’equazione della retta tangente nel punto di ascissa x1 sitrova in modo analogo, ed e

y(x) = (cos 1) (x− 1) + sen 1,

il che richiama l’attenzione sulla necessita di un metodo dicalcolo per le funzioni sen x e cos x per valori arbitrari di x.

4) Scrivendo x = x/2 + x/2, ed usando una formula trigo-nometrica di addizione, si trova 1 − cosx = 2 sen2(x/2).Percio

1− cos x

x2=

1

2

(sen(x/2)

x/2

)2

.

Sapendo che (sen t)/t → 1 per t → 0, c’e da aspettarsi che

limx→0

1− cos x

x2=

1

2.

In effetti, questo risultato si puo dimostrare (rigorosamen-te) usando la definizione di limite e le proprieta del pas-saggio al limite.


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoDerivate di ex e log x Esercizi

1) Determinare l’equazione della retta tangente al gra-fico della funzione f(x) = log x (logaritmo naturaledi x) nel punto di ascissa x0 = 1, presupponendo lacontinuita di f in x0.

2) Determinare l’equazione della retta tangente al graficodella funzione f(x) = ex nel punto di ascissa x0 = 0,presupponendo la continuita di f in x0.

3) Dire se la funzione f(x) = ex e derivabile per ogni x ∈R, ed in caso affermativo determinarne la derivata.

4) Dire se la funzione f(x) = log x e derivabile per ognix ∈ R, ed in caso affermativo determinarne la deriva-ta.

5) Dimostrare che la funzione f(x) = ex e continua perx = 0, come presuppone l’esercizio 2. Suggerimento:a) cominciare con la successione e1/n; b) fare appelloalla completezza; c) posto ℓ = limn→+∞ e1/n, dimo-strare che e1/n > ℓ per ogni n, e dedurne che ℓ = 1.

Svolgimento. 1) Per l’interpretazione geometrica delladerivata, e sufficiente trovare f ′(1). A tal fine, posto x′ =x− 1, scriviamo il rapporto incrementale come segue:

log x

x− 1=

log(1 + x′)

x′= log(1 + x′)1/x

′

.

Adesso, ponendo t = 1/x′, siamo condotti a considerarel’espressione

log(

1 +1

t

)t

. (46)

Osserviamo che, quando x tende ad 1, x′ tende a 0 e |t|tende a +∞. Dunque l’argomento del logaritmo tende alnumero di Nepero e. Sapendo che la funzione logaritmicae continua, l’espressione (46) tende a log e = 1. Dunque(log x)′ = 1 per x = 1, e l’equazione della retta tangente ey = x− 1.

Esempio 14. Una funzione discontinua. La seguentefunzione e discontinua nel punto di ascissa x = 0:

f(x) =

1, se x > 0,

0, se x ≤ 0.

2) Poiche la funzione esponenziale e inversa di quella lo-garitmica, si trova che l’equazione della tangente e y(x) =x+ 1. In particolare, si dimostra che

limx→0

ex − 1

x= 1. (47)

Basta infatti sostituire t = ex e si trova

ex − 1

x=

t− 1

log t.

Quando x tende a zero, t tende ad 1 per la continuita dellafunzione esponenziale. Dunque, il limite del primo mem-bro, per x → 0 puo essere determinato facendo tendere tad 1 nel secondo membro. Ma questo e stato gia fatto nel-l’esercizio precedente, ove si e visto che tale limite vale 1.Da qui segue la (47).

3) Seguendo la definizione della derivata, consideriamo ilrapporto incrementale della funzione f(x) = ex in un pun-to arbitrario x0. Si ha:

ex − ex0

x− x0

= ex0ex−x0 − 1

x− x0

.


Con la sostituzione x′ = x− x0, siamo condotti a conside-rare la seguente espressione:

ex0ex

′ − 1

x′.

Richiamando la (47), e poiche x′ tende a 0 quando x ten-de a x0, concludiamo che l’espressione suddetta ammettelimite finito per x → x0, e che tale limite vale ex0 . Dunquela funzione f(x) = ex e derivabile per ogni x reale, e si ha(ex)′ = ex.

4) La funzione f(x) = log x non e definita per x ≤ 0 (nelcampo reale), dunque la risposta all’esercizio e semplice-mente: “no, f non e derivabile in R perche non e nemmenodefinita in tutto questo insieme”. Al di la della risposta al-l’esercizio, e tuttavia importante conoscere la derivata dilog x per x > 0. Per trovarla, possiamo procedere in varimodi. Vediamone due.

Procedimento A. Seguendo la definizione della deriva-ta, consideriamo il rapporto incrementale della funzionef(x) = log x in un punto x0 > 0. Sfruttando le proprietadei logaritmi, e con la sostituzione x′ = x− x0, troviamo:

log x− log x0

x− x0

= log(

1+x− x0

x0

) 1x−x0 = log

(

1+x′

x0

) 1x′

.

Ora, ponendo x′/x0 = 1/t, l’espressione precedente si puoriscrivere come segue:

= log

[(

1 +1

t

)t] 1

x0

. (48)

Quando x tende a x0, la variabile x′ = x−x0 tende a 0, edil valore assoluto |t| tende a +∞. Sapendo che la funzione

elevamento a potenza g(x) = x1/x0 e continua, deduciamoche l’argomento del logaritmo tende a e1/x0 . Sapendo che lafunzione log x e continua, deduciamo che tutta l’espressio-ne (48) tende a log(e1/x0) = 1/x0. Dunque (log x)′ = 1/x.

Procedimento B. Con la sostituzione y = log x, e indi-cando con y0 la quantita y0 = log x0, si trova:

log x− log x0

x− x0

=y − y0ey − ey0

.

Quando x tende a x0, la variabile y = log x tende a y0 perla continuita della funzione logaritmica. Il secondo mem-bro tende, per quanto visto in precedenza, a e−y0 . Dunque(log x)′ = 1/x.

5) Dobbiamo verificare che limx→0 ex = e0. Consideria-

mo, per incominciare, il caso x > 0. Poniamo n = [1/x](la parte intera di 1/x). Per la monotonia della funzioneesponenziale, e poiche n ≤ 1/x, si ha 1 < ex ≤ e1/n perx ≤ 1. Resta da dimostrare che e1/n → 1 per n → +∞.Per la monotonia della funzione esponenziale, e1/n e unasuccessione strettamente decrescente. Poiche 1 < e1/n ≤ eper ogni n ≥ 1, la successione e1/n e limitata. Per la com-pletezza di R, esiste ℓ ∈ R tale che limn→+∞ e1/n = ℓ.Poiche 1 < e1/n per ogni n, si ha ℓ ≥ 1. Poiche ℓ < e1/n

per ogni n, si ha ℓn < e per ogni n. Dunque ℓ = 1 e lafunzione esponenziale e continua da destra. Per studiareil caso x < 0, poniamo x = −y con y > 0. Per quantoappena visto, si trova che ex = 1/ey → 1 quando x tendea 0−, e l’esercizio e concluso.


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoCaduta di un grave Esercizi

Studiamo la caduta di un punto materiale, libero dimuoversi lungo l’asse verticale y, soggetto alla sola forzapeso, posto inizialmente ad un’altezza y0 > 0 dal suolo, elasciato cadere all’istante t0 = 0 con velocita iniziale nulla.Supponiamo costante l’accelerazione di gravita, e suppo-niamo inoltre che l’urto con il suolo (posto a quota y = 0)sia perfettamente elastico e di durata nulla.

1) Determinare l’istante t1 in cui il grave tocca terra perla prima volta.

2) Determinare la legge oraria del moto y = f(t) per t ∈(0, t1).

3) Verificare che la funzione f1(t) = f(t − 2t1) soddisfal’equazione differenziale f ′′

1 = −g.

4) Verificare che la massima altezza raggiunta da un pun-to materiale che si muova lungo l’asse y con la leggeoraria y = f1(t) e la stessa del punto il cui moto edescritto dalla legge y(t) = f(t).

5) Disegnare il grafico della funzione

t 7→

y0, se t < 0;

f(t), se 0 ≤ t < t1;

f(2 t1 − t), se t1 ≤ t < 2 t1;

f1(t), se 2 t1 ≤ t < 3 t1.

Svolgimento. 1-2) Durante la caduta, la posizione y(t) edata da f(t) = y0 − 1

2g t2. L’urto col suolo avviene all’i-

stante t1 tale che y0 − 12g t21 = 0, e cioe t1 =

√

2 y0/g .3) Si ha f1(t) = y0 − 1

2g (t − 2 t1)

2, quindi f ′1(t) =

−g (t− 2 t1), e f ′′1 = −g.

4) Osserviamo che f(t) e data dalla differenza tra lacostante y0 e la quantita non negativa 1

2g t2, dunque il suo

valore massimo e y0 (e viene raggiunto per t = 0). Perlo stesso motivo, il massimo di f1(t) e ancora y0 (e vieneraggiunto per t = 2 t1).

5) Questo e il grafico richiesto:

y0

0 t1 2 t1 3 t1



Altre derivate Esercizi

1) Dire se la funzione f(x) = xα, dove α e un parametroreale, e derivabile per ogni x > 0, ed in caso affer-mativo trovarne la derivata. Suggerimento: scriverexα = eα log x ed usare la regola di derivazione dellefunzioni composte.

2) Trovare la derivata della funzione f(x) =√x .

3) Regola di derivazione della funzione inversa. Suppo-niamo che f e g siano due funzioni derivabili legatedalla relazione

f(g(x)) = x per ogni x ∈ (a, b). (49)

Esprimere g′ usando f ′. Suggerimento: derivarela (49) usando la regola di derivazione della funzionecomposta.

4) Supponendo che la funzione g(x) = arcsen x sia deri-vabile per x ∈ (−1, 1) (come in effetti e), trovarne laderivata usando il risultato dell’esercizio precedente.

5) Tracciare il grafico della seguente funzione:

h(x) =

1− x2, se x ∈ (−1, 1);

0, se x ∈ R \ (−1, 1).

6) Per ogni x ∈ R, dire se la funzione h definita sopra ederivabile, ed in caso affermativo trovarne la derivata.

Svolgimento. 1) Posto g(x) = α log x e f(y) = ey, la fun-zione xα si puo scrivere come segue: xα = f(g(x)). Usandola regola di derivazione delle funzioni composte, si trova:(xα)′ = eα log x α 1

x= xα α 1

x= αxα−1.

2) Dall’esercizio precedente, e siccome√x = x1/2, si

deduce che (√x )′ = 1

2x−1/2 = 1

2√x, per x > 0. Resta

da studiare l’eventuale derivabilita nel punto x0 = 0. Ilrapporto incrementale in tale punto e:

√x

x=

1√x

→ +∞ per x → 0+,

dunque la funzione√x non e derivabile per x = 0.

3) Derivando la (12) si trova: f ′(g(x)) g′(x) = 1, quindi

g′(x) =1

f ′(g(x)).

4) Posto f(y) = sen y, si ha f(g(x)) = x per x ∈(−1, 1). Usando la (13), si trova:

(arcsen x)′ =1

cos g(x)=

1

cos arcsen x=

1√1− x2

5) Questo e il grafico della funzione h:

y

−1 0 1 x

6) Per x ∈ (−1, 1), risulta h(x) = 1 − x2, dunque he derivabile e si ha h′(x) = −2x. Inoltre, per x ∈ (−∞,


−1) ∪ (1, +∞) risulta h(x) = 0, dunque h e derivabile esi ha h′(x) = 0. Restano da studiare i punti x0 = −1 ex1 = 1. Il rapporto incrementale di h in x1 e:

h(x)

x− 1

Per ogni x > x1, tale rapporto e nullo perche h(x) e nulla.Quindi, e nullo anche il limite del rapporto incrementaleper x → x+

1 . Invece, se x ∈ (−1, 1), si ha:

h(x)

x− 1=

1− x2

x− 1= −(1 + x) −→

x→x−

1

−2.

Poiche il limite destro e quello sinistro del rapporto incre-mentale sono diversi tra loro, la funzione h non e derivabilenel punto x1 = 1. Alla stessa conclusione si perviene ra-gionando in modo analogo nel punto x0 = −1.


1) Dire in quali punti le seguenti funzioni sono deriva-bili, e scrivere le loro derivate:

√x , x2, x3, 1/x,

sen x, cos x, tg x,√1− x ,

√1− x2 , sen2 x, cos2 x,

sen x2, cos x2, e−12x2, e2x−3, sen(2x+1), 3

√x , arcsen x,

arccos x, arctg x, log x.

2) Trovare (se esiste) l’equazione della retta tangente algrafico delle suddette funzioni nel punto di ascissa 0.

3) Trovare (se esiste) la retta tangente ad un quadratoin uno dei quattro vertici.

4) Indicato con |x| il valore assoluto di x, e cioe la quan-tita

|x| =

x, se x ≥ 0,

−x, se x < 0,

stabilire se i limiti limx→0+

|x|x

e limx→0−

|x|x

sono uguali fra

loro o no.

5) Studiando il limite del rapporto incrementale, stabilirese le funzioni f(x) = |x| e g(x) = x |x| sono derivabiliper x = 0, ed in caso affermativo determinare l’equa-zione della retta tangente.

6) Se moltiplico tra loro due funzioni che non sono deri-vabili, il prodotto sara derivabile?



1) A. Scrivere la definizione della derivata. B. Dopo aver-la scritta, confrontare tale definizione con quella ri-portata su di un testo e/o sugli appunti di lezione, erilevare le eventuali differenze.

2) (∗) Utilizzando la definizione della derivata, determi-nare il comportamento delle seguenti funzioni vicinoall’origine (tangente orizzontale, cuspide, flesso a tan-gente verticale. . . ): x1/3; x4/3; x2/3; x5/3; x1/2; x3/2.

3) (∗) Posto f(x) = x log x, e g(x) = e−1/x per x > 0,prolungare le funzioni f e g per continuita in x = 0, ecalcolarne le derivate destre in tale punto.

4) Stabilire se le funzioni f(t) = arccos cos t

e g(t) =sen t

| sen t| sono periodiche.

5) Tracciare il grafico della funzione f dell’esercizio pre-cedente. Suggerimento: sfruttare la definizione diarccos x per semplificare l’espressione di f .

6) Tracciare il grafico della funzione g dell’esercizio 4.Suggerimento: sfruttare la definizione di |x| per sem-plificare l’espressione di g.

(∗) M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa.Analisi Matematica 1. Zanichelli (pag. 160).


Il differenziale Il differenziale

Dalla definizione della derivata, e tenendo conto del signi-ficato del simbolo o (o piccolo), deduciamo che una funzione fe derivabile in un punto x0 se e solo se esiste un numero realem tale che

f(x)− f(x0) = m (x− x0) + o(x− x0). (50)

Consideriamo dunque una funzione f , derivabile in un puntox0, e indichiamo con y(x) la funzione il cui grafico e la rettatangente al grafico di f in x0: y(x) = m (x− x0) + f(x0), dovem = f ′(x0). Poiche vale l’uguaglianza y(x0) = f(x0), l’incre-mento y(x)− y(x0) si puo scrivere come segue: y(x)− y(x0) =m (x− x0). Percio, la (50) diventa:

f(x)− f(x0) = y(x)− y(x0) + o(x− x0).

Questa formula dice che l’incremento di f e uguale all’incemen-to di y piu un infinitesimo di ordine superiore rispetto a x−x0.L’incremento di y si chiama differenziale di f , e si indica condf . Piu precisamente, si pone:

dfx0(x− x0) = y(x)− y(x0).

In tal modo, la (50) diventa:

f(x)− f(x0) = dfx0(x− x0) + o(x− x0),

che esprime il fatto che l’incremento di f e uguale al diffe-renziale di f piu un infinitesimo di ordine superiore rispetto ax− x0.


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoEserc. sul simbolo ≈ Esercizi

Conveniamo di scrivere f(x) ≈ g(x) per x vicino a x0 se

limx→x0

f(x)− g(x)

x− x0= 0.

1) Determinare due numeri reali m e q tali che senx ≈ mx+q per x vicino a 0.

2) Ripetere l’esercizio precedente sostituendo al posto disenx le seguenti funzioni:

cosx

log(1 + x) (logaritmo naturale di 1 + x)

ex√1 + x

3) Dire se e corretto scrivere: cosx ≈ 1−x2/2 per x vicino a0.

4) Supponiamo di avere tre funzioni f, g e h, e di sapere chef(x) ≈ g(x) e g(x) ≈ h(x) per x vicino ad un certo x0.Possiamo dedurne che f(x) ≈ h(x)?

5) Posto f(x) = senx e g(x) = x+10−6/x, calcoliamo f(x) eg(x) per x = 1,00, x = 0,10, x = 0,01, arrotondando il ri-sultato alla seconda cifra decimale. Osservando i risultatiottenuti, possiamo concludere che senx ≈ x e g(x) ≈ xper x vicino a zero?


Monotonia Monotonia

Definizione (funzione strettamente crescente). Una fun-zione f : (a, b) → R si dice strettamente crescente se per ognix1, x2 ∈ (a, b), tali che x1 < x2, risulta f(x1) < f(x2).

Esempio 15. La funzione y = x2 e strettamente crescentesull’intervallo (0,+∞).

Osservando la definizione, concludiamo che una funzionef : (a, b) → R non e strettamente crescente quando esistonoalmeno due valori x1, x2 ∈ (a, b) tali che x1 < x2 e f(x1) ≥f(x2).

Esempio 16. La funzione y = x2 non e strettamente crescentesull’intervallo (−∞,+∞).

La proprieta di monotonia (crescenza o decrescenza) di unafunzione e legata al segno della derivata prima. In particolare,si ha:

Legame tra monotonia e derivata. Se una funzione f : (a,b) → R e derivabile in (a, b), e se f ′(x) > 0 per ogni x ∈ (a, b)allora f e strettamente crescente.

La proprieta di stretta crescenza di una funzione non sideve identificare con la positivita della derivata prima, comemostra il seguente esempio:

Esempio 17. La funzione f(x) = 2x+ |x| e strettamente cre-scente sull’intervallo (−∞,+∞), e non e derivabile per x = 0.


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoEserc. su monotonia Esercizi

La parte positiva e la parte negativa di x si indicano con x+ ex−, e sono definite come segue:

x+ =

x, se x ≥ 0;

0, se x < 0,x− =

0, se x ≥ 0;

−x, se x < 0.

1) Disegnare il grafico delle seguenti funzioni:

x+, |x|x, x3, x−, x+ + x−, x+ − x−.

2) Stabilire quali, tra le funzioni precedenti, sono derivabilinei punti di ascissa x = 0 e x = 1.

3) Determinare l’equazione della retta tangente al grafico del-la funzione y = x3 nel punto di ascissa x = 0.

4) a. Determinare il piu grande intervallo aperto contenentel’origine e tale che la funzione f1(x) = senx sia stret-tamente crescente in tale intervallo. b. Determinare ilpiu grande intervallo aperto contenente l’origine e tale chef ′1(x) > 0 in tale intervallo.

5) Ripetere l’esercizio precedente, se possibile, usando al po-sto di f1(x) le seguenti funzioni: |x|x, x3, cosx, tg x, ex,log(1 + x) (logaritmo naturale di 1 + x).

6) Dico che se una funzione f : (a, b) → R e derivabile e stret-tamente crescente nell’intervallo (a, b), allora f ′(x) > 0per ogni x ∈ (a, b): dimostrare o confutare questa affer-mazione.


Eserc. base Esercizi

1) Trovare tutti i numeri reali che differiscono da π/2 per unmultiplo di π.

2) Tracciare il grafico delle seguenti funzioni: y = tg(arc-tg x), y = arctg(tg x), y = elog x, y = log ex.

3) Tracciare il grafico della funzione y = arctg x.

4) Trovare il differenziale delle seguenti funzioni nel puntox0 = 0: y =

√1− x2 , y = senx, y = cosx, y = ex, y =

log(1 + x).

5) Consideriamo una funzione f avente per dominio un in-tervallo (a, b) e a valori reali. Consideriamo, inoltre, unpunto x0 ∈ (a, b). Dimostrare che f e derivabile in x0 se esolo se esiste un polinomio di primo grado y(x) = mx+ qtale che f(x) = y(x) + o(x− x0) per x→ x0.



Ottimizzazione Ottimizzazione

I problemi di ottimizzazione consistono nel trovare il piupiccolo (o il piu grande) valore possibile per una data funzione,detta funzione obiettivo. Essi sono importanti per il significatoche la funzione obiettivo ha, di volta in volta, e corrispondonoalla volonta di tovare la migliore soluzione possibile ad un datoproblema.

Esempio 18. Un problema isoperimetrico. Consideriamoun generico cilindro circolare retto, ed indichiamo con r il rag-gio di base e con h l’altezza. Ci proponiamo di determinare re h in modo tale che la superficie totale del cilindro sia la piupiccola possibile, fermo restando il volume.

Tale problema si puo interpretare come la ricerca delle di-mensioni ottimali da dare ad un contenitore (il cilindro) inmodo tale da rendere minima la quantita di materiale neces-saria per costruirlo (proporzionale alla superficie) lasciandoneinalterata la capacita.

Soluzione. Assegnato il valore del volume V , il raggio r e l’al-tezza h sono legati dalla relazione π r2 h = V . Dunque possia-mo esprimere h in funzione di r, come segue: h(r) = V/(π r2).La superficie totale del cilindro A e data da

A(r) = 2π r2 + 2π r h(r) = 2π r2 +2V

r.

Conoscendo l’andamento delle funzioni 2π r2 e 2V/r, possiamogia avere un idea dell’aspetto del grafico della funzione A(r).Per maggiore precisione, usando il calcolo differenziale, trovia-mo:

A′(r) = 4π r − 2V

r2.

Studiamo il segno della derivata prima, perche esso e legatoalla monotonia della funzione A(r). La disuguaglianza 4π r −2V/r2 > 0 equivale a r3 > V/(2π), ovvero r > r0, dove r0 edato da

r0 =3

√

V

2π.

Per il legame che sussiste fra il segno della derivata prima ela monotonia della funzione, possiamo concludere che A(r) estrettamente crescente nell’intervallo (r0,+∞), e strettamentedecrescente nell’intervallo (0, r0) (A(r) non e definita per r ≤0). Dunque il piu piccolo valore di A(r) e quello assunto perr = r0. In corrispondenza, si trova h(r0) =

3√

4V/π e A(r0) =

33√2π V 2 . Si noti che 2 r0 = h(r0).

Avendo in mente almeno l’esempio precedente, passiamo aconsiderare la definizione di minimo di una funzione, che valemolto piu in generale:

Definizione (minimo assoluto di una funzione). Dato uninsieme arbitrario X, consideriamo una funzione f : X → R.Se esiste un x0 ∈ X tale che

f(x0) ≤ f(x) per ogni x ∈ X

allora: si dice che f ammette minimo assoluto in X, il puntox0 si dice punto di minimo assoluto per f in X, e si scrive

minx∈X

f(x) = f(x0).

La definizione di massimo e del tutto analoga:

Definizione (massimo assoluto di una funzione).Dato un insieme arbitrario X, consideriamo una funzionef : X → R. Se esiste un x0 ∈ X tale che

f(x0) ≥ f(x) per ogni x ∈ X


allora: si dice che f ammette massimo assoluto in X, il puntox0 si dice punto di massimo assoluto per f in X, e si scrive

maxx∈X

f(x) = f(x0).

In pratica, nel corso di Analisi Matematica I, l’insieme arbi-trario X e quasi sempre un intervallo. Talvolta, X e l’unionedi un numero finito di intervalli disgiunti, come per esempioil dominio della funzione 1/ log x. Raramente, X e l’unione diinfiniti intervalli disgiunti, come il dominio di

√senx .

Al di fuori del corso, gli elementi dell’insieme X possonoanche non essere numeri, ad esempio possono essere vettori adue o piu componenti, oppure funzioni.

L’errore piu frequente nello studio dei concetti di massimoe minimo consiste nel confonderli con il concetto di punto cri-tico, cioe punto dove si annulla la derivata prima. La seguentediscussione e volta a chiarire la questione.

Un classico teorema, attribuito al giurista Pierre de Fer-mat, afferma che se X e un intervallo sulla retta reale, e se fe derivabile ed assume il minimo in un punto x0 interno a taleintervallo, allora la sua derivata deve annullarsi:

Teorema 2. (Fermat). Se f : (x0−ε, x0+ε) → R ha un mi-nimo assoluto o un massimo assoluto in x0, e se f e derivabilein x0, allora f

′(x0) = 0.

Dimostrazione. Per l’ipotesi di derivabilita di f , e poiche x0 eun punto interno al dominio di f , si ha:

limx→x+

0

f(x)− f(x0)

x− x0= f ′(x0) = lim

x→x−

0

f(x)− f(x0)

x− x0.

Nel caso in cui x0 e un punto di minimo assoluto, il rapportoincrementale al primo membro e maggiore o uguale a 0. Per ilteorema della permanenza del segno, ne segue che f ′(x0) ≥ 0.Ragionando in modo analogo sul rapporto incrementale all’ul-timo membro, si trova che f ′(x0) ≤ 0. Dunque f ′(x0) = 0,

come volevasi dimostrare. La conclusione segue in modo similenel caso in cui x0 e un punto di massimo assoluto.

L’importanza e la notorieta del teorema di Fermat non so-no ragioni sufficienti per identificare il concetto di massimo oquello di minimo con quello di punto critico. Puo infatti av-venire che la derivata non esista in un punto di minimo (o dimassimo), come mostra il seguente esempio.

Esempio 19. La funzione y = |x| ha minimo assoluto perx0 = 0, perche |0| ≤ |x| per ogni x ∈ R, ma tale funzione none derivabile in x0 = 0.

Puo anche avvenire che una funzione abbia minimo in unestremo del suo intervallo di definizione. Anche in questo casoil teorema di Fermat non e applicabile, come mostra il seguenteesempio.

Esempio 20. L’energia potenziale di un punto materiale dimassam, soggetto ad un campo gravitazionale uniforme, e libe-ro di muoversi al disopra di un dato piano orizzontale, e espres-sa dal prodotto mg h, dove g e l’accelerazione di gravita e h ladistanza dal piano suddetto. La funzione f(h) = mg h, defini-ta sull’intervallo [ 0,+∞), oppure sull’intervallo [ 0, b ], dove b eun valore della quota al di sopra del quale il campo gravitazio-nale non puo piu considerarsi uniforme, assume il minimo perh = 0. Tuttavia, la derivata destra f ′(0+) vale mg e non 0.

La questione dell’esistenza di un punto di massimo e diun punto di minimo assoluto e affrontata da un fondamentaleteorema, la cui dimostrazione si puo trovare sui testi di Analisiesistenti:

Teorema 3. (Weierstrass). Se f ha per dominio un inter-vallo chiuso e limitato [a, b], ed e continua in tutti i punti ditale intervallo, allora esistono almeno un punto di massimoassoluto ed uno di minimo assoluto.

I teoremi di Fermat e di Weierstrass, oltre a fornire deglistrumenti per la ricerca degli eventuali punti di massimo e di


minimo di una funzione, e quindi per la soluzione dei problemidi ottimizzazione, sono anche la chiave per dimostrare un altroclassico teorema, dalle importanti conseguenze:

Teorema 4. (Rolle). Sia f : [a, b] → R una funzione deriva-bile in (a, b) e continua agli estremi, e tale che f(a) = f(b).Allora esiste almeno un punto ξ ∈ (a, b) tale che f ′(ξ) = 0.

Dimostrazione. Poiche, per ipotesi, f e derivabile in (a, b), essae anche continua in (a, b). Ancora per ipotesi, f e continuaanche agli estremi di tale intervallo. Dunque ammette massimoe minimo assoluti (per il teorema di Weierstrass). Se almenouno tra il massimo ed il minimo di f e assunto in un puntointerno ξ, allora f ′(ξ) = 0 per il teorema di Fermat. Se, invece,sia il massimo che il minimo di f sono assunti agli estremi,allora, siccome f(a) = f(b), f e costante e f ′(ξ) = 0 per ogniξ ∈ (a, b).

Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoEserc. ottimizzazione Esercizi

1) Supponiamo di voler costruire un tubo di lunghezza ℓ,la cui sezione sia di forma rettangolare ed abbia un’areaassegnata A, utilizzando la minore quantita possibile dimateriale. Determinare le dimensioni x e y della sezionedel tubo.

2) Determinare gli eventuali punti di massimo e gli eventualipunti di minimo assoluto della funzione y = x2 (non enecessario usare il calcolo differenziale).

3) Determinare gli eventuali punti di massimo e gli eventualipunti di minimo assoluto della funzione

y =1

σ√2π

e−12

(x−µ)2

σ2 ,

dove µ e σ sono due parametri reali, con σ > 0 (non enecessario usare il calcolo differenziale).

4) Consideriamo un intervallo chiuso e limitato [a, b], ed unagenerica funzione f : [a, b] → R. Supponiamo che

minx∈[a,b]

f(x) = f(a).

Supponiamo, inoltre, che f sia dotata di derivata destraf ′+(a). Dimostrare che f ′+(a) ≥ 0.


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoT. Lagrange, Cauchy Esercizi

1) Consideriamo un generico intervallo chiuso e limitato[a, b], ed una generica funzione f : [a, b] → R. Supponiamoche f sia derivabile nell’intervallo aperto (a, b), e continuaagli estremi. Dimostrare che esiste almeno un puntoξ ∈ (a, b) tale che

f ′(ξ) =f(b)− f(a)

b− a

(teorema del valor medio di Lagrange). Suggerimento: ve-rificare che la funzione ϕ(x) = (b−a) f(x)−(f(b)−f(a))xsoddisfa le ipotesi del teorema di Rolle.

2) Interpretare geometricamente il teorema di Lagrange.

3) Dimostrare che se una funzione f e derivabile in un in-tervallo (a, b), e se f ′(x) > 0 per ogni x ∈ (a, b), allora fe strettamente crescente. Suggerimento: usare il teoremadi Lagrange.

4) Consideriamo due funzioni f e g, continue in un intervallo[a, b], e derivabili in (a, b). Supponiamo che g′(x) 6= 0 perogni x ∈ (a, b). Dimostrare che (teorema di Cauchy) esistealmeno un ξ ∈ (a, b) tale che

f(b)− f(a)

g(b)− g(a)=

f ′(ξ)

g′(ξ).

Suggerimento: usare la funzione ψ(x) = (g(b) − g(a))f(x)− (f(b)− f(a)) g(x).



Convessita Convessita

Una delle piu notevoli proprieta qualitative di una funzionee la convessita, che si puo definire come segue:

Definizione (funzione convessa). Una funzione f : (a, b) →R si dice convessa se per ogni x1, x2 ∈ (a, b) ed ogni t ∈ (0, 1)si ha

f(t x1 + (1− t)x2) ≤ t f(x1) + (1− t) f(x2).

La definizione appena data esprime il fatto che nessunpunto del segmento che congiunge due punti qualunque (x1,f(x1)), (x2, f(x2)) del grafico di f si trova al di sotto del pun-to del grafico di f avente la stessa ascissa. In modo del tuttoanalogo si definisce la concavita:

Definizione (funzione concava). Una funzione f : (a, b) →R si dice concava se per ogni x1, x2 ∈ (a, b) ed ogni t ∈ (0, 1)si ha

f(t x1 + (1− t)x2) ≥ t f(x1) + (1− t) f(x2).

Se una funzione f e derivabile due volte, la sua eventualeconvessita e legata al segno della derivata seconda:

Legame con la derivata seconda. Supponiamo che f :(a, b) → R sia derivabile due volte in tutto l’intervallo (a,b). Condizione necessaria e sufficiente affinche f sia convessa(rispettivamente, concava) e che f ′′(x) ≥ 0 (rispettivamente,f ′′(x) ≤ 0) per ogni x ∈ (a, b).

Osservazione. Poiche f ′′ e la derivata di f ′, e tenendo pre-sente il legame tra derivata e monotonia, si conclude che lacondizione

f ′′(x) ≥ 0 per ogni x ∈ (a, b)

equivale alla non-decrescenza di f ′. Similmente, la condizione

f ′′(x) ≤ 0 per ogni x ∈ (a, b)

equivale alla non-crescenza di f ′.

E bene tener presente che una funzione puo benissimo esse-re convessa, o concava, senza che ne esista la derivata secondain qualche punto. Questa circostanza e evidenziata dal seguen-te esempio.

Esempio 21. La funzione y = |x| e convessa, pur non essendoderivabile nel punto x = 0.


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoStudio del grafico Studio del grafico

A conclusione della trattazione di alcune proprieta qualita-tive delle funzioni, studiamo il grafico della funzione y = x2. Eben noto che tale funzione ha per grafico una parabola aventeper asse l’asse y, il vertice nell’origine, e la concavita rivoltaverso l’alto. Pertanto, si ha la possibilita di mettere alla provale nozioni teoriche sin qui sviluppate.

Studio del grafico di y = x2.

0) Il dominio e R. Questa informazione va resa sul graficoevitando di dare l’impressione che esso, da un certo puntoin poi, salga verticalmente, parallelo all’asse y.

1) Simmetria nella variabile x: si ha x2 = (−x)2 per ognix ∈ R. Il grafico e simmetrico rispetto all’asse y.

2) Non-negativita: risulta x2 ≥ 0 per ogni x ∈ R. Dunque ilgrafico giace nel semipiano y ≥ 0.

3) L’uguaglianza x2 = 0 vale se e solo se x = 0: questo, uni-tamente alla definizione di minimo assoluto ed all’osserva-zione precedente, consente di dire che la funzione y = x2

ha un minimo assoluto per x = 0.

4) Monotonia. Prendiamo x1 e x2 in modo tale da soddisfarela condizione 0 < x1 < x2. Poiche una disuguaglianza siconserva moltiplicando ambo i membri per una quantitapositiva, si ha x21 < x1 x2 e x1 x2 < x22. Per la proprietatransitiva si ricava quindi x21 < x22, e percio x2 e stretta-mente crescente sull’intervallo (0,+∞).

Se, invece, x1 < x2 < 0, si trova x21 > x22, e percio x2 estrettamente decrescente sull’intervallo (−∞, 0).

5) Si ha limx→+∞

x2 = +∞. Infatti, fissato un M ∈ R+ grande

a piacere, se x >√M allora x2 > M . In maniera analo-

ga si dimostra che limx→−∞

x2 = +∞, come del resto segue

dalla simmetria della funzione y = x2.

6) La derivata esiste per ogni x ∈ R, ed e data da (x2)′ = 2x.Essa si annulla per x = 0. Dunque il grafico amette tan-gente in ogni punto, e la tangente nell’origine e orizzontale.

7) Convessita: la derivata seconda esiste in ogni punto, e siha (x2)′′ = 2 > 0. Dunque la funzione y = x2 e convessa.

8) Massimi e minimi: poiche y(0) = 0, e poiche y(x) ≥ 0 perogni x ∈ R, la definizione di minimo assoluto e soddisfat-ta, e possiamo scrivere min

x∈Rx2 = 0.

Non vi sono altri estremi all’infuori di quello appena indi-viduato. Cio si puo dedurre dalla proprieta di monotonia,esaminata prima, oppure facendo appello al teorema diFermat, e tenendo conto del fatto che l’unico punto criti-co e x0 = 0.


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoEserc. su convessita Esercizi

1) Indicato conM un generico numero reale positivo, trovareun numero x0 ∈ R tale che x2 > M per ogni x < x0 (se sirisolve questo esercizio, si puo scrivere lim

x→−∞x2 = +∞).

2) Trovare una funzione f : R → R tale che ogni punto delsuo grafico disti dal punto (0, 1/4) tanto quanto dista dal-la retta y = −1/4.

3) Verificare che la funzione f(x) = mx+ q soddisfa la defi-nizione di funzione convessa per ogni m, q ∈ R.

4) Presi due punti generici x1, x2 ∈ R, determinare la leggeoraria x = x(t) del moto di un punto che si muove lungol’asse x con velocita costante, ed in modo tale che x(0) =x2, x(1) = x1.

5) Data una funzione generica f : (a, b) → R, e fissati duepunti distinti x1, x2 ∈ (a, b), trovare l’equazione della ret-ta r passante per i due punti del grafico di f aventi ascissarispettivamente uguale a x1 e x2.

6) Determinare la legge oraria del moto di un punto che simuove di moto uniforme lungo la retta r dell’esercizio pre-cedente, e la cui ascissa e x2 all’istante t = 0, e x1 all’i-stante t = 1.

Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoEsercizi di riepilogo Esercizi

1) Tracciare il grafico delle seguenti funzioni: x + log x,√x2 + 5x+ 4 , x+ 2

x , x99, ecosx, 1− |x− 2|.

2) Determinare gli eventuali punti di massimo assoluto, e glieventuali punti di minimo assoluto delle funzioni dell’eser-cizio precedente.

3) Risolvere la disequazione√x2 + 5x+ 4 < 2− x

2

4) Determinare la base x e l’altezza y di un rettangolo inmodo tale che la sua area sia A = 4 ed il suo perimetrosia il piu grande possibile.



Moto uniforme Moto uniforme

Studiamo il moto di un punto materiale il cui vettore ve-locita v sia costante. Piu precisamente, determiniamo la leggeoraria del moto x = x(t), dove x e il vettore di R3 che rappre-senta la posizione del punto mobile, e t e la variabile temporale.Richiamiamo la definizione di funzione costante:

Definizione (funzione costante). Una funzione x(t), dovex ∈ R

N , N ≥ 1, e t ∈ (a, b), si dice costante se esiste un vettorex0 ∈ R

N tale che

x(t) = x0 per ogni t ∈ (a, b).

Come vedremo tra poco, le funzioni costanti su di un in-tervallo si possono caratterizzare mediante la loro derivata. Laderivata di una funzione a valori vettoriali x(t) si definisce co-me segue:

Definizione della derivata. Una funzione x(t), dove x ∈RN , N ≥ 1, e t ∈ (a, b), si dice derivabile in un punto t0 ∈ (a, b)

se esiste un vettore di RN , denotato con x′(t0), tale che

limt→t0

x(t)− x(t0)

t− t0= x′(t0). (51)

In tal caso, il vettore x′(t0) si chiama derivata di x(t) per t =t0.

Si noti che la definizione della derivata non puo essere ri-dotta alla sola formula (51), ma richiede l’esistenza del limiteche vi figura. Un’altra possibile definizione e la seguente:

Definizione della derivata. Una funzione x(t), dove x ∈RN , N ≥ 1, e t ∈ (a, b), si dice derivabile in un punto

t0 ∈ (a, b) se le componenti x1(t), . . . , xN (t) di x(t) sono tut-te derivabili per t = t0 nel senso della definizione di pagi-na 40. In tal caso, si dice derivata di x(t) per t = t0 il vettorex′(t0) = (x′1(t0), . . . , x

′N (t0)).

Le due precedenti definizioni sono equivalenti nel senso cheuna funzione x(t) ne soddisfa una se e solo se soddisfa l’altra.Cio e dovuto al fatto che il limite di una funzione a valori inRN e (se esiste) il vettore le cui componenti sono i limiti delle

componenti della funzione.

A questo punto possiamo caratterizzare le funzioni costantiattraverso la loro derivata.

Lemma 1. Una funzione x(t), dove x ∈ RN , N ≥ 1, e t ∈

(a, b), e costante se e solo se x′(t) = 0 per ogni t ∈ (a, b).

Dimostrazione. Supponiamo che la funzione x(t) sia costante.Allora il rapporto incrementale

x(t)− x(t0)

t− t0

e uguale a 0 per ogni t 6= t0. Dunque ne esiste il limite pert→ t0, e tale limite e ancora 0.

Viceversa, supponiamo che x(t) (sia derivabile in (a, b) ed)abbia la derivata identicamente nulla. Fissiamo un punto apiacere t0 ∈ (a, b). Per ogni t ∈ (a, b) diverso da t0, e per ognik = 1, . . . , N possiamo applicare il teorema di Lagrange allacomponente xk(t) di x(t): dunque esiste un punto ξ ∈ (a, b)tale che

xk(t)− xk(t0)

t− t0= x′k(ξ).

Poiche il secondo membro e uguale a zero per ipotesi, ne se-gue che xk(t) = xk(t0). Dunque x(t) e costante, come vo-levasi dimostrare, ed assume identicamente il valore x0 =(x1(t0), . . . , xN (t0)).


Applicazione. Supponiamo che un punto materiale si muo-va in R

3 secondo la legge oraria x = x(t), dove x(t) e unafunzione incognita che costituisce l’oggetto del nostro studio, et ∈ (a, b). Supponiamo che la velocita v del punto sia costante.Tale circostanza si esprime attraverso l’equazione

x′(t) = v. (52)

L’equazione (52), dove v rappresenta un vettore dato, e x(t)una funzione incognita, e un esempio di equazione differenziale(vettoriale) del primo ordine, ovvero di sistema di equazionidifferenziali (scalari) del primo ordine. Indicate con v1, v2, v3le componenti di v, esso puo essere scritto come segue:

x′1(t) = v1,

x′2(t) = v2,

x′3(t) = v3.

Osserviamo che la funzione

x(t) = x0 + v t (53)

soddisfa la (52) qualunque sia il vettore x0. Resta da vederese ci sono altre soluzioni. A tal fine, indichiamo con x(t) unagenerica soluzione dell’equazione, e consideriamo la differenzax(t)−v t. Derivando rispetto a t si trova (x(t)−v t)′ = x′(t)−v = 0. Usando il lemma 1, segue che la differenza x(t)− v t ecostante, dunque non vi sono altre soluzioni oltre a quelle dellaforma (53).


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoFormula di Taylor Formula di Taylor

Teorema 5. (Formula di Taylor con il resto di Lagran-ge). Consideriamo un numero naturale n, una funzione f(x)derivabile n+1 volte in un intervallo (a, b), e due punti x0, x ∈(a, b). Allora esiste ξ ∈ (a, b) tale che

f(x) =n∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k +f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!(x− x0)

n+1, (54)

dove f (k) denota la derivata k-esima di f , e si intende chef (0) = f , 00 = 1, 0! = 1.

Dimostrazione. Il procedimento per la dimostrazione e indica-to negli esercizi 5–9 a pagina 66. In particolare, si trova che sex0 < x allora ξ ∈ (x0, x). Se, invece, x < x0, allora ξ ∈ (x, x0).Se, infine, x = x0, la (54) diventa:

f(x0) = f(x0) 00 +

f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!0n+1

e si verifica direttamente.

La (54) si dice formula di Taylor con il resto di Lagrange,ed il termine

f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!(x− x0)

n+1

si chiama resto di Lagrange.

Osservazione. (Il caso n = 0). Per n = 0, la (54) diventa:f(x) = f(x0)+ f ′(ξ) (x−x0). Dunque il teorema 5 si riduce alteorema di Lagrange.

Osservazione. (0! = 1). Rinunciando all’uguaglianza 0! =1, la formula di Taylor si puo scrivere come segue:

f(x) = f(x0) +n∑

k=1

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k +f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!(x− x0)

n+1.

L’uguaglianza 0! = 1 si giustifica non tanto chiedendosi cosaavviene se si moltiplica lo zero per i numeri naturali precedenti(che non ci sono), ma osservando che essa consente di scriverela formula di Taylor nella forma (54), che e piu concisa di quellaqui sopra.

Osservazione. (00 = 1). L’uguaglianza 00 = 1 si giustificanon tanto chiedendosi cosa avviene se si moltiplica 0 per sestesso 0 volte, ma osservando che essa consente di dire che laformula di Taylor e valida anche nel caso x = x0. In tal caso,infatti, il secondo membro della (54) si riduce al solo termi-ne f(x0) 0

0/0! . Usando le uguaglianze 00 = 1 e 0! = 1, taletermine diventa f(x0), e l’uguaglianza (54) e soddisfatta.

La formula di Taylor con il resto di Lagrange puo servireper il calcolo di alcune funzioni trascendenti, come mostra ilseguente esempio.

Esempio 22. Una stima con la formula di Taylor. Pren-diamo f(x) = senx e x0 = 0 (quando x0 = 0, la formula (54)si dice formula di Maclaurin). La (54) diventa:

senx =n∑

k=0

(−1)kx2k+1

(2k + 1)!+f (2n+3)(ξ)

(2n+ 3)!x2n+3

Ponendo n = 1 si ottiene:

senx = x− x3

3!+

cos ξ

5!x5,

cioe

senx−(

x− x3

3!

)

=cos ξ

5!x5.


Per ogni x ∈ [−1, 1 ] si ha |x5| ≤ 1, e percio:

∣∣∣∣senx−

(

x− x3

3!

)∣∣∣∣≤ 1

120.

Se, dunque, riteniamo accettabile un errore non superiore a1/120, possiamo usare il polinomio x−x3/6 al posto della fun-zione senx per x ∈ [−1, 1 ]. Il vantaggio e che il valore di unpolinomio si ottiene mediante le quattro operazioni aritmeti-che.

Serie di Taylor. Supponiamo che f possieda le derivate ditutti gli ordini in un intervallo (a, b). Fissato un punto x0 ∈(a, b), la serie di Taylor di f si rappresenta con la seguenteespressione:

+∞∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k,

la quale, a sua volta, si definisce attraverso il seguente limite:

+∞∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k = limn→+∞

n∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k.

Se tale limite esiste ed e finito, si dice che la serie converge,ed il valore del limite si dice somma della serie. Se il limitesuddetto non esiste, si dice che la serie e indeterminata.

Esempio 23. Serie di Maclaurin di senx. La serie diMaclaurin (cioe la serie di Taylor con x0 = 0) della funzionef(x) = senx converge per ogni x ∈ R, e la sua somma e senx.In particolare, per x ∈ [−1, 1 ] la conclusione segue dal fattoche il resto di Lagrange tende a 0 per n→ +∞. Questo e veroanche se x 6∈ [−1, 1 ], ma la dimostrazione e meno immediata.

Esempio 24. Serie di Maclaurin di cosx e ex. Per le fun-zioni cosx e ex valgono considerazioni analoghe a quelle fattenell’esempio precedente.

Esempio 25. Serie di Maclaurin di log(1 + x).La serie di Maclaurin della funzione f(x) = log(1+x) convergeper x ∈ (−1, 1 ], e la sua somma e log(1+x). In particolare, perx ∈ [ 0, 1 ] la conclusione segue dal fatto che il resto di Lagrangetende a 0 per n → +∞. Questo e vero anche se x ∈ (−1, 0),ma la verifica e meno immediata.

Teorema 6. (Formula di Taylor con il resto di Peano).Consideriamo un intero positivo n, e una funzione f(x) deri-vabile n−1 volte in un intervallo (a, b), e dotata della derivatan-esima in un certo punto x0 ∈ (a, b). Allora per x→ x0 si ha:

f(x) =n∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k + o((x− x0)n). (55)

Dimostrazione. Seguire il suggerimento dell’esercizio 1 a pagi-na 31.

La formula (55) si dice formula di Taylor con il resto diPeano.

Osservazione. (Il caso n = 1). Per n = 1 la (55) si riduce af(x) = f(x0)+f

′(x0) (x−x0)+o(x−x0), formula che discendedirettamente dalla definizione della derivata.



Eserc. Taylor 1 Esercizi

Posto f(x) = 2x2+2x− 24; x0 = 1 per ogni x ∈ R; f (0) = f , ef (k) = df (k−1)/dx per ogni k ∈ Z

+, svolgere i seguenti esercizi.

1) Stabilire se esistono un intero n ed opportuni coefficienti

ak, k = 0, . . . , n, tali che risulti f(x) =n∑

k=0

ak xk per ogni

x ∈ R. In caso affermativo, determinare il valore di n edegli ak.

2) Tracciare il grafico del polinomio P2(x) definito come se-gue:

P2(x) =2∑

k=0

f (k)(0)

k!xk.

3) Determinare i parametri m e q in modo tale che la rettadi equazione y(x) = mx + q sia tangente al grafico di fnel punto di ascissa x0 = 0.

4) Calcolare i seguenti limiti:

limx→0

f(x)− y(x)

x; lim

x→0

f(x)− P2(x)

x2.

Svolgere nuovamente gli esercizi precedenti ponendo questa vol-ta f(x) = cosx.



1) Posto f(x) = (x+ 3)2 e x0 = 1 per ogni x ∈ R; f (0) = f ,e f (k) = df (k−1)/dx per ogni k ∈ Z

+, risolvere l’equazione

f(x) =2∑

k=0

f (k)(0)

k!xk (56)

L’equazione (56) non ha soluzioni reali. Tutti i nu-meri reali x soddisfano la (56). L’equazione (56) haun’unica soluzione, che e x =

2) Posto f(x) = log(1 + x), e definita di conseguenza f (k)

per k ∈ N, possiamo dire che: L’equazione (56) non hasoluzioni reali. Tutti i numeri reali x soddisfano la (56). L’equazione (56) ha un’unica soluzione, che e x =

3) Calcolare i seguenti limiti:

limx→0

x− 12 x

2 − log(1 + x)

x2

limx→0

x− 12 x

2 − log(1 + x)

sen2 x




Indicato con n un generico numero naturale, e data unafunzione f derivabile n volte in un intervallo (a, b) e a valo-ri reali, fissato un punto x0 ∈ (a, b), il polinomio di TaylorPn(x, x0) associato alla funzione f si definisce come segue:

Pn(x, x0) =n∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k,

dove f (k) denota la derivata k-esima di f , e si intende chef (0) = f , 00 = 1, 0! = 1.

1) Scrivere il polinomio di Taylor P2(x, 0) associato alle fun-zioni senx, cosx, ex, log(1 + x).

2) Confrontare i grafici delle funzioni precedenti con quellidei corrispondenti polinomi P2(x, 0). Confrontare, in par-ticolare, le derivate prime e le derivate seconde nel puntox = 0.

Se f e derivabile n + 1 volte nell’intervallo (a, b), allora perogni x ∈ (x0, b) esiste un punto ξ ∈ (x0, x) tale che f(x) =Pn(x, x0)+f

(n+1)(ξ) (x−x0)n+1/(n+1)! (formula di Taylor conil resto di Lagrange). Il termine f (n+1)(ξ) (x− x0)

n+1/(n+1)!si dice resto di Lagrange.

3) Scrivere il polinomio P4(x, 0) associato a f(x) = senx.Verificare che 0,323 < P4(1/3, 0) < 0,3. Verificare che ilvalore assoluto del resto di Lagrange e piu piccolo di 0,01.Trovare la prima cifra decimale di sen(1/3).

4) Verificare che |x− senx| ≤ |x|3/6 per ogni x ∈ R.

5) Scrivere l’enunciato del teorema di Cauchy procedendocome segue: a) basarsi sulla memoria; b) consultare ledispense, un libro o gli appunti di lezione; c) chiedere altutor o al docente.

6) Consideriamo un punto x ∈ (x0, b). Applicando il teoremadi Cauchy alle funzioni f(x) − Pn(x, x0) e (x − x0)

n+1,sull’intervallo [x0, x], si deduce che: esiste un punto ξ1 ∈(x0, x) tale che... (completare).

7) Supponiamo che n > 0. Applicando il teorema di Cauchyalle funzioni (f(x)−Pn(x, x0))

′ e ((x−x0)n+1)′, sull’inter-vallo [x0, ξ1], si deduce che: esiste un punto ξ2 ∈ (x0, ξ1)tale che... (completare).

8) Supponiamo che n > 1. Applicando il teorema di Cauchyalle funzioni (f(x)−Pn(x, x0))

′′ e ((x−x0)n+1)′′, sull’inter-vallo [x0, ξ2], si deduce che: esiste un punto ξ3 ∈ (x0, ξ2)tale che... (completare).

9) Consideriamo un punto x ∈ (x0, b). Applicando n +1 volte il teorema di Cauchy, inizialmente alle funzio-ni f(x) − Pn(x, x0) e (x − x0)

n+1 sull’intervallo [x0, x],poi (se n > 0) alle funzioni (f(x) − Pn(x, x0))

′ e ((x −x0)

n+1)′ sull’intervallo [x0, ξ1], poi (se n > 1) alle fun-zioni (f(x) − Pn(x, x0))

′′ e ((x − x0)n+1)′′ sull’intervallo

[x0, ξ2], eccetera, infine alle funzioni (f(x)−Pn(x, x0))(n)

e ((x − x0)n+1)(n) sull’intervallo [x0, ξn], si deduce che:

esiste un punto ξ ∈ (x0, x) tale che... (completare).




1) Indicato con I l’intervallo I = [0, 12 ], svolgere i seguentiesercizi.

(a) Applicando il teorema di Lagrange alla funzione f(x)= log(1 + x) sull’intervallo I, verificare che

log 32 ∈ (13 ,

12). (57)

(b) Applicando il teorema di Lagrange alla funzione ϕ(x)= senx sull’intervallo I, verificare che

sen 12 ∈ (0, 12). (58)

Rappresentare sulla circonferenza trigonometrical’angolo di 1

2 radianti. Trovare un altro metodo perverificare la (58).

(c) Applicando il teorema di Lagrange alla funzioneψ(x) = cosx sull’intervallo I, e sfruttando la (58),verificare che

cos 12 ∈ (34 , 1). (59)

(d) Applicando il teorema di Lagrange alla funzione ϕ(x)sull’intervallo I, e sfruttando la (59), verificare che

sen 12 ∈ (38 ,

12). (60)

Stabilire se la formula (60) implica la (58).

(e) Applicando il teorema di Lagrange alla funzione g(x)= ex sull’intervallo I, verificare che

√e > 1,5 e quin-

di che e > 2,25. Stabilire se questo risultato e unaconseguenza della (57).

2) Trovare il polinomio di Maclaurin di ordine 1 associatoalle funzioni f, ϕ, ψ e tracciarne il grafico insieme a quellodella funzione generatrice. Sfruttando la corrispondenteformula di Maclaurin e le relazioni (59) e (60), verificareche:

log 32 ∈ (38 ,

49)

sen 12 ∈ ( 7

16 ,12)

cos 12 ∈ (78 ,

2932)

3) Calcolare il limite limx→0

(√1 + x − 1) log(1 + x)

x tg x

4) Sfruttando la formula di Maclaurin con il resto di Lagran-ge applicata alle funzioni f, g, ϕ, ψ, verificare le seguentiuguaglianze:

limn→+∞

n∑

k=1

(−1)k−1

k= log 2;

limn→+∞

n∑

k=0

1

k!= e;

limn→+∞

n∑

k=0

(−1)k

(2k + 1)!= sen 1;

limn→+∞

n∑

k=0

(−1)k

(2k)!= cos 1.




1) Disegnare il grafico della funzione f(x) = log(1 + x).

2) Scrivere la formula di Maclaurin con il resto di Lagrangeper la funzione f(x) = log(1 + x). Usare un polinomio diMaclaurin di grado generico n > 0.

3) Verificare che se x ∈ [ 0, 1 ], allora il valore assoluto delresto di Lagrange dell’esercizio precedente non supera laquantita

1

n+ 1.

4) Per ogni x ∈ (−1, 1 ] sussiste la seguente uguaglianza:

log(1 + x) =+∞∑

k=1

(−1)k−1

kxk.

Verificarla almeno per x ∈ [ 0, 1 ].

5) Disegnare il grafico della funzione

f(x) =1

1− x.

6) Scrivere la formula di Maclaurin con il resto di Lagrangeper la funzione precedente. Usare un polinomio di Ma-claurin di grado n generico.

7) Verificare l’uguaglianzan∑

k=0

xk = (1 − xn+1)/(1 − x) per

ogni x ∈ R \ 1 ed ogni n ∈ N facendo un ragionamentoinduttivo.

8) Indicato con n un generico numero naturale, e conside-rati n + 1 numeri reali generici a0, . . . , an, con an 6= 0,definiamo il polinomio f(x) ponendo

f(x) =n∑

k=0

ak xk.

Scrivere la formula di Maclaurin per f(x) con il resto diLagrange, usando un polinomio di Maclaurin di grado n(il grado di f).

9) Scrivere la formula di Maclaurin con il resto di Lagrangeper la funzione f(x) = ex, usando un polinomio di Ma-claurin di grado n generico.

10) Per ogni x ∈ R sussiste la seguente uguaglianza:

ex =+∞∑

k=0

xk

k!.

Verificarla almeno per x ∈ [−1, 1 ].


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoIntegrale indefinito Integr. indefinito

Si usa correntemente la parola integrale per fare riferimen-to a due diversi concetti, legati fra loro, detti piu precisamenteintegrale indefinito e integrale definito. Consideriamo per pri-mo l’integrale indefinito. Premettiamo la nozione di primitivadi una funzione:

Definizione (primitiva). Data una funzione f : (a, b) → R,si dice primitiva di f una qualunque funzione F : (a, b) → R

che sia derivabile in tutto l’intervallo (a, b) e tale che

F ′(x) = f(x) per ogni x ∈ (a, b).

Esempio 26. Una primitiva della funzione f(x) = ex sull’in-tervallo (−∞,+∞) e la funzione F (x) = ex.

Definizione (integrale indefinito). Data una funzionef : (a, b) → R, si chiama integrale indefinito di f l’insieme ditutte le primitive di f .

E notevole il fatto che l’integrale indefinito di una data fun-zione su di un dato intervallo si possa rappresentare a partireda una qualunque particolare primitiva:

Teorema 7. Supponiamo che F sia una particolare primiti-va di una funzione data f su di un intervallo (a, b). Alloraqualunque primitiva G di f su (a, b) si puo scrivere nella for-ma G(x) = F (x) + C, a patto di scegliere opportunamente lacostante C ∈ R.

Dimostrazione. Si applica a G− F il ragionamento fatto nelladimostrazione del lemma 1 a pagina 61.

La circostanza espressa dal teorema precedente si esprimecon la notazione

∫

f(x) dx = F (x) + C.

Esempio 27. Utilizzando l’esempio 26 ed il teorema 7 si con-clude che ∫

ex dx = ex + C.

Osservazione. Per la validita del teorema 7, e di decisivaimportanza il fatto che le funzioni considerate abbiano per do-minio un solo intervallo. Quando il dominio di f e l’unionedi due o piu intervalli disgiunti, il teorema non e applicabile,come mostra il seguente esempio.

Esempio 28. La funzione

F (x) =

log x, se x > 0,

log(−x), se x < 0,

e una primitiva di 1/x sia sull’intervallo (−∞, 0) che su(0,+∞). Si dice, brevemente, che “e una primitiva di 1/x”senza far riferimento al dominio, ne al fatto che il dominio none un intervallo. Ma allora, anche la funzione F (x) + C e unaprimitiva di 1/x, qualunque sia C ∈ R. Ma e una primitivaanche

G(x) =

log x+ C1, se x > 0,

log(−x) + C2, se x < 0,

per qualunque valore di C1, C2 ∈ R. Inoltre, quando C1 6= C2,la funzione G(x) differisce da F (x) + C qualunque sia C ∈ R.Infatti, si ha:

G(x)− F (x) =

C1, se x > 0,

C2, se x < 0.


Dunque, la notazione F (x) + C non rappresenta l’insieme ditutte le primitive di 1/x sull’insieme (−∞, 0) ∪ (0,+∞). Se,invece, consideriamo separatamente gli intervalli (−∞, 0) e(0,+∞), allora vale il teorema 7, e possiamo scrivere:

∫1

xdx = log x+ C per x > 0,

∫1

xdx = log(−x) + C per x < 0.

Osservazione. Visto che il teorema 7 ed il lemma 1 non sonoapplicabili quando il dominio della funzione f (rispettivamente,della funzione x) non e un intervallo, puo essere interessantechiedersi quale passaggio della dimostrazione, svolta a partiredalla pagina 61, richiede che x abbia per dominio un intervallo:e il passaggio che fa appello al teorema di Lagrange, il quale asua volta fa proprio questa ipotesi.

Esempio 29. Usando le informazioni fin qui raccolte, ed usan-do la lettera n per denotare un generico numero intero, e α perun generico numero reale, possiamo scrivere:

∫

xn dx =1

n+ 1xn+1 + C, per n ∈ Z

+ e x ∈ R,

∫

senx dx = − cosx+ C, per x ∈ R,

∫

xn dx =1

n+ 1xn+1 + C, per n ∈ Z

+ e x ∈ R,

∫

senx dx = − cosx+ C, per x ∈ R,

∫

cosx dx = senx+ C, per x ∈ R,

∫

xα dx =

1

α+ 1xα+1 + C, per α 6= −1, x > 0,

log x+ C, per α = −1, x > 0.

Regola di integrazione per sostituzione. Consideriamodue funzioni F, f : (a, b) → R tali che F ′(x) = f(x) per ognix ∈ (a, b). Consideriamo inoltre una funzione x = ϕ(t) (unasostituzione) avente per dominio un intervallo (t1, t2) e tale cheϕ(t) ∈ (a, b) per ogni t ∈ (t1, t2). Si possono allora considerarele funzioni composte F (ϕ(t)) e f(ϕ(t)), come faremo tra poco.Gli intervalli (a, b) e (t1, t2) possono anche essere illimitati. Sela funzione ϕ(t) e derivabile, allora per la regola di derivazionedella funzione composta possiamo scrivere

d

dtF (ϕ(t)) = f(ϕ(t))ϕ′(t)

da cui si deduce che: 1) la funzione f(ϕ(t))ϕ′(t) (il secondomembro) possiede primitive, e una di esse e F (ϕ(t)); 2) la dif-ferenza tra la funzione composta F (ϕ(t)) ed una qualunqueprimitiva G(t) della funzione f(ϕ(t))ϕ′(t) e costante. Cio se-gue dal Lemma 1 di pag. 61 perche la differenza F (ϕ(t))−G(t)ha la derivata identicamente nulla. Esiste dunque una costanteC tale che

F (ϕ(t)) = G(t) + C per t ∈ (t1, t2). (61)

Questa proprieta si scrive di solito nel seguente modo:∫

f(x) dx =

∫

f(ϕ(t))ϕ′(t) dt. (62)

Quest’ultima uguaglianza, detta regola di integrazione per so-stituzione, esprime un legame fra due integrali nei quali le va-riabili di integrazione sono diverse: infatti, la variabile di inte-grazione e x al primo membro, e t al secondo. La (62) si ricordafacilmente perche essendo x = ϕ(t) risulta dx = ϕ′(t) dt.

Esempio 30. Consideriamo l’integrale∫sen ax dx, con a 6= 0,

sull’intervallo (−∞,+∞). Effettuiamo la sostituzione x = t/a,con t ∈ (−∞,+∞). La formula (62) diventa

∫

sen ax dx =

∫

(sen t)1

adt.


Il secondo membro e un integrale immediato, ed una primiti-va della funzione integranda e G(t) = − 1

a cos t. La (61) diceche qualunque primitiva F (x) di sen ax soddisfa l’uguaglianzaF (t/a) = − 1

a cos t+C per un’opportuna C ∈ R. Si noti che lavariabile indipendente ora e t.

Spesso, come in questo caso, si puo ricavare esplicitamenteF (x), ma per fare cio si utilizza una proprieta di ϕ(t) che none necessaria per la validita di (61) e (62), e non e stata richie-sta finora: l’invertibilita di ϕ(t). Poiche la funzione x = t/a einvertibile, e la sua inversa e t = ax, arriviamo alla conclusioneche qualunque primitiva F (x) di sen ax soddisfa l’uguaglianzaF (x) = − 1

a cos ax + C, per un’opportuna C ∈ R, cioe in altritermini ∫

sen ax dx = −1

acos ax+ C.

Questo risultato, per la verita, si trova immediatamente, mapuo essere utile studiare il procedimento appena descritto perimparare la regola di integrazione per sostituzione.

Esempio 31. Consideriamo l’integrale∫

log x

xdx

per x ∈ (0,+∞). Applicando la (62) con x = et si trova∫

log x

xdx =

∫

t dt.

Il secondo membro dell’uguaglianza sovrastante e un integraleimmediato:

∫t dt = t2/2+C. Per la (61), ogni primitiva F (x)

della funzione f(x) = (log x)/x e tale che F (et) = t2/2 + C.Poiche x varia in (0,+∞), la sostituzione x = et e invertibilee la sua inversa e t = log x, quindi possiamo scrivere esplicita-mente F (x) = (log2 x)/2 + C, e cioe

∫log x

xdx =

1

2log2 x+ C.

Questo risultato si puo ottenere per altra via osservando chela funzione integranda f(x) e del tipo g(x) g′(x), dove g(x) =log x, e percio una primitiva di f(x) e F (x) = g2(x)/2.

Osservazione. Se f non ammette primitiva, puo accadere cheil secondo membro della (62) abbia significato, mentre il primomembro non ne ha. Ad esempio, la funzione

f(x) =

1, se x ≥ 0;

−1, se x < 0,

non ammette primitiva sull’intervallo (−∞, +∞) (cio segue dalteorema di Lagrange). Dunque, il primo membro della (62) nonrappresenta nessuna funzione, a meno di non dare un senso di-verso e piu debole ai termini derivata e primitiva, il che esuladai limiti di questo corso. Invece, ponendo x(t) = t3, il secondomembro della (62) diventa

∫f(t3) 3t2 dt, che si puo riscrivere

come∫3 |t| t dt. Quest’ultimo integrale ha senso: infatti si ve-

rifica che ∫

3 |t| t dt = |t|3 + C.


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoIntegrale definito Integrale definito

Premesse. Sono attualmente in uso diverse definizioni dell’in-tegrale definito, che non sono equivalenti fra loro.

Ad esempio, nella ricerca matematica si utilizza spesso unadefinizione dovuta ad Henri Lebesgue, che risale a circa un se-colo fa.

Invece, nei testi universitari di Analisi 1 dei corsi di laureain Fisica, Ingegneria e Matematica, si utilizza di solito la defi-nizione dovuta a Bernhard Riemann, che risale all’Ottocento.La definizione di Riemann e piu semplice (forse) di quella diLebesgue, e si rivela sufficiente in molte applicazioni.

In questa sede si riporta una definizione ancora piu sem-plice di quella di Riemann, riferita a funzioni continue su di unintervallo chiuso e limitato.

Definizione (integrale definito). Consideriamo una funzio-ne continua f : [a, b] → R. Per un generico intero positivo n,e per ogni intero k ∈ [0, n], poniamo xk = a + k (b − a)/n. Ilfatto che f sia continua su di un intervallo chiuso e limitato fası che i seguenti limiti esistano, siano finiti, e siano uguali fraloro:

limn→+∞

n∑

k=1

b− a

nmax

[xk−1, xk]f(x) (63)

limn→+∞

n∑

k=1

b− a

nmin

[xk−1, xk]f(x). (64)

Il comune valore dei due limiti suddetti si chiama integrale daa a b di f(x) in dx, e si indica con l’espressione

∫ ba f(x) dx.

Equivalentemente, si puo definire

∫ b

af(x) dx = lim

n→+∞

n∑

k=1

b− a

nf(ξk), (65)

dove ciascun ξk e scelto arbitrariamente nell’intervallo [xk−1,xk].

L’esistenza dei limiti (63), (64) e (65) discende dalla con-tinuita di f attraverso un ragionamento che faceva parte delprogramma di Analisi Matematica I in passato, e la cui omis-sione semplifica il corso. Gli studenti interessati ad approfon-dire l’argomento possono consultare i testi universitari che lotrattano, e/o rivolgersi al docente.

E facile dimostrare in questa sede che, ammesso che i limiti(63) e (64) esistano e siano uguali fra loro, allora anche il limi-te (65) esiste ed ha lo stesso valore degli altri due. Cio e unaconseguenza immediata della disuguaglianza min

[xk−1, xk]f(x) ≤

f(ξk) ≤ max[xk−1, xk]

f(x) e del teorema del confronto dei limiti.

Interpretazione geometrica. Se f(x) > 0 per ogni x ∈ [a, b],

allora∫ ba f(x) dx esprime l’area del sottografico di f . Se, inve-

ce, f(x) < 0 per ogni x ∈ [a, b] allora −∫ ba f(x) dx esprime

l’area del sopragrafico di f .

Osservazione. Non e corretto, dal punto di vista moderno,definire

∫ ba f(x) dx come l’area del sottografico di f . Questo

perche, dal punto di vista moderno, il concetto di area non econsiderato un concetto primitivo. Oggi la nozione di area vie-ne definita proprio a partire dall’integrale definito, o meglio, dauna parte della matematica detta teoria della misura. Vi so-no numerose altre interpretazioni ed applicazioni dell’integraledefinito. Vediamone alcune.


Esempio 32. Se la funzione continua λ(x) rappresenta ladensita lineare di massa di un’asta collocata lungo l’asse x, edavente il primo estremo per x = a, ed il secondo estremo inx = b, allora

∫ ba λ(x) dx esprime la massa dell’asta.

Esempio 33. L’errore commesso nella misura di una gran-dezza scalare viene spesso rappresentato mediante la nozionematematica di variabile aleatoria avente distribuzione norma-le. In tal caso, la probabilita che l’errore si trovi fra due valoria e b e data da 1

σ√2π

∫ ba e

− 12x2/σ2

dx, dove σ e un parametro

positivo detto deviazione standard, legato all’incertezza dellamisura.

Esempio 34. Consideriamo un punto in moto lungo l’asse xsecondo la legge oraria x = x(t), e supponiamo che la funzionex(t) sia dotata di derivata continua v(t) = x′(t) per ogni t ∈[t0, t1]. Allora la posizione x(t) del punto nel generico istantet ∈ [t0, t1] e data da x(t) = x(t0) +

∫ tt0v(x)dx.

Questo elenco di esempi non si propone di essere completo,ma intende dare un’idea della varieta delle applicazioni dell’in-tegrale.

Additivita dell’integrale. Un’importante proprieta dell’in-tegrale definito e la cosiddetta additivita:

∫ b

af(x) dx+

∫ c

bf(x) dx =

∫ c

af(x) dx. (66)

Gli studenti interessati a conoscere la dimostrazione dell’ugua-glianza precedente possono consultare i testi esistenti e/o ri-volgersi al docente.

Definizione. Si definisce l’integrale definito anche quando gliestremi di integrazione sono uguali fra loro: in tal caso, si pone

∫ a

af(x) dx = 0. (67)

Definizione. Si definisce l’integrale definito anche quando ilprimo estremo di integrazione e maggiore del secondo: se a, bsono due numeri reali con a < b, si pone

∫ a

bf(x) dx = −

∫ b

af(x) dx. (68)

Osservazione. La definizione (68) e una scelta obbligata se sivuole far valere la (66) per ogni a, b, c ∈ R, e rispettare la (67).Infatti dalla (66) e dalla (67) segue che

∫ b

af(x) dx+

∫ a

bf(x) dx =

∫ a

af(x) dx = 0,

da cui la (68).

Teorema 8. (Teorema della media integrale). Data unafunzione f : [a, b] → R, continua in [a, b], esiste un ξ ∈ (a, b)tale che ∫ b

af(x) dx = (b− a) f(ξ).

Il valore di f(ξ) si dice media integrale di f su [a, b].

Il teorema della media integrale e una conseguenza della con-tinuita della funzione integranda. Gli studenti interessati pos-sono cercare di intuirne la dimostrazione, ovvero consultare itesti esistenti o rivolgersi al docente.


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoEserc. integr. indef. 1 Esercizi

1) Disegnare il grafico della funzione a gradino di Heaviside:

H(x) =

1, se x > 0,

0, se x < 0.

2) Disegnare il grafico della funzione y = H(−x).

3) Posto R0 = R \ 0 , chiamiamo primitiva della funzio-ne y = 1/x una qualunque funzione F : R0 → R tale cheF ′(x) = 1/x per ogni x ∈ R0. Verificare che per ogniC1, C2 ∈ R, la funzione

F (x) = log |x|+ C1H(x) + C2H(−x) (69)

e una primitiva di 1/x.

4) Trovare tutte le primitive della funzione y = (cosx)−2

sull’intervallo (−π/2, π/2).

5) Trovare tutte le primitive della funzione y = |x| sull’inter-vallo (−∞, +∞).

6) Indicato con µ un generico numero reale, e con σ un ge-nerico numero reale positivo, determinare il piu grandeintervallo (a, b) nel quale sia concava la funzione

y =1

σ√2π

e−12

(x−µ)2

σ2 .

7) Supponiamo che una funzione f : (a, b) → R non sia con-vessa. Facendo riferimento alla definizione della conves-sita di una funzione, dimostrare che esistono tre puntix1, x2, x3 ∈ (a, b) tali che x1 < x3 < x2 e

f(x2)− f(x3)

x2 − x3<

f(x2)− f(x1)

x2 − x1<

f(x3)− f(x1)

x3 − x1.

Suggerimento: porre x3 = t x1 + (1 − t)x2 per opportunix1, x2 e t.

8) Consideriamo una generica funzione f : (a, b) → R, dotatadi derivata seconda non negativa in ogni x ∈ (a, b). Di-mostrare che f e convessa. Suggerimento: se per assurdof non fosse convessa, allora per il teorema di Lagrange,e per l’esercizio precedente, esisterebbero due punti ξ1, ξ2tali che ξ1 < ξ2 e f ′(ξ1) > f ′(ξ2).

9) Dimostrare che non vi sono altre primitive di 1/x all’in-fuori di quelle della forma (69).


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoEserc. integr. indef. 2 Esercizi

1) Calcolare l’area dell’esagono regolare inscritto nel cerchiodi raggio r.

2) Calcolare l’area dell’esagono regolare circoscritto al cer-chio di raggio r.

3) Dimostrare che 2,5 < π < 3,6.

4) Indicato con g un generico numero reale, trovare tutte lefunzioni f : R → R tali che f ′′(x) = g per ogni x ∈ R.

5) Trovare tutte le primitive della funzione y = x2 senx sul-l’intervallo (−∞,+∞). Suggerimento: applicare due voltela regola di integrazione per parti.

6) Trovare tutte le primitive della funzione y = cos2 x sull’in-tervallo (−∞,+∞). Suggerimento: osservare che

∫

cos2 x dx =

∫

cosx (senx)′ dx

ed usare la prima identita fondamentale della goniometria.

7) Indicati con a e b due generici numeri reali, con b 6= 0,trovare tutte le primitive della funzione 1/(a+ bx) sull’in-tervallo (−a/b, +∞). Suggerimento: effettuare la sostitu-zione a+ bx = t.

8) Trovare tutte le primitive della funzione y =√1− x2 sul-

l’intervallo (−1, 1). Suggerimento: effettuare la sostitu-zione x = senα, con α ∈ (−π/2, π/2).

9) Consideriamo due funzioni f e g, continue in un inter-vallo [a, b], e derivabili in (a, b). Supponiamo che f(a) =g(a) = 0, e che g′(x) 6= 0 per ogni x ∈ (a, b). Supponiamo,inoltre, che esista (finito o infinito) il limite

limx→a+

f ′(x)

g′(x), (70)

che indicheremo con L. Dimostrare che

limx→a+

f(x)

g(x)= L

(regola di de l’Hopital). Suggerimento: applicare il teore-ma di Cauchy sull’intervallo [a, x].

10) Calcolare il seguente limite:

limx→0

x2 sen 1x

log(1 + x).

11) Supponiamo che il limite (70) non esista, e che tutte lealtre ipotesi dell’esercizio 9 siano soddisfatte. Possiamoaffermare che anche il limite di f(x)/g(x) per x→ a+ nonesiste? Suggerimento: considerare l’esercizio precedente.


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoEserc. integr. def. Esercizi

1) Consideriamo una generica funzione continua f : [a, b] →R. Per ogni intero positivo n, ed ogni intero k ∈ [0, n], po-niamo xk = a+k (b−a)/n, ed indichiamo con ξk un puntoscelto arbitrariamente nell’intervallo [xk−1, xk]. Verificareche

limn→+∞

n∑

k=1

b− a

nf(ξk) = lim

n→+∞

b− a

n

n∑

k=1

f(ξk), (71)

e che pertanto l’integrale∫ ba f(x) dx si puo definire come

il valore del secondo dei due limiti (71).

2) Indicati con b e h due generici numeri reali positivi, dise-gnare il grafico della funzione f(x) = hx/b.

3) Calcolare i limiti (71) ponendo a = 0, f come nell’eserci-zio precedente, e ξk come nell’esercizio 1. Suggerimento:sfruttare la disuguaglianza

min[xk−1, xk]

f(x) ≤ f(ξk) ≤ max[xk−1, xk]

f(x)

ed il teorema del confronto dei limiti.

4) Dare un’interpretazione geometrica dei limiti calcolati nel-l’esercizio precedente.

5) Utilizzando la definizione dell’integrale definito di una fun-zione continua, dimostrare che se f : [a, b] → R e una fun-

zione continua, e c un numero reale, allora∫ ba c f(x) dx =

c∫ ba f(x) dx.

6) Utilizzando la definizione dell’integrale definito di una fun-zione continua, dimostrare che se f, g : [a, b] → R so-

no due funzioni continue, allora∫ ba (f(x) + g(x)) dx =

∫ ba f(x) dx+

∫ ba g(x) dx.

7) Indichiamo con C0([a, b]) lo spazio vettoriale delle fun-zioni continue aventi per dominio l’intervallo [a, b], ed avalori reali. Consideriamo la funzione I : C0([a, b]) → R

definita ponendo I(f) =∫ ba f(x) dx. Dimostrare che I e

un’applicazione lineare.

8) Utilizzando la definizione dell’integrale definito di una fun-zione continua, dimostrare che se f, g : [a, b] → R sono duefunzioni continue, e se f(x) ≤ g(x) per ogni x ∈ [a, b], al-

lora∫ ba f(x) dx ≤

∫ ba g(x) dx.

9) Utilizzando la definizione dell’integrale definito di una fun-zione continua, dimostrare che se f : [a, b] → R e una fun-zione continua, allora

∣∣∣∣

∫ b

af(x) dx

∣∣∣∣≤

∫ b

a|f(x)| dx.

Suggerimento: osservare che −|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)| perogni x ∈ [a, b], e sfruttare l’esercizio precedente.


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoTeorema fondam. Teorema fond.

Il teorema fondamentale del calcolo integrale lega fra lorol’integrale indefinito e l’integrale definito. I testi in circolazionene propongono diversi enunciati: quello che segue e ispirato a[BPS].

Teorema 9. (Teorema fondamentale del calcolo inte-grale). Sia f : [a, b] → R una funzione continua su [a, b],e sia F : [a, b] → R una funzione continua su [a, b] tale cheF ′(x) = f(x) per ogni x ∈ (a, b). Allora:

∫ b

af(x) dx = F (b)− F (a). (72)

Dimostrazione. Procediamo come in [BPS]. Indicato con n ungenerico intero positivo, consideriamo i punti xk = a + k (b −a)/n, con k = 0, . . . , n. Constatiamo che vale la seguente ugua-glianza:

F (b)− F (a) =n∑

k=1

(F (xk)− F (xk−1)). (73)

Applichiamo ora il teorema di Lagrange alla funzione F su cia-scuno degli intervalli [xk−1, xk], per k = 1, . . . , n. Poiche, peripotesi, si ha F ′(x) = f(x) per ogni x ∈ (a, b), dall’uguaglian-za (73) segue che

F (b)− F (a) =n∑

k=1

b− a

nf(ξk), (74)

dove ξk e il punto dell’intervallo [xk−1, xk] la cui esistenza easserita dal teorema di Lagrange.

Poiche le espressioni al primo ed al secondo membro della(74) sono uguali per ogni n, devono essere uguali anche i lorolimiti per n → +∞, se esistono. Il limite del primo membroe F (b) − F (a), perche questa espressione non dipende da n.

Il limite del secondo membro e∫ ba f(x) dx, per la definizione

dell’integrale definito. Dunque vale la (72), come volevasi di-mostrare.

Applicazione. Il teorema consente di calcolare agevolmentealcuni integrali. Ad esempio, poiche una primitiva di f(x) = x2

e F (x) = 13 x

3, si trova che∫ b−b x

2 dx = 2 b3/3. Se ora b denotaun numero reale positivo, ne segue, usando l’interpretazionegeometrica dell’integrale definito, che l’area della figura pia-na T delimitata dal grafico della funzione f e dalla retta diequazione y = b2 e |T | = 2 b3 −

∫ b−b x

2 dx = 4 b3/3. In partico-

lare, indicato con R il rettangolo di base 2b ed altezza b2, si ha|R| = 2 b3 e percio il rapporto fra l’area di T e quella di R e

|T ||R| =

2

3.

Questo risultato, che non dipende dal valore del parametro b,e stato trovato con un altro metodo da Archimede di Siracusa.

Osservazione. Il teorema fondamentale del calcolo integralenon e la soluzione di tutti i problemi di integrazione. Infatti,ad esempio, le primitive della funzione f(x) = e−x2

esistonoma non sono elementari. Dunque, il calcolo dell’integrale

∫ b

ae−x2

dx (75)

non riesce agevolmente con il metodo descritto sopra. Per avereun idea del tipo di difficolta, si pensi ad una persona che co-nosce le funzioni razionali (rapporto di due polinomi) ma nonla funzione logaritmica. Volendo calcolare, con quel metodo,l’integrale

∫ ba 1/x dx per a, b > 0, si troverebbe in difficolta.


Questo esempio puo sembrare bizzarro ma descrive proprio iltipo di difficolta che nascono con l’integrale (75) quando sivuole sfruttare il teorema fondamentale del calcolo integrale.Esistono, peraltro, diversi metodi per il calcolo numerico del-l’integrale (75), e vengono descritti nei corsi di Analisi nume-rica.

Regola di integrazione per sostituzione. Consideriamouna funzione f(x) continua su di un intervallo chiuso e limitato[a, b], ed una sua primitiva F (x). Consideriamo inoltre unafunzione x = ϕ(t) (una sostituzione) avente per dominio unintervallo [c, d] e tale che ϕ(t) ∈ [a, b] per ogni t ∈ [c, d].

Si possono allora considerare le funzioni composte F (ϕ(t))e f(ϕ(t)), come abbiamo fatto nello studio della regola di in-tegrazione per sostituzione per l’integrale indefinito (pag. 70).Supponiamo, come allora, che la funzione ϕ(t) sia derivabile, esupponiamo inoltre che la derivata ϕ′(t) sia continua, cosicchel’integrabilita della funzione f(ϕ(t))ϕ′(t) e garantita.

Indicata con G(t) una qualunque primitiva della funzionef(ϕ(t))ϕ′(t), per la (61) possiamo scrivere F (ϕ(t)) = G(t) +C. Questa formula, se esistono due punti t1, t2 ∈ [c, d] tali chea = ϕ(t1) e b = ϕ(t2), ci permette di scrivere F (b) − F (a) =G(t1)−G(t2) e quindi, per il teorema fondamentale del calcolointegrale,

∫ ba f(x) dx =

∫ t2t1f(ϕ(t))ϕ′(t) dt.


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoIntegr. generalizzati Int. generalizzati

Puo essere utile estendere la definizione dell’integrale defi-nito anche ai seguenti due casi:

1) l’intervallo di integrazione e illimitato;

2) l’intervallo di integrazione e limitato, ma la funzione inte-granda tende all’infinito vicino ad uno dei due estremi.

Esempio 35. Caduta con attrito. Consideriamo il motodi un corpo puntiforme che cade verticalmente in un campogravitazionale uniforme, sotto l’azione della forza di gravita edell’attrito dell’aria. E noto dalla Fisica che, se la velocita delcorpo all’istante t = 0 e nulla, allora l’accelerazione a(t) delcorpo e data da a(t) = g e−ct, dove g e l’accelerazione di gravitae c un’opportuna costante positiva. Dunque, per il teoremafondamentale del calcolo integrale, la velocita v(t) puo essereespressa come segue:

v(t) =

∫ t

0g e−ct dt.

Ancora il teorema fondamentale consente di scrivere v(t) =g (1− e−ct)/c, e da cio si deduce che

limt→+∞

v(t) =g

c.

Osservazione. In pratica non e possibile attendere che lavariabile temporale tenda all’infinito. Tuttavia, trascorso unintervallo di tempo che e effettivamente possibile attendere, ilvalore di v(t) diventa indistinguibile, per gli strumenti di mi-sura, dal suo limite g/c. Per esempio, se g = 9,81 m/s2 e c = 1s−1, si trova v(15) = 9,809997 m/s e g/c = 9,81 m/s.

L’esempio 35 mostra un caso in cui puo avere interesseil limite di un integrale al tendere all’infinito del suo secondoestremo. In generale, l’integrale generalizzato si definisce comesegue.

Definizione. (Integrale generalizzato) Sia f una funzionecontinua sull’intervallo [ a, +∞) ed a valori reali. Se esiste illimite

limb→+∞

∫ b

af(x) dx

allora si pone:

∫ +∞

af(x) dx = lim

b→+∞

∫ b

af(x) dx.

Esempio 36. Un integrale generalizzato. In base alladefinizione precedente, ed ai calcoli svolti nell’esempio 35, pos-siamo scrivere: ∫ +∞

0g e−ct dt =

g

c.

Similmente, si puo considerare il limite di un integrale altendere del suo primo estremo a −∞. Cio conduce alla seguen-te definizione.

Definizione. (Integrale generalizzato) Sia f una funzionecontinua sull’intervallo (−∞, b ] ed a valori reali. Se esiste illimite

lima→−∞

∫ b

af(x) dx

allora si pone:

∫ b

−∞f(x) dx = lim

a→−∞

∫ b

af(x) dx.

Se, invece, l’intervallo di integrazione e limitato, ma la fun-zione integranda tende all’infinito vicino ad uno degli estremi,allora si danno le seguenti definizioni.


Definizione. (Integrale generalizzato) Sia f una funzionecontinua sull’intervallo (a, b ] ed a valori reali. Se esiste il limite

limε→0+

∫ b

a+εf(x) dx

allora si pone:

∫ b

af(x) dx = lim

ε→0+

∫ b

a+εf(x) dx.

Definizione. (Integrale generalizzato) Sia f una funzionecontinua sull’intervallo [a, b) ed a valori reali. Se esiste il limite

limε→0+

∫ b−ε

af(x) dx

allora si pone:

∫ b

af(x) dx = lim

ε→0+

∫ b−ε

af(x) dx.

Esempio 37. Integrale generalizzato di 1/x.

∫ 1

0

1

xdx = lim

ε→0+

∫ 1

ε

1

xdx = lim

ε→0+(− log ε) = +∞.


Analisi Matematica Iprof. Antonio GrecoEserc. int. generalizz. Esercizi

1) Indicato con α un generico numero reale positivo, calcolarei seguenti integrali generalizzati:

∫ 10 x

−α dx,∫ +∞1 x−α dx.

2) Calcolare l’integrale indefinito∫log x dx. Suggerimento:

osservare che∫log x dx =

∫x′ log x dx ed applicare la re-

gola di integrazione per parti.

3) Verificare che la funzione y = ex e convessa (studiando laderivata seconda). Dedurne che 1+x ≤ ex per ogni x ∈ R.

4) Consideriamo due generiche funzioni f, g : [ a, +∞) → R

dotate di derivate continue in [ a,+∞). Supponendo chef(a) ≤ g(a), e che f ′(x) ≤ g′(x) per ogni x ≥ a, verificareche f(x) ≤ g(x) per ogni x ≥ a. Suggerimento: usare ilteorema fondamentale del calcolo integrale.

5) Posto a = 0, f(x) = 1 + x, g(x) = ex, ed usando il ri-sultato dell’esercizio precedente, dedurre nuovamente che1 + x ≤ ex per ogni x ≥ 0.

6) Procedendo in modo analogo all’esercizio precedente, ve-rificare che 1 + x+ 1

2 x2 ≤ ex per ogni x ≥ 0.

7) Giustificare la disuguaglianzan∑

k=0

xk

k!≤ ex

per ogni x ≥ 0 ed ogni n intero positivo.

8) Indicato con α un generico numero reale positivo, e con [α]

la parte intera di α, osservare chex[α]+1

([α] + 1)!≤

[α]+1∑

k=0

xk

k!

per ogni x ≥ 0. Usare questa osservazione per calcolare il

limite limx→+∞

1

xα

[α]+1∑

k=0

xk

k!.

9) Indicato con α un generico numero reale positivo, calco-lare il limite

limx→+∞

ex

xα. (76)

Suggerimento: porre n = [α] + 1 ed usare i risultati deidue esercizi precedenti.

10) Usando la (76), calcolare il limite limx→+∞

xα e−x.

11) Indicato con β un generico numero reale positivo, calco-lare il limite

limy→+∞

log y

yβ. (77)

Suggerim.: porre α = 1/β, x = log y ed usare la (76).

12) Calcolare il limite limz→0+

zβ log z.

Suggerimento: porre y = 1/z nella (77).

13) Calcolare l’integrale generalizzato∫ 10 log x dx.

14) Indicata con f una generica funzione continua su diun intervallo chiuso e limitato [a, b], dimostrare che∫ ba f(x) dx = lim

ε→0+

∫ b−εa f(x) dx. Suggerimento: usare

l’additivita dell’integrale e la disuguaglianza

min[a,b]

f ≤ f(x) ≤ max[a,b]

f.



Appendice Circ. osculatrice

Per soddisfare la curiosita di alcuni studenti, determi-niamo la circonferenza osculatrice al grafico di una funzionef : (a, b) → R in un certo punto x0 ∈ (a, b), supponendo che laderivata seconda f ′′ (esista e) sia continua e positiva in (a, b).

Consideriamo tre punti x1 < x2 < x3 ∈ (a, b). Poichef ′′ > 0 in (a, b), i punti corrispondenti sul grafico non sonoallineati, e percio esiste una (ed una sola) circonferenza che vipassa attraverso. Ci proponiamo di determinare le coordinate(xC , yC) del centro C di tale circonferenza. A tal fine, consi-derati i segmenti i cui estremi sono, rispettivamente, i punti(x1, f(x1)) e (x2, f(x2)), ed i punti (x2, f(x2)) e (x3, f(x3)),mettiamo a sistema le equazioni degli assi di tali segmenti, chesono:

y = − 1m1

(

x− x1+x22

)

+ y1+y22

y = − 1m2

(

x− x2+x32

)

+ y2+y32

dove m1 = (f(x2)− f(x1))/(x2 − x1) e m2 = (f(x3)− f(x2))/(x3 − x2). Nel far questo supponiamo, per il momento, chem1,m2 6= 0. La soluzione del suddetto sistema e:

xC = m1 m22

y3−y1m1−m2

+ m12

x3−x1m1−m2

+ x1+x22

yC = − m22

y3−y1m1−m2

− 12

x3−x1m1−m2

+ y1+y22

Si verifica direttamente che le formule cosı trovate continuanoa valere anche nel caso in cui m1 = 0 e/o m2 = 0.

Il centro della circonferenza osculatrice e il punto limite di(xC , yC) quando x1, x2, x3 → x0. Per determinarlo, e sufficien-te trovare il limite del rapporto (m1−m2)/(x3−x1). A tal fine,

usiamo due volte la formula di Taylor con il resto di Lagrange:

f(x2) = f(x1) + f ′(x1) (x2 − x1) +12 f

′′(ξ1) (x2 − x1)2

f(x2) = f(x3)− f ′(x3) (x3 − x2) +12 f

′′(ξ2) (x3 − x2)2

dove ξ1 ∈ (x1, x2) e ξ2 ∈ (x2, x3). Sfruttando tali formule,troviamo:

m1 −m2

x3 − x1= −f ′′(ξ) + 1

2 [λ f ′′(ξ1) + (1− λ) f ′′(ξ2)]

dove ξ ∈ (x1, x3) e λ = (x2 − x1)/(x3 − x1). Poiche λ ∈ (0, 1),l’espressione λ f ′′(ξ1) + (1− λ) f ′′(ξ2) e una combinazione con-vessa tra f ′′(ξ1) e f ′′(ξ2), e percio il suo valore non supera ilmassimo tra questi ultimi due, ne va al di sotto del minimo deidue. Sfruttando la continuita di f ′′, troviamo infine:

xC → x0 − 1+(f ′(x0))2

f ′′(x0)f ′(x0), yC → y0 +

1+(f ′(x0))2

f ′′(x0).

Per concludere, troviamo il raggio r della circonferenza oscu-latrice, detto raggio di curvatura del grafico di f nel pun-to x0. Poiche r2 = (x0 − xC)

2 + (y0 − yC)2, si ha r =

(1 + (f ′(x0))2)3/2/f ′′(x0). Si definisce curvatura del grafico

di f nel punto x0 la quantita κ definita come segue:

κ =f ′′(x0)

(1 + (f ′(x0))2)3/2.

La curvatura e ben definita anche quando f ′′(x0) = 0 (e in talcaso e nulla).



Appendice Alfabeto greco

α A alfaβ B betaγ Γ gammaδ ∆ deltaε E epsilonζ Z zetaη H etaϑ Θ tetaι I iotaκ K cappaλ Λ lambdaµ M miν N niξ Ξ csio O omicronπ Π piρ P roσ Σ sigmaτ T tauϕ Φ fiχ X chiψ Ψ psiω Ω omega



Appendice Domande orali

Riporto qui di seguito una selezione delle domande rivolte aglistudenti di Analisi Matematica I, in sede di esame, nel periododal 13 giugno 2006 al 31 maggio 2010.

Successioni e serie numeriche

1) Dare la definizione del numero di Nepero.

2) Scrivere la formula di Newton per lo sviluppo della poten-za ennesima del binomio.

3) Determinare tre numeri reali a, b, c tali che (1 + x)100 =a+ bx+ cx2 + o(x2) per x→ 0.

4) Illustrare la nozione di serie numerica.

5) Spiegare che cosa si intende per carattere di una serie.

6) Dare una motivazione per lo studio delle serie.

7) Spiegare che cos’e la serie armonica, e determinarne lasomma.

8) Indicato con la lettera e il numero di Nepero, stabilire

se la serie+∞∑

k=1

e−k e convergente, ed in caso affermativo

determinarne la somma.


k=2

3

10ke convergente, ed in caso af-

fermativo determinarne la somma.

10) Studiare la serie+∞∑

k=0

1

xkcon x parametro reale.

11) Stabilire se esiste un intero n tale chen∑

k=1

1

2k≥ 1, ed in

caso affermativo determinarlo.

12) Determinare il carattere della serie+∞∑

k=1

1

1010 k.

13) Determinare il carattere della serie+∞∑

k=0

n!

(n+ 1)!.


k=0

1

k!e convergente, ed in caso affer-

mativo determinarne la somma.


k=1

1√k

e convergente, ed in caso af-

fermativo determinarne la somma.

16) Spiegare che cos’e il polinomio di Taylor associato ad unafunzione data.

17) Spiegare come si puo utilizzare la formula di Taylor per ilcalcolo numerico di una funzione trascendente.

18) Scrivere la serie di Maclaurin della funzione f(x) = (1 −x)−1.

19) Scrivere il polinomio di Maclaurin della funzione y =ln(1 + x).

20) Trovare il polinomio di Maclaurin di primo grado associa-to alla funzione y = senx.

21) Trovare il polinomio di Maclaurin di secondo grado asso-ciato alla funzione y = cosx.

22) Utilizzando il polinomio di Maclaurin di ordine 4 associa-to alla funzione y = senx, trovare la prima cifra decimaledi sen(1/3).


Limiti di funzioni e continuita

23) Che cosa si intende quando si dice che il limite di f(x),per x che tende a +∞, e +∞?

24) Calcolare il limite di x− senx per x che tende a +∞.

25) Calcolare il limite di senx per x che tende a +∞.

26) Calcolare il limite di esenx per x che tende a +∞.

27) Definire il concetto di continuita di una funzione.

28) Trovare i punti di continuita della funzione y = x− senx.

Calcolo differenziale

29) Dare la definizione della derivata.

30) Stabilire se la funzione y =√2− x2 e derivabile nel punto

x0 = −√2 .

31) Determinare due costanti a e b tali che risulti ex = a +bx+ o(x) per x→ 0.

32) Dare la definizione di primitiva di una funzione data.

33) Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat.

34) Enunciare e dimostrare il teorema di Rolle.

35) Fare un esempio di funzione f : [a, b] → R tale che f(a) =f(b) e priva di massimi.

36) Caratterizzare i punti di massimo e di minimo di una fun-zione attraverso le sue derivate.

Studi di funzione

37) Definire la funzione logaritmica.

38) Determinare il periodo della funzione y = senx.

39) Determinare il periodo della funzione y = cos2 x e trac-ciare il grafico di tale funzione.

40) Tracciare il grafico della funzione y = | cosx|.

41) Studiare il grafico della funzione y = |x|x.

42) Studiare il grafico della funzione y = 1− |x− 2|.

43) Studiare il grafico della funzione y = x− senx.

44) Studiare il grafico della funzione y = x3 − x.

45) Studiare il grafico della funzione y = x− x3.

46) Tracciare il graficodella funzione f1(x) = (1+x)100 e con-frontarlo con quello della funzione f2(x) = (1 + x)2.

47) Studiare il grafico della funzione y =√1− x2.

48) Studiare il grafico della funzione y =√2 + x2.




52) Studiare il grafico della funzione y = x+ 1/x.

53) Studiare il grafico della funzione y = x100 e confrontarlocon quello della funzione y = x2.

54) Studiare il grafico della funzione y = ln(1 + x).


55) Studiare il grafico della funzione y = x lnx.

56) Studiare il grafico della funzione y = x ln(x2).

57) Studiare il grafico della funzione y = (lnx)/x.

58) Studiare il grafico della funzione y = esenx.

59) Studiare il grafico della funzione y = x ex.

Calcolo integrale

60) Enunciare il teorema fondamentale del calcolo integrale.

61) Calcolare l’integrale indefinito della funzione y =√1− x2.

62) Calcolare l’integrale indefinito della funzione y = (lnx)/x.

63) Calcolare l’integrale indefinito della funzione y =(cosx) esenx.

64) Calcolare l’integrale indefinito della funzione y = x−senx.

65) Trovare una primitiva della funzione y = cos2 x.

66) Dare la definizione dell’integrale di Riemann.

67) Calcolare l’integrale definito della funzione y = x/(1+x2)sull’intervallo [−1, 1 ].

68) Calcolare l’integrale definito della funzione y = 2x/(1 +x2) sull’intervallo [−1, 1 ].

69) Calcolare l’integrale definito della funzione y =√1− x2

sull’intervallo [−1, 1 ].

70) Calcolare l’integrale definito della funzione y =√9− x2

sull’intervallo [−3, 3 ].

71) Calcolare l’integrale definito della funzione y = x − senxsull’intervallo [ 0, π ].

72) Calcolare l’integrale definito della funzione y = x − senxsull’intervallo [−π, π ].

73) Calcolare l’integrale definito della funzione y = x − senxsull’intervallo [−b, b ], dove b e un numero reale positivo.

74) Calcolare l’integrale definito della funzione y = (x lnx)−1

sull’intervallo [2, 3].

75) Illustrare l’interpretazione geometrica dell’integrale defi-nito.

76) Trovare l’area del sottografico della funzione y = x3 − xsull’intervallo [−1, 0 ].

77) Trovare l’area della parte di piano delimitata dal graficodella funzione y = x+ 1/x e dalla retta y = −3.

78) Calcolare l’integrale generalizzato (detto anche integraleimproprio) della funzione y = x/(1 + x2) sull’intervallo[ 0, +∞).


Bibliografia

[1] Testo adottato:M. Conti, D. L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini.Analisi matematica - Dal calcolo all’analisi.Apogeo Education - Maggioli Editore.

[2] Esercizi:P. Marcellini, C. Sbordone.Esercitazioni di matematica.Volume 1, parte prima e parte seconda.Zanichelli/Liguori.

Testi di consultazione:

[3] T. M. Apostol. Calcolo. Volume 1. Boringhieri.

[4] R. Courant. Differential and integral calculus. Volume 1.Interscience/Wiley.

[5] R. Courant, H. Robbins. Che cos’ la matematica? Borin-ghieri.

[6] E. Giusti. Analisi matematica. Volume 1. Boringhieri.

[7] M. Kline. Storia del pensiero matematico. Einaudi.

[8] C. D. Pagani, S. Salsa. Analisi matematica. Volume 1.Zanichelli.

[9] W. Rudin. Principi di analisi matematica. McGraw-Hill.


Indice analitico

0! = 1, 630 non e positivo, 600 = 1, 37, 63R, 6

Achille e la tartaruga, 25additivita dell’integrale definito, 73alfabeto greco, 83assoluta convergenza delle serie numeriche, 25

Bernoulli, disuguaglianza di, 14binomio di Newton, 18

caduta con attrito, 79circonferenza osculatrice, 82coefficienti binomiali

definizione esplicita, 19coefficienti binomiali

definizione implicita, 18completezza dell’insieme dei numeri reali, 15concavita, definizione, 58condizione necessaria per la convergenza di una serie, 23continuita

definizione, 35della funzione esponenziale nel punto x0 = 0, 47

convergenza assoluta delle serie numeriche, 25convessita

definizione, 58legame con la derivata seconda, 58

criterio

del confronto, 26

del confronto asintotico, 26

del rapporto, 26

della radice, 26

di Leibniz, 30

de l’Hopital, regola di, 75

derivata

definizione per una funzione scalare, 40

definizione per una funzione vettoriale, 61

interpretazione geometrica, 40

derivate di funzioni notevoli:

della funzione f(x) = 1/x, 40

della funzione f(x) = arcsenx, 49

della funzione f(x) = cosx, 44

della funzione f(x) = log x, 46–47

della funzione f(x) = senx, 44

della funzione f(x) =√x , 49

della funzione f(x) = ex, 46–47

della funzione f(x) = mx, 40

della funzione f(x) = xα, 49

della funzione f(x) = xn, n ∈ Z+, 44–45

della funzione h(x) = e2x, 42

differenziale di una funzione, 51

dimostrazione

del fatto che una funzione e costante se e solo se la suaderivata e nulla, 61

del teorema di Fermat, 55

del teorema di Rolle, 56

del teorema fondamentale del calcolo integrale, 77

disuguaglianza di Bernoulli, 14

disuguaglianza triangolare, 10

domande da esame, 84

domande, come formularle, 5


equazione differenzialedel moto rettilineo uniforme, 62del moto uniformemente accelerato, 48

esempio di:definizione di un numero mediante un limite, 15derivata non nulla in un punto di minimo, 55funzione convessa e non derivabile in un punto, 58funzione discontinua, 46funzione non crescente, 52funzione non derivabile in un punto di minimo, 55funzione strettamente crescente, 52funzione strettamente crescente e non derivabile in un pun-

to, 52integrale generalizzato, 79, 80linee non tangenti, 39linee tangenti, 39primitiva della funzione f(x) = ex, 69primitive della funzione f(x) = 1/x, 69problema isoperimetrico, 54successione indeterminata, 9successioni divergenti, 8successone convergente, 8

forme indeterminate, 37formula di Newton per lo sviluppo della potenza n-esima del

binomio, 18formula di Taylor, 63

con il resto di Lagrange, 63con il resto di Peano, 64per la funzione f(x) = senx, 63

funzioneζ di Riemann, 30di Heaviside, 74

infatti (congiunzione), 12

integrale definitoadditivita, 73definizione, 72definizione quando gli estremi sono uguali, 73definizione quando il primo estremo e maggiore del secon-

do, 73interpretazione come coordinata spaziale, 73interpretazione come massa, 73interpretazione come probabilita, 73interpretazione geometrica, 72

integrale generalizzatodefinizione, 79, 80di 1/x, 80esempio, 79, 80

integrale indefinitodella funzione (log x)/x, 71della funzione cosx, 70della funzione sen ax, 70della funzione senx, 70della funzione ex, 69della funzione xα, 70

integrale indefinito, definizione, 69integrali generalizzati, 79interpretazione geometrica

dell’integrale definito, 72della derivata, 40

limite di una funzionecalcolo, 36definizioni, 33idea intuitiva, 33

limite di una successionedefinizione, 8limite del prodotto, 13limite del rapporto, 13


limite della potenza, 15limite della somma, 12proprieta, 11, 15

limiti notevoli:lim

k→+∞

k√k = 1, 28

limk→+∞

k√k! = +∞, 28

limk→+∞

k!/kk = 0, 28

limk→+∞

xk/k! = 0, 28

limx→+∞

ex/xα = +∞, 81

limy→+∞

(log y)/yβ = 0 (β > 0), 81

limz→0+

zβ log z = 0 (β > 0), 81

altri limiti:lim

x→−∞x2 = +∞, 60

limn→+∞

senπn = 0, 16

logaritmi, una proprieta algebrica, 6

massimo assoluto, definizione, 54metodo di studio, 4mini-test sui limiti, 33minimo assoluto, definizione, 54monotonia

definizione, 52legame con la derivata prima, 52

moto uniforme, 61–62

Newton, binomio di, 18numeri reali

definizione, 6insieme dei —, simbolo, 6

numero di Nepero, 15

operazioni sui limiti

delle successioni, 12

paradosso di Achille e la tartaruga, 25potenza n-esima del binomio, 18primitiva, definizione, 69proprieta dei limiti

delle funzioni, 36delle successioni, 11, 15

punto critico, 55

quadrato di un binomio, 18

regola di de l’Hopital, 75regola di derivazione

del prodotto, 41del reciproco, 42della funzione composta, 42della funzione inversa, 49

regola di integrazione per sostituzione nell’integrale definito, 78regola di integrazione per sostituzione nell’integrale indefinito,

70retta tangente, equazione della, 40

seriearmonica, 23esponenziale, 27geometricacarattere, 24definizione, 24somma ridotta, 24

serie di Maclaurindella funzione log(1 + x), 64della funzione f(x) = senx, 64delle funzioni cosx e ex, 64

serie di Taylor, 64serie numeriche


a termini di segno alterno, 30a termini positivi, 25, 26convergenza assoluta, 25definizione, 22errore tipico, 22motivazioni, 22significato intuitivo, 22

sinusoide, tangente alla, 39studio del grafico di una funzione, 59studio, metodo di, 4successioni numeriche

definizione di limite, 8notazione, 11origini, 8successioni limitate, 12

tangente, retta, equazione della, 40tangenza, concetto di, 39Tartaglia, triangolo di, 19Taylor

formula di, 63serie di, 64

teoremadel confronto (per le successioni), 11della media integrale, 73della permanenza del segno (per le successioni), 11di Cauchy, 57di Fermat, 55di Lagrange, 57di Rolle, 56di Weierstrass, 55fondamentale del calcolo integrale, 77

teoremi sui limitidelle funzioni, 36delle successioni, 11

triangolare, disuguaglianza, 10Triangolo di Tartaglia, 19

urto perfettamente elastico e di durata nulla, 48

valore assoluto, 10

zero non e positivo, 6


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