Dipartimento di SEA Università degli Studi di Cagliari ___________________________ Elementi di...

Dipartimento di SEA

Università degli Studi di Cagliari

___________________________

Elementi di econometria per gli studenti della specialistica EM___________________________

Prof. Paolo Mattana

Obiettivo importante:

scoprire l'esistenza di relazioni tra le variabili

Abbiamo già visto l'analisi di correlazione:

solo relazioni lineari; solo intensità della relazione

TEORIA DELLA REGRESSIONE

CHE COS’E’ L’ECONOMETRIA?

Definizione di Samuelson (1954):

L’econometria può essere definita come l’applicazione della statistica matematica ai dati economici per ottenere il supporto empirico ai modelli costruiti nell’ambito della teoria economica e per ottenere stime numeriche.

In pratica nasce dall’integrazione tra la teoria economica, l’economia matematica e la statistica allo scopo di:

• identificare valori numerici per i parametri delle relazioni economiche (elasticità, propensioni, valori marginali)

• verificare la validità delle teorie economiche proposte

Per confutare/confermare teorie economiche

Per trovare veste numerica ai parametri

Per metterci in grado di capire i lavori empirici

Per metterci in grado di fare valutazioni autonome della realtà

Per studiare relazioni esistenti fra comportamenti di soggetti economici (ad es. imprese) e risultati

PERCHE’ STUDIARE L’ECONOMETRIA?

Individuazione di una asserzione teorica di interesse Creazione del modello matematico Specificazione della forma statistica Raccolta dati Stima Test delle ipotesi Uso del modello per scopi professionali/conoscitivi o di politica economica

CENNI SUL METODO DELL’ECONOMETRIA

Es: da cosa dipende la domanda di benzina?

Teoria economica: la domanda è influenzata:

• negativamente dal prezzo (P)• positivamente dal reddito (R)• dai rapporti di sostituibilità/complementarietà (G)• dalle possibili innovazioni tecniche (T)

Contesto multivariato: siamo interessati ai seguenti aspetti

Effetti prodotti dalle variazioni di prezzoEffetti prodotti dalle altre variabili.

INDIVIDUAZIONE DI UN’ASSERZIONE TEORICA

Altre forme più complesse?

L’economia matematica si incarica di dare veste funzionalealla relazione teorica di interesse

Es. (nel caso di relazioni multivariate individuate dalla teoria)

Lineare

Log lineare

TβGβRβPββQ 54321

tβgβrβpββq 54321

CREAZIONE DI UN MODELLO MATEMATICO

La relazione matematica è esatta (mondo deterministico)Il mondo reale implica errori

Non riusciamo a confortare la teoria con una relazione esatta.

Esiste però la possibilità di considerare la relazione dal punto di vista statistico/econometrico

SPECIFICAZIONE FORMA STATISTICA/ECONOMETRICA

Si aggiunga perciò un termine stocastico di errore

Nella nuova formulazione,

• i parametri beta costituiscono l’oggetto dell’analisi;

• se i parametri sono diversi da zero trovo conferma alla teoria

• u è il termine stocastico di errore

uTβGβRβPββQ +54321

SPECIFICAZIONE FORMA STATISTICA/ECONOMETRICA

I dati possono avere la forma

Cross-section

Osservazioni relative ad una particolare unità economica (un consumatore, uno stato, un produttore) in un punto temporale.

Come ci immaginiamo una cross-section?

Es. di relazioni bivariate fra dati cross-section:

•PIL dei paesi UE / investimenti (anno 2000);•Domanda Consumatori / reddito disponibile (1995);•Etc….

RACCOLTA DATI

Serie temporali

Abbiamo, in questo caso, osservazioni relative all’evoluzione temporale della stessa unità economica (insieme di consumatori, stato, insieme di produttori …)

Possono essere osservazioni• annuali • trimestrali• mensili• etc.

Es. Pil italiano dal 1970 al 2007 (proviamo a scaricare le serie da istat.it

RACCOLTA DATI

Analisi univariata

Valutazione di medie, varianze, altri momenti…..

Analisi bivariata

Analisi di correlazione•solo relazioni lineari •solo intensità della relazione

Analisi di regressionenatura della relazione (es. causalità)forma della relazione (es. forma funzionale)relazioni non-linearicontesti multivariati

STIMA – TIPI DI ANALISI

Le analisi forniscono “risposte”. Impareremo a valutare questerisposte con procedure ben precise (test delle ipotesi).

Tali risposte possono

Confermare la teoriaNon confermare la teoriaDare indicazioni numeriche

Nel caso in cui non si trovi conferma della teoria

• è sbagliata la teoria?• la trasposizione empirica è viziata da qualche difetto?

TEST DELLE IPOTESI - CONFRONTO CON I DATI

USO DEL MODELLO PER FINI PROFESSIONALI O …

I modelli econometrici possono essere molto utili

per fini professionali • stima di funzioni di domanda e dei loro parametri• stima di funzioni di costo e loro parametri• per noi anche:

• relazione fra misure di concentrazione e profitti/occupazione• relazione fra misure di diversificazione e profitti/occupazione• relazione fra attività di innovazione e profitti/occupazione• ….

per avere indicazioni di politica economica• stima di funzioni di consumo• modello econometrico della Banca d’Italia• previsioni macroeconomiche •…

Con l'analisi di regressione abbiamo la possibilità di studiare la natura della relazione fra le variabili e la forma che essa assume

Prime limitazioni:

Consideriamo solo due variabili (vedremo successivamente l'estensione al caso n-dimensionale);

Il modello di regressione semplice prevede l'esistenza di una variabile endogena e di una variabile esogena;

Inizieremo con modelli lineari.


"immaginarci" la retta vera a partire dalle informazioni campionarie. Un metodo a mia disposizione è quello di "adattare" una retta alla nuvola di punti che rappresenta il mio campione e sperare di ottenere una stima (predizione) accettabile della retta vera.

NB: Si parla di:

• disturbi quando si ragiona sulla retta “vera”• errori o residui quando si ragiona sulla retta stimata

Ricordiamoci sempre che la retta di regressione vera (quella della popolazione) è sconosciuta e tale resterà

Obiettivo:


Quale retta scelgo?

Criterio di scelta

• deviazioni dalla media?• modulo delle deviazioni dalla media?• deviazioni al quadrato?

Cosa implica la scelta del criterio?


Un criterio logico per trovare una retta che attraversi una nuvola di punti è quello che "in qualche modo" imponga una riduzione degli scarti tra osservazioni e retta stimata (residui).

NB:

La retta vera è sconosciuta.

Devo trovare un sostituto attendibile

Criterio Minimizzare la somma degli scarti quadratici dalla retta (RSS)

METODO OLS (MINIMI QUADRATI ORDINARI

2 2

2 ˆ ˆˆ- - -i i i i iRSS e Y Y Y X

OLS sceglie alfa e beta in modo da minimizzare S = RSS

Minimizzazione di una funzione rispetto a due variabili

ˆˆ2 - - 0ˆ

ˆˆ2 - - 0ˆ

i i

i i i

SY X

SX Y X


Primo elemento

ˆ0ˆ

ˆ ˆ

i i

i i i

SY X

Y X n X

2

2

ˆˆ0ˆ

ˆˆ

i i i i

i i i i

SX Y X X

X Y X X

Secondo elemento


ii YXn ,,Poiché sono conosciuti, le uniche incognite sono βeα ˆˆ

Mettendo a sistema

ˆˆS S

e ottengo le stime OLS di βeα ˆˆ

ˆ ˆˆ - -i iY XY X

n nDove:

Y è la media di Y

X


è la media di X

NB:

221 1ˆi i i i i iX Y X Y X X

n n

22

1

1

i i i i

i i

X Y X Ynˆ

X Xn

22i iX X


22i iX X

2 22 2- -2x X X X X X X 2 22X X X nX

2

22 2

2

1

XX X X nX

n

X X X X Xn


- -i i i ix y X X Y Y


X X Y Y XY Y X X Y XY

XY X Y Y X nX Y

X YXY Y X nX Y

n nX Y X Y

XY Y X nn n n n

n XY X Y

n

222

1- -

ˆ1 -

i i i i i i

ii i

X Y X Y X X Y YnX XX X

n

Quindi posso scrivere:


2

cov( )ˆvar( )

i i i i

i i

x y x yx x

Condizioni del secondo ordine per il metodo OLS

2ˆ ˆ

i iS Y α β X

i i i

i i i

S ˆ ˆˆ ˆ2 Y - - X 0 2 Y 2 2 XˆS ˆˆ2 X Y - - X 0ˆ


La regressione è significativa?

L’equazione è stata ricavata da un campione e non dalla popolazione

1. Test t sull’errore standard della pendenza b: Ipotesi nulla = la pendenza è uguale a 0;

2. Analisi della varianza: si esamina il rapporto tra varianza spiegata dalla regressione e varianza residua.


La t è una FDP che presenta una forma è schiacciata rispetto alla Z

E’ stata calcolata dal matematico inglese Gosset (1908), che la pubblicò sotto lo pseudonimo di Student

La sua forma esatta dipende dai gradi di libertà:

GdL = n – parametri da stimare

dove n è la dimensione del campione

I valori della t sono tabulati (oppure si può usare la rete…)

L’INFERENZA STATISTICA

.

Per campioni molto grandi, il valore di s oscilla poco intorno al suovalore medio .

Quindi per valori molto grandi la distribuzione t si avvicina molto a quella di Z ed arriva a coincidere per infiniti gradi di libertà.

Per piccoli campioni le differenze sono notevoli, data l’oscillazione casuale di s intorno a

NB: In generale, la distribuzione t è rilevante ogniqualvolta si abbia:

DISTRIBUZIONE t

2

0 21

/n

i

i n

Z Nt Z

n

etc15

3.02.151.7.6914

3.02.21.8.6913

……………

9.94.32.9.812

63.712.76.31.01

0.010.050.10.5

Parte della distribuzioneche cade all’esterno dei valori tabulati

Valore critico di t perdf=14 (con valore critico al 5%)

Gra

di d

i lib

ert

à

DISTRIBUZIONE t

Principio base

“Residui grandi implicano un “fit” scadente”

Da questo principio posso costruire un indice di “varianza spiegata”

In generale ho per tutte le osservazioni

( ) ( ) ( )Y-YY-YY-Y iiˆ+ˆ=

IL COEFFICIENTE DI DETERMINAZIONE

( ) ( ) ( )Y-YY-YY-Y iiˆ+ˆ=

( )Y-Y

( )Y-Y iˆ

( )Y-Y i

Y

Y


ˆ ˆ- - -i iY Y Y Y Y Y

Questo darà vero anche se sommo tutte le osservazioni

NB:

La media può essere interpretata come il valore di Yi senza l’influenza dei regressori


La relazione è valida anche per i quadrati

2

2 2

2 2

2

-

ˆ ˆ ˆ ˆ- - - -

ˆ ˆ- -

i

i i

i

Y Y

Y Y Y Y Y Y Y Y

Y Y Y Y

In quanto

2 2 0 ˆ ˆ ˆ- - -i iY Y Y Y e Y Y


Infatti

2 2

2 2 2

ˆ ˆˆ- -

ˆˆ -

ii i

ii i i

e Y Y e X Y

e e X Y e

Definizioni

SST = Total Sum of Squares

SSE = Explained Sum of Squares

SSR = Residual Sum of Squares

=0 =0 =0


Definizione:

Il coefficiente di determinazione R2 misura la quota parte della varianza della variabile dipendente spiegata dalla regressione.

22

2

-1- i

i

eSSE SST SSRR

SST SST y


Finora:

• Abbiamo trovato uno stimatore per la relazione fra X e Y;

• Abbiamo sviluppato regole decisionali che permettono di usare lo stimatore per “testare” ipotesi sulla relazione tra X e Y;

• Ma abbiamo sempre preso in considerazione una sola X (ed un solo beta, coefficiente angolare)

• Il mondo è spesso più complicato!!

Cosa succede se Y ha piu’ di una “causa”?

IL MODELLO MULTIVARIATO

εXβXβXββY kk ++...+++= 33221

L’equazione da stimare diventa (in notazione scalare):

dove le Xj sono le variabili indipendenti (o regressori) e i beta sono parametri (sconosciuti) oggetto di stima.

La logica OLS è la stessa

NB: qual è ora l’interpretazione dei beta?

Possono essere visti come derivate parziali: misurano cioè l’effettosulla variabile dipendente di variazioni delle relative variabili indipendenti (ceteris paribus).


Ciascun elemento del vettore beta è una pendenza associata ad una X.

Esattamente come in un contesto bivariato, tranne per il fatto che 1 (generico) rappresenta la variazione attesa di Y per una unità di incremento di X1, (tenendo costanti X2…Xn);

Quindi il coefficiente generico i rappresenta l’effetto diretto di Xi su Y (controllando per le diverse altre cause)


Svilupperemo ora il modello classico di regressione lineare

Distingueremo le assunzioni sulla variabile indipendente e le assunzioni sui residui.

Assunzioni sulla variabile indipendente

IL MODELLO CLASSICO DI REGRESSIONE LINEARE

Assunzioni sui residui

∀ i)E(ε i 0

222 σ)E (ε))E (ε-E (ε)Var(ε iiii

j≠iεεE)E (ε-ε)E (ε-εEε,εCov jijjIiji 0

∀ iN~ε i

IIA:

IIB

IIC

IID

= costante


)σN(0,i.i.d.èε i2

0)E (ε i in media, la linea di regressione sia corretta

X

Y

X1 X2 X3

iε-

iε+

Y


2σ)Var(ε i varianza costante dei disturbi (omoschedasticità)

X

Y

YX1 X2 X3

PD

F d

i ε i


PD

F d

i ε i

X

Y

YX1 X2 X3


2ii σ)Var(ε varianza non costante dei disturbi

(eteroschedasticità)


Lo scatter (X, Residui) spesso produce una nuvola a “ventaglio”

Resid

ui

X

j≠iεεEεE-εEεE-εEε,εCov jijjiiji 0IIC

iε

Corr. Negativa Corr. Positiva Assenza Corr.


-1iε -1iε-1iε

iε iε


Resid

ui

t

Esempio di correlazione seriale positiva nei residui

Le proprietà degli stimatori sono raggruppabili in due categorie:

1. Small sample properties;

2. Large sample properties

Ricordiamo la definizione di stimatore?

PROPRIETA’ DEGLI STIMATORI OLS

Correttezza θθE ˆ

Definizioni correlate

Errore campionario:

θ-)θE(bias≠θ-θ ˆˆ

Abbiamo incontrato esempi di stimatori distorti. Ad es.

n

)X-(Xv i∑ 2

2 tende a sottostimare bisogna correggere per n - 1

2σ


θ)θE( ˆ

Correttezza:

Uno stimatore correttoè centrato sul valore“vero” della popolazione


22 σ≠)σE ( ˆ

Esempio di stimatore distorto


Efficienza Varianza minima

Anche quando uno stimatore è non distorto esiste sempre la probabilità di avere una realizzazione campionaria molto lontana dalla media vera della popolazione. Tale probabilità sarà tanto più bassa quanto più lo stimatore è efficiente.

N.B. La proprietà di efficienza è definita su uno stimatore rispetto a tutti gli altri.

Lo stimatore corretto che presenta varianza minima è Best Unbiased Estimator


A

B

Lo stimatore con distribuzione campionaria A non presenta varianza minima


Esercizio 5.1 (Thomas)

Una variabile casuale X ha media μ = 70 e varianza 2σ

Per stimare μ estraiamo un campione casuale di dimensione n = 20

3 stimatori sono proposti:

3+= Xa

nXb

80+=

Xn

nc

1+=

1.

2.

3.


i. Dimostrare che a, b e c sono distortiii. Calcolare la distorsioneiii. Calcolare la varianza. Quale stimatore presenta var inferiore?

μ)XE()XE(E(a) +3=+3=3+=

μ)XE(n)XE(E(b) +4=+4=/80+=

21/70=1+)(

)(=)1+

1(=)

1+(=)( -

nXE

-XEXn

-XEXn

nEcE

i.


θ-θEbias )ˆ(=

3=+3 μ-μ

4=+4 μ-μ

21/70=21/70 -μ--μ

(bias maggiore)

ii.


Bias nel caso dello stimatore a:

Bias nel caso dello stimatore b:

Bias nel caso dello stimatore c:

nσXaVar /=)3+var(=)( 2

nσXbVar /=)4+var(=)( 2

nσ

n

nX

nn

VarcVar2

2

2

)1+(=)

1+(=)(

iii.


∑

∑

∑

∑

∑

∑222 =

)(==ˆ

i

ii

i

ii

i

ii

x

Yx

x

Y-Yx

x

yxβ

In quanto 0=∑ ixY

Proviamo ora a studiare le proprietà degli stimatori OLSquando le assunzioni del modello classico sono rispettate.

Si parta dalla constatazione che:


∑ 0=iw 0=1

== 22 ∑∑

∑∑∑ i

ii

ii x

xx

xw

∑ 1=ii Xw 1=== 2

2

∑

∑∑∑

i

iiiii x

xxwXw

Possiamo anche scrivere

∑ iiYwβ =ˆ dove ∑ 2=i

ii x

xw è la parte deterministica


Linearità

Il modello che stiamo studiando è lineare in Y

...++==ˆ2211 YwYwYwβ ii∑

In quanto i termini∑ 2=

i

ii x

xw

sono costanti (X non è stocastica)

Lo stesso si può dimostrare per

lineare in Y

α


Correttezza: lo stimatore OLS è corretto

Punto di partenza

=)++(==ˆiiiii εXβαwYwβ ∑∑

=++= iiiii εwXwβwα ∑∑∑

iiεwβ ∑++0=


Dalla forma: iiεwββ ∑+=ˆ

)+(=)ˆ( iiεwβEβE ∑

)(+)(=)ˆ( iiεwEβEβE ∑

...+)(+)(+=)ˆ( 2211 εwEεwEββE

...+)(+)(+=)ˆ( 2211 εEwεEwββE

ββE =)ˆ(


Uno stimatore è efficiente quando presenta la varianza minima tra tutti gli stimatori (ci si riferisce alla classe degli stimatori lineari )

Efficienza: lo stimatore OLS presenta varianza minima


Teorema di Gauss – Markov

Per il modello di regressione lineare, sotto le assunzioni (IIA – IID), gli stimatori OLS hanno la varianza più piccola tra tutti gli stimatori lineari e corretti (unbiased). Lo stimatore OLS è BLUE.

La distribuzione campionaria degli stimatori OLS

Quale sarà la distribuzione campionaria degli stimatori OLS?

Sappiamo che: ),0(...~ 2σNdiiε i

Ne deriva che: iii εΧβαY ++=

è la somma di una cost. e di una VC distribuita normalmente

Quindi: ),+(~ 2σXβαNY ii


Ora, poiché

∑∑

2=ˆi

ii

x

yxβ

Xβ-Yα ˆ=ˆ

sono funzioni lineari di Y, ne deriviamo che, in infiniti campioni

),(~ˆ 2α

σαNα

),(~ˆ 2β

σβNβ


Come sono fatti2β

σ2α

σ e ?

∑∑∑

2

2

22

2222 =

)(==)ˆ( ∑

ii

ii x

σ

x

xσaσβVar

Per quanto riguardaβ sappiamo che

Da cui si ricava2β

σ Standard error diβ


Senza dimostrazione diamo anche:

2ˆ2

22

=α

i

i σxn

Xσ

∑∑


Nelle regressioni si usa il test – t di significatività statistica per verificare l’esistenza di effetti lineari di una variabile indipendente sulla variabile dipendente

( ))(

ˆ=1

j

jj-k-n βSE

βE-βt

è il coefficiente di regressione campionaria, SE(βj) è lo standard error della distribuzione campionaria di βj

jβ


0

0

j1

j0

β:H

β:HTest su due code

0

0

j1

j0

β:H

β:HTest su una coda

Come mai si usa la t e non la Z standardizzata?

NB:

La varianza della popolazione è sconosciuta; si approssima con la varianza (corretta) campionaria…


La gran parte dei test (sia che usino il principio LR, Wald o LM) generano statistiche da semplici regressioni ausiliarie (OLS).

• Solo i test che usano il principio LR richiedono la stima di entrambi i modelli (ristretto e non ristretto).

• Wald richiede solo stima modello ristretto

• LM richiede solo stima modello non ristretto

LA “TRINITA’ DELL’APPROCCIO CLASSICO AL TEST

Basi di partenza:

- Esistono alcuni risultati standard sulle proprietà distributive delle stime ottenute con metodi MLE

- tali risultati possono utilizzarsi per costruire test asintotici (parametrici/non parametrici)

- Il passaggio da MLE a OLS (lo stimatore che conosciamo) è semplice considerando che (sotto l’ipotesi di normalità degli residui), la funzione di verosimiglianza è proporzionale a RSS


Lo stimatore MLE del vettore di parametri sarà:

Sotto H0: MLE = arg MAX L( )

s.t. R = q

Sotto H1: MLE = arg MAX L( )

Come selezionare un test desiderabile?

Possiamo sfruttare 3 principi: LR, Wald e LM


θ

θ

θ

θ

θ

θ


• Le tre statistiche misurano la “distanza” secondo tre diversi criteri

θ

θlnL ˆ

θ

θlnL

RELAZIONE FRA I TRE PRINCIPI

θstgα ˆ

TEST JARQUE-BERA

Statistica per testare l’ipotesi nulla di normalità dei residui.

Sfrutta la differenza tra la statistica relativa ad una serie specifica e i valori che si dovrebbero determinare sotto una distribuzione normale. La statistica si computa come segue:

dove S è l’indice di simmetria, K il kurtosis e k il numero di coefficienti stimati.

Sotto H0, JB si distribuisce come un χ2 con 2 gradi di libertà

43

6

22 -K

Sk-N

JB

LA DIAGNOSTICA DI ROUTINE

TEST DI WHITE

Statistica LM utile per testare la presenza di Eteroschedasticità di qualche forma (sconosciuta).

Si parta dal modello generico

e si studi la regressione ausiliaria:

Test sull’ipotesi congiunta sotto H0

eXβXββY 33221

uXXXXe 324233

2221

2 γγγγ

0432 γγγ


TEST DI WHITE

La statistica si distribuisce come un χ2 con r (restrizioni) gradi di libertà.

In Eviews esiste anche la versione semplificata senza “cross-terms”

In presenza di Heteroschedasticità uso la stima GLS.

In Eviews trovate le stime Heteroschedasticity-consistent


RESET TEST (REGRESSION SPECIFICATION ERROR TEST) RAMSEY

Si prenda in considerazione il modello generale:

Il RESET test ipotizza l’esistenza di altre variabili (generiche)

Se suppongo che la matrice Z sia composta di quadrati e altre potenze della Y avrò un test di corretta specificazione del modello


eXβY '

eXβY '' γZ

RESET TEST (REGRESSION SPECIFICATION ERROR TEST) RAMSEY

Quindi il RESET è un test generale per i seguenti problemi:

· Omitted variables; X does not include all relevant variables.

· Incorrect functional form; some or all of the variables in Y and X should be transformed to logs, powers, reciprocals, or in some other way.

· Correlation between X and e, which may be caused by measurement error in X, simultaneous equation considerations, combination of lagged y values and serially correlated disturbances.


TEST BREUSCH-GODFREY (LM) DI CORRELAZIONE SERIALE

- Test condotto con regressione ausiliaria;

- Bisogna specificare l’ordine di correlazione (si fissa un numero “sufficientemente elevato”;

- E’ valido anche in presenza di variabili dipendenti ritardate;


TEST BREUSCH-GODFREY (LM) DI CORRELAZIONE SERIALE

Steps:

- Si conduca la regressione

- Si salvino i residui ;

- Si conduca la regressione ausiliaria:

- Il test è su un’ipotesi congiunta sui gamma…


tt uXβXββY 33221

tttt euuXβXββu 221133221 γγ

tu

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