DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE La Ricorsione Marco D. Santambrogio –...

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE

La RicorsioneLa Ricorsione

Marco D. Santambrogio – [email protected]. aggiornata al 29 Maggio 2014


ObiettiviObiettivi

• La ricorsione

Ricordate la sigla GNUGNU = GNU is Not Unix

GNU = GNU is Not Unix GNU = GNU is Not Unix

GNU = GNU is Not GNU = GNU

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La ricorsione: definizioneLa ricorsione: definizione

• Dal latino re-currere ricorrere, fare ripetutamente la stessa

azione• In informatica: si tratta di

procedure/funzioni che richiamano se stesse

• Il concetto di ricorsione viene usato nel contesto di: algoritmi strutture dati

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La ricorsione: che cos’è?La ricorsione: che cos’è?

• Ricorsione indiretta: Un sottoprogramma P chiama un

sottoprogramma Q Q a sua volta chiama un terzo R, … R chiama nuovamente P

• Ricorsione diretta Un sottoprogramma P chiama se

stesso durante la propria esecuzione

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Un esempio classicoUn esempio classico

• Individuare, in un gruppo di palline l’unica pallina di peso maggiore delle altre facendo uso di una bilancia “a basculla”

• Per semplicità: il numero di palline sia una potenza di 3

• Algoritmo Pesate:• Se il gruppo di palline consiste in una sola pallina,

allora essa è banalmente la pallina cercata, altrimenti procedi come segue.

– Dividi il gruppo di palline in tre e confronta due dei tre sottogruppi.

– Se i due gruppi risultano di peso uguale scarta entrambi, altrimenti scarta il gruppo non pesato e quello risultato di peso minore.

– Applica l’algoritmo Pesate al gruppo rimanente.

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Altri esempi di ricorsioneAltri esempi di ricorsione

• La sommatoria di una sequenza di numeri

• Fattoriale:

• In arte e non solo…

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Fact(n)=n*Fact(n-1)Fact(0)=1


Scopo della programmazione Scopo della programmazione ricorsivaricorsiva

• Lo scopo è quelo di risolvere un problema facendo riferimento allo stesso problma su scala ridotta

• La condizione di terminazione avviene quando si identifica uno o più casi semplici con soluzione immediata

• La struttura di un algoritmo ricorsivo è il seguente

if (è il caso semplice)risolvilo

elseusa la ricorsione su dati ridotti

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Il calcolo del fattorialeIl calcolo del fattoriale

In matematica, se n è un intero positivo, si definisce n fattoriale e si indica con n! il prodotto dei primi n numeri interi positivi minori o uguali di quel numero

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Il main del fattorialeIl main del fattoriale

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Il fattoriale iterativoIl fattoriale iterativo

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Definizione ricorsiva del fattorialeDefinizione ricorsiva del fattoriale

1) n!=1 se n=02) n!= n*(n-1)! se n>0

Riduce il calcolo a un calcolo più semplice

Ha senso perché si basa sempre sul fattoriale del numero più piccolo, che io conosco

Ha senso perché si arriva a un punto in cui non è più necessario riusare la def. 2) e invece si usa la 1)

1) è il passo base, 2) è il passo di ricorsione

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Esempio di tracciaEsempio di traccia

• Calcoliamo il fattoriale di 4:• 4=0? No: calcoliamo il fattoriale di 3 e molt. per 4• 3=0? No: calcoliamo il fattoriale di 2 e molt. per 3• 2=0? No: calcoliamo il fattoriale di 1 e molt. per 2• 1=0? No: calcoliamo il fattoriale di 0 e molt. per 1• 0=0? Si: il fattoriale di 0 è 1. Risaliamo:• il fattoriale di 1 è 1 per il fattoriale di 0 cioè 1*1=1• il fattoriale di 2 è 2 per il fattoriale di 1 cioè 2*1=2• il fattoriale di 3 è 3 per il fattoriale di 2 cioè 3*2=6• il fattoriale di 4 è 4 per il fattoriale di 3 cioè

4*6=24

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n = 3 main

fat= FattRic(3)

fat= FattRic(2)

fat= FattRic(1)

fat= FattRic(0)

Il fattoriale ricorsivoIl fattoriale ricorsivo

Calcolo del Fattoriale in modo ricorsivo:

1

1

2

6

Fact(n)=n*Fact(n-1)Fact(0)=1

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MoltiplicazioneMoltiplicazione

• Ideare un procedimento ricorsivo per calcolare il prodotto di due interi

• Nota: A*1=A; A*B = A + A*(B-1)

int MulRic(int a, int b){int ris;if (b == 1) ris = a;else ris = a + MulRic(a ,b–1);return ris;

}

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FibonacciFibonacci

• Leonardo Fibonacci Matematico italiano Compie numerosi viaggi e

assimila le conoscenze matematiche del mondo arabo,

Nel 1202 pubblica: il Liber abaci

Con Liber abaci si propose di diffondere nel mondo scientifico occidentale le regole di calcolo note agli Arabi• il sistema decimale

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Il problema dei “Il problema dei “conigliconigli””

“Un tale mise una coppia di conigli in un luogo completamente circondato da un muro, per scoprire quante coppie di conigli discendessero da questa in un anno: per natura le coppie di conigli generano ogni mese un'altra coppia e cominciano a procreare a partire dal secondo mese dalla nascita.”

L. Fibonacci da Liber Abaci

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I numeri di FibonacciI numeri di Fibonacci

Idea di base

1) fib(n)=1 se n=0 opp. n=1

2) fib(n)= fib(n-1) + fib(n-2) se n>1

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Successione di FibonacciSuccessione di Fibonacci

• Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2)• Fib(0)=0; Fib(1)=1;

int fibRic (int n) {

int ris;

if (n == 0) ris = 0;

else if (n == 1) ris = 1;

else ris = fibRic(n–1) + fibRic(n–2);

return ris;

}

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Un problema interessante:Un problema interessante:La torre di BrahmaLa torre di Brahma

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La leggendaLa leggenda

• Narra la leggenda che all'inizio dei tempi, Brahma portò nel grande tempio di Benares, sotto la cupola d'oro che si trova al centro del mondo, tre colonnine di diamante e sessantaquattro dischi d'oro, collocati su una di queste colonnine in ordine decrescente, dal più piccolo in alto, al più grande in basso.

• E' la sacra Torre di Brahma che vede impegnati, giorno e notte, i sacerdoti del tempio nel trasferimento della torre di dischi dalla prima alla terza colonnina.

• Essi non devono contravvenire alle regole precise, imposte da Brahma stesso, che richiedono di spostare soltanto un disco alla volta e che non ci sia mai un disco sopra uno più piccolo.

• Quando i sacerdoti avranno completato il loro lavoro e tutti Quando i sacerdoti avranno completato il loro lavoro e tutti i dischi saranno riordinati sulla terza colonnina, la torre e il i dischi saranno riordinati sulla terza colonnina, la torre e il tempio crolleranno e sarà la fine del mondo. tempio crolleranno e sarà la fine del mondo.

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Le torri di HanoiLe torri di Hanoi

http://www.cs.cmu.edu/~cburch/survey/recurse/hanoi.html

Problema: spostare tutti i dischi dalla torre A alla torre B (usando la torre C come “supporto intermedio”) in modo che si trovino nello stesso ordine

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Le torri di HanoiLe torri di Hanoi

• Scriveremo una funzione ricorsiva che prende come parametro il numero del disco più grande che vogliamo spostare (da 0 a 5 come nel disegno)

• La funzione prenderà anche tre parametri che indicano: da quale asta vogliamo partire (source), a quale asta vogliamo arrivare (dest), l’altra asta, che possiamo usare come

supporto temporaneo (spare).

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L’idea di baseL’idea di base

• Voglio spostare n anelli dal piolo sorgente, a quello destinazione, usando come appoggio il piolo ausiliario Devo quindi prima spostare n - 1 anelli

dal sorgente all'ausiliario, usando come appoggio il piolo destinazione

Poi sposto l'unico anello rimasto dal sorgente al piolo destinazione

Infine sposto gli n - 1 anelli che si trovano sull'ausilliario all'anello destinazione..

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L’uso della ricorsioneL’uso della ricorsione

• Quando si spostano gli n - 1 anelli la funzione hanoi richiama se stessa, cioè effettua una chiamata ricorsiva, semplificando però il problema perché bisogna spostare un numero di anelli inferiore.

• In pratica, con la ricorsione il problema viene continuamente ridotto di complessità fino alla soluzione banale in cui rimane solo un anello, che viene semplicemente spostato nel piolo destinazione.

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Le torri di Hanoi: strategiaLe torri di Hanoi: strategia

Ridurremo il problema a quello di spostare 5 dischi dalla torre Calla torre B, dopo che il disco 5 è stato già messo nella posizione giusta

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Le torri di Hanoi: Le torri di Hanoi: pseudocodicepseudocodice

FUNCTION MoveTower(disk, source, dest, spare):IF disk == 0, THEN: move disk from source to destELSE: MoveTower(disk - 1, source, spare, dest) /* (Passo 1) */ move disk from source to dest //

/* (Passo 2) */ MoveTower(disk - 1, spare, dest, source) //

/* (Passo 3) */END IF

Nota: l’algoritmo aggiunge un caso base: quando il disco è il più piccolo (il numero 0). In questo caso possiamo muoverlo direttamente perché non ne ha altri sopra. Negli altri casi, seguiamo la procedura descritta per il disco 5.

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CodiceCodice

void hanoi(int n, int sorgente, int destinazione, int aux) {

if (n==1)

printf("Sposto da %d a %d.\n",sorgente, destinazione);

else{

hanoi(n - 1, sorgente, aux, destinazione);

hanoi(1, sorgente, destinazione, aux);

hanoi(n - 1, aux, destinazione, sorgente);

}

}

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Esercizio: Massimo di un Esercizio: Massimo di un arrayarray

• Ideare un procedimento ricorsivo per calcolare il massimo di un array di interi

• Idea: max(vect[0 : N]) =max(vect[0],max(vect[1 : N]))

int max(int *array, int n){int maxs;if (n==1) return array[0]; /*Caso Array 1 elemento*/if (n==2){ /*Caso Base*/ if (array[0]>array[1]) return array[0]; else return array[1];}maxs = max(&array[1],n-1); /*Risolvi Problema Ridotto*/if (array[0]>maxs)return array[0];else return maxs;

}

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Fonti per lo studio + Fonti per lo studio + CreditsCredits• Fonti per lo studio

Introduzione alla programmazione in MATLAB, A.Campi, E.Di Nitto, D.Loiacono, A.Morzenti, P.Spoletini, Ed.Esculapio

• Capitolo 4– Particolare attenzione al 4.5

• Credits Prof. A. Morzenti Gianluca Palermo

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