DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Iterazione Vs Ricorsione Marco D. Santambrogio –...

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE

Iterazione Vs RicorsioneIterazione Vs Ricorsione

Marco D. Santambrogio – [email protected]. aggiornata al 28 Dicembre 2013


ObiettiviObiettivi

• Induzione matematica• Iterazione• Cosa significa “ricorsivo”• Iterazione Vs ricorsione

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L’induzione matematicaL’induzione matematica

• Si usa nelle definizioni e nelle dimostrazioni

• Definizione: numeri pari 1) 0 è un numero pari 2) se n è un numero pari anche n+2 è un

numero pari• Dimostrazione: dimostro che (2n)2=4n2

(distributività della potenza di 2 risp. alla moltiplicazione)

1) n=1 : vero 2) suppongo sia vero per k, lo dimostro per

k+1:(2(k+1))2=(2k+2)2=(2k)2+8k+4= (per hp di

induzione) 4k2 +8k+4 = 4(k2 +2k+1) = 4(k+1)2 1) è il passo base, 2) è il passo di induzione

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Il tacchino induttivistaIl tacchino induttivista

• Un tacchino induttivista viene allevato in una fattoria del Maine (USA)

• Ogni giorno alle 7am Mr Jones porta il cibo al tacchino induttivista

• Il tacchino segue il seguente ragionamento: Il giorno 1 Mr Jones mi ha portato il cibo @

7am Ieri era il giorno “n” e Mr Jones mi ha portato

il cibo @ 7am Oggi è il giorno “n+1” ed il cibo è arrivato Tutti i giorni @l 7am Mr Jones mi porterà il

cibo• … Thanksgiving

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Iterazione e ricorsioneIterazione e ricorsione

• Sono i due concetti informatici che nascono dal concetto di induzione

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IterazioneIterazione

• L’iterazione si realizza mediante la tecnica del ciclo

• Il calcolo del fattoriale: 0!=1 n!=n(n-1)(n-2)….1 (realizzo un ciclo)

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IterazioneIterazione

• Il calcolo del fattoriale mediante una tecnica iterativa:

function [f]=fact(n)

f=1;

for i=1:n

f=f*i;

end

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La ricorsioneLa ricorsione

• Dal latino re-currere ricorrere, fare ripetutamente la stessa

azione• In informatica: si tratta di

procedure/funzioni che richiamano se stesse

• Il concetto di ricorsione viene usato nel contesto di: algoritmi strutture dati

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““FlussoFlusso”” di lavoro di lavoro

• Il programmatore formula l’algoritmo dal generale al particolare Si descrivono la funzione sulla globalità

dei dati in termini della funzione stessa sui dati disgregati

• L’algoritmo viene poi eseguito dal particolare al generale Vengono infatti lasciate in sospeso le

operazioni globali e il calcolo vero e proprio inizia dai dati atomici

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Definizione ricorsiva del fattorialeDefinizione ricorsiva del fattoriale

1) n!=1 se n=02) n!= n*(n-1)! se n>0

riduce il calcolo a un calcolo più semplice

ha senso perché si basa sempre sul fattoriale del numero più piccolo, che io conosco

ha senso perché si arriva a un punto in cui non è più necessario riusare la def. 2) e invece si usa la 1)

1) è il passo base, 2) è il passo di ricorsione

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Algoritmo ricorsivo per Algoritmo ricorsivo per fattorialefattoriale

function [f]=factRic(n)

if (n==0)

f=1;

else

f=n*factRic(n-1);

end•Quando si può dire che una ricorsione è ben definita?

Informalmente: se ogni volta che applico la ricorsione sono significativamente più vicino al passo base, allora la definizione non è circolare.

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Esempio di tracciaEsempio di traccia

• Calcoliamo il fattoriale di 4:• 4=0? No: calcoliamo il fattoriale di 3 e molt. per 4• 3=0? No: calcoliamo il fattoriale di 2 e molt. per 3• 2=0? No: calcoliamo il fattoriale di 1 e molt. per 2• 1=0? No: calcoliamo il fattoriale di 0 e molt. per 1• 0=0? Si: il fattoriale di 0 è 1. Risaliamo:• il fattoriale di 1 è 1 per il fattoriale di 0 cioè 1*1=1• il fattoriale di 2 è 2 per il fattoriale di 1 cioè 2*1=2• il fattoriale di 3 è 3 per il fattoriale di 2 cioè 3*2=6• il fattoriale di 4 è 4 per il fattoriale di 3 cioè

4*6=24

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n:3 f:..factRic

(1)

n:3 f:..factRic

(2)

n:2 f:..factRic

n:3 f:..factRic

(3)

n:2 f:..factRic

n:1 f:..factRic

n:3 f:..factRic

(4)

n:2 f:..factRic

n:1 f:..factRic

n:0 f:..factRic

n:3 f:..factRic

(5)

n:2 f:..factRic

n:1 f:..factRic

n:0 f:1factRic

n:3 f:..factRic

(6)

n:2 f:..factRic

n:1 f:1factRic

n:3 f:..factRic

(7)

n:2 f:2factRic

n:3 f:6factRic

(8)

Ambienti locali gestiti in modo LIFO (Last In First Out)Cancellati in ordine inverso a quello un cui sono stati creatiSi usa una struttura di dati detta PILA

Gestione a pila degli ambienti Gestione a pila degli ambienti locali delle funzionilocali delle funzioni

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Altri esempi di funzioni Altri esempi di funzioni ricorsivericorsive

• I numeri di Fibonacci (dinamiche di popolazione)

• Il Massimo Comun Divisore

(algoritmo di Euclide)

• Il problema delle torri di Hanoi

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FibonacciFibonacci

• Leonardo Fibonacci Matematico italiano Compie numerosi viaggi e

assimila le conoscenze matematiche del mondo arabo,

Nel 1202 pubblica: il Liber abaci

Con Liber abaci si propose di diffondere nel mondo scientifico occidentale le regole di calcolo note agli Arabi• il sistema decimale

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Il problema dei “Il problema dei “conigliconigli””

“Un tale mise una coppia di conigli in un luogo completamente circondato da un muro, per scoprire quante coppie di conigli discendessero da questa in un anno: per natura le coppie di conigli generano ogni mese un'altra coppia e cominciano a procreare a partire dal secondo mese dalla nascita.”

L. Fibonacci da Liber Abaci

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I numeri di FibonacciI numeri di Fibonacci

Idea di base

1) fib(n)=1 se n=0 opp. n=1

2) fib(n)= fib(n-1) + fib(n-2) se n>1

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I numeri di FibonacciI numeri di Fibonacci

1) fib(n)=1 se n=0 opp. n=1

2) fib(n)= fib(n-1) + fib(n-2) se n>1

Vengono usati per modellare la crescita di animali per diverse generazioni

function [f]=fib (n)

if n==1 | n==2

f = 1;

else

f = fib(n - 2) + fib(n - 1);

end

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Il MCDIl MCD

Definizione:1) MCD(m,n)=m se m=n2a) MCD(m,n)= MCD(m-n,n) se m>n2b) MCD(m,n)=MCD(m,n-m) se n>m

esempio:MCD(21,56) = MCD(21,35) =

MCD(21,14)== MCD(7,14) = MCD(7,7) = 7

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IL MCDIL MCD

Iterativo:

function [M]=MCDeuclid(m,n)

while m ~= n

if m>n

m=m-n;

else

n=n-m;

end

end

M=m;

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IL MCDIL MCD

Iterativo:

function [M]=MCDeuclid(m,n) while m ~= n if m>n m=m-n; else n=n-m; end end M=m;

Ricorsivo:

function [M]=MCDeuclidRic(m,n)

if m==n

M=m;

else if m>n

M = MCDeuclidRic(m-n,n);

else

M = MCDeuclidRic(m,n-m);

end

end• Attenzione alla condizione di

terminazione!!!!!• N.B. è sempre possibile trovare un

corrispondente iterativo di un programma ricorsivo!!!

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Un problema interessante:Un problema interessante:La torre di BrahmaLa torre di Brahma

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La leggendaLa leggenda

• Narra la leggenda che all'inizio dei tempi, Brahma portò nel grande tempio di Benares, sotto la cupola d'oro che si trova al centro del mondo, tre colonnine di diamante e sessantaquattro dischi d'oro, collocati su una di queste colonnine in ordine decrescente, dal più piccolo in alto, al più grande in basso.

• E' la sacra Torre di Brahma che vede impegnati, giorno e notte, i sacerdoti del tempio nel trasferimento della torre di dischi dalla prima alla terza colonnina.

• Essi non devono contravvenire alle regole precise, imposte da Brahma stesso, che richiedono di spostare soltanto un disco alla volta e che non ci sia mai un disco sopra uno più piccolo.

• Quando i sacerdoti avranno completato il loro lavoro e tutti Quando i sacerdoti avranno completato il loro lavoro e tutti i dischi saranno riordinati sulla terza colonnina, la torre e il i dischi saranno riordinati sulla terza colonnina, la torre e il tempio crolleranno e sarà la fine del mondo. tempio crolleranno e sarà la fine del mondo.

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Le torri di HanoiLe torri di Hanoi

http://www.cs.cmu.edu/~cburch/survey/recurse/hanoi.html

Problema: spostare tutti i dischi dalla torre A alla torre B (usando la torre C come “supporto intermedio”) in modo che si trovino nello stesso ordine

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Le torri di HanoiLe torri di Hanoi

• Scriveremo una funzione ricorsiva che prende come parametro il numero del disco più grande che vogliamo spostare (da 0 a 5 come nel disegno)

• La funzione prenderà anche tre parametri che indicano: da quale asta vogliamo partire (source), a quale asta vogliamo arrivare (dest), l’altra asta, che possiamo usare come

supporto temporaneo (spare).

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L’idea di baseL’idea di base

• Voglio spostare n anelli dal piolo sorgente, a quello destinazione, usando come appoggio il piolo ausiliario Devo quindi prima spostare n - 1 anelli

dal sorgente all'ausiliario, usando come appoggio il piolo destinazione

Poi sposto l'unico anello rimasto dal sorgente al piolo destinazione

Infine sposto gli n - 1 anelli che si trovano sull'ausilliario all'anello destinazione..

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L’uso della ricorsioneL’uso della ricorsione

• Quando si spostano gli n - 1 anelli la funzione hanoi richiama se stessa, cioè effettua una chiamata ricorsiva, semplificando però il problema perché bisogna spostare un numero di anelli inferiore.

• In pratica, con la ricorsione il problema viene continuamente ridotto di complessità fino alla soluzione banale in cui rimane solo un anello, che viene semplicemente spostato nel piolo destinazione.

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Le torri di Hanoi: strategiaLe torri di Hanoi: strategia

Ridurremo il problema a quello di spostare 5 dischi dalla torre Calla torre B, dopo che il disco 5 è stato già messo nella posizione giusta

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Le torri di Hanoi: Le torri di Hanoi: pseudocodicepseudocodice

FUNCTION MoveTower(disk, source, dest, spare):IF disk == 0, THEN: move disk from source to destELSE: MoveTower(disk - 1, source, spare, dest) /* (Passo 1) */ move disk from source to dest //

/* (Passo 2) */ MoveTower(disk - 1, spare, dest, source) //

/* (Passo 3) */END IF

Nota: l’algoritmo aggiunge un caso base: quando il disco è il più piccolo (il numero 0). In questo caso possiamo muoverlo direttamente perché non ne ha altri sopra. Negli altri casi, seguiamo la procedura descritta per il disco 5.

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Soluzione in codice MATLAB con simulazioneSoluzione in codice MATLAB con simulazione

function []=hanoi(n, da, a, per) if (n>1) hanoi(n-1, da, per, a); end; fprintf('\n sposta un disco dal piolo %d al piolo %d \n', da, a); if (n>1) hanoi(n-1, per, a, da); end;

>> hanoi(3, 1, 2, 3) sposta un disco dal piolo 1 al piolo 2 sposta un disco dal piolo 1 al piolo 3 sposta un disco dal piolo 2 al piolo 3 sposta un disco dal piolo 1 al piolo 2 sposta un disco dal piolo 3 al piolo 1 sposta un disco dal piolo 3 al piolo 2 sposta un disco dal piolo 1 al piolo 2 >>

hanoi(3, 1, 2, 3)

hanoi(2, 1, 3, 2) hanoi(2, 3, 2, 1)

hanoi(1, 1, 2, 3) hanoi(1, 2, 3, 1) hanoi(1, 3, 1, 2) hanoi(1, 1, 2, 3)

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Fonti per lo studio + Fonti per lo studio + CreditsCredits• Fonti per lo studio

Introduzione alla programmazione in MATLAB, A.Campi, E.Di Nitto, D.Loiacono, A.Morzenti, P.Spoletini, Ed.Esculapio• Capitolo 4

– Particolare attezione al 4.5

• Credits Prof W. Fornaciari Prof. A. Morzenti

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