Diagrammi spazio-tempo, orizzonte e modello in...

Capitolo 12Diagrammi spazio-tempo, orizzonte e modelloinflazionario

Fino ad ora abbiamo trovato come crescono le perturbazioni nel caso classico (Newtoniano)e pertanto non abbiamo tenuto conto del tempo finito di propagazione dei segnali. Adessodobbiamo considerare altri processi fisici che ci permettano di avere modelli piu realistici dicrescita delle perturbazioni: dobbiamo quindi definire cosa sia l’orizzonte di un osservatore(ed i problemi ad esso connessi) e dobbiamo capire come crescono le perturbazioni su scalepiu grandi dell’orizzonte. Successivamente cercheremo di capire il ruolo della materiabarionica nella crescita delle perturbazioni scoprendo come i modelli con la sola materiabarionica falliscano nello spiegare le osservazioni. In seguito ci occuperemo della materiaoscura.

12.1 L’orizzonte di una particella

Un concetto importante e quello di orizzonte di una particella (o di un osservatore): adogni epoca t e la massima distanza con la quale c’e stata connessione causale, ovvero ela distanza massima che ha percorso un segnale luminoso emesso a t “ 0 e che raggiungel’osservatore al tempo t.

In pratica questo e lo stesso problema con cui ci siamo confrontati quando abbiamodovuto misurare le distanze tenendo conto dell’espansione dell’universo: abbiamo consi-derato un numero infinito di osservatori tra noi e la sorgente, ciascuno con l’istruzionericevuta a t “ 0 di misurare al tempo t la distanza dall’osservatore piu vicino per cui allafine si ottiene che la distanza propria e

Rptq “

ż

dx “ aptq

ż

dr “ aptqr

con r distanza comovente ovvero misurata per t “ t0 (ricordare il “thought experiment”nella sezione 3.3). La metrica di Robertson–Walker e

ds2“ dt2 ´

aptq2

c2

”

dr2`R2 sin2

´ r

R¯

`

dθ2` sin2 θdφ2

˘

ı

per cui considerando il percorso radiale di un fotone (ds2 “ 0, dθ2 ` sin2 θdφ2 “ 0) si ha

dt “aptq

cdr

182 Diagrammi spazio-tempo, orizzonte e modello inflazionario

dr e la distanza comovente di una sorgente osservata dopo che i fotoni hanno viaggiatoun tempo dt. Allora la distanza comovente di una sorgente che emette i fotoni al tempot e che noi osserviamo a t0 e

r “

ż t0

t

cdt

aptq“

ż 1

a

cda

a 9a

dove questa espressione puo essere letta come la distanza comovente tra l’osservatore altempo t0 ed una sorgente vista al tempo t ă t0; ovvero la distanza comovente percorsa daifotoni partiti al tempo t ed arrivati al tempo t0. Quindi e facile capire che, partendo dal-l’espressione appena trovata e considerando che l’osservatore al tempo t avra un orizzontecorrispondente alla distanza comovente con le sorgenti viste al tempo t “ 0, si ha

r “

ż t

0

cdt1

apt1q“

ż a

0

cda1

a1 9a1

questa e la distanza comovente tra una sorgente che emette fotoni al tempo t “ 0 e l’os-servatore che li osserva al tempo t, ovvero e la distanza comovente che i fotoni percorronotra t “ 0 e t. Per ottenere la distanza propria, ovvero quella che si misurerebbe a t (e nonquella comovente, misurata a t0) si deve moltiplicare per aptq. Il raggio dell’orizzonte diuna particella o di un osservatore al tempo t e quindi

RHptq “ aptq

ż t

0

cdt1

apt1q“ aptq

ż a

0

cda1

9a1a1(12.1)

Consideriamo adesso il caso dei modelli di Friedman per ΩΛ=0. Ricordiamo che

dz

dt“ ´H0p1` zq

“

p1` zq2pΩ0z ` 1q ´ ΩΛzpz ` 2q‰12

allora

RHptq “ aptq

ż t

0

cdt1

apt1q“ aptq

ż z

`8

c

p1` zqp´dzq

H0p1` zq rp1` zq2pΩ0z ` 1q ´ ΩΛzpz ` 2qs12

che, per ΩΛ=0, diviene

RHptq “ aptq

ż z

`8

cp´dzq

H0 rp1` zq2pΩ0z ` 1qs12“ aptq

ż `8

z

c dz

H0p1` zq pΩ0z ` 1q12

ricordando le soluzioni analitiche nel caso ΩΛ=0 si ha:per Ω0 ą 1

RHptq “c

H0pΩ0 ´ 1q12aptq acos

„

1´2pΩ0 ´ 1q

Ω0

aptq

per Ω0 ă 1

RHptq “c

H0p1´ Ω0q12aptq acosh

„

1`2p1´ Ω0q

Ω0

aptq

per Ω0 “ 1, modello di Einstein - de Sitter,

RHptq “ aptq

ż `8

z

c dz

H0p1` zq32“c aptq

H0

2p1` zq´12

“2c

H0

aptq32 “2c

H0

t

t0“2c

H0

3H0

2t

12.2 L’orizzonte degli eventi 183

ovveroRHptq “ 3 c t (12.2)

Per piccoli valori di a (Ω0z " 1), si ottiene la soluzione valida nel caso dominato dallamateria anche per modelli con ΩΛ ‰ 0, analogamente a come abbiamo visto per a “ aptq.Partendo da

RHptq “ aptq

ż 8

z

c dz

H0rp1` zq2pΩ0z ` 1q ´ ΩΛzpz ` 2qs12

per Ω0z " 1, z " 1 si ha a » z´1 e si ottiene

RHptq » aptq

ż 8

z

c dz

H0pΩ0z3q12“ aptq

ż 8

z

c

H0Ω120

z´32dz

“c aptq

H0Ω120

“

´2z´12‰8

z“ 2

c aptq

H0Ω120

z´12

“2c

H0Ω120

aptq32 (12.3)

Sappiamo che, in queste condizioni, vale il modello di Einstein-de Sitter “modificato”

aptq “ Ω130

ˆ

3H0t

2

˙23

ovvero

RHptq “A2c

H0Ω120

Ω120

3H0 t

2“ 3 c t

e quindi

RHptq “ 3 c t Ω0z " 1, z " 1,ΩΛ ‰ 0 (12.4)

ovvero lo stesso valore del caso di Einstein - de Sitter. Come abbiamo gia visto, questaapprossimazione e valida, ad esempio, sulla superficie di ultimo scattering.

Perche il raggio dell’orizzonte e 3 c t e non c t? La cosa si puo comprendere pensandoche, per t piccoli, gli osservatori fondamentali sono piu vicini tra loro e i fotoni vengo-no “trascinati” dall’espansione dell’universo; pertanto i fotoni si ritrovano a percorreredistanze comoventi maggiori del semplice c t.

Consideriamo adesso il caso “radiation dominated” che si ha per z " 1.97ˆ104Ω0h270 «

6000. In questo caso a “ k t12 e

RHptq “ aptq

ż t

0

c dt1

apt1q“ SSk t12

ż t

0

c dt1

SSk t112

ovveroRHptq “ 2 c t (12.5)

12.2 L’orizzonte degli eventi

L’orizzonte degli eventi e la massima distanza osservabile aspettando un tempo sufficien-temente lungo, al limite tÑ 8. Se consideriamo il fotone che parte a t e arriva al tempot1 in direzione radiale la distanza comovente percorsa e pari a

r “

ż t1

t

c dt1

apt1q(12.6)


pertanto, detto t8 il tempo cosmico massimo che l’universo puo raggiungere, il raggiodell’orizzonte degli eventi per l’osservatore al tempo t sara

REptq “ aptq

ż t8

t

c dt

aptq“ aptq

ż a8

a

c da

a 9a

RE e la massima distanza propria degli oggetti che l’osservatore in t potra vedere in futuro.La domanda da porsi e se RE converge per t8 Ñ 8 (nel caso dei modelli aperti) o pert8 Ñ tmax (nel caso dei modelli chiusi). In quest’ultimo caso tmax corrisponde al tempoin cui avviene il big crunch.

Se ΩΛ=0, Ω0 ď 1 quell’integrale diverge (a9 t23 per Ω0 “ 1 e a9 t per Ω0 “ 0)pertanto RE Ñ 8: in linea di principio e possibile osservare qualsiasi particella esistentenell’universo, basta aspettare il tempo necessario alla propagazione della luce. Se ΩΛ=0,Ω0 ą 1 l’integrale converge ad un valore finito che si puo ottenere dalle soluzioni generaliper aptq; ad esempio, per Ω0=2, l’oggetto piu lontano osservabile prima del big crunchavrebbe una distanza comovente r « 20, 000 Mpc (H0 “ 70 km s´1 Mpc´1). Nel caso incui ΩΛ ą 1 e Ω0`ΩΛ ě 1 l’integrale per RE converge ad un valore finito perche per tempigrandi aptq si espande esponenzialmente ed i fotoni emessi da oggetti sufficientementedistanti non ce la fanno a giungere fino a noi.

12.3 La sfera di Hubble e il cono di luce passato

Prima di affrontare lo studio dei diagrammi spazio-tempo in ambito cosmologico, e neces-sario capire come si puo trovare il cono di luce (passato) di un osservatore che, ricordiamo,e il luogo dei punti nello spazio-tempo percorsi dai fotoni per giungere all’osservatore.

La prima cosa da notare e che la legge di Hubble, vrec “ H0r, si applica anche pervrec ą c; questa non e una violazione della relativita generale poiche non e una velocitadi trasmissione del segnale ma e solo un effetto dell’espansione omogenea ed isotropadell’universo. Pertanto dovremo conto del fatto che, oltre alla velocita effettiva di unoggetto, esiste una velocita apparente dovuta all’espansione dell’universo.

Possiamo determinare la velocita apparente vtot al tempo t di allontanamento tra dueosservatori a distanza comovente r come

vtot “∆pdistanza propria al tempo tq

∆ptempo cosmico t)“dR

dt

Sfruttando la definizione di distanza comovente

Rptq “ aptqr

vtot “dR

dt“ 9aptq r ` a

dr

dt“ vrec ` vpec

vrec “ 9aptq r e la velocita di recessione con cui il substrato si espande e con cui gliosservatori si allontanano; per t “ t0 si ottiene vrec “ H0r ovvero la legge di Hubble.

vpec “ aptq drdt rappresenta invece la velocita relativa dovuta ai moti “peculiari”ovvero quelli che si discostano dal flusso di Hubble (ricordare la perturbazione di velocita~u “ d~rdt vista nel capitolo precendete).

12.3 La sfera di Hubble e il cono di luce passato 185

Consideriamo adesso un osservatore al tempo t che osserva fotoni emessi al tempo temnel caso critico Ω0=1 e ΩΛ=0, per cui si ha

aptq “

ˆ

3

2H0t

˙23

“

ˆ

t

t0

˙23

9a “2

3t0

ˆ

t

t0

˙´13

“ H0

ˆ

t

t0

˙´13

r “

ż t

tem

c dt1

pt1t0q23“ c

«

3t0

ˆ

t1

t0

˙13fft

tem

“2c

H0

«

ˆ

t

t0

˙13

´

ˆ

temt0

˙13ff

vrec “ 9aptqr “ 2c

ˆ

t

t0

˙´13«

ˆ

t

t0

˙13

´

ˆ

temt0

˙13ff

L’osservatore al tempo t vede il Big Bang (tem “ 0) come

rBB “2c

H0

ˆ

t

t0

˙13

vrec “ 2c

Ovvero il Big Bang si allontana con una velocita di recessione apparente pari a 2cindipendentemente dal tempo t a cui lo si osserva.

Attenzione a non confondere la velocita di recessione 9aptqr con la velocita che si ottieneinterpretando erroneamente il redshift cosmologico come effetto Doppler. La velocitaDoppler che otteniamo adesso pt “ t0q per fotoni emessi per t “ tem e

vDop “ c z “ c

„

1

aptemq´ 1

“ c

«

ˆ

temt0

˙´23

´ 1

ff

dove si e sfruttato il fatto che il redshift cosmologico non e altro che una misura del fattoredi scala a al tempo tem a cui vengono emessi i fotoni. Questa va confrontata con la velocitadi recessione vrec con cui adesso t “ t0 vediamo allontanarsi la sorgente che ha emesso ifotoni al tempo t “ tem; ponendo t “ t0 nell’espressione trovata per vrec otteniamo

vrec “ 2c

«

1´

ˆ

temt0

˙13ff

Per cui si puo calcolare il rapporto tra le due velocita e, posto tem “ t0p1´ ξq si trova checon ξ ! 1 (corrispondente a z ! 1)

vDopvrec

“1

2

p1´ ξq´23 ´ 1

1´ p1´ ξq13»

1

2

23 ξ

13 ξ“ 1

ovvero la velocita Doppler fornisce la corretta velocita di espansione solo nell’universolocale.

Come gia visto vpec “ aptq drdt corrisponde alla velocita “reali” e non alle velocitaapparenti dovute all’espansione del substrato, pertanto il modulo della velocita peculiaredi un fotone sara sempre vpec “ c. Consideriamo adesso un fotone emesso al tempo tem


che si sta dirigendo verso un osservatore; al tempo t il fotone si trova a distanza comoventer dall’osservatore e la sua velocita di avvicinamento all’osservatore sara

vtot “dRptq

dt“ 9aptq r ´ c

il segno “–” viene dal fatto che il fotone viaggia verso l’osservatore. Questa espressionedefinisce la velocita con cui la luce al tempo t si sta avvicinando ad un osservatore per ef-fetto dell’universo in espansione: si ricordi che per l’osservatore o per il fotone le distanzeda percorrere sono sempre quelle proprie, non quelle comoventi. I fotoni si allontananodall’osservatore (la distanza propria a t aumenta) fino a che l’espansione cosmologica ecaratterizzata da vrec ą c; pero i fotoni si muovono verso l’osservatore passando per rife-rimenti inerziali che si muovono progressivamente con velocita di recessione (vrec) minorifinche non attraversano la sfera di Hubble ovvero la regione in cui vrec “ 9a r “ c e vtot “ 0.La definizione del raggio della sfera di Hubble RHSptq e pertanto

c “ 9aptq r “9a

aaptqr “

9a

aRHSptq

ovvero

RHSptq “aptq

9aptqc “

c

Hptq

si noti che RHSptq e una distanza radiale propria. Da questa epoca in poi il fotonesi avvicina sempre di piu all’osservatore finche per t “ t0 non vi giunge con velocitaapparente pari a c (vtot “ ´c visto che r “ 0).

Adesso possiamo facilmente determinare il cono di luce passato (Past Light Cone,PLC) di un osservatore al tempo t0: dobbiamo trovare la distanza propria (o comovente)al tempo t di un fotone partito a tem che giunge dall’osservatore al tempo t0. Tenendoconto della velocita di avvicinamento del fotone vtot appena trovata

RPLCptq “ Rem `

ż t

tem

vtotdt

dove Rem e la distanza propria tra fotone e osservatore al momento dell’emissione delfotone stesso. Poiche sappiamo che per t “ 0, R “ 0 (postulato di Weyl) possiamo infinescrivere

RPLCptq “

ż t

0

vtotdt “

ż t

0

r 9apt1qr ´ csdt1 “

ż a

0

9a1r ´ c

9a1da1

Possiamo anche ragionare in altro modo e trovare la distanza comovente del fotoneemesso a t e osservato a t0; come ben noto questa e pari a

rPLC “

ż t0

t

cdt

aptq

e che corrisponde ad una distanza propria al tempo t pari a

RPLCptq “ aptqrPLC “ aptq

ż t0

t

cdt1

apt1q“ aptq

ż 1

aptq

cda

9aa

Si puo vedere facilmente che le due espressioni sono equivalenti. Dopo aver notato che

dr

dt“

„

d

dt

ż t0

t

cdt

a

“ ´c

aptq

12.4 Diagrammi spazio-tempo per i modelli cosmologici standard 187

si integra per parti la prima espressione di RPLC

RPLCptq “

ż t

0

r 9apt1qr ´ csdt1 “ aptqr ´

ż t

0

a

ˆ

dr

dt1

˙

dt1 ´

ż t

0

cdt1 “ aptqr “ aptq

ż t0

t

cdt1

apt1q

ovvero, ricordando che a dr “ c dt1, si ritrova la seconda espressione per RPLC .Determiniamo adesso l’equazione del nostro cono di luce in funzione del tempo t nel

caso in cui Ω0 “ 1, ΩΛ “ 0 (Einstein-de Sitter). Sappiamo che la distanza comovente diun fotone al tempo t che arriva al tempo t0 e

r “2c

H0

«

1´

ˆ

t

t0

˙13ff

“ rPLC

per cui

RPLCptq “ aptqrPLC “2c

H0

ˆ

t

t0

˙23«

1´

ˆ

t

t0

˙13ff

e si puo facilmente verificare che si ottiene lo stesso risultato anche usando l’altra espres-sione di RPLC .

12.4 Diagrammi spazio-tempo per i modelli cosmo-

logici standard

Prima di analizzare i diagrammi spazio-tempo in ambito cosmologico, riassumiamo i tempie le distanze introdotti fino a qui.

• Tempo cosmico. E’ il tempo misurato da un osservatore fondamentale e letto suun orologio sincronizzato per t “ 0 quando tutte le geodetiche si intersecavano(postulato di Weyl)

t “

ż t

0

dt1 “

ż a

0

da1

9a1

• Tempo conforme. Il tempo conforme τ e l’analogo della coordinata comovente ed elegato all’intervallo di tempo sotto cui l’osservatore a t “ t0 vede avvenire un eventonel passato al tempo t

dtconf “ dτ “dt

aptq

poiche questo e il tempo misurato dall’osservatore fondamentale al tempo t “ t0ma relativo alla durata di eventi passati, e chiaro che rispetto al tempo cosmico, eaffetto dalla dilatazione cosmologica dei tempi. La metrica di Robertson e Walkere

ds2“ dt2 ´

aptq2

c2

”

dr2`R2 sin2

´ r

R¯

`

dθ2` sin2 θdφ2

˘

ı

e con il tempo conforme diventa

ds2“a2ptq

c2

”

c2dτ 2´ dr2

´R2 sin2´ r

R¯

pdθ2` sin2 θdφ2

q

ı

ovvero la parte spaziale e la parte temporale sono adesso omogenee e scalanoentrambe con aptq; per cui le associazioni sono tra t – rpropr e τ – r.

Utilizzando il tempo conforme la crescita delle perturbazioni e


Era della Radiazione: δρρ9 t; a9 t12; τ 9t12 per cui δρρ9 τ 2

Era della Materia: δρρ9 t23; a9 t23; τ 9t13 per cui δρρ9 τ 2

ovvero le perturbazioni crescono sempre con τ 2.

• Distanza radiale comovente. E’ definita come

r “

ż t0

t

c dt1

a1“

ż 1

a

c da1

a1 9a1

ovvero e la distanza “proiettata” all’epoca t “ t0.

• Distanza radiale propria. Partendo dalla definizione di distanza radiale comovente,la distanza radiale propria, ovvero misurata all’epoca di osservazione t della sorgentee

Rprop “ aptqr “ a

ż t0

t

c dt1

a1“ a

ż 1

a

c da1

a1 9a1

• Orizzonte di una particella. E’ la massima distanza con cui ci puo essere statacomunicazione all’epoca t ovvero e la distanza radiale propria tra t e t “ 0

RHptq “ aptq

ż t

0

cdt1

apt1q“ aptq

ż a

0

c da1

9a1a1

• Orizzonte degli eventi. E’ la massima distanza radiale propria di un oggetto chepotra essere osservato da un osservatore al tempo t

REptq “ aptq

ż t8

t

c dt1

apt1q“ aptq

ż a8

a

c da1

a1ptq 9a1ptq

• Past light cone. Come abbiamo visto prima definisce gli eventi accessibili all’osser-vatore (ovvero gli eventi da cui provengono i fotoni osservati) ed e dato da

RPLCptq “

ż t

0

r 9apt1qr ´ csdt1 “ aptq

ż t0

t

cdt1

apt1q

• Raggio della sfera di Hubble, la distanza propria a cui la velocita di recessione epari alla velocita della luce

RHSptq “aptq

9aptqc “

c

Hptq

12.4.1 Diagrammi spazio-tempo per Ω0 “ 1,ΩΛ “ 0

Vediamo adesso i diagrammi spazio-tempo e cominciamo con il modello critico di Einstein- de Sitter, Ω0=1.0, ΩΛ=0, per poi passare al nostro modello di riferimento con Ω0=0.3,ΩΛ=0.7. Nelle figure seguenti si useranno sempre queste unita di misura:

• il tempo sara espresso in unita di H´10 ;

• le distanze saranno espresse in unita di cH0.


Space-Time DiagramCosmic Time vs. Proper Distance

The times and distances are measured in units of H−10 and c/H0 respectively.

44

Figura 12.1: Diagramma spazio-tempo tra tempo cosmico t e distanza propria x peril modello critico (Ω0=1, ΩΛ=0). Tempi e distanze sono misurati in H´1

0 e cH0,rispettivamente.

Space-Time DiagramCosmic Time vs. Comoving Distance Coordinate


45

Figura 12.2: Diagramma spazio-tempo tra tempo cosmico t e distanza comovente rper il modello critico (Ω0=1, ΩΛ=0). Tempi e distanze sono misurati in H´1



Space-Time DiagramConformal Time vs. Comoving Distance Coordinate


46

Figura 12.3: Diagramma spazio-tempo tra tempo conforme t e distanza comovente rper il modello critico (Ω0=1, ΩΛ=0). Tempi e distanze sono misurati in H´1


La figura 12.1 rappresenta il diagramma spazio tempo per t´ rprop ovvero con tempocosmico e distanze proprie; la figura 12.2 rappresenta la relazione t´ r, tempo cosmico -distanza comovente mentre la figura 12.3 rappresenta la relazione τ ´ r, tempo conforme- distanza comovente. Nel caso del modello critico di Einstein-de Sitter esistono relazionianalitiche semplici per le varie grandezze:

• l’eta dell’universo e t0 “ 23H´10 ;

• il fattore di scala e aptq “ ptt0q23;

• il tempo conforme e τ “ 3t0ptt0q13;

• la distanza comovente e rptq “ 2cH0r1´ ptt0q13s;

• la distanza radiale propria e Rptq “ ptt0q23rptq;

• la sfera di Hubble e RHSptq “ cH0ptt0q;

• il cono di luce passato e RPLC “ 2cH0rptt0q23 ´ ptt0qs;

• l’orizzonte della particella e RH “ 3ct;

• l’orizzonte degli eventi e RE “ 8 ovvero non c’e;

Cominciamo con la figura 12.1. Il past light cone e la “world line” dei fotoni e,come si vede chiaramente, inizialmente tendono ad allontanarsi dall’osservatore a seguito


dell’espansione dell’universo per poi riavvicinarsi, una volta entrati nella sfera di Hubble.La sfera di Hubble interseca il cono di luce passato per

RHS “ RPLC

t

t0“ 2

ˆ

t

t0

˙23

´ 2

ˆ

t

t0

˙

ˆ

t

t0

˙

“8

27

in questo punto la velocita totale dei fotoni e vtot “ 0 per definizione di sfera di Hubble,in cui la velocita di recessione e pari a c. La tangente al cono di luce passato e verticaleperche da quel punto in poi la distanza propria verso l’osservatore ricomincia a diminuire.Nelle figure sono anche rappresentate le “world lines” di galassie che noi osserviamo avari redshifts z “ 0.5, 1.0, 2.0, 3.0; ovviamente le galassie sono osservate all’intersezionetra la loro world line ed il cono di luce passato, e l’intersezione tra la world line e la rettaper t “ t0 determina la loro distanza comovente. L’orizzonte della particella permettedi identificare le distanze massime degli oggetti nel diagramma spazio-tempo che sonoconnessi causalmente con l’osservatore a rprop “ r “ 0 al variare del tempo.

Vediamo adesso la figura 12.2. La singolarita iniziale per a “ 0, rprop “ 0 e stata “al-lungata” in una riga, le world lines sono rette parallele all’asse delle y. Anche nella figura12.3 la singolarita iniziale per a “ 0 e stata allungata in una riga. Questo diagramma, incui t e stato sostituito con τ e piu semplice ed infatti

• rHpcomoventeq “ cτ ;

• rPLCpcomoventeq “ 2pcH0qr1´H0τ2s;

• rHSpcomoventeq “ pcH0qH0τ2.

Si noti come il past light cone sia adesso una retta.

12.4.2 Diagrammi spazio-tempo per Ω0 “ 0.3,ΩΛ “ 0.7

Anche in questo caso relativo al nostro modello di riferimento utilizzeremo H´10 e cH0

come scale di tempo e di distanza. In questo caso l’equazione di Friedman e

9a “

„

0.3

a` 0.7a2

12

La figura 12.4 rappresenta il diagramma spazio tempo per t ´ rprop ovvero con tempocosmico e distanze proprie; la figura 12.5 rappresenta la relazione t´ r, tempo cosmico -distanza comovente mentre la figura 12.6 rappresenta la relazione τ ´ r, tempo conforme- distanza comovente.

Ci sono molte somiglianze col caso precedente ma anche differenze dovute alla darkenergy che domina ad epoche tarde:

• il tempo cosmico e allungato rispetto al caso critico;

• le “world lines” delle galassie cominciano a divergere per t “ t0 a seguito dellariaccelerazione dell’espansione causata dalla dark energy;


Space-Time DiagramCosmic Time vs. Proper Distance

Ω0 = 0.3. The times and distances are measured in units of H−10 and c/H0

respectively.

47

Figura 12.4: Diagramma spazio-tempo tra tempo cosmico t e distanza propria rprop peril modello di riferimento (Ω0=0.3, ΩΛ=0.7). Tempi e distanze sono misurati in H´1

0 ecH0, rispettivamente.

Space-Time DiagramCosmic Time vs. Comoving Distance Coordinate


respectively.

48

Figura 12.5: Diagramma spazio-tempo tra tempo cosmico t e distanza comovente r peril modello di riferimento (Ω0=0.3, ΩΛ=0.7). Tempi e distanze sono misurati in H´1


• la sfera di Hubble converge ad una distanza propria di 1.12cH0 (l’espansione diventa

esponenziale nel futuro e la costante di Hubble tende al valore costante Ω12Λ );

• c’e un orizzonte degli eventi; la geometria e piatta e l’espansione esponenziale spingele galassie oltre le massime distanze a cui si puo avere una connessione causale al

12.5 Il problema dell’orizzonte 193

Space-Time DiagramConformal Time vs. Comoving Distance Coordinate


respectively.

49

Figura 12.6: Diagramma spazio-tempo tra tempo conforme t e distanza comovente r peril modello di riferimento (Ω0=0.3, ΩΛ=0.7). Tempi e distanze sono misurati in H´1


tempo t. RE tende allo stesso valore asintotico di RHS, 1.12cH0

RE “ a

ż 8

a

da1

r0.3a1 ` 0.7pa14 ´ a12qs12

e per aÑ 8 si ha che

RE Ñ

ż 8

a

da1

r0.7s12a12Ñ

1

r0.7s12“ 1.12

• il diagramma piu semplice e quello con il tempo conforme poiche

rHpcomov.q “ τ

rPLCpcomov.q “ τ0 ´ τ

rEpcomov.q “ r0 ´ cτ (12.7)

con τ0 “ 3.305 e r0 “ 4.446 nel nostro modello di riferimento.

12.5 Il problema dell’orizzonte

Un osservatore sulla superficie di ultimo scattering avra un orizzonte che sottende unangolo θH sul piano del cielo, come visto da noi osservatori a t “ t0. Per calcolare θHoccorre utilizzare la distanza angolare

DA “D

1` z

con D misura di distanza data da

D “ R sin´ r

R¯


e r coordinata radiale comovente pari a

r “c

H0

ż z

0

dz

rp1` zq2pΩ0z ` 1q ´ ΩΛzpz ` 2qs12

Calcoliamo r nel caso in cui ΩΛ=0, e Ω0 ă 1 che, come noto, approssima bene quelloche succede sulla superficie di ultimo scattering dove il contributo di ΩΛ alla dinamica etrascurabile. Si ottiene:

r “c

H0

ż z

0

dz

p1` zqpΩ0z ` 1q12

“2c

H0p1´ Ω0q12

«

tanh´1

ˆ

Ω0z ` 1

1´ Ω0

˙12

´ tanh´1p1´ Ω0q

´12

ff

da cui

D “2 c

H0Ω20p1` zq

Ω0z ` pΩ0 ´ 2q“

pΩ0z ` 1q12 ´ 1‰(

che per z » 1000, ovvero Ω0z " 1

D »2 c

H0ΩA20p0

1 ` Azq

$

’

&

’

%

ZZΩ0 Az `

:0

pΩ0 ´ 2q“

pΩ0z ` 1q12 ´ 1‰

,

/

.

/

-

converge a

D »2c

H0Ω0

quindi

DA “D

1` z»

2c

H0Ω0 z»

2c a

H0Ω0

Il raggio dell’orizzonte di particella, tenendo conto di aptq “ Ω130 p3H0 t2q

23, e dato da

RHptq “ 3c t “ 3c2 aptq32

3Ω120 H0

“ c2 aptq32

Ω120 H0

(12.8)

L’angolo che sottende l’orizzonte della particella sulla superficie di ultimo scattering epertanto

θH “RHptq

DA

»2c a32

H0Ω120

ˆH0Ω0

2c a“ Ω

120 aptq12

e con z “ 1000 si ha

θH » Ω120 aptq12 “

Ω120

p1` zq12“ 0.032 Ω

120 rad “ 1.8 Ω

120 deg

In conclusione, nel caso di Ω0=0.3, ΩΛ=0.7, z “ 1000, si ottiene

θH “ 1.0˝

quindi, secondo i modelli standard di Friedman, sulla superficie di ultimo scattering regionidi cielo separate da piu di 1˝ non potevano essere causalmente connesse! Il fatto che laCMB sia omogenea a meglio di 1 parte su 1000 deve far parte delle condizioni inizialidell’universo!

Vediamo adesso come e possibile risolvere questo problema grazie al modello inflazio-nario.

12.6 Il modello inflazionario 195

12.6 Il modello inflazionario

Mettendo insieme quello che abbiamo appena visto e le cose analizzate in precedenza,possiamo concludere che il modello cosmologico standard ha i seguenti problemi:

• Problema dell’orizzonte. Il modello standard si basa sull’assunzione di omogeneita eisotropia la cui evidenza maggiore e data dalla CMB; ma le scale spaziali causalmenteconnesse sulla CMB corrispondono ad appena θ „ 1˝, proiettate sul piano del cielo.Come e possibile che la CMB sia cosı omogenea ed isotropa su tutto il cielo?

• Problema della piattezza. Abbiamo visto che avere Ω0 “ 0.3 « 1 comporta cheΩpzq “ 1 per z " 1; per esempio l’equazione 7.51

1´1

Ωpzq“

1

1` z

ˆ

1´1

Ω0

˙

ci dice che Ω0=0.3 fornisce Ωpzq “ 0.9978 a z “ 1000 e Ωpzq “ 0.99978 a z “ 10000;in conclusione, ad altissimi z, Ω deve essere estremamente vicina a 1, richiedendoquindi un “fine tuning” molto forte.

• Formazione delle strutture cosmiche. Le fluttuazioni di densita sulla superficie diultimo scattering devono essere relativamente grandi ∆ „ 10´3 per poter spiegare lestrutture cosmiche esistenti adesso; queste non sono certo perturbazioni infinitesimedovute a fluttuazioni statistiche. Poiche la crescita delle perturbazioni e semprealgebrica anche in precedenza (∆ „ a2 nell’epoca della radiazione e ∆ „ a nell’e-poca della materia), le perturbazioni di densita non possono originarsi a seguito difluttuazioni statistiche ma a causa di un fenomeno fisico di cui non abbiamo ancoratenuto conto.

Nel 1981 Alan Guth ha cercato di risolvere questi problemi proponendo che ci sia statauna fase nell’universo primordiale in cui la densita di energia fosse dominata da una com-ponente di energia del vuoto con pressione negativa, in modo del tutto analogo alla darkenergy che abbiamo gia visto. Pertanto in quella fase, in cui la dinamica era guidata dauna componente con proprieta simili a quelle della dark energy, si e avuta una espansionedi tipo esponenziale, ovvero durante quella fase aptq „ expptτq. L’inizio e la durata dellafase inflattiva dipendono dalle proprieta del potenziale del campo scalare φ che da originealla componente di energia del vuoto che guida l’inflazione; percio esistono vari modelliinflazionari. Ad esempio nel modello indicato in figura 12.7 la fase inflazionaria e tra 10´35

e 10´33 s. Come vedremo l’esatta collocazione temporale della fase inflazionaria non hainfluenza per quanto riguarda la soluzione dei problemi appena indicati.

Consideriamo ad esempio un modello in cui la fase inflazionaria inizia quando la tem-peratura dell’universo raggiunge il valore TGUT ; al termine della fase inflazionaria l’energiadel campo che ha causato l’inflazione viene liberata e si ha un “reheating” per cui l’univer-so si riscalda nuovamente alla temperatura TGUT . TGUT e la temperatura che corrispondeall’energia la disopra della quale si ha la grande unificazione delle forze (esclusa quellagravitazionale) e vale

TGUT “ 2ˆ 1016GeV “ 1.5ˆ 1029 K

Ricordando che

9a2“

Ω0H20

a` ΩΛH

20a

2´H2

0 pΩ0 ` ΩΛ ´ 1q


Figura 12.7: Evoluzione del fattore di scala nel modello standard e nel caso di modelloinflazionario.

e che la densita di energia del vuoto e

ρV “Λ

8πG“

3H20 ΩΛ

8πG

possiamo ricavare l’equazione di Friedmann nel caso in cui, per a ! 1, la dinamica siadominata da un termine di energia del vuoto analogo a ρV che chiameremo ρφ

9a2“

8πG

3ρφ a

2

come abbiamo gia visto questa equazione puo essere risolta per separazione di variabili;ponendo

τ “

ˆ

3

8πGρφ

˙12

e integrando tra l’inizio della fase inflazionaria, t1, e t si ottiene

aptq “ a1 exp

ˆ

t´ t1τ

˙

supponiamo che la fase inflazionaria termini per t2 “ NIτ ` t1 (NIτ " t1), per cui allafine della fase avremo

apt2q “ a2 “ a1 eNI

12.6 Il modello inflazionario 197

ovvero il fattore di scala e cresciuto di un fattore exppNIq. Vediamo le conseguenze diquesto fatto. L’orizzonte di particella alla fine della fase inflattiva tI

RHpt2q “ apt2q

ż t2

0

c dt

aptq» apt2q

ż t2

t1

c dt

aptq

con t1 inizio della fase inflattiva; come si vede abbiamo trascurato il contributo a RH

dovuto alla propagazione dei fotoni prima della fase inflattiva. Si ottiene

RHpt2q “ ca2

a1

ż t2

t1

e´pt´t1qτdt “ cτa1

a2

`

1´ e´N˘

“ cτeN`

1´ e´N˘

» c τeNI

dove si e considerato che t2 » NIτ " t1. Questo raggio dell’orizzonte definisce la re-gione causalmente connessa al termine della fase inflazionaria, ovvero il raggio dellasfera all’interno della quale si e potuta ottenere l’omogeneita. Si noti che, nel caso incui l’universo si fosse espanso come nel caso dominato dalla radiazione, avremmo avutoRHpt2q “ 2ct2 » 2cτNI ovvero un fattore 2NI exppNIq piu piccolo.

Questa “sfera” causalmente connessa poi si espande seguendo l’espansione standarddell’universo fino a raggiungere il momento della ricombinazione per trec dove definiraun’area causalmente connessa sulla superficie di ultimo scattering ed il cui raggio sarapari a

RCptrecq “ aptrecqrHpt2q “aptrecq

apt2qRHpt2q “

1` zpt2q

1` zptrecqRHpt2q “

T2

TrecRHpt2q “

TGUTTrec

cτeNI

Si noti che questo non e il raggio dell’orizzonte a trec, ma il raggio dell’orizzonte allafine dell’inflazione, ovvero il raggio della sfera che e stata causalmente connessa a t2.Abbiamo sfruttato la relazione tra a´ z e z ´ T , ed inoltre il fatto che alla fine della faseinflazionaria la temperatura e T2 “ TGUT . Per stimare il valore di RC dobbiamo stimareil valore di τ ovvero di ρφ. Se alla fine della fase di inflazione l’energia del vuoto venisseceduta all’universo, diventerebbe energia di radiazione e particelle ultrarelativistiche contemperatura TGUT “ 2ˆ 1016GeV “ 1.5ˆ 1029 K

ρφ “ ρrad “4σ

c3T 4GUT » 4ˆ 1081 g cm´3

da cui

τ “

ˆ

3

8πGρφ

˙12

“ 2ˆ 10´38 s

ed infine

RC “TGUTTrec

cτeNI “1.5ˆ 1029 K

4000 Kˆ cˆ p2ˆ 10´38 sq ˆ eNI “ 5.1ˆ 1025epNI´63q cm

dove per ottenere il valore numerico si e usato un NI “ 63. Questo raggio va confrontatocon il raggio della sfera che racchiude l’universo osservabile ovvero la distanza propria tranoi e la superficie di ultimo scattering; nel caso di Einstein - de Sitter abbiamo visto chela distanza comovente e

r “2c

H0

«

1´

ˆ

t

t0

˙13ff


per cui la distanza propria

Rptq “2c

H0

ˆ

t

t0

˙23«

1´

ˆ

t

t0

˙13ff

alla ricombinazione aptq “ ptt0q23 “ 10´3 ovvero

Rptrecq “2 c

H0

10´3“

1´ 10´32‰

» 10´3 2 c

H0

“ 2.6ˆ 1025 cm

Pertanto il raggio della sfera che racchiude l’universo osservabile e inferiore al raggio dellasfera che racchiude le regioni causalmente connesse al termine della fase inflazionaria sequesta dura almeno NIτ con NI Á 63; ovvero la durata della fase inflazionaria deve esseresuperiore a ą 1.2ˆ 10´36 s per risolvere il problema dell’universo.

Se la fase inflazionaria iniziasse piu tardi come nel modello in figura 12.7, la tempe-ratura all’inizio ed alla fine della fase inflazionaria sarebbe piu bassa, conseguentementeρφ sarebbe piu bassa e τ piu grande. Per il modello in figura all’inizio ed alla fine dellafase inflazionaria si avrebbe T1 “ T2 » 1028 K il che implica ρφ “ ρrad “ 3 ˆ 1076 g cm´3

e τ » 10´35 s per cui durante la fase inflazionaria ci sono circa 100τ e rC “ 2.0ˆ 1043 cmben oltre il raggio dell’universo osservabile. Abbiamo appena visto come il modello infla-zionario risolva il problema dell’orizzonte; vediamo adesso le conseguenze per il problemadella piattezza. Riprendiamo l’equazione di Friedmann completa che include i termini dimassa, radiazione e densita del vuoto

9a2“

Ω0H20

a`

ΩrH20

a2` ΩΛH

20a

2´ c2k

con k curvatura a t “ t0 data da

k “H2

0

c2rΩ0 ` Ωr ` ΩΛ ´ 1s

Se definiamo i parametri di densita al redshift z come

Ωipzq “8πG

3Hpzq2ρipzq “

8πGρi,03H2

0

ˆ

ρipzq

ρi,0

˙ˆ

H20

Hpzq2

˙

“ Ωi,0

ˆ

ρipzq

ρi,0

˙ˆ

H20

Hpzq2

˙

dove abbiamo indicato con con ρipzq la densita a redshift z della componente i-esima econ Hpzq la costante di Hubble a redshift z (Hpzq “ 9aa). Conoscendo l’evoluzione conz delle densita delle varie componenti e sostituendo gli Ωi,0 con gli Ωipzq si ottiene

9a2“ ΩmpzqHpzq

2 a2` ΩrpzqHpzq

2 a2` ΩΛpzqHpzq

2 a2´ c2k

ovvero, ponendo 9a “ Hpzqa, si ha

c2k “ a2Hpzq2 rΩpzq ´ 1s (12.9)

con Ωpzq “ Ωmpzq ` Ωrpzq ` ΩΛpzq. Questo e un modo diverso di scrivere l’equazione diFriedmann. Valutando le due espressioni all’inizio ed alla fine della fase inflazionaria sipuo quindi scrivere

Ωpt2q ´ 1

Ωpt1q ´ 1“apt1q

2Hpt1q2

apt2q2Hpt2q2

12.7 Scale oltre l’orizzonte 199

Durante la fase inflazionaria aptq “ apt1q exprpt´ t1qτ s e

Hptq “9aptq

aptq“

1

τ

per cui Hptq e costante e Hpt1qHpt2q “ 1. Infine

Ωpt2q ´ 1

Ωpt1q ´ 1“apt1q

2

apt2q2“ e´2pt2´t1qτ “ ep´2NIq À 10´55

dove l’ultima disuguaglianza e stata ottenuta con NI Á 63 stimato prima. Pertanto,qualsiasi fosse il valore di Ωpt1q, Ωpt2q ´ 1 deve essere estremamente piccolo, e Ωpt2q “1.0000000... a meno di 1 parte su 1055! Questo spiega il “fine tuning” implicato dalproblema della piattezza.

Durante la fase inflattiva le fluttuazioni quantistiche associate al campo inflativo ven-gono amplificate e raggiungono ampiezze sufficienti a spiegare le fluttuazioni osservatesulla superficie di ultimo scattering. Inoltre risulta che queste fluttuazioni sono “scalefree” ovvero il δφ ad esse associato e indipendente dalla scala della perturbazione: comevedremo piu avanti, questo significa che le fluttuazioni di densita generate durante la faseinflattiva hanno uno spettro di potenza di Harrison – Zel’dovich.

12.7 Scale oltre l’orizzonte

Il raggio dell’orizzonte RHptq tende a 0 per t Ñ 0 e per t sufficientemente piccoli RH

diventa piu piccolo delle scale di superammassi, ammassi e galassie: e pertanto necessarioconsiderare la crescita delle perturbazioni quando le loro scale λ sono piu grandi dell’o-rizzonte. Nel caso in cui λ ą RH il trattamento fatto fino ad ora e inadeguato ed occorrela relativita generale; il punto di partenza e quindi quello di considerare perturbazionilineari del tensore metrico

gµν “ gµν ` δgµν

con gµν corrispondenti alla metrica “imperturbata” ovvero quella di Robertson e Walkerche conosciamo bene. Si considera anche il tensore energia impulso perturbato al primoordine

Tµν “ Tµν ` δTµν

e si linearizzano le equazioni di campo di Einstein per determinare le piccole perturbazioni.Si puo dimostrare che la metrica perturbata al primo ordine puo essere scritta nella forma

ds2“ a2

pτq

p1` 2φqc2dτ 2` 2wicdτdxi ´ rp1´ 2ψqgij ` 2hijs dx

idxj(

(12.10)

con τ tempo conforme, gij parte spaziale comovente della metrica di Robertson e Walker(ovvero quella che gia conosciamo), wi vettore e hij e un tensore. Gli indici i, j variano solotra 1 e 3 ovvero sulla parte spaziale; infine φ e ψ sono due funzioni scalari. Dalla metricaperturbata si nota che esistono tre tipi di perturbazioni che possono essere separati etrattati indipendentemente

• perturbazioni scalari, che corrispondono alle funzioni φ e ψ ovvero alle perturbazionigia viste nel capitolo precedente;

• perturbazioni vettoriali, che corrispondono ai wi che rappresentano moti vorticosi(rotazionali);


• perturbazioni tensoriali, che corrispondono ai hij che rappresentano onde gravita-zionali.

Il problema e che abbiamo 16 componenti incognite del tensore di perturbazione dellametrica δgµν e solo 10 equazioni indipendenti per cui e necessario fare una scelta di“gauge”.

Ovviamente, c’e una grossa liberta nella scelta del gauge ma e stato dimostrato daBardeen che e possibile derivare un set di quantita che non dipendono dal gauge pertrattare una qualsiasi perturbazione su scale piu grandi dell’orizzonte. Inoltre esistonodelle relazioni che permettono di passare da un gauge all’altro. In pratica la scelta delgauge dipende solo dalla convenienza ma, se il modello fisico dell’universo e l’origine delleperturbazioni sono ben definite, il risultato fisico finale e lo stesso: la scelta di gaugediversi comporta apparentemente diverse evoluzioni delle perturbazioni su scale ą rHma, quando le perturbazioni entrano dentro il loro orizzonte, hanno la stessa identicaevoluzione.

Il gauge che conduce a risultati simili a quelli gia visti in precedenza e il cosiddetto“conformal Newtonian gauge” o “gauge longitudinale” in cui le perturbazioni vettoriali etensoriali sono poste uguali a 0; con una geometria piatta si ottiene

ds2“ a2

pτq“

p1` 2φqc2dτ 2´ p1´ 2ψqpdx2

` dy2` dz2

q‰

si inserisce quindi questa metrica nelle equazioni di campo di Einstein e, se il tensore Tµνe diagonale si ottiene che ψ “ φ ovvero

ds2“ a2

pτq“

p1` 2φqc2dτ 2´ p1´ 2φqpdx2

` dy2` dz2

q‰

Ricordiamo la metrica di Schwarzschild

ds2“

ˆ

1´ 2GM

r c2

˙

c2dt2 ´

ˆ

1´ 2GM

r c2

˙´1

dr2´ r2dθ2

´ r2 sinθ dφ2

posto φ “ ´GMpc2rq, potenziale Netwoniano della massa puntiforme M (normalizzatoa c2), nell’assunzione di campo debole φ ! 1 si ha

ds2“`

1` 2φ˘

c2dt2 ´`

1´ 2φ˘

dr2´ r2dθ2

´ r2 sin2 θdφ2

ovvero la funzione φ che caratterizza la metrica perturbata e proprio il potenziale new-toniano; questo dimostra che l’analisi “classica” che abbiamo fatto e corretta nel regimelineare. Ma la metrica e valida anche nel caso di perturbazioni su scale piu grandi dell’oriz-zonte, quindi il potenziale newtoniano permette di descrivere la crescita delle perturbazionianche su scale “superhorizon”.

Il potenziale Newtoniano della perturbazione e determinato dall’equazione di Poissone nei casi relativistici e non e dato da

• Matter dominated: ∇2δφ “ 4πGδρ;

• Radiation dominated: ∇2δφ “ 8πGδρ.

Tiriamo fuori le dipendenze dal fattore di scala e passiamo a coordinate comoventi. Nelcaso matter dominated ∆ “ ∆0a, ρ “ ρ0a

´3 per cui

4πGδρ “ 4πG∆ ρ “ 4πG∆0ρ0a´2

12.7 Scale oltre l’orizzonte 201

Nel caso radiation dominated ∆ “ ∆0a2, ρ “ ρ0a

´4 per cui

8πGδρ “ 8πG∆ ρ “ 8πG∆0ρ0a´2

quindi se ∇2 “ a´2∇2c si ottiene

• Matter dominated:1

a2∇2cδφ “ 4πG∆0ρ0a

´2;

• Radiation dominated:1

a2∇2cδφ “ 8πG∆0ρ0a

´2;

ovvero

• Matter dominated: ∇2cδφ “ 4πG∆0ρ0

• Radiation dominated: ∇2cδφ “ 8πG∆0ρ0

Questi risultati, trovati nel caso “classico” ovvero per λ ă rH , ci dicono che le pertur-bazioni del potenziale gravitazionale sono indipendenti dal fattore di scala sia nell’eramatter-dominated che radiation-dominated. Poiche, come abbiamo visto, il potenzialeNewtoniano fornisce una buona descrizione delle perturbazioni anche nel caso λ ą rH el’equazione di Poisson non dipende dalla scala della perturbazione, se ne conclude che epossibile applicare al caso “super-horizon” i risultati classici per λ ă rH ovvero:

• Matter dominated: ∆9 a

• Radiation dominated: ∆9 a2

Pero, se la crescita delle perturbazioni e la stessa, che differenza c’e tra i casi sub- e super-horizon? Come vedremo piu avanti, nel caso sub-horizon, possono esistere dei processifisici che “smorzano” per perturbazioni che quindi possono rallentare la loro crescita oaddirittura diminuire di ampiezza. Nel caso super-horizon questo non e possibile perl’assenza di connessione causale e pertanto le perturbazioni sono congelate nella metricae obbligate a crescere come appena indicato (∆9 a, ∆9 a2).

Possiamo concludere mostrando come la crescita delle perturbazioni nel caso super-horizon puo essere ricavata direttamente dall’equazione di Friedmann. Utilizzando Ωpzqe Hpzq abbiamo riscritto l’equazione di Friedmann come (12.9)

Hpzq2 rΩpzq ´ 1s ´c2k

a2“ 0

Consideriamo la nostra perturbazione che cresce all’interno di un universo piatto il cuifattore di scala soddisfa

Hpzq2 rΩpzq ´ 1s “ 0

Ricordando la definizione di Ω, Ωpzq “ 8πGρp3Hpzq2q, si ha

8πG

3ρ0 ´H

2“ 0

dove abbiamo indicato col pedice “0” il caso a curvatura nulla. Come abbiamo visto laperturbazione ha la stessa dinamica di un universo con Ω piu grande; se supponiamo che

la costante di Hubble Hpzq della perturbazione sia la stessa che per l’universo (correttoal primo ordine) ed indichiamo con il pedice “1” le quantita relative alla perturbazione siha

8πG

3ρ1 ´H

2´c2k2

a2“ 0

per cui sottraendo membro a membro e ricavando ∆ si ha

∆ “ρ1 ´ ρ0

ρ0

“3c2 k2

8πGρ0a2

ovvero ∆9 ρ´10 a´2

1 con ρ0 densita dell’universo imperturbato. In conclusione troveremonei due casi

• Matter dominated: ρ09 a´3 ovvero ∆9 a;

• Radiation dominated: ρ09 a´4 ovvero ∆9 a2.

Diagrammi spazio-tempo, orizzonte e modello in...

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