Determinante Elisabetta Colombo -...

Determinante

ElisabettaColombo

Determinante

Elisabetta Colombo

Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico 2011-2012,

Determinante

ElisabettaColombo

Determinante

Determinante

1 DeterminanteDeterminante n=2Complemento algebrico

2 Formula di LaplaceFormula di LaplacePrimo esempio formula di LaplaceSecondo esempio formula di Laplace

3 Proprieta del determinanteProprieta del determinanteRegola di SarrusCalcolo del determinante con le trasformazionielementari per riga e colonnaPrimo esempioSecondo esempio

4 Rango max e determinanteRango massimo e determinante

Determinante

ElisabettaColombo

DeterminanteDeterminante n=2

Complementoalgebrico

Formula diLaplaceFormula di Laplace

Primo esempioformula di Laplace

Secondo esempioformula di Laplace

Proprieta deldeterminanteProprieta deldeterminante

Regola di Sarrus

Calcolo deldeterminante con letrasformazionielementari per rigae colonna

Primo esempio

Secondo esempio

Rango max edeterminanteRango massimo edeterminante

Determinante n=2

Ad ogni matrice quadrata A = (aij)j=1...ni=1...n di ordine n si puo

associare un numero reale, detto determinante di A (eindicato con det A oppure con |A| ).

NOTA Non viene fornita la definizione di determinante diuna matrice, ma solo un metodo operativo per calcolarlo.

Per calcolare il determinante della matrice quadrata A diordine n, si procede nel modo seguente:• se n = 1, ossia se A =

(a11

), allora det A = a11;

• se n = 2, ossia se A =

(a11 a12a21 a22

), allora

det A = a11a22 − a12a21

Determinante

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Regola di Sarrus


Primo esempio

Secondo esempio


Determinante n=2

Esempi

Data la matrice A =

(−1 5

0 2

)si ha: det A = (−1) · 2 − 0 · 5= −2.

Data la matrice B =

(3 −21 −1

)si ha: det B = 3 · (−1)− (−2) · 1 =−3 + 2 = −1.

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Regola di Sarrus


Primo esempio

Secondo esempio


Complemento algebrico

Per poter calcolare il determinante di una matrice quadratadi ordine n ≥ 3, dobbiamo introdurre le seguenti definizioni.Data la matrice quadrata A di ordine n ≥ 2

A =

a11 a12 .. a1na21 a22 .. a2n: : :

an1 .. ann

si definisce• Minore complementare dell’elemento aij : ildeterminante della matrice quadrata di ordine (n − 1) , dettaAij , ottenuta da A eliminando la riga i e la colonna j .• Complemento algebrico di aij : il numero reale(−1)i+jdet

(Aij

)

Determinante

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Regola di Sarrus


Primo esempio

Secondo esempio


Complemento algebrico

Esempi Sia A =

2 1 0−1 3 1

0 1 2

allora

• A11 =

(3 11 2

), il minore associato a A11 = e

det A11 = 6 − 1 = 5 e il complemento algebricodell’elemento a11 e (−1)1+1 det A11= 5

• A21 =

(1 01 2


det A21= 2 − 0 = 2 e il complemento algebricodell’elemento a21 e (−1)2+1 det A21 = −2

• A31 =

(1 03 1


det A31= 1 − 0 = 1 e il complemento algebricodell’elemento a31 e: (−1)3+1det A31 = 1

Determinante

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Regola di Sarrus


Primo esempio

Secondo esempio


Formula di Laplace

Siamo ora in grado di calcolare il determinante di unaqualunque matrice quadrata di ordine n ≥ 3:

Theorem (di Laplace)Fissata una qualunque riga o colonna di A, il deteminante diA si ottiene sommando ilprodotto di ogni elemento di tale riga o colonna per il suocomplemento algebrico.

Determinante

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Regola di Sarrus


Primo esempio

Secondo esempio


Formula di Laplace

In formule, fissata per esempio la riga k , con 1 ≤ k ≤ n sihadet A == ak1 (−1)k+1 det Ak1 + ak2 (−1)k+2 det Ak2 + · · ·· · ·+ akn (−1)k+n det Akn

oppure, fissando la colonna k ,det A == a1k (−1)1+k det A1k + a2k (−1)2+k det A2k + · · ·· · ·+ ank (−1)n+k det Ank .

Determinante

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Regola di Sarrus


Primo esempio

Secondo esempio


Formula di Laplace

NOTA Poiche il calcolo del determinante e indipendentedalla linea (riga o colonna) scelta, conviene, quasi sempre,fissare una linea della matrice che contenga il maggiornumero di zeri.

Esempio 1 Sia A la matrice dell’esempio precedente Percalcolarne il determinante fissiamo (ad esempio) la primacolonna, allora

det A = a11 (−1)1+1 det A11 + a21 (−1)2+1 det A21 +a31 (−1)3+1 det A31

ossia

Determinante

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Regola di Sarrus


Primo esempio

Secondo esempio


Formula di Laplace

det

2 1 0−1 3 1

0 1 2

=2·(−1)1+1det(

3 11 2

)+(−1)· (−1)2+1

det(

1 01 2

)+0 (−1)3+1 det A31

= 2·(6 − 1)+(−1) · (−1)(2 − 0)+0 = 2 · 5 + 2= 12.

Determinante

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Regola di Sarrus


Primo esempio

Secondo esempio


Formula di Laplace

Fissando invece la terza riga si ottiene, come vediamo, lostesso risultato:

det

2 1 0−1 3 1

0 1 2

=0·det A31+1·(−1)det(

2 0−1 1

)+

2·det(

2 1−1 3

)=−1 · 2+2·(6 + 1) =12.

Determinante

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Regola di Sarrus


Primo esempio

Secondo esempio


Formula di Laplace

Esempio 2 Per calcolare il determinante della matrice

A =

0 3 2 11 2 3 42 0 1 00 −2 1 1

,

fissiamo, ad esempio, la prima colonna e otteniamo:

det A =0·det A11−1·det

3 2 10 1 0

−2 1 1

+2·det

3 2 12 3 4

−2 1 1

−0·det A41

Determinante

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Regola di Sarrus


Primo esempio

Secondo esempio


Formula di Laplace

Fissando ora la seconda riga per il calcolo di

det

3 2 10 1 0

−2 1 1

=det(

3 1−2 1

)=(3 + 2) = 5

Determinante

ElisabettaColombo







Regola di Sarrus


Primo esempio

Secondo esempio


Formula di Laplace

Fissando ora la prima colonna per il calcolo di

det

3 2 12 3 4

−2 1 1

=

3·det(

3 41 1

)−2·det

(2 11 1

)−2·det

(2 13 4

)= −3 − 2 − 10= −15

Determinante

ElisabettaColombo







Regola di Sarrus


Primo esempio

Secondo esempio


Formula di Laplace

Quindi

det A= −1 · det

3 2 10 1 0

−2 1 1

+ 2 · det

3 2 12 3 4

−2 1 1

=

−1 · 5 + 2 · (−15) =−35

Determinante

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Regola di Sarrus


Primo esempio

Secondo esempio


Proprieta del determinante

• Se A e triangolare, cioe con tutti zeri sopra o sotto ladiagonale, allora det A = a11 · a22 · · · · · ann.

• Se A ha una riga o una colonna di zeri, allora det A = 0.

• Se A ha due righe o due colonne uguali, allora det A = 0.

• Scambiando due righe (ossia applicando laTrasformazione I) o due colonne il determinante cambiasegno.

• Moltiplicando una riga per un numero k ( 6= 0) (ossiaapplicando la Trasformazione II) il determinante vienemoltiplicato per k .

• Aggiungendo ad una riga un multiplo di un’altra (ossiaapplicando la Trasformazione III) il determinante noncambia.

• (Teorema di Binet) Se A e B sono matrici quadrate dellostesso ordine, allora

det (AB) = det A · det B.

Determinante

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Regola di Sarrus


Primo esempio

Secondo esempio


Regola di Sarrus

Data la matrice quadrata di ordine 3,

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

si ha:

det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 − a13a22a31 −a12a33a21 − a23a32a11

e si calcola sommando i prodotti degli elementi sulladiagonale e sulle sue ”traslate” e sottraendo i prodotti deglielementi sulla diagonale NE-SO e sulle sue ”traslate”(regola di Sarrus.)

Determinante

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Regola di Sarrus


Primo esempio

Secondo esempio


Regola di Sarrus

Esempio

det

1 2 −13 2 1−2 4 5

=1 · 2 · 5+2 · 1 · (−2)+(−1) · 3 · 4

−(−1)·2·(−2)−2·3·5−1·1·4 =10−4−12−4−30−4 = −44

Determinante

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Regola di Sarrus


Primo esempio

Secondo esempio


Calcolo del determinante

NOTA Le proprieta del determinante possono essereutilizzate per semplificare il calcolo. Essenzialmente sicerca, con trasformazioni elementari per riga e per colonna,di ottenere una riga o una colonna con molti zeri persviluppare poi rispetto ad essa, ricordando che sommandoa una riga o a una colonna un multiplo di un’altra ildeterminante non cambia,mentre scambiando righe ocolonne il determinante cambia di segno e moltiplicando perk 6= 0 una riga o una colonna il determinante vienemoltiplicato per k .

Determinante

ElisabettaColombo







Regola di Sarrus


Primo esempio

Secondo esempio


Esempi

det A = 2 1 0−1 3 1

0 1 2

= R2 + 12R1 det

2 1 00 7/2 10 1 2

=2(7/2 ·

2 − 1) =12.

Determinante

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Regola di Sarrus


Primo esempio

Secondo esempio


Esempi

det

0 3 2 11 2 3 42 0 1 00 −2 1 1

C1 − 2C3=

det

−4 3 2 1−5 2 3 4

0 0 1 0−2 −2 1 1

= +1·det

−4 3 1−5 2 4−2 −2 1

−C1=

− det

4 3 15 2 42 −2 1

C1 + C2

=C2 + 2C3

det

7 5 17 10 40 0 1

7C1=

5C2

−35·det

1 1 11 2 40 0 1

=−35·det(

1 11 2

)= −35

Determinante

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Regola di Sarrus


Primo esempio

Secondo esempio


Rango massimo e determinante

Theorem (di Rango massimo)Una matrice quadrata A, di ordine n (cioe n × n) ha rangomassimo n se se solo se det A 6= 0.

Dim La matrice A ha rango n se e solo se e equivalente auna matrice a gradini B con n gradini, quindi triangolare conelementi tutti non zero sulla diagonale. Percio det B che e ilprodotto di tali elementi e non zero e quindi e non zero det Ache e un suo multiplo per un coefficiente diverso da zero.Viceversa A ha rango k minore di n se e equivalente a unamatrice quadrata B con k gradini, quindi con det B = 0,percio anche det A = 0.

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