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Derivazione di Spencer della Teoria di Bragg-Gray Spencer suppone valide le condizioni di Bragg-Gray, cioè: 1) Le dimensioni della cavità siano inoltre sufficientemente piccole rispetto al libero cammino medio dei quanti primari da poter trascurare le interazioni che questi ultimi subiscono nella cavità stessa. La dose assorbita nella cavità è dovuta, dunque, interamente alle particelle cariche che l’attraversano 2) Le dimensioni della cavità siano inoltre sufficientemente piccole rispetto al libero cammino medio dei quanti primari da poter trascurare le interazioni che questi ultimi subiscono nella cavità stessa. La dose assorbita nella cavità è dovuta, dunque, interamente alle particelle cariche che l’attraversano. ed in più ipotizza, semplificando, che:. 3) Il mezzo omogeneo circostante, w, abbia una sorgente omogenea che emetta N particelle cariche per grammo, ognuna di energia T 0 (emissione isotropa). 4) La cavità sia sufficientemente lontana dai bordi del mezzo circostante per cui esista l’equilibrio delle particelle cariche (CPE). 5) La radiazione di frenamento (bremsstrahlung) sia assente.
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Derivazione di Spencer della Teoria di Bragg-Gray
Spencer suppone valide le condizioni di Bragg-Gray, cioè:
1) Le dimensioni della cavità siano inoltre sufficientemente piccole rispetto al libero cammino medio dei quanti primari da poter trascurare le interazioni che questi ultimi subiscono nella cavità stessa. La dose assorbita nella cavità è dovuta, dunque, interamente alle particelle cariche che l’attraversano
2) Le dimensioni della cavità siano inoltre sufficientemente piccole rispetto al libero cammino medio dei quanti primari da poter trascurare le interazioni che questi ultimi subiscono nella cavità stessa. La dose assorbita nella cavità è dovuta, dunque, interamente alle particelle cariche che l’attraversano.
ed in più ipotizza, semplificando, che:.
3) Il mezzo omogeneo circostante, w, abbia una sorgente omogenea che emetta N particelle cariche per grammo, ognuna di energia T0 (emissione isotropa).
4) La cavità sia sufficientemente lontana dai bordi del mezzo circostante per cui esista l’equilibrio delle particelle cariche (CPE).
5) La radiazione di frenamento (bremsstrahlung) sia assente.
Derivazione di Spencer della Teoria di Bragg-Gray
La dose assorbita dunque in ogni punto del mezzo w è data da:
e considerando il flusso degli e- secondari possiamo scrivere
dove
0w
CPE
wNTKD
il flusso di e- si basa sul modello del “rallentamento continuo”rallentamento continuo = l’energia persa da un e- in un punto sia proprio ceduta al mezzo in quel punto, cioè sia trascurabile il percorso dei “terziari” messi in moto dagli e- secondari.
dTdx
dTΦD
w
T
0
e
Tw
0
w
e
TΦ
dxdT
N
Derivazione di Spencer della Teoria di Bragg-Gray
dove R [g/cm2] è il range degli e- secondari di energia iniziale T0 nel mezzo w.
la dose assorbita nella cavità può essere scritta:
da cui
questa relazione è l’analoga di quella trovata da Bragg-Gray considerando l’ipotesi aggiuntiva di Spencer: Energia iniziale delle particelle cariche pari a T0 e assenza di Bremsstrahlung
00 T
0CSDA
w
T
0
e
T
e Ndx)(dT/
NdTdTΦΦ
dT
dxdT
dxdTD
T
w
g
g
00
0
T
0g
e
T /
/NdT
ρdx
dTΦ
g
wm
T
w
g
w
g SdTdxdT
dxdT
TD
D
0
00
/
/1
Derivazione di Spencer della Teoria di Bragg-Gray
se consideriamo la Bremsstrahlung possiamo scrivere:
)](1[NT)(KD00wc
CPE
wTY
w
dove )(0
TYw è il campo radiativo per il mezzo w
quindi
dT)ρdx
dT(ΦD
wc,
T
0
e
Tw
0
dT)ρdx
dT(ΦD
g c,
T
0
e
Tg
0
e
l’enunciato di Spencer della teoria di B-G considerando la Bremsstrahlung è:
g
wm
T
w
gc
mw
g SdTdxdT
dxdT
TYTD
D
0
0
,
0)/(
)/(
)](1[
1
Derivazione di Spencer della Teoria di Bragg-Gray
Se si rinuncia a supporre semplicisticamente che l’energia iniziale, di tutti gli e - sia T0, si dovranno mediare ulteriormente sullo spettro iniziale degli e- prodotti le espressioni ricavate per le dosi assorbite.Se indichiamo con NT0 energia di particelle comprese tra T0 e T0+dT0 emesse per grammo di w e per intervallo di energia
g
wm
m
T
T
T
w
gcT
T
w
g SdTTYTN
dTdxdT
dxdTdTN
D
D
0000
0
,
00
)](1[
)/(
)/(
max
0
0max
0
Il meccanismo del rallentamento continuo (CSDA) non riesce a spiegare il fenomeno sperimentale della dipendenza della ionizzazione per unità di massa (Jg=∆ng/∆mg) dalla pressione (ridurre la pressione equivale a rendere più piccole le dimensioni della cavità).
La cavità, inoltre, perturba anche se in modo lieve la fluenza dei secondari presenti nel mezzo. Infatti non si è tenuto conto del fatto che:
a) un e- secondario può penetrare nella cavità, senza tuttavia avere l’energia sufficiente per attraversarla completamente (stoppers)
b) un e- secondario può produrre nella cavità un terziario (raggio ), la cui energia cinetica è tale da poter o non poter raggiungere la parete della cavità a seconda del punto dove è stato originato (insiders)
c) un e- secondario può produrre nella cavità un terziario che ne esce indipendentemente dal punto in cui è stato originato (starters)
d) emissione di radiazione di frenamento da parte dei secondari carichi (che si continuerà a trascurare, come anche la produzione diretta degli e- da parte dei primari)
Teoria della cavità di Spencer
Spencer prende in considerazione solo le prime 3 delle situazioni appena elencate, e le tratta con alcune semplificazioni:
gli e- del punto a)
li trascura, ciò equivale a fissare un certo valore dell’energia, ∆, pari all’energia necessaria ai secondari per attraversare la cavità, sotto il quale lo spettro degli e- viene considerato nullo
gli e- del punto b)
vengono considerati come se cedessero tutta la loro energia nella cavità
gli e- del punto c)
vengono trascurati (poteri frenanti massici modificati)
Teoria della cavità di Spencer
Teoria della cavità di Spencer
Δ)dT(T,SΦNTDwm
δe,
T
T
Δ0
CPE
w
0
Si tiene conto matematicamente di queste due condizioni introducendo i poteri frenanti massici modificati Sw (T,Δ). In sostanza nella fluenza dei secondari si tiene conto solo delle particelle di energia maggiore di Δ mentre nelle interazioni si considerano solo quelle che danno luogo a particelle di energia minore di Δ
dove R(T0,T) è il rapporto tra la fluenza differenziale degli e- che include i raggi Δ e quella dei soli e- primari
w
e
T dxdT
TTNR
/
),(0,
Teoria della cavità di Spencer
La forte influenza dei raggi δ sulla fluenza totale di e- è evidente nella figura:
Teoria della cavità di Spencer
C
Pbm
C
Pb S(Q/V)
(Q/V)
Il rapporto delle densità di ionizzazione in camere di piombo/grafite è proporzionale a:
Teoria della cavità di Spencer
L’espressione che fornisce la dose assorbita nel gas può essere scritta:
Δ)dT(T,Sdx)(dT/
T),R(TND
gm
T
Δw
o
g
0
la teoria della cavità di Spenser è quindi sintetizzata nella seguente relazione:
dTTSdxdTTTR
dTTSdxdTTTR
D
D
wm
T
w
T
gmw
w
g
o
),(.)/(),(
),(.)/(),(
0
0
000
Teoria della cavità di BurlinSe le dimensioni della cavità non sono “piccole”, come spesso accade, Burlin trova una relazione per risalire alla dose nella cavità.
range dei secondari carichi >> delle dimensioni della cavità (Gragg-Gray)
range dei secondari carichi confrontabile con le dimensioni della cavità (caso intermedio)
range dei secondari carichi << delle dimensioni della cavità (cavità grande)
dose rilasciata interamente dai crossers (e1)
dose rilasciata dai crossers (e1), dagli starters (e2) dagli
stoppers (e3) e dagli insiders (e4),
dose rilasciata interamente dai insiders (e4) generati dal fascio fotonico
Teoria della cavità di Burlin
in questo caso la dose rilasciata non è uniforme attraverso la cavità , ma può dipendere dalla distanza dalle pareti
La teoria si fonda sulle seguenti 6 assunzioni:
1- Il mezzo w e g sono omogenei.
2- Un campo omogeneo di raggi γ attraversa w e g. Questo significa che nessuna correzione deve essere apportata all’attenuazione del fascio γ.
3- E’ verificata la condizione di CPE in tutto w, g ed in tutta la regione che, dai bordi della cavità, si allontana per una distanza pari al range massimo degli elettroni.
4- La fluenza degli e- secondari generati in w e g è la stessa.
5- La fluenza degli e- che entrano nella cavità, passando attraverso g, è attenuata esponenzialmente, senza cambiarne la distribuzione spettrale.
6- La fluenza di elettroni che si origina nella cavità cresce esponenzialmente, in funzione della distanza, fino a raggiungere i suo valore di equilibrio (con lo stesso coefficiente di attenuazione β che regola la fluenza degli elettroni entranti).
Teoria della cavità di Burlin
decadimento esponenziale della fluenza di elettroni che entrano dal mezzo w in g, e accrescimento della fluenza di e- che si genera in g e va verso il mezzo w
Teoria della cavità di Burlin
La relazione di Burlin può essere scritta come:
g
w
eng
wm
w
g
ρ
μd)(1Sd
D
D
dove d è un parametro relazionata alle dimensioni della cavità
0
1d
cavità piccola
cavità grande
g
D dose media assorbita nella cavità
wcw
)(KD dose assorbita nel mezzo in condizioni di CPE
g
wmS il rapporto dei poteri frenanti massici medi tra g e w
g
wen/ρμ rapporto medio dei coefficienti di assorbimento di energia massici per g e w
βL
e1
dlΦ
dleΦ
Φ
Φd
βL
L
0
e
w
L
0
βle
w
e
w
w
L = 4V/S = quattro volte il volume della cavità diviso la superficie della cavità
l = distanza di ogni punto dalla parete lungo la lunghezza della corda media L
Teoria della cavità di Burlin
La corrispondente relazione per 1-d rappresenta il valore medio di Φg/ Φeg
attraverso la cavità
βL1eL
dlΦ
)dl1(Φ
Φ
Φd-1
βL
L
0
e
g
L
0
βle
g
e
g
g
e
Il coefficiente β è stato detereminato empiricamente da Loevinger (1966):
1,4
max0,036T
16ρβ
ρ= densità dell’aria (g/cm3)
Tmax= massimo valore fra le energie iniziali T0 degli elettroni (MeV)
Burlin (1969) ha suggerito di usare una relazione che per determinare β più accuratamente:
0,01e maxβt tmax è la profondità massima di penetrazione alla quale arriva l’1% degli elettroni
Teoria della cavità di Burlin
La teoria di Burlin è particolarmente utile per stimare la dose media con dosimetri a stato solido, che tipicamente hanno dimensioni comparabili con il range degli elettroni messi in moto
Ogunleye (1980) ha misurato la dose in starti multipli di TLD (0,38 x 3,18 x 3,18 mm3) di densità ρ=2,64g/cm3, sistemati tra pareti di equilibrio di vari materiali e irradiati perpendicolarmente con fasci di fotoni (60Co) come in figura:
Nella figura è riportata la dose media relativa in ogni dosimetro composto da 1, 2, 3, 5 e 7 strati. La dose varia con la profondità nei vari dosimetri e per i diversi materiali (che producono il backscatteing) posizionati sotto i dosimetri.
Teoria della cavità di Burlin
Teoria della cavità di Burlin
Burlin nella sua teoria non considera il fenomeno del backscattering, tuttavia dal grafico si vede che i dati sperimentali sono in buon accordo con quelli teorici in particolare per il polistirene e l’alluminio.
