Funzioni derivabili

Esercizi proposti

1) Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:

a(x) = 4x3 − 72x2 + 4x+ 5

b(x) =x2 − 3x+ 1

x+ 1

c(x) = 3√

1 + x

d(x) = sinx− cosx

e(x) = x sinx

f(x) = log x2

g(x) = tan 2x

h(x) = x32 − 6e5x4

i(x) =√

1 + x2

j(x) = etan x3

k(x) = x arctanx

l(x) = log (log x)

m(x) = 2sin x

n(x) = xx

o(x) = xsin x

p(x) = xlog (sin x)

q(x) = arctan(1 + e2x

)r(x) = log (1 + arctan2 x)

s(x) = log (x+√

1 + x2)

t(x) = arctanx+ arctan1x

u(x) = x arctanx− 12

log (1 + x2)

v(x) = x− logx

2x+ 1

w(x) = arcsin1−

√x

1 +√x

y(x) = log |1− e−2x|+ 1e−2x + 1

z(x) = x2 log x− 3log x− 2

α(x) = 2 log |1− x|+ 3 log2 |1− x|

β(x) = loge−x + 3ex

4

γ(x) =√

1 + log (2− x2)

δ(x) = log1

1 + cosx− 1

1 + cosx

1

2 Funzioni derivabili

ε(x) =√−1

6x2 + e−x2

η(x) = arctan2 x · log (arccosx)

ϑ(x) = [1 + log (x− sinx)] e2 sin x

λ(x) =

√sinx− cosx

x

ϕ(x) = (x2 − 9)e−|x|

ψ(x) =xe2x

|x| − 2.

2) Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di ciascuna delle seguenti funzioni nel punto

x0 indicato a fianco:

a)f(x) = 4x3 (x0 = −1) b)f(x) = x2 +1x

(x0 = 1)

c)f(x) = x2 − 2x (x0 = 1) d)f(x) = e−x (x0 = 0).

3) Discutere la derivabilita di f(x) = |x3 − x2|.

4) Determinare per quali valori della x le seguenti funzioni sono crescenti oppure decrescenti:

a) f(x) = 3x2 − 5x− 7

b) f(x) = x(x− 1)2c) f(x) = 2ex − 1

d) f(x) =√x− x

2

e) f(x) = ex − x.

.

5) Determinare massimi e minimi relativi delle seguenti funzioni sul loro dominio:

a)f(x) = x3 − 12x+ 7 b)f(x) = −x2 + 2x+ 3

c)f(x) =2

x− 3d)f(x) = x

√x+ 1

e)f(x) = 2− 1x− log x .

6) Determinare massimi e minimi relativi di f(x) =√

sinx sull’intervallo [0, π].

7) Determinare i punti di massimo e di minimo relativi ed assoluti della funzione f(x) = x2 −

3|x− 1|+ 2 su [−2, 3].

8) Determinare il numero di radici reali della equazione

x45 + 7x+ 5 = 0.

Funzioni derivabili 3

9) Sia f(x) = (x − 1)ex2

+ arctan(log x) + 2. Dimostrare che f e invertibile sul suo dominio e

determinare Im(f).

10) Calcolare f ′ e f ′′ per le seguenti funzioni:

(a) f(x) =x√

2− x2

(b) f(x) =1

arctanx(c) f(x) = cos(sinx)

(d) f(x) =(

1 +1x

)x

(e) f(x) =1x

+ sin1x

(f) f(x) = arcsin√

1− x2 .

11) Determinare gli eventuali asintoti delle funzioni:

a) f(x) =3x+ 1x− 1

b) f(x) = 3√x− 1 c) f(x) =

x2 − 25x+ 1

d) f(x) =ex

ex − 1e) f(x) = x

43 − 3.

12) Determinare l’asintoto destro della funzione

f(x) =x3|x− 2|+ sinx

x3 − 3.

13) Calcolare i seguenti limiti applicando la regola di de l’Hopital:

a) limx→0

(x+ 1)4 − 1x

b) limx→1

x4 − 6x2 + 8x− 3x2 − 3x+ 2

c) limx→0

sin 3x+ sin3 x

sinx

d) limx→0

tanx1− cosx

e) limx→0

sin2 x

(1− cosx) cosxf) lim

x→π2

(1− sinx)2

cosx

g) limx→0

ex − e−x

sinxh) lim

x→π2

1− sinx+ cosxsin 2x− cosx

i) limx→0

sinxx2 + sin2 x

l) limx→0

etan x − ex

x2.

14) Determinare i valori del parametro α ∈ R per cui la funzione

f(x) = arcsin

(x2 + αx− 2x2 + 2

)

e definita su tutto R.

15) Data la funzione

f(x) =

{x3 + 3x2 + 2x se x < 0

ln (x2 + 2x+ 1) + k se x ≥ 0,a) determinare i valori di k tali che f sia continua su R;

b) determinare fino a quale ordine f e derivabile su R.

4 Funzioni derivabili

16) Stabilire quali fra le sequenti funzioni soddisfano le ipotesi del Teorema di Rolle nell’intervallo

[−1, 2]:

a)f(x) = x2 b)f(x) = |x− 12|

c)f(x) =

x2 se x ∈ [−1, 0]

0 se x ∈ (0, 1]

(x− 1)2 se x ∈ (1, 2]

d)f(x) =

−x se x ∈ [−1, 0]

0 se x ∈ (0, 1]

x− 1 se x ∈ (1, 2]

e) f(x) =

1 se x ∈ [−1, 1

2)

0 se x = 12

1 se x ∈ (12 , 2].

17) Determinare l’immagine della funzione

f(x) = arctanx+ arctan1x, x 6= 0 .

18) Utilizzando il Teorema di Rolle si dimostri che la derivata della funzione f definita da

f(x) =

{x sin π

x se x > 0

0 se x = 0si annulla in infiniti punti dell’intervallo (0, 1).

19) Determinare il numero di soluzioni dell’equazione

arctan(ax) = x

al variare di a > 0.

20) Data la funzione

f(x) = 2x+ cosx

a) verificare che f e invertibile;

b) detta g l’inversa di f , calcolare g′(1).

21) Dimostrare la disuguaglianza

1− x2

2≤ cosx

per ogni x ∈ R.

Funzioni derivabili 5

Soluzioni degli esercizi proposti

1) Si ha:

•

a′(x) = 12x2 − 7x+ 4

b′(x) =x2 + 2x− 4

(x+ 1)2

c′(x) =1

3 3√

(1 + x)2

d′(x) = cosx+ sinx

e′(x) = sinx+ x cosx

f ′(x) =2x

g′(x) = 2(1 + tan2 2x

)=

2cos2 2x

h′(x) =32x

12 − 120x3e5x4

i′(x) =x√

1 + x2

j′(x) = 3x2etan x3(1 + tan2 x3

)k′(x) = arctanx+

x

1 + x2

l′(x) =1

x log x

m′(x) = 2sin x cosx log 2

n′(x) = xx(log x+ 1)

o′(x) = xsin x(

cosx log x+sinxx

)

p′(x) = xlog sin x(

cosxsinx

log x+log sinx

x

)

q′(x) =2e2x

1 + (1 + e2x)2

r′(x) =2 arctanx

(1 + x2)(1 + arctan2 x)

s′(x) =1√

1 + x2

t′(x) = 0

u′(x) = arctanx

v′(x) = 1− 1x(2x+ 1)

w′(x) = − 1

2(1 +√x)x

34

y′(x) =2e−2x

1− e−2x+

2e−2x

(e−2x + 1)2

z′(x) =2 log2 x− 7 log x+ 5

(log x− 2)2

α′(x) =6 log |1− x|+ 2

x− 1

β′(x) =−e−x + 3ex

e−x + 3ex

γ′(x) = − x

(2− x2)√

1 + log (2− x2)

δ′(x) =sinx cosx

(1 + cosx)2

ε′(x) =−1

3x− 2xe−x2

2√−1

6x2 + e−x2

η′(x) = arctanx[2 log (arccosx)

1 + x2− arctanx

arccosx√

1− x2

]

6 Funzioni derivabili

ϑ′(x) = e2 sin x[1− cosxx− sinx

+ 2 cosx (1 + log (x− sinx))]

λ′(x) =12

√x

sinx− cosx(x+ 1) cosx+ (x− 1) sinx

x2

ϕ′(x) =

{e−x(−x2 + 2x+ 9) se x > 0

ex(x2 + 2x− 9) se x < 0

ψ′(x) =

2e2x

(x2 − 2x− 1x2 − 4x+ 4

)se x ≥ 0 , x 6= 2

−2e2x(x+ 1x+ 2

)2

se x < 0 , x 6= −2

.

2) a) Occorre innanzitutto calcolare la derivata della funzione f in x0 = −1: si ha f ′(−1) = 12.

y = 12x+ 8.

b) y = x+ 1.

c) y = −1 ( si osservi che nel punto x0 = 1 la retta tangente e orizzontale).

d) y = 1− x ( si osservi che nel punto x0 = 0 la retta tangente e inclinata verso il basso).

3) Dal momento che risulta f(x) = x2|x− 1|, f e derivabile in R \ {1}.

4) a) Crescente per x > 56 , decrescente per x < 5

6 .

b) Crescente per x < 13 e x > 1, decrescente per 1

3 < x < 1.

c) Crescente per ogni valore della x.

d) Crescente per 0 < x < 1, decrescente per x > 1.

e) Crescente per x > 0, decrescente per x < 0.

5) a) f ha massimo in x = −2 e minimo in x = 2.

b) f ha massimo in x = 1.

c) f non ha ne massimi ne minimi.

d) f ha minimo in x = −23 .

e) f ha massimo in x = 1.

Funzioni derivabili 7

6) f ha massimo in x = π2 e ha minimo in x = 0, π.

7) f ha un punto di minimo assoluto in x = −32 , con f

(−3

2

)= −13

4 .

f ha un punto di massimo assoluto in x = 3, con f(3) = 5.

x = 1 e x = −2 sono punti di massimo relativo (si ha, rispettivamente, f(1) = 3 e f(−2) =

−3).

Infine, f ha un punto di minimo relativo in x = 32 , con f

(32

)= 11

4 .

8) L’equazione ammette un’unica soluzione reale.

9) La funzione f e strettamente crescente su (0,+∞) (infatti f ′(x) > 0), quindi invertibile su

R.

Inoltre Im(f) = (1− π2 ,+∞).

10)

(a) f ′(x) =2

(2− x2)32

, f ′′(x) =6x

(2− x2)52

;

(b) f ′(x) = − 1(1 + x2) arctan2 x

, f ′′(x) =2x arctanx+ 2

(1 + x2)2 arctan3 x;

(c) f ′(x) = − sin (sinx) cosx , f ′′(x) = − cos (sinx) cos2 x+ sin (sinx) sinx ;

(d) f ′(x) =(

1 +1x

)x [log

(1 +

1x

)− 1

1 + x

],

f ′′(x) =(

1 +1x

)x{[

log(

1 +1x

)− 1

1 + x

]2− 1x(1 + x)2

};

(e) f ′(x) = − 1x2

(1 + cos

1x

), f ′′(x) =

2x3

(1 + cos

1x

)− 1x4

sin1x

;

(f) f ′(x) =

− 1√

1−x2se x > 0

1√1−x2

se x < 0, f ′′(x) =

− x

(1−x2)32

se x > 0

x

(1−x2)32

se x < 0.

8 Funzioni derivabili

11) a) x = 1 e asintoto verticale, y = 3 orizzontale.

b) La funzione non ha asintoti verticali o orizzontali; non ha senso, inoltre, cercare asintoti

obliqui dal momento che la funzione rappresenta un infinito di ordine inferiore a 1.

c) x = −1 e asintoto verticale, y = x− 1 asintoto obliquo.

d) x = 0 e asintoto verticale, y = 0 e asintoto orizzontale sinistro, y = 1 e asintoto destro.

e) La funzione non ha asintoti verticali o orizzontali; non ha senso, inoltre, cercare asintoti

obliqui dal momento che la funzione rappresenta un infinito di ordine superiore a 1.

12) y = x− 2.

13)

a) 4 b) 0 c) 3 d) limx→0±

f(x) = ±∞

e) 2 f) 0 g) 2 h) 1 i) limx→0±

f(x) = ±∞ l) 0 .

14) La funzione e definita su tutto R per α = 0 .

15) 1) f e continua se k = 0.

2) f ′ esiste su tutto R e vale f(x) = 3x2 + 6x + 2 se x < 0 e f(x) = ln 2

(x+1) se x ≥

0. Calcolando i limiti del rapporto incrementale di f ′ per x → 0+ e x → 0−, si ottiene

(D2f)+(0) = −2 e (D2f)−(0) = 6, quindi f e derivabile fino al primo ordine su R.

16) a) No (f(−1) 6= f(2))

b) No (f non e derivabile)

c) Sı

d) No (f non e derivabile)

e) No (f non e continua).

17) Risulta Im f = {−π2 ,

π2 }.

18) Poiche f( 1n) = 0 per ogni n, le ipotesi del Teorema di Rolle sono soddisfatte in [ 1

n+1 ,1n ] per

ogni n ≥ 1, cioe in infiniti intervalli.

Funzioni derivabili 9

19) Se 0 < a < 1 vi e una sola soluzione. Se a ≥ 1 ci sono tre soluzioni.

20) a) Poiche f ′(x) = 2− sinx per ogni x ∈ R, f e strettamente crescente e quindi invertibile.

b) Cerchiamo x0 tale che f(x0 = 1. Si trova x0 = 0, da cui g′(1) = 12 .

21) Posto f(x) = cosx − 1 + x2

2 , si ha f ′(x) = − sinx + x e f ′′(x) = − cosx + 1. Poiche

f ′′(x) ≥ 0 per ogni x ∈ R, f ′ e crescente. Osserviamo ora che f ′(0) = 0, quindi f ′(x) ≤ 0

per x ≤ 0 e f ′(x) ≥ 0 per x ≥ 0. Pertanto f e decrescente in (−∞, 0], crescente in [0,+∞) e

f(x) ≥ f(0) = 0.